1.2空间点阵

( ( (
) ) )
原胞的体积
1 3 = a1 ⋅ a2 ×a3 = a 4
(
)
例：体心立方
ak
平均每个晶胞包含 个格点。 平均每个晶胞包含2个格点。 晶胞的体积: 晶胞的体积:
a1
a2
aj
ai
a3
V = a ⋅ b×c = a
( )
(
3
a a1 = − i + j + k 2 a a2 = i − j + k 2 a a3 = i + j − k 2
v v v 基矢： 表示。 基矢：结晶学原胞的基矢一般用 a, b, c 表示。
晶胞体积： 晶胞体积：
V = a ⋅ b× c = n
( )
例：面心立方 平均每个晶胞包含 个格点。 平均每个晶胞包含4个格点。
ak
a1
aj
晶胞的体积: 晶胞的体积:
a2 a3
ai
V = a ⋅ (b×c) = a
3
a a1 = j+ k 2 a a2 = i+ k 2 a a3 = i+ j 2
§2
空间点阵
(a)
(b)
(c)
(a)、(b)、(c)为二维晶体结构示意图，它们有何异同 ) ) )为二维晶体结构示意图，它们有何异同?
(a) )
(b) )
(c) )
一、晶体与基元
一个理想的晶体是由完全相同的原子团（或分子、原子） 一个理想的晶体是由完全相同的原子团（或分子、原子）— 完全相同的原子团 基本结构单元在空间周期性重复排列而成的。 基本结构单元在空间周期性重复排列而成的。 周期性重复排列而成的 构成晶体的完全相同的基本结构单元（原子团、 构成晶体的完全相同的基本结构单元（原子团、分子或原 完全相同 ）、两个 子），称为基元。基元可以是一个原子（铜、金、银）、两个 ），称为基元 基元可以是一个原子（ 称为基元。 以上原子（氯化钠、硫化锌、金刚石），无机晶体可达100， 以上原子（氯化钠、硫化锌、金刚石），无机晶体可达100，化 ），无机晶体可达100 合物1000，蛋白质10000。 合物1000，蛋白质10000。 1000 10000
例子：下列晶格中哪些是简单晶格？ 例子：下列晶格中哪些是简单晶格？
c
c
四、原胞与晶胞
（1）原胞 在晶格中取一个格点为顶点 一个格点为顶点， 在晶格中取一个格点为顶点，以三个不共面的基矢方向上的 作为重复单元， 周期为边长形成的平行六面体作为重复单元 周期为边长形成的平行六面体作为重复单元，这个平行六面体沿 三个不同的方向进行周期性平移，就可以充满整个晶格， 三个不同的方向进行周期性平移，就可以充满整个晶格，形成晶 原胞 体，这个平行六面体即为原胞（固体物理学原胞，初级原胞）， 这个平行六面体即为原胞（固体物理学原胞，初级原胞） 代表原胞三个边的矢量称为原胞的基本平移矢量，简称基矢。 代表原胞三个边的矢量称为原胞的基本平移矢量，简称基矢。 基本平移矢量 基矢
二、格点、空间点阵与晶格 格点、
(a)
(b)
(c)
为了研究晶体的周期结构， 为了研究晶体的周期结构，用数学上的几何点来代表基元的 位置，得到空间点阵。几何点称为空间点阵的格点（结点） 位置，得到空间点阵。几何点称为空间点阵的格点（结点）。 空间点阵 格点 一个格点代表一个基元，它可以代表基元重心的位置， 一个格点代表一个基元，它可以代表基元重心的位置，也可 以代表基元中任意的点子。 以代表基元中任意的点子。通过这些格点做三组不共面的平行直 线族，形成一些网格，称为晶格( 线族，形成一些网格，称为晶格(或者说这些点在空间周期性排 晶格 晶格) 列形成的骨架称为晶格 列形成的骨架称为晶格)。
( ( (
)
原胞的体积
) )
1 3 = a1 ⋅ a2 ×a3 = a 2
)
(3)维格纳--塞茨原胞（ 原胞） (3)维格纳--塞茨原胞（ WS原胞） 维格纳--塞茨原胞 原胞 构造：以一个格点为原点，作原点与其它格点连接的中垂面 构造：以一个格点为原点，作原点与其它格点连接的中垂面 (或中垂线)，由这些中垂面(或中垂线)所围成的最小体积(或面 或中垂线) 由这些中垂面(或中垂线)所围成的最小体积( 积)即为WS原胞。 即为 原 特点：它是晶体体积的最小重复单元，每个原胞只包含 个 特点：它是晶体体积的最小重复单元，每个原胞只包含1个 格点。它与对应的晶胞具有完全相同的对称性。 格点。它与对应的晶胞具有完全相同的对称性。
原胞的体积
1 3 = a1 ⋅ a2 ×a3 = a 4
(
)
（2）晶胞（结晶学原胞，布拉维原胞，单胞） ）晶胞（结晶学原胞，布拉维原胞，单胞） 构造：使三个基矢的方向尽可能地沿着空间对称轴的方 构造：使三个基矢的方向尽可能地沿着空间对称轴的方 对称轴 向，它具有明显的对称性和周期性。 它具有明显的对称性和周期性。 特点：结晶学原胞不仅在平行六面体顶角上有格点， 特点：结晶学原胞不仅在平行六面体顶角上有格点，面上 及内部亦可有格点。其体积是原胞体积的整数倍。 及内部亦可有格点。其体积是原胞体积的整数倍。 整数倍
c
c
基元是晶体结构中最小的重复单元，基元在空间周期性重 基元是晶体结构中最小的重复单元， 最小的重复单元 复排列就形成晶体结构。 复排列就形成晶体结构。 完全相同 任何两个基元中相应原子周围的情况是完全相同的 任何两个基元中相应原子周围的情况是完全相同的—— 化学性质、几何环境， 化学性质、几何环境，而每一个基元中不同原子周围情况则 不相同。 不相同。
三、简单晶格（布拉维晶格）和复式晶格 简单晶格（布拉维晶格）
(1)简单晶格（布拉维晶格） (1)简单晶格（布拉维晶格） 简单晶格 如果晶体由完全相同的一种原子组成， 如果晶体由完全相同的一种原子组成，且基元中仅含一个 原子（每个原子周围的情况完全相同），则这种原子所组成的 原子（每个原子周围的情况完全相同） 晶格称为简单晶格（布拉维晶格）。 格称为简单晶格（布拉维晶格） 简单晶格 晶格 格点的总体称为布拉维晶格，这种格子的特点是每点周围 格点的总体称为布拉维晶格，这种格子的特点是每点周围 布拉维晶格 的情况完全相同。 的情况完全相同 (2) 复式晶格 如果晶体由两种或两种以上原子组成， 如果晶体由两种或两种以上原子组成，同种原子构成一个 布拉维晶格，它们相对位移而形成复式晶格。 布拉维晶格，它们相对位移而形成复式晶格。 晶格 复式晶格
(
)
例：求下列晶格中的原胞。 求下列晶格中的原胞。
v a2
v a1
v a2 v a2
v a1
v a1
v a2
v a1
c
b
ak
a
a1 = ai a2 = a j a3 = ak
a1
aj
a2 a3
ai
a a1 = j+ k 2 a a2 = i+ k 2 a a3 = i+ j 2
( ( (
) ) )
v v a3 a2
v v v v Rn = n1a1 + n2 a2 + n3 a3
v a1
特点：格点只在平行六面体的顶角上， 特点：格点只在平行六面体的顶角上，面上和内部均无格 个格点。 是晶格的最小重复单元 最小重复单元， 平均每个原胞包含 个格点 点，平均每个原胞包含1个格点。它是晶格的最小重复单元，反 映了晶体结构的周期性。 映了晶体结构的周期性。 基矢： 表示。 基矢：原胞基矢通常用 a1 , a2 , a3 表示。 原胞体积： 原胞体积：
v a2 v a1 v v a2 a 2
v a1
用格矢 Rn = n1 a1 + n2 a 2 + n3 a 3 ( n1 , n2 , n3取整数 ) 表示格点 的排列。 的排列。 晶体结构=晶格（点阵） 晶体结构=晶格（点阵）+基元 晶格或点阵是晶体结构周期性的数学抽象， 晶格或点阵是晶体结构周期性的数学抽象，它忽略了晶体结 构的具体内容，保留了晶体结构的周期性。 构的具体内容，保留了晶体结构的周期性。
维格纳--塞茨原胞 维格纳--塞茨原胞 --
十二面体
截角八面体
维格纳--塞茨原胞（ 原胞） 维格纳--塞茨原胞（ WS原胞） --塞茨原胞 原胞
十二面体
截角八面体
= a1 ⋅ a2 ×a3
(
)
例：体心立方 （例：Li，Na，K，Rb，Cs) ， ， ， ，
ak
a1
a2
aj
ai
a3
a a1 = − i + j + k 2 a a2 = i − j + k 2 a a3 = i + j − k 2
( ( (
)
原胞的体积： 原胞பைடு நூலகம்体积：
) )
1 3 = a1 ⋅ a2 ×a3 = a 2