因式分解的四种方法(习题及答案)

合集下载

初中数学因式分解的常用方法(精华例题详解)

练习 9、分解因式：（1）15x2 + 7xy − 4y 2
（2） a2 x2 − 6ax + 8
综合练习 10、（1） 8x6 − 7x3 −1 （3） (x + y)2 − 3(x + y) −10
（2）12x2 −11xy −15y2 （4） (a + b)2 − 4a − 4b + 3
（5） x2 y 2 − 5x2 y − 6x2
分析：将 b 看成常数，把原多项式看成关于 a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
1
8b
1
-16b
8b+(-16b)= -8b
解： a2 − 8ab −128b2 = a2 + [8b + (−16b)]a + 8b (−16b)
= (a + 8b)(a −16b)
练习 8、分解因式(1) x2 − 3xy + 2y 2 (2) m2 − 6mn + 8n2 (3) a2 − ab − 6b2
-1+2=1
= −[10y2 + (3x − 9) y − (x −1)(x + 2)]
2
(x-1)
= −[2y + (x −1)][5y − (x + 2)]
5
-(x+2)
= − (2y + x −1)(5y − x − 2)
5(x-1)-2(x+2)=(3x-9)
练习 11、分解因式(1) x2 − y2 + 4x + 6y − 5 (2) x2 + xy − 2y2 − x + 7 y − 6
特点：（1）二次项系数是 1；

因式分解的四种方法(习题及答案)

因式分解的四种方法（习题）例题示范例1：2222(1)2(1)(1)x y x y y -+-+-【思路分析】考虑因式分解顺序的口诀“一提二套三分四查”，观察式子里面有公因式2(1)y -，先提取，然后再利用公式法因式分解，分解完后要查一下是否分解彻底．【过程书写】222(1)(21)(1)(1)(1)y x x y y x -++=+-+=解：原式巩固练习1. 下列从左到右的变形，是因式分解的是（）A ．232393x y z x z y =⋅B ．25(2)(3)1x x x x +-=-++C ．22()a b ab ab a b +=+D ．211x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ 2. 把代数式322363x x y xy -+因式分解，结果正确的是（）A ．(3)(3)x x y x y +-B ．223(2)x x xy y -+C ．(3)x x y -D ．23()x x y -3. 因式分解：（1）22363a b ab ab +-；（2）()()y x y y x ---；解：原式= 解：原式=（3）2441a a -+；（4）256x x -+；解：原式= 解：原式=（5）2168()()x y x y --+-；（6）41x -；解：原式= 解：原式=（7）222(1)4a a +-；（8）25210ab bc a ac --+；解：原式= 解：原式=（9）223(2)3m x y mn --；（10）2ab ac bc b -+-；解：原式=解：原式=（11）2222a b a b -++；（12）2(2)(4)4x x x +++-；解：原式=解：原式=（13）321a a a +--；（14）2244a a b -+-；解：原式=解：原式=（15）222221a ab b a b ++--+；解：原式=（16）228x x --；（17）226a ab b --；解：原式= 解：原式=（18）2231x x -+；（19）32412x x x --；解：原式= 解：原式=（20）2()()2x y x y +++-；（21）(1)(2)6x x ---．解：原式= 解：原式=思考小结在进行因式分解时，要观察式子特征，根据特征选择合适的方法：①若多项式各项都含有相同的因数或相同的字母，首先考虑__________________．②若多项式只含有符号相反的两项，且两项都能写成一个单项式的平方，则考虑利用____________________进行因式分解．③若多项式为二次三项式的结构，则通常要考虑____________或_______________．④若多项式项数较多，则考虑_______________．【参考答案】巩固练习1. C2. D3.（1）3ab(a+2b-1)（2）(x-y)(y+1)（3）2a-(21)（4）(x-2)(x-3)（5）2(4)-+x y（6）2-++(1)(1)(1)x x x（7）22a a-+(1)(1)（8）(b-2a)(a-5c)（9）3m(2x-y-n)(2x-y+n)（10）(b-c)(a-b)（11）(a+b)(a-b+2)（12）2(x+1)(x+2)（13）2+-(1)(1)a a（14）(a-2-b)(a-2+b)（15）2+-(1)a b（16）(x-4)(x+2)（17）(a-3b)(a+2b)（18）(2x-1)(x-1)（19）x(x+2)(x-6)（20）(x+y-1)(x+y+2)（21）(x+1)(x-4)思考小结①提公因式②平方差公式③完全平方公式，十字相乘法④分组分解法。

初中数学：因式分解有哪些方法？十字相乘法因式分解4道例题全解

初中数学：因式分解有哪些方法？十字相乘法因式分解4道例题全解因式分解方法步骤：①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。

也可以用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式。

十字相乘试一试，分组分解要相对合适。

”分组分解法分组分解是分解因式的一种简洁的方法，下面是这个方法的详细讲解。

能分组分解的多项式有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。

比如：ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)我们把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了困难。

同样，这道题也可以这样做。

ax+ay+bx+by=x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y)几道例题：1．5ax+5bx+3ay+3by解法：原式=5x(a+b)+3y(a+b)=(5x+3y)(a+b)说明：系数不一样一样可以做分组分解，和上面一样，把5ax和5bx看成整体，把3ay和3by看成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。

2．x2-x-y2-y解法：原式=(x2-y2)-(x+y)=(x+y)(x-y)-(x+y)=(x+y)(x-y-1)利用二二分法，再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b)，然后相合解决。

三一分法，例：a2-b2-2bc-c2原式=a2-(b+c)2=(a-b-c)(a+b+c)十字相乘法十字相乘法在解题时是一个很好用的方法，也很简单。

这种方法有两种情况。

①x2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。

因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ．例1：x2-2x-8=(x-4)(x+2)②kx2+mx+n型的式子的因式分解如果有k=ab，n=cd，且有ad+bc=m时，那么kx2+mx+n=(ax+c)(bx+d)．例2：分解7x2-19x-6图示如下：a=7 b=1 c=2 d=-3因为-3×7=-21，1×2=2，且-21+2=-19，所以，原式=(7x+2)(x-3)．十字相乘法口诀：分二次项，分常数项，交叉相乘求和得一次项。

因式分解的常用方法及练习题

因式分解的常用方法一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）平方差公式：(a+b)(a -b) = a 2-b 2(2) 完全平方公式：(a ±b)2= a 2±2ab+b 2(3) 立方和公式：a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)(4) 立方差公式：a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2) （5）完全立方公式：(a±b)³＝a ³±3a ²b ＋3ab ²±b ³ 下面再补充两个常用的公式： (6)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(7)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca)；三、十字相乘法.（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式：))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。

特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。

例5、分解因式：652++x x 672+-x x练习5、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x练习6、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102--x x（二）二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2条件：（1）21a a a = 1a 1c（2）21c c c = 2a 2c （3）1221c a c a b += 1221c a c a b += 分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例7、分解因式：101132+-x x练习7、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x（3）317102+-x x （4）101162++-y y（三）二次项系数为1的齐次多项式例8、分解因式：221288b ab a --分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。

初中因式分解练习题过程及答案

初中因式分解练习题过程及答案初中因式分解练习题过程及答案一定要记住的公式大全：平方差公式：a -b =；完全平方公式：a ±2ab＋b ＝的平方和的形式，另一项是这两个数的积的2倍。

立方和公式：a +b =；立方差公式：a -b =；完全立方公式：a ±3a b＋3ab ±b = ．公式：a+b+c-3abc=*十字相乘法初步公式：x +x+pq= ．*十字相乘法通用公式：如果有k=ac，n=bd，且有ad+bc=m时，那么kx +mx+n=．因式分解方法：方法一：分组分解法步骤类型一分组后能直接提取公因式1.分组后能直接提取公因式2.提完公因式之后，每组之间应该还可以提公因式。

类型二分组后能直接运用上面的公式方法二：十字相乘法.二次项系数为1的二次三项式类型一直接利用公式——x?x?pq?进行分解。

类型二**十字相乘法通用公式：如果有k=ac，n=bd，且有ad+bc=m时，那么kx +mx+n=．总结：不管用什么方法，最后的结果都是由多个因式相乘了，因此，当自己解完题后不是因式相乘了，那么应该反回去再检察题目，看看能不能用其他的方法来解决该题目。

因式分解练习练习一分组分解法类型一1.am?an?bm?bn.2ax?10ay?5by?bx223.x?y?ax?ay .xy?x?y?1练习二分组分解法类型二5.x2?y2?ax?ay .a?2ab?b?c7.x2?x?9y2?3y. x2?y2?z2?2yz22练习三十字相乘法9.x2?5x?611.3x2?11x?101.5x2y?15x3y2?20x2y33.32x3y4?2x35.a2-b2-2b-17.a6-10a3+1610.x2?7x?612.2x2?7xy?6y综合练习2.?3x2y?12x2yz?9x3y24.2?12z?36z26.2-1-2c+c.x3?y3?x2 ?xy?y2答案：1.2.或3.4.56. .?x?3y?1?8.9. 10. 11. 综合练习答案222325xy?3xy2x. .1.4.2.8..a-b-c+1) .因式分解单元测试题及答案2一、选择题1、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是A、?a?3??a?3??a2?9B、a2?b2??a?b??a?b?C、a2?4a?5?a?a?4??D、m2?2m?3?m?3??m?2?m??2、下列各式的分解因式：①100p2?25q2??10?5q??10?5q?2②?4m2?n22m?n??2m?n?③x2?6??x?3??x?2?④?x2?x?14? ??1??x?2?其中正确的个数有A、0B、1C、D、33、下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是A、?x?y??y?x??4xyB、a22ab?4b2C、4m2?m?14D、?a?b?22a?2b?1、当n是整数时，?2n?1?22n?1?2是A、2的倍数B、4的倍数C、6的倍数D、8的倍数5、设M?13a?a?1??a?2?,N?13a?a?1??a?1?，那么M?N等于A、a2?aB、?a?1??a?2?C、1113a2?3aD、3?a?1??a?2?6、已知正方形的面积是?16?8x?x2?cm2，则正方形的周长是A、?4?x?cmB、?x?4?cmC、?16?4x?cmD、?4x?16?cm7、若多项式?2x?n81能分解成?4x29??2x?3??2x?3?，那么n=A、2B、4C、D、88、已知2481可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数分别是 A、61，6B、61，C、63，6D、65，679、如图①，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形，把余下的部分剪拼成一个矩形，通过计算两个图形的面积，验证了一个等式，则这个等式是①② A、?a?2b??a?b??a2?ab?2bB、?a?b?2a2?2ab?bC、?a?b?2a2?2ab?bD、a2?b2??a?b??a?b? 10、三角形的三边a、b、c满足a2?b?c??b2c?b3?0，则这个三角形的形状是A、等腰三角形B、等边三角形C、直角三角形D、等腰直角三角形二、填空题1、利用分解因式计算：16.8?732?7.6?716=___________；1.222?9?1.332?4=__________；5×998+10=____________。

因式分解技巧及练习题附答案解析

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，根据因式分解的定义，即可得到本题的答案．
【详解】
A．属于整式的乘法运算，不合题意；
B．符合因式分解的定义，符合题意；
C．右边不是乘积的形式，不合题意；
D．右边不是几个整式的积的形式，不合题意；
15．下面的多项式中，能因式分解的是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
完全平方公式的考察，
【详解】
A、C、D都无法进行因式分解
B中，，可进行因式分解
故选：B
【点睛】
本题考查了公式法因式分解，常见的乘法公式有：平方差公式：
完全平方公式：
16．若多项式含有因式和，则的值为（）
【详解】
解：；
故选：A.
【点睛】
本题考查了利用提取公因式和平方差公式进行因式分解，熟练掌握是解题的关键.
9．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（）
A．8x2y3＝2x2⋅4y3B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1
C．3x﹣3y﹣1＝3（x﹣y）﹣1D．x2﹣8x+16＝（x﹣4）2
【答案】D
C．x2-4x+3=(x-2)2-1D．a2-b2=(a+b)(a-b)
【答案】D
【解析】
【分析】
把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解(也叫作分解因式).分解因式与整式乘法为相反变形.
【详解】
解：A.不是因式分解，而是整式的运算
B.不是因式分解，等式左边的x是取任意实数，而等式右边的x≠0

因式分解的四种方法

因式分解的四种方法
1. 因式分解法一：提取公因式法
这种方法适用于多项式中存在公共因式的情况。

首先，找出多项式中的公共因式，然后将其提取出来，在剩下的部分进行进一步的因式分解。

例如，对于多项式2x² + 4x，可以提取公因式2x，得到2x(x + 2)。

2. 因式分解法二：二次因式法
这种方法适用于多项式中存在二次因式的情况。

具体步骤是将多项式进行因式分解，将其表示为一个二次因式乘以一个一次因式的形式。

例如，对于多项式x² - 4，可以通过差平方公式进行因式分解，得到(x - 2)(x + 2)。

3. 因式分解法三：分组法
这种方法适用于多项式中存在四项以上的情况。

具体步骤是将多项式中的项进行分组，然后在每个组内因式分解，最后再进行合并。

例如，对于多项式x³ + 8y³ + 2xy² + 16y²，可以将其分为(x³ + 2xy²) + (8y³ + 16y²)，然后在每个组内因式分解，得到x(x² + 2y²) + 8y²(y + 2)，最后合并得到(x + 2y)(x² + 8y²)。

4. 因式分解法四：完全平方式
这种方法适用于多项式是平方差的形式。

具体步骤是将多项式表示为两个完全平方数的差，然后应用差平方公式进行因式分解。

例如，对于多项式x⁴ - 16，可以将其表示为(x²)² - 4²，然后应用差平方公式得到(x² - 4)(x² + 4)。

因式分解公式法练习题及答案

因式分解公式法练习题及答案一. 一元二次多项式因式分解1. 练习题1.将多项式4x2+12x+9进行因式分解。

2.对于多项式3x2+13x+12，找到它的两个因式。

2. 答案1.多项式4x2+12x+9可以因式分解为(2x+3)2。

2.多项式3x2+13x+12可以因式分解为(x+4)(3x+3)。

二. 因式分解与整式运算结合1. 练习题1.将多项式2x3−4x2+2x进行因式分解。

2.对于多项式(2x−1)2−(x−1)2，求它的因式分解形式。

2. 答案1.多项式2x3−4x2+2x可以因式分解为2x(x−1)2。

2.多项式(2x−1)2−(x−1)2可以因式分解为(x−1)(3x)。

三. 因式分解与方程1. 练习题1.解方程2x2+7x+3=0。

2.解方程x3−8=0。

2. 答案1.解方程2x2+7x+3=0的解为 $x = -\\frac{1}{2}, x = -3$。

2.解方程x3−8=0的解为x=2。

四. 多项式因式分解的应用1. 练习题1.某长方形的周长为14x+10，面积为4x2+6x+1，求长方形的长和宽。

2.某数的立方加上该数的平方再加上该数等于100，求该数。

2. 答案1.设长方形的长为l，宽为w，根据题意得出方程2(l+w)=14x+10和lw=4x2+6x+1。

将第一个方程变形为l+w=7x+5，将第二个方程变形为lw=(2x+1)(2x+1)。

由此，解得长方形的长为2x+1，宽为2x+1。

2.设数为n，根据题意可以列出方程n3+n2+n=100。

化简后可得n3+n2+n−100=0。

通过因式分解，我们可以将此方程写成(n−4)(n+ 5)(n+5)=0。

因此，解得该数为−5。

因式分解的四种基本方法(北师版)(含答案)

学生做题前请先回答以下问题问题1：提公因式法需要注意哪些要点？问题2：当利用公式法分解因式时：两项通常考虑_________，三项通常考虑___________；并且需要注意两点：①___________；②____________．问题3：当多项式的项数比较多时常考虑__________法．问题4：因式分解的口诀是什么？分别是什么意思？问题5：是因式分解吗？为什么？因式分解的四种基本方法（北师版）一、单选题(共9道，每道11分)1.把分解因式，结果正确的是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：分解因式——提公因式法2.下列选项中，能用公式法分解因式的是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：分解因式——公式法3.把分解因式，结果正确的是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：分解因式——公式法4.把分解因式，结果正确的是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：分解因式——十字相乘法5.把分解因式，结果正确的是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：分解因式——十字相乘法6.把分解因式，结果正确的是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：分解因式——分组分解法7.把分解因式，结果正确的是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：分解因式——分组分解法8.下列分解因式正确的是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：分解因式口诀9.把分解因式，结果正确的是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：分解因式口诀。

2024年九年级中考数学压轴题锦囊妙计—因式分解(含答案)

因式分解定义：把一个整式写成几个整式乘积的形式，称为因式分解。

在因式分解中，通常要求每个因式都是既约多项式（不可约多项式），这样的因式称为质因式。

因式分解常用的方法有提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法，待定系数法等。

◆一、提公因式法：◆二、公式法①平方差公式：②完全平方和公式：③完全平方差公式：④立方和公式：⑤立方差公式：⑥完全立方和公式：⑦完全立方差公式：⑧三项平方和公式：⑨三项立方公式：◆三、分组分解法有一些整式（如：）既没有公因式可提，也不能运用公式直接分解，这样的式子需要采用分组分解法。

（一）分组后能直接提公因式)(c b a m mc mb ma ++=++))((22b a b a b a -+=-222)(2b a b ab a +=++222)(2b a b ab a -=+-))((2233b ab a b a b a +-+=+))((2233b ab a b a b a ++-=-33223)(33b a b ab b a a +=+++33223)(33b a b ab b a a -=-+-2222)(222c b a ac bc ab c b a ++=+++++))((3222333ac bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++bn bm an am +++例1、分解因式：解：原式== =例2、分解因式：解：原式== =（二）分组后能直接运用公式例3、分解因式：解：原式== =例4、分解因式：解：原式== = 【举一反三】bnbm an am +++)()(bn bm an am +++)()(n m b n m a +++))((b a n m ++bxby ay ax -+-5102)5()102(bx by ay ax -+-)5()5(2y x b y x a ---)2)(5(b a y x --ayax y x ++-22)()(22ay ax y x ++-)())((y x a y x y x ++-+))((a y x y x +-+2222c b ab a -+-222)2(c b ab a -+-22)(c b a --))((c b a c b a --+-1、2、3、4、5、6、7、3223yxyyxx--+baaxbxbxax-+-+-22181696222-+-++aayxyxabbaba4912622-++-92234-+-aaaybxbyaxa222244+--222yyzxzxyx++--8、9、10、11、12、◆四、十字相乘法（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——进行分解。

因式分解的四种方法(习题及答案)

因式分解的四种方法（习题）例题示范例1：2222(1)2(1)(1)x y x y y -+-+-【思路分析】考虑因式分解顺序的口诀“一提二套三分四查”，观察式子里面有公因式2(1)y -，先提取，然后再利用公式法因式分解，分解完后要查一下是否分解彻底．【过程书写】222(1)(21)(1)(1)(1)y x x y y x -++=+-+=解：原式巩固练习1.下列从左到右的变形，是因式分解的是（）A ．232393x y z x z y =⋅B ．25(2)(3)1x x x x +-=-++C ．22()a b ab ab a b +=+D ．211x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭2.把代数式322363x x y xy -+因式分解，结果正确的是（）A ．(3)(3)x x y x y +-B ．223(2)x x xy y -+C ．(3)x x y -D ．23()x x y -3.因式分解：（1）22363a b ab ab +-；（2）()()y x y y x ---；解：原式=解：原式=（3）2441a a -+；（4）256x x -+；解：原式=解：原式=（5）2168()()x y x y --+-；（6）41x -；解：原式=解：原式=（7）222(1)4a a +-；（8）25210ab bc a ac --+；解：原式=解：原式=（9）223(2)3m x y mn --；（10）2ab ac bc b -+-；解：原式=解：原式=（11）2222a b a b -++；（12）2(2)(4)4x x x +++-；解：原式=解：原式=（13）321a a a +--；（14）2244a a b -+-；解：原式=解：原式=（15）222221a ab b a b ++--+；解：原式=（16）228x x --；（17）226a ab b --；解：原式=解：原式=（18）2231x x -+；（19）32412x x x --；解：原式=解：原式=（20）2()()2x y x y +++-；（21）(1)(2)6x x ---．解：原式=解：原式=思考小结在进行因式分解时，要观察式子特征，根据特征选择合适的方法：①若多项式各项都含有相同的因数或相同的字母，首先考虑__________________．②若多项式只含有符号相反的两项，且两项都能写成一个单项式的平方，则考虑利用____________________进行因式分解．③若多项式为二次三项式的结构，则通常要考虑____________或_______________．④若多项式项数较多，则考虑_______________．【参考答案】巩固练习1.C 2.D 3.（1）3ab (a +2b -1)（2）(x -y )(y +1)（3）2(21)a -（4）(x -2)(x -3)（5）(4-x +y )2（6）(x 2+1)(x +1)(x -1)（7）(a +1)2(a -1)2（8）(b -2a )(a -5c )（9）3m (2x -y +n )(2x -y -n )（10）(b -c )(a -b )（11）(a +b )(a -b +2)（12）2(x +1)(x +2)（13）2(1)(1)a a +-（14）(a -2+b )(a -2-b )（15）2(1)a b +-（16）(x -4)(x +2)（17）(a -3b )(a +2b )（18）(2x -1)(x -1)（19）x (x +2)(x -6)（20）(x +y -1)(x +y +2)（21）(x +1)(x -4)思考小结①提公因式②平方差公式③完全平方公式，十字相乘法④分组分解法。

完整版)因式分解的常用方法及练习题

完整版)因式分解的常用方法及练习题因式分解是初等数学中常用的代数式恒等变形方法之一，它在解决数学问题时发挥着重要作用。

因式分解方法灵活多样，技巧性强，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能和思维能力也有独特的作用。

初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法。

本文将在此基础上进一步介绍因式分解的方法、技巧和应用。

一、提取公因式法：将多项式中的公因式提取出来，使其成为一个因式乘以一个多项式。

例如，ma+mb+mc可以提取公因式m得到m(a+b+c)。

二、运用公式法：在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，反向使用这些公式可以得到因式分解中常用的公式，例如平方差公式、完全平方公式、立方和公式、立方差公式和完全立方公式等。

还有两个常用的公式：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2和a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)。

三、分组分解法：将多项式按照一定规律分成若干组，然后分别进行因式分解。

分组后能直接提取公因式的例子有am+an+bm+bn，可以将前两项分为一组，后两项分为一组，然后分别提取公因式得到(m+n)(a+b)。

分组后能直接运用公式的例子有2ax-10ay+5by-bx，可以将第一、二项为一组，第三、四项为一组，然后运用平方差公式得到(2a-b)(x-5y)。

因式分解方法的灵活性和技巧性需要通过大量的练才能掌握，只有掌握了这些方法和技巧，才能在解决数学问题时游刃有余。

例3、分解因式：x^2-y^2+ax+ay分析：将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，不能直接提公因式，需要另外分组。

改写：将x^2和ax分为一组，将-y^2和ay分为一组。

不能直接提公因式，需要另外分组。

例4、分解因式：a^2-2ab+b^2-c^2解：原式可以化为(a-b)^2-c^2，再用差平方公式得到(a-b+c)(a-b-c)。

七年级数学竞赛讲座：因式分解(含答案详解)

初中数学竞赛辅导资料因式分解甲内容提要和例题我们学过因式分解的四种基本方法：提公因式法，运用公式法，十字相乘法，分组分解法。

下面再介紹两种方法1．添项拆项。

是.为了分组后,能运用公式（包括配方）或提公因式例1因式分解：①x4+x2+1②a3+b3+c3－3abc①分析：x4+1若添上2x2可配成完全平方公式解：x4+x2+1＝x4+2x2+1－x2=(x2+1)2－x2=(x2+1+x)(x2+1－x)②分析：a3+b3要配成（a+b）3应添上两项3a2b+3ab2解：a3+b3+c3－3abc＝a3+3a2b+3ab2＋b3+c3－3abc－3a2b－3ab2＝（a+b）3+c3－3ab(a+b+c)=(a+b+c)［(a+b)2－(a+b)c+c2］－3 ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－ac－bc)例2因式分解：①x3－11x+20②a5+a+1①分析：把中项－11x拆成－16x+5x 分别与x5,20组成两组，则有公因式可提。

（注意这里16是完全平方数）②解：x3－11x+20＝x3－16x+5x+20＝x（x2－16）+5(x+4)=x(x+4)(x－4)+5(x+4) =(x+4)(x2－4x+5)③分析：添上－a2和a2两项，分别与a5和a+1组成两组，正好可以用立方差公式解：a5+a+1＝a5－a2+a2+a+1=a2(a3－1)+ a2+a+1=a2(a－1)( a2+a+1)+ a2+a+1= (a2+a+1)(a3－a2+1)2．运用因式定理和待定系数法定理：⑴若x=a时，f(x)=0, ［即f(a)=0］，则多项式f(x)有一次因式x－a⑵若两个多项式相等，则它们同类项的系数相等。

例3因式分解：①x 3－5x 2+9x －6 ②2x 3－13x 2+3①分析：以x=±1,±2,±3,±6（常数6的约数）分别代入原式，若值为0，则可找到一次因式，然后用除法或待定系数法，求另一个因式。

专题08 因式分解压轴题的四种考法(解析版)-2024年常考压轴题攻略(8年级上册人教版)

专题08因式分解压轴题的四种考法类型一、整体法又因为原式为x ，y ，z 的五次式，故可设()()()333222x y z y z x z x y -+-+-()()()()()222x y y z z x A x y z B xy yz zx ⎡⎤=---+++++⎣⎦令=1x -，0y =，1z =得21A B -=-，令0x =，1y =，2z =得522A B +=，解得0A =，1B =，所以()()()()()()()333222x y z y z x z x y x y y z z x xy yz zx -+-+-=---++．【点睛】本题主要考查了十字相乘法、提公因式法、公式法以及待定系数法，熟练掌握和运用这些方法因式分解是解题的关键．【变式训练2】．因式分解：(1)2242mx mx m -+；(2)()222416x x +-．(3)()()2221619y y ---+．【答案】(1)()221m x -(2)()()2222x x +-(3)()()2222+-y y 【分析】（1）先提公因式2m ，再利用完全平方公式进行因式分解；（2）先用平方差公式进行因式分解，再利用完全平方公式进行因式分解；（3）先把21-y 看成一个整体，利用完全平方公式进行因式分解，再利用平方差公式进行分解．【详解】（1）2242mx mx m-+()2221m x x =-+()221m x =-；（2）()222416x x +-()()22244x x =+-()()224444x x x x =+++-()()2222x x =+-；（3）()()2221619y y ---+()2213y =--()224y =-()()2222y y =+-．【点睛】本题主要考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法分解因式，整体思想，是解决本题的关键．【变式训练3】．若()()()()2345x x x x k +++++是完全平方式，则k 的值为多少？【答案】1k =.【分析】首先把()()()()2345x x x x k +++++分类整理为()()()()2534x x x x k +++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，再进一步利用多项式乘法计算展开，把()27x x +看作整体，在配方成完全平方式，进一步探讨即可得出答案．【详解】()()()()2345x x x x k+++++()()()()2534x x x x k +++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=()()22710712x x x x k+=++++()()2227712022x x x x k ++=+++()227111x x k =+++-∴10k -=，即1k =.【点睛】此题考查完全平方式的运用，注意常数项是一次项系数一半的平方．类型二、添、拆项例．分解因式；．x 3﹣3x 2﹣6x +8=_______．【答案】（x ﹣4）（x ﹣1）（x +2）【详解】解：x 3﹣3x 2﹣6x +8=3232268x x x x x -+--+=()()323288x x x x -+--=()()()1281x x x x ----=()()128x x x ---⎡⎤⎣⎦=()()2128x x x ---=（x ﹣4）（x ﹣1）（x +2），故答案为：（x ﹣4）（x ﹣1）（x +2）．【变式训练1】把多项式分解因式：x 3﹣2x 2+1＝_________________．【答案】(x ﹣1)(x 2﹣x ﹣1)【详解】解：原式＝x 3﹣x 2﹣x 2+1＝x 2(x ﹣1)﹣(x +1)(x ﹣1)＝(x ﹣1)(x 2﹣x ﹣1)故答案为：(x ﹣1)(x 2﹣x ﹣1)【变式训练2】因式分解：a a a 32+3+3+2【答案】()()a a a 2=+2++1【详解】原式()a a a 32=+3+3+1+1()a 33=+1+1()()()a a a 2⎡⎤=+1+1+1-+1+1⎣⎦()()a a a 2=+2++1．故答案为：()()a a a 2=+2++1【变式训练3】添项、拆项是因式分解中常用的方法，比如分解多项式21a -可以用如下方法分解因式：①()()()()22111111a a a a a a a a a -=-+-=-+-=-+；又比如多项式31a -可以这样分解：②()()()()()3322221111111a a a a a a a a a a a a a a -=-+-+-=-+-+-=-++；仿照以上方法，分解多项式51a -的结果是______．【答案】()()43211a a a a a -++++【详解】解：51a -54433221a a a a a a a a a =-+-+-+-+-()()()()43211111a a a a a a a a a =-+-+-+-+-()()43211a a a a a =-++++，故答案为：()()43211a a a a a -++++类型三、化简求值（2）先利用4a 、64凑出完全平方公式，然后利用平方差公式对其进行因式分解即可；（3）首先去括号，再移项凑出完全平方公式，然后利用提公因式法分解因式即可；（4）首先通过移项凑出完全平方公式，然后提公因式，得出()()22628x y x y ++++，再把8分解为()91-，得出()()226291x y x y ++++-，然后把()2x y +看作整体，利用完全平方公式变形，得出()2231x y ++-⎡⎤⎣⎦，然后再利用平方差公式因式分解即可．【详解】（1）解：323828a b ab c+()22427ab a bc =+；（2）解：464a +422166416a a a =++-()222816a a =+-()()228484a a a a =+++-（3）解：()()22233x a x a a ++++22233x ax x a a=++++22233x ax a x a=++++()()23x a x a =+++()()3x a x a =+++；（4）解：22441268x xy x y y +++++22441268x xy y x y =+++++()()22628x y x y =++++()()226291x y x y =++++-()2231x y =++-⎡⎤⎣⎦()()231231x y x y =+++++-()()2422x y x y =++++．【点睛】本题考查了因式分解，解本题的关键在熟练掌握因式分解的方法．5．已知三次四项式32256x x x k --+分解因式后有一个因式是3x -，试求k 的值及另一个因式．【答案】9k =，223x x +-【分析】根据题意，当3x =时，代数式的值为0，进而求得k 的值，然后因式分解即可求解．【详解】解：依题意，三次四项式32256x x x k --+分解因式后有一个因式是3x -，∴3x =时，原式3223536390k k =⨯-⨯-⨯+=-+=09x ≤≤，19y ≤≤，∴9326x y -≤-≤，∴3x y -的值为：8,0,8,16,24-，,x y 为非负整数，且19x y ≤+≤，∴44x y =⎧⎨=⎩或62x y =⎧⎨=⎩或31x y =⎧⎨=⎩或08x y =⎧⎨=⎩或13x y =⎧⎨=⎩或26x y =⎧⎨=⎩，∴所有的“幸运开心数”143或286或341或484或682或880．【点睛】本题考查了整式的加减运算，理解新定义是解题的关键．。

因式分解培优题(超全面、详细分类)

因式分解专题培优把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下：因式分解的一般方法及考虑顺序：1、基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法．2、常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法．3、考虑顺序：（1）提公因式法；（2）公式法；（3）十字相乘法；（4）分组分解法．一、运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a2－b2=(a+b)(a－b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2－ab+b2)；(4)a3－b3=(a－b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3－3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－bc－ca)；(7)a n－b n=(a－b)(a n－1+a n－2b+a n－3b2+…+ab n－2+b n－1)，其中n为正整数；(8)a n－b n=(a+b)(a n－1－a n－2b+a n－3b2－…+ab n－2－b n－1)，其中n为偶数；(9)a n+b n=(a+b)(a n－1－a n－2b+a n－3b2－…－ab n－2+b n－1)，其中n为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例题1 分解因式：(1)－2x5n－1y n+4x3n－1y n+2－2x n－1y n+4；(2)x3－8y3－z3－6xyz；(3)a2+b2+c2－2bc+2ca－2ab；(4)a7－a5b2+a2b5－b7．例题2 分解因式：a 3+b 3+c 3－3abc ．例题3 分解因式：x 15+x 14+x 13+…+x 2+x +1．对应练习题分解因式：2211(1)94n n x x y +-+；(2) x 10+x 5－2422332223(3)244(4)4x x y xy x y y x y --+++(4) (x 5+x 4+x 3+x 2+x +1)2－x 5(5) 9(a -b )2+12(a 2-b 2)+4(a +b )2(6) (a -b )2-4(a -b -1)（7）(x +y )3+2xy (1－x －y )－1二、分组分解法（一）分组后能直接提公因式例题1 分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系.此类型分组的关键：分组后，每组可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提.例题2 分解因式：bx by ay ax -+-5102对应练习题分解因式：1、bc ac ab a -+-22、1+--y x xy（二）分组后能直接运用公式例题3 分解因式：ay ax y x ++-22例题4 分解因式：2222c b ab a -+-对应练习题分解因式：3、y y x x 3922---4、yz z y x 2222---综合练习题分解因式：（1）3223y xy y x x --+（2）b a ax bx bx ax -+-+-22（3）181696222-+-++a a y xy x （4）a b b ab a 4912622-++-（5）92234-+-a a a （6）y b x b y a x a 222244+--（7）222y yz xz xy x ++-- （8）122222++-+-ab b b a a（9）)1)(1()2(+---m m y y （10）)2())((a b b c a c a -+-+（11）abc b a c c a b c b a 2)()()(222++++++（12）432234232.a a b a b ab b ++++（13）22)()(bx ay by ax -++（14）333333333)(y x x z z y z y x xyz ---++（15）a a x ax x -++-2242（16）a x a x x 2)2(323-++-（17）)53(4)3()1(33+-+++x x x三、十字相乘法1、十字相乘法（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解.特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和. 例题1 分解因式：652++x x例题2 分解因式：672+-x x对应练习题分解因式：(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x(4)22-+x x (5)1522--y y (6)24102--x x（二）二次项系数不为1的二次三项式——2ax bx c ++条件：（1）21a a a =1a 1c（2）21c c c =2a 2c（3）1221c a c a b +=1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例题3 分解因式：101132+-x x对应练习题分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x（3）317102+-x x （4）101162++-y y（三）二次项系数为1的齐次多项式例题4 分解因式：221288b ab a --分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解. 1 8b1 －16b8b +(－16b )= －8b对应练习题分解因式：(1)2223y xy x +-(2)2286n mn m +-(3)226b ab a --（四）二次项系数不为1的齐次多项式例题5 分解因式：22672y xy x +-例题6 分解因式：2322+-xy y x对应练习题分解因式：（1）224715y xy x -+（2）8622+-ax x a综合练习题分解因式：（1）17836--x x （2）22151112y xy x --（3）10)(3)(2-+-+y x y x （4）344)(2+--+b a b a（5）222265x y x y x -- （6）2634422++-+-n m n mn m（7）3424422---++y x y xy x （8）2222)(10)(23)(5b a b a b a ---++（9）10364422-++--y y x xy x （10）2222)(2)(11)(12y x y x y x -+-++思考：分解因式：abc x c b a abcx +++)(22222、双十字相乘法定义：双十字相乘法用于对F Ey Dx Cy Bxy Ax +++++22型多项式的分解因式. 条件：（1）21a a A =，21c c C =，21f f F =（2）B c a c a =+1221，E f c f c =+1221，D f a f a =+1221即：1a 1c 1f2a 2c 2fB c a c a =+1221，E f c f c =+1221，D f a f a =+1221则=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 22))((222111f y c x a f y c x a ++++例题7 分解因式：（1）2910322-++--y x y xy x（2）613622-++-+y x y xy x解：（1）2910322-++--y x y xy x应用双十字相乘法： x y 5-2x y 21-xy xy xy 352-=-，y y y 945=+，x x x =+-2∴原式=)12)(25(-++-y x y x（2）613622-++-+y x y xy x应用双十字相乘法： x y 2-3x y 32- xy xy xy =-23，y y y 1394=+，x x x =+-32∴原式=)23)(32(-++-y x y x对应练习题分解因式：（1）67222-+--+y x y xy x （2）22227376z yz xz y xy x -+---3、十字相乘法进阶例题8 分解因式：)122()1)(1(22+++++y y x x y y例题9 分解因式：))(()1)(()(222222y x b a xy b a y x ab ++-+---四、主元法例题分解因式：2910322-++--y x y xy x对应练习题分解因式：(1)613622-++-+y x y xy x (2)67222-+--+y x y xy x(3)2737622--+--y x y xy x (4)36355622-++-+b a b ab a五、换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例题1 分解因式：(x 2+x +1)(x 2+x +2)－12．例题2 分解因式：22222)84(3)84(x x x x x x ++++++例题3 分解因式：9)5)(3)(1)(1(-+++-x x x x分析：型如e abcd +的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘.例题4 分解因式：56)6)(67(22+--+-x x x x .例题5 分解因式：(x 2+3x +2)(4x 2+8x +3)－90．例题6 分解因式：22224(31)(23)(44)x x x x x x --+--+-提示:可设2231,23x x A x x B --=+-=，则244x x A B +-=+.例题7 分解因式：272836+-x x例题8 分解因式：22244)()()(b a b a b a -+++-例题9 分解因式：272)3()1(44-+++y y例题9对应练习分解因式：444)4(4-++a a例题10 分解因式：(x 2+xy +y 2)2－4xy (x 2+y 2)．分析：本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x +y ，v=xy ，用换元法分解因式．例题11 分解因式：262234+---x x x x分析：此多项式的特点——是关于x 的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”.这种多项式属于“等距离多项式”．方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法.例题11对应练习分解因式：6x 4+7x 3－36x 2－7x +6．例题11对应练习分解因式：144234+++-x x x x对应练习题分解因式：（1）x 4+7x 3+14x 2+7x +1（2）)(2122234x x x x x +++++ （3）2005)12005(200522---x x （4）2)6)(3)(2)(1(x x x x x +++++ （5）(1)(3)(5)(7)15x x x x +++++ （6）(1)(2)(3)(4)24a a a a ----- （7）2(25)(9)(27)91a a a +--- （8）(x +3)(x 2－1)(x +5)－20（9）222222)3(4)5()1(+-+++a a a （10） (2x 2－3x +1)2－22x 2+33x －1（11）()()()a b c a b b c ++-+-+2333（12）21(1)(3)2()(1)2xy xy xy x y x y +++-++-+-（13）2(2)(2)(1)a b ab a b ab +-+-+-六、添项、拆项、配方法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．说明用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法巧性最强的一种．例题1 分解因式：x 3－9x +8．例题2分解因式：(1)x 9+x 6+x 3－3；(2)(m 2－1)(n 2－1)+4mn ； (3)(x +1)4+(x 2－1)2+(x －1)4； (4)a 3b －ab 3+a 2+b 2+1．对应练习题分解因式：（1）4323+-x x （2）2223103)(2b ab a x b a x -+-++（3）1724+-x x （4）22412a ax x x -+++（5）444)(y x y x +++（6）444222222222c b a c b c a b a ---++（7）x 3+3x 2－4（8）x 4－11x 2y 2+y 2 （9）x 3+9x 2+26x +24（10）x 4－12x +323 （11）x 4＋x 2＋1；（12）x 3－11x ＋20；（13）a 5＋a ＋1(14)56422-++-y x y x(15)ab b a 4)1)(1(22---七、待定系数法例题1分解因式：613622-++-+y x y xy x分析：原式的前3项226y xy x -+可以分为)2)(3(y x y x -+，则原多项式必定可分为)2)(3(n y x m y x +-++对应练习题分解因式：（1）2737622--+--y x y xy x （2）2x 2＋3xy －9y 2＋14x －3y ＋20（3）2910322-++--y x y xy x （4）6752322+++++y x y xy x例题2 （1）当m 为何值时，多项式6522-++-y mx y x 能分解因式，并分解此多项式.（2）如果823+++bx ax x 有两个因式为1+x 和2+x ，求b a +的值.（3）已知：p y x y xy x +-+--1463222能分解成两个一次因式之积，求常数p 并且分解因式.（4）k 为何值时，253222+-++-y x ky xy x 能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式.八、余式定理（试根法）1、()x f 的意义：已知多项式()x f ，若把x 用c 带入所得到的值，即称为()x f 在x =c 的多项式值，用()c f 表示.2、被除式、除式、商式、余式之间的关系：设多项式()x f 除以()x g 所得的商式为()x q ，余式为()x r ，则：()x f =()x g ×()x q +()x r3、余式定理：多项式)(x f 除以b x -之余式为)(b f ；多项式)(x f 除以b ax -之余式)(ab f . 例如：当 f(x )=x 2+x +2 除以 (x – 1) 时，则余数=f(1)=12+1+2=4.当2()967f x x x =+-除以(31)x +时，则余数=2111()9()6()78333f -=⨯-+⨯--=-.4、因式定理：设R b a ∈,，0≠a ，)(x f 为关于x 的多项式，则b x -为)(x f 的因式⇔0)(=b f ；b ax -为)(x f 的因式⇔0)(=abf .整系数一次因式检验法：设f(x)＝0111c x c x c x c n n n n ++++-- 为整系数多项式，若ax –b为f(x)之因式(其中a , b 为整数 , a ≠0 , 且a , b 互质)，则（1）0,c b c a n（2）( a –b ))1()(,)1(-+f b a f例题1 设61923)(23+-+=x x x x f ，试问下列何者是f (x )的因式？(1)2x –1 ，(2) x –2，(3) 3x –1，(4) 4x ＋1，(5) x –1，(6) 3x –4例题2 把下列多项式分解因式：(1)453+-x x(2) 6423++-x x x (3) 245323-++x x x（4）1027259234++++x x x x （5）31212165234--++x x x x 课后作业分解因式：（1）x 4＋4 （2）4x 3－31x ＋15（3）3x 3－7x ＋10 （4）x 3－41x ＋30 （5）x 3＋4x 2－9 （6）x 3＋5x 2－18 （7）x 3＋6x 2＋11x ＋6 （8）x 3－3x 2＋3x ＋7 （9）x 3－11x 2＋31x －21 （10）x 4＋1987x 2＋1986x ＋1987 （11）19981999199824-+-x x x （12）19961995199624+++x x x （13）x 3＋3x 2y ＋3xy 2＋2y 3 （1412）x 3－9ax 2＋27a 2x －26a 3（15）23)12)(10)(6)(5(4x x x x x -++++ （16）12)4814)(86(22+++++x x x x （17）222215)4(8)4(xx x x x x ++++++（18）222222)1(2)1)(16(5)16(2++++++++x x x x x x （19）x 4＋x 2y 2＋y 4 （20）x 4－23x 2y 2＋y 4（21）a 3＋b 3＋3(a 2＋b 2)＋3(a ＋b )＋2 （22）641233-++ab b a （23）12233+++-b a ab b a .（24）1)1()2+-+ab b a （（25）2222224)()(2b a x b a x -++-（26）))(()()(333333y x b a by ax bx ay ++-+++ （27）633621619y y x x --（28）x 2y －y 2z ＋z 2x －x 2z ＋y 2x ＋z 2y －2xyz （29）810381032345++---x x x x x因式分解的应用1、证明：四个连续整数的的乘积加1是整数的平方.2、2n －1和2n +1表示两个连续的奇数(n 是整数)，证明这两个连续奇数的平方差能被8整除．3、已知1248-可以被60与70之间的两个整数整除，求这两个整数.4、已知724－1可被40至50之间的两个整数整除，求这两个整数.5、求证：139792781--能被45整除.6、求证：146+1能被197整除．7、设4x －y 为3的倍数，求证：4x 2+7xy －2y 2能被9整除． 8、已知222y xy x -+=7，求整数x 、y 的值． 9、求方程07946=--+y x xy 的整数解. 10、求方程xy －x －y ＋1=3的整数解． 11、求方程4x 2－4xy －3y 2=5的整数解．12、两个小朋友的年龄分别为a 和b ，已知a 2＋ab =99，则a =______，b =_______ . 13、计算下列各题： (1)23×3.14＋5.9×31.4＋180×0.314；(2)19952199519931995199519963232－－＋－⨯． 14、求积()()()()()11131124113511461198100＋＋＋＋＋⨯⨯⨯⨯⨯ ()1199101＋⨯的整数部分？15、解方程：（x 2＋4x )2－2(x 2＋4x )－15=016、已知ac ＋bd =0，则ab (c 2＋d 2)＋cd (a 2＋b 2)的值等于___________．17、已知a －b =3, a －c =326, 求(c —b )[(a －b )2+(a －c )(a －b )+(a －c )2]的值．18、已知012=++x x ，求148++x x 的值．19、若x 满足145-=++x x x ，计算200419991998x x x +++ .20、已知三角形的三边a 、b 、c 满足等式abc c b a 3333=++，证明这个三角形是等边三角形．。