2016高中数学人教B版必修四211《向量的概念》精选习题
高中人教B版数学必修四同步过关提升特训：2.1.1 向量的概念 含解析
2.1向量的线性运算2.1.1向量的概念课时过关·能力提升1.下列说法正确的是()A.零向量没有大小,没有方向B.零向量是唯一没有方向的向量C.零向量的长度为0D.任意两个零向量方向相同答案:C2.若a为任一非零向量,b是模为1的向量,下列各式:①|a|>|b|;②a∥b;③|a|>0;④|b|=±1.其中正确的是()A.①④B.③C.①②③D.②③解析:由于a是非零向量,所以|a|>0,只有③正确.答案:B3.若a与b均为非零向量,且a与b不共线,而a∥c,b∥c,则c()A.等于0B.等于aC.等于bD.不存在解析:若a与b均为非零向量,且不共线,则只有当c=0时,才能满足a∥c且b∥c.答案:A4.如图,D,E分别是△ABC的边AB,AC的中点,则向量中共线的向量有()A.1组B.2组C.3组D.4组解析:,共3组共线向量.答案:C5.已知四边形ABCD是菱形,下列可用同一条有向线段表示的两个向量是()A. B.C. D.解析:只有相等向量才能用同一条有向线段表示.在菱形ABCD中,,它们可用同一条有向线段表示.答案:B★6.如图所示,点O是正六边形ABCDEF的中心,以A,B,C,D,E,F,O七点中的任一点为始点,与始点不同的另一点为终点的所有向量中,设与相等的向量个数为m,模与的模相等的向量个数为n,则m,n的值分别是()A.3,23B.3,11C.3,24D.2,23解析:(1)与相等的向量有,故m=3.(2)模与的模相等的向量有两类:一类是以O为始点,以正六边形的顶点为终点或以正六边形的顶点为始点,以O为终点的向量,有2×6-1=11(个);另一类是以正六边形的六条边为有向线段的向量,共有2×6=12(个),故n=11+12=23.答案:A7.在四边形ABCD中,若,且||≠||,则四边形ABCD的形状为.答案:梯形8.如图,四边形ABCD和ABDE都是平行四边形.(1)与向量相等的向量为;(2)若||=3,则向量的模等于.答案:(1)(2)69.已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2 000 km到达乙地,再从乙地按南偏东30°的方向飞行2 000 km到达丙地,再从丙地按西南方向飞行1 000km到达丁地,则丁地在甲地的方向,丁地距甲地的距离为km.解析:如图,A,B,C,D分别表示甲地、乙地、丙地、丁地.由题意,知△ABC是正三角形,∴AC=2 000 km.又∵∠ACD=45°,CD=1 000km,∴△ACD是直角三角形.∴AD=1 000km,∠CAD=45°.∴丁地在甲地的东南方向,丁地距甲地1 000km.答案:东南 1 00010.判断下列说法是否正确,并简要说明理由.(1)若是共线向量,则P,Q,M,N四点共线;(2)若表示共线向量的有向线段的始点不同,则终点一定不同;(3)若两个向量相等,则它们的始点和终点都相同.解:(1)不正确.若是共线向量,则直线MN与PQ可能重合,也可能平行,则P,Q,M,N四点不一定共线.(2)不正确.共线的向量的始点不同,但终点却可能相同.如图中的共线,它们始点不同,但终点相同.(3)不正确.两个向量只要长度相等、方向相同就是相等的向量,和始点、终点的位置无关.★11.一个人从点A出发沿东北方向走了100 m到达点B,然后改变方向,沿南偏东15°方向又走了100 m到达点C,求此人从点C走回点A的位移.解:如图所示,||=100 m,||=100 m,∠ABC=45°+15°=60°,∴△ABC为等边三角形.∴||=100 m,即此人从点C返回点A所走的路程为100 m.∵∠BAC=60°,∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=15°,即此人行走的方向为西偏北15°.故此人从点C走回点A的位移为沿西偏北15°方向100 m.。
【创新设计】高一数学人教B版必修4学案：211向量的概念.docx
THE SECOND CHAPTER第二章平面向量2. 1向量的线性运算2・1.1向量的概念［学习目标］1•能结合物理中的位移认识向量，掌握向量与数量的区别2会用有向线段作向量的儿何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念.〒预习导学全I挑战自我，点点落实［知识链接］1.力和位移都是既有大小,又有方向的量,在物理学中常称为矢量，在数学中叫做向量；而把那些只有大小，没有方向的量称为数量，在物理学中常称为标量.2.已知下列各量：①力；②功；③速度；④质量；⑤温度；⑥位移；⑦加速度；⑧重力；⑨路程；⑩密度.其中是数量的有②④⑤⑨⑩,是向量的有①③⑥⑦⑧.3.向量与数量有什么联系和区别？答联系是：向量与数量都是有大小的量；区别是：向量有方向且不能比较大小，数量无方向且能比较大小.［预习导引］1.向量的概念既有大小,又有方向的量叫做向量.2.向量的几何表示以4为始点，以B为终点的有向线段记作Ak3.向量的有关概念(1)零向量：长度等于雯的向量叫做零向量，记作0.规定：零向量与任意向暈平行.(2)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.(3)平行向量(共线向量)：如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行.也就是说方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,也叫共线向量.向量a平行于b,记作a// b.〒课堂讲义J 重点难点，个个击破要点一向呈的概念例1给出下列各命题：①零向量没有方向；②若\a\=\b\,贝'J a=b；③向量就是有向线段；④两相等向量若其起点相同，则终点也相同；⑤若a=b, b=c,贝ij a=c；⑥若a//b. b//c,则a//c；⑦若四边形ABCD是平行四边形，则乔=&), BC=DA.其中正确命题的序号是________ .答案④⑤解析①该命题不正确，零向量不是没有方向，只是方向不定；②该命题不正确，屈=0|只是说明这两向量的模相等，但其方向未必相同；③该命题不正确，有向线段只是向量的一种表示形式，但不能把两者等同起来；④该命题正确，因两相等向量的模相等，方向相同，故当它们的起点相同时，其终点必重合;⑤该命题正确，由向量相等的定义知，a与方的模相等，方与c的模相等，从而a与c的模相等；又a与〃的方向相同，方与c的方向相同，从而a与c的方向也必相同，故a=c；⑥该命题不正确，因若方=0,则对两不共线的向量a与c,也有a〃0, 0〃c,但a \[KG—2.5 mm]// c；⑦该命题不正确.如图所示，显然有AB^CD, BC^DA.规律方法要充分理解与向量有关的概念，明白它们各自所表示的含义，搞清它们之间的区别是解决与向量概念有关问题的关键.跟踪演练1给出下列命题：①若\a\=\b\,则a=b或°=一②向量的模一定是正数；③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；④向量乔与是共线向量，则A、B、C、D四点必在同一直线上.其屮正确命题的序号是________ .答案③解析①错误.由\a\ = \b\仅说明a与〃模相等，但不能说明它们方向的关系.②错误.0的模|0|=0.③正确.对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的.④错误.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量乔、必须在同一直线上.要点二向量的表示例2在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1),用直尺和圆规画岀下列向量：⑴页，使|鬲|=4返，点A在点O北偏东45。
2016高中数学人教B版必修四211《向量的概念》课后作业题
一、选择题1、下列各量中就是向量的就是(）A、密度B、电流C、面积D、浮力【解析】只有浮力既有大小又有方向、【答案】 D2、（2013·杭州高一检测）下列说法正确的就是（)A、若a∥b,则a与b的方向相同或相反B、若a∥b，b∥c，则a∥cC、若两个单位向量平行,则这两个单位向量相等D、若a＝b,b＝c，则a＝c【解析】3、图2－1－7如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量AB，→与错误!的关系就是（)A、错误!＝错误!B、｜错误!｜＝｜错误!|C、错误!＞错误!D、错误!＜错误!【解析】|错误!|与|错误!|表示等腰梯形两腰的长度,故相等、【答案】 B4、如图所示，在正方形ABCD中,可以用同一条有向线段表示的向量就是（）图2－1－8A、错误!与错误!B、错误!与错误!C、错误!与错误!D、错误!与错误!【解析】∵错误!＝错误!,∴错误!与错误!可用同一条有向线段表示、【答案】 B5、如图所示，△ABC的三边均不相等，E、F、D分别就是AC，AB，BC的中点，则与错误!的模相等的向量共有（)图2－1－9A、6个B、5个C、4个D、3个【解析】∵E、F、D分别就是边AC、AB与BC的中点,∴EF＝错误!BC,BD＝DC＝错误!BC、又∵AB，BC,AC均不相等,从而与错误!的模相等的向量就是：错误!，错误!,错误!，错误!,错误!、【答案】 B二、填空题6、如图所示，B、C就是线段AD的三等分点,分别以图中各点为起点或终点，与错误!相等的向量就是________、图2－1－10【解析】以AD的错误!为单位长度,则|错误!|＝2,由图知｜错误!｜＝2且与错误!的方向相同、【答案】错误!7、如图所示,四边形ABCD与ABDE都就是平行四边形、图2－1－11(1）与向量错误!相等的向量为________；（2)若｜错误!|＝3，则向量错误!的模等于________、【解析】（1）在平行四边形ABCD与ABDE中，∵错误!＝错误!,错误!＝错误!,∴错误!＝错误!、（2)由（1）知,错误!＝错误!,∴E、D、C三点共线，|错误!｜＝｜错误!｜＋|错误! |＝2|错误!｜＝6、【答案】（1）错误!,错误!(2)68、(2012·榆林高一检测）把平面上一切单位向量归结到共同的始点O，那么这些向量的终点所组成的图形就是________、【解析】单位向量的长度就是一个单位，方向任意,若单位向量有共同的始点O,则其终点构成一个单位圆、【答案】以O为圆心的单位圆三、解答题9、图2－1－12O就是正方形ABCD对角线的交点,四边形OAED，OCFB都就是正方形,在如图2－1－12所示的向量中：（1)分别找出与AO，→,错误!相等的向量;(2)找出与错误!共线的向量;（3）找出与错误!模相等的向量；(4）向量错误!与错误!就是否相等？【解】 (1)错误!＝错误!,错误!＝错误!、 （2)与错误!共线的向量有:错误!,错误!，错误!、（3）与错误!模相等的向量有:错误!，错误!，错误!,错误!，错误!,错误!，错误!、 （4）向量错误!与错误!不相等，因为它们的方向不相同、10、设在平面内给定一个四边形ABCD ，E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证:错误!＝错误!、【证明】 如图所示，连接AC 、在△ABC 中,由三角形中位线定理知， EF ＝错误!AC ，EF ∥AC , 同理HG ＝错误!AC ，HG ∥AC 、所以｜EF →｜＝｜错误!｜且错误!与错误!同向，所以错误!＝错误!、11、如图就是中国象棋的半个棋盘,“马走日”就是中国象棋的走法,“马"可以从A 跳到A 1或A 2,用向量错误!、错误!表示“马”走了一步、试在图中画出“马"在B 、C 分别走了一步的所有情况、图2－1－13【解】如图所示，在B处有3种走法;在C处有8种走法、。
数学必修4自主训练：2.1向量的概念及表示 含解析 精品
自主广场我夯基我达标1.下列物理量：①质量;②速度;③位移;④力;⑤加速度;⑥路程;⑦密度;⑧功.其中不是向量的个数有( )A.1B.2C.3D.4思路解析：本题关键是看所给的量是否既有大小又有方向.由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的，所以是向量；而质量、路程、密度、功只有大小没有方向，不是向量，是数量.答案：D2.下列说法中正确的是( )A.只有方向相同或相反的向量是平行向量B.零向量的长度为零C.长度相等的两个向量是相等向量D.共线向量是在一条直线上的向量思路解析：要注意相等向量与共线向量的区别和联系，也需注意特殊向量——零向量.答案：B3.下列说法中不正确的是( )A.向量的长度与向量长度相等B.任何一个非零向量都可以平行移动C.长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量D.两个有共同起点且共线的向量其终点必相同思路解析：共线向量只与方向有关，只要是方向相同或相反的向量都是共线向量，所以D 不正确.答案：D4.下列说法：①两个有公共起点且长度相等的向量，其终点可能不同；②若非零向量与是共线向量，则A、B、C、D四点共线；③若a∥b且b∥c，则a∥c;④当且仅当AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形.正确的个数为( )A.0B. 1C.2D.3思路解析：①正确,两个有公共起点且长度相等的向量，若这两个向量不相等，方向必然不同，其终点也就必不相同;②不正确，这是由于向量的共线与表示向量的有向线段共线是两个不同的概念；③不正确，假设向量b为零向量，因为零向量与任何一个向量都平行，符合a∥b且b∥c 的条件，但结论a∥c却不一定能成立；④正确，这是因为四边形ABCD是平行四边形 AB∥DC且AB=DC，即和相等.综上可知应选C.答案：C5.下列说法中正确的是( )A.若|a |>|b |，则a >bB.若|a |=|b |，则a =bC.若a =b ，则a ∥bD.若a ≠b ，则a 与b 不是共线向量思路解析：向量不能比较大小，所以A 不正确；a =b 需且只需满足两条：a ∥b 与|a |=|b |，所以B 不正确;C 正确；a ∥b 时共线向量只需方向相同或相反，所以D 不正确.答案：C6.设O 是正六边形ABCDEF 的中心，那么图2-1-9中分别与向量,,相等的向量有______个.( )图2-1-9A.1，2，3B.2，2，1C.2，2，3D.3，3，3思路解析：结合图形进行求解会很容易发现答案.DE BA OF CO DC EO OB CB DO OA =======;;.答案：C7.以下说法正确的是_____________.①单位向量均相等 ②单位向量共线 ③共线的单位向量必相等 ④单位向量的模相等 思路解析：单位向量也是向量，但只规定了长度为1,方向任意,由此可知只有④正确，其他的答案都没有注意到单位向量的方向.答案：④8.△ABC 是等腰三角形，则两腰上的向量与的关系是_______.思路解析：因为△ABC 是等腰三角形，所以|AB|=|AC|.答案：模相等9.若a 0是a 方向上的单位向量，则||a a 与a 0的长度_______. 思路解析：长度等于1的向量叫做单位向量，本题考查单位向量的概念，也就是考查单位向量的长度和方向两个方面.答案：相等10.给出以下5个条件：①a =b ；②|a |=|b |；③a 与b 的方向相反；④|a |=0或|b |=0；⑤a 与b 都是单位向量，其中能使a 与b 共线成立的是____________.思路解析：共线向量指的是方向相同或相反的向量，它只涉及方向，不涉及大小. 答案：①③④我综合我发展11.(1)把平面上所有单位向量的起点平行移动到同一点P ，则这些向量的终点构成的几何图形为____________.(2)把平行于直线l的所有单位向量的起点平行移动到直线l上的点P处，这些向量的终点构成的几何图形为____________.(3)把平行于直线l的所有向量的起点平行移动到直线l上的点P处，这些向量的终点构成的几何图形为____________.思路解析：向量是自由向量，根据向量相等，可以把向量的起点平移到同一点.(1)因为单位向量的模都是单位长度，所以同起点时，终点构成单位圆.(2)因为平行于直线l的所有单位向量只有两个方向，故只有两个，起点为P，则终点应为直线l上与P的距离相等的两个点.(3)因为平行于直线l的向量只有两个方向，但长度不同，任何长度都有，所以终点应为直线l上的任意一点，即直线l.答案:(1)一个圆(2)两个点(3)直线l12.如图2-1-10，D、E、F分别是等腰Rt△ABC的各边中点，∠BAC=90°.图2-1-10(1)分别写出图中与向量、长度相等的向量；(2)分别写出图中与向量、相等的向量；(3)分别写出图中与向量、共线的向量.思路分析：相等向量要考虑两个向量的长度、方向，共线向量只考虑方向是否相同或相反，向量的长度只考虑大小不考虑方向.解：(1)|DE|=|BF|=|FC|=|AF|；|FD|=|CE|=|EA|=|AD|=|BD|=|EF|.(2)==；==.(3)与共线的有、、、、、,与共线的有、、、、、.13.已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2 000 km到达乙地，再从乙地按南偏东30°的方1000km到达丁地，问丁地在甲向飞行2 000 km到达丙地，再从丙地按西南方向飞行2地的什么方向?丁地距甲地多远?思路分析：本题用向量解决物理问题，首先用向量表示位移，作出图形，然后解平面几何问题即可.解：如图2-1-11，A、B、C、D分别表示甲地、乙地、丙地、丁地，由题意知，△ABC是正三角形，图2-1-11∴AC=2 000 km.1000km.又∵∠ACD=45°，CD=21000km，∠CAD=45°.∴△ACD是直角三角形.∴AD=21000km.∴丁地在甲地的东南方向，丁地距甲地214.在如图2-1-12的方格纸上，已知向量a,且每个小方格的边长为单位长.图2-1-12(1)试以B为起点画一个向量b，使b=a.(2)在图中，画一个以C为起点的向量c，使|c|=2，并说出c的终点的轨迹是什么?思路分析：用有向线段表示向量，注意起点、方向、长度.解：(1)根据相等向量的定义，所作向量应与a平行，且长度相等(如图2-1-13所示).图2-1-13(2)由平面几何知识可作满足条件的向量c.所有这样的向量c的终点的轨迹是以C为圆心，2为半径的圆.。
高中数学必修四第二章向量专题讲解与练习
向量知识点总结一、向量的概念（1）向量：既有大小，又有方向的量； （2）数量：只有大小，没有方向的量；（3）有向线段的三要素：起点、方向、长度； （4）零向量：长度为0的向量；（5）单位向量：长度等于1个单位的向量； （6）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行；（7）相等向量：长度相等且方向相同的向量。
二、向量加法运算 ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()()a b c a b c ++=++； ③00a a a +=+=。
⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++。
三、向量减法运算⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量； ⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--，设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--。
四、向量数乘运算⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ； ①a a λλ=；②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=；⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+； ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==； 五、向量共线定理向量()0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=；设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、()0b b ≠共线；六、平面向量基本定理如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底） 七、分点坐标公式设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y ，当12λP P =PP 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλλ++⎛⎫ ⎪++⎝⎭； 八、平面向量的数量积⑴()cos 0,0,0180a b a b a b θθ⋅=≠≠≤≤．零向量与任一向量的数量积为0； ⑵性质：设a 和b 都是非零向量，则①0a b a b ⊥⇔⋅=．②当a 与b 同向时，a b a b ⋅=；当a 与b 反向时，a b a b ⋅=-；22a a a a ⋅==或a a a =⋅．③a b a b ⋅≤；⑶运算律：①a b b a ⋅=⋅；②()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；③()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅； ⑷坐标运算：设两个非零向量()11,a x y =，()22,b x y =，则1212a b x x y y ⋅=+， 若(),a x y =，则222a x y =+，或2a x y =+ 设()11,a x y =，()22,b x y =，则12120a b x x y y ⊥⇔+=；设a 、b 都是非零向量，()11,a x y =，()22,b x y =，θ是a 与b 的夹角，则121cos a b a bx θ⋅==+；章节小测一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．与向量a ＝(1，3)的夹角为30°的单位向量是( )A ．(12，32)或(1，3)B ．(32，12)C ．(0,1)D ．(0,1)或(32，12) 2．设向量a ＝(1,0)，b ＝(12，12)，则下列结论中正确的是( )A ．|a |＝|b |B ．a ·b ＝22C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b3．已知三个力f 1＝(－2，－1)，f 2＝(－3,2)，f 3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f 4，则f 4等于( ) A ．(－1，－2) B ．(1，－2) C ．(－1,2) D ．(1,2)4．已知正方形ABCD 的边长为1，AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，则a ＋b ＋c 的模等于( )A ．0B ．2＋ 2 C. 2 D ．2 2 5．若a 与b 满足|a |＝|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，则a ·a ＋a ·b 等于( ) A.12 B.32C ．1＋32D ．2 6．若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c 等于( )A ．－12a ＋32b B.12a －32bC.32a －12b D ．－32a ＋12b 7．若向量a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x )，满足条件(8a －b )·c ＝30，则x ＝( )A ．6B ．5C ．4D ．3 8．向量BA →＝(4，－3)，向量BC →＝(2，－4)，则△ABC 的形状为( ) A ．等腰非直角三角形 B ．等边三角形 C ．直角非等腰三角形 D ．等腰直角三角形9．设点A (1,2)、B (3,5)，将向量AB →按向量a ＝(－1，－1)平移后得到A ′B ′→为( )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(4,7)10．若a ＝(λ，2)，b ＝(－3,5)，且a 与b 的夹角是钝角，则λ的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫103，＋∞ B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫103，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，103 D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，10311．在菱形ABCD 中，若AC ＝2，则CA →·AB →等于( ) A ．2 B ．－2 C ．|AB →|cos A D ．与菱形的边长有关12．如图所示，已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6，下列向量的数量积中最大的是( )A.P 1P 2→·P 1P 3→B.P 1P 2→·P 1P 4→C.P 1P 2→·P 1P 5→ D.P 1P 2→·P 1P 6→二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________.14．已知向量a 和向量b 的夹角为30°，|a |＝2，|b |＝3，则向量a 和向量b 的数量积a ·b ＝________.15．已知非零向量a ，b ，若|a |＝|b |＝1，且a ⊥b ，又知(2a ＋3b )⊥(k a －4b )，则实数k 的值为________．16. 如图所示，半圆的直径AB ＝2，O 为圆心，C 是半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(PA →＋PB →)·PC →的最小值是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知a ，b ，c 在同一平面内，且a ＝(1,2)． (1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c ；(2)若|b |＝52，且(a ＋2b )⊥(2a －b )，求a 与b 的夹角． (1)∵c ∥a ，∴设c ＝λa ，则c ＝(λ，2λ)．又|c |＝25，∴λ＝±2，∴c ＝(2,4)或(－2，－4)． (2)∵()a ＋2b ⊥(2a －b )，∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0.∵|a |＝5，|b |＝52，∴a ·b ＝－52.∴cos θ＝a ·b|a||b |＝－1，∴θ＝180°.18．(12分)已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为60°，c ＝5a ＋3b ，d ＝3a ＋k b ，当实数k 为何值时， (1)c ∥d ；(2)c ⊥d.．解 由题意得a ·b ＝|a||b |cos 60°＝2×3×12＝3.(1)当c ∥d ，c ＝λd ，则5a ＋3b ＝λ(3a ＋k b )．∴3λ＝5，且k λ＝3，∴k ＝95.(2)当c ⊥d 时，c ·d ＝0，则(5a ＋3b )·(3a ＋k b )＝0.∴15a 2＋3k b 2＋(9＋5k )a ·b ＝0，∴k ＝－2914.19．(12分)已知|a |＝1，a ·b ＝12，(a －b )·(a ＋b )＝12，求：(1)a 与b 的夹角；(2)a －b 与a ＋b 的夹角的余弦值．(1)∵(a －b )·(a ＋b )＝|a |2－|b |2＝1－|b |2＝12，∴|b |2＝12，∴|b |＝22，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝121×22＝22.∴θ＝45°.(2)∵|a |＝1，|b |＝22， ∴|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－2×12＋12＝12.∴|a －b |＝22，又|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2×12＋12＝52.∴|a ＋b |＝102，设a －b 与a ＋b 的夹角为α，则cos α＝a －b ·a ＋b|a －b |·|a ＋b |＝1222×102＝55.即a －b 与a ＋b 的夹角的余弦值为55. 20．(12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)．(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值．如图建立直角坐标系xOy ，其中A 为原点，不妨设AB ＝2， 则A (0,0)，B (2,0)，C (2,2)， E (1,2)，F (0,1)． (1)BE →＝OE →－OB →＝(1,2)－(2,0)＝(－1,2)， CF →＝OF →－OC →＝(0,1)－(2,2)＝(－2，－1)， ∵BE →·CF →＝－1×(－2)＋2×(－1)＝0，∴BE →⊥CF →，即BE ⊥CF . (2)设P (x ，y )，则FP →＝(x ，y －1)，CF →＝(－2，－1)， ∵FP →∥CF →，∴－x ＝－2(y －1)，即x ＝2y －2. 同理由BP →∥BE →，得y ＝－2x ＋4，代入x ＝2y －2. 解得x ＝65，∴y ＝85，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫65，85.∴AP →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫652＋⎝ ⎛⎭⎪⎫852＝4＝AB →2，∴|AP →|＝|AB →|，即AP ＝AB .21．(12分)已知正方形ABCD ，E 、F 分别是CD 、AD 的中点，BE 、CF 交于点P .求证：(1)BE ⊥CF ； (2)AP ＝AB .如图建立直角坐标系xOy ，其中A 为原点，不妨设AB ＝2， 则A (0,0)，B (2,0)，C (2,2)， E (1,2)，F (0,1)． (1)BE →＝OE →－OB →＝(1,2)－(2,0)＝(－1,2)， CF →＝OF →－OC →＝(0,1)－(2,2)＝(－2，－1)， ∵BE →·CF →＝－1×(－2)＋2×(－1)＝0，∴BE →⊥CF →，即BE ⊥CF . (2)设P (x ，y )，则FP →＝(x ，y －1)，CF →＝(－2，－1)， ∵FP →∥CF →，∴－x ＝－2(y －1)，即x ＝2y －2. 同理由BP →∥BE →，得y ＝－2x ＋4，代入x ＝2y －2. 解得x ＝65，∴y ＝85，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫65，85.∴AP →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫652＋⎝ ⎛⎭⎪⎫852＝4＝AB →2，∴|AP →|＝|AB →|，即AP ＝AB .22．(12分)已知向量OP 1→、OP 2→、OP 3→满足条件OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，|OP 1→|＝|OP 2→|＝|OP3→|＝1. 求证：△P 1P 2P 3是正三角形．证明 ∵OP1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，∴OP 1→＋OP 2→＝－OP 3→，∴(OP 1→＋OP 2→)2＝(－OP 3→)2，∴|OP 1→|2＋|OP 2→|2＋2OP 1→·OP 2→＝|OP 3→|2， ∴OP 1→·OP 2→＝－12， cos ∠P 1OP 2＝OP 1→·OP 2→|OP 1→|·|OP 2→|＝－12，∴∠P 1OP 2＝120°.同理，∠P 1OP 3＝∠P 2OP 3＝120°，即OP 1→、OP 2→、OP 3→中任意两个向量的夹角为120°，故△P 1P 2P 3是正三角形．1．D 2.C3．D [根据力的平衡原理有f 1＋f 2＋f 3＋f 4＝0，∴f 4＝－(f 1＋f 2＋f 3)＝(1,2)．]4．D [|a ＋b ＋c |＝|AB →＋BC →＋AC →|＝|2AC →|＝2|AC →|＝2 2.] 5．B [由题意得a ·a ＋a ·b ＝|a |2＋|a ||b |cos 60°＝1＋12＝32，故选B.]6．B [令c ＝λa ＋μb ，则⎩⎨⎧λ＋μ＝－1λ－μ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12μ＝－32，∴c ＝12a －32b .] 7．C [∵a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，∴8a －b ＝(8,8)－(2,5)＝(6,3)．又∵(8a －b )·c ＝30，∴(6,3)·(3，x )＝18＋3x ＝30.∴x ＝4.] 8．C [∵BA →＝(4，－3)，BC →＝(2，－4)， ∴AC →＝BC →－BA →＝(－2，－1)， ∴CA →·CB →＝(2,1)·(－2,4)＝0，∴∠C ＝90°，且|CA →|＝5，|CB →|＝25，|CA →|≠|CB →|. ∴△ABC 是直角非等腰三角形．]9．B [∵AB →＝(3,5)－(1,2)＝(2,3)，平移向量AB →后得A ′B ′→，A ′B ′→＝AB →＝(2,3)．]10．A [a ·b ＝－3λ＋10<0，∴λ>103.当a 与b 共线时，λ－3＝25，∴λ＝－65.此时，a 与b 同向，∴λ>103.]11．B [如图，设对角线AC 与BD 交于点O ，∴AB →＝AO →＋OB →. CA →·AB →＝CA →·(AO →＋OB →)＝－2＋0＝－2，故选B.]12．A [根据正六边形的几何性质．〈P 1P 2→，P 1P 3→〉＝π6，〈P 1P 2→，P 1P 4→〉＝π3， 〈P 1P 2→，P 1P 5→〉＝π2，〈P 1P 2→，P 1P 6→〉＝2π3. ∴P 1P 2→·P 1P 6→<0，P 1P 2→·P 1P 5→＝0，P 1P 2→·P 1P 3→＝|P 1P 2→|·3|P 1P 2→|cos π6＝32|P 1P 2→|2， P 1P 2→·P 1P 4→＝|P 1P 2→|·2|P 1P 2→|·cos π3＝|P 1P 2→|2.比较可知A 正确．]13．－1解析 ∵a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，∴a ＋b ＝(1，m －1)． ∵(a ＋b )∥c ，c ＝(－1,2)，∴2－(－1)·(m －1)＝0.∴m ＝－1. 14．3解析 a ·b ＝|a ||b |cos 30°＝2·3·cos 30°＝3. 15．6解析由(2a＋3b)·(k a－4b)＝2k a2－12b2＝2k－12＝0，∴k＝6.16．－1 2解析因为点O是A，B的中点，所以PA→＋PB→＝2PO→，设|PC→|＝x，则|PO→|＝1－x(0≤x≤1)．所以(PA→＋PB→)·PC→＝2PO→·PC→＝－2x(1－x)＝2(x－12)2－12.∴当x＝12时，(PA→＋PB→)·PC→取到最小值－12.。
高中数学人教B版必修4作业：2.1.1 向量的概念 Word版含解析
一、选择题1．下列各量中是向量的是( ) A ．密度 B ．电流 C ．面积D ．浮力【解析】 只有浮力既有大小又有方向． 【答案】 D2．(2019·杭州高一检测)下列说法正确的是( ) A ．若a ∥b ，则a 与b 的方向相同或相反 B ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥cC ．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等D ．若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c 【解析】选项 对否 原因分析 A 、B × 当b ＝0时均错误C × 两个单位向量平行但方向不一定相同 D√本结论实际是向量相等的传递性3.图2－1－7如图所示，梯形ABCD 为等腰梯形，则两腰上的向量AB →与DC →的关系是( ) A.AB →＝DC →B ．|AB →|＝|DC →| C.AB →＞DC →D.AB →＜DC →【解析】 |AB →|与|DC →|表示等腰梯形两腰的长度，故相等． 【答案】 B4．如图所示，在正方形ABCD 中，可以用同一条有向线段表示的向量是( )图2－1－8A.DA →与BC →B.AB →与DC →C.DC →与DA →D.BC →与AB →【解析】 ∵AB →＝DC →，∴AB →与DC →可用同一条有向线段表示． 【答案】 B5．如图所示，△ABC 的三边均不相等，E 、F 、D 分别是AC ，AB ，BC 的中点，则与EF →的模相等的向量共有( )图2－1－9A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个【解析】 ∵E 、F 、D 分别是边AC 、AB 和BC 的中点， ∴EF ＝12BC ，BD ＝DC ＝12BC .又∵AB ，BC ，AC 均不相等，从而与EF →的模相等的向量是：FE →，BD →，DB →，DC →，CD →. 【答案】 B 二、填空题6．如图所示，B 、C 是线段AD 的三等分点，分别以图中各点为起点或终点，与AC →相等的向量是________．【解析】 以AD 的13为单位长度，则|AC →|＝2，由图知|BD →|＝2且与AC →的方向相同．【答案】 BD →7．如图所示，四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形．图2－1－11(1)与向量ED →相等的向量为________； (2)若|AB →|＝3，则向量EC →的模等于________．【解析】 (1)在平行四边形ABCD 和ABDE 中，∵AB →＝ED →，AB →＝DC →，∴ED →＝DC →.(2)由(1)知，ED →＝DC →，∴E 、D 、C 三点共线，|EC →|＝|ED →|＋|DC →|＝2|AB →|＝6. 【答案】 (1)AB →，DC →(2)68．(2019·榆林高一检测)把平面上一切单位向量归结到共同的始点O ，那么这些向量的终点所组成的图形是________．【解析】 单位向量的长度是一个单位，方向任意，若单位向量有共同的始点O ，则其终点构成一个单位圆． 【答案】 以O 为圆心的单位圆 三、解答题 9.O 是正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形，在如图2－1－12所示的向量中：(1)分别找出与AO →，BO →相等的向量； (2)找出与AO →共线的向量； (3)找出与AO →模相等的向量； (4)向量AO →与CO →是否相等？ 【解】 (1)AO →＝BF →，BO →＝AE →. (2)与AO →共线的向量有：BF →，CO →，DE →.(3)与AO →模相等的向量有：CO →，DO →，BO →，BF →，CF →，AE →，DE →. (4)向量AO →与CO →不相等，因为它们的方向不相同．10．设在平面内给定一个四边形ABCD ，E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：EF →＝HG →.【证明】 如图所示，连接AC .在△ABC 中，由三角形中位线定理知， EF ＝12AC ，EF ∥AC ， 同理HG ＝12AC ，HG ∥AC .所以|EF →|＝|HG →|且EF →和HG →同向，所以EF →＝HG →.11．如图是中国象棋的半个棋盘，“马走日”是中国象棋的走法，“马”可以从A 跳到A 1或A 2，用向量AA 1→、AA 2→表示“马”走了一步．试在图中画出“马”在B 、C 分别走了一步的所有情况．图2－1－13【解】如图所示，在B处有3种走法；在C处有8种走法．。
高中数学人教B版必修4 向量的概念
2．1.1向量的概念(1)向量是如何定义的？怎样表示向量？(2)向量的相关概念有哪些？[新知初探]1．向量的概念及表示印刷时，用黑体小写字母，手写时，小写字母要带箭头2．与向量有关的概念长度等于0的向量规定：零向量与任意向量都平行共线向量仅仅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量能比较大小．()(2)向量的模是一个正实数．( ) (3)向量AB 与向量BA 是相等向量．( ) 答案：(1)× (2)× (3)×2．有下列物理量：①质量；②温度；③角度；④弹力；⑤风速． 其中可以看成是向量的个数( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4答案：B3．下列结论中正确的是( ) ①由a ＝b 可知a ∥b 且|a |＝|b |； ②由a ＝b 不能得到a ∥b 且|a |＝|b |； ③a 与b 方向相同且|a |＝|b |等价于a ＝b ； ④由a 与b 方向相反或|a |＝|b |可知a ＝b . A ．①③ B ．②④ C ．③④ D ．①③④ 答案：A4.如图，四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形，则与ED 相等的向量有______．答案：AB ，DC[典例] 给出下列命题：①两个向量，当且仅当它们的起点相同，终点相同时才相等；②若平面上所有单位向量的起点移到同一个点，则其终点在同一个圆上； ③在菱形ABCD 中，一定有AB ―→＝DC ―→； ④若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c .其中所有正确命题的序号为________．[解析] 两个向量相等只要模相等且方向相同即可，而与起点和终点的位置无关，故①不正确．单位向量的长度为1，当所有单位向量的起点在同一点O 时，终点都在以O 为圆心，1为半径的圆上，故②正确．③④显然正确，故所有正确命题的序号为②③④.[答案]②③④有下列说法：①若向量a与向量b不平行，则a与b方向一定不相同；②若向量AB，CD满足|AB|＞|CD|，且AB与CD同向，则AB＞CD；③若|a|＝|b|，则a，b的长度相等且方向相同或相反；④由于零向量方向不确定，故其不能与任何向量平行．其中正确说法的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：选A对于①，由共线向量的定义，知两向量不平行，方向一定不相同，故①正确；对于②，因为向量不能比较大小，故②错误；对于③，由|a|＝|b|，只能说明a，b的长度相等，确定不了它们的方向，故③错误；对于④，因为零向量与任一向量平行，故④错误．[典例]在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：(1)OA，使|OA|＝42，点A在点O北偏东45°；(2)AB，使|AB|＝4，点B在点A正东；(3)BC，使|BC|＝6，点C在点B北偏东30°.[解](1)由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA|＝42，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量OA如图所示．(2)由于点B在点A正东方向处，且|AB|＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量AB如图所示．(3)由于点C在点B北偏东30°处，且|BC|＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量BC 如图所示．用有向线段表示向量的方法用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点．必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向(即夹角)或长度(即模)，选择合适的比例关系作出向量．[活学活用]一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达B点，然后改变方向，向北偏西40°方向行驶了200千米到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达D点．作出向量AB，BC，CD，AD.解：如图所示．共线向量或相等向量[典例]如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且OA＝a，OB＝b，OC＝c.(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？(2)与a共线的向量有哪些？(3)请一一列出与a，b，c相等的向量．[解](1)与a的长度相等、方向相反的向量有OD，BC，AO，FE.(2)与a共线的向量有EF，BC，OD，FE，CB，DO，AO，DA，AD.(3)与a相等的向量有EF，DO，CB；与b相等的向量有DC，EO，EA；与c 相等的向量有FO，ED，AB.[一题多变]1．[变设问]本例条件不变，试写出与向量BC相等的向量．解：与向量BC相等的向量有OD，AO，FE.2．[变条件，变设问]在本例中，若|a|＝1，求正六边形的边长．解：由正六边形性质知，△FOA为等边三角形，所以边长AF＝|a|＝1.寻找共线向量或相等向量的方法(1)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．(2)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．层级一学业水平达标1．下列说法正确的是()A．向量AB∥CD就是AB所在的直线平行于CD所在的直线B．长度相等的向量叫做相等向量C．若a＝b，b＝c，则a＝cD．共线向量是在一条直线上的向量解析：选C向量AB∥CD包含AB所在的直线与CD所在的直线平行和重合两种情况，故A错；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，故B错；C显然正确；共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D错．2．设O 为△ABC 的外心，则AO ―→，BO ―→，CO ―→是( ) A ．相等向量 B ．平行向量 C ．模相等的向量D ．起点相同的向量解析：选C ∵O 为△ABC 的外心，∴OA ＝OB ＝OC ，即|AO ―→|＝|BO ―→|＝|CO ―→|. 3．向量AB 与向量BC 共线，下列关于向量AC 的说法中，正确的为( ) A ．向量AC 与向量AB 一定同向B ．向量AC ，向量AB ，向量AC 一定共线 C ．向量AC 与向量BC 一定相等D ．以上说法都不正确解析：选B 根据共线向量定义，可知AB ，BC ，AC 这三个向量一定为共线向量，故选B.4.如图，在▱ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，图中与AE 平行的向量有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选C 根据向量的基本概念可知与AE 平行的向量有BE ，FD ，FC ，共3个． 5．已知向量a ，b 是两个非零向量，AO ，BO 分别是与a ，b 同方向的模为1的向量，则下列各式正确的是( )A ．AO ＝BOB ． AO ＝BO 或AO ＝－BOC ．AO ＝1D ．|AO |＝|BO |解析：选D 由于a 与b 的方向不知，故AO 与BO 无法判断是否相等，故A 、B 选项均错．又AO 与BO 均为模为1的向量．∴|AO |＝|BO |，故C 错D 对．6．已知|AB |＝1，|AC |＝2，若∠ABC ＝90°，则|BC |＝________. 解析：由勾股定理可知，BC ＝AC 2－AB 2＝3，所以|BC |＝ 3. 答案： 37.如图，四边形ABCD 是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取2个交点组成向量，则与AC 平行且长度为22的向量个数是______．解析：图形中共含4个边长为2的正方形，其对角线长度为22，在其中一个正方形中，与AC 平行且长度为22的向量有2个，所以共8个．答案：88．给出下列四个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b方向相反；④|a|＝0或|b|＝0.其中能使a∥b成立的条件是________(填序号)．解析：若a＝b，则a与b大小相等且方向相同，所以a∥b；若|a|＝|b|，则a与b的大小相等，而方向不确定，因此不一定有a∥b；方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若a与b方向相反，则有a∥b；零向量与任意向量平行，所以若|a|＝0或|b|＝0，则a∥b.答案：①③④9.如图，O是正方形ABCD的中心．(1)写出与向量AB相等的向量；(2)写出与OA的模相等的向量．解：(1)与向量AB相等的向量是DC.(2)与OA的模相等的向量有：OB，OC，OD，BO，CO，DO，AO.10.一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地．(1)在如图所示的坐标系中画出AD，DC，CB，AB.(2)求B地相对于A地的位移．解：(1)向量AD，DC，CB，AB如图所示．(2)由题意知AD＝BC.所以AD綊BC，则四边形ABCD为平行四边形．所以AB＝DC，则B地相对于A地的位移为“在北偏东60°的方向距A地6千米”．层级二应试能力达标1.如图所示，梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式成立的是()A．AD＝BC B．AC＝BDC．PE＝PF D．EP＝PE解析：选D根据相等向量的定义，分析可得：A中，AD与BC方向不同，故AD＝BC错误；B中，AC与BD方向不同，故AC＝BD错误；C中，PE与PF方向相反，故PE＝PF错误；D中，EP与PF方向相同，且长度都等于线段EF长度的一半，故EP＝PF正确．2．下列命题正确的是()A．若|a|＜|b|，则a＜bB．若a≠b，则|a|≠|b|C．若|a|＝|b|，则a与b可能共线D．若|a|≠|b|，则a一定不与b共线解析：选C因为向量不能比较大小，因此A错误．两个向量不相等，但它们的模可以相等，故B错误．不论两个向量的模是否相等，这两个向量都可能共线，C正确，D错误．3.在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点，则如图所示的向量中相等向量有()A．一组B．二组C．三组D．四组解析：选A由向量相等的定义可知，只有一组向量相等，即CE＝EA.4．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝120°，则以下说法错误的是()A．与AB相等的向量只有一个(不含AB)B．与AB的模相等的向量有9个(不含AB)C．BD的模为DA模的3倍D．CB与DA不共线解析：选D A项，由相等向量的定义知，与AB相等的向量只有DC，故A正确；B 项，因为AB＝BC＝CD＝DA＝AC，所以与AB的模相等的向量除AB外有9个，正确；C项，在Rt△ADO中，∠DAO＝60°，则DO＝32DA，所以BD＝3DA，故C项正确；D项，因为四边形ABCD是菱形，所以CB与DA共线，故D项错误，选D.5．四边形ABCD满足AD＝BC，且|AC|＝|BD|，则四边形ABCD是______(填四边形ABCD的形状)．解析：∵AD＝BC，∴AD∥BC且|AD|＝|BC|，∴四边形ABCD是平行四边形．又|AC|＝|BD|知该平行四边形对角线相等，故四边形ABCD是矩形．答案：矩形6.如图，O 是正三角形ABC 的中心，四边形AOCD 和AOBE 均为平行四边形，则与向量AD 相等的向量为________；与向量OA 共线的向量为__________；与向量OA 的模相等的向量为______．(填图中所画出的向量)解析：∵O 是正三角形ABC 的中心，∴OA ＝OB ＝OC ，易知四边形AOCD 和四边形AOBE 均为菱形，∴与AD 相等的向量为OC ；与OA 共线的向量为DC ，EB ；与OA 的模相等的向量为OB ，OC ，DC ，EB ，AD .答案：OC DC ，EB OB ，OC ，DC ，EB ，AD 7．如图，D ，E ，F 分别是正三角形ABC 各边的中点．(1)写出图中所示向量与向量DE 长度相等的向量． (2)写出图中所示向量与向量FD 相等的向量．(3)分别写出图中所示向量与向量DE ，FD 共线的向量． 解：(1)与DE 长度相等的向量是EF ，FD ，AF ，FC ，BD ，DA ，CE ，EB .(2)与FD 相等的向量是CE ，EB(3)与DE 共线的向量是AC ，AF ，FC ； 与FD 共线的向量是CE ，EB ，CB .8．如图，已知函数y ＝x 的图象l 与直线m 平行，A ⎝⎛⎭⎫0，－22，B (x ，y )是m 上的点．求(1)x ，y 为何值时，AB ＝0； (2)x ，y 为何值时，|AB |＝1.解：(1)要使AB ＝0，当且仅当点A 与点B 重合，于是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－22.(2)如图，由已知，l ∥m 且点A 的坐标是⎝⎛⎭⎫0，－22，所以B 1点的坐标是⎝⎛⎭⎫22，0.在Rt △AOB 1中，有 |AB 1|2＝|OA |2＋|OB 1|2＝⎝⎛⎭⎫222＋⎝⎛⎭⎫222＝1， 即|AB 1|＝1.同理可得，当B 2的坐标是⎝⎛⎭⎫－22，－2时，|AB 2|＝1. 综上有，当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝22，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－22，y ＝－2时，|AB |＝1.。
北师大版高中数学必修四向量的概念同步练习(8)
《向量的概念》测试一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知α是钝角，那么2α是 Ａ．不小于直角的正角 Ｂ．第二象限的角 Ｃ．第一与第三象限的角 Ｄ．第一象限的角2．函数2()12sin f x x ω=-（ω＞0）的最小正周期是函数()sin 4g x x =的最小正周期的2倍，则ω的值是 Ａ．21Ｂ． 2 Ｃ． 1 Ｄ．4 3． “0a b ⋅=”是“0a =或0b =”的Ａ．充要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充分不必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件4．已知||4AB =，||1AC =，若△ABC ，则AB AC ⋅的值组成的集合为 Ａ．{－2} Ｂ．{2} Ｃ．{－4，4} Ｄ．{－2，2}5．把点（2，－3）按向量平移得到点（1，－2），则把点（－7，2）按平移得到点 Ａ．（－8，3） Ｂ．（－6，1） Ｃ．（－6，3） Ｄ．（－8，1） 6．若向量a 与b 不共线，且||||0a b =≠，则下列结论中正确的是 Ａ．向量a +b 与a 垂直 Ｂ．向量a -b 与a 垂直 Ｃ．向量a +b 与a -b 垂直 Ｄ．向量a +b 与a -b 共线7．已知P 1（2-，4），P 2（5，3），点P 在12P P 的延长线上，且|1P P |=2|2P P |，则P 点的坐标是Ａ．（83，103） Ｂ．（12，2） Ｃ．（103，83） Ｄ．（2，12）8．已知向量2(,)3a x x =+与向量(2,3)b x =-的夹角为钝角，则实数x 的取值范围是Ａ．1(,2)2- Ｂ．1(,0)2-∪(0,2)Ｃ．1(,)2-∞-∪(2,)+∞ Ｄ．(0,2)9．给出两个性质：① 最小正周期为π；② 图像关于点(,0)6π对称．则同时具有这两个性质的函数是Ａ．cos(2)6y x π=- Ｂ．sin(2)6y x π=+Ｃ．sin(26x y π=+ Ｄ．tan()3y x π=+10．给出下列命题：①正弦函数sin y x =在第一象限是增函数；②对任意向量a 与b ，均有222()a b a b ⋅=⋅成立；③α为锐角，则4sin sin αα+的最小值为４；④在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a =4，b =5，30A =，则这样的三角形有两个．以上命题中正确的是Ａ．①③ Ｂ．④ Ｃ．②④ Ｄ．③ 11．函数12log (sin cos )y x x =的递减区间是Ａ．(,4k k πππ+ ()k ∈Z Ｂ．(2,2)2k k πππ+ ()k ∈Z Ｃ．[,42k k ππππ++ ()k ∈Z Ｄ．[2,24k k πππ+ ()k ∈Z 12．电流强度I （安培）随时间t （秒）变化的函数sin()I A x ωϕ=+的图像如图所示，则当t =7120（秒）时的电流强度为 A ．0 B ．10 C ．-10 D ．5二、填空题：(本大题共6题，每小题4分，共24在题中的横线上)13．已知(3,4)a =，||2||b a =，且b 与a 方向相反，则b =___________．14．已知tan32α=，则4sin cos 2cos 3sin αααα+=-_________．15． 在△ABC 中，若2AB AB AC BA BC CA CB =⋅+⋅+⋅，则△ABC 的形状是 16．已知(cos ,sin )a αα=(α为第三象限的角），则与a 垂直的单位向量的坐标为 ．17．如右图, 在平面内有三个向量、、，ABC满足 1||||==OB OA ,35||=OC ，与的夹角为120，与的夹角为30，. 设OC mOA nOB =+(,)m n ∈R ，则m +n 的值为 ．18．已知α、β为锐角，sin x α=，cos y β=，3cos()5αβ+=-，则y 与x 的函数解析式为y = ，定义域为 三、解答题：（本大题共5小题，共66分， 19．（本小题满分12分） 已知||3a =，||1b =，a 与b 的夹角为3π，求向量23a b +与a b - 的夹角的余弦值． 20．（本小题满分15分）已知函数2()2cos 2(,f x x x a a a =++∈R 为常数，x ∈R ）.⑴ 求)(x f 的最小正周期；⑵ 若)(x f 在[]6,6ππ-上最大值与最小值之和为3，求a 的值； ⑶ 在⑵条件下，把()f x 的图像先按向量m 平移后，再经过伸缩变换后得到sin y x =的图像，求m ．21． （本小题满分14分）设向量(1,cos 2)a A =，(2,1)b =，(4sin ,1)c A =，1(sin ,1)2d A =，其中A 为锐角三角形中的最大角. ⑴ 求a b c d ⋅-⋅的取值范围；⑵ 若函数()|1|f x x =-，比较()f a b ⋅与()f c d ⋅的大小． 22．（本小题满分12分）△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，设cos cos cos ,32B C A bca==求cos A 的值．23．（本小题满分13分）已知A 、B 是ΔABC 的两个内角，2cos2A B a i +=+(sin22A B j -，62cos(sin)222A B A B b i j +-=++，其中i 、j 为互相垂直的单位向量，若a b ⊥．⑴ 求tan tan A B ⋅的值．⑵ 当C为何值时，函数1tan tan y C C=+取得最大值？并求出该最大值．（参考结论：若a >0, b >0, 则a b +≥a =b 时取“=”号.）参考答案一、选择题：（5分×12＝60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 DCBDACBBDBAA二、填空题：（4分×6＝24分）13．(6,8)-- 14．－13 15．直角三角形16．(sin ,cos )αα-、(sin ,cos )αα- 17． 15 18． 45y x =，31)5(, 三、解答题：19．由题意：,3||||cos 31cos32π⋅=〈〉=⨯⨯=a b a b a b . … 2分∴2223(23)412936129632⋅+=++=+⨯+=a b a a b b ,∴|23|+=a b . …… 4分 同理可得 ||-=a b … …… 6分∵22333(23)()2318322-⋅+⋅=+-=+-=a b a b a a b b …… 8分∴(23)()cos (23),()|23|||+⋅-〈+-〉=+-a b a b a ba b a b a b ………… 10分3311.14== … ……12分20．()1cos 222sin(2)16f x x x a x a π=++=+++. …3分⑴ 最小正周期22T ππ== … …… 5分⑵ 由[,]66x ππ∈-得233x ππ-≤≤, ∴2662x πππ-+≤≤. …6分∴1sin(2)126x π-+≤≤ ………… ……8分∴max min[()]21,[()]1 1.f x a f x a =++=-++⎧⎨⎩ ………… ……10分∴233a +=0a ⇒=. ………… ……12分（3）121()2sin(2)16f x x ππ=++−−−−→先向右平移再向下平移的图像 ()2sin 2f x x =的图像. …14分 ∴(,1),12k k ππ=+-∈m Z . ………… ……15分21． ⑴ 由题意得：2cos2A ⋅=+a b . ………… ……2分 22sin 1A ⋅=+c d . ………… ……4分∴22cos 2(2sin 1)2cos 2.A A A ⋅-⋅=+-+=a b c d ……… ……6分 ∵A 为锐角三角形中的最大角, ∴.32A ππ<≤ …7分∴22,3A ππ<≤ 于是11cos 22A -<-≤， 22cos21A -<-≤.即⋅-⋅a b c d 的取值范围是(2,1]--. ……8分⑵ 法一：由题意得：2()|2cos 21||1cos 2|2cos f A A A ⋅=+-=+=a b ，2()2sin f A ⋅=c d ， …11分∴()f ⋅a b ()f -⋅c d 2cos2A =. ………… ……13分由（1）知22cos210A -<-<≤. ∴()f ⋅a b ()f <⋅c d .……14分 法二：∵[1,)x ∈+∞时，()|1|f x x =-1x =-, …9分 ∴()|1|f x x =-在[1,)+∞上是增函数， …10分 又由⑴知2cos 21,A ⋅=+≥a b 22sin 12cos 21A A ⋅=+=-≥c d ， 且⋅<⋅a b c d . ……12分∴()f ⋅a b ()f <⋅c d . ………… ……14分 22． 法一：由正弦定理得：cos cos cos .3sin 2sin sin B C A BCA==∴3tan 2tan tan B C A == … ……3分 ∴1tan tan 3B A =，1tan tan 2C A =…4分∵180()A B C =-+，∴tan tan[180()]tan()A B C B C =-+=-+tan tan 1tan tan B C B C+=--,∴211tan tan 32tan 1tan 16A AA A +=-. ……6分∵tan 0A ≠, ∴251tan 6A =-, ∴2tan 11A =, … 8分∴2211cos 1tan 12A A ==+. ……10分 若cos 0A <，则tan A <0, 于是tan B <0, 矛盾. ∴cos 0A >，∴cos 6A =. …… 12分解法二：由余弦定理得：222222222642,a c b a b c b c a abcabcabc+-+-+-==…2分∴2222222222222()3(),2().a cb a bc a b c b c a +-=+-+-=+-⎧⎨⎩ …4分 化简得：2222225533,.a b c a b c +=-=⎧⎨⎩ (6)分解得：,2.2a b ==⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩8分由余弦定理得：22222235cos 26c c c b c a A bc +-+-===. …12分 23． ⑴ 由⊥a b 得0⋅=a b , … ……1分∴222)(sin)(0222A B A B +-+-=, ……2分即2232cos sin 222A B A B +-+=,∴1cos()31cos()22A B A B --+++=,∴cos()cos()02A B A B -+-=,∴cos cos 3sin sin A B A B =.∴1tan tan 3A B ⋅=． ………5分⑵ tan tan tan tan()1tan tan A B C A B A B+=-+=-- …………6分=tan tan 23A B+-=31(tan )23tan A A -+ …7分∵1tan tan 03A B ⋅=>，∴tan A >0,∴1tan 3tan 3A A+=≥.…8分∴tan C =31(tan )23tan A A-+≤322-⋅=……9分 ∴max (tan )|C=当且仅当tan tan 3A B ==即30A B == 时，tan C 取得最大值，∴tan (,C ∈-∞. ……10分∵函数1()f x x x =+在(,-∞内是增函数（可以不证明） …11分∴当tan C =120C =时， …12分1tan tan y C C=+取最大值为3. …13分。
人教B版数学必修四讲义：第2章 2.1 2.1.1 向量的概念 Word版含答案
2.1 向量的线性运算2.1.1 向量的概念1．向量及其几何表示(1)向量的定义具有大小和方向的量称为向量．(2)自由向量只有大小和方向，而无特定的位置的向量叫做自由向量．(3)向量的表示①有向线段：具有方向的线段．②向量可以用有向线段表示，向量AB →的大小，也就是向量AB →的长度，记作|AB→|，向量也可以用字母a ，b ，c ，…表示，也可以用有向线段的起点和终点字母表示，如：AB →，CD →.③同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等的向量．2．向量的有关概念(1)零向量：长度等于零的向量，叫做零向量，记作0.规定：零向量与任意向量平行．(2)相等向量：同向且等长的向量叫做相等向量．(3)平行向量(共线向量)：如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行．也就是说方向相同或相反的向量叫做平行向量，也叫共线向量．向量a 平行于b ，记作a ∥b .(4)位置向量：任给一定点O 和向量a ，过点O 作有向线段OA →＝a ，则点A 相对于点O 的位置被向量a 所唯一确定，这时向量OA →，又常叫做点A 相对于点O 的位置向量．思考：向量A B →与向量C D →是共线向量，则A ，B ，C ，D 必在同一条直线上，这种说法对吗？[提示] 这种说法不对，共线向量还可以指表示向量的有向线段所在的直线平行，故A ，B ，C ，D 不一定共线．1．下列说法中正确的个数是( )①身高是一个向量；②∠AOB 的两条边都是向量；③温度含零上和零下温度，所以温度是向量；④物理学中的加速度是向量．A ．0B ．1C ．2D ．3B [只有④中物理学中的加速度既有大小又有方向是向量，①②③错误，④正确．]2．下列各量中是向量的是( )A ．密度B ．电流C ．面积D ．浮力 D [浮力既有大小又有方向，因此浮力是向量，而密度、电流、面积只有大小没有方向，不是向量．]3．下列说法正确的是()A．若|a|＝0，则a＝0B．若|a|＝|b|，则a＝bC．若|a|＝|b|，则a与b是平行向量D．若a∥b，则a＝bA[|a|＝0，则a是零向量，故A项正确．](1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；(2)若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；(3)对于任意向量|a|＝|b|，若a与b的方向相同，则a＝b；(4)由于0方向不确定，故0不与任意向量平行；(5)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反．[思路探究]解答本题应根据向量的有关概念，注意向量的大小、方向两个要素．[解](1)不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小．(2)不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系．(3)正确．因为|a|＝|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得a＝b.(4)不正确．依据规定：0与任意向量平行．(5)不正确．因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定．向量的平行问题不可忽视零向量的大小为零，方向任意；零向量与任一向量平行；所有的零向量相等．1．给出下列命题：①若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；②向量的模一定是正数；③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；④向量AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点必在同一直线上．其中正确命题的序号是________．③ [①错误．由|a |＝|b |仅说明a 与b 模相等，但不能说明它们方向的关系． ②错误．如|0|＝0.③正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的．④错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB →，CD →必须在同一直线上．]向走了102米到达C 点，到达C 点后又改变方向向西走了10米到达D 点．(1)作出向量AB →，BC →，CD →；(2)求AD →的模．[思路探究] 可先选定向量的起点及方向，并根据其长度作出相关向量．可把AD →放在直角三角形中求得|AD →|.[解] (1)作出向量AB →，BC →，CD →，如图所示：(2)由题意得，△BCD 是直角三角形，其中∠BDC ＝90°，BC ＝102米，CD ＝10米，所以BD ＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD ＝90°，AB ＝5米，BD ＝10米，所以AD ＝52＋102＝55(米)，所以|AD →|＝55米．1．向量的两种表示方法： (1)几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点．(2)字母表示法：为了便于运算可用字母a ，b ，c 表示，为了联系平面几何中的图形性质，可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量，如AB →，CD →，EF →等．2．两种向量表示方法的作用：(1)用几何表示法表示向量，便于用几何方法研究向量运算，为用向量处理几何问题打下了基础．(2)用字母表示法表示向量，便于向量的运算．2．一辆汽车从点A 出发，向西行驶了100公里到达点B ，然后又改变方向，向西偏北50°的方向行驶了200公里到达点C ，最后又改变方向，向东行驶了100公里到达点D .(1)作出向量AB →，BC →，CD →；(2)求|AD →|.[解] (1)作出向量AB →，BC →，CD →，如图所示．(2)由题意知AB →与CD →方向相反，∴AB →与CD →共线，∴在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，又∵|AB →|＝|CD →|，∴四边形ABCD 为平行四边形，∴|AD →|＝|BC →|＝200(公里).[探究问题]1．向量a ，b 共线，向量b ，c 共线，向量a 与c 是否共线？[提示] 向量a 与c 不一定共线，因为零向量与任意向量都共线，若b ＝0，则向量a 与c 不一定共线．2．两个相等的非零向量的起点与终点是否都分别重合？[提示] 不一定．因为向量都是自由向量，只要大小相等，方向相同就是相等向量，与起点和终点位置无关．【例3】 (1)如图，在等腰梯形ABCD 中，①AB →与CD →是共线向量；②AB →＝CD →；③AB →>CD →.以上结论中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)下列说法中，正确的序号是________．①任何两个长度相等的向量都是相等向量；②零向量都相等；③任一向量与它的平行向量不相等；④若四边形ABCD 是平行四边形，则AB →＝DC →；⑤共线的向量，若始点不同，则终点一定不同．[思路探究] 可借助几何图形性质及向量相关概念进行判断．(1)A (2)②④ [(1)①由题意可知，AB 与CD 不平行，所以AB →与CD →非共线向量，故①错误；由①知②错误；③两个向量之间不能比较大小，故③错误；故答案选A.(2)①相等向量由大小和方向两个因素决定，故①错误；因为零向量的长度都为零，且其方向任意，所以零向量相等，所以②正确；因为平行向量的方向可以相同且大小也可以相等，所以任一向量与它的平行向量可能相等，即③错误；画出图形，可得AB →＝DC →，所以④正确；由共线向量的定义可知：共线的向量，始点不同，终点可能相同，所以⑤不正确．]相等向量与共线向量需注意的四个问题：(1)相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量．(2)两个向量平行与两条直线平行是两个不同的概念；两个向量平行包含两个向量有相同基线，但两条直线平行不包含两条直线重合．(3)平行(共线)向量无传递性(因为有0)．(4)三点A ，B ，C 共线⇔AB →，AC →共线．3．如图，四边形ABCD 为正方形，△BCE 为等腰直角三角形．(1)图中所标出的向量与AB →共线的有________；(2)图中所标出的向量与AB →相等的有________；(3)图中所标出的向量与AB →模相等的有________；(4)图中所标出的向量与EC →相等的有________．[答案] (1)BE →，CD → (2)BE → (3)BC →，CD →，DA →，BE → (4)BD →(教师用书独具)1．判断一个量是否为向量应从两个方面入手①是否有大小；②是否有方向．2．理解零向量和单位向量应注意的问题①零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等；②单位向量不一定相等，易忽略向量的方向．3．用有向线段表示向量的方法用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点．必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向(即夹角)或长度(即模)，选择合适的比例关系作出向量．4．寻找共线向量或相等向量的方法(1)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．(2)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．1．在同一平面内，把平行于某一直线的一切向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是()A．一条线段B．一条直线C．圆上一群孤立的点D．一个半径为1的圆B[因为它们是平行向量，当始点相同时，终点位置在这条直线上，故这些向量的终点构成的图形是一条直线．]2．在下列判断中，正确的是()①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③任意向量与零向量都共线．A．①②B．②③C．①③D．①②③C[由定义知①正确，②由于零向量的方向是任意的，故两个零向量的方向是否相同不确定，故不正确．显然③正确，故选C.]3．在下列命题中：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等；④相等向量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个非零向量的两个向量是共线向量．正确的命题是________．(填序号)④⑥ [由向量的相关概念可知④⑥正确．]4.如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心．(1)分别写出图中与OA →，OB →，OC →相等的向量；(2)与OA →的长度相等、方向相反的向量有哪些？[解] (1)与OA →相等的向量有EF →，DO →，CB →；与OB →相等的向量有DC →，EO →，F A →；与OC →相等的向量有FO →，ED →，AB →.(2)与OA →的长度相等、方向相反的向量有OD →，BC →，AO →，FE →.。
[知识点概括与对应练习]人教版必修4平面向量的概念及线性运算练习及答案
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平面向量的概念及线性运算一、知识点：1、向量的概念：既有大小又有方向的量；2、向量的表示方法：①几何表示：用有向线段（有方向和长度的线段）表示；例如， ②字母表示：用小写字母带箭号或用两个大写字母带箭号表示；例如，，，a ，等等，； 3、向量的有关概念： ；②零向量：长度为0的向量。
记作，方向指向任何地方；③单位向量：长度为1个单位的向量；④相等向量：长度相等且方向相同的向量；⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量；⑥共线向量（平行向量）：方向相同或相反的非零向量；⑦规定与任何向量共线。
4、向量的加减法法则：①三角形加法法则：把第二个向量的起点放在第一个向量的终点，那么这两个向量的和等于以第一个向量的起点为起点，第二个向量的终点为终点的向量；如图，=+； ②三角形减法法则：把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差等于由减向量的终点指向被减向量终点的向量；如图，=-；③平行四边形法则：以B A 00④向量加法交换律：+=+；向量加法结合律：()()c b a c b a ++=++。
5、⑴向量数乘定义：规定实数λ与向量的积是一个向量，记作λ。
规定：①λλ= ②当λ﹥0时，a λ与同向；当λ﹤0时，a λ与反向；当λ=0时，λ=；⑵向量数乘运算律：设μλ、为实数，那么 ①()()λμμλ=（结合律） ②()μλμλ+=+（分配律） ③()b a b a λλλ+=+（分配律 ）；6、平面向量共线定理：向量()0≠a a 与共线，当且仅当有唯一一个实数，使λ=。
二、范例精讲例1 ，0=则0=；②若∥，则AB ∥CD ；③若，=++则A 、B 、C 为一个三角形的三个顶点；④若，均为非零向量，+与+有可能相等。
其中真命题的个数为（ ）A.0B.1C.2D.3例2.判断下列各命题的真假 ①长度相等与;②向量∥,则向量与方向相同或相反;③两个有共同起点且相等的向量,其终点相同;④，共线与则A 、B 、C 、D 四点必在同一条直线上。
向量的概念同步练习2北师大版必修4
《向量的概念》测试一、选择题：(本大题共12小题,每小题3分, 共36分)1．若i = (1,0), j =(0,1)则与2i +3j 垂直的向量是( )A ．3i +2jB ．－2i +3jC ．－3i +2jD ．2i －3j2．已知A(1,2) 、B(5,4) 、C(x,3) 、D(－3,y) 且∥,则x 、y 的值分别为 ( )A ．－7,－5B ． －7,5C ． 7,－5D ． 7,53，圆x 2+（y+1）2=2上的点到直线x-y-5=0的距离的最小值是（ ）A ，22；B ，2C ，34D ，24．在△ABC 中,AB=2,AC=4, ∠A=︒120,D 为BC 边中点, 则AD 长等于 ( )A ．1B ．2C ．2D ．35．已知a 、b 为两个单位向量，下列命题正确的是 （ ）A.a =bB.a ·b =0C.|a ·b |<1D.a 2=b 26．己知q p q p ,,3||,22||==的夹角为︒45,则以q p b q p a 3,25-=+=为邻边的平行四边形的对角线长为( )A ．15B ．15C ．14D ．167, 方程x 2+y 2+Dx+Ey+2=0表示圆的条件是（ ）A ,D 2+E 2+2＞0B , D 2+E 2 ＞0C ,D 2+E 2-4＞0 D, D 2+E 2-8＞08．己知P 1(2,－1) 、P 2(0,5) 且点P 在P 1P 2的延长线上,||2||21PP P P =, 则P 点坐标为( )A ．(－2,11)B ．()3,34C ．(32,3) D ．(2,－7)9．已知A(0,3) 、B(2,0) 、C(－1,3) 与2+方向相反的单位向量是 （) A ．(0,1) B ．(0,－1) C ． (－1,1) D ．(1,－1)10，经过三点M （0，0），N （1，1），P （4，2）的圆的方程是（ ）A 、x 2+y 2-8x+6y-5=0B 、x 2+y 2-8x+6y=0C 、 x 2+y 2-6x+8y=0D 、 x 2+y 2-3x+6y-2=011．已知：),5,0(),1,3(=-=且∥,⊥,则点C 的坐标为( ) A ．(－3,－429) B ．(－3,429)C ． (3, 429)D ．(3,－429) 二、填空题：(本大题共4个小题, 每小题3分, 共12分)13．己知)3,0(),1,0(==,把向量AB 绕点A 逆时针旋转︒90,得到向量AC ,则向量._______=OC14．32041||,5||,4||-=-==b a b a ,则b a,的夹角为_______. 15．在△ABC 中, 若cosA=53,sinB=135,则cosC=_________. 16．已知),2,1(,5||==b a 若a ∥b 且方向相反, 则a 的坐标是________.三、解答题：(本大题共6个小题, 共52分)17.(8ˊ)已知).1,2(),0,1(==b a ①求|3|b a +；②当k 为何实数时,k -a b 与b a 3+平行, 平行时它们是同向还是反向？18.( 8ˊ)已知,1||,2||==b a a 与b 的夹角为3π,若向量b k a +2与b a +垂直, 求k. 19.(8ˊ) 设e 1，e 2是两个垂直的单位向量，且a =－(2e 1+e 2)，b =e 1－λe 2.(1)若a ∥b ，求λ的值；(2)若a ⊥b ，求λ的值.20.( 9′)已知⊿ABC 中，2222()sin()()sin()a b A B a b A B +-=-+。
高中数学必修4(人教B版)第二章平面向量2.1知识点总结含同步练习题及答案
其中 →a ，→b 共线的有______（填上所有正确的序号）.
解：①②③
① 中 →a = −→b ，所以 →a ∥ →b ；
② 中 →b = −2→a ，所以 →a ∥ →b ；
③ ④
中→a =
4(e→1 −
1 10
中不存在非零实数
e→2 ) = λ，使
4→b ，所以 →a ∥ →b ； →a = λ→b ，所以 →a
+ +
−−OM−−→B→B=) =2−O−A−−→B→O；+
−O−→B
=
−A−→B．
已知下列各式：①−A−→B + B−−→C + −C−→A ；②(−A−→B + −M−→B + −B−→O + O−−M→；③−O−→A + O−−→C + −B−→O + −C−→O；
④−A−→B + −C−→A + −B−→D + D−−→C ．其中结果为
四、课后作业 （查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）
关于向量 →a ，→b ，有
① →a = 2→e ，→b = −2→e ；
② →a = e→1 − e→2 ，→b = −2e→1 + 2e→2 ；
③
→a
= 4e→1 −
2 5
e→2 ，→b
= e→1 −
1 10
e→2 ；
④ →a = e→1 + e→2 ，→b = −2e→1 + 2e→2 ；（其中 e→1 , e→2 不共线）
量，叫做单位向量(unit vector)．
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 （parallel vectors），向量 a⃗、b⃗ 平行，通常记做 a⃗ ∥ b⃗．
数学人教B版必修4课后训练：2.1.1向量的概念 含解析 精品
向量的概念练习1．下列说法中，正确的是( )A．长度相等的两个向量一定是相等的向量B．当且仅当两个向量所在的直线恰为同一条直线时，这两个向量为共线向量C．零向量没有方向D．零向量的方向是任意的2．下列说法中，不正确的是( )A．向量AB的长度与向量BA的长度相等B．任何一个非零向量都可以平行移动C．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量D．两个有共同始点且共线的向量，其终点必相同3．如图所示，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，则向量AD，AE，EC，DE，CB，DB中共线的向量有( )A．1组 B．2组C．3组 D．4组4．如下图所示，四边形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量AB与DC的关系是( )A．AB＝DC B．|AB|＝|DC|C．AB＞DC D．AB＜DC5．如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，以A，B，C，D，E，F，O七点中的任一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，设与OA相等的向量个数为m，与OA 的模相等的向量个数为n，则m，n的值分别是( )A．3,23 B．3,11C．3,24 D．以上都不正确6．下列说法中，正确的是__________．(填序号)①相等的向量的始点必相同；②平行向量就是共线向量；③若|a|＞|b|，则a＞b；④质量、能量、功都是向量；⑤若a∥b，则a，b的方向相同或相反．7．如图所示，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形．(1)与向量ED相等的向量为__________；(2)若|AB|＝3，则向量EC的模等于__________．8．已知飞机从甲地向北偏东30°的方向飞行2 000 km到达乙地，再从乙地向南偏东30°的方向飞行2 000 km到达丙地，再从丙地向西南方向飞行到达丁地，则丁地在甲地的__________方向，丁地距甲地的距离为__________ km.9．判断下列说法是否正确，并简要说明理由．(1)MN与PQ是共线向量，则P，Q，M，N四点共线；(2)共线的向量，若表示它们的有向线段的始点不同，则终点一定不同；(3)两个向量相等，则它们的始点和终点都相同；(4)|AB|＝|BA|.10．如图，A1，A2，A3，…，A8是O上的八个等分点，则在以A1，A2，A3，…，A8及圆心O九个点中任意两点为始点与终点的向量中，模等于半径的向量有多少个？模等于半径的参考答案1．解析：相等的向量不仅长度相等，而且方向相同，故选项A错误；共线向量所在的直线可以相互平行，也可以是同一条直线，故选项B错误；零向量的方向是任意的，故选项C错误；选项D正确．答案：D2．解析：很明显，选项A，B，C正确，共线向量只与方向有关，方向相同或相反的向量都是共线向量，所以选项D不正确．答案：D3．解析：共线向量有AD与DB，AE与EC，DE与CB.答案：C4．解析：|AB|与|DC|表示等腰梯形两腰的长度，故相等．答案：B5．解析：(1)与OA相等的向量有EF，DO，CB，故m＝3.(2)与OA的模相等的向量有两类：一类是以O为始点，以正六边形的顶点为终点或以正六边形的顶点为始点，以O为终点的向量，有2×6－1＝11(个)；另一类是以正六边形的六条边为有向线段的向量，共有2×6＝12(个)，故n＝11＋12＝23.答案：A6．答案：②⑤7．答案：(1) AB，DC(2)68．解析：如图，A，B，C，D分别表示甲地、乙地、丙地、丁地．由题意知，△ABC是正三角形，∴AC＝2 000 km.又∵∠ACD＝45°，CD＝，∴△ACD是直角三角形．∴AD＝，∠CAD＝45°.∴丁地在甲地的东南方向，丁地距甲地答案：东南9．分析：根据共线向量、相等向量及向量的模的概念进行判断．解：(1)不正确.MN与PQ是共线向量，则直线MN与PQ可能重合，也可能平行，则P，Q，M，N四点不一定共线．(2)不正确．共线的向量始点不同，但终点却可能相同．如图中的AC和BC共线，它们始点不同，但终点相同．(3)不正确．两个向量只要长度相等、方向相同就是相等的向量，和始点、终点的位置无关．(4)正确.AB与BA的长度均为线段AB的长度．10．解：由于A 1，A2，A3，…，A8是O上的八个等分点，所以八边形A1A2A3…A8是正八边形，正八边形的边及对角线长均与O 的半径不相等．所以模等于半径的向量只可能是i OA 与i AO (i ＝1,2，…，8)两类．一类是i OA (i ＝1,2，…，8)，共8个；另一类是i AO (i ＝1,2，…，8)，也有8个．两类合计16个．O 所以考虑与圆心O 形成90°圆心角的两点为端点的向量个数．以A 1，A 2，A 3，…，A 8为顶点的O 的内接正方形有两个，一个是正方形A 1A 3A 5A 7；另一个是正方形A 2A 4A 6A 8.在题中所述的向量中，只有这两个正方形的边(看成有向线段，每一边对应两个向量)4×2×2＝16(个)．。
2016高中数学人教B版必修四211《向量的概念》双基达标练
错误!1、下列量不就是向量的就是（）、A、力B、速度C、质量D、加速度解析质量只有大小，没有方向,不就是向量、答案 C2、下列说法错误的就是（)、A、向量AB，→与错误!的长度相等B、两个相等的向量若起点相同,则终点必相同C、只有零向量的模等于0D、零向量没有方向解析零向量的方向就是任意的，不能理解为没有方向、答案 D3、设O为坐标原点,且｜OM，→|＝1，则动点M的集合就是（）、A、一条线段B、一个圆面C、一个圆D、一个圆弧解析动点M到原点O的距离等于定长1，故动点M的轨迹就是以O为圆心，1为半径的圆、答案 C4、若对任意向量b,均有a∥b,则a为________、解析0与任意向量平行，故a＝0、答案05、如图所示,四边形ABCD与四边形ABDE都就是平行四边形、（1）与向量错误!相等的向量有________;（2）若｜错误!｜＝3,则向量错误!的模等于________、解析 由题意知AB ∥EC ，且D 就是EC 的中点、与向量ED →相等的向量有错误!，错误!、由于|错误!|＝3，所以｜错误!|＝6、答案 (1）错误!，错误! （2)66、在四边形ABCD 中，错误!＝错误!，N ，M 就是AD ,BC 上的点，且DN ＝MB 、求证:错误!＝错误!、证明 ∵错误!＝错误!，∴|错误!|＝|错误!|且AB ∥DC ，∴四边形ABCD 就是平行四边形∴CB ＝DA ，∵DN ＝MB ，∴CM ＝NA ，又∵CM ∥NA ，∴四边形CNAM 就是平行四边形，∴CN 綉MA ,又错误!与错误!方向相同，∴错误!＝错误!、综合提高 (限时25分钟)7、下列命题：(1）若a 就是单位向量，b 也就是单位向量,则a 与b 的方向相同或相反;（2）若向量错误!就是单位向量，则向量错误!也就是单位向量;(3)以坐标平面上的定点A 为起点，所有单位向量的终点P 的集合就是以A 为圆心的单位圆、其中正确的个数为（ ）、 A 、0B 、1C 、2D 、3解析 由单位向量的定义知，凡长度为1的向量均称为单位向量，对方向没有任何要求，故（1）不正确；因为|AB ，→|＝｜错误!|, 所以当错误!就是单位向量时,错误!也就是单位向量，故(2)正确；由于向量错误!就是单位向量，故｜错误!｜＝1,所以点P 就是以A 为圆心的单位圆上的一点、反过来，若点P 就是以A 为圆心的单位圆上的任意一点，则由于|错误!｜＝1，所以向量错误!就是单位向量，故（3)正确、答案 C8、下列命题不正确的就是（）、A、零向量没有方向B、零向量只与零向量相等C、零向量的模为0D、零向量与任何向量共线解析零向量就是有方向的，它的方向可以就是任意的,故选A、答案 A9、给出下列四个条件:①a＝b；②|a|＝｜b|;③a与b方向相反；④|a|＝0或|b|＝0、其中能使a∥b成立的条件就是________、解析因为a＝b⇒a∥b，即①能够使a∥b成立;由于|a｜＝|b|并没有确定a 与b的方向,即②不能够使a∥b成立；因为a与b方向相反时,a∥b,即③能够使a∥b成立；因为零向量与任意向量共线,所以｜a｜＝0或｜b|＝0时,a∥b能够成立、故使a∥b成立的条件就是①③④、答案①③④10、给出下列命题:①｜错误!|＝｜错误!｜；②若a与b方向相反，则a∥b；③若错误!、错误!就是共线向量，则A、B、C、D四点共线;④有向线段就是向量，向量就就是有向线段；基中所有真命题的序号就是________、解析共线向量指方向相同或相反的向量，向量错误!、错误!就是共线向量，也可能有AB∥CD，故③就是假命题,向量可以用有向线段表示，不能说“有向线段就是向量,向量就就是有向线段”,比如0不能用有向线段表示,另外，向量有大小、方向两个要素，而有向线段有起点、方向、长度三个要素，故④就是假命题、答案①②11、已知直线l：y＝x－错误!,点A错误!,B（x，y）就是直线l上的两点、(1）若错误!为零向量，求x,y的值;(2）若错误!为单位向量，求x,y的值、解(1）当错误!为零向量时，点B到点A重合，此时x＝0，y＝－错误!、（2）当错误!为单位向量时,|错误!｜＝1,即A与B两点的距离为1，所以错误!＝1,即x2＋错误!2＝1,将y＝x－错误!代入得，2x2＝1,所以x＝错误!，y＝0或x＝－错误!，y＝－错误!、12、（创新拓展）一艘海上巡逻艇从港口向北航行了30 n mile，这时接到求救信号，在巡逻艇的正东方向40 n mile有一艘渔船抛锚需救助、试求：(1）巡逻艇从港口出发到渔船出事点所航行的路程;(2)巡逻艇从港口出发到渔船出事点之间的位移、解(1）如图由于路程不就是向量,与方向无关，所以其总的路程为巡逻艇两次路程的与,即为AB＋BC＝70(n mile)、(2)巡逻艇从港口出发到渔船出事点之间的位移就是向量，不仅有大小而且有方向，因而大小为｜AC，→｜＝错误!＝50（n mile），由于sin∠BAC＝错误!，故方向为北偏东53°、。
人教B版高中数学必修四高一同步训练：2.1.1向量的概念
高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）第二章平面向量§2.1向量的线性运算2．1.1向量的概念一、基础过关1．下列条件中能得到a＝b的是() A．|a|＝|b| B．a与b的方向相同C．a＝0，b为任意向量D．a＝0且b＝02．下列说法正确的是() A．方向相同的向量叫相等向量B．零向量是没有方向的向量C．共线向量不一定相等D．平行向量方向相同3．命题“若a∥b，b∥c，则a∥c”() A．总成立B．当a≠0时成立C．当b≠0时成立D．当c≠0时成立4．下列各命题中，正确的命题为() A．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同B．模为0的向量与任一向量平行C ．向量就是有向线段D ．|a |＝|b |⇒a ＝b 5． 下列说法正确的是( )A ．向量AB →∥CD →就是AB →所在的直线平行于CD →所在的直线 B ．长度相等的向量叫做相等向量 C ．零向量长度等于0D ．共线向量是在一条直线上的向量6． 给出以下5个条件：①a ＝b ；②|a |＝|b |；③a 与b 的方向相反；④|a |＝0或|b |＝0；⑤a与b 都是单位向量．其中能使a ∥b 成立的是________．(填序号) 7． 在四边形ABCD 中，AB →＝DC →且|AB →|＝|AD →|，则四边形的形状为________．8． 如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .(1)与a 的模相等的向量有多少个？(2)与a 的长度相等，方向相反的向量有哪些？ (3)与a 共线的向量有哪些？(4)请一一列出与a ，b ，c 相等的向量． 二、能力提升9． 下列各种情况中，向量的终点在平面内各构成什么图形．①把所有单位向量移到同一起点；②把平行于某一直线的所有单位向量移到同一起点； ③把平行于某一直线的一切向量移到同一起点． ①__________；②____________；③____________.10．如图所示，在梯形ABCD 中，若E 、F 分别为腰AB 、DC 的三等分点，且|AD →|＝2，|BC→|＝5，求|EF →|.11．一辆消防车从A 地去B 地执行任务，先从A 地向北偏东30°方向行驶2千米到D 地，然后从D 地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C 地， 从C 地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B 地． (1)在如图所示的坐标系中画出AD →，DC →，CB →，AB →； (2)求B 地相对于A 地的位置向量．12．如图平面图形中，已知AA ′→＝BB ′→＝CC ′→.求证：(1)△ABC ≌△A ′B ′C ′； (2)AB →＝A ′B ′→，AC →＝A ′C ′→.三、探究与拓展13．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2BC ＝2，M 、N 分别为AB 和CD 的中点，在以A 、B 、C 、D 、M 、N 为起点和终点的所有向量中，回答下 列问题：(1)与向量AD →相等的向量有哪些？向量AD →的相反向量有哪些？ (2)与向量AM →相等的向量有哪些？向量AM →的相反向量有哪些？ (3)在模为2的向量中，相等的向量有几对？ (4)在模为1的向量中，相等的向量有几对？答案1．D 2.C 3.C 4.B 5.C 6.①③④ 7.菱形 8．解 (1)与a 的模相等的向量有23个．(2)与a 的长度相等且方向相反的向量有OD →，BC →，AO →，FE →. (3)与a 共线的向量有EF →，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，AD →.(4)与a 相等的向量有EF →，DO →，CB →；与b 相等的向量有DC →，EO →，F A →；与c 相等的向量有FO →，ED →，AB →.9．单位圆 相距为2的两个点 一条直线10．解 过D 作DH ∥AB ，分别交EF 、BC 于点G 、H ，∵|AD →|＝2，∴|EG →|＝|BH →|＝2. 又|BC →|＝5，∴|HC →|＝3.又E 、F 分别为腰AB 、DC 的三等分点． ∴G 为DH 的三等分点， ∴GF →∥HC →且|GF →|＝13|HC →|，∴|GF →|＝1，∴|EF →|＝|EG →|＋|GF →| ＝2＋1＝3.11．解 (1)向量AD →，DC →，CB →，AB →如图所示．(2)由题意知AD →＝BC →，∴AD 綊BC ，则四边形ABCD 为平行四边形，∴AB →＝DC →，则B 地相对于A 地的位置向量为“北偏东60°，6千米”． 12．证明 (1)∵AA ′→＝BB ′→，∴|AA ′→|＝|BB ′→|，且AA ′→∥BB ′→.又∵A 不在BB ′→上，∴AA ′∥BB ′. ∴四边形AA ′B ′B 是平行四边形． ∴|AB →|＝|A ′B ′→|.同理|AC →|＝|A ′C ′→|，|BC →|＝|B ′C ′→|. ∴△ABC ≌△A ′B ′C ′.(2)∵四边形AA ′B ′B 是平行四边形， ∴AB →∥A ′B ′→，且|AB →|＝|A ′B ′→|. ∴AB →＝A ′B ′→.同理可证AC →＝A ′C ′→. 13．解 (1)与AD →相等的向量有：MN →，BC →；与向量AD →相反的向量有：DA →，NM →，CB →. (2)与AM →相等的向量有：MB →，DN →，NC →； 与向量AM →相反的向量有：MA →，BM →，ND →，CN →.(3)在模为2的向量中，相等的向量有：AN →与MC →，DM →与NB →，NA →与CM →，MD →与BN →，共4对．(4)在模为1的向量中，相等的向量有18对．其中与AD →同向的有3对，与AD →反向的有3对，与AM →同向的有6对，与AM →反向的有6对，共18对．。
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第二章2、12、1、1
一、选择题
1、把平面上一切单位向量平移到共同始点，那么这些向量的终点构成的图形就是(）
A、一条线段
B、一段圆弧
C、两个孤立的点
D、一个圆
[答案］ D
[解析]图形就是一个以始点为圆心，以1为半径的圆、
2、把所有相等的向量平移到同一起点后,这些向量的终点将落在()
A、同一个圆上
B、同一个点上
C、同一条直线上
D、以上都有可能
[答案］ B
[解析］由相等向量的定义知B正确、
3、如图,在菱形ABCD中,可以用同一条有向线段表示的向量就是（)
A、错误!与错误!
B、错误!与错误!
C、错误!与错误!
D、错误!与错误!
[答案] B
[解析]因为向量只与大小与方向有关,与起点位置无关,从而起点可以在任意位置、该题只需考虑长度相等且方向相同即可，显然只有B符合要求、
4、在下列判断中，正确的就是（）
①长度为0的向量都就是零向量;
②零向量的方向都就是相同的；
③单位向量的长度都相等;
④单位向量都就是同方向;
⑤任意向量与零向量都共线、
A、①②③
B、②③④
C、①②⑤
D、①③⑤
［答案］ D
[解析]由定义知①正确，②由于两个零向量就是平行的，但不能确定就是否同向,也不能确定就是哪个具体方向,故不正确、显然,③、⑤正确，④不正确，所以答案就是D、
5、已知A＝｛与a共线的向量},B＝{与a长度相等的向量｝,C＝{与a长度相等、方向相反的向量｝，其中a为非零向量，则下列各项中错误的就是（)
A、C A
B、A∩B＝｛a}
C、C B
D、A∩B｛a｝
［答案］ B
[解析］由题意可知,C A,C B，{a}A∩B,故选项B就是错误的、
6、四边形ABCD中,若错误!与错误!就是共线向量,则四边形ABCD就是（）
A、平行四边形
B、梯形
C、平行四边形或梯形
D、不就是平行四边形也不就是梯形
［答案］ C
［解析]因为错误!与错误!为共线向量,所以错误!∥错误!,但|错误!|与｜错误!｜可能相等,也可能不相等、
二、填空题
7、若D、E、F分别就是△ABC的三边AB、BC、AC的中点,则与向量错误!相等的向量为________、
[答案]错误!、错误!
［解析］三角形的中位线平行且等于底边的一半,错误!＝错误!错误!＝错误!＝错误!、
8、等腰梯形ABCD两腰上的向量错误!与错误!的关系就是________、
［答案]｜错误!|＝｜错误!｜
[解析］由等腰梯形可知,两腰长度相等,故两腰上的向量错误!与错误!满足|错误!｜＝｜错误!|、
三、解答题
9、某人从A点出发,向东走到B点，然后,再向正北方向走了60 m到达C点、已知｜错误!｜＝120 m,求错误!的方向与A、B的距离、
［解析]依题意，在Rt△ABC中,∠BAC＝30°,
→｜＝1202－602＝60错误!（m)、
|AB，
所以错误!的方向就是A点的东偏北30°,|错误!｜＝60错误!、
10、在直角坐标系中画出下列向量、
（1)｜a｜＝2，a的方向与x轴正方向的夹角为60°,与y轴正方向的夹角为30°；(2)｜a｜＝4,a的方向与x轴正方向的夹角为30°,与y轴正方向的夹角为120°;
（3）｜a|＝4错误!，a的方向与x轴正方向的夹角为135°,与y轴正方向的夹角为135°、[解析]（1）如图所示、
（2)如图所示、
（3)如图所示、
一、选择题
1、若a为任一非零向量,b为其单位向量，下列各式:
①|a|>｜b|;②a∥b；③｜a|>0;④|b｜＝±1;⑤错误!＝b、
其中正确的就是(）
A、①④⑤
B、③
C、①②③⑤
D、②③⑤
[答案］ D
［解析］｜a｜与|b|大小关系不能确定，故①错，a与其单位向量平行②正确、a≠0，∴|a｜〉0，③正确、｜b｜＝1，故④错、由定义知⑤正确、
2、如图四边形ABCD、CEFG、CGHD都就是全等的菱形,则下列关系不一定成立的就是(）
A、|错误!|＝|错误!|
B、错误!与错误!共线
C、错误!＝错误!
D、错误!与错误!共线
［答案] C
[解析］当ABCD与其她两个菱形不共面时,BD与EH异面,故选C、
3、若|错误!|＝｜错误!｜,且错误!＝错误!,则四边形ABCD的形状为()
A、正方形
B、菱形
C、矩形
D、等腰梯形
［答案］ B
[解析]∵四边形ABCD中,错误!＝错误!，∴AB∥CD,且|错误!|＝|错误!|，∴四边形ABCD 为平行四边形,
又∵|错误!|＝|错误!|，∴四边形ABCD为菱形、
4、如图所示，在菱形ABCD中,∠BAD＝120°，则下列说法中错误的就是（)
A、图中所标出的向量中与错误!相等的向量只有1个（不含错误!本身)
B、图中所标出的向量中与错误!的模相等的向量有4个（不含错误!本身）
C、错误!的长度恰为错误!长度的错误!倍
D、错误!与错误!不共线
[答案］ D
［解析］易知△ABC与△ACD均为正三角形、对于A，向量错误!＝错误!;
对于B，|错误!|＝|错误!｜＝｜错误!|＝|错误!|＝｜错误!|;
对于C，△BAD就是顶角为120°的等腰三角形，则｜错误!|＝错误!｜错误!|;
对于D,错误!∥错误!成立,故D就是错误的、
二、填空题
5、如图所示,如果小正方形的边长为1,则|错误!｜＝________，|错误!|＝________，|错误!｜＝________、
[答案］3错误!错误!2错误!
［解析］|错误!|＝错误!＝3错误!,
|错误!|＝错误!＝错误!,
｜EF→|＝22＋22＝22、
6、给出下列命题：
①若｜a|＝|b｜,则a＝b;②若a＝b，则a∥b；③若a∥b,则a＝b、
其中正确命题的序号就是________、
[答案]②
［解析］在讨论向量共线的问题时,要考虑方向、长度、位置,尤其不能忘记对零向量的讨论、
对于①,两个向量的模相等，但方向却不一定相同,故①错误、
对于②，a＝b，则a与b同向,∴a∥b,故②正确、
对于③，|a｜与｜b|不一定相等，a与b的方向也不一定相同，故a＝b不一定成立,故③错误、
三、解答题
7、如图所示,O为正方形ABCD对角线的交点,四边形OAED，OCFB都就是正方形、在图中所示的向量中：
(1）分别写出错误!,错误!相等的向量;
(2）写出与错误!共线的向量；
(3)写出与错误!的模相等的向量;
(4）向量错误!与错误!就是否相等？
［解析］(1)错误!＝错误!,错误!＝错误!、
(2)与错误!共线的向量为：错误!,错误!，错误!、
（3）|AO→|＝｜错误!|＝|错误!｜＝|错误!|＝|错误!|＝|错误!|＝|错误!｜＝|错误!｜、
（4)不相等、
8、一位模型赛车手摇控一辆赛车，沿直线向正东方向前行1 m,逆时针方向旋转α度,继续沿直线向前行进1 m,再逆时针旋转α度，按此方法继续操作下去、
（1）按1100的比例作图说明当α＝60°时,操作几次赛车的位移为零、
（2）按此法操作使赛车能回到出发点,α应满足什么条件?请写出其中两个、
［解析]（1）如图所示,操作6次赛车的位移为零、
（2)要使赛车能回到出发点,只需赛车的位移为零;按(1）的方式作图,则所作图形就是内角为180°－α的正多边形,故有n(180°－α)＝（n－2）·180°,所以n＝错误!（n为不小于3的整数)，即α应为360°的约数,如α＝30°,则n＝12，即操作12次可回到起点；又α＝15°,则n ＝24，即操作24次可回到起点、
9、如图所示,在△ABC中，D、E、F分别就是AB、BC、CA边上的点,已知错误!＝错误!，错误!＝错误!，试推断向量错误!与错误!就是否为相等向量，说明您的理由、
[解析]∵错误!＝错误!,∴｜错误!|＝|错误!｜,从而D就是AB的中点、
∵错误!＝错误!,∴错误!与错误!就是平行向量，从而DF∥BE，即DF∥BC、∴F就是AC 的中点、
由三角形中位线定理知,DF＝错误!BC,
又|错误!｜＝|错误!｜，即DF＝BE，从而E为BC的中点、
于就是DE∥AC，且DE＝错误!AC、∴DE綊AF，故错误!＝错误!、
∵F就是AC的中点，∴AF＝错误!AC,。