研究生 数字图像处理 第12章 采样数据的处理

最小 间隔
1

2s0
F(s) -s1 -s0 0
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s0 s1
1/τ
s
《数字图像处理》 7
5、内插（采样定理的时域解释）
由
f ( x) g ( x) 2s1

sin(2 s1 x) x 1 x g ( x) 2s1Sa( ) g ( x) Sa( ) 2 s1 x
s
恢复出来的 信号为直流 0 t
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《数字图像处理》
14
f (t ) 2 sin(f 0 t ) ，t （5）临界采样，情况同（2），但
1 2 f 0 ，fN= f0
恢复后的函数为0，说明取样定理 fs≥2fm 中等号的情况是值得讨论的。
G(s) g(t)
0
t
只从这些样点的值，不 可能知道它原来的值是 多少。
f(x)是非奇非偶函数，混叠引起增加频谱的偶分量，减少频谱的奇分量,
频谱向偶函数方向靠拢。 结论：欠采样后不可能无失真重建原信号。
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《数字图像处理》
10
f (t ) 2 cos(2f 0 t )
2 0 t
F (s) (s f 0 ) (s f 0 )
-f0
4
同时 在时域和频域都细密
反映频域的高频分量 频域窗口1/Δt↑ 时域间隔Δt↓ 必须在时域细密采样 Δt
0
t
0 1/Δt
s
0 1/Δs
t Δs
0
s
反映时域的低频分量 时域窗口1/Δs↑频域间隔Δs↓ 必须在频域细密采样。
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若f(t)是复函数（N个实部样值，N个虚部样值）， 其傅立叶变换：复数频谱（N个实部，N个虚部）； 若f(t)是实函数（N个实部样值， 0 个虚部样值）， 其傅立叶变换：复数频谱（N个实部，N个虚部）。 复共轭对称（Hermite型）：
第12章
12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6 12.7 12.8 12.9 引言 采样和插值 频谱计算 混叠 截取 数字处理 混迭误差的控制 线性滤波器的实现 要点总结
《数字图像处理》
采样数据的处理
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1
12.1
解决模拟信号数字化过程中所引起的问题； 分析对连续函数的采样所引发的一系列问题； 关键问题：实际采样必然引起的失真，
g(t)
0
t
-f0 -fN
0
fN f0 迭返
2fN
s
内插得到的函数 0 t
样值经LPF后变成了一个频率 较低的余弦波，也可看成高频f0 叠返为低频分量。
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《数字图像处理》
13
（4）严重欠采样：t
1 ，每1个周期1个样点。 f0
G(s)
g(t)
0 内插得到的函数
t
-f0
0
fN f0=2fN 4fN
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《数字图像处理》
22
12.4 混叠
1、混叠的不可避免性
两个函数卷积的宽度 不可能比其中任意一个窄
理论：无限时宽 f ( t ) 有限频宽F ( S )， 实际：f ( t ) 时宽有限＝ f ( t )×II ( t ) F(S) * Sa(s) ＝频宽无限。 时间域的截取 破坏了频带的有限性 数字化和混叠相伴而生。 实际：减少混叠到可以接受的程度。

n


n F (s )

3、采样及其频谱
如前图所示： 采样后 时域是f(x)的一系列的理想样值，间隔为τ； 频域是F(s)的周期性重复，无限宽，间隔为 1/τ。
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《数字图像处理》
6
4、采样定理
保证从采样信号复原出原信号，必须：
(1) F(s)必须是限带信号， s0 （信号最高频率）外频率分量＝0 ； (2) 取样频率≥2 s0 。
可用理想LPF 乘采样信号G(s)，重构原信号：
s 频域解释 G(s) 2s F ( s)
1


g ( x) * 2s1
sin2s1 x f ( x) 时域解释 2s1 x
G(s)
s0 s1
1

s0
取等号 s s 1 0
1

s0
失去高频分量比混叠好
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D
像素的宽度 像素间距离
17
混叠现象的解释
LPF F(s)
因为取样频 率不够高
0 F(s)
s
原来的高频分量， 表示寸衫的细花纹 （假设只有一个高 频分量）。
0 散焦后摄像机 不能获得较高 的高频分量
2fN
s
“ 折回”到低频则 变为条纹较粗的花 纹。Moire效应。
sin( 2as ) F (s) 2as
F(s)
1/2πas 包络线
-T/2 -a Δt
0
a T/2
t
0 Δs=1/T
1/a
sm
s0 取样频率
1 /Δ t
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因为 F s sin 2as 1 ， 取其作为包络线。 2as 2as
( x n)
单位时间
FT 可以证明
nZ
III( s)
n
( s n)

n Z 单位频谱
1
x
推广到具体的时 间和具体的频率 单位
根据FT的相似性
x III ( )

FT
III (s)
f ( x) F ( s ) 1 s f (ax) F( ) |a| a

G(s) F (s) III ( s)
0
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x
百度文库
1 /
-s0 0
s0
1/
s
5
《数字图像处理》
g ( x) f ( x)
n


( x n )
FT
G(s) F (s)
n


(s )
n
n


f (n ) ( x n )
1 d[ ( x nt ) ] t n t
所以
n

n d [ t ( s )] t n


d( x nt )
n d ( s ) t n
n
III ( )
x

n
( x n ) FT
τ
1

(s ) III ( s) n
-f0
0
f0=fN 2fN
s
正负分量抵消， 频谱为0
内插得到的函数为0 0 t
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《数字图像处理》
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图12-12 数字图像中的混叠
另外：在电视画面上经常看到“水纹”
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扫描线
d 【例】图像数字化中的混迭——解释图12-12 如果聚焦好，且CCD中的像素足够密， 即取样点密集，说明摄像机可以获得足够高 的频率分量，可反映图像的细致花纹。 如果聚焦好，但CCD中的像素点宽度大，像素点 少，即取样点不密，则会引起混叠。 如果此时将镜头散焦，减少高频分量，则可减少 混叠，但丢失部分高频分量。
0
f0
s
7、采样举例
（1）过采样： t 1 1 ，每周期4个样点。折回频率： 4 f0
2 0 t -fN -f0 0 f0 fN 2fN s
fN
1 2 f0 2t
2fNSa( 2π fN t )
t 0
П(s/2fN)
-fN
《数字图像处理》
0
fN
s
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（2）临界采样：t
引言
失真有多大？如何处理？
奈奎斯特(Nyquist )，美国物理学家， 1889(瑞典)～1976，工作于贝尔电话实验室。 1927年发表著名的奈奎斯特抽样定理。
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《数字图像处理》
2
12.2
1、Shah 函数（冲激序列）
Shah函数：
III( x)
III(x)

采样和插值
n
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《数字图像处理》
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2. 混叠误差的上界（最大值）
图像处理系统 f(t) 0 h(t) g(t)
例如：系统辨识，求 H s
G s ， F s
t
如何选择：样点数N，窗宽T，样点间隔。
f (t )
1 t ( ) 2 a 2 a 1 /2 a
分析输入信号 的频谱混叠
0
1/2τ
1/τ
s
9
《数字图像处理》
注：一般只考虑混叠对基带的高频部分的影响——小范围混叠
如果： f(x)是偶函数，混叠结果增加了高频部分能量； （偶函数的频谱是实偶函数，混叠形成叠加）
f(x)是奇函数，混叠结果减少了高频部分能量；
（奇函数的频谱是虚奇函数，左右对称的部位相位相反， 混叠引起抵消）
0
x
6. 欠采样和混迭（aliasing）
不满足采样定理：如
1

2s 0
，则间隔大，采样密度不够 欠采样。
欠采样 采样信号在频域的混迭 无法精确恢复原信号。 混迭：大于 s 1
1 部分的频率分量折回到的 s 1 左边，引起高低频混迭。 2
采样信号频谱 理想低通
混迭部分
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1 T M ( )/ s a a
频谱分辨率 增加 Δs 减小 T 增加 M 增加 计算量增加 。 时域样点 增加（Δt 不变） 计算量增加。 实际，计算量和频谱分辨率折中选择。
频谱的包络是减函数，则混叠最大的地方为取样频率的1/2 处，Sm＝S0/2 。
定义：混叠误差
A
F (sm ) 1 / 2asm 1 t 1 1 a F (0) 1 2a 2 t
所以混叠误差 A t （上界），只要 t 足够小就可以保证A足够小， a 混叠与T无关。
图12-12 解释，可引伸到亚取样、图像缩小……
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12.3
1、时域中的截取 2、频域中的截取――两节合并
频谱计算
结论：从FT到DFT是有失真的，但只要失真在允许的范围内。
(a)
无限时域 t 时域截断 t
有限频域
0
(b)
0 无限频域
s
0
0
s
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《数字图像处理》
n
n
τ
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x
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1/τ
s
4
2、使用 Shah 函数采样
f(x)
x III ( )

FT
III (s)
F(s)
0
x III ( )
x
-s0
0
s0
s

III ( s)
1
乘 积
0

x
1 /
0
1/
s
卷 积
x g ( x) f ( x) III ( )
2019/1/17
《数字图像处理》
3
III ( )
x
由此可得：

FT
III (s)
n
其中：
(ax)
1 ( x) |a|
x x III ( ) d( n) t t n
t III (t s ) t t
n n
d( t s n )
F ( s ) F * ( s )
证明
一维：由正半轴推得负半轴
二维：由1、3 象限推得2、4 象限
F (s) [FR (s)] [iFI (s)] FR (s) iFI (s) FR (s) iFI (s) F (s)
实函数的傅立叶变换： 实部偶对称——N/ 2个有效系数； 虚部奇对称——N/ 2个有效系数。
19
从FT 到DFT（续）
(c)
时域延拓 t
频域离散 0 1/T s
0 T
(d)
时域皱褶
频域截取 t s
0 T
(e)
0 1/T
时域离散
频域周期延拓
0
Δt
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t
0
1 /Δ t
s
取N点作DFT。 有失真，尤其高频部分。
《数字图像处理》 20
3、频谱计算
一个域中的采样间隔 Δ 决定 另一个域中的窗口宽度 1/Δ。 Heisenberg（海森堡）定理：t s 1
1 ，每个周期2个样点。可以精确恢复原信号， 2 f0
LPF在边界上取1/2（两个冲激之和）。
g(t) 2 0 取样 间隔 t -fN
G(s) LPF
0
fN fN=f0
2fN
s
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《数字图像处理》
12
（3）欠采样：t
2 2个周期3个样点，不可恢复原信号。 3 f0
G(s)
LPF
注：除了 (t ) 函数其频谱为全谱以外，实际上时间有限的函数最陡的是矩形波， 因此，它的高频部分最为丰富，用它来衡量混叠误差，并作为上界是有根据的。
2019/1/17
《数字图像处理》
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前图
1/ a
3、频谱分辨率
0
设 0 到 1/a 之间共有 M 个样点：
Δs=1/T
sm 1/ Δ t
s0 取样频率

x g(x)为一系列冲激， 1 Sa 为内插函数（ s1 1/ 2t ）
x 相当于每个取样点上放一个内插函数 Sa ，其总和就是f(x)。
g(x)
f(x)
不失真重建：
时域解释――内插； 频域解释――滤波。
2019/1/17 《数字图像处理》 8