数学分析(1)第二章数列极限复习自测题

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陈纪修《数学分析》配套题库【课后习题】(数列极限)

第2章数列极限§1 实数系的连续性1．（1）证明不是有理数；（2）是不是有理数？证明：（1）可用反证法若是有理数，则可写成既约分数．由可知m是偶数，设，于是有，从而得到n是偶数，这与是既约分数矛盾．（2）不是有理数．若是有理数，则可写成既约分数，于是，即是有理数，这与（1）的结论矛盾．2．求下列数集的最大数、最小数，或证明它们不存在：解：min A＝0；因为，有，所以max A不存在．；因为，使得，于是有，所以min B不存在．max C与min C都不存在，因为，所以max C与min C都不存在．3．A，B是两个有界集，证明：（1）A∪B是有界集；（2）也是有界集．证明：（1）设，有，有，则，有．（2）设，有，有，则，有．4．设数集S有上界，则数集有下界．且．证明：设数集S的上确界为sup S，则对，有-x≤sup S，即；同时对，存在，使得，于是．所以-sup S为集合T的下确界，即．5．证明有界数集的上、下确界惟一．证明：设sup S既等于A，又等于B，且A<B．取，因为B为集合S的上确界，所以，使得，这与A为集合S的上确界矛盾，所以A＝B，即有界数集的上确界惟一．同理可证有界数集的下确界惟一．6．对任何非空数集S，必有．当时，数集S有什么特点？解：对于，有，所以．当时，数集S 是由一个实数构成的集合．7．证明非空有下界的数集必有下确界．证：参考定理2.1.1的证明．具体过程略．8．设并且，证明：（1）S没有最大数与最小数；（2）S在Q内没有上确界与下确界．证：（1）．取有理数r>0充分小，使得，于是．即，所以S没有最大数．同理可证S没有最小数．（2）反证法．设S在Q内有上确界，记（m，n∈N+且m，n互质），则显然有．由于有理数平方不能等于3，所以只有两种可能：（i），由（1）可知存在充分小的有理数r>0，使得，这说明，与矛盾；（ii），取有理数r>0充分小，使得，于是，这说明也是S的上界，与矛盾．所以S没有上确界．同理可证S没有下确界．§2 数列极限1．按定义证明下列数列是无穷小量：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）（8）．证明：（1），取，当n>N时，成立．（2），取，当时，成立．（3），取，当时，成立；取，当时，成立，则当时，成立．（4），取，当n>N时，成立．（5）当n>11时，有．于是，取，当n>N时，成立．（6）当n>5，有．于是，取，当n>N时，成立．（7），取，当n>N时，成立（8）首先有不等式，取，当n>N时，成立．2．按定义证明下述极限：证明：（1），取，当时，成立（2），取，当时，成立（3），取，当n>N时，成立（4）令，则．当n>3时，有所以，取，当时，成立．（5），取，当n>N时，若n是偶数，则成立；若z是奇数，则成立．3．举例说明下列关于无穷小量的定义是不正确的：（1）对任意给定的，存在正整数N，使当n>N时，成立；（2）对任意给定的，存在无穷多个，使．解：（1）例如，则满足条件，但不是无穷小量．（2）例如则满足条件，但不是无穷小量．4．设k是一正整数，证明：的充分必要条件是．证明：设，则，成立，于是也成立，所以；设，则，成立，取，则，成立，所以．5．设，证明：．证明：由可知，成立，成立．于是，成立．6．设．且，证明：．证明：首先有不等式．由，可知，成立，于是．7．是无穷小量，是有界数列，证明也是无穷小量．证明：设对一切．因为是无穷小量，所以，，成立．于是，成立，所以也是无穷小量．。

数学分析习题选解第二章(华东师大版)

数学分析习题选解第二章数列极限 §1.1 数列极限的概念习题Page. 271. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.§1.2 收敛数列的性质习题Page. 331. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.§1.3 数列极限存在的条件习题Page.381. 2. Page.393. 证明下列数列极限存在并求其值：(3) !nn c a n =，（0c >），123,n =证明：（法１）11(1)!1n n n c ca a n n ++==++ ，（１）于是，当1n c >-时，1n n a a +≤，即当1n c >-时，{}n a 单调减少；而0!nn c a n =>，即有下界，由单调有界定理，知lim n n a →∞存在，记lim n n a a →∞=，在（1）中，令n →∞，因为lim 01n cn →∞=+，所以，00a a =⋅=，故lim 0n n a →∞=。

（法2）当[]1n c >+时：[][][][][]()0!1212!c n n c c c c c c c c ca n c c c n n c <==≤++而[][]()lim0!c n c cn c →∞=，由两边夹定理，lim 0n n a →∞=。

4. 5.6. 证明：若单调数列{}n a 含有一个收敛子列，则{}n a 收敛。

证明：设{}n a 所含有的一个收敛子列为{}k n a ，记lim kn k a a →∞=。

来证lim n n a a →∞=，0ε∀>，lim k n k a a →∞= ，0K ∴∃>，当k K >时，有：k n a a ε-<，即k n a a a εε-<<+，n a 单调数列，不妨设n a ↑，（n a ↓同理讨论），则当1K n n +>时，有：1K n n a a a ε+≥>-，而11n K n n n K +>>>+，所以，n n n a a a ε≤<+，取1K N n +=，当n N >时，有：1K n n n n a a a a a εε+-<≤≤<+，n a a ε∴-<。

数学分析课后习题答案2.1

所以,任给 ε > 0 ,取 N = max{2, [ ] + 1} ,则当 n > N 时有
1
ε
3n 2 + n 3 3n 2 + n 3 , 故 lim = − < ε n →∞ 2n 2 − 1 2 2n 2 − 1 2
(3) 因为
n! 1 2 3 n 1 1 − 0 = ⋅ ⋅ ⋅ 3 ⋅ ≤ , 从而对任给的 ε > 0 , 取 N = [ ] + 1 , 则当 n > N n n n n n n ε n
(3) 对给定的 ε 是否只能找到一个 N ? 解: (1)当 ε 1 = 0.1 时,要使 a n − 0 =
1 + (−1) n 2 ≤ < 0.1 ,只要取 N 1 = 20 ; n n
当 ε 2 = 0.01 , ε 3 = 0.001 时, 只要取 N 2 = 200 , N 3 = 2000 即可.
1
所以任给 ε > 0 ,可取 N = [ ] + 1 ,则当 n > N 时有
ε
1+ 2 +3+ n 1 ≤ <ε n n3
故 lim
n →∞
1+ 2 +3+ n =0. n3
(3)由 {a n } 的定义知: 当 n 为奇数时,有 a n − 1 =
n2 + n −1 = n
n2 + n − n = n
n →∞ n →∞
证明:若 lim a n = a ,则由定义知: 任给 ε > 0 ,存在 N ,则当 n > N 时有 a n − a < ε
n →∞
于是当 n > N 时, n + k > n > N ,所以 a n + k − a < ε , 故 lim a n + k = a .

数学分析2数列极限总练习题

第二章数列极限总练习题1、求下列数列的极限： (1)limn →∞n 3+3n n；(2)limn →∞n 5e n；(3)lim n →∞( n +2−2 n +1+ n ).解：(1)当n>3时，n 3<3n ，∴3= 3n n< n 3+3n n< 2·3n n=3 2n→3(n →∞). 由迫敛性定理可知：lim n →∞ n 3+3n n=3.(2)设a n =n 5e n ，则limn →∞a na n +1=lim n →∞e nn+1 5=e>1，∴limn →∞n 5e n=0.(3)lim n →∞n +2−2 n +1+ n =lim n →∞n +2− n +1 − n +1− n =lim n →∞ n +2+n +1−n +1+ n=0.2、证明：(1)lim n →∞n 2q n =0(|q|<1)；(2)limn →∞lgn n a=0(a ≥1)；(3)lim n →∞ n !n=0.证明：(1)当q=0 时，n 2q n =0，lim n →∞n 2q n =0；当0<|q|<1时，令|q|=1p ，则p>1. 设p=1+h ，h>0. 由(1+h)n >13!n(n-1)(n-2)h 3,(n>2) 得0<|n 2q n|<n 2(1+h)n <6h 3·n 2n(n −1)(n −2)=6h 3·1n(1−1n )(1−12)→0(n →∞).由迫敛性定理可知：lim n →∞n 2q n =0 (|q|<1).(2)任给ε>0，则10ε>1， n n→1(n →∞)，故存在N ，当n>N 时，有1< n n<10ε，取对数后得：0<lgn n<ε，∴limn →∞lgnn=0. 从而当a ≥1时，0<lgn n a ≤lgn n→0(n →∞).由迫敛性定理可知：limn →∞lgn n a=0(a ≥1).(3)任给ε>0，令M=1ε，则limn →∞M nn!=0.又对ε0=1，存在自然数N ，使得当n>N 时，M nn!<1，即1n!<εn ， ∴当n>N 时，有0< n !n <ε，∴limn →∞ n !n=0.3、设lim n →∞a n =a ，证明：(1)limn →∞a 1+a 2+⋯+a nn=a(又问由此等式能否反过来推出lim n →∞a n =a )；(2)若a n >0，(n=1,2,…)，则lim n →∞a 1a 2…a n n =a.证：(1)∵lim n →∞a n =a ，∴对任意的ε>0，必存在N 1，使当n>N 1时，|a n -a|<ε，令m=max{|a 1-a|,|a 2-a|,…,|a n -a|}，于是n>N 1时，a 1+a 2+⋯+a nn −a =a 1−a +a 2−a +⋯+a n −an≤1n (|a 1-a|+|a 2-a|+…+|a N 1+1-a|+|a N 1+2-a|+…+|a n -a|)<N 1m n+(n −N 1)nε<N 1m n+ε.又limn →∞N 1m n=0. ∴对已给的ε>0，存在N 2，当n>N 2时，N 1mn<ε.取N=max{N 1,N 2}，则当n>N 时， a 1+a 2+⋯+a nn−a <2ε，∴limn →∞a 1+a 2+⋯+a nn=a. 此等式反过来不能推出lim n →∞a n =a .例如a n =(-1)n 不收敛，但limn →∞a 1+a 2+⋯+a nn=0.(2)对任意自然数n ，a n >0，∴当a ≠0，lim n →∞1a n=1a .又11a 1+1a 2+⋯+1a nn=n1a 1+1a 2+⋯+1a n≤ a 1a 2…a n ≤a 1+a 2+⋯+a nn→a (n →∞).由迫敛性定理可知：lim n →∞a 1a 2…a n n =a.当a=0时，对任给的ε>0，存在N 1，使当n>N 1时，0<a n <ε，于是当n>N 1时，0< a 1a 2…a n n = a 1a 2…a N 1n · a N 1+1a N 1+2…a n n< a 1a 2…a N 1n·εn −N 1n< a 1a 2…a N 1·ε−N 1n·ε,∵lim n →∞a 1a 2…a N 1·ε−N 1n=1，从而存在N 2，使当n>N 2时，a 1a 2…a N 1·ε−N 1n<2，故当n>N=max{N 1,N 2}时，必有0< a 1a 2…a n n <2ε，∴lim n →∞a 1a 2…a n n=a.4、应用上题的结论证明下列各题： (1)limn →∞1+12+⋯+1nn=0；(2)lim n →∞a n =1(a>0)；(3)lim n →∞n n=1；(4)limn →∞n !n=0；(5)limn →∞ n !n=e ；(6)lim n →∞1+ 2+⋯+ n nn =1；(7)若limn →∞b n +1b n=a (b n >0)，则lim n →∞b n n =a ；(8)若lim n →∞a n −a n−1 =d ，则limn →∞a nn=d .证：(1)∵lim n →∞1n =0；∴limn →∞1+12+⋯+1nn =0；(2)设a 1=a, a n =1 (n=2,3…)，则lim n →∞a n =1；∴lim n →∞a n=lim n →∞a 1a 2…a n n =1.(3)设a 1=1, a n =nn −1 (n=2,3…)，则lim n →∞a n =1；∴lim n →∞n n=lim n →∞a 1a 2…a n n =1.(4)limn →∞n !n=lim n →∞11·12···1n n=limn →∞1n=0.(5)设a n =n nn ! (n=1,2…)，则a 1=1;limn →∞ n !n=lim n →∞a n n=lim n →∞a 2a 1·a 3a 2···a nan −1n=limn →∞a na n −1=lim n →∞1+1n−1n−1=e.(6)lim n →∞1+ 2+⋯+ n nn =lim n →∞n n=1. (7)令b 0=1，则lim n →∞b n n =lim n →∞b 1b 0·b 2b 1·b3b 2···b nb n −1n=limn →∞b n +1b n=a (b n >0).(8) lim n →∞a nn=lim n →∞(a 2−a 1)+(a 3−a 2)+⋯+(a n −a n −1)n+a1n =lim n →∞a n −a n−1 =d .5、证明：若{a n }为递增数列，{b n }为递减数列，且lim n →∞(a n −b n )=0，则lim n →∞a n 与lim n →∞b n 都存在且相等.证：∵lim n →∞(a n −b n )=0，∴{a n -b n }有界，不妨设A ≤a n -b n ≤B ，A,B 为常数. ∵{a n }递增，{b n }递减，∴a n ≤B+b n ≤B+b 1，b n ≥a n -B ≥a 1-B. ∴{a n }{b n }单调有界 ∴{a n }{b n }都有极限. 而lim n →∞(a n −b n )= lim n →∞a n −lim n →∞b n =0，∴lim n →∞a n =lim n →∞b n .6、设数列{a n }满足：存在正数M ，对一切n 有： A n =|a 2-a 1|+|a 3-a 2|+…+|a n -a n-1|≤M 证明：{a n }与{A n }都收敛。

数学分析试题

测试题第一章实数集与函数（A ）1．证明：n ≥1时，有不等式)1(21)1(2--<<-+n n nn n .然后利用它证明：当m ≥2时，有)21)2(21m nm mn <<-∑=.2．设S 是非空数集，试给出数的下界是S ξ，但不是S 的下确界的正面陈述.3．验证函数R x x x x f ∈=,sin )(，即无上界又无下界.4．设)(x f 是定义在R 上的奇函数，)(x g 是定义在R 上的偶函数，试问))(()),((x f g x g f 是奇函数还是偶函数？5．证明：)0(sgn 2cot arctan ≠=+x x x arc x π.6．试问下列函数的图形关于哪一竖直轴线对称：（1）c bx ax y ++=2；（2）x b x a y -++=. 7．设A ，B 为R 中的非空数集，且满足下述条件：（1）对任何B b A a ∈∈,有b a <；（2）对任何0>ε，存在B y A x ∈∈,，使得ε<-x Y . 证明：.inf sup B A =（B ）1．设n 为正整数.（1）利用二项式展开定理证明：∑=-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫⎝⎛+nk k r nn r k n 1101!1111 ，其中 10-=k r 是连乘记号.（2）若1 n ，证明：∑=<+<⎪⎭⎫⎝⎛+<n k nk n 13!111122．设{}为有理数r r r E,72<=，求E sup ，E inf3．设A ，B 为位于原点右方的非空数集，{}B y A x xy AB ∈∈=,证明： B A AB inf inf inf ⋅=4．设函数()x f 定义于()+∞,0内，试把()x f 延拓成R 上的奇函数，()x f 分别如下：（1）()x e x f =；（2）()x x f ln = 5．试给出函数()x f y =，D x ∈不是单调函数的正面陈述。

(数学分析习题内容)第二章

第二章数列极限习题2．按 N 定义证明：limn1n 1〔 1〕 nn111N1证明由于n 1n 1n，因此0 ，取，nN ，必有n1 1lim n 1n1nn 1.故 nlim 3n 2n3〔 2〕 n2n 2 123n 2 n 32n 3 2n 3n 5n 5 3证明由于 2n 2 122(2n 2 1) 2( n 2 n 2 1) 2n 22n nNmax{ 1, 3}3n 2 n3 3(n1)，于是0 ，取，nN ，有2n2 12n. 因此2lim 3n 2 n3n2n12lim n!n n〔 3〕 nn! 0n! n(n 1) 1 n 1 2 1 1证明由于n nn n n nnnn nn，于是0 ，取N1n!1lim n! 0nN ，必有 n nn.，因此 n n nlim sin n〔 4〕 nsinn 0 sinnn，于是NnN ，必有证明由于，取，sinn 0n.lim sinn因此 nlim n 0 (a 1)〔 5〕 n a n证明由于 a1 ，设a1 h (h 0) ，于是a n(1 h) n 1 nh n(n 1) h 2h nn(n 1) h 222 ，从而nnn2a n a nn(n 1) 2( n 1)h 22N12h0 ，取h2n N ，，因此，n2n有an (n 1)h2lim.故na n3．依照例 2，例 4 和例 5 的结果求出以下极限，并指出哪些是无量小数列：lim 1lim n 3lim1n3〔 1〕 nn；〔 2〕 n；〔 3〕nlim1lim 1nlim n 10lim 1nnn2；〔 7〕 n2〔 4〕 n3 ；〔 5〕；〔 6〕 nlim 1 lim 1 011 的结果， a解〔〕 nn nn 2〔用例〕，无量小数列22 .1lim n 3 15 的结果， a3 〕〔 2〕 n，〔用例lim 12 的结果， a3 〕，无量小数列 .〔 3〕 n n 3 ，〔用例11n1lim lim4 的结果， q3n3〔 4〕 n n，〔用例 3 〕，无量小数列 .11 n1limlimq〔 5〕n2nn2，〔用例 4 的结果，2〕，无量小数列 .lim n 10 15 的结果， a10 〕.〔 6〕 n，〔用例lim 1 lim n 11a1n 22〔 7〕 n n,〔用例 5 的结果，2 〕 .lim a nak lim a n ka4．证明：假设n，那么对任一正整数，有 k证明 lim a na0, N0, nN , | a n a | ，于是，当 kN由于 n，因此时，必有 nk N ，从而有 | an ka |lim a n k a .，因此k5．试用定义 1 证明：1为极限；〔 2〕数列{ n (1) n} 发散 .〔 1〕数列 n 不以 1证明〔用定义 1 证明〕lim a na0 ，数列 { a n }不以 a 为极限〔即 n〕的定义是：N 0 ，nN ， | an 0a |10 ，取 nN2 N ，有2 ，N〔 1〕取1 111N 1N 1 1 01n 0N 2N22(N1)2n，故数列不以 1为极限.1 1另证〔用定义1’证明〕取 2 ，那么数列n 中满足 n2 的项〔有无量多个〕1显然都落在 1 的邻域 U (1;0 )(1 2,3 2) 之外，故数列n 不以 1为极限.〔 2〕数列 { n(n1 1}，对任何 a1，那么数列 { n (n1)} ={1, 2,3,4,5, 6,R，取1)}中所有满足 “ n 为偶数，且na1〞的项〔有无穷多个〕，都落在a 的邻域nnU ( a;0 )(a 1, a 1) 之外，故数列 { n( 1)} 不以任何数a 为极限，即数列 { n( 1)} 发散.( 1)n16．证明定理，并应用它证明数列 n的极限是 1.定理数列 { a n }收敛于 a 充要条件是：{ a na} lim a na为无量小数列 . 〔即n的充lim (a na) 0要条件是 n〕证明lim a n a0, N0, nN〔必要性〕设 n，由数列极限的定义，| a na | | (a n a) 0 |lim (a na) 0，因此 n.〔充分性〕设lim (a n a)0, N0, nNn，由数列极限的定义，| (a na) 0 | | a na |lim a na，因此 n.，有，有1 ( 1) n1 ( 1) n1( 1) n下面证明：数列n的极限是 1. 由于nn 是无量小数1( 1) nn列，因此数列的极限是 1.lim a nalim | a n | | a |当且仅当 a 为何值时反之也成立？7．证明：假设n，那么n.证明lim a na，由数列极限的定义， 0,N0,n N ，设n| a n | | a || a n a |lim | a n | | a | 但此结论反之不用然成立，比方数列，因此也有 n. {( 1) n } .当且仅当 a = 0 时反之也成立 .lim | a n | 00,N 0,n N ，设n，于是| a n | | a n |lim a na，因此 n.8．按N定义证明：lim ( n 1n )lim 1 2 3nn 3〔 1〕 n；〔2〕 nn 1,n 为偶数a nnn 2 nlim a n1n 为奇数n〔 3〕n，其中| n 1n |11N1n 1nn .0 ，取 2 ，证明〔1〕由于于是| n 1n |1lim (n 1 n)n N ，必有n，从而 n.1 2 3n n(n 1) n 1 n n1〔2〕由于n32n32n 22n 2n ，于是0，取N11 2 3n1lim12 3N ，必有n30n， n，因此n n3| a nn 1111 |n〔 3〕由于当 n为偶数时，n| a n1|n2n n 2n n11n1当 n为奇数时，n n n2n n管 n| a n 1 |1N1，n 为偶数还是奇数，都有n .于是0 ，取| a n 1 |1lim a n 1 n，因此.n习题1．求以下极限：1lim0 ，可得⑴依照例 2 n n a， a n，故不N，必有lim n333n 2 n4n2nlim12nn 2⑵ n 113111n n3lim3n42134n2n312lim ( 2)n n n⑶依照例 4lim q n01，可得n， | q |(2)n n (2)n11lim3lim3n 1n 123n( 2)3n n 13 (33)lim (n2n n) limn2n lim11n nn n n112⑷1n这是由于由例 1lim a n a lim a n a lim (1 1 )1假设n，那么n. 于是由n n，得lim 1111nn.lim ( n 1n 2n 10 )10lim n a1a0 〕⑸ n，由于n〔11 11112n2 1 1lim 2222 nlim 22n11 1 n1 1 3323n1 3n31 1⑹3lim a n alim b nb a b .证明：存在正数，使适合 nN 时，有2．设 n，n，且Na n bn.aa b blim a na a b证明由 ab ，有 2.2 ，由保号性定理，存在由于 na blim b nba bN 1 0 ，使适合nN 1a n22时有. 又由于 n，因此，又存在N 2，使适合nN 2b n a b于是取Nmax{ N 1, N 2}，当 n时有2 . N 时，有ab b na n2.3．设{ a n }为无量小数列，{ b n }为有界数列，证明：{ a n b n }为无量小数列 .证明由于{ b n }为有界数列，因此存在 M0 ，使得| b n|M , n 1, 2,. 由 { a n } 为0,N 0,| a n |M. 从而当nN时，有无量小数列，知n N ，| a n b n | | a n | | b n |M Mlim a n b n，因此n，即 { a n b n } 为无量小数列 . 4．求以下极限lim1 11lim 1 1111112 23n(n 1)1223n n 1nnlim 11 1n 1〔1〕n1 1 1 1 11 248n2 4 8nn2 2 2222 2221 〔 2〕由于2 2n，而111lim 22n11 2 2n2nn21 (n)，于是n，从而lim2 42 822 n2lim221nn22 n〔3〕lim 132n 1 222 nn2lim 5 57 732 2 2 2 2n2111〔 4〕当 n 2时， 2nlim n1 11以 nn.11n2(n1)2〔 5〕由于9 2n 1 2n 332n 3 3232 n 1 2n lim2nn1n1 n11 n1lim n 1 lim n 11，2n，而 n 2 n，所1 n 11 1 0, (n)(2n)2n2nn2，因此lim111 0n2(n1)2 (2n)2nn111nn1〔 6〕由于n 2 nn 2 1n 2 2n 2 nn 21n 2，limnlim1121nn nn 1且n，因此lim1111n 2n 2n 2n12n5．设{ a n } 与{ b n }中一个是收敛数列，另一个是发散数列，证明{ anb n }是发散数列 .a n(b n 0)又问 { a n b n } 和bn可否必为发散数列 .证明〔用反证法证明〕不如设 { a n }是收敛数列，{ b n }是发散数列 .假设数列{ anb n }收敛，那么b n(a n b n )a n收敛，这与{ b n }是发散数列矛盾，因此，数列{ anb n }发散 .同理可得数列{ a nb n }发散 .a n (b n0){ a n b n }b n{ a n }{ b n }和不用然是发散数列 .比方，假设是无量小数列，是有a n (b n0){ a n b n }b n界的发散数列 . 那么和是无量小数列，自然收敛 .b n(a n0)lim a na 0 {b n }{ a n b n }a n但是，有以下结果：若是 n是发散数列，那么和，必然是发散数列 .6．证明以下数列发散：( 1) n n〔 1〕 n 1a n( 1)nn a2n2n 1, ( n)a2 n 12n 1 1证明设n 1 ，那么2n1，而2n，( 1) n n由，定理知n 1 发散 .（2〕 n ( 1)n证明n (1)n的偶数项组成的数列a2n2n，发散，因此n (1) n发散 .cosn〔 3〕4a ncosna8n11, (n)，子列证明设4 ，那么子列a8n 411, ( n)，故 cosn4 发散 .7．判断以下结论可否成立〔假设成立，说明原由；假设不成立，举出反例〕：〔 1〕假设 { a2k 1 } 和{ a 2k }都收敛，那么{ a n }收敛 .解结论不用然成立. 比方，设a n( 1) na 2k1，a 2k 11都收敛，但，那么a n (1) n 发散 .注假设 { a 2k1}和{ a 2 k }lim a 2k 1 lim a 2 k〕，那么 { a n } 收敛 .都收敛，且极限相等〔即 kk〔 2〕假设 { a 3k 2 } ， { a 3k 1 }和{ a 3k }都收敛，且有同样的极限，那么{ a n } 收敛 .证明lim a 3 k 2 lim a 3k1lim a 3 ka0 ，设 kkk，那么由数列极限的定义，知K 10 ，kK 1 ， | a 3 k 2 a |；同样也有 K 20 ， k K 2 ， | a 3 k1a |；K 30 ，kK3，| a3ka |. 取Nmax{ 3K 1 , 3K 2 , 3K 3 } ，当 nN 时，对任意的自然数 n ，假设 n 3k 2 ，那么必有kK 1 ，从而| a na |；同样假设 n 3k 1，那么必有kK 2 ，从而也有| a na |；假设n3k ，那么必有kK 3 ，从而 | a na |. 所lim a na以k，即{ a n }收敛 .8．求以下极限：lim1 32n 1〔 1〕 k2 4 2n0 1 3 5 2n 12 4 6 2n解由于1 352n 32n 1113 355 7( 2n 3)(2n 1) ( 2n 1)(2n1)2n 1lim11 3 2n 1lim0而k2n1，因此 2 42nk1 32n11 32n12 42n Sn，设另解由于242n 3 52n1 2 42n ，2 4 2n11T n2n 1 ，那么SnTn .于是S n S n T n S nS n3 52n 1 ，因此2n 1 .〔 2〕答案见教材提示 .lim [( n 1)n ], 01〔 3〕 k(n1)nn [(1 1 ) 1]n [(1 1 ) 1]解nn n1 0, (n)nn 1lim [( n 1)n ]因此， k另解由于1 0 ，因此(n1) 1n1 ，于是(n 1)n1(n 1)nn1，从而(n 1) nn10, (n) .〔 4〕答案见教材提示 .9．设a 1, a 2 ,a m为 m 个正数，证明：lim n a 1n a 2na n nmax{ a 1 , a 2 ,a m }n证明由于 max{ a , a , a}n a n a na nnn max{a , a ,a }12m12n12mlim n n1lim n a 1n a 2na n n max{ a 1 , a 2 ,a m }而n，因此nlim a na10．设 n，证明：lim [ na n ]a〔 2〕假设a0, anlim n a n 1n〔 1〕 n；，那么 n.〔 1 〕因为[ na n]nan[ na n ] 1na n 1 [na n ]a n证明，所以nn. 由于lim na n 1lim a n 1a[ na n ]nnlim a nalimannn，且n，从而n.lim a na0 ，使适合 na a n3 a 〔 2〕由于 n，由定理，存在 NN 时，有22 .na na nn3alim n a lim n 3 a 1limna n 1于是22，并且 n2n2，因此 n.习题1nlim 1 en1．利用 n 求以下极限：nn1 n11lim 11limnlimn1n 11ennn11〔 1〕n 1 n 1n 1n1 lim1lim1111e〔 2〕 nnnnn1n 1n11lim1n e1lim1 nn 1n1〔 3〕n 11 n1lim 1lim 12n2n〔 4〕n n2 n 12n21lim 1en2nlim a n a0, n 1, 2, ，那么注：此题的求解用到事实〔例 1 〕：假设n，且anlim a na. nnlim 11n 2〔 5〕 n1 n1解由于数列n单调增加，且有上界3 ，于是1 n 1 n 21 1n 1n 31, (n)n 2n 2，因此n lim 11 1n 2n2．试问下面的解题方法可否正确：求 lim 2nn解不正确 .lim 2nlim 2n由于极限 n可否存在还不知道〔事实上极限n不存在〕，因此设lim 2nan是错误的 .3．证明以下数列极限存在并求其值：〔 1〕设 a 12, a n 12a n , n1, 2,证明先证数列{ a n }的有界性，用数学归纳法证明： 2是{ a n }的一个上界 .a 122 ，假设an2 ，那么 a n12a n 2 22，因此{ a n }有上界2.an 1a n2a n a na n ( 2 a n ) 0an ，其次证明{ a n }单调增加 .lim a n a2a na n，因此an 1即{ a n }单调增加 .从而{ a n }极限存在，设2 2a n的两端取极限，得n，在an1a 22a，解之得 a = 0 (舍去) 和2lim a n2，因此n.an 12a n 2 2 1注：{ a n }的单调增加也可以以下证明：a na na n2，因此an 1an .1 1 1 1 1 1 1还可以以下获取：a n 2 2 42n2 2 42n2n 1an 1〔 2〕设 a 1c (c 0), a n 1 c a n , n 1, 2,证明先证数列 { a n } 的有界性，用数学归纳法证明：{ a n }的一个上界是1 +c .a 1c1 c ，假设 an1 c ，那么an 1c a n2c1c 22c 11 c ，因此{ a n }有上界 1 + c .其次证明{ a n }单调增加〔用数学归纳法证明〕. a 1ccc a 2 ，假设an 1a n ，于是c a n 1 c a n ，从而c a n 1c a n ，即 a nan 1. 故 { a n } 单调alim a n2 ca n的两端取极限，得2因此{ a n }极限存在，设 nac a ，增加 . ，在an 1a 11 4clim a n 2解之得2 . 由于n，因此a >0 . 故 n.a >cna n(c 0), n 1, 2,〔 3〕n!证明先证{ a n }从某一项今后单调减少. 取自然数N 使得 N > c ，于是当nN时，c n 1cc nccan 1(n 1)! n 1 n!n 1anN1ana n ，即从第 N 项开始 { a n } 单调减少 .由于{ a n }的各项都大于零，因此{ a n }有下界0.从而{ a n }极限存在 .lim a na设n，an 1clim a nn a n的两端取极限，得a0 a ，故 a在10 ，即 n.1 nn111nn 14．利用为递加数列的结论，证明为递加数列 .1 nn 2na n 1，要证：a na n , n 2, 3,n1n1 1证明设，即1nnn 11111n1由于为递加数列，因此有nn 1，n nn2n 11即nn 1，于是n 1n 1n n 2 nn 2 n n 2na n 1 n 1n 2a nnn 1n 1n 1n 1 n 1n 1.n 2 nn(n 2) 1n 1 n 1(n 1) 2其中用到事实：.5．应用柯西收敛准那么，证明以下数列{ a n }收敛：a nsin 1sin 2sin n2222n〔 1〕证明不如设 nm ，那么有| a nsin( m1)sin( m 2)sin na m |2m 12m22nsin(m 1) sin( m 2)sin n 111 2 m 12 m 22 n2 m 1 2m 22n1 11 1 1 11112m 1 2 2 n m 1 2 m 1 2 2 n m 1 2n m1 21 12m 1 2mmN 1， n, mN ，有 | a n a m |{ a n } 收敛 .因此，0 ，取，由柯西收敛准那么，a n1 1112232n 2〔 2〕证明不如设nm，那么有| a n a m |1111) 2(m2) 2n 2(m111 m( m 1) (m 1)( m 2)(n 1)n1111 111 11m m 1 m 1 m 2n 1 n m n mN1n, mN ，有| ana m |，由柯西收敛准那么，{ a n}因此，0 ，取，收敛 .6．证明：假设单调数列 { a n }含有一个收敛子列，那么{ a n }收敛 .证明不如设 { a n } 是单调增加数列，{ a n k }是其收敛子列 . 于是{ a n k }有界，即存在M 0 ，使得a nkM , k 1, 2,. 对单调增加数列{ a n }中的任一项a m必有a ma m kM ，即 { a n } 单调增加有上界，从而收敛 .lim a nl1lim a n7．证明：假设a n，且 na n1，那么 nlim a n l 1lima nlr 1a n 1a nnn1证明由于，因此存在 r 使得. 于是由数列极限a nr的保号性定理〔〕，存在 N0 ，当 n N 时，an 1，anran 1 .从而有a N1ra N 2r 2a N rn N10a na N10, (n)r n N 13a n，因此，，故lim a n0 n.8．证明：假设 { a n }为递加有界数列，那么lim a n sup{ a n }；假设 { a n }为递减有界数列，nlim a ninf{ a n }又问抗命题成立否？那么n.证明证明过程参照教材，定理〔单调有界定理〕.1n 为奇数a n1n 为偶数 lim a n sup{ a n }1抗命题不用然成立 . 比方数列1n ，n，但{ a n }不只一 .9．利用不等式b n 1a n 1( n 1)a n (b a), ba，证明：n 11 n1 11nn为递减数列，并由此推出为有界数列 .n 1a n11b n 1a n 1( n 1) a n ( ba ) ，有证明设n，由不等式b n 1a n 1na n b na n 1a n ba n 1 ，于是b n1na n b na n 1 a n b ，bnnananna n 1 b .a 1 1 n 1, b 1 1n n， ba ，得在上式中令n n n 1 11nn na n 11n 1n1n n 1nn 1 nn n 1n1 n 1 nnnnn nn 1 n1 n 1 n n 1 n 1a nnnnn1n 11即an1an，故n为递减数列 .nn 111 n11111141nnn1为有界数列 .而，因此e(1 1 ) n310．证明：n n1 n 11n证由上题知为递减数列，于是对任何mn有，n 1 1 111nnm 1，令m，取极限得，1 n 11en①n 1nnn1 111 11 11 3 1 1又由于 n nnn n n②n 1 3 ne1111n nn由①、②得，从而e (11 ) n e (11 )n 3nn na 2a 1b 111．给定两正数a 与b (a >b ) ，作出其等差中项2 与等比中项1111b 2a 1b1 ，一般地令a na nb n，bna nb n , n 1, 2,121lim a nlim b n证明： n与 n皆存在且相等 .由于a1b 1，因此有 a n 1a nb n a n a na n，即{ a n }单调减少 .证明22同样可得{b n }单调增加 .a 1a n 1a nb na nb nb n 1b 1{ a n }单调减稀有2于是有，即下界，{b n }单调增加有上界，故 lim a n lim b n皆存在 .n与n在 2a n1anb n的两端取极限，可得lim a n lim b nnn12．设{ a n }为有界数列，记ansup{ a n , a n 1 , } ， a n inf{ a n , a n 1 ,}证明：⑴ 对任何正整数 n ，a nan ；⑵{ a n }为递减有界数列，{ a n } 为递加有界数列，且对任何正整数n ， m 有ana m ；⑶ 设 a 和a分别是{ a n}和 { a n }的极限，那么aa ；⑷{ a n }收敛的充要条件是 aa证 ⑴ 对任何正整数 n ，a nsup{ a n , a n 1 ,} a ninf{ a n , a n 1 , }a n⑵ 由于a nsup{ a n , a n 1 , } sup{ a n 1 , a n 2 ,} a n 1 ，n1, 2,，因此 { a n }为递减有界数列 .由 a ninf{ a n , a n 1 , }inf{ a n 1 , a n 2 , }a n 1，知{ a n }为递加有界数列 .对任何正整数n ， m ，由于 { a n}为递减有界数列，{ a n }为递加有界数列，因此有a na n ma n ma m .n ， m 有anam ，令 na lim aam，即 aam ，⑶ 由于对任何正整数得，nn令 malim a maa .得m，故 a⑷ 设 { a n }lim a n a. 那么0 ， N 0 ， n N ， | a na |，收敛， na a n a.于是有aa na，从而 a lim a n a.同理可得nalim a naan，因此 a反之，设aa .lim a n alim a n a a0， N0 ， n N ，由 n， n，得有aa n a及aa n a，从而aa n a n a n a总练习题1．求以下数列的极限：lim n n 3 3n〔 1〕 n解当 n3 时，有 n 33n ，于是3n3nnn33nn2 3n3 n23,(n)，因此lim n n 3 3n3nlim n 5〔 2〕 n e n解设 e 1 h ，那么当n6 时，e n(1 h)n1 nh n(n 1) h 2h nn(n 1) ( n 5) h 62!6!，于是555n6! n0, ( n)limnnn(n 1)( n 2)(n 3)(n6e4)( n 5) h，因此 ne na nn 5lima nn 5 e n 1e 1e n lim n( n 1) 5解法 2 用习题 7的结论.设， nan 1ne，从而limn 5lim a ne nnn.n 5lim ( nn )5lim n 1 5nen(e )解法 3 用习题 2⑸的结果a nn5an 11 (1 1 5解法 4 用单调有界定理.e na ne ). 因为令，那么nlim (1 1) 5 1 e(1 1 )5enn ，因此存在 N 0 ，当 nN 时， n，从而当 nN 时，a n 1 1 (1 1 5 1) N 起数列{ a n}递减，且有下界 0，因此{ a n }收敛 .a ne n. 于是从 n设lim a naa n 11(11) 5 a n的两端取极限，得 a 1 a0 .n，在等式ene ，因此 alim ( n 22 n 1 n )（ 3〕 nlim ( n 2 2 n 1n ) lim [( n 2n 1) ( nn 1)]解 nn11limnn 2n 1n 1n2．证明：lim n 2 q n 0 (| q | 1)（ 1〕 n 证明当 q 0 时，结论成立 .1111 h, hq n1当| q | 1时，有 | q |(1 h) n，令 | q |，于是有，而由牛顿n(1 h) nn(n 1)(n2) h 3二项式定理，当3 时有3!，从而0 n 2 q nn 2 n 20 (n)(1 h) n n(n 1)(n 2)h 33!，因此lim n 2 q nnlim n 2 q n lim (n)2 (sgn q) nnn( 1 ) n另解用习题 2⑸的结果| q |lim lg n0, (1)〔 2〕 n n证明由于 lg xx, x 0 ，于是lg n 2 lg n2 n 20, (n)lg nnn n1n2limn，因此 n .lim 1〔 3〕 n n n!n nn!证明先证明不等式：3.nnn!n 1时，显然不等式成立；假设 3 成立，当 n + 1用数学归纳法证明，当时nn 1 nn(n 1)! (n 1) n!(n 1)n (n 1) n33n1n 1 n 13 3n11nn 1n 1 3n1 31n) limn!nn! 0, (nn故不等式3成立.由此可得n，因此 nn!另解用数学归纳法证明不等式：nn!nlim a na3．设n，证明：lima 1a 2a nalim a na〔 1〕 nn〔又问由此等式可否反过来推出n〕证明lim a n a0, N 1 0, n N 1 ，| a n a |2. 从而当由于 n，于是有nN1 时，有a 1a 2a naa 1 a 2a n nan n| a 1 a | | a 2a | | aN 1a || aN 11a | | a N 1 2 a || a na |nn A n N 1 Ann2n 2A | a 1a | | a 2 a || aN 1a |limA其中是一个定数 . 再由 nn，知存在AN 2，使适合nN2 时， n2 . 因此取Nmax{ N 1, N 2 }，当 nN 时，有a 1a 2a na Ann222.na 1 a 2a n. 比方an( 1)limn反过来不用然成立不收敛，但 n.lim a nlim a 1 a 2a n 练习：设 n，证明： n n(2) 假设an0 (n1, 2,lim n a 1a 2 a n a)，那么 n证明先证算术平均值—几何平均值—调停平均值不等式：nna 1a 2a n a 1 a 2a n1 1 1na 1a 2a nna 1a 2a na 1 a 2a n算术平均值—几何平均值不等式：n1 a 1 a(a 1 a 2 )22a 1a2 时成立 .2对任何非负实数a1 ，a2 有，其中等号当且仅当由此推出，对4 个非负实数a1 ，a2 ，a3 ，a4 有1111 (a11( a 1a 2 a 3a 4 )4[( a 1a 2 ) 2 (a 3a 4 ) 2 ]2a 2 a 3a4 )2a 1a 2a 3a 42222a 1 a 2 a 3a 424na 1a 2 a n a 1 a 2a n按此方法连续下去，可推出不等式n对所有n2k〔k 0, 1, 2,〕都成立，为证其对所有正整数n都成立，下面采用所谓的反向归纳法，即证明：假设不等式对某个 n (2)成立，那么它对 n1也成立 .设非负实数 a 1 , a 2 ,a n1( a 1 a 2 a n 1 ), a n 1 ，令n 1，那么有1a 1 a 2an 111a 1 a 2an 1(a 1a 2a n 1 )n)n(a 1 a 2)(n 1nan 1n111(a 1(a 1a 2a n 1 ) n 1a 2a n 1 )1 成立，从而整理后得n 1，即不等式对 n对所有正整数 n都成立 .nna 1a 2a n1 1 1几何平均值—调停平均值不等式a 1 a 2a n的证明，可令y i1x i ，再对 y i 〔 i1, 2,, n〕应用平均值不等式 .由 a n0 (n 1, 2,lim a n a 0lim 11假设 ana na .由上一小题的) ，知 n. 0 ，那么结论，有nna 1a 2a n a 1 a 2 a na, (n)1 11na 1 a 2a nlimnlim11a1 1111 1nn1a 1a 2a na 1 a 2a na而n，因此lim n a 1 a 2 a na.n假设alim a n0 ，那么0,N 1 0, nN 1 ， a n. 从而当 n N 1 时，0，即n有na 1 a 2 a nn a 1 a 2a NaN 1a n na 1 a 2a Nnn N 1111n N 1N 1na 1 a 2a Nnna 1 a 2 a NnA11其中Aa 1a 2a N 1N 1lim n A 12N 2，使适合，是定数，故n，于是存在n N 2 时，nA 2 . 因此取Nmax{ N 1, N 2 }，当 nN 时，有na 1 a 2 a n nAlim n a 1 a 2a n 02，故 n4．应用上题的结论证明以下各题：1 1 1 1lim 2 3 n 0〔 1〕 nn111 1 11a nlim a n limlim 2 3n证明令 n ，那么 n nn ，因此 nn.lim n a 1 (a 0)（ 2〕 n 证明令a1a ，an1, n 2, 3, lim a n1，那么 n ，从而lim n alim n a 1a 2a n lim a n 1nnnlimnn 1〔 3〕 n证明令a11， a nn , n 2, 3, lim a n 1n 1，那么 n，于是lim n n lim n 1 2 3 4n 1lim n a 1a 2a nlim a n1nn123nnn.lim1 0〔 4〕 nn n!证明a n1, n 1, 2,lim a n 0令n，那么 n，因此lim n1 lim n1lim n 111 lim1n n! n1 2 3 nn2nnnlim nenn!〔 5〕nn n 11 n 1a n1, n 2, 3,lim a n e证明n 1n 1，因此令，那么 nn n234n 1n 1lim n n lim n lim n 234 5 n limn en n!n n! n2 3 4n 1 nn 1n na n1 n 1a n, n 1, 2,limlim 1e另证n!na n 1nn 1 . 于是令，那么lim n lim n a nlim n a 2 a 3a nlima nenn n! nna 1 a 2a n 1na n 1.lim1233nn1〔 6〕 nn证明lim n n1lim 1233nnlim n n 1由于n，因此 nnnlim bn 1a (b n0)lim n b nanb n〔 7〕假设，那么nlim nb n lim n b 2 b 3 b n 1 n b 1lim n b 2 b 3 bn 1lim n b 1证明nn b 1 b 2b nn b 1 b 2b nnlimbn 11 anb nlim (a na n 1 )da n dlim〔 8〕假设n，那么nn证明设a1lima nlim a 0(a 1 a 0 ) (a 2 a 1 )(a na n 1)nnnnnlima 0lim (a 1 a 0 ) ( a 2a 1 )( a n a n 1 ) 0 lim ( a n a n 1 ) dnnnnnlim ( a n b n ) 0lim a nlim b n5．证明：假设{ a n }为递加数列，{b n }为递减数列，且 n，那么 n与n都存在且相等 .证明因为lim ( a n b n ) 0b n }有界，于是存在 M，使得n，所以 { a nM a n b nM . 从而有anMb n Mb 1 ， b n anMa 1M，因此{ a n }lim a nlim b n又因为为递增有上界数列，{ b n }为递减有下界数列，故 n与n都存在 .lim a n lim b nlim (a n b n ) 0lim a n lim b nnnn，因此nn.6．设数列{ a n }满足：存在正数，对所有n 有MA n | a 2 a 1 | | a 3a 2 | | a n a n 1 | M证明：数列 { a n } 与{ A n } 都收敛 .证明数列{ A n }单调增加有界，故收敛.由柯西收敛准那么，0, N，当m n N 时，| AmA n | . 于是| a m a n | | a ma m 1 | | a m 1 a m 2 || a n 1 a n | A m A n因此由柯西收敛准那么，知数列{ a n } 收敛 .a 0,0, a 11 a an 1 12a na n , n 1, 2,7．设a ，2，证明：数列{ a n } 收敛，且其极限为an 11a na na na n{ a n }证明因为2，故数列有下界.an 11 111a n21a n22，于是a n1a n，即数列{ a n }单调减少，从而数列 { a n}收敛 .lim a nA，由 an 11 a na n ，得 2a n a n 12，两端取极限得，设 n2 a n2 A 2A 2，解得 Alim a n .，因此 na nan 1bn 1b n2a n 1 b n 18．设a1b 1，记 2an 1bn 1 ，n2, 3,.，证明：数列{ a n } 与 { b n } 的极限都存在且等于a 1b 1 .b n2a n 1 bn 1 a n 2 1 b n 2 1 (a n 1b n 1 ) 22a n 1 bn 1a n 1b n 1a n 1bn 1a n 1bn 1证由于an 1bn 12a n 1b n 1 an 1bn 1b nb nan 1bn 1a na nbn 122, 3,1，因此， n数列{ a n }是递减的：an 1a nb na n a na n221, 2,，n。

(数学分析习题答案)第二章

第二章数列极限P.27 习题2．按N -ε定义证明：（1）11lim=+∞→n nn证明因为 n n n n 11111<+=-+，所以0>∀ε，取ε1=N ，N n >∀，必有ε<<-+n n n 111. 故11lim =+∞→n n n（2）23123lim 22=-+∞→n n n n 证明因为 n n n n n n n n n n n n n 32525)1(232)12(23223123222222<=<-++<-+=--+ )1(>n ，于是0>∀ε，取}3,1max{ε=N ，N n >∀，有 ε<<--+n n n n 32312322. 所以23123lim 22=-+∞→n n n n（3）0!lim =∞→n n n n证明因为n n n n n n n n n n n n n n nn 11211)1(!0!≤⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅-==- ，于是0>∀ε，取ε1=N ，N n >∀，必有ε<≤-n n n n10!. 所以0!lim =∞→n n n n（4）sinlim =∞→nn π证明因为n nnπππ≤=-s in0s in，于是0>∀ε，取επ=N ，N n >∀，必有εππ<≤-nn0s in. 所以sinlim =∞→nn π（5）)1(0lim>=∞→a a nnn证明因为1>a ，设)0(1>+=h h a ，于是222)1(2)1(1)1(h n n h h n n nh h a n n n -≥++-++=+= ，从而22)1(22)1(0h n hn n n a n a n n n -=-≤=-，所以0>∀ε，取122+=h N ε，N n >∀，有ε<-≤-2)1(20h n a n n . 故0lim =∞→n n a n3．根据例2，例4和例5的结果求出下列极限，并指出哪些是无穷小数列：（1）n n 1lim∞→；（2）n n 3lim ∞→；（3）31limn n ∞→（4）n n 31lim ∞→；（5）n n 21lim ∞→；（6）n n 10lim ∞→；（7）n n 21lim ∞→ 解（1）01lim 1lim 21==∞→∞→n nn n （用例2的结果，21=a ），无穷小数列.（2）13lim =∞→n n ，（用例5的结果，3=a ）（3）01lim3=∞→n n ，（用例2的结果，3=a ），无穷小数列.（4）031lim 31lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛=∞→∞→nn n n ，（用例4的结果，31=q ），无穷小数列.（5）021lim 21lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛=∞→∞→nn n n ，（用例4的结果，21=q ），无穷小数列. （6）110lim =∞→n n ，（用例5的结果，10=a ）.（7）121lim 21lim==∞→∞→nn nn ,（用例5的结果，21=a ）. 4．证明：若a a n n =∞→lim ，则对任一正整数 k ，有a a k n k =+∞→lim证明因为aa n n =∞→lim ，所以εε<->∀>∃>∀||,,0,0a a N n N n ，于是，当Nk >时，必有N k n >+，从而有ε<-+||a a k n ，因此a a k n k =+∞→lim .5．试用定义1证明：（1）数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1不以1为极限；（2）数列}{)1(n n -发散.证明（用定义1证明）数列}{n a 不以 a 为极限（即a a n n ≠∞→lim ）的定义是：00>∃ε，0>∀N ，N n >∃0，0||0ε≥-a a n（1）取210=ε，0>∀N ，取N N n >+=20，有0021)1(212112111ε==++≥++=-+=-N N N N N n ，故数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1不以1为极限.另证（用定义1’证明）取210=ε，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1中满足2>n 的项（有无穷多个）显然都落在1的邻域)23,21();1(0=εU 之外，故数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1不以1为极限.（2）数列}{)1(n n -=},6,51,4,31,2,1{ ，对任何R a ∈，取10=ε，则数列}{)1(n n -中所有满足“n 为偶数，且1+>a n ”的项（有无穷多个），都落在 a 的邻域)1,1();(0+-=a a a U ε之外，故数列}{)1(nn -不以任何数 a 为极限，即数列}{)1(nn -发散.6．证明定理2.1，并应用它证明数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+n n )1(1的极限是1. 定理2.1 数列}{n a 收敛于 a 充要条件是：}{a a n -为无穷小数列. （即a a n n =∞→lim 的充要条件是0)(lim =-∞→a a n n ）证明（必要性）设aa n n =∞→lim ，由数列极限的定义，,0,0>∃>∀N εN n >∀，有ε<--=-|0)(|||a a a a n n ，所以 0)(lim =-∞→a a n n .（充分性）设0)(lim =-∞→a a n n ，由数列极限的定义，,0,0>∃>∀N εN n >∀，有ε<-=--|||0)(|a a a a n n ，所以a a n n =∞→lim .下面证明：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+n n )1(1的极限是1. 因为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧--+n n n n )1(1)1(1是无穷小数列，所以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+n n )1(1的极限是1.7．证明：若a a n n =∞→lim ，则||||lim a a n n =∞→. 当且仅当 a 为何值时反之也成立？证明设aa n n =∞→lim ，由数列极限的定义，,0,0>∃>∀N εN n >∀，ε<-≤-||||||a a a a n n ，所以也有||||lim a a n n =∞→. 但此结论反之不一定成立，例如数列})1{(n -.当且仅当 a = 0 时反之也成立. 设0||lim =∞→n n a ，于是,0,0>∃>∀N εN n >∀，ε<=||||n n a a ，所以aa n n =∞→lim .8．按N -ε定义证明：（1）0)1(lim =-+∞→n n n ；（2）0321lim3=++++∞→n nn（3）1lim =∞→n n a ，其中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=为奇数为偶数n n n n n nn a n 2,1证明（1）因为n nn n n 111|1|<++=-+. 于是0>∀ε，取21ε=N ，N n >∀，必有ε<<-+nn n 1|1|，从而0)1(lim =-+∞→n n n .（2）因为n n n n n n n n n n n 12212)1(3212233=+<+=+=++++ ，于是0>∀ε，取ε1=N ，N n >∀，必有ε<<-++++n n n 103213 ，所以0321lim 3=++++∞→n n n（3）因为当 n 为偶数时，n n n a n 111|1|=--=-当 n 为奇数时，nnn n nnn n n nn a n 111|1|222<++=-+=-+=-，故不管n 为偶数还是奇数，都有n a n 1|1|<-. 于是0>∀ε，取ε1=N ，N n >∀，必有ε<<-n a n 1|1|，所以 1lim =∞→n n a .P.33 习题1．求下列极限：⑴ 根据P.24例2 01lim=∞→an n ，0>a ，可得4131241131lim 32413lim 323323=++++=++++∞→∞→n n n n n n n n n n⑵ 0)21(lim 21lim 22=+=+∞→∞→n n n n n n⑶根据P.25例4 0lim =∞→n n q ，1||<q ，可得313)32(31)32(lim 3)2(3)2(lim 111=+-⋅+-=+-+-+∞→++∞→n nn n n nnn⑷ 211111lim lim )(lim 22=++=++=-+∞→∞→∞→n n n n n n n n n n n这是因为由P.29例1若aa n n =∞→lim ，则aa n n =∞→lim . 于是由1)11(lim =+∞→n n ，得1111lim ==+∞→n n .⑸ 10)1021(lim =+++∞→n n n n ，因为1lim =∞→n n a （0>a ）⑹ 23113113121121121lim 313131212121lim 22=--⋅--⋅=++++++∞→∞→nn n n n n2．设a a n n =∞→lim ，b b n n =∞→lim ，且b a <. 证明：存在正数N ，使得当N n >时，有n n b a <.证明由b a <，有b b a a <+<2. 因为2lim ba a a n n +<=∞→，由P.24保号性定理2.4，存在01>N ，使得当1N n >时有2b a a n +<. 又因为2lim b a b b n n +>=∞→，所以，又存在02>N ，使得当2N n >时有2b a b n +>. 于是取},m ax {21N N N =，当N n >时，有nn b b a a <+<2. 3．设}{n a 为无穷小数列，}{n b 为有界数列，证明：}{n n b a 为无穷小数列.证明因为}{n b 为有界数列，所以存在0>M ，使得 ,2,1,||=≤n M b n. 由}{n a 为无穷小数列，知,0,0>∃>∀N εN n >∀，M a n ε<||. 从而当N n >时，有εε=⋅<⋅=M Mb a b a n n n n ||||||，所以0lim =∞→n n n b a ，即}{n n b a 为无穷小数列.4．求下列极限（1）1111lim 11131212111lim )1(1321211lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⋅+⋅∞→∞→∞→n n n n n n n n（2）因为nnn n212112181412128422222222===-+++ ，而)(12221121∞→→=<<n nnn，于是12lim 21=∞→nn ，从而222lim2222lim 21284==∞→∞→nnn n（3）32323lim 23221229272725253lim 2122321lim 13222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++-+-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++∞→-∞→∞→n n n n n n n n n n n（4）当2>n 时，11121<-<n ，n n n n 11121<-<，而11lim 21lim ==∞→∞→n n n n ，所以111lim =-∞→n n n .（5）因为)(,0111)2(1)1(11022222∞→→+=+≤++++<n n n n n n n n ，所以 0)2(1)1(11lim 222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++∞→n n n n（6）因为1112111222222=≤+≤++++++≤+nn n n n n n n nn n ，且1111limlim2=+=+∞→∞→nnn n n n ，所以112111lim 222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n n n 5．设}{n a 与}{n b 中一个是收敛数列，另一个是发散数列，证明}{n nb a ±是发散数列. 又问}{n n b a 和)0(≠⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n n b b a 是否必为发散数列.证明（用反证法证明）不妨设}{n a 是收敛数列，}{n b 是发散数列. 假设数列}{n nb a +收敛，则n n n n a b a b -+=)(收敛，这与}{n b 是发散数列矛盾，所以，数列}{n n b a +发散.同理可得数列}{n n b a -发散.}{n n b a 和)0(≠⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n n b b a 不一定是发散数列. 例如，若}{n a 是无穷小数列，}{n b 是有界的发散数列. 则}{n n b a 和)0(≠⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n n b b a 是无穷小数列，当然收敛.但是，有下列结果：如果0lim ≠=∞→a a n n ，}{n b 是发散数列，则}{n n b a 和)0(≠⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n n a a b 一定是发散数列.6．证明以下数列发散：（1）⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-1)1(n n n证明设1)1(+-=n n a nn ，则)(,11222∞→→+=n n n a n ，而121212-→--=-n n a n ，由P.33，定理2.8 知⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-1)1(n n n 发散. （2）{}nn )1(-证明{}nn )1(- 的偶数项组成的数列n a n 22=，发散，所以{}nn)1(-发散.（3）⎭⎬⎫⎩⎨⎧4cos πn 证明设4cosπn a n =，则子列 )(,118∞→→=n a n ，子列 )(,1148∞→-→-=+n a n ，故⎭⎬⎫⎩⎨⎧4cos πn 发散. 7．判断以下结论是否成立（若成立，说明理由；若不成立，举出反例）：（1）若}{12-k a 和}{2k a 都收敛，则}{n a 收敛.解结论不一定成立. 例如，设nn a )1(-=，则12=ka ，112-=-k a 都收敛，但n n a )1(-=发散.注若}{12-k a 和}{2k a 都收敛，且极限相等（即kk k k a a 212lim lim ∞→-∞→=），则}{n a 收敛.（2）若}{23-k a ，}{13-k a 和}{3k a 都收敛，且有相同的极限，则}{n a 收敛.证明设aa a a k k k k k k ===∞→-∞→-∞→31323lim lim lim ，则由数列极限的定义，知0>∀ε，01>∃K ，1K k >∀，ε<--||23a a k ；同样也有02>∃K ，2K k >∀，ε<--||13a a k ；03>∃K ，3K k >∀，ε<-||3a a k . 取}3,3,3m ax {321K K K N =，当N n >时，对任意的自然数 n ，若23-=k n ，则必有1K k >，从而ε<-||a a n；同样若13-=k n ，则必有2K k >，从而也有ε<-||a a n；若k n 3=，则必有3K k >，从而ε<-||a a n . 所以aa n k =∞→lim ，即}{n a 收敛.8．求下列极限：（1）n n k 2124321lim-∞→解因为n n 2126543210-<121)12)(12(12)12)(32(32755533311+=+-----⋅⋅⋅<n n n n n n n而0121lim =+∞→n k ，所以 02124321lim =-∞→n n k 另解因为12254322124321+<-n n n n ，设n n S n 2124321-=，1225432+=n n T n ，则n n T S <. 于是121+=⋅<n S T S S n n n n ，所以121+<n S n .（2）答案见教材P.312提示. （3）10],)1[(lim <<-+∞→αααn n k解 ]1)11[(]1)11[()1(0-+<-+=-+<n n n n n n ααααα)(,011∞→→==-n n n n αα所以，0])1[(lim =-+∞→ααn n k另解因为01<-α，所以11)1(--<+ααn n ，于是11)1()1(--+=+<+ααααn n n n n ，从而)(,0)1(01∞→→<-+<-n nn n ααα. （4）答案见教材P.312提示.9．设m a a a ,,21为 m 个正数，证明：},,max {lim 2121m n nn n n n a a a a a a =+++∞→证明因为 },,max{},,max{212121m n n nn n n m a a a n a a a a a a ≤+++≤而1lim =∞→n n n ，所以},,max {lim 2121m n nn n n n a a a a a a =+++∞→10．设aa n n =∞→lim ，证明：（1）a n na n n =∞→][lim；（2）若0,0>>n a a ，则1lim =∞→n n n a .证明（1）因为1][][+<≤n n n na na na ，所以nn n a n na n na ≤<-][1. 由于a n a n na n n n n =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-∞→∞→1lim 1lim ，且a a n n =∞→lim ，从而a n na n n =∞→][lim .（2）因为 0lim >=∞→a a n n ，由P.29 定理 2.4，存在0>N ，使得当N n >时，有a a a n 232<<. 于是 n n n na a a 232<<，并且123lim 2lim ==∞→∞→n n n n a a ，所以1lim =∞→n n n a .P.38 习题1．利用e n nn =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim 求下列极限：（1）e n n n n n n n nn nn 11111111lim 1lim 11lim 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--∞→∞→∞→（2）e n n n nn n n =⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→+∞→1111lim 11lim 1（3）e n n n n n nn =⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→∞→111111lim 111lim 1（4）en n n nn n n nn =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→⋅∞→∞→2212211lim 211lim 211lim注：此题的求解用到事实（P.29例1）：若aa n n =∞→lim ，且,2,1,0=≥n a n ，则aa n n =∞→lim .（5）nn n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→211lim 解因为数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+nn 11单调增加，且有上界 3，于是 )(,1311111222∞→→<⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+<n n n n n n n，所以111lim 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→nn n2．试问下面的解题方法是否正确：求nn 2lim ∞→解不正确. 因为极限nn 2lim ∞→是否存在还不知道（事实上极限nn 2lim ∞→不存在），所以设an n =∞→2lim 是错误的.3．证明下列数列极限存在并求其值：（1）设,2,1,2,211===+n a a a n n证明先证数列}{n a 的有界性，用数学归纳法证明：2是}{n a 的一个上界.221<=a ，假设2<n a ，则22221=⋅<=+n n a a ，所以}{n a 有上界2.其次证明}{n a 单调增加.2)2(21>+-=-=-+nn n n n n n n a a a a a a a a ，所以n n a a >+1，即}{n a 单调增加. 从而}{n a 极限存在，设a a n n =∞→lim ，在n n a a 221=+的两端取极限，得a a 22=，解之得 a = 0 (舍去) 和 2，所以2lim =∞→n n a .注：}{n a 的单调增加也可以如下证明：122221=>==+n n n n n a a a a a ，所以n n a a >+1.还可以如下得到：121214121214121122++++++++=<=+n na a n n n（2）设,2,1,),0(11=+=>=+n a c a c c a n n证明先证数列}{n a 的有界性，用数学归纳法证明：}{n a 的一个上界是 1 + c .c c a +<=11，假设c a n +<1，则c c c c a c a n n +=++<+<+=+1121221，所以}{n a 有上界1 + c .其次证明}{n a 单调增加（用数学归纳法证明）. 21a c c c a =+<=，假设n n a a <-1，于是n n a c a c +<+-1，从而n n a c a c +<+-1，即1+<n n a a . 故}{n a 单调增加. 所以}{n a 极限存在，设a a n n =∞→lim ，在n n a c a +=+21的两端取极限，得a c a +=2，解之得 2411ca +±=. 由于a n > 0 ，所以 a > 0 . 故 2lim =∞→n n a . （3）,2,1),0(!=>=n c n c a nn 证明先证}{n a 从某一项以后单调减少. 取自然数 N 使得 N > c ，于是当N n >时，nn n n n n a a N ca n c n c n c n c a <+<+=+=+=++11!1)!1(11，即从第N 项开始}{n a 单调减少.由于}{n a 的各项都大于零，所以}{n a 有下界0. 从而}{n a 极限存在. 设a a n n =∞→lim ，在n n a n c a 11+=+的两端取极限，得a a ⋅=0，故0=a ，即0lim =∞→n n a .4．利用⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n 11为递增数列的结论，证明⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛++nn 111为递增数列. 证明设nn n n n n a ⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=12111，要证： ,3,2,1=≤-n a a n n ，即因为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+nn 11为递增数列，所以有111111+⎪⎭⎫ ⎝⎛++<⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n n n ，即1121+⎪⎭⎫⎝⎛++<⎪⎭⎫ ⎝⎛+n nn n n n ，于是nnn n n n a n n n n n n n n n n n n n n a =⎪⎭⎫⎝⎛++<+⋅++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+⎪⎭⎫⎝⎛++<⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+--12112121121111.其中用到事实：1)1()2(1122≤++=+⋅++⋅n n n n n n n .5．应用柯西收敛准则，证明以下数列}{n a 收敛：（1）n n na 2sin 22sin 21sin 2+++=证明不妨设m n >，则有n m m m n nm m a a 2sin 2)2sin(2)1sin(||21+++++=-++n m m n m m n m m 2121212sin 2)2sin(2)1sin(2121+++≤+++++≤++++ ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++<⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=---+--+ m n m n m m n m 21212112121211211111 m m m 1212211<=⋅=+ 所以，0>∀ε，取ε1=N ，N m n >∀,，有ε<-||m n a a ，由柯西收敛准则，}{n a 收敛. （2）222131211n a n ++++= 证明不妨设m n >，则有2221)2(1)1(1||n m m a a m n +++++=- n n m m m m )1(1)2)(1(1)1(1-++++++≤ m n m n n m m m m 1111112111111<-=--+++-+++-=所以，0>∀ε，取ε1=N ，N m n >∀,，有ε<-||m n a a ，由柯西收敛准则，}{n a 收敛.6．证明：若单调数列}{n a 含有一个收敛子列，则}{n a 收敛.证明不妨设}{n a 是单调增加数列，}{k n a 是其收敛子列. 于是}{k n a 有界，即存在0>M ，使得 ,2,1,=≤k M a kn . 对单调增加数列}{n a 中的任一项m a 必有M a a km m ≤≤，即}{n a 单调增加有上界，从而收敛.7．证明：若0>n a ，且1lim1>=+∞→l a a n nn ，则0lim =∞→n n a证明因为1lim 1>=+∞→l a a n n n ，所以存在 r 使得1lim 1>>=+∞→r l a a n n n . 于是由数列极限的保号性定理（P.29），存在0>N ，当N n >时，ra a n n>+1，1+>n nra a . 从而有n N n N N N a r a r ra a 13221--+++>>>> ，因此，)(,0011∞→→<<--+n r a a N n N n ，故lim =∞→n n a .8．证明：若}{n a 为递增有界数列，则}sup{lim n n n a a =∞→；若}{n a 为递减有界数列，则}inf{lim n n n a a =∞→. 又问逆命题成立否？证明证明过程参考教材P.35，定理2.9（单调有界定理）.逆命题不一定成立. 例如数列⎪⎩⎪⎨⎧-=为偶数为奇数n n n a n 111，1}sup{lim ==∞→nn n a a ，但}{n a 不单调.9．利用不等式 0),()1(11>>-+>-++a b a b a n a bn n n ，证明：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛++111n n 为递减数列，并由此推出⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+nn 11为有界数列.证明设111+⎪⎭⎫⎝⎛+=n n n a ，由不等式 )()1(11a b a n a bn n n -+>-++，有1111++++-+->-n n n n n n a b a na b na a b ，于是b a na b na b n n n n +->++11，b na a na b n n n n 1+-+>.在上式中令1111,111-=-+=+=+=n n n b n n n a ，a b >，得 nnn n n n a ⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-11111nn nnn n n n n n n n n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+>11111nn nna n n n n n n n =⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+11111即n n a a >-1，故⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛++111n n 为递减数列.而4111111111=⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⎪⎭⎫⎝⎛+<⎪⎭⎫ ⎝⎛++n nn n ，所以⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+nn 11为有界数列. 10．证明：n n e n 3)11(<+- 证由上题知⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛++111n n 为递减数列，于是对任何n m >有， 111111++⎪⎭⎫ ⎝⎛+>⎪⎭⎫⎝⎛+m n n n ，令∞→m ，取极限得，en n >⎪⎭⎫ ⎝⎛++111 ①又因为nnnn n n n n n n ⎪⎭⎫⎝⎛++⋅<⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛++113111111111②由①、②得nn n n n e ⎪⎭⎫⎝⎛++<⎪⎭⎫ ⎝⎛+<+113111，从而 n n e n e n n 3)11()11(<+-=+-11．给定两正数 a 1 与 b 1 ( a 1 > b 1 )，作出其等差中项2112b a a +=与等比中项112b a b =，一般地令21nn n b a a +=+， ,2,1,1==+n b a b n n n证明：nn a ∞→lim 与nn b ∞→lim 皆存在且相等.证明因为11b a >，所以有nnn n n n a a a b a a =+<+=+221，即}{n a 单调减少. 同样可得}{n b 单调增加. 于是有11112b b b a b a a a n n n n n n ≥=≥+=≥++，即}{n a 单调减少有下界，}{n b 单调增加有上界，故n n a ∞→lim 与n n b ∞→lim 皆存在.在n n n b a a +=+12的两端取极限，可得n n n n b a ∞→∞→=lim lim12．设}{n a 为有界数列，记},,sup{1 +=n n n a a a ，},,inf{1 +=n n n a a a证明：⑴ 对任何正整数n ，n n a a ≥；⑵}{n a 为递减有界数列，}{n a 为递增有界数列，且对任何正整数n ，m 有m n a a ≥；⑶ 设a 和a 分别是}{n a 和}{n a 的极限，则a a ≥；⑷ }{n a 收敛的充要条件是a a =证 ⑴ 对任何正整数n ，n n n n n n n a a a a a a a =≥≥=++},,inf{},,sup{11⑵ 因为1211},,sup{},,sup{++++=≥=n n n n n na a a a a a ， ,2,1=n ，所以}{na 为递减有界数列.由1211},,inf{},,inf{++++=≤=n n n n n n a a a a a a ，知}{n a 为递增有界数列.对任何正整数n ，m ，因为}{n a 为递减有界数列，}{n a 为递增有界数列，所以有m m n m n n a a a a ≥≥≥++.⑶ 因为对任何正整数n ，m 有m n a a ≥，令∞→n 得，mn n a a a ≥=∞→lim ，即m a a ≥，令∞→m 得aa a m m =≥∞→lim ，故a a ≥.⑷ 设}{n a 收敛，a a n n =∞→lim . 则0>∀ε，0>∃N ，N n >∀，ε<-||a a n，εε+<<-a a a n . 于是有εε+≤<-a a a n ，从而a a a n n ==∞→l i m . 同理可得a a a n n ==∞→lim ，所以aa =反之，设a a =. 由a a n n =∞→lim ， a a a n n ==∞→lim ，得0>∀ε，0>∃N ，N n >∀，有εε+<<-a a a n 及εε+<<-a a a n ，从而εε+<≤≤<-a a a a a n n nP.40 总练习题1．求下列数列的极限：（1）n nn n 3lim 3+∞→解当3>n 时，有nn 33<，于是)(,323323333∞→→⋅=⋅<+<=n n n n n n n n n ，所以33lim 3=+∞→n n n n（2）nn e n 5lim∞→解设h e +=1，则当6>n 时，62!6)5()1(!2)1(1)1(hn n n h h n n nh h e n n n --≥++-++=+= ，于是)(,0)5)(4)(3)(2)(1(!60655∞→→-----⋅<<n h n n n n n n n e n n ，所以0lim 5=∞→n n e n解法2 用P.39 习题7的结论. 设n n e n a 5=，1)1(lim lim 5151>=+=+∞→+∞→e n e e n a a n n n n n n ，从而0lim lim 5==∞→∞→n n n n a e n .解法3 用P.27 习题2⑸的结果0))((lim lim 5515==∞→∞→n n n n e ne n解法4 用单调有界定理. 令nn e n a 5=，则51)11(1n e a a n n +=+. 因为e n n <=+∞→1)11(lim 5，所以存在0>N ，当N n >时，e n <+5)11(，从而当N n >时，1)11(151<+=+n e a a n n . 于是从N n >起数列}{n a 递减，且有下界0，因此}{n a 收敛. 设a a n n =∞→lim ，在等式nn a n e a ⋅+=+51)11(1的两端取极限，得a e a ⋅=1，所以0=a .（3）)122(lim n n n n ++-+∞→解 )]1()12[(lim )122(lim +-++-+=++-+∞→∞→n n n n n n n n n011121lim =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-++++=∞→n n n n n2．证明：（1）)1|(|0lim 2<=∞→q q n n n证明当0=q 时，结论成立.当1||0<<q 时，有1||1>q ，令0,1||1>+=h h q ，于是有nn h q )1(1+=，而由牛顿二项式定理，当3>n 时有3!3)2)(1()1(hn n n h n --≥+，从而)(0!3)2)(1()1(03222∞→→--≤+=<n h n n n n h n q n nn，所以lim 2=∞→n n q n另解用P.27 习题2⑸的结果)(sgn ))||1((lim lim 22==∞→∞→n nn n n q q n q n（2）)1(,0lg lim≥=∞→ααn nn证明因为0,lg ><x x x ，于是)(,022lg 2lg 021∞→→=<=<-n n n n n n n n αααα，所以0lg lim =∞→αn n n .（3）0!1lim =∞→n n n 证明先证明不等式：nn n ⎪⎭⎫⎝⎛>3!. 用数学归纳法证明，当1=n 时，显然不等式成立；假设nn n ⎪⎭⎫⎝⎛>3!成立，当 n + 1 时 nn n n n n n n n n n n ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+>⋅+=+131)1(3)1(!)1()!1(113111331++⎪⎭⎫ ⎝⎛+>⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛+=n nn n n n故不等式nn n ⎪⎭⎫⎝⎛>3!成立. 由此可得)(,03!10∞→→<<n n n n ，所以0!1lim =∞→n n n另解用数学归纳法证明不等式：n n n≥!3．设aa n n =∞→lim ，证明：（1）a n a a a nn =+++∞→ 21lim（又问由此等式能否反过来推出a a n n =∞→lim ）证明因为aa n n =∞→lim ，于是有11,0,0N n N >∀>∃>∀ε，2||ε<-a a n . 从而当1N n >时，有n naa a a a n a a a n n -+++=-+++ 212122||||||||||||12121111εε+≤⋅-+≤-++-+-+-++-+-≤++n A n N n n A na a a a a a n a a a a a a n N N N其中||||||121a a a a a a A N -++-+-= 是一个定数. 再由0lim =∞→n A n ，知存在02>N ，使得当2N n >时，2ε<n A . 因此取},m ax {21N N N =，当N n >时，有εεεε=+<+≤-+++22221n A a n a a a n .反过来不一定成立. 例如nn a )1(-=不收敛，但0lim21=+++∞→n a a a nn .练习：设+∞=∞→n n a lim ，证明：+∞=+++∞→n a a a n n 21lim(2) 若),2,1(0 =>n a n ，则a a a a n n n =∞→ 21lim证明先证算术平均值—几何平均值—调和平均值不等式：na a a a a a a a a nnn n n+++≤≤+++ 212121111算术平均值—几何平均值不等式：n a a a a a a nnn +++≤2121对任何非负实数1a ，2a 有2)(212121a a a a +≤，其中等号当且仅当21a a =时成立. 由此推出，对4个非负实数1a ，2a ，3a ，4a 有2143212121432121414321)22(])()[()(a a a a a a a a a a a a +⋅+≤=422243214321a a a a a a a a +++=+++≤按此方法继续下去，可推出不等式n a a a a a a nn n +++≤ 2121对一切kn 2=（,2,1,0=k ）都成立，为证其对一切正整数n 都成立，下面采用所谓的反向归纳法，即证明：若不等式对某个)2(≥n 成立，则它对1-n 也成立.设非负实数121,,,-n a a a ，令)(11121-+++-=n n a a a n a ，则有)1(1)1()(12112111211121-+++++++≤-+++⋅----n a a a a a a n n a a a a a a n n n n nn整理后得)(11)(12111121---+++-≤n n n a a a n a a a ，即不等式对1-n 成立，从而对一切正整数n 都成立.几何平均值—调和平均值不等式n nna a a a a a n2121111≤+++的证明，可令i i x y 1=，再对i y （n i ,,2,1 =）应用平均值不等式.由),2,1(0 =>n a n ，知0lim ≥=∞→a a n n . 若0≠a ，则a a n n 11lim=∞→. 由上一小题的结论，有)(,111212121∞→→+++≤≤+++n a na a a a a a a a a nnn n n而a an a a a a a a n n n n n ==+++=+++∞→∞→111111lim 111lim 2121 ，所以aa a a n n n =∞→ 21lim .若0=a ，即0lim =∞→n n a ，则11,0,0N n N >∀>∃>∀ε，ε<na . 从而当1N n >时，有n N n n N n n N N nn a a a a a a a a a a a 11112112121-+⋅≤⋅=εεεεε⋅=⋅=⋅=--n n N N nN n n N A a a a a a a 11112121其中1121N N a a a A -=ε ，是定数，故21lim <=∞→nn A ，于是存在02>N ，使得当2N n >时，2<n A . 因此取},m ax {21N N N =，当N n >时，有εε221<⋅≤n nn A a a a ，故0lim 21=∞→n n n a a a4．应用上题的结论证明下列各题：（1）0131211lim=++++∞→n n n证明令n a n 1=，则01lim lim ==∞→∞→n a n n n ，所以0131211lim =++++∞→n n n .（2）)0(1lim >=∞→a a n n证明令a a =1， ,3,2,1==n a n ，则1lim =∞→n n a ，从而1lim lim lim 21===∞→∞→∞→n n n n n n n a a a a a（3）1lim =∞→n n n证明令11=a ， ,3,2,1=-=n n na n ，则1lim =∞→n n a ，于是1lim lim 13423121lim lim 21===-⋅⋅⋅⋅⋅=∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n n a a a a n nn .（4）!1lim=∞→nn n证明令,2,1,1==n n a n ，则0lim =∞→n n a ，所以1lim 1211lim 3211lim !1lim==⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n n n n（5）e n n n n =∞→!lim 证明令,3,2,111111=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--n n n n a n n n ，则ea n n =∞→lim ，所以en n n n n n n n n n n n n n nn n n =⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅==-∞→-∞→∞→∞→114321lim 14534232lim !lim !lim另证令 ,2,1,!==n n n a nn ，则en a a n n n n n =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-∞→-∞→11111lim lim . 于是e a a a a a a a a a n nn n n n n n n n n n n n ==⋅⋅⋅==-∞→-∞→∞→∞→112312lim lim lim !lim .（6）1321lim 3=++++∞→n nn n证明因为1lim =∞→n n n ，所以1lim 321lim 3==++++∞→∞→n n nn n n n（7）若)0(lim 1>=+∞→n n n n b a b b，则a b n n n =∞→lim证明n n n n n n n nn n n n n n b b b b bb b b b b b b b b b 112312112312lim lim lim lim ∞→+∞→+∞→∞→⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=ab b n n n =⋅=+∞→1lim1（8）若d a a n n n =--∞→)(lim 1，则d n a nn =∞→lim证明设10=a⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+-+=-∞→∞→n a a a a a a n an a n n n n n )()()(lim lim11201d a a n a a a a a a n a n n n n n n n =-+=-++-+-+=-∞→-∞→∞→)(lim 0)()()(lim lim11120105．证明：若}{n a 为递增数列，}{n b 为递减数列，且 0)(lim =-∞→n n n b a ，则n n a ∞→lim 与nn b ∞→lim 都存在且相等.证明因为)(lim =-∞→n n n b a ，所以}{n n b a -有界，于是存在0>M ，使得M b a M n n ≤-≤-. 从而有1b M b M a n n +≤+≤， M a M a b n n -≥-≥1，因此}{n a 为递增有上界数列，}{n b 为递减有下界数列，故n n a ∞→lim 与nn b ∞→lim 都存在. 又因为0)(lim lim lim =-=-∞→∞→∞→n n n n n n n b a b a ，所以 nn n n b a ∞→∞→=lim lim .6．设数列}{n a 满足：存在正数M ，对一切 n 有M a a a a a a A n n n ≤-+-+-=-||||||12312证明：数列}{n a 与}{n A 都收敛.证明数列}{n A 单调增加有界，故收敛. 由柯西收敛准则，0,0>∃>∀N ε，当N n m >>时，ε<-||n m A A . 于是ε<-=-++-+-≤-+---n m n n m m m m n m A A a a a a a a a a ||||||||1211所以由柯西收敛准则，知数列}{n a 收敛.7．设⎪⎭⎫ ⎝⎛+=>>a a a a σσ21,0,01，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+n n n a a a σ211, ,2,1=n ，证明：数列}{n a 收敛，且其极限为σ证明因为σσσ=⋅≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+n n n n n a a a a a 211，故数列}{n a 有下界σ.112112121=⎪⎭⎫⎝⎛+≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+σσσn n n a a a ，于是n n a a ≤+1，即数列}{n a 单调减少，从而数列}{n a 收敛. 设A a n n =∞→lim ，由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+n n n a a a σ211，得σ+=+212n n n a a a ，两端取极限得，σ+=222A A ，解得σ=A ，所以σ=∞→n n a lim .8．设011>>b a ，记211--+=n n n b a a ，11112----+⋅=n n n n n b a b a b ， ,3,2=n . 证明：数列}{n a 与}{n b 的极限都存在且等于11b a .证因为 111121111212111112)(2--------------+⋅-+=++≤+⋅=n n n n n n n n n n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b n n n n n n n n n b b a b a b a b a -+=+⋅-+=--------111111112，所以nn n n a b a b =+≤--211， ,3,2=n数列}{n a 是递减的：nnn n n n a a a b a a =+≤+=+221， ,2,1=n数列}{n a 有下界：0211≥+=--n n n b a a ， ,2,1=n ，所以}{n a 收敛，设a a n n =∞→lim .数列}{n b 是递增的：11111111122---------=+⋅≥+⋅=n n n n n n n n n n b a a ba b a b a b ， ,3,2=n数列}{n b 有上界：1a a b n n ≤≤， ,2,1=n ，所以}{n b 收敛，设b b n n =∞→lim .令∞→n 在211--+=n n n b a a 的两端取极限，得b a =.211--+=n n n b a a 与11112----+⋅=n n n n n b a b a b 两端分别相乘，得11--=n n n n b a b a ， ,3,2=n 所以有11b a b a n n=， ,3,2=n ，令∞→n 取极限得11b a ab =，从而11b a a =。

陈纪修《数学分析》配套题库【名校考研真题】(数列极限)

n 2 3
n
解：一方面显然 I 1，
另一方面 1
1
1
...
1
1
n ，且 lim nn
1,
23
n
n
由迫敛性可知 I 1．
1
注：可用如下两种方式证明 lim nn 1 ． n
（1）令 n n 1 hn ，则
n
(1
hn )n
1
n(n 1) 2
hn2
hn2
2 n
(n
2)
，
1
所以
limnBiblioteka hn0 ，从而 lim nn n
，假设
则
又因为
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所以单调递增有上界，故极限存在。设
现对所以
两边取极限可得
因为
，
7．设数列满足下面的条件：
其中 0<k<1，证明：
[深圳大学 2006 研]
证明：易有
，n=1，2，…。又因为 0<k<1，所以

由
an 收敛，可知必有 L 0 ；
n2 ln n
an
ln n
n1 an dx n ln n
n1 n
n
1 ln
n
nan
dx
n1 n
x
1 ln
x
nan
dx
nan
n1 1 dx n x ln x
(n p)an p (ln ln(n 1) ln ln n),
假若数列an 有界，即存在 M 0 ，使得 0 an M ，
则由条件知
lim
n
an

(数学分析习题内容答案)第二章

第二章数列极限习题2．按N -ε定义证明：（1）11lim=+∞→n nn证明因为 n n n n 11111<+=-+，所以0>∀ε，取ε1=N ，N n >∀，必有ε<<-+n n n 111. 故11lim =+∞→n n n（2）23123lim 22=-+∞→n n n n 证明因为 n n n n n n n n n n n n n 32525)1(232)12(23223123222222<=<-++<-+=--+)1(>n ，于是0>∀ε，取}3,1max{ε=N ，N n >∀，有 ε<<--+n n n n 32312322. 所以23123lim 22=-+∞→n n n n（3）0!lim =∞→n n n n证明因为n n n n n n n n n n n n n n nn 11211)1(!0!≤⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅-==-ΛΛΛ，于是0>∀ε，取ε1=N ，N n >∀，必有ε<≤-n n n n10!. 所以0!lim =∞→n n n n（4）sinlim =∞→nn π证明因为n nnπππ≤=-sin0sin，于是0>∀ε，取επ=N ，N n >∀，必有εππ<≤-nn0sin. 所以sinlim =∞→nn π（5）)1(0lim>=∞→a a nnn证明因为1>a ，设)0(1>+=h h a ，于是222)1(2)1(1)1(h n n h h n n nh h a n n n -≥++-++=+=Λ，从而22)1(22)1(0h n hn n n a n a n n n -=-≤=-，所以0>∀ε，取122+=h N ε，N n >∀，有ε<-≤-2)1(20h n a n n . 故0lim =∞→n n a n3．根据例2，例4和例5的结果求出下列极限，并指出哪些是无穷小数列：（1）n n 1lim∞→；（2）n n 3lim ∞→；（3）31limn n ∞→（4）n n 31lim ∞→；（5）n n 21lim ∞→；（6）n n 10lim ∞→；（7）n n 21lim ∞→ 解（1）01lim 1lim 21==∞→∞→n nn n （用例2的结果，21=a ），无穷小数列.（2）13lim =∞→n n ，（用例5的结果，3=a ）（3）01lim3=∞→n n ，（用例2的结果，3=a ），无穷小数列.（4）031lim 31lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛=∞→∞→nn n n ，（用例4的结果，31=q ），无穷小数列.（5）021lim 21lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛=∞→∞→nn n n ，（用例4的结果，21=q ），无穷小数列. （6）110lim =∞→n n ，（用例5的结果，10=a ）.（7）121lim 21lim==∞→∞→nn nn ,（用例5的结果，21=a ）. 4．证明：若a a n n =∞→lim ，则对任一正整数 k ，有a a k n k =+∞→lim证明因为aa n n =∞→lim ，所以εε<->∀>∃>∀||,,0,0a a N n N n ，于是，当Nk >时，必有N k n >+，从而有ε<-+||a a k n ，因此a a k n k =+∞→lim .5．试用定义1证明：（1）数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1不以1为极限；（2）数列}{)1(n n -发散.证明（用定义1证明）数列}{n a 不以 a 为极限（即a a n n ≠∞→lim ）的定义是：00>∃ε，0>∀N ，N n >∃0，0||0ε≥-a a n（1）取210=ε，0>∀N ，取N N n >+=20，有0021)1(212112111ε==++≥++=-+=-N N N N N n ，故数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1不以1为极限.另证（用定义1’证明）取210=ε，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1中满足2>n 的项（有无穷多个）显然都落在1的邻域)23,21();1(0=εU 之外，故数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1不以1为极限.（2）数列}{)1(nn-=},6,51,4,31,2,1{Λ，对任何R a ∈，取10=ε，则数列}{)1(n n -中所有满足“n 为偶数，且1+>a n ”的项（有无穷多个），都落在 a 的邻域)1,1();(0+-=a a a U ε之外，故数列}{)1(nn -不以任何数 a 为极限，即数列}{)1(nn -发散.6．证明定理，并应用它证明数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+n n )1(1的极限是1. 定理数列}{n a 收敛于 a 充要条件是：}{a a n -为无穷小数列. （即a a n n =∞→lim 的充要条件是0)(lim =-∞→a a n n ）证明（必要性）设aa n n =∞→lim ，由数列极限的定义，,0,0>∃>∀N εN n >∀，有ε<--=-|0)(|||a a a a n n ，所以 0)(lim =-∞→a a n n .（充分性）设0)(lim =-∞→a a n n ，由数列极限的定义，,0,0>∃>∀N εN n >∀，有ε<-=--|||0)(|a a a a n n ，所以a a n n =∞→lim .下面证明：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+n n )1(1的极限是1. 因为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧--+n n n n )1(1)1(1是无穷小数列，所以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+n n )1(1的极限是1. 7．证明：若a a n n =∞→lim ，则||||lim a a n n =∞→. 当且仅当 a 为何值时反之也成立？证明设aa n n =∞→lim ，由数列极限的定义，,0,0>∃>∀N εN n >∀，ε<-≤-||||||a a a a n n ，所以也有||||lim a a n n =∞→. 但此结论反之不一定成立，例如数列})1{(n -.当且仅当 a = 0 时反之也成立. 设0||lim =∞→n n a ，于是,0,0>∃>∀N εN n >∀，ε<=||||n n a a ，所以aa n n =∞→lim .8．按N -ε定义证明：（1）0)1(lim =-+∞→n n n ；（2）0321lim3=++++∞→n nn Λ（3）1lim =∞→n n a ，其中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=为奇数为偶数n n n n n nn a n 2,1证明（1）因为n nn n n 111|1|<++=-+. 于是0>∀ε，取21ε=N ，N n >∀，必有ε<<-+nn n 1|1|，从而0)1(lim =-+∞→n n n .（2）因为n n n n n n n n n n n 12212)1(3212233=+<+=+=++++Λ，于是0>∀ε，取ε1=N ，N n >∀，必有ε<<-++++n n n 103213Λ，所以0321lim 3=++++∞→n n n Λ（3）因为当 n 为偶数时，n n n a n 111|1|=--=-当 n 为奇数时，nnn n nnn n n nn a n 111|1|222<++=-+=-+=-，故不管n 为偶数还是奇数，都有n a n 1|1|<-. 于是0>∀ε，取ε1=N ，N n >∀，必有ε<<-n a n 1|1|，所以 1lim =∞→n n a .习题1．求下列极限：⑴ 根据例2 01lim=∞→an n ，0>a ，可得4131241131lim 32413lim 323323=++++=++++∞→∞→n n n n n n n n n n⑵ 0)21(lim 21lim 22=+=+∞→∞→n n n n n n⑶根据例4 0lim =∞→n n q ，1||<q ，可得313)32(31)32(lim 3)2(3)2(lim 111=+-⋅+-=+-+-+∞→++∞→n nn n n nnn⑷ 211111lim lim )(lim 22=++=++=-+∞→∞→∞→n n n n n n n n n n n这是因为由例1若aa n n =∞→lim ，则aa n n =∞→lim . 于是由1)11(lim =+∞→n n ，得1111lim ==+∞→n n .⑸ 10)1021(lim =+++∞→n n n n Λ，因为1lim =∞→n n a （0>a ）⑹ 23113113121121121lim 313131212121lim 22=--⋅--⋅=++++++∞→∞→nn n n n n ΛΛ2．设a a n n =∞→lim ，b b n n =∞→lim ，且b a <. 证明：存在正数N ，使得当N n >时，有n n b a <.证明由b a <，有b b a a <+<2. 因为2lim ba a a n n +<=∞→，由保号性定理，存在01>N ，使得当1N n >时有2b a a n +<. 又因为2lim b a b b n n +>=∞→，所以，又存在02>N ，使得当2N n >时有2b a b n +>. 于是取},m ax {21N N N =，当N n >时，有nn b b a a <+<2. 3．设}{n a 为无穷小数列，}{n b 为有界数列，证明：}{n n b a 为无穷小数列.证明因为}{n b 为有界数列，所以存在0>M ，使得Λ,2,1,||=≤n M b n. 由}{n a 为无穷小数列，知,0,0>∃>∀N εN n >∀，M a n ε<||. 从而当N n >时，有εε=⋅<⋅=M Mb a b a n n n n ||||||，所以0lim =∞→n n n b a ，即}{n n b a 为无穷小数列.4．求下列极限（1）1111lim 11131212111lim )1(1321211lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⋅+⋅∞→∞→∞→n n n n n n n n ΛΛ（2）因为nnn n212112181412128422222222===-+++ΛΛ，而)(12221121∞→→=<<n nnn，于是12lim 21=∞→nn ，从而222lim2222lim 21284==∞→∞→nnn n Λ（3）32323lim 23221229272725253lim 2122321lim 13222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++-+-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++∞→-∞→∞→n n n n n n n n n n n ΛΛ（4）当2>n 时，11121<-<n ，n n n n 11121<-<，而11lim 21lim ==∞→∞→n n n n ，所以111lim =-∞→n n n .（5）因为)(,0111)2(1)1(11022222∞→→+=+≤++++<n n n n n n n n Λ，所以 0)2(1)1(11lim 222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++∞→n n n n Λ（6）因为1112111222222=≤+≤++++++≤+nn n n n n n n nn n Λ，且1111limlim2=+=+∞→∞→nnn n n n ，所以112111lim 222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n n n Λ 5．设}{n a 与}{n b 中一个是收敛数列，另一个是发散数列，证明}{n nb a ±是发散数列. 又问}{n n b a 和)0(≠⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n n b b a 是否必为发散数列.证明（用反证法证明）不妨设}{n a 是收敛数列，}{n b 是发散数列. 假设数列}{n n b a +收敛，则n n n n a b a b -+=)(收敛，这与}{n b 是发散数列矛盾，所以，数列}{n n b a +发散.同理可得数列}{n n b a -发散.}{n n b a 和)0(≠⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n n b b a 不一定是发散数列. 例如，若}{n a 是无穷小数列，}{n b 是有界的发散数列. 则}{n n b a 和)0(≠⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n n b b a 是无穷小数列，当然收敛.但是，有下列结果：如果0lim ≠=∞→a a n n ，}{n b 是发散数列，则}{n n b a 和)0(≠⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n n a a b 一定是发散数列.6．证明以下数列发散：（1）⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-1)1(n n n证明设1)1(+-=n n a nn ，则)(,11222∞→→+=n n n a n ，而121212-→--=-n n a n ，由，定理知⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-1)1(n n n发散. （2）{}nn )1(-证明{}nn )1(- 的偶数项组成的数列n a n 22=，发散，所以{}nn)1(-发散.（3）⎭⎬⎫⎩⎨⎧4cos πn 证明设4cosπn a n =，则子列 )(,118∞→→=n a n ，子列 )(,1148∞→-→-=+n a n ，故⎭⎬⎫⎩⎨⎧4cos πn 发散. 7．判断以下结论是否成立（若成立，说明理由；若不成立，举出反例）：（1）若}{12-k a 和}{2k a 都收敛，则}{n a 收敛.解结论不一定成立. 例如，设nn a )1(-=，则12=ka ，112-=-k a 都收敛，但n n a )1(-=发散.注若}{12-k a 和}{2k a 都收敛，且极限相等（即kk k k a a 212lim lim ∞→-∞→=），则}{n a 收敛.（2）若}{23-k a ，}{13-k a 和}{3k a 都收敛，且有相同的极限，则}{n a 收敛.证明设aa a a k k k k k k ===∞→-∞→-∞→31323lim lim lim ，则由数列极限的定义，知0>∀ε，01>∃K ，1K k >∀，ε<--||23a a k ；同样也有02>∃K ，2K k >∀，ε<--||13a a k ；03>∃K ，3K k >∀，ε<-||3a a k . 取}3,3,3m ax {321K K K N =，当N n >时，对任意的自然数 n ，若23-=k n ，则必有1K k >，从而ε<-||a a n；同样若13-=k n ，则必有2K k >，从而也有ε<-||a a n；若k n 3=，则必有3K k >，从而ε<-||a a n . 所以aa n k =∞→lim ，即}{n a 收敛.8．求下列极限：（1）n n k 2124321lim-∞→Λ解因为n n 2126543210-<Λ121)12)(12(12)12)(32(32755533311+=+-----⋅⋅⋅<n n n n n n n Λ而0121lim =+∞→n k ，所以 02124321lim =-∞→n n k Λ 另解因为12254322124321+<-n n n n ΛΛ，设n n S n 2124321-=Λ，1225432+=n n T n Λ，则n n T S <. 于是121+=⋅<n S T S S n n n n ，所以121+<n S n .（2）答案见教材提示. （3）10],)1[(lim <<-+∞→αααn n k解 ]1)11[(]1)11[()1(0-+<-+=-+<n n n n n n ααααα)(,011∞→→==-n n n n αα所以，0])1[(lim =-+∞→ααn n k另解因为01<-α，所以11)1(--<+ααn n ，于是11)1()1(--+=+<+ααααn n n n n ，从而)(,0)1(01∞→→<-+<-n n n n ααα.（4）答案见教材提示. 9．设m a a a Λ,,21为 m 个正数，证明：},,max {lim 2121m n nn n n n a a a a a a ΛΛ=+++∞→证明因为 },,max{},,max{212121m n n nn n n m a a a n a a a a a a ΛΛΛ≤+++≤而1lim =∞→n n n ，所以},,max {lim 2121m n nn n n n a a a a a a ΛΛ=+++∞→10．设aa n n =∞→lim ，证明：（1）a n na n n =∞→][lim；（2）若0,0>>n a a ，则1lim =∞→n n n a .证明（1）因为1][][+<≤n n n na na na ，所以nn n a n na n na ≤<-][1. 由于a n a n na n n n n =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-∞→∞→1lim 1lim ，且a a n n =∞→lim ，从而a n na n n =∞→][lim .（2）因为 0lim >=∞→a a n n ，由定理，存在0>N ，使得当N n >时，有a a a n232<<. 于是 n n n na a a 232<<，并且123lim 2lim ==∞→∞→n n n n a a ，所以1lim =∞→n n n a .习题1．利用e n nn =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim 求下列极限：（1）e n n n n n n n nn nn 11111111lim 1lim 11lim 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--∞→∞→∞→（2）e n n n nn n n =⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→+∞→1111lim 11lim 1（3）e n n n n n nn =⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→∞→111111lim 111lim 1（4）en n n nn n n nn =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→⋅∞→∞→2212211lim 211lim 211lim注：此题的求解用到事实（例1）：若aa n n =∞→lim ，且Λ,2,1,0=≥n a n ，则aa n n =∞→lim .（5）nn n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→211lim 解因为数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+nn 11单调增加，且有上界 3，于是 )(,1311111222∞→→<⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+<n n n n n n n，所以111lim 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→nn n2．试问下面的解题方法是否正确：求nn 2lim ∞→解不正确. 因为极限nn 2lim ∞→是否存在还不知道（事实上极限nn 2lim ∞→不存在），所以设an n =∞→2lim 是错误的.3．证明下列数列极限存在并求其值：（1）设Λ,2,1,2,211===+n a a a n n证明先证数列}{n a 的有界性，用数学归纳法证明：2是}{n a 的一个上界.221<=a ，假设2<n a ，则22221=⋅<=+n n a a ，所以}{n a 有上界2.其次证明}{n a 单调增加. 02)2(21>+-=-=-+n n n n n n n n a a a a a a a a ，所以n n a a >+1，即}{n a 单调增加. 从而}{n a 极限存在，设a a n n =∞→lim ，在n n a a 221=+的两端取极限，得a a 22=，解之得 a = 0 (舍去) 和 2，所以2lim =∞→n n a .注：}{n a 的单调增加也可以如下证明：122221=>==+n n n n n a a a a a ，所以n n a a >+1.还可以如下得到：121214121214121122++++++++=<=+n na a n n nΛΛ（2）设Λ,2,1,),0(11=+=>=+n a c a c c a n n证明先证数列}{n a 的有界性，用数学归纳法证明：}{n a 的一个上界是 1 + c .c c a +<=11，假设c a n +<1，则c c c c a c a n n +=++<+<+=+1121221，所以}{n a 有上界1 + c .其次证明}{n a 单调增加（用数学归纳法证明）. 21a c c c a =+<=，假设n n a a <-1，于是n n a c a c +<+-1，从而n n a c a c +<+-1，即1+<n n a a . 故}{n a 单调增加. 所以}{n a 极限存在，设a a n n =∞→lim ，在n n a c a +=+21的两端取极限，得a c a +=2，解之得 2411ca +±=. 由于a n > 0 ，所以 a > 0 . 故 2lim =∞→n n a . （3）Λ,2,1),0(!=>=n c n c a nn证明先证}{n a 从某一项以后单调减少. 取自然数 N 使得 N > c ，于是当N n >时，nn n n n n a a N ca n c n c n c n c a <+<+=+=+=++11!1)!1(11，即从第N 项开始}{n a 单调减少.由于}{n a 的各项都大于零，所以}{n a 有下界0. 从而}{n a 极限存在. 设a a n n =∞→lim ，在n n a n c a 11+=+的两端取极限，得a a ⋅=0，故0=a ，即0lim =∞→n n a .4．利用⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n 11为递增数列的结论，证明⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛++nn 111为递增数列. 证明设nn n n n n a ⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=12111，要证：Λ,3,2,1=≤-n a a n n ，即因为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+nn 11为递增数列，所以有111111+⎪⎭⎫ ⎝⎛++<⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n n n ，即1121+⎪⎭⎫⎝⎛++<⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n n n n n ，于是nnn n n n a n n n n n n n n n n n n n n a =⎪⎭⎫⎝⎛++<+⋅++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+⎪⎭⎫⎝⎛++<⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+--12112121121111.其中用到事实：1)1()2(1122≤++=+⋅++⋅n n n n n n n .5．应用柯西收敛准则，证明以下数列}{n a 收敛：（1）n n na 2sin 22sin 21sin 2+++=Λ 证明不妨设m n >，则有n m m m n nm m a a 2sin 2)2sin(2)1sin(||21+++++=-++Λn m m n m m n m m 2121212sin 2)2sin(2)1sin(2121+++≤+++++≤++++ΛΛ ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++<⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=---+--+ΛΛΛm n m n m m n m 21212112121211211111 m m m 1212211<=⋅=+ 所以，0>∀ε，取ε1=N ，N m n >∀,，有ε<-||m n a a ，由柯西收敛准则，}{n a 收敛. （2）222131211n a n ++++=Λ 证明不妨设m n >，则有2221)2(1)1(1||n m m a a m n +++++=-Λ n n m m m m )1(1)2)(1(1)1(1-++++++≤Λ m n m n n m m m m 1111112111111<-=--+++-+++-=Λ所以，0>∀ε，取ε1=N ，N m n >∀,，有ε<-||m n a a ，由柯西收敛准则，}{n a 收敛.6．证明：若单调数列}{n a 含有一个收敛子列，则}{n a 收敛.证明不妨设}{n a 是单调增加数列，}{k n a 是其收敛子列. 于是}{k n a 有界，即存在0>M ，使得Λ,2,1,=≤k M a kn . 对单调增加数列}{n a 中的任一项m a 必有M a a km m ≤≤，即}{n a 单调增加有上界，从而收敛.7．证明：若0>n a ，且1lim1>=+∞→l a a n nn ，则0lim =∞→n n a证明因为1lim 1>=+∞→l a a n n n ，所以存在 r 使得1lim 1>>=+∞→r l a a n n n . 于是由数列极限的保号性定理（），存在0>N ，当N n >时，ra a n n>+1，1+>n nra a . 从而有n N n N N N a r a r ra a 13221--+++>>>>Λ，因此，)(,0011∞→→<<--+n r a a N n N n ，故lim =∞→n n a .8．证明：若}{n a 为递增有界数列，则}sup{lim n n n a a =∞→；若}{n a 为递减有界数列，则}inf{lim n n n a a =∞→. 又问逆命题成立否？证明证明过程参考教材，定理（单调有界定理）.逆命题不一定成立. 例如数列⎪⎩⎪⎨⎧-=为偶数为奇数n n n a n 111，1}sup{lim ==∞→nn n a a ，但}{n a 不单调.9．利用不等式 0),()1(11>>-+>-++a b a b a n a bn n n ，证明：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛++111n n 为递减数列，并由此推出⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+nn 11为有界数列.证明设111+⎪⎭⎫⎝⎛+=n n n a ，由不等式 )()1(11a b a n a b n n n -+>-++，有 1111++++-+->-n n n n n n a b a na b na a b ，于是b a na b na b n n n n +->++11， b na a na b n n n n 1+-+>.在上式中令1111,111-=-+=+=+=n n n b n n n a ，a b >，得 nn n n n n a ⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-11111nn nnn n n n n n n n n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+>11111nn n n a n n n n n n n =⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+11111即n n a a >-1，故⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛++111n n 为递减数列.而4111111111=⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⎪⎭⎫⎝⎛+<⎪⎭⎫ ⎝⎛++n nn n ，所以⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+nn 11为有界数列. 10．证明：n n e n 3)11(<+- 证由上题知⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛++111n n 为递减数列，于是对任何n m >有， 111111++⎪⎭⎫ ⎝⎛+>⎪⎭⎫⎝⎛+m n n n ，令∞→m ，取极限得，en n >⎪⎭⎫ ⎝⎛++111 ①又因为nnnn n n n n n n ⎪⎭⎫⎝⎛++⋅<⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛++113111111111②由①、②得nn n n n e ⎪⎭⎫⎝⎛++<⎪⎭⎫ ⎝⎛+<+113111，从而 n n e n e n n 3)11()11(<+-=+-11．给定两正数 a 1 与 b 1 ( a 1 > b 1 )，作出其等差中项2112b a a +=与等比中项112b a b =，一般地令21nn n b a a +=+，Λ,2,1,1==+n b a b n n n证明：nn a ∞→lim 与nn b ∞→lim 皆存在且相等.证明因为11b a >，所以有nnn n n n a a a b a a =+<+=+221，即}{n a 单调减少. 同样可得}{n b 单调增加. 于是有11112b b b a b a a a n n n n n n ≥=≥+=≥++，即}{n a 单调减少有下界，}{n b 单调增加有上界，故n n a ∞→lim 与nn b ∞→lim 皆存在.在n n n b a a +=+12的两端取极限，可得n n n n b a ∞→∞→=lim lim12．设}{n a 为有界数列，记},,sup{1Λ+=n n n a a a ，},,inf{1Λ+=n n n a a a证明：⑴ 对任何正整数n ，n na a ≥；⑵}{n a 为递减有界数列，}{n a 为递增有界数列，且对任何正整数n ，m 有m n a a ≥；⑶ 设a 和a 分别是}{n a 和}{n a 的极限，则a a ≥；⑷ }{n a 收敛的充要条件是a a =证 ⑴ 对任何正整数n ，n n n n n n n a a a a a a a =≥≥=++},,inf{},,sup{11ΛΛ⑵ 因为1211},,sup{},,sup{++++=≥=n n n n n na a a a a a ΛΛ，Λ,2,1=n ，所以}{na 为递减有界数列.由1211},,inf{},,inf{++++=≤=n n n n n n a a a a a a ΛΛ，知}{n a 为递增有界数列.对任何正整数n ，m ，因为}{n a 为递减有界数列，}{n a 为递增有界数列，所以有m m n m n n a a a a ≥≥≥++.⑶ 因为对任何正整数n ，m 有m n a a ≥，令∞→n 得，mn n a a a ≥=∞→lim ，即m a a ≥，令∞→m 得aa a m m =≥∞→lim ，故a a ≥.⑷ 设}{n a 收敛，a a n n =∞→lim . 则0>∀ε，0>∃N ，N n >∀，ε<-||a a n，εε+<<-a a a n . 于是有εε+≤<-a a a n ，从而a a a n n ==∞→lim . 同理可得a a a n n ==∞→lim ，所以aa =反之，设a a =. 由a a n n =∞→lim ， a a a n n ==∞→lim ，得0>∀ε，0>∃N ，N n >∀，有εε+<<-a a a n 及εε+<<-a a a n ，从而εε+<≤≤<-a a a a a n n n总练习题1．求下列数列的极限：（1）n nn n 3lim 3+∞→解当3>n 时，有nn 33<，于是)(,323323333∞→→⋅=⋅<+<=n n n n n n n n n ，所以33lim 3=+∞→n n n n（2）nn e n 5lim∞→解设h e +=1，则当6>n 时，62!6)5()1(!2)1(1)1(hn n n h h n n nh h e n n n --≥++-++=+=ΛΛ，于是)(,0)5)(4)(3)(2)(1(!60655∞→→-----⋅<<n h n n n n n n n e n n ，所以0lim 5=∞→n n e n解法2 用习题7的结论. 设nn e n a 5=，1)1(lim lim 5151>=+=+∞→+∞→e n e e n a a n n n n n n ，从而0lim lim 5==∞→∞→n n n n a e n .解法3 用习题2⑸的结果0))((lim lim 5515==∞→∞→n n n n e ne n解法4 用单调有界定理. 令nn e n a 5=，则51)11(1n e a a n n +=+. 因为e n n <=+∞→1)11(lim 5，所以存在0>N ，当N n >时，e n <+5)11(，从而当N n >时，1)11(151<+=+n e a a n n . 于是从N n >起数列}{n a 递减，且有下界0，因此}{n a 收敛. 设a a n n =∞→lim ，在等式nn a n e a ⋅+=+51)11(1的两端取极限，得a e a ⋅=1，所以0=a .（3）)122(lim n n n n ++-+∞→解 )]1()12[(lim )122(lim +-++-+=++-+∞→∞→n n n n n n n n n011121lim =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-++++=∞→n n n n n2．证明：（1）)1|(|0lim 2<=∞→q q n n n证明当0=q 时，结论成立.当1||0<<q 时，有1||1>q ，令0,1||1>+=h h q ，于是有nn h q )1(1+=，而由牛顿二项式定理，当3>n 时有3!3)2)(1()1(hn n n h n --≥+，从而)(0!3)2)(1()1(03222∞→→--≤+=<n h n n n n h n q n nn，所以lim 2=∞→n n q n另解用习题2⑸的结果)(sgn ))||1((lim lim 22==∞→∞→n nn n n q q n q n（2）)1(,0lg lim≥=∞→ααn nn证明因为0,lg ><x x x ，于是)(,022lg 2lg 021∞→→=<=<-n n n n n n n n αααα，所以0lg lim =∞→αn n n .（3）0!1lim =∞→n n n 证明先证明不等式：nn n ⎪⎭⎫⎝⎛>3!. 用数学归纳法证明，当1=n 时，显然不等式成立；假设nn n ⎪⎭⎫⎝⎛>3!成立，当 n + 1 时 nn n n n n n n n n n n ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+>⋅+=+131)1(3)1(!)1()!1(113111331++⎪⎭⎫ ⎝⎛+>⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛+=n nn n n n故不等式nn n ⎪⎭⎫⎝⎛>3!成立. 由此可得)(,03!10∞→→<<n n n n ，所以0!1lim =∞→n n n另解用数学归纳法证明不等式：n n n≥!3．设aa n n =∞→lim ，证明：（1）a n a a a nn =+++∞→Λ21lim（又问由此等式能否反过来推出a a n n =∞→lim ）证明因为aa n n =∞→lim ，于是有11,0,0N n N >∀>∃>∀ε，2||ε<-a a n . 从而当1N n >时，有n naa a a a n a a a n n -+++=-+++ΛΛ212122||||||||||||12121111εε+≤⋅-+≤-++-+-+-++-+-≤++n A n N n n A na a a a a a n a a a a a a n N N N ΛΛ其中||||||121a a a a a a A N -++-+-=Λ是一个定数. 再由0lim =∞→n A n ，知存在02>N ，使得当2N n >时，2ε<n A . 因此取},m ax {21N N N =，当N n >时，有εεεε=+<+≤-+++22221n A a n a a a n Λ.反过来不一定成立. 例如nn a )1(-=不收敛，但0lim21=+++∞→n a a a nn Λ.练习：设+∞=∞→n n a lim ，证明：+∞=+++∞→n a a a n n Λ21lim(2) 若),2,1(0Λ=>n a n ，则a a a a n n n =∞→Λ21lim证明先证算术平均值—几何平均值—调和平均值不等式：na a a a a a a a a nnn n n+++≤≤+++ΛΛΛ212121111算术平均值—几何平均值不等式：n a a a a a a nnn +++≤ΛΛ2121对任何非负实数1a ，2a 有2)(212121a a a a +≤，其中等号当且仅当21a a =时成立. 由此推出，对4个非负实数1a ，2a ，3a ，4a 有2143212121432121414321)22(])()[()(a a a a a a a a a a a a +⋅+≤=422243214321a a a a a a a a +++=+++≤按此方法继续下去，可推出不等式n a a a a a a nn n +++≤ΛΛ2121对一切kn 2=（Λ,2,1,0=k ）都成立，为证其对一切正整数n 都成立，下面采用所谓的反向归纳法，即证明：若不等式对某个)2(≥n 成立，则它对1-n 也成立.设非负实数121,,,-n a a a Λ，令)(11121-+++-=n n a a a n a Λ，则有)1(1)1()(12112111211121-+++++++≤-+++⋅----n a a a a a a n n a a a a a a n n n n nn ΛΛΛΛ整理后得)(11)(12111121---+++-≤n n n a a a n a a a ΛΛ，即不等式对1-n 成立，从而对一切正整数n 都成立.几何平均值—调和平均值不等式n nna a a a a a nΛΛ2121111≤+++的证明，可令i i x y 1=，再对i y （n i ,,2,1Λ=）应用平均值不等式.由),2,1(0Λ=>n a n ，知0lim ≥=∞→a a n n . 若0≠a ，则a a n n 11lim=∞→. 由上一小题的结论，有)(,111212121∞→→+++≤≤+++n a na a a a a a a a a nnn n nΛΛΛ而a an a a a a a a n n n n n ==+++=+++∞→∞→111111lim 111lim 2121ΛΛ，所以aa a a n n n =∞→Λ21lim .若0=a ，即0lim =∞→n n a ，则11,0,0N n N >∀>∃>∀ε，ε<na . 从而当1N n >时，有n N n n N n n N N nn a a a a a a a a a a a 11112112121-+⋅≤⋅=εΛΛΛΛεεεε⋅=⋅=⋅=--n n N N nN n n N A a a a a a a 11112121ΛΛ其中1121N N a a a A -=εΛ，是定数，故21lim <=∞→nn A ，于是存在02>N ，使得当2N n >时，2<n A . 因此取},m ax {21N N N =，当N n >时，有εε221<⋅≤n nn A a a a Λ，故0lim 21=∞→n n n a a a Λ4．应用上题的结论证明下列各题：（1）0131211lim=++++∞→n n n Λ证明令n a n 1=，则01lim lim ==∞→∞→n a n n n ，所以0131211lim =++++∞→n n n Λ.（2）)0(1lim >=∞→a a n n证明令a a =1，Λ,3,2,1==n a n ，则1lim =∞→n n a ，从而1lim lim lim 21===∞→∞→∞→n n n n n n n a a a a a Λ（3）1lim =∞→n n n证明令11=a ，Λ,3,2,1=-=n n na n ，则1lim =∞→n n a ，于是1lim lim 13423121lim lim 21===-⋅⋅⋅⋅⋅=∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n n a a a a n nn ΛΛ.（4）!1lim=∞→nn n证明令Λ,2,1,1==n n a n ，则0lim =∞→n n a ，所以1lim 1211lim 3211lim !1lim==⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n n n n ΛΛ（5）e n n n n =∞→!lim 证明令Λ,3,2,111111=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--n n n n a n n n ，则ea n n =∞→lim ，所以en n n n n n n n n n n n n n nn n n =⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅==-∞→-∞→∞→∞→114321lim 14534232lim !lim !lim另证令Λ,2,1,!==n n n a nn ，则e n a a n n n n n =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-∞→-∞→11111lim lim . 于是e a a a a a a a a a n nn n n n n n n n n n n n ==⋅⋅⋅==-∞→-∞→∞→∞→112312lim lim lim !lim Λ. （6）1321lim 3=++++∞→n nn n Λ证明因为1lim =∞→n n n ，所以1lim 321lim 3==++++∞→∞→n n nn n n n Λ（7）若)0(lim 1>=+∞→n n n n b a b b，则a b n n n =∞→lim证明n n n n n n n nn n n n n n b b b b bb b b b b b b b b b 112312112312lim lim lim lim ∞→+∞→+∞→∞→⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=ΛΛab b n n n =⋅=+∞→1lim1（8）若d a a n n n =--∞→)(lim 1，则d n a nn =∞→lim证明设10=a⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+-+=-∞→∞→n a a a a a a n an a n n n n n )()()(lim lim112010Λd a a n a a a a a a n a n n n n n n n =-+=-++-+-+=-∞→-∞→∞→)(lim 0)()()(lim lim1112010Λ5．证明：若}{n a 为递增数列，}{n b 为递减数列，且 0)(lim =-∞→n n n b a ，则n n a ∞→lim 与nn b ∞→lim 都存在且相等.证明因为)(lim =-∞→n n n b a ，所以}{n n b a -有界，于是存在0>M ，使得M b a M n n ≤-≤-. 从而有1b M b M a n n +≤+≤， M a M a b n n -≥-≥1，因此}{n a 为递增有上界数列，}{n b 为递减有下界数列，故n n a ∞→lim 与nn b ∞→lim 都存在. 又因为0)(lim lim lim =-=-∞→∞→∞→n n n n n n n b a b a ，所以 nn n n b a ∞→∞→=lim lim .6．设数列}{n a 满足：存在正数M ，对一切 n 有M a a a a a a A n n n ≤-+-+-=-||||||12312证明：数列}{n a 与}{n A 都收敛.证明数列}{n A 单调增加有界，故收敛. 由柯西收敛准则，0,0>∃>∀N ε，当N n m >>时，ε<-||n m A A . 于是ε<-=-++-+-≤-+---n m n n m m m m n m A A a a a a a a a a ||||||||1211Λ所以由柯西收敛准则，知数列}{n a 收敛.7．设⎪⎭⎫ ⎝⎛+=>>a a a a σσ21,0,01，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+n n n a a a σ211, Λ,2,1=n ，证明：数列}{n a 收敛，且其极限为σ证明因为σσσ=⋅≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+n n n n n a a a a a 211，故数列}{n a 有下界σ.112112121=⎪⎭⎫⎝⎛+≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+σσσn n n a a a ，于是n n a a ≤+1，即数列}{n a 单调减少，从而数列}{n a 收敛. 设A a n n =∞→lim ，由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+n n n a a a σ211，得σ+=+212n n n a a a ，两端取极限得，σ+=222A A ，解得σ=A ，所以σ=∞→n n a lim .8．设011>>b a ，记211--+=n n n b a a ，11112----+⋅=n n n n n b a b a b ，Λ,3,2=n . 证明：数列}{n a 与}{n b 的极限都存在且等于11b a .证因为 111121111212111112)(2--------------+⋅-+=++≤+⋅=n n n n n n n n n n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b n n n n n n n n n b b a b a b a b a -+=+⋅-+=--------111111112，所以nn n n a b a b =+≤--211，Λ,3,2=n数列}{n a 是递减的：n nn n n n a a a b a a =+≤+=+221，Λ,2,1=n数列}{n a 有下界：0211≥+=--n n n b a a ，Λ,2,1=n ，所以}{n a 收敛，设a a n n =∞→lim .数列}{n b 是递增的：11111111122---------=+⋅≥+⋅=n n n n n n n n n n b a a ba b a b a b ，Λ,3,2=n数列}{n b 有上界：1a a b n n ≤≤，Λ,2,1=n ，所以}{n b 收敛，设b b n n =∞→lim .令∞→n 在211--+=n n n b a a 的两端取极限，得b a =.211--+=n n n b a a 与11112----+⋅=n n n n n b a b a b 两端分别相乘，得11--=n n n n b a b a ，Λ,3,2=n 所以有11b a b a nn =，Λ,3,2=n ，令∞→n 取极限得11b a ab =，从而11b a a =。

数学分析课本习题及02

第二章数列极限习题§ 1 数列极限观点1、 a n =1( 1)n， n=1， 2，⋯，a=0。

n（ 1）以下ε分求出极限制中相的N ：1=，2=， 3=；（ 2） 1 ， 2 ， 3 可找到相的N ，能否了然a n 于 0 怎做才；（ 3）定的ε能否只好找到一个N2、按ε— N 定明：23；（ 3） limn!n；（ 1） limn =1；（2） lim3n 2nnn 1n2n12nn（ 4） lim sinn=0；（ 5） limn n =0（ a>0）。

nna3、依据例 2，例 4 和例 5 的果求出以下极限，并指出哪些是无小数列：（ 1） lim1 ；（ 2） limn 3 ；（ 3） lim13 ；（4） lim 1n；n n n n n n3（ 5） lim1 n ；（ 6） limn10 ；（ 7） limn 1 。

n2 nn24、明：若 lim a n = a ，任一正整数k ，有 lim a nk = a 。

nn5、用定 1 明：（ 1）数列 {1}不以 1 极限；（ 2）数列 { n (1) n} 散。

n6、明定理，并用它明数列( 1) n} 的极限是 1。

{ 1n7、明：若 lim a n = a ， lim |a n |= |a| 。

当且当 a 何反之也建立nn8、按ε— N 定明：（ 1）lim ( n 1n ) =0 ；n（ 2） lim12 3 3 n=0；nnn1, n为偶数，（ 3）lim a n =1，此中nna n=n2n， n 为奇数。

n§ 2 收敛数列的性质1、求以下极限：（ 1）lim n33n 21 1 2n3）lim( 2) n3n 3；（ 2）lim2；（(2)n 13n 1；n4n2n3n n n（ 4）lim( n2n n) ；（5） lim (n1n 2n 10) ；n n111（ 6）lim2 2 22n。

数学分析(上册)答案-张勇杨光崇-第二章极限论(1)数列极限

思考与练习 2-11. 下列命题是否正确?① a a n n =∞→lim ,则对任意的正数ε,邻域()ε;a U 都包含{}n a 的全部项; ╳② 若存在正数ε,使()ε;a U 包含{}n a 的全部项,则a a n n =∞→lim ; ╳③ 若对任给的0>ε,()ε;a U 都含有{}n a 的无穷多项,则数列{}n a 以a 为极限. ╳2. 设na nn )1(1-+=,0.,2,1==a n① 对下列ε分别求极限定义中相应的N 1.01=ε 01.02=ε 001.03=ε ② 对321,,εεε可以找到相应的N ,这是否就证明了n a 趋于0？应该怎样做才对;③ 对给定的ε是否只能找到一个N ？解 (1)对0>∀ε,()nn a a nn 211≤-+=-,要使3,2,1,10==<--i a a i i n ε,只须i nε<2即i n 102⋅>,故可取3,2,1,102=⋅=i N i . (2) 只有三个确定的ε值,找到了相应的N ,还不能断定()∞→→n a n 0.必须对0>∀ε,为求()εε2211>⇒<≤-+=-n n n a a nn ,故取得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ε2N ,当n N >时,有ε<-a a n ,这样才能断定()∞→→n a n 0.(3) 答不是.如果对给定的ε找到了一个相应的N ,则对任何比N 大的正整数,都可作为相应的N .3. 在数轴上将下列数列表示出来,指出哪些数列有极限,它的极限为多少?哪些没有极限.①⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 10; ②⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 2; ③⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n 12; ④(){}n11-+. 解 ①见图 2.1-1(a),有极限,极限值是0; ②见图 2.1-1(b),有极限,极限值是0;③; 见图2.1-1(c),有极限,极限值是2; ④见图2.1-1(d),没有极限.4. 求证07912lim3=+-∞→n n n .证因为7920791233+≤-+-n n n n ,要使ε<+7923n n ,只需εn n 2793>+,即39792->εn n 若取⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=39792εn N ,则当N n >时,就有ε<-+-079123n n .由极限定义知07912lim 3=+-∞→n n n . 上述证明正确吗?如果不正确,则问题是什么?如何改正?答以上证法不正确,因为所找的N 既与ε有关,也与n 也有关,从而导致是由n 来定N ,与""N ε-定义不符.正确的证明方法是:对0ε∀>,33322121210979797n n n n n n n ε---=≤<<+++,取N =,当n N >时,有321097n n ε--<+,所以07912lim 3=+-∞→n n n . 5. 以下六个叙述与极限∞→n lim a a n =的定义是否等价,并说明理由: ① 对任意的0>ε,存在正整数N ,当N n ≥时,有ε≤-a a n ; ② 对任意的正整数k ,存在正整数k N ,当k N n ≥时,有ka a n 1<-; ③ 对任意的正整数k ,只有数列{}n a 的有限项不属于邻域⎪⎭⎫ ⎝⎛+-k a k a 1,1; ④ 有无限个正数ε,对每个ε存在正整数εN ,当n N ε≥时,有ε<-a a n ⑤ 对任意的0>ε,总有数列{}n a 的无限多项满足不等式ε<-a a n ; ⑥ 对任意的a <η与任意的a >μ,只有数列{}n a 的有限项不属于邻域()μη,. 解 ①、②、③、⑥与定义等价;而④和⑤不能与定义等价.④不能与定义等价的原因是: 无限个正数ε并不表示任意的正数,例如,我们知道数列(){}1n-是发散的,但可取无穷多个大于2的正数ε,都存在正整数1N ε=,当n N ε>时,有()()10;(1,2,)nU n ε-∈= ;⑤不能与定义等价的原因是: 数列{}n a 的无限多项满足不等式ε<-a a n ,并不代表xO图2.1-1(d)2273x3O 图2.1-1(c)5294从某一项以后的所有项都满足ε<-a a n .例如,数列{}1,0,2,0,,,0,n 是发散的,但对任意的0>ε,总有数列{}n a 中的所有偶数项()200;k a U ε=∈,即{}n a 中有无限多项满足不等式ε<-a a n .6. 按N -ε定义证明; ①∞→n lim31132=-+n n ; ②∞→n lim()03=-+n n ; ③∞→n lim)1(0>=a a nn. 证 ① 对0>∀ε,因为321791313939(1)1n n n n n n >+-=<=----,取1max 1,3N ε⎧⎫⎡⎤=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭,当n N >时,有32113131n n n n ε>+-=<<--,故∞→n lim 31132=-+n n .②对0>∀ε,因为-=<,取21N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,当n N >时,有ε<<,故∞→nlim0=.③设h a +=1,则0>h ,且()()()22212111h n n h h n n nh h a n nn -≥++-++=+= (2≥n ), 对0>∀ε,当2≥n 时,因为()()12121210222+>⇒<-=-<=-h n h n h n n n a a n n n εε,取()2122+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=a N ε,则当N n >时,有ε<-0n a n ,由数列极限的定义得0lim =∞→n n an. (注:本题可扩展成为∞→n lim 0(1,)kn n a k a=>是值.7. 证明:若∞→n lim a a n =,则对任一正数k ,有∞→n lim a a k n =+.证因为a a n n =∞→l i m,则对0,N ε+∀>∃∈ ,当N n >时,有ε<-a a n ,而N n k n >>+,故有ε<-+a a k n ,所以a a k n n =+∞→lim .(注:数列{}n k a +是数列{}n a 去掉前k 项后得到的子数列,而不是增加k 项后的新数列) 8. 用定义1'证明:① 数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1不以1为极限; ② 数列{}nn)1(-发散.证 ①取210=ε，当2≥n 时，()⎪⎭⎫ ⎝⎛=∉23,21,110εU n ，由定义1´知，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1不以1为极限；② 对任何实数a ，由实数的性质知[][]1+≤≤a a a ，取210=ε，则在()0,εa U 内，最多有一个整数，当[]1+>a n 时，()()()01,222εa U n n n∉=-，由定义1´知，数列(){}nn1-发散。

数学分析(1)第2次习题课(附解答版)

ii) 利用勒贝格数引理证明有限覆盖定理。
解答： i) 我们给出两种证明。（有限覆盖证明）对于任意的 x ∈ I，它必被某个 J ∈ S 覆盖。因为 J 是开
区间，所以存在 r > 0，使得 Br(x) ⊆ J。将 r 缩小一半，然后让 x 跑遍 I 中的点，我们得到 I 的另一个开覆盖：
{Br/2(x) | x ∈ I},
对于另外一点 y ∈ A，注意 A 的直径小于 δ，所以有
|y − x| < δ. 于是根据三角不等式，我们有
|y − xi| ≤ |x − xi| + |y − x| < ri/2 + δ ≤ ri,
1
所以集合 A 是 Bri (xi) 的子集，于是，根据 Bri (xi) 的取法，A 也是 S 中某开区间的子集。
xn − xn−1
=
x2k−1 − x2k−2
ϵϵ < + = ϵ.
n
2k − 1
22
命题得证。
□
4. 设数列 {an} 满足 an > 0，且
lim
x2k
ϵ <,
2k 2
x2k−1
ϵ <.
2k − 1 2
取 N > 2 max(N1, N2)，对任意的 n > N ，
• 若 n = 2k，则 k > N1, k > N2，于是
xn − xn−1
=
x2k − x2k−1
ϵϵ < + = ϵ;
n
2k
22
• 若 n = 2k − 1，则 k > N1 + 1, k > N2 + 1，于是
N − ϵ < n ≤ N

《数学分析》1复习

得 f (c) = c . 20. 证明:函数 y = 1 sin 1 在(0,1)上无界,但当 x → +0 时,这个函数不是
xx 无穷大.
导数与微分
1．设函数
f
(x) 在 x
=
x0 处可导，且
f ′(x0 )
=
2, 则 lim h→0
f
(x0
− h) − h
f (x0 )
=
。
2．设
f
(0) = 0 ，且
（10） y = (tan5x2 )3 （12） y = e−x sin 2x
（13） y = xsin x
（14） y = ln(arcsin 2x)
6．设 f (x) = ⎪⎨⎧12 x 2 !!! x ≤ 2 ，且 f (x) 在 x = 2 可导，求 a, b 。 ⎪⎩ax + b!! x > 2
上有界。
15.设 b > 0, a0 > 0，数列{an}由以下递推公式给出,
an
=
1 2 (an−1
+
b )， an−1
n=1,2,3….证明该数列{an}收敛，并求其极限值。 16.设 f (x) 为定义在[a,+∞) 上的增函数，证明： lim f (x) 存在的充要条件是
x→+∞
f (x) 在[a,+∞) 上有上界。
f
(x)
=
3 x −1 x −1 ，则
x=1
是函数
f
(x) 的（
）
A、连续点 B、可去间断点 C、跳跃间断点
D、无穷间断点
13、设 f (x) = ⎪⎨⎧sinx x ⎪⎩0
x>0 ，则 x=0 是函数 f (x) 的第

数学分析第二章习题课

1
(a
b)}
1 {(a 2
b)
(a
b)}
a,
x2n1
1 2
{(a
b)
2n 2n
1
(a
b)}
1 {(a 2
b)
(a
b)}
b,
lim
n
xn
不存在。
1
例5 求 lnim(a1n a2n amn )n，其中a1,a2 ,,an 0.
解记 a max(a1,a2,,am )，则
1
1
1
a (an )n (a1n a2n amn )n (ma n )n a n m
2)!
(n
1
p)!
|
1 2n
1 2n1
1 2n p1
1 2n
(1
1 2p
)
1 1
2
| xn p
xn |
1 2n
(1
1 2p
)
1 1
2
1 1
2 2 n1
n p1
1 2n1
0,(n ).
故 0，N ,n N，p 0,有 | xn p xn | .
由Cauchy准则，{xn}收敛。
例8 斐波那契（Fibonaci ,1170-1250,意大利数学家）斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…
例1下列数列是否存在极限，若存在，求出其值。
(1)
1
lim[
n
n2
(1)n ].
n n
(2) lim
.
n n 1
(3)
(4)n 6n
lim
n
5n1
6n1
.
(4)

数学分析课本（华师大三版）-习题及答案02

数学分析课本（华师大三版）-习题及答案02第二章数列极限习题§1数列极限概念1、设n a =nn)1(1-+，n=1，2，…，a=0。

（1）对下列ε分别求出极限定义中相应的N ：1ε=0.1，2ε=0.01，3ε=0.001；（2）对1ε，2ε，3ε可找到相应的N ，这是否证明了n a 趋于0？应该怎样做才对；（3）对给定的ε是否只能找到一个N ？ 2、按ε—N 定义证明：（1）∞→n lim 1+n n =1；（2）∞→n lim 2312322=-+n n n ；（3）∞→n lim n n n !；（4）∞→n lim sinn π=0；（5）∞→n lim n an=0（a >0）。

3、根据例2，例4和例5的结果求出下列极限，并指出哪些是无穷小数列：（1）∞→n limn1；（2）∞→n limn3；（3）∞→n lim 31n ；（4）∞→n lim n 31；（5）∞→n limn21；（6）∞→n limn10；（7）∞→n lim n21。

4、证明：若∞→n lim n a = a ，则对任一正整数k ，有∞→n lim k n a += a 。

5、试用定义1'证明：（1）数列{n1}不以1为极限；（2）数列{n n )1(-}发散。

6、证明定理2.1，并应用它证明数列{nn)1(1-+}的极限是1。

7、证明：若∞→n lim n a = a ，则∞→n lim |n a |= |a|。

当且仅当a 为何值时反之也成立？8、按ε—N 定义证明：（1）∞→n lim )1(n n -+=0；（2）∞→n lim3321n n++++ =0；（3）∞→n lim n a =1，其中,1nn -n 为偶数， n a =nnn +2，n 为奇数。

§2收敛数列的性质1、求下列极限：（1）∞→n lim 32413323++++n n n n ；（2）∞→n lim 221n n +；（3）∞→n lim 113)2(3)2(+++-+-n n nn ；（4）∞→n lim )(2n n n -+；（5）∞→n lim )1021(n n n +++ ；（6）∞→n lim n n31313121212122++++++ 。

（完整word版）数学分析—极限练习题及详细答案

（完整word版）数学分析—极限练习题及详细答案⼀、选择题1.若0()lim1sin x x xφ→=，则当x 0→时，函数(x)φ与（）是等价⽆穷⼩。

A.sin ||xB.ln(1)x -C.11.【答案】D 。

2.设f(x)在x=0处存在3阶导数，且0()lim 1tan sin x f x x x→=-则'''f (0)=（）A.5B.3C.1D.0 2.【答案】B.解析由洛必达法得30002()'()''()limlimlim1tan sin 2cos sin sin cos cos x x x f x f x f x x x x x xx x -→→→==-+-42200''()''()lim lim 16cos sin 2cos cos 21x x f x f x x x x x --→→===-++++可得'''f (0)3= 3.当x 0→时，与1x 133-+为同阶⽆穷⼩的是（） A.3x B.34x C.32xD.x3.【答案】A.解析.12233312332000311(1)1133lim lim (1)3313x x x x x x x ---→→→-+?==+=选A 。

4.函数2sin f ()lim 1(2)nn xx x π→∞=+的间断点有（）个A.4B.34.【答案】C.解析.当0.5x >时，分母→∞时()0f x =，故20.5sin 12lim1(2(0.5))2n x π→--=-+?-， 20.5sin12lim1(20.5)2n x π→=+?，故，有两个跳跃间断点，选C 。

5.已知()bx xf x a e=-在（-∞，+∞）内连续，且lim ()0x f x →∞=，则常数a ，b 应满⾜的充要条件是（）A.a>0，b>0B.a ≤0，b>0C.a ≤0，b<0D.a>0，b<05.【答案】B 。

数学分析1测试题1

数学分析1测试题1一、填空题（每小题3分，共24分）1．已知2(1)1S n −=+ , 则supS= , infS= ．2．设21cos ()xf x x−=,那么0lim ()x f x →= ． 3． 201sinlimx x x x →= ． 4． ||1,lim 1nnn a a a →∞≠+当时= ．5． 0lim ()x x f x →存在的归结原则是．6．函数3, (0,)(,)()sin 21 , 0,xx f x x x ππππ ∈∪= = 的间断点为 , 且为第类间断点．7． ()|cos |f x x =在x= 处的导数不存在． 8．已知1(2)(1)(1)1,lim1x f x f f x→−−′=−则= ．二、计算题(每小题8分,共56分) 1．求lim n n →∞+．2．设()().f x x f x ′=求 3．设 ()(ln ),().x f x x f x ′=求4．曲线的参数方程为sin cos 2x t y t== , 求曲线在4t π=处的切线、法线方程． 5．已知1sin ,0()0, 0x x f x xx α≠ = = , 问： (1) α为何值时, f(x)在x=0处连续； (2) α为何值时, f(x)在x=0处可导． 6．求30sin lim x x xx→−．7．求1ln 0cos lim sin xx x x +→．三、证明题(每小题10分,共20分) 1．用''εδ−定义证明: 011lim2x x →−=． 2．证明:当12122121,0,,,sin sin 2x x x x x x x x π∈<−<− 且时有, 并由此证明方程1sin 20,2x x π+= 在内存在唯一实根．数学分析1测试题2一、填空题（每小题3分，共24分）1. 已知(1)1n n S n=− + , 则supS= , infS= .2. 设21, 1()11, 1x x f x x x −≠=− = ,那么1lim ()x f x →= . 3. 1lim 1n n n n +→∞+= .4. 设()lim ,()x x xxxn n n f x e f x n n −−−→∞−=+则= . 5. 0lim ()x x f x A →=的''εδ−定义为 .6. 函数()ln |1sin |f x x =+的间断点为 , 且为第类间断点.7. ()|sin |f x x =在x= 处的导数不存在.8. 已知1(2)(0)1,(0)0,limx f x f f x→′==则= .二、计算题(每小题8分,共56分) 1. 已知0b a >>,求n →∞.2. 设()().f x f x ′=求3. 设 cos ()(sin ),().x f x x f x ′=求4. 已知1(),().xf x x f x ′=求5. 已知289,0()1, 0x x x f x a x x b +−>= +< ,试确定,a b , 使 f(x)在x=0处可导. 6. 求30(2)2lim x x e x x x →−++. 7. 求()0lim sin x x x +→.三、证明题(每小题2分,共20分)1.用''N ε−定义证明: 1lim212n n n →∞=+. 2.应用中值定理证明:0,ln(1)x x x >+<当时有, 并由此证明数列2111ln 1ln 1ln 1,1,2,222n na n=++++++=L L 收敛.数学分析1测试题3一、填空题（每小题3分，共24分）1．已知{}111,S n N n=−∪−∈ , 则supS= , infS= ．2． 23lim 23n n n n n →∞+= ．3． 0lim ()''x x f x A εδ+→=−的定义是= ．4．设sin 2, 0()1, 0xx f x x x ≠= = , 那么0lim ()x f x →= ．5．当0,1cos(2)x x →−时与为等价无穷小量． 6．1limsin x x→−= ．7．由图象及导数的几何意义知()|sin |f x x =在x= 处不可导． 8．设2(),[,]f x x x a b =∈, 则拉格朗日中值定理中的ξ= (,)a b ∈．二、计算题(每小题8分,共48分)1.求0n x >．2. 试叙述0lim ()x x f x →存在的归结原则,并说明0lim cos x →不存在． 3．试指出2()sgn(1)f x x =−的间断点,并说明类型． 4．设2, 0(), 0x x f x x x ≥= < , 求()f x ′．5．设()(ln ),().x f x x f x ′=求 6．设22(),().x f x e d f x =求三、证明题(共28分)1.用''N ε−定义证明: 22lim313n n n →∞=+． (9分)2.设00lim ()()0x x f x f x →=>,试叙述保号性定理, 并给出证明． (9分) 3.(10分)设f(x)在0x 处可导, 且0()0f x ≠．试用导数的定义证明：'020()1()()x x f x f x f x =′ −=．数学分析1测试题4一、填空题（每小题3分，共24分）1. 已知11,S n N n=+∈ , 则supS= , infS= .2. 1lim 1n n n n +→∞+= .3. 0lim ()''x x f x A εδ−→=−的定义是= .4. 设sin 3, 0()1, 0xx f x x x ≠= = , 那么0lim ()x f x →= .5. 当20,x x e →时-1与为等价无穷小量.6. 0x →= .7. 由图象及导数的几何意义知()|cos |f x x =在x= 处不可导. 8. 设3(),[,]f x x x a b =∈, 则拉格朗日中值定理中的ξ= (,)a b ∈. 二、计算题(每小题8分,共48分)1．求, n .2．试叙述0lim ()x x f x →存在的归结原则,并说明0lim sin x →不存在. 3．试指出2()sgn(31)f x x x =−+的间断点,并说明类型. 4．设cos , 0()1sin , 0x x f x x x ≥ =+< , 求()f x ′. 5．设2cos ()(sin),().x f x f x ′=求 6．设sin()2(),().ax b f x e d f x +=求三、证明题(共28分)1．用''εδ−定义证明: 11lim12x x x →=+. (9分) 2．设函数0000(),(),().f x x g u u u f x =在连续在连续且证明: 0(())g f x x 在处连续. (9分) 3．设f(x)在0x 的某邻域内有定义,且在0x 可导. 若0x 为f(x)的极值点, 则必有0()0f x ′=. (10分)数学分析1测试题5一、填空题（每小题4分，共32分）1. 已知{}(0,1)2S =∪ 中的有理数, 则MaxS= , infS= .2. 若f(x)在D 上满足 , 则称f(x)在D 上有界.3.将区间[0,2]中的点的x 映射到区间[0,1]中的点u 的映射u= ;而将[2,6]映射到[0,1]的映射u .4. 0,1x →−当时的等价无穷小是 .5. ()sgn(cos )f x x =的所有间断点的集合为 ,且是类间断点.6. 曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程为 , 法线方程为 .7. 试举一函数()f x = 该函数在0x 处连续,但不可导. 8. 已知0(2)(0)(0)2,limsin x f x f f x→−′=则= .二、计算题(每小题6分,共36分) 1．求lim n →∞++L . 2．求极限 22ln(sin )lim(2)x x x ππ→− 3．求极限 2221lim 1x x x x →+∞− +4．设2ln arcsin ..y y x′= 求5．设ln .x y x y ′=,求6．设22sin ,,.cos ttx e tdy d y dx dx y e t= = 求四、证明题(每小题2分,共20分)1．用''εδ−定义证明: 211lim 2x x x→+=.2．设{}n a 为递增且有上界函数. 证明lim sup{}n n n a a →∞=, 并举例说明.3．设2()x f x x e =,证明: (1) ()f x ′在[0,3]上有界; (2) 用定义证明f(x)在[0,3]上一致收敛.4．试求极限121lim 11x x x →+∞+−,并证明()()lim 10k k n n n →∞+−=(0<k<1为常数.数学分析1测试题6一、填空题（每小题4分，共32分） 1. 已知{}(0,1)S =∪中的无理数, 则MaxS= , infS= .2. 若f(x)在D 上满足 , 则称f(x)为D 上的递增函数.3.将区间[0,3]中的点的x 映射到区间[0,1]中的点u 的映射u= ;而将[1,4]映射到[0,1]的映射u .4. 0,ln(12)x x →+当时的等价无穷小是 .5. ()sgn(sin )f x x =的所有间断点的为 ,且是类间断点.6. 若()y f x =在D 上满足 , 则称f(x)在D 上一致连续.7. 试举一函数()f x = 该函数在0x 处连续,但不可导.8. 已知0()(0)(0)2,limsin 2x f x f f x→−′=则= .二、计算题(每小题6分,共36分) 1．已知0b a c >>>,求n 2．求极限 1lim 1x x x e →+∞−3．求极限 ()1lim 1sin xx x →+4．设3ln arc ..y tg y x′= 求5．设cos (sin ).x y x y ′=,求6．设22232,,.2x t t dy d y dx dx y t t=− =− 求三、证明题(每小题2分,共20分)1．用''εδ−定义证明: 11lim 12x x x →=+.2．设0, 0()1sin , 0k x f x x x x == ≠ , 分别求:(1)当k 为何值时, f(x)在00x =处可导;(2) 当k 为何值时, 0()0f x x ′=在连续.3．用定义证明2()f x x =f(x)在[1,3]上一致收敛. 问:f(x)在(1,3)也一致收敛吗?为什么?4．证明:若f(x)是以2π为周期的函数,则存在ξ,使得()()f f ξπξ+=.数学分析1测试题7一、填空题(每小题3分,共24分)1. 用εδ−定义叙述: 函数()y f x =在0x 处的右极限是实数A 的定义是 .2. 用N ε−语言陈述数列{}n a 不是柯西数列为.3. 无界数列不是无穷大量,试利用子列的性质, 列举一个在n →∞时,不是无穷大量的无界数列: .4. 设()()1g x f x =−,且lim ()x ag x e →=,则lim ()x af x →= ;在x a →时,函数f(x)收敛的理由是 . 5. 0sin limx mx tgnx →= ;01lim sin x x x→ .6. 函数()f x 在0x 处连续是()f x 在0x 可微的条件. 函数()f x 在0x 处可微是()f x 在0x 连续的条件.7. 连续函数f(x)的局部保号性是指 . 8. 若函数()f x 在0x 处有0()0f x ′≠, 则曲线00()(,())y f x x f x =在点处的法线方程是 . 二、计算题(每小题8分,共48分) 1. 计算极限(1) 2132lim 31x x x x −→+∞+−(2) 2021lim sin 1cos x x x →− −2. 已知(1)1,(1)1,(1)0f f f ′′′===, 试求2222()1d f x x dx =在时的值.3. 289, 0(), 0x x x f x xa xb +−≥+<, 试确定a,b 的值, 使()0f x x =在处可导. 4. 设(sin )(1cos )x a t t y b t =− =− , 求22d ydx .5. 设ln y x =, 求()n y .(对结论的正确性请作严密的论述)6. 求数集1{|1,1,2,}3A x x n n ==−=+L 的上确界,并按定义加以检验. 三、验证题(3题共28分) 1. 设21sin , 0()0, 0x x f x xx > = ≤ ,验证()0f x x =在可导, 并求出()f x ′的表达式. 2. 求证: 方程3310x x −+=在[0,1]内有且仅有一个实根. 3. 试用数学分析的有关知识说明:当x 位于原点附近时, 近似公式ln(1)x x +≈的合理性(即说明此式的由来).数学分析1测试题8一、填空题(每小题3分,共24分)1. 用εδ−定义叙述: 函数()y f x =在数集D 上无界的定义是 .2. 函数()y f x =在0x 左连续的定义,用εδ−语言叙述为 .3. 构造一个在(,)−∞+∞上定义,0x →时为无穷大量的函数是 .4. 数列{}n a 收敛是{}n a 的任意子列收敛的条件.5. 0sin sin 4lim_____;lim _______.3x x x xx x→∞→==6. 运用函数增量与微分的近似关系式时,应取()______,f x =0__x =, x ∆= , 0()f x ′= .7. 曲线223y x x =−+上,斜率为2的切线是过点的切线. 8. 设(ln())y f x =, 则函数()f x 可导, 则22d ydx = .二、计算题（每小题8分，共48分） 1. 计算极限(1) lim(1mx x k x →∞+; (2) 011lim()1x x x e →−−2. 已知等式2211()()x x df x df x dxdx ===成立, 求(1)((1)1)f f ′⋅−的值.3. 已知2,3(),3x x f x ax b x ≥=+< 当当在x=3可导, 则,a b 各取值. 4. 设y xarctgx =, 求2d y . 5. 已知11y x=−, 求()n y .(对结论的正确性请作严密的论述) 6. 求数集2{|3}x x <的下确界, 并按定义检验. 三、验证题（3题共28分）1. 用εδ−语言验证22112lim 213x x x x →−=−−.2. 试说明||y x =是初等函数,且在x=0不可导.3. 设函数()f x 在有限区间(,)a b 内可导,且lim (),lim ()x ax af x A f x B +−→→==存在.求证: 在(,)a b 内必存在一点ξ使()B Af b aξ−′=−.数学分析1测试题9一、填空题(每小题3分,共24分)1. 设1{1}{1},,sup ____,inf _____.S n N S S n=−∪−∈==则2. 函数()sgn(sin )f x x =的所有间断点为 ,且都是第类间断点.3. 叙述连续函数的局部保号性: 若f(x)在点0x 连续, 且0()0f x >, 则 .4. 若289,0(), 0x x x f x x a x b +−≥ = +<在0x =处可导, 则___,___.a b == 5. 已知1(2)(1)(1)1,lim 1x f x f f x→−−′=−则= . 6. 021lim(sin sin 3)x x x x x→+= . 7. 当0,1cos 2x x →−时与是等价无穷小量. 8. 00()()lim(()())0,lim h h f a h f a f a h f a h→→+−+−=是存在的条件(选择“充分”、“必要”、“充要”三者中的一个).二、计算题(6+6+6+7+7+7+7+9)1.设0,n b a c >>>求. 2. 求极限253lim 52x x x x →∞+ −3. 求极限22ln(sin )lim (2)x x x ππ→−. 4.设2ln(arcsin ),y y x′=求. 5. 设(ln ),x y x y ′=求.6. 设2sin(32),x y e dy +=求.7. 设22sin ,,,2cos t t x e t dy d y t dx dx y e tπ = = = 求并求当时曲线的切线方程与法线方程. 三、证明题(8+9+10=27分)1. 用εδ−定义证明:211lim 0x x x→−=. 2. 用拉格朗日中值定理证明:当0b a >>时,有ln b a b b a b a a−−<<. 3. 试叙述函数f(x)在区间I 上一致连续的定义, 并据定义证明1()sin f x x=在区间(c,1)(其中0<c<1)上一致连续.数学分析1测试题10一、填空题(每小题3分,共24分)1.设{(0,1)}sup ____,inf _____.S S S =∪==中的无理数则2. 函数()sin x f x x=, 则0x =为间断点,(,0)x k k Z k π=∈≠为f(x)的第类间断点.3. 函数f(x)在点0x 连续的εδ−定义为 .4. 函数f(x)在区间I 上的函数.若 , 则称f(x)在I 上一致连续.5. 若31sin ,0()2, 0x x x f x xe a x > = +≤在0x =处连续, 则___.a = 6. 已知||1,lim 1nnn a a a →∞≠+则= . 7. 31lim(sin sin 2)x x x x x→∞+= . 8. 设0()(0)(0)2,lim sin 2x f x f f x→−′==则 . 二、计算题(6+6+6+7+7+7+7+9)1. lim n n→∞+求. 2. 求极限232lim 31x x x x →∞+ −3. 求极限02lim sin x x x e e x x x−→−−−. 4.设arcsin(ln )y x x y ′=+求. 5. 设sin ,x y x y ′=求.6. 设2ln (),tgx y e dy =求.7. 设22(sin ),,,(1cos )2x a t t dy d y t y a t dx dx π=− = =− 求并求当时曲线的切线方程与法线方程.三、证明题(8+9+10=27分)1. 用εδ−定义证明:212lim 3x x x→+=. 2. 用拉格朗日中值定理证明:当0h >时,有21h arctgh h h <<+. 3. 试述函数极限的归结原则,并由此证明0lim sin x →不存在.。

数学分析(1)第二章数列极限复习自测题

数学分析（1）第二章数列极限复习自测题一、仔细体会并熟练掌握lim n n a A →∞=的N ε-定义（注意体会并正确理解ε和N 在定义中的作用和含义，掌握用定义验证数列极限的基本思想【对任意给定的正数ε，寻找在n →∞的过程中，使得n a a ε-<实现的标准N 】和实现基本思想的具体实施方法【对任意给定的正数ε，求解关于n 的不等式“n a a ε-<”，得出“n >某常数”的这种形式的解】），并用此定义证明下列极限：（1）21(1)lim 0n n nn →∞+-=，0n →∞=；（2）2233lim 212n n n n →∞+=-；（3）1n =；（4）1n =；（5）若0n a ≥，lim n n a a →∞=，则对于任意给定的正整数k ，lim n =称为极限的开方法则）。

二、正确理解并掌握lim n n a A →∞=和lim n n a A →∞≠的几何意义，并用此几何意义解决下面的问题：（1）若221lim lim n n n n a a A +→∞→∞==，则lim n n a A →∞=；（2）若lim n n a A →∞=，则lim n k n a A +→∞=，k 为固定的正整数；（3）数列{}n a 收敛（也称lim n n a →∞存在）是指：存在数A ，使得lim n n a A →∞=；数列{}n a 发散（也称lim n n a →∞不存在）是指：对任意的数A ，lim n n a A →∞≠。

证明：对任意的数A ，lim(1)nn A →∞-≠，即{}(1)n-发散。

（4）试写出lim n n a A →∞=的对偶命题（称为lim n n a A →∞=的否定形式），即lim n n a A →∞≠的精确的不等式表示。

三、仔细体会并熟练掌握数列极限的常用性质【极限的惟一性，有界性，保号性，保不等式性，运算性（包括四则运算性，迫敛性或夹逼性），子列性】以及常用性质的证明方法（注意体会定义在讨论数列极限问题中的作用），并用这些性质解决下面的问题：1、用四则运算性计算下列极限（注意体会四则运算法则使用的前提条件）：（1）223lim 21n n nn →∞+-；)n n →∞；（2）n →∞+ ；（3）22lim(1)(1)(1)nn ααα→∞+++ ，其中1α<。

数学分析第一学期自测题(9)

数学分析第一学期自测题（9）一、选择题（每小题2分，共20分）1．设n n y a x ≤≤，且0)(lim =-∞→n n n x y ，则}{n x 与}{n y （）. (A) 都收敛于a (B) 都收敛但不一定收敛于a(C) 可能收敛，也可能发散； (D)都发散.2．设数列}{n x 收敛，数列}{n y 发散，则数列}{n n y x （）.(A) 收敛； (B) 发散； (C) 是无穷大； (D)可能收敛也可能发散. 3．设n n x n)1(-=，则数列}{n x 是（）. (A) 无穷大； (B) 无穷小； (C) 无界量； (D) 有界量.4．设⎩⎨⎧≥+<=00)(x x a x e x f x ，要使)(x f 在0=x 处连续，则=a （）.(A) 2； (B) 1； (C) 0； (D) -1.5．点1=x 是函数⎪⎩⎪⎨⎧>-=<-=1311113)(x x x x x x f ，在（）. (A) 连续点； (B) 第一类非可去间断点； (C) 可去间断点；(D) 第二类间断点. 6．当a x →时，)(x f 为无穷大，)(x g 为有界量，则)()(x g x f 是（）.(A) 无穷大； (B) 有界量； (C) 无界但不是无穷大； (D) 以上都不对. 7．设α=-→)(lim x f a x ，β=+→)(lim x f ax ，则（）. (A) βα<； (B) βα≤； (C) βα=； (D) 以上都不对. 8．设函数f 在),(δδ+-a a 上单调，则)0(+a f 与)0(-a f （）.(A) 都存在且相等； (B) 都存在但不一定相等；(C) 有一个不存在； (D) 都不存在.9．设b x f a x =→)(lim 2，则)(lim x f ax →（）. (A) 存在且等于b ； (B) 不存在；(C) 存在； (D) 可能存在，也可能不存在. 10．设b x f a x =→|)(|lim ，则|)(lim |x f ax → （）. (A) 存在且等于b ； (B) 存在且等于b -；(C) 不存在； (D) 不一定存在，若存在即为b .二、填空题（每空2分，共10分）.1．当1>x 时，=⎥⎦⎤⎢⎣⎡x 1 . 2．设 11lim )(2+=∞→n n x x f ，则 =)(x f .3．当→x _________时，x )21(为无穷大 . 4．若函数⎩⎨⎧>+≤+=0),ln(,0,)(x e x x a x x f 在),(∞+-∞连续，则 =a . 5．已知)(x f =sinx ，则)(x e f =________.三、求下列极限与导数（42分）.1．求⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→214lim 222x x x x . 2．求)]11ln(sin )31ln([sin lim xx x x +-+∞→.3．设x y 2sin 210-=，求dy .4．设函数)(x f 在0=x 连续，且0)(lim 0=→x f x ，1)(lim 0=→x x f x ，求)0(f '. 5．设xx y -+=11ln ，求)(n y . 6．设⎩⎨⎧-'='=)()()(t f t f t y t f x ，求22dx y d .五、（10分）求椭圆周3222=+y x 上点)1,1(0-M 处的切线方程和法线方程.六、（8分）讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=000,1sin x x x x y 在点0=x 处的连续性与可导性.七、（10分）设f 为],[b a 上可导函数，0a >. 证明存在一点),(b a ∈ξ，使得222[()()]()()f b f a b a f ξξ'-=-.。

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数学分析（1）第二章数列极限复习自测题
一、仔细体会并熟练掌握lim n n a A →∞
=的N ε-定义（注意体会并正确理解ε和N 在定义中
的作用和含义，掌握用定义验证数列极限的基本思想【对任意给定的正数ε，寻找在n →∞的过程中，使得n a a ε-<实现的标准N 】和实现基本思想的具体实施方法【对任意给定的正数ε，求解关于n 的不等式“n a a ε-<”，得出“n >某常数”的这种形式的解】），并用此定义证明下列极限：
（1）21(1)lim 0n n n
n →∞+-=，0n →∞=；（2）2233lim 212
n n n n →∞+=-；
（3）1n =；
（4）1n =；
（5）若0n a ≥，lim n n a a →∞
=，则对于任意给定的正整数k ，lim n =
称为极限
的开方法则）。

二、正确理解并掌握lim n n a A →∞
=和lim n n a A →∞
≠的几何意义，并用此几何意义解决下面的问题：
（1）若221lim lim n n n n a a A +→∞
→∞
==，则lim n n a A →∞
=；
（2）若lim n n a A →∞
=，则lim n k n a A +→∞
=，k 为固定的正整数；
（3）数列{}n a 收敛（也称lim n n a →∞
存在）是指：存在数A ，使得lim n n a A →∞
=；数列{}
n a 发散（也称lim n n a →∞
不存在）是指：对任意的数A ，lim n n a A →∞
≠。

证明：对任意的数A ，lim(1)n
n A →∞
-≠，即{}
(1)n
-发散。

（4）试写出lim n n a A →∞
=的对偶命题（称为lim n n a A →∞
=的否定形式），即lim n n a A →∞
≠的精
确的不等式表示。

三、仔细体会并熟练掌握数列极限的常用性质【极限的惟一性，有界性，保号性，保不等式性，运算性（包括四则运算性，迫敛性或夹逼性），子列性】以及常用性质的证明方法（注意体会定义在讨论数列极限问题中的作用），并用这些性质解决下面的问题：
1、用四则运算性计算下列极限（注意体会四则运算法则使用的前提条件）：
（1）223lim 21n n n
n →∞+-；)n n →∞
；（2）n →∞+ ；（3）22lim(1)(1)(1)n
n ααα→∞
+++ ，其中1α<。

2、用迫敛性或夹逼法则计算或证明下列极限（注意体会夹逼法则使用的前提条件）：
（1）
n →∞
+ ；
（2）n ；
（3）若lim 0n n a A →∞
=>，则1
lim []n n na A n
→∞=，1n =（注意体会与极限的开方
法则的区别）；
3、用保号性证明：若lim n n a A →∞
=，lim n n b B →∞
=且A B >，则存在正数N ，当n N >时
有n n a b >（称为数列极限保序性的一般形式）；
4、利用子列性证明1
lim[(1)]n
n n →∞
-+和lim cos
2
n n π
→∞
不存在（注意子列性在讨论数列发散问题中的作用）。

（注：子列性的一个典型的作用是提供判断某些数列发散的有效方法）四、仔细体会并熟练掌握关于数列极限存在性的单调有界定理和柯西准则，并用它们解决下面的问题：
1、分别用单调有界定理和柯西准则两种方法证明数列
11
111!2!
!n ⎧⎫++++⎨⎬⎩⎭ 和11112n ααα⎧⎫
+++⎨
⎬⎩⎭
（其中2α≥）
；收敛；
2、（1）若数列{}n a 满足：1a =1n a +=1,2,n = ），证明lim n n a →∞
存在，
并求其值；
（2）若数列{}n a 满足：设0c >，1a =1n a +=1,2,n = ），证明lim n
n a →∞
存在，并求其值。

3、（1）体会柯西准则【{}n a 收敛⇔对任意给定的正数ε，存在0N >，当n N >时，对一切自然数p ，总有n p n a a ε+-<】中，标准0N >与p 的关系；
（2）写出柯西准则的对偶命题；
（3）用柯西准则的对偶命题可得一个有用的结论：若存在{n a }的两个子列{k n a }和{k n b }，使得lim()0k k n n k a b →∞
-≠，则lim n n a →∞
不存在，即{n a }发散。

试利用此结论证明：
lim(1)n n n →∞
-和11lim(1)2n n
→∞
+
++ ，都不存在。

4*、记111ln 2 n U n n =+
++-，11
1ln(1)2 n V n n
=+++-+，则（1）n n V U ≤；
（2） n U ， n V ；（注意：利用不等式，当1x >-时，ln(1)x x +≤）
（3）lim n n U →∞
和lim n n V →∞
都存在，且lim lim n n n n U V →∞
→∞
=；（注意：利用（1）和（2）以及单
调有界定理，以及()lim 0n n n U V →∞
-=）
（4）11lim 12 n n →∞
⎛
⎫+
++=+∞ ⎪⎝⎭，从而1
112
n ⎧⎫+++⎨⎬⎩⎭发散；
（注意：利用（3）和11
1ln 2 n U n n
+++=+）
；（5）1
11lim ln 2122 n n n n →∞⎛⎫+++=
⎪++⎝
⎭。

五、（1）归纳已学过的求数列极限的方法（定义法、定义的几何意义法、极限的性质法、利用极限存在的条件的方法等）；
（2）归纳已学过的判断数列极限不存在的判别方法（极限定义的对偶命题、极限定义几何意义的对偶命题、子列性产生的方法、柯西准则的对偶命题）。

六、第二章的学习报告
要求至少包括两个方面：
1、通过本章的学习（特别是在学习过程中）所获得的收获；
2、在学习过程中还存在的问题，拟解决这些问题的计划。

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