专题：运用向量法证明立体几何问题
纵观立体几何考题感悟向量方法解题
纵观立体几何考题感悟向量方法解题在高中数学学习中，立体几何一直是学生们非常头疼的一个部分。
立体几何的主要难点是空间的复杂性，加上几何思维本来就不易理解，许多学生解题困难。
但是，通过向量方法解题是一种很好的解决立体几何问题的方法。
本文将通过纵观立体几何考题，分享一些关于向量方法解题的经验与感悟。
一、向量的基本概念及运算向量的表示法是用箭头表示。
箭头的长度代表向量的大小，箭头的方向代表向量的方向。
一个向量可以被表示为一个由有序数对$(x,y)$所确定的点A和另一个由有序数对$(x',y')$所确定的点B之间的向量$\vec{AB}$。
向量也可以表示为箭头的坐标，即$\vec{AB}=\begin{pmatrix}x'-x\\y'-y\end{pmatrix}$。
向量的大小表示为$|\vec{AB}|=\sqrt{(x'-x)^2+(y'-y)^2}$。
向量的运算有向量加法和向量数乘。
向量加法的定义是：$\vec{a}+\vec{b}=\begin{pmatrix}a_1+b_1\\a_2+b_2\\a_3+b_3\e nd{pmatrix}$。
其中，$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$，$\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$。
向量数乘的定义是：$\lambda\vec{a}=(\lambda a_1,\lambda a_2,\lambda a_3)$。
其中，$\lambda$是一个实数。
二、应用向量方法求解空间几何问题1.立体几何基本概念首先，我们需要掌握一些立体几何的基本概念，比如平面、线段、角等。
此外，还需要了解空间中的直线、平面、空间角、平行线等概念。
了解这些概念是建立解题基础的必要条件。
2.向量表达式的转化在解题中，我们可以通过向量的基本运算将问题转化为向量的加、减、数乘问题。
因此，我们需要能够将向量从一个表达式转化为另一个表达式，并灵活地运用向量的加、减、数乘运算法则来求解问题。
用空间向量法求解立体几何问题典例及解析
用空间向量法求解立体几何问题典例及解析以多面体为载体，以空间向量为工具，来论证和求解空间角、距离、线线关系以及线面关系相关问题，是近年来高考数学的重点和热点，用空间向量解立体几何问题，极大地降低了求解立几的难度，很大程度上呈现出程序化思想。
更易于学生们所接受，故而执教者应高度重视空间向量的工具性。
首先，梳理一下利用空间向量解决立体几何的知识和基本求解方法 一：利用空间向量求空间角 (1)两条异面直线所成的夹角范围：两条异面直线所成的夹角的取值范围是 。
向量求法：设直线,a b 的方向向量为a,b ，其夹角为θ，则有cos ___________.θ= (2)直线与平面所成的角定义：直线与平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角。
范围：直线和平面所夹角的取值范围是 。
向量求法：设直线l 的方向向量为a ，平面的法向量为n ，直线与法向量所成角的余弦值为|cos |___________.θ=直线与平面所成的角为ϕ，则有sin ___________.ϕ=或在平面内任取一个向量m ，则|cos |___________.θ=.(3)二面角二面角的取值范围是 . 二面角的向量求法：方法一：在两个半平面内任取两个与棱垂直的向量，则这两个向量所成的 即为所求的二面角的大小；方法二：设1n ，2n 分别是两个面的 ，则向量1n 与2n 的夹角(或其补角)即为所求二面角的平面角的大小。
二：利用空间向量求空间距离 （1）点面距离的向量公式平面α的法向量为n ，点P 是平面α外一点，点M 为平面α内任意一点，则点P 到平面α的距离d 就是 ，即d =||||M P ⋅ n n .（2）线面、面面距离的向量公式平面α∥直线l ，平面α的法向量为n ，点M ∈α、P ∈l ，平面α与直线l 间的距离d 就是MP 在向量n 方向射影的绝对值，即d = .平面α∥β，平面α的法向量为n ，点M ∈α、P ∈β，平面α与平面β的距离d 就是MP 在向量n 方向射影的绝对值，即d =||||M P ⋅ n n .（3）异面直线的距离的向量公式设向量n 与两异面直线a 、b 都垂直，M ∈a 、P ∈b ，则两异面直线a 、b 间的距离d就是MP 在向量n 方向射影的绝对值，即d =||||M P n n .三：利用空间向量解证平行、垂直关系1：①所谓直线的方向向量，就是指 的向量，一条直线的方向向量有 个。
浅谈用向量法证明立体几何中的几个定理
浅谈用向量法证明立体几何中的几个定理15号海南华侨中学（570206）王亚顺摘要：向量是既有代数运算又有几何特征的工具，在高中数学的解题中起着很重要的作用。
在立体几何中像直线与平面平行的判定，平面与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定等定理都没有给出证明，而用向量法很容易证明这些定理。
关键词：向量法直线平面平行垂直立体几何在高中阶段我们学习了平面向量与空间向量的基本知识，而向量本身既可以进行代数运算又含有几何特征，这是很典型的知识，促使其在代数或几何方面都可以得到很好的应用，因此，在解题方面我们运用向量知识及本身含有的运算去解决问题的方法，我们称为向量法。
即向量法既能解决代数问题也能解决几何问题。
立体几何是我们高中学习的一个难点，关键在于其抽象性及理解定理的基础上灵活运用，抽象性在此就不多言了，我们来谈下定理的问题。
在高中人教A版的第二章《点、直线、平面之间的位置关系》中，对于直线与平面平行的判定，平面与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定等定理都没有给出证明，课本中只是探究说明，让学生体会而得到。
如果能给出证明，就能够很好地体现定理的严密性，在此可以用向量法来证明。
下面我们就用向量法证明这些定理，先介绍一些向量知识及相关定理。
定义1 两个向量α 与β 的长度与他们之间的夹角的余弦的乘积称为α 与β 的数量积。
记为cos αβαβθ∙= 。
特别地，若非零向量α 与β 垂直，即βα ⊥，则0αβ∙= 【1】 定义2 空间任意两个向量α 与β 的向量积是一个向量，记为αβ⨯ （或,αβ⎡⎤⎣⎦ ）。
它的模为sin αβαβθ⨯= ，其中θ为向量α 与β 之间的夹角，它的方向与α 和β 都垂直，并且按向量α 、β 、αβ⨯ 这个顺序构成右手坐标系【2】。
如图1图1定理1 两个向量α 与β 共线的充分必要条件是0αβ⨯=。
【3】 定义3 给定空间的三个向量α 、β 、γ ，如果先做前两个向量α 与β 的向量积αβ⨯ ，再做所得向量与第三个向量γ 的数量积，最后得到的这个数叫做三个向量的混合积。
高三立体几何大题专题（用空间向量解决立体几何类问题）
1【知识梳理】一、空间向量的概念及相关运算1、空间向量基本定理、空间向量基本定理如果三个向量,,a b c r r r不共面，那么对空间任一向量p xa yb zc =++u r r r r,,a b c r r r称为基向量。
称为基向量。
2、空间直角坐标系的建立、空间直角坐标系的建立分别以互相垂直的三个基向量k j i ρρρ,,的方向为正方向建立三条数轴：x 轴，y 轴和z 轴。
则轴。
则a xi y j zk =++r r r r（x,y,z ）称为空间直角坐标。
）称为空间直角坐标。
注：假如没有三条互相垂直的向量，需要添加辅助线构造，在题目中找出互相垂直的两个面，通过做垂线等方法来建立即可。
建立即可。
3、空间向量运算的坐标表示、空间向量运算的坐标表示(1)若()()111222,,,,,a x y z b x y z ==r r ，则：()121212,,a b x x y y z z ±=±±±r r()111,,a x y z λλλλ=r 121212a b x x y y z z ⋅=++r r 错误!未找到引用源。
121212//,,a b a b x x y y z z λλλλ⇔=⇔===r r r r222111a a a x y z =⋅=++r r r ．a b ⋅r r =a rcos ,b a b 〈〉r r r ．cos ,a b a b a b ⋅〈〉=r r r r r r121212222222111222cos ,x x y y z za b a b ab x y z x y z ++⋅〈〉==++⋅++r r r r r r (2)(2)设设()()111222,,,,,A x y z B x y z ==则()212121,,AB OB OA x x y y z z =-=---u u u r r r(3)()111,,x y z A ，()222,,x y z B =，则()()()222212121d x x y y z zAB =AB =-+-+-u u u r二、应用：平面的法向量的求法：1、建立恰当的直角坐标系、建立恰当的直角坐标系2、设平面法向量n =（x ，y ，z ）3、在平面内找出两个不共线的向量，记为a =（a1，a2, a3） b =（b1，b2，b3）4、根据法向量的定义建立方程组①n*a =0 ②n*b =05、解方程组，取其中一组解即可。
例谈用向量法解立体几何问题
新 能力 的 培 养 ． 现 了 教育 改 革 的 精 神 ． 体
（ ） 法 在处 理 二 面 角 问 题 时 ， 能 会 遇 到 二 面角 的具 ２此 可
２ 结 论 ： 线 和 平 面所 成 的 角 与 斜 线 的 方 向 向量 和 已 ． 斜
关 系． 、 、 ③ＰＱ Ｒ为正六边形时 ， Ａ Ｃ Ａ Ｂ 径 ｒ ＝ 的三边 的长度之间存在 — — 关 系． 、 、 ④ＰＱ Ｒ为以
角就 等 于 两 法 向量 的 夹 角 ， 如果 是 “ 同进 同 出 ” 那 么所 求 的 ， 二面 角 的平 面 角 就 等 于两 法 向量 的夹 角 的 补 角 。掌握 了这
２结 论 ： 成 二 面 角 的 两 个 平 面 的法 向 量 的 夹 角 或 夹 ． 构 角 的 补角 等 于 这 个 二 面角 的平 面 角 ． 点 ， 么用 法 向量 求 二 面 角 就可 以做 到 随心 所 欲． 那
问存 在
— —
； 么 我 们 可 以想 象 在 三 维 空 间 里 ， 面 体 那 四
－ ＢＣ的 侧 棱 ｓ 、 、 Ｃ两 两 互 相 垂 直 。Ａ 口 Ｓ ＝ 、 Ｃ Ａ船 Ｓ Ｓ ＝ 、Ｂ ｂ Ｓ ＝ 其 边 长 为 直 径 的 半 圆 时 ． Ｂ 的 三 边 的 长 度 之 间 存 在 Ｓ Ａ ＡＡ Ｃ 关 系
二 、 用 向量 求 线 面角 的大 小 利
注 意 ：１用 向量 法 处 理 二 面 角 的 问题 时 ， 传 统 二 面 （） 将
角 问题 时 的三 步 曲 ： 找— — 证— — 求 ”直 接 简 化 成 了 一步 “ 曲 ：计 算 ” “ ．这 在 一定 程度 上 降 低 了 学 生 的空 间 想 象 能 力 ．
例谈用 向量法解立 体几何 问题
法向量解立体几何专题训练
法向量解立体几何专题训练一、运用法向量求空间角1、向量法求空间两条异面直线a, b 所成角θ,只要在两条异面直线a, b 上各任取一个向量''AA BB 和,则角<','AA BB >=θ或π-θ,因为θ是锐角,所以cos θ=''''AA BB AA BB ⋅⋅, 不需要用法向量;2、设平面α的法向量为n =x, y, 1,则直线AB 和平面α所成的角θ的正弦值为sin θ=cos2π-θ = |cos<AB , n >| = AB AB n n•• 3、 设二面角的两个面的法向量为12,n n ,则<12,n n >或π-<12,n n >是所求角;这时要借助图形来判断所求角为锐角还是钝角,来决定<12,n n >是所求,还是π-<12,n n >是所求角; 二、运用法向量求空间距离 1、求两条异面直线间的距离设异面直线a 、b 的公共法向量为(,,)n x y z =,在a 、b 上任取一点 A 、B,则异面直线a 、b 的距离d =AB ·cos ∠BAA ＇=||||AB n n • 2、求点到面的距离求A 点到平面α的距离,设平面α的法向量法为(,,1)n x y =,在α内任取一点B,则A 点到平面α的距离为d =||||AB n n •,n 的坐标由n 与平面α内的两个不共线向量的垂直关系,得到方程组类似于前面所述, 若方程组无解,则法向量与XOY 平面平行,此时可改设(1,,0)n y =三、证明线面、面面的平行、垂直关系设平面外的直线a 和平面α、β,两个面α、β的法向量为12,n n ,则1a//a n α⇔⊥ 1a a//n α⊥⇔12////n n αβ⇔ 12n n αβ⊥⇔⊥四、应用举例：例1：如右下图,在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,已知AB= 4, AD =3, AA 1= 2. E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点,且EB= FB=1. 1 求二面角C —DE —C 1的正切值; 2 求直线EC 1与FD 1所成的余弦值.解：I 以A 为原点,1,,AB AD AA 分别为x 轴,y 轴,z 轴的正向建立空间直角坐标系,则D0,3,0、D 10,3,2、E3,0,0、F4,1,0、C 14,3,2 于是,11(3,3,0),(1,3,2),(4,2,2)DE EC FD =-==- 设法向量(,,2)n x y =与平面C 1DE 垂直,则有13301320n DE x y x y x y z n EC ⊥-=⇒⇒==-++=⊥⎫⎫⎪⎬⎬⎭⎪⎭11111(1,1,2),(0,0,2),cos 3||||1tan 2n AA CDE n AA C DE C n AAn AA θθθ∴=--=∴--•-===⨯∴=向量与平面垂直与所成的角为二面角的平面角 II 设EC 1与FD 1所成角为β,则1111cos 14||||1EC FD EC FD β•===⨯例2：高考辽宁卷17如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD 是菱形,∠DAB=600,PD⊥平面ABCD,PD=AD,点E 为AB 中点,点F 为PD 中点;1证明平面PED ⊥平面PAB ； 2求二面角P-AB-F 的平面角的余弦值 证明：1∵面ABCD 是菱形,∠DAB=600,∴△ABD 是等边三角形,又E 是AB 中点,连结BD ∴∠EDB=300,∠BDC=600,∴∠EDC=900, 如图建立坐标系D-ECP,设AD=AB=1,则PF=FD=12∴P0,0,1,E2,0,0,B2,12,0∴PB=32,12,-1,PE=2,0,-1,平面PED的一个法向量为DC=0,1,0 ,设平面PAB的法向量为n=x, y, 1由11(,,1),1)01022(,,1)1)010x y x y xn PBn PE yx y x⎧⎧•-=--=⎪⎧=⊥⎪⎪⎪⇒⇒⇒⎨⎨⎨⊥⎪⎪⎪⎩=•-=-=⎩⎪⎩∴n∵DC·n=0 即DC⊥n∴平面PED⊥平面PAB2解：由1知：平面PAB的法向量为n0, 1, 设平面FAB的法向量为n1=x, y, -1, 由1知：F0,0,12,FB,12,-12,FE,0,-12,由111111(,,1)(,)00222222110(,,1))0022x y x y xn FBn FE yx y x⎧⎧-•-=-+=⎪⎧=⊥⎪⎪⎪⎪⇒⇒⇒⎨⎨⎨⊥⎪⎪⎪⎩=-•-=+=⎩⎪⎩∴n1∴二面角P-AB-F的平面角的余弦值cosθ= |cos<n, n1>| =11n5714nnn•=•例3：在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是正方形A1B1C1D1的中心,点P在棱CC1上,且CC1=4CP.Ⅰ求直线AP与平面BCC1B1所成的角的大小结果用反三角函数值表示；Ⅱ设O点在平面D1AP上的射影是H,求证：D1H⊥AP；Ⅲ求点P到平面ABD1的距离.解: Ⅰ如图建立坐标系D-ACD1, ∵棱长为4 ∴A4,0,0,B4,4,0,P0,4,1∴AP = -4, 4, 1 , 显然DC=0,4,0为平面BCC1B1的一个法向量,∴直线AP与平面BCC1B1所成的角θ的正弦值sinθ= |cos<AP,DC >|=22216433334414=++• ∵θ为锐角,∴直线AP 与平面BCC 1B 1所成的角θ为arcsin 43333Ⅲ 设平面ABD 1的法向量为n =x, y, 1,∵AB =0,4,0,1AD =-4,0,4由n ⊥AB ,n ⊥1AD 得0440y x =⎧⎨-+=⎩ ∴ n =1, 0,1,∴点P 到平面ABD 1的距离 d =322AP n n•=例4：在长、宽、高分别为2,2,3的长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,O 是底面中心,求A 1O 与B 1C 的距离;解：如图,建立坐标系D-ACD 1,则O1,1,0,A 12,2,3,C0,2,0∴1(1,1,3)AO =-- 1(2,0,3)B C =-- 11(0,2,0)A B = 设A 1O 与B 1C 的公共法向量为(,,1)n x y =,则113(,,1)(1,1,3)0302(,,1)(2,0,3)023032x n AO x y x y x y x n B C y ⎧=-⎧⎪⊥•--=-+-=⎧⎧⎪⎪⇒⇒⇒⎨⎨⎨⎨•--=--=⊥⎩⎩⎪⎪⎩=⎪⎩ ∴ 33(,,1)22n =-∴ A 1O 与B 1C 的距离为d =()1122330,2,0,,122||332211||11331222A B n n ⎛⎫•-⎪•⎝⎭===⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭例5：在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别是B 1C 1、C 1D 1的中点,求A 1到面BDFEABCDA 1B 1D 1C 1O的距离;解：如图,建立坐标系D-ACD 1,则B1,1,0,A 11,0,1,E12,1,1 ∴(1,1,0)BD =-- 1(,0,1)2BE =- 1(0,1,1)A B =-设面BDFE 的法向量为(,,1)n x y =,则(,,1)(1,1,0)002112(,,1)(,0,1)01022x y x y n BD x y x y x n BE •--=--=⎧⎧⎧⊥=⎧⎪⎪⎪⇒⇒⇒⎨⎨⎨⎨=-•-=-+=⊥⎩⎪⎪⎪⎩⎩⎩ ∴ (2,2,1)n =-∴ A 1到面BDFE 的距离为d =()()()1220,1,12,2,1|||3|13||221A B n n -•-•-===+-+新课标高二数学空间向量与立体几何测试题1一、选择题1．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,若AB ＝2BB 1,则AB 1与C 1B 所成的角的大小为A ．60°B ．90°C ．105°D ．75°2．如图,ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体,B 1E 1＝D 1F 1＝411B A ,则BE 1与DF 1所成角的余弦值是A ．1715 B ．21 C ．178 D ．23 3．如图,A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱,∠BCA=90°,点D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点,若BC=CA=CC 1,则BD 1与AF 1所成角的余弦值是A ．1030 B ．21 C ．1530 D ．1015 4．正四棱锥S ABCD -的高2SO =,底边长2AB =,则异面直线BD 和SC 之间的距离图图FEA BCDA 1B 1D 1C 1AA 1DCB B 1C 1图A ．515 B ．55 C ．552 D ．105 5．已知111ABC A B C -是各条棱长均等于a 的正三棱柱,D 是侧棱1CC 的中点．点1C 到平面1AB D 的距离A ．a 42B ．a 82C ．a 423D ．a 226．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,则平面1AB C 与平面11A C D 间的距离A ．63 B ．33 C ．332 D ．23 7．在三棱锥P －ABC 中,AB ⊥BC,AB ＝BC ＝21PA,点O 、D 分别是AC 、PC 的中点,OP ⊥底面ABC,则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值A ．621B ．338 C ．60210D ．302108．在直三棱柱111C B A ABC -中,底面是等腰直角三角形, 90=∠ACB ,侧棱21=AA ,D,E分别是1CC 与B A 1的中点,点E 在平面ABD 上的射影是ABD ∆的重心G ．则B A 1与平面ABD 所成角的余弦值A ．32 B ．37C ．23 D ．73 9．正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为3,侧棱3231=AA ,D 是CB 延长线上一点,且BC BD =,则二面角B AD B --1的大小A ．3π B ．6πC ．65πD ．32π10．正四棱柱1111D C B A ABCD -中,底面边长为22,侧棱长为4,E,F 分别为棱AB,CD 的中点,G BD EF =⋂．则三棱锥11EFD B -的体积VA ．66B ．3316 C ．316D ．16二、填空题11．在正方体1111ABCD A B C D -中,E 为11A B 的中点,则异面直线1D E 和1BC 间的距离 ． 12． 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,E 、F 分别是11A B 、CD 的中点,求点B 到截面1AEC F 的距离 ．13．已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别是B 1C 1和C 1D 1的中点,点A 1到平面DBEF 的距离 ．14．已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,E 是A 1B 1的中点,求直线AE 与平面ABC 1D 1所成角的正弦值 ． 三、解答题 15．已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1,求平面A 1BC 1与平面ABCD 所成的二面角的大小16．已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,E 、F 、M 分别是A 1C 1、A 1D 和B 1A 上任一点,求证：平面A 1EF ∥平面B 1MC ．17．在四棱锥P —ABCD 中,底面ABCD 是一直角梯形,∠BAD=90°,AD ∥BC,AB=BC=a,AD=2a,且PA ⊥底面ABCD,PD 与底面成30°角． 1若AE ⊥PD,E 为垂足,求证：BE ⊥PD ； 2求异面直线AE 与CD 所成角的余弦值．18．已知棱长为1的正方体AC 1,E 、F 分别是B 1C 1、C 1D 的中点． 1求证：E 、F 、D 、B 共面；2求点A 1到平面的BDEF 的距离； 3求直线A 1D 与平面BDEF 所成的角．19．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2,点E为棱AB的中点,求：ⅠD1E与平面BC1D所成角的大小；Ⅱ二面角D－BC1－C的大小；Ⅲ异面直线B1D1与BC1之间的距离．高二数学空间向量与立体几何专题训练2一、选择题1．向量a＝2x,1,3,b＝1,－2y,9,若a与b共线,则A．x＝1,y＝1 B．x＝错误!,y＝－错误!C．x＝错误!,y＝－错误! D．x＝－错误!,y＝错误! 2．已知a＝－3,2,5,b＝1,x,－1,且a·b＝2,则x的值是A．6 B．5 C．4 D．33．设l1的方向向量为a＝1,2,－2,l2的方向向量为b＝－2,3,m,若l1⊥l2,则实数m的值为A．3 B．2 C．14．若a,b均为非零向量,则a·b＝|a||b|是a与b共线的A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．在△ABC中,错误!＝c,错误!＝b.若点D满足错误!＝2错误!,则错误!＝b＋错误!c 错误!c－错误!b 错误!b－错误!c 错误!b＋错误!c6．已知a,b,c是空间的一个基底,设p＝a＋b,q＝a－b,则下列向量中可以与p,q一起构成空间的另一个基底的是A．a B．b C．c D．以上都不对7．已知△ABC的三个顶点A3,3,2,B4,－3,7,C0,5,1,则BC边上的中线长为A．2 B．3 C.错误!错误!8．与向量a＝2,3,6共线的单位向量是A．错误!,错误!,错误! B．－错误!,－错误!,－错误!C．错误!,－错误!,－错误!和－错误!,错误!,错误! D．错误!,错误!,错误!和－错误!,－错误!,－错误!9．已知向量a＝2,4,x,b＝2,y,2,若|a|＝6且a⊥b,则x＋y为A．－3或1 B．3或－1 C．－3 D．110．已知a＝x,2,0,b＝3,2－x,x2,且a与b的夹角为钝角,则实数x的取值范围是A．x>4 B．x<－4 C．0<x<4 D．－4<x<0.11．已知空间四个点A1,1,1,B－4,0,2,C－3,－1,0,D－1,0,4,则直线AD与平面ABC所成的角为A．30° B．45° C．60° D．90°12．已知二面角α－l－β的大小为50°,P为空间中任意一点,则过点P且与平面α和平面β所成的角都是25°的直线的条数为A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题13．已知{i,j,k}为单位正交基底,且a＝－i＋j＋3k,b＝2i－3j－2k,则向量a＋b与向量a－2b的坐标分别是________；________.14．在△ABC中,已知错误!＝2,4,0,错误!＝－1,3,0,则∠ABC＝________.15．正方体ABCD－A1B1C1D1中,面ABD1与面B1BD1所夹角的大小为________．16．在下列命题中：①若a,b共线,则a,b所在的直线平行；②若a,b所在的直线是异面直线,则a,b一定不共面；③若a,b,c三向量两两共面,则a,b,c三向量一定也共面；④已知三向量a,b,c,则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p＝xa＋yb＋zc,其中不正确的命题为________．三、解答题17．如图所示,PD垂直于正方形ABCD所在的平面,AB＝2,PC与平面ABCD所成角是45°,F 是AD的中点,M是PC的中点．求证：DM∥平面PFB.18．如图,正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,AA1＝2AB＝4,点E在C1C上,且C1E＝3EC.1证明A1C⊥平面BED；2求二面角A1－DE－B的余弦值．19．正方体ABCD－A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CD的中点．1证明：平面AED⊥平面A1FD1；2在AE上求一点M,使得A1M⊥平面DAE.高考真题能力提升1．如图,平面PAC⊥平面ABC,ABC∆是以AC为斜边的等腰直角三角形,,,E F O分别为PA,PB,AC的中点,16AC=,10PA PC==．I设G是OC的中点,证明：//FG平面BOE；II证明：在ABO∆内存在一点M,使FM⊥平面BOE,并求点M到OA,OB的距离．2．如图,在三棱锥P ABC -中,PA ⊥底面,,60,90ABC PA AB ABC BCA ︒︒=∠=∠=, 点D ,E 分别在棱,PB PC 上,且//DE BCⅠ求证：BC ⊥平面PAC ；Ⅱ当D 为PB 的中点时,求AD 与平面PAC 所成的角的大小； Ⅲ是否存在点E 使得二面角A DE P --为直二面角 并说明理由.3．如图,四棱锥P ABCD -的底面是正方形,PD ABCD ⊥底面,点E 在棱PB 上.Ⅰ求证：平面AEC PDB ⊥平面；Ⅱ当2PD AB =且E 为PB 的中点时,求AE 与平面PDB 所成的角的大小.4．在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是矩形,PA ⊥平面ABCD ,4PA AD ==,2AB =. 以AC 的中点O 为球心、AC 为直径的球面交PD 于点M ,交PC 于点N . 1求证：平面ABM ⊥平面PCD ； 2求直线CD 与平面ACM 所成的角的大小； 3求点N 到平面ACM 的距离.yz DMCB PA NONMA BDCO5. 如图,在四棱锥O ABCD -中,底面ABCD 四边长为1的菱形,4ABC π∠=,OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点,N 为BC 的中点Ⅰ证明：直线MN OCD 平面‖；Ⅱ求异面直线AB 与MD 所成角的大小； Ⅲ求点B 到平面OCD 的距离;6. 如图,正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2,D 为CC 1中点; Ⅰ求证：AB 1⊥面A 1BD ；Ⅱ求二面角A －A 1D －B 的大小； Ⅲ求点C 到平面A 1BD 的距离；7.如图所示,AF 、DE 分别是⊙O 、⊙O 1的直径.AD 与两圆所在的平面均垂直,AD ＝8,BC 是⊙O 的直径,AB ＝AC ＝6,OE Ⅰ求二面角B —AD —F 的大小；Ⅱ求直线BD 与EF 所成的角.8.如图,在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,AD=AA 1=1,AB=2,点E 在棱AB 上移动.1证明：D 1E ⊥A 1D ；2当E 为AB 的中点时,求点E 到面ACD 1的距离；3AE 等于何值时,二面角D 1—EC —D 的大小为4π.9. 如图,边长为2的等边△PCD 所在的平面垂直于矩形ABCD 所在的平面,BC ＝22, M 为BC 的中点Ⅰ证明：AM ⊥PM ；Ⅱ求二面角P －AM －D 的大小； Ⅲ求点D 到平面AMP 的距离;10.如图,已知AB ⊥平面ACD ,DE ⊥平面ACD ,△ACD 为等边三角形,2AD DE AB ==,F 为CD 的中点. 1 求证：//AF 平面BCE ； 2 求证：平面BCE ⊥平面CDE ； 3 求直线BF 和平面BCE 所成角的正弦值.1A C M PD C B A A BCD EF11. 如图,已知等腰直角三角形RBC ,其中∠RBC =90º,2==BC RB ．点A 、D 分别是RB 、RC 的中点,现将△RAD 沿着边AD 折起到△PAD 位置,使PA ⊥AB ,连结PB 、PC ． 1求证：BC ⊥PB ；2求二面角P CD A --的平面角的余弦值．12. 如图,正三棱柱ABC －111C B A 的底面边长是2,D 是侧棱C 1C 的中点,直线AD 与侧面C C BB 11所成的角为45°.1 求二面角A-BD-C 的大小； 2求点C 到平面ABD 的距离.13. 如图,P 、O 分别是正四棱柱1111ABCD A B C D -上、下底面的中心,E 是AB 的中点,1AB kAA =. Ⅰ求证：1A E ∥平面PBC ；Ⅱ当k =,求直线PA 与平面PBC 所成角的大小；Ⅲ 当k 取何值时,O 在平面PBC 内的射影恰好为PBC ∆ABCD1A 1B 1C A 1C14. 如图,在正四棱锥P ABCD -中,PA AB a ==,点E 在棱PC 上．Ⅰ问点E 在何处时,//PA EBD 平面,并加以证明； Ⅱ当//PA EBD 平面时,求点A 到平面EBD 的距离； Ⅲ求二面角C PA B --的大小.15.如图所示,在长方体1111ABCD A B C D -中,AB=AD=1,AA 1=2,M 是棱CC 1的中点 Ⅰ求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值； Ⅱ证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M 116.已知三棱锥P －ABC 中,PA ⊥ABC,AB ⊥AC,PA=AC=½AB,N 为AB 上一点,AB=4AN,M,S 分别为PB,BC 的中点. Ⅰ证明：CM ⊥SN ；Ⅱ求SN 与平面CMN 所成角的大小.EPDCBA17.如图,四棱锥S-ABCD 中,SD ⊥底面ABCD,AB ⊥⊥Ⅰ证明：SE=2EB ； Ⅱ求二面角A-DE-C 的大小 .18.如图,在多面体ABCDEF 中,四边形ABCD 是正方形,EF ∥AB ,EF FB ⊥,2AB EF =,90BFC ∠=︒,BF FC =,H 为BC 的中点;ABCDEFHⅠ求证：FH ∥平面EDB ；Ⅱ求证：AC ⊥平面EDB ； Ⅲ求二面角B DE C --的大小;19．如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,13,4,5,4AC BC AB AA ==== 1求证1;AC BC ⊥2在AB 上是否存在点D 使得1?AC CD ⊥ 3在AB 上是否存在点D 使得11//A C CDB 平面A1C BCD1A 1B20、如图,在四棱锥P —ABCD 中,PD ⊥底面ABCD,底面ABCD 为正方形,PD=DC,E 、F 分别是AB 、PB 的中点. Ⅰ求证：EF ⊥CD ；Ⅱ在平面PAD 内求一点G,使GF ⊥平面PCB,并证明你的结论； Ⅲ求DB 与平面DEF 所成角的大小.21、如图, 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,∠ACB=90°,CB=1,CA=3, AA 1=6,M 为侧棱CC 1上一点, 1AM BA ⊥． 1求证: AM ⊥平面1A BC ； 2求二面角B －AM －C 的大小； 3求点C 到平面ABM 的距离．ABCABCM22、如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=BC=CC1=2.I证明：AB1⊥BC1；II求点B到平面AB1C1的距离.III求二面角C1—AB1—A1的大小。
向量法解立体几何及经典例题(上课用)
向量法解立体几何1、直线的方向向量和平面的法向量⑴．直线的方向向量： 若A 、B 是直线l 上的任意两点，则AB 为直线l 的一个方向向量；与AB 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量.⑵．平面的法向量： 若向量n 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n α⊥，如果n α⊥，那么向量n 叫做平面α的法向量.⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）： ①建立适当的坐标系．②设平面α的法向量为(,,)n x y z =．③求出平面内两个不共线向量的坐标123123(,,),(,,)a a a a b b b b ==．④根据法向量定义建立方程组0n a n b ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩.⑤解方程组，取其中一组解，即得平面α的法向量.例1：在空间直角坐标系中,已知(3,0,0),(0,4,0)A B ,(0,0,2)C ,试求平面ABC 的一个法向量.2、用向量方法判定空间中的平行关系⑴线线平行。
设直线12,l l 的方向向量分别是a b 、，则要证明1l ∥2l ，只需证明a ∥b ，即()a kb k R =∈.例2： 四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形, PD ⊥底面ABCD ，PD=DC=6, E 是PB的中点，DF:FB=CG:GP=1:2 . 求证：AE//FG.⑵线面平行。
设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l ∥α，只需证明a u ⊥，即0a u ⋅=.例3：如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC =90°，AB =AC =AA 1=1，延长A 1C 1至点P ，使C 1P ＝A 1C 1，连接AP 交棱CC 1于D ．求证：PB 1∥平面BDA 1；⑶面面平行。
若平面α的法向量为u ，平面β的法向量为v ，要证α∥β，只需证u ∥v ，即证u v λ=.例4：在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，点E 在线段BB 1上，且EB 1＝1，D ，F ，G 分别为CC 1，C 1B 1，C 1A 1的中点．求证：(1)B 1D ⊥平面ABD ； (2)平面EGF ∥平面ABD .3、用向量方法判定空间的垂直关系⑴线线垂直。
专题复习：用空间向量解立体几何问题
专题复习：用空间向量解立体几何问题空间角1．异面直线所成的角点A ，B ∈直线a,C ，D ∈直线b 。
构成向量CD AB ,。
><⋅>=<CD AB CDAB CD AB CD AB ,,,cos 所对应的锐角或直角即为直线a(AB)与b(CD)所成的角。
2．线面所成的角AP 与平面α的法向量n 所成的角所对应的锐角的余角或直角即为直线AP 与平面α所成的角θ，所以AP 与n 的角的余弦值的绝对值为直线AP 与平面α所成的角的正弦值。
><=∴n AP ,cos arcsin θ3．二面角的求法二面角βα--l ，平面α的法向量m ，平面β的法向量n 。
θ>=<n m ,，则二面角βα--l 的平面角为θ或πθ-。
OAαPnl lαβnm所以，nm n m n m ⋅>=<,cos ，若将法向量的起点放在两个半平面上(不要选择起点在棱上)，当两个法向量的方向都向二面角内或外时，则><n m ,为二面角的平面角的补角；当两个法向量的方向一个向二面角内，另一个向外时，则><n m ,为二面角的平面角。
空间距离1．点到面的距离点P 到面α的距离d 可以看成AP 在平面α的法向量n 的方向上的射影的长度。
2． 异面直线间的距离异面直线a,b 之间的距离可以看成),(b F a E EF ∈∈在a,b 的公垂向量n 的方向上的射影的长度。
3．线面距离 直线a 与平面α平行时，直线上任意一点A 到平面α的距离就是直线a 与平面α之间的距离。
其求法与点到面的距离求法相同。
4． 平面与平面间的距离平面α与平面β平行时，其中一个平面α上任意一点到平面β的距离就是平面α与平面β间的距离。
其求法与点到面的距离求法相同。
例题：例1．（07，重庆理19）如题（19）图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AA =，1AB =，90ABC = ∠；点D E ，分别在1BB ，1A D 上，且11B E A D ⊥，四棱锥1C ABDA -与直三棱柱的体积之比为3:5（Ⅰ）求异面直线DE 与11B C 的距离；（Ⅱ）若2BC =，求二面角111A DC B --的平面角的正切值答案：（Ⅰ）22929 （Ⅱ）3322．(07，天津理19)如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，60AB AD AC CD ABC ⊥⊥∠=，，°，PA AB BC ==，E 是PC 的中点EPABC DE 1B1C1Allαβmnn nEF d ⋅=EbaF nnn AP d ⋅=OAαPn（Ⅱ）证明PD ⊥平面ABE ；（Ⅲ）求二面角A PD C --的大小答案：（Ⅲ）14arcsin43．（07，四川理19）如图，PCBM 是直角梯形，∠PCB ＝90°，PM ∥BC ，PM ＝1，BC ＝2，又AC ＝1，∠ACB ＝120°，AB ⊥PC ，直线AM 与直线PC 所成的角为60° （Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面ABC ; （Ⅱ）求二面角B AC M --的大小; （Ⅲ）求三棱锥MAC P -的体积答案：（Ⅱ） 21arccos7（Ⅲ）3124．(07，陕西理19)如图,在底面为直角梯形的四棱锥,//,BC AD ABCD P 中-,90︒=∠ABC平面⊥PA ABCD,32,2,4===AB AD PA ,BC =6(Ⅰ)求证:BD ;PAC BD 平面⊥(Ⅱ)求二面角D BD P --的大小 答案：(Ⅱ) 393arccos315．（07，山东理19）如图，在直四棱柱1111ABCD A BC D -中，已知122DC DD AD AB ===，AD DC ⊥，AB DC ∥（Ⅰ）设E 是DC 的中点，求证：1D E ∥平面11A BD ；（Ⅱ）求二面角11A BD C --的余弦值答案：(Ⅱ)二面角11A BD C --的余弦为336．（07，全国Ⅱ理19）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥底面ABCD E F ，，分别为AB SC ，的中点 （1）证明EF ∥平面SAD ；（2）设2SD DC =，求二面角A EF D --的大小答案：(2)3arccos 37．（07,全国Ⅰ理19）四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD 已知45ABC =∠，2AB =，22BC =，3SA SB ==BCSABCDEFSBCDA1A1D 1C1BEA B CD EP（Ⅱ）求直线SD 与平面SAB 所成角的大小答案：(Ⅱ)22arcsin118．（07，辽宁理18）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠= ，AC BC a ==，D E ，分别为棱AB BC ，的中点，M 为棱1AA 上的点，二面角M DE A --为30（I ）证明：111A B C D ⊥；（II ）求MA 的长，并求点C 到平面MDE 的距离答案：(Ⅱ)4a 作业：1．（07，江西理20）右图是一个直三棱柱（以111A B C 为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC 已知11111A B BC ==，11190A B C ∠=，14AA =，12BB =，13CC =（1）设点O 是AB 的中点，证明：OC ∥平面111A B C ； （2）求二面角1B AC A --的大小；（3）求此几何体的体积 答案：（2）30（3）322． (07，湖南理18)如图1，E F ，分别是矩形ABCD 的边AB CD ，的中点，G 是EF 上的一点，将GAB △，GCD △分别沿AB CD ，翻折成1G AB △，2G CD △，并连结12G G ，使得平面1G AB ⊥平面ABCD ，12G G AD ∥，且12G G AD < 连结2BG ，如图2A BCD EF GFE G 2G 1D CBA图1图2（I ）证明：平面1G AB ⊥平面12G ADG ；（II ）当12AB =，25BC =，8EG =时，求直线2BG 和平面12G ADG 所成的角ABCA 1B 1C 1OABC DA 1B 1C 1E M答案：(Ⅱ) 122arcsin253．(07,湖北理18)如图，在三棱锥V ABC -中，VC ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，D 是AB 的中点，且AC BC a ==，VDC θ∠=π02θ⎛⎫<< ⎪⎝⎭（I ）求证：平面VAB ⊥VCD ；（II ）当解θ变化时，求直线BC 与平面VAB 所成的角的取值范围答案：(Ⅱ) π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，(07,福建理18)如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点（Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A BD ；（Ⅱ）求二面角1A A D B --的大小；（Ⅲ）求点C 到平面1A BD 的距离 答案：(Ⅱ) 10arcsin4 （Ⅲ）22ABCDA 1B 1C 1ABCDV。
向量法解决立体几何问题总结
向量法解决立体几何问题总结
向量法是一种解决立体几何问题的有效方法。
通过使用向量的性质和运算，可以简化复杂的几何关系，找到简单且准确的解决办法。
以下是一些向量法解决立体几何问题的总结：
1. 建立坐标系：通过建立适当的坐标系，可以将立体几何问题转化为平面几何问题，从而更容易处理和求解。
2. 向量的线性运算：利用向量的加法、减法和数量乘法，可以求解直线的交点、线段的中点等问题。
3. 向量的数量积：使用向量的数量积，可以计算出向量的长度、判断向量的夹角大小，从而解决立体几何问题中涉及角、直线的垂直和平行关系。
4. 点和直线向量表示：通过将平面上的点和直线用向量表示，可以简化问题，将几何关系转化为向量运算，从而更方便求解。
5. 三角函数和向量：利用三角函数与向量的关系，可以计算出向量在某个方向上的分量，进而求解垂直、平行关系以及向量的投影等问题。
6. 平面方程与向量：通过将平面的方程转化为向量的形式，可以更容易地判断点与平面的关系，求解平面的交点等问题。
总的来说，向量法在解决立体几何问题时具有简单、直观、可
靠的优势。
通过合理运用向量的性质和运算，能够快速解决各种立体几何问题。
立体几何 向量法
立体几何向量法
在立体几何中，向量法是一种常用的求解问题和证明定理的方法。
通过引入向量概念，可以将几何问题转化为向量运算，从而简化推导过程。
在向量法中，我们将空间中的点表示为位置向量，线段或向量则表示为起点到终点的差向量。
利用向量的性质，可以进行向量加法、减法、数量乘法等运算，从而得到几何对象之间的关系。
对于平面几何，向量法可以用来证明和推导平行关系、垂直关系、共线关系等。
例如，两条平行线可以表示为它们的方向向量相等，两条垂直线可以表示为它们的方向向量互为内积为零。
在空间几何中，向量法可以用来证明和推导线段的长度、角的大小、平面的交角等。
例如，两个线段的长度可以通过计算它们的差向量的模长得到，两个平面的交角可以通过计算它们的法向量之间的夹角得到。
此外，向量法还可以应用于立体图形的计算和分析。
例如，利用向量法可以求解三角形的面积、四面体的体积，以及判断点是否在多面体内部等。
总之，向量法是立体几何中一种重要的分析和解题方法，通过引入向量概念和运算，可以简化问题的推导过程，提高几何问题的求解效率。
向量法解立体几何 大题
ADE B C1. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为梯形，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2，AP=AD=AB=，∠PAB=∠PAD=α．（1）试在棱PA上确定一个点E，使得PC∥平面BDE，并求出此时的值；（2）当α=60°时，求证：CD⊥平面PBD．2.如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB=90︒，BC=1，AC=CC1=2.(1)证明：AC1⊥A1B;(2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为3，求二面角A1-AB-C的大小.3. 如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．（I）求证：平面AEC⊥平面PDB;（II）当PD=2AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．4.如图，在四棱锥BCDEA-中，平面ABC⊥平面BCDE；90CDE BED∠=∠=︒，2AB CD==，1DE BE==，2AC=.（1）证明：AC⊥平面BCDE；（2）求直线AE与平面ABC所成的角的正切值.5.如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.（I）证明：PB∥平面AEC;(II)设AP=1，AD=3,三棱锥P-ABD的体积V=43，求A到平面PBC的距离.7. 如图，直四棱柱ABCD – A1B1C1D1中，AB//CD，AD⊥AB，AB=2，AD=错误!未找到引用源。
，AA1=3，E为CD上一点，DE=1，EC=3(1)证明：BE⊥平面BB1C1C;(2) 求点B1 到平面EA1C1的距离APB CDECBDAP8. 如图，四棱锥902,P ABCD ABC BAD BC AD PAB PAD -∠=∠==∆∆中，，与都是边长为2的等边三角形.（I ）证明：;PB CD ⊥（II ）求点.A PCD 到平面的距离9. 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥底面ABCD ，22AC =，2PA =，E 是PC 上的一点，2PE EC =。
浅析用向量法解立体几何问题
（Ｉ 易知商 一（ ，， Ｉ） １０ 一 ） ，
面的法向量为 ， ．Ｙ ， ｌ ｚ ，）联立方程组 ７ ‘Ｄ一 ０・ 一（ ， ｌ ． 一得 ｎ
砬 （ ＇， （ ， ＿ ， ０设 ０ ） 譬
ｚ） 平 面 Ｐ Ｅ的 一 个 法 向量 ， 是 Ｂ
故 可 取 ｎ 一 （５ ０ １ ， 平 面 Ａ Ｅ 的 一 个 法 向 量 Ｖ ， ，） 而 Ｂ
及 它们 的法向量 ｎ ，。（ ） ／． １ 证线 面平行 ， ｉ ｔ 如证 Ⅱ ， 只 ∥ａ则 需证 ｎ － 证面 面平行 ， ｊｎ ； 如证 ａ ， 只需证 ｎ ／ ｎ ； ∥ 则 ／ 。 （） ２ 证线面垂直 ， 如证 口 ， 只需证 ａ／ 证面面垂 直 上 则 ／ｎ ；
ｌ ＿ 一 因 法 量 不 一可 意 一 ＿ ＿ 为 向 并 唯 ，随 取
Ｘ２ Ｘ十 ２ 十 ２ 一 ０ ・
ｒ ． ＝ｏ 商 ，
个， 可令 ｚ ， 一１ 即求 出 ｚ ， ， 从而求得法 向量 ｎ ．
３ 用公 式 、 律 解 题 ． 规
则｛． Ｏ 由： ’ 蘸＿
平 面 ＰＢ Ｌ 面 ＰＡＢ． Ｅ＿ 平
垂直于平面的任 一向量 都可作 为平 面的法 向量 ， 若 图中已有 向量垂直于平 面 ， 可直接利用 这个 向量 作为 则
平面 的法 向量 ， 若没有现成 的法 向量 ， 可这 样求 ： 取平 面
内 的两 条 相交 直线 ｎ （ ，】 ，一 （ Ｙ ， ， 平 一 ｚ ， ｚ）６ ｚ ， ｚ）设
一
解 ： 图所示 ， Ａ 为原点 ， 如 以 建立 空间直 角坐标 系．
、
方 法步 骤
则相关各点的坐标分别 是 Ａ（ ， ， ）Ｂ（ ， ， ）Ｃ（ ， ００Ｏ ， １０Ｏ ， 昔
立体几何典型问题的向量解法
立体几何中几类典型问题的向量解法空间向量的引入为求立体几何的空间角和距离问题、证线面平行与垂直以及解决立体几何的探索性试题提供了简便、快速的解法。
它的实用性是其它方法无法比拟的，因此应加强运用向量方法解决几何问题的意识，提高使用向量的熟练程度和自觉性，注意培养向量的代数运算推理能力，掌握向量的基本知识和技能，充分利用向量知识解决图形中的角和距离、平行与垂直问题。
一、利用向量知识求点到点，点到线，点到面，线到线，线到面，面到面的距离（1）求点到平面的距离除了根据定义和等积变换外还可运用平面的法向量求得，方法是：求出平面的一个法向量的坐标，再求出已知点P 与平面内任一点M 构成的向量MP u u u r的坐标，那么P 到平面的距离cos ,n MP d MP n MP n •=•<>=r u u u r u u u r r u u u rr（2）求两点,P Q 之间距离，可转化求向量PQ uuu r的模。
（3）求点P 到直线AB 的距离，可在AB 上取一点Q ，令,AQ QB PQ AB λ=⊥u u u r u u u r u u u r u u u r或PQ u u u r 的最小值求得参数λ，以确定Q 的位置，则PQ u u u r为点P 到直线AB 的距离。
还可以在AB 上任取一点Q 先求<AB ,cos ，再转化为><,sin ，则PQ u u u r><,sin 为点P 到直线AB 的距离。
(4)求两条异面直线12,l l 之间距离，可设与公垂线段AB 平行的向量n r，,C D 分别是12,l l 上的任意两点，则12,l l 之间距离CD nAB n•=u u u r r r例1：设(2,3,1),(4,1,2),(6,3,7),(5,4,8)A B C D --，求点D 到平面ABC 的距离例2：如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直。
巧用向量法，妙解立体几何题
思路探寻立体几何问题的命题方式较多，常见的有证明线面平行、求二面角、求点到平面的距离等.由于立体几何问题对同学们的空间想象和运算能力有较高的要求，所以对大部分的同学来说，解答这类问题存在一定的难度.若根据题意和几何图形的特点构造空间向量，则可利用向量法，简便、快速地求得问题的答案.接下来，通过几个例题介绍一下如何巧妙运用向量法解答立体几何问题.一、运用向量法求点到平面的距离一般来说，求点到平面的距离，可以运用定义法、等体积法、向量法.运用向量法求点到平面的距离，要先求出平面的一个法向量n ；再求出一个已知点P 与平面内任意一点M 的方向向量MP ，可得点P 到平面的距离为d =| MP |∙|cos < n , MP >|=| n ∙ MP || n |，其中| MP |是向量 MP 的模，| n |是平面的法向量n 的模.例1.如图1所示的多面体是由底面为ABCD 的长方形被截面AEC 1F 所截而得到的，其中AB =4，BC =2,CC 1=3,BE =1.试求点C 到平面AEC 1F 的距离.解：以DA 、DC 、DF 为坐标轴建立如图1所示的空间直角坐标系，则A (2,0,0),C (0,4,0),E (2,4,1),C 1(0,4,3)，CC 1=(0,0,3)，设F 点的坐标为（0，0，z ），由于AEC 1F 为平行四边形，所以 AF =EC 1，又 AF =(-2,0,z ), EC 1=(-2,0,2)，即z =2.设n 为平面AEC 1F 的一个法向量，因为 n 不垂直于平面ADF ，所以设 n =(x ,y ,1)，于是{n ∙ AE =0， n ∙ AF =0，即{4y +1=0，-2x +2=0，解得ìíîx =1，y =-14，设 CC 1与n 的夹角为α，可得cos α=| CC 1∙ n || CC 1|∙| n |=31，则点C 到平面AEC 1F 的距离为d =|CC 1cos α|=3×.先根据图形的特点建立空间直角坐标系，得到 CC 1；然后求出平面AEC 1F 的法向量，即可利用公式d =| CC 1|∙|cos < n , CC 1>|=| n ∙CC 1|| n |求解.在求平面的法向量时，可采用待定系数法，先设出平面的法向量；然后根据法向量与平面内的两个直线垂直的关系，建立方程组，解该方程组即可求出待定系数、法向量的坐标.二、运用向量法证明线面平行由线面平行的判定定理可知，要证明线面平行，只要证明直线与平面内的两条相交直线平行即可.但有时候很难在平面内找到两条相交的直线与已知直线平行，此时，可建立合适的空间直角坐标系，求得平面外一条直线的方向向量 l 和平面的法向量n ，只要证明 n ∙l =0，就说明直线l 与平面平行.例2.如图2，在直三棱锥ABC -A 1B 1C 1中，∠BAC =90°，AB =AC =AA 1=1，延长A 1C 1至点P ，使C 1P =A 1C 1，连接AP 交棱CC 1于点D ，求证：PB 1//平面BDA 1.图2图3证明：如图3所示，以A 1为原点，以 A 1B 1, A 1C 1,A 1A为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则P (0,2,0),B 1(1,0,0),B (1,0,1),D (0,1,0.5)，所以 PB 1=()1,-2,0, BD =æèöø-1,1,-12, BA 1=(-1,0,-1)，设平面BDA 1的法向量为n =(x ,y ,z )，由ìíî BD ∙n =0，BA 1∙ n =0，得{-x +y -0.5z =0，-x -z =0，不妨令z =2，则x =-2，y =-1，可得n =(-2,-1,2)，则 PB 1∙ n =1×()-2+()-2×()-1+0×2=0，得 PB 1⊥ n ，所以PB 1//平面BDA 1.先建立空间直角坐标系，求得 PB 1、 BD 、BA 1，根据BD 、 BA 1垂直平面BDA 1的法向量，建立方程组，求得法向量n ，并证明 PB 1∙ n =0，即可证明平面BDA 1的法向量n 与PB 1的方向向量 PB 1垂直，这就说明PB 1//平面BDA 1.求解空间几何中的二面角、线面角等问题，也可以采用向量法.运用向量法求解立体几何问题，一要寻找题目或图形中的垂直关系，有时可以作一个平面的垂线，以建立方便求点的坐标的空间直角坐标系；二要熟记并灵活运用一些空间向量的运算法则、公式、定义等.（作者单位：江西省南昌市第十九中学）肖雪芝图147Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
8.7空间向量在立体几何中的应用——证明平行与垂直
1.用向量表示直线或点在直线上的位置(1)给定一个定点A 和一个向量a ，再任给一个实数t ，以A 为起点作向量AP →＝t a ，则此向量方程叫做直线l 以t 为参数的参数方程.向量a 称为该直线的方向向量.(2)对空间任一确定的点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在唯一的实数t ，满足等式OP →＝(1－t )OA →＋tOB →，叫做空间直线的向量参数方程. 2.用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔v 1∥v 2.(2)设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ⊂α⇔存在两个实数x ，y ，使v ＝x v 1＋y v 2.(3)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ⊂α⇔v ⊥u . (4)设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β⇔u 1 ∥u 2. 3.用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0. (2)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔v ∥u . (3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2＝0. 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线的方向向量是唯一确定的.( × ) (2)平面的单位法向量是唯一确定的.( × ) (3)若两平面的法向量平行，则两平面平行.( √ ) (4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行.( √ ) (5)若a ∥b ，则a 所在直线与b 所在直线平行.( × )(6)若空间向量a 平行于平面α，则a 所在直线与平面α平行.( × )1.平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k )，若α∥β，则k 等于( ) A.2 B.－4 C.4 D.－2 答案 C解析 ∵α∥β，∴两平面法向量平行， ∴－21＝－42＝k－2，∴k ＝4. 2.已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则下列向量是平面ABC 法向量的是( ) A.(－1,1,1) B.(1，－1,1) C.(－33，－33，－33) D.(33，33，－33) 答案 C解析 设n ＝(x ，y ，z )为平面ABC 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AC →＝0，化简得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，－x ＋z ＝0，∴x ＝y ＝z .故选C.3.已知直线l 的方向向量为v ＝(1,2,3)，平面α的法向量为u ＝(5,2，－3)，则l 与α的位置关系是____________. 答案 l ∥α或l ⊂α解析 ∵v ·u ＝0，∴v ⊥u ，∴l ∥α或l ⊂α.4.(教材改编)设u ，v 分别是平面α，β的法向量，u ＝(－2,2,5)，当v ＝(3，－2,2)时，α与β的位置关系为________；当v ＝(4，－4，－10)时，α与β的位置关系为________. 答案 α⊥β α∥β解析 当v ＝(3，－2,2)时，u ·v ＝(－2,2,5)·(3，－2,2)＝0⇒α⊥β. 当v ＝(4，－4，－10)时，v ＝－2u ⇒α∥β.5.(教材改编)如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是D 1D 的中点，N 是A 1B 1的中点，则直线ON ，AM 的位置关系是________. 答案 垂直解析 以A 为原点，分别以AB →，AD →，AA 1→所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A (0,0,0)，M (0,1，12)，O (12，12，0)，N (12，0,1)，AM →·ON →＝(0,1，12)·(0，－12，1)＝0， ∴ON 与AM 垂直.题型一 利用空间向量证明平行问题例1 如图所示，平面P AD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，△P AD 是直角三角形，且P A ＝AD ＝2，E ，F ，G 分别是线段P A ，PD ，CD 的中点.求证：PB ∥平面EFG . 证明 ∵平面P AD ⊥平面ABCD ，且ABCD 为正方形，∴AB ，AP ，AD 两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0,0,0)，B (2，0,0)，C (2,2,0)，D (0,2,0)，P (0，0,2)，E (0,0,1)，F (0,1,1)，G (1，2,0). ∴PB →＝(2,0，－2)，FE →＝(0，－1,0)，FG →＝(1,1，－1)， 设PB →＝sFE →＋tFG →，即(2,0，－2)＝s (0，－1,0)＋t (1,1，－1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，t －s ＝0，－t ＝－2，解得s ＝t ＝2.∴PB →＝2FE →＋2FG →，又∵FE →与FG →不共线，∴PB →，FE →与FG →共面. ∵PB ⊄平面EFG ，∴PB ∥平面EFG . 引申探究本例中条件不变，证明平面EFG ∥平面PBC . 证明 ∵EF →＝(0,1,0)，BC →＝(0,2,0)， ∴BC →＝2EF →，∴BC ∥EF .又∵EF ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， ∴EF ∥平面PBC ，同理可证GF ∥PC ，从而得出GF ∥平面PBC . 又EF ∩GF ＝F ，EF ⊂平面EFG ，FG ⊂平面EFG ， ∴平面EFG ∥平面PBC .思维升华 (1)恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键.(2)证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为向量运算.如图，在四面体A －BCD 中，AD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AD ＝2，BD ＝22，M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且AQ＝3QC .证明：PQ ∥平面BCD .证明 方法一 如图，取BD 的中点O ，以O 为原点，OD 、OP 所在射线分别为y 、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz .由题意知，A (0，2，2)，B (0，－2，0)，D (0，2，0). 设点C 的坐标为(x 0，y 0,0). 因为AQ →＝3QC →，所以Q ⎝⎛⎭⎫34x 0，24＋34y 0，12.因为M 为AD 的中点，故M (0，2，1). 又P 为BM 的中点，故P ⎝⎛⎭⎫0，0，12， 所以PQ →＝⎝⎛⎭⎫34x 0，24＋34y 0，0.又平面BCD 的一个法向量为a ＝(0,0,1)，故PQ →·a ＝0. 又PQ ⊄平面BCD ，所以PQ ∥平面BCD .方法二 在线段CD 上取点F ，使得DF ＝3FC ，连接OF ，同方法一建立空间直角坐标系，写出点A 、B 、C 的坐标，设点C 坐标为(x 0，y 0,0). ∵CF →＝14CD →，设点F 坐标为(x ，y,0)，则(x －x 0，y －y 0,0)＝14(－x 0，2－y 0,0)，∴⎩⎨⎧x ＝34x 0y ＝24＋34y∴OF →＝(34x 0，24＋34y 0,0)又由方法一知PQ →＝(34x 0，24＋34y 0,0)，∴OF →＝PQ →，∴PQ ∥OF .又PQ ⊄平面BCD ，OF ⊂平面BCD ， ∴PQ ∥平面BCD .题型二 利用空间向量证明垂直问题 命题点1 证线面垂直例2 如图所示，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点.求证：AB 1⊥平面A 1BD .证明 方法一 设平面A 1BD 内的任意一条直线m 的方向向量为m .由共面向量定理，则存在实数λ，μ，使m ＝λBA 1→＋μBD →.令BB 1→＝a ，BC →＝b ，BA →＝c ，显然它们不共面，并且|a |＝|b |＝|c |＝2，a ·b ＝a·c ＝0，b·c ＝2，以它们为空间的一个基底，则BA 1→＝a ＋c ，BD →＝12a ＋b ，AB 1→＝a －c ，m ＝λBA 1→＋μBD →＝⎝⎛⎭⎫λ＋12μa ＋μb ＋λc ， AB 1→·m ＝(a －c )·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫λ＋12μa ＋μb ＋λc ＝4⎝⎛⎭⎫λ＋12μ－2μ－4λ＝0.故AB 1→⊥m ，结论得证. 方法二 如图所示，取BC 的中点O ，连接AO . 因为△ABC 为正三角形， 所以AO ⊥BC .因为在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1， 所以AO ⊥平面BCC 1B 1.取B 1C 1的中点O 1，以O 为原点，分别以OB →，OO 1→，OA →所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则B (1,0,0)，D (－1,1,0)，A 1(0,2，3)， A (0,0，3)，B 1(1,2,0).设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，BA 1→＝(－1,2，3)，BD →＝(－2,1,0). 因为n ⊥BA 1→，n ⊥BD →，故⎩⎪⎨⎪⎧n ·BA 1→＝0，n ·BD →＝0，⇒⎩⎨⎧－x ＋2y ＋3z ＝0，－2x ＋y ＝0，令x ＝1，则y ＝2，z ＝－3，故n ＝(1,2，－3)为平面A 1BD 的一个法向量， 而AB 1→＝(1,2，－3)，所以AB 1→＝n ，所以AB 1→∥n ， 故AB 1⊥平面A 1BD . 命题点2 证面面垂直例3 如图，在三棱锥P ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上.已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2. (1)证明：AP ⊥BC ；(2)若点M 是线段AP 上一点，且AM ＝3.试证明平面AMC ⊥平面BMC . 证明 (1)如图所示，以O 为坐标原点，以射线OP 为z 轴的正半轴建立空间直角坐标系Oxyz .则O (0,0,0)，A (0，－3,0)， B (4,2,0)，C (－4,2,0)，P (0,0,4).于是AP →＝(0,3,4)， BC →＝(－8,0,0)，∴AP →·BC →＝(0,3,4)·(－8,0,0)＝0， 所以AP →⊥BC →，即AP ⊥BC . (2)由(1)知|AP |＝5，又|AM |＝3，且点M 在线段AP 上， ∴AM →＝35AP →＝⎝⎛⎭⎫0，95，125， 又BC →＝(－8,0,0)，AC →＝(－4,5,0)，BA →＝(－4，－5,0)， ∴BM →＝BA →＋AM →＝⎝⎛⎭⎫－4，－165，125， 则AP →·BM →＝(0,3,4)·⎝⎛⎭⎫－4，－165，125＝0， ∴AP →⊥BM →，即AP ⊥BM ，又根据(1)的结论知AP ⊥BC ，且BM ∩BC ＝C ， ∴AP ⊥平面BMC ，于是AM ⊥平面BMC . 又AM ⊂平面AMC ，故平面AMC ⊥平面BCM . 思维升华 证明垂直问题的方法(1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.(2)其一证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然 ，也可证直线的方向向量与平面法向量平行；其三证明面面垂直：①证明两平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可.(1)如图所示，已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，且AB ＝AA 1，D 、E 、F 分别为B 1A 、C 1C 、BC 的中点.求证： ①DE ∥平面ABC ； ②B 1F ⊥平面AEF .证明 ①如图建立空间直角坐标系Axyz ， 令AB ＝AA 1＝4，则A (0,0,0)，E (0,4,2)，F (2,2,0)，B (4,0,0)，B 1(4,0,4). 取AB 中点为N ，连接CN ， 则N (2,0,0)，C (0,4,0)，D (2,0,2)， ∴DE →＝(－2,4,0)，NC →＝(－2,4,0)，∴DE →＝NC →，∴DE ∥NC ，又∵NC ⊂平面ABC ，DE ⊄平面ABC . 故DE ∥平面ABC .②B 1F →＝(－2,2，－4)，EF →＝(2，－2，－2)，AF →＝(2,2,0). B 1F →·EF →＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0， B 1F →·AF →＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0.∴B 1F →⊥EF →，B 1F →⊥AF →，即B 1F ⊥EF ，B 1F ⊥AF ， 又∵AF ∩EF ＝F ，∴B 1F ⊥平面AEF .(2)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝2，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，点M 在PB 上，PB ＝4PM ，PB 与平面ABCD 成30°角.①求证：CM ∥平面P AD ； ②求证：平面P AB ⊥平面P AD .证明 ①以C 为坐标原点，分别以CB 所在直线为x 轴，CD 所在直线为y 轴，CP 所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz ， ∵PC ⊥平面ABCD ，∴∠PBC 为PB 与平面ABCD 所成的角， ∴∠PBC ＝30°.∵PC ＝2，∴BC ＝23，PB ＝4.∴D (0,1,0)，B (23，0,0)，A (23，4,0)，P (0,0,2)， M (32，0，32)， ∴DP →＝(0，－1,2)，DA →＝(23，3,0)，CM →＝(32，0，32)，令n ＝(x ，y ，z )为平面P AD 的一个法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧DP →·n ＝0，DA →·n ＝0，即⎩⎨⎧－y ＋2z ＝0，23x ＋3y ＝0，∴⎩⎨⎧z ＝12y ，x ＝－32y ，令y ＝2，得n ＝(－3，2,1).∵n ·CM →＝－3×32＋2×0＋1×32＝0，∴n ⊥CM →，又CM ⊄平面P AD ， ∴CM ∥平面P AD .②取AP 的中点E ，则E (3，2,1)，BE →＝(－3，2,1). ∵PB ＝AB ，∴BE ⊥P A .又∵BE →·DA →＝(－3，2,1)·(23，3,0)＝0， ∴BE →⊥DA →，∴BE ⊥DA ，又P A ∩DA ＝A ，∴BE ⊥平面P AD ， 又∵BE ⊂平面P AB ， ∴平面P AB ⊥平面P AD .题型三 利用空间向量解决探索性问题例4 如图，棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的所有棱长都等于2，∠ABC 和∠A 1AC 均为60°，平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD . (1)求证：BD ⊥AA 1；(2)求二面角D －A 1A －C 的余弦值；(3)在直线CC 1上是否存在点P ，使BP ∥平面DA 1C 1，若存在，求出点P 的位置，若不存在，请说明理由. (1)证明 设BD 与AC 交于点O ，则BD ⊥AC ，连接A 1O ，在△AA 1O 中，AA 1＝2，AO ＝1，∠A 1AO ＝60°，∴A 1O 2＝AA 21＋AO 2－2AA 1·AO cos 60°＝3， ∴AO 2＋A 1O 2＝AA 21， ∴A 1O ⊥AO .由于平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ，∴A 1O ⊥平面ABCD .以OB ，OC ，OA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，－1,0)，B (3，0,0)，C (0,1,0)，D (－3，0,0)，A 1(0,0，3)，C 1(0,2，3). 由于BD →＝(－23，0,0)，AA 1→＝(0,1，3)， AA 1→·BD →＝0×(－23)＋1×0＋3×0＝0， ∴BD →⊥AA 1→，即BD ⊥AA 1. (2)解 由于OB ⊥平面AA 1C 1C ，∴平面AA 1C 1C 的一个法向量为n 1＝(1,0,0). 设n 2＝(x ，y ，z )为平面DAA 1D 1的一个法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·AA 1→＝0，n 2·AD →＝0， 即⎩⎨⎧y ＋3z ＝0，－3x ＋y ＝0，取n 2＝(1，3，－1)，则〈n 1，n 2〉即为二面角D －A 1A －C 的平面角，∴cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝55，所以，二面角D －A 1A －C 的余弦值为55. (3)解 假设在直线CC 1上存在点P ，使BP ∥平面DA 1C 1，设CP →＝λCC 1，P (x ，y ，z )，则(x ，y －1，z )＝λ(0,1，3). 从而有P (0,1＋λ，3λ)，BP →＝(－3，1＋λ，3λ). 设n 3＝(x 3，y 3，z 3)⊥平面DA 1C 1，则⎩⎪⎨⎪⎧n 3⊥A 1C 1→，n 3⊥DA 1→，又A 1C 1→＝(0,2,0)，DA 1→＝(3，0，3)，则⎩⎨⎧2y 3＝0，3x 3＋3z 3＝0，取n 3＝(1,0，－1)，因为BP ∥平面DA 1C 1，则n 3⊥BP →， 即n 3·BP →＝－3－3λ＝0，得λ＝－1， 即点P 在C 1C 的延长线上，且C 1C ＝CP .思维升华 对于“是否存在”型问题的探索方式有两种：一种是根据条件作出判断，再进一步论证；另一种是利用空间向量，先设出假设存在点的坐标，再根据条件求该点的坐标，即找到“存在点”，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定“不存在”.在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E 、F 分别是AB 、PB 的中点. (1)求证：EF ⊥CD ；(2)在平面P AD 内求一点G ，使GF ⊥平面PCB ，并证明你的结论. (1)证明 如图，分别以DA 、DC 、DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设AD ＝a ，则D (0,0,0)， A (a,0,0)，B (a ，a,0)， C (0，a,0)，E ⎝⎛⎭⎫a ，a2，0， P (0,0，a )，F ⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，a 2.EF →＝⎝⎛⎭⎫－a 2，0，a 2，DC →＝(0，a,0). ∵EF →·DC →＝0，∴EF →⊥DC →，即EF ⊥CD .(2)解 设G (x,0，z )，则FG →＝⎝⎛⎭⎫x －a 2，－a 2，z －a 2， 若使GF ⊥平面PCB ，则由FG →·CB →＝⎝⎛⎭⎫x －a2，－a 2，z －a 2·(a,0,0) ＝a ⎝⎛⎭⎫x －a 2＝0，得x ＝a2；由FG →·CP →＝⎝⎛⎭⎫x －a2，－a 2，z －a 2·(0，－a ，a ) ＝a 22＋a ⎝⎛⎭⎫z －a 2＝0，得z ＝0. ∴G 点坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，0，0，即G 点为AD 的中点.17.利用向量法解决立体几何问题典例 (12分)(2014·湖北)如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP ＝BQ ＝λ(0<λ<2).(1)当λ＝1时，证明：直线BC 1∥平面EFPQ ；(2)是否存在λ，使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由. 规范解答解 以D 为原点，射线DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz .[1分]由已知得B (2,2,0)，C 1(0,2,2)，E (2,1,0)，F (1,0,0)，P (0，0，λ)，M (2,1,2)，N (1,0,2)，BC 1→＝(－2,0,2)，FP →＝(－1,0，λ)，FE →＝(1,1,0)，MN →＝(－1，－1,0)，NP →＝(－1,0，λ－2).[3分] (1)证明 当λ＝1时，FP →＝(－1,0,1)， 因为BC 1→＝(－2,0,2)， 所以BC 1→＝2FP →，即BC 1∥FP .而FP ⊂平面EFPQ ，且BC 1⊄平面EFPQ ， 故直线BC 1∥平面EFPQ .[7分](2)解 设平面EFPQ 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧ FE →·n ＝0，FP →·n ＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－x ＋λz ＝0. 于是可取n ＝(λ，－λ，1).[9分]同理可得平面PQMN 的一个法向量为m ＝(λ－2,2－λ，1).若存在λ，使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角，则m ·n ＝(λ－2,2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0，即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，解得λ＝1±22.[11分] 故存在λ＝1±22，使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角.[12分] 温馨提醒 (1)利用向量法证明立体几何问题，可以建坐标系或利用基底表示向量；(2)建立空间直角坐标系时，要根据题中条件找出三条互相垂直的直线；(3)利用向量除了可以证明线线平行、垂直，线面、面面平行、垂直外，还可以利用向量求夹角、距离，从而解决线段长度问题、体积问题等.[方法与技巧]1.用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想.2.两种思路：(1)选好基底，用向量表示出几何量，利用空间向量有关定理与向量的线性运算进行判断.(2)建立空间直角坐标系，进行向量的坐标运算，根据运算结果的几何意义解释相关问题.[失误与防范]用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理.如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线a ∥b ，只需证明向量a ＝λb (λ∈R )即可.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外.A 组 专项基础训练(时间：40分钟)1.若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为n ＝(－2,0，－4)，则( )A.l ∥αB.l ⊥αC.l ⊂αD.l 与α相交答案 B解析 ∵n ＝－2a ，∴a 与α的法向量平行，∴l ⊥α.2.已知平面α内有一点M (1，－1,2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3,6)，则下列点P 中，在平面α内A.P (2,3,3)B.P (－2,0,1)C.P (－4,4,0)D.P (3，－3,4)答案 A解析 逐一验证法，对于选项A ，MP →＝(1,4,1)，∴MP →·n ＝6－12＋6＝0，∴MP →⊥n ，∴点P 在平面α内，同理可验证其他三个点不在平面α内.3.若AB →＝λCD →＋μCE →，则直线AB 与平面CDE 的位置关系是( )A.相交B.平行C.在平面内D.平行或在平面内答案 D解析 ∵AB →＝λCD →＋μCE →，∴AB →、CD →、CE →共面，∴AB 与平面CDE 平行或在平面CDE 内.4.如图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 在EF 上，且AM ∥平面BDE ，则M 点的坐标为( )A.(1,1,1)B.(23，23，1) C.(22，22，1) D.(24，24，1) 答案 C解析 设M 点的坐标为(x ，y,1)，AC ∩BD ＝O ，则O (22，22，0)， 又E (0,0,1)，A (2，2，0)，∴OE →＝(－22，－22，1)，AM →＝(x －2，y －2，1)， ∵AM ∥平面BDE ，∴OE →∥AM →，∴⎩⎨⎧ x －2＝－22，y －2＝－22，⇒⎩⎨⎧ x ＝22，y ＝22.5.已知平面α内的三点A (0,0,1)，B (0,1,0)，C (1,0,0)，平面β的一个法向量n ＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是___________________________________.解析 设平面α的法向量为m ＝(x ，y ，z )，由m ·AB →＝0，得x ·0＋y －z ＝0⇒y ＝z ，由m ·AC →＝0，得x －z ＝0⇒x ＝z ，取x ＝1，∴m ＝(1,1,1)，m ＝－n ，∴m ∥n ，∴α∥β.6.已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1).对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →.其中正确的是________.答案 ①②③解析 ∵AB →·AP →＝0，AD →·AP →＝0，∴AB ⊥AP ，AD ⊥AP ，则①②正确.又AB →与AD →不平行，∴AP →是平面ABCD 的法向量，则③正确.∵BD →＝AD →－AB →＝(2,3,4)，AP →＝(－1,2，－1)，∴BD →与AP →不平行，故④错误.7.如图，四棱锥P －ABCD 的底面为正方形，侧棱P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝AD＝2，E ，F ，H 分别是线段P A ，PD ，AB 的中点.求证：(1)PB ∥平面EFH ；(2)PD ⊥平面AHF .证明 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz .∴A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (2,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)，E (0,0,1)，F (0,1,1)，H (1,0,0).(1)∵PB →＝(2,0，－2)，EH →＝(1,0，－1)，∴PB →＝2EH →，∴PB ∥EH .∵PB ⊄平面EFH ，且EH ⊂平面EFH ，∴PB ∥平面EFH .(2)PD →＝(0,2，－2)，AH →＝(1,0,0)，AF →＝(0,1,1)，∴PD →·AF →＝0×0＋2×1＋(－2)×1＝0，PD →·AH →＝0×1＋2×0＋(－2)×0＝0，∴PD ⊥AF ，PD ⊥AH ，又∵AF ∩AH ＝A ，∴PD ⊥平面AHF .8.如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .证明：平面PQC ⊥平面DCQ .证明 如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA 、DP 、DC 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz .依题意有Q (1,1,0)，C (0,0,1)，P (0,2,0)，则DQ →＝(1,1,0)，DC →＝(0,0,1)，PQ →＝(1，－1,0).∴PQ →·DQ →＝0，PQ →·DC →＝0.即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC ，又DQ ∩DC ＝D ，∴PQ ⊥平面DCQ ，又PQ ⊂平面PQC ，∴平面PQC ⊥平面DCQ .9.如图，在底面是矩形的四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，E ，F 分别是PC ，PD 的中点，P A ＝AB ＝1，BC ＝2.(1)求证：EF ∥平面P AB ；(2)求证：平面P AD ⊥平面PDC .证明 以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,1)，∴E (12，1，12)，F (0,1，12)，EF →＝(－12，0,0)，PB →＝(1,0，－1)，PD →＝(0,2，－1)，AP →＝(0,0,1)，AD →＝(0,2,0)，DC →＝(1,0,0)，AB →＝(1,0,0).(1)∵EF →＝－12AB →，∴EF →∥AB →，即EF ∥AB ， 又AB ⊂平面P AB ，EF ⊄平面P AB ，∴EF ∥平面P AB .(2)∵AP →·DC →＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0，AD →·DC →＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0，∴AP →⊥DC →，AD →⊥DC →，即AP ⊥DC ，AD ⊥DC .又AP ∩AD ＝A ，∴DC ⊥平面P AD .∵DC ⊂平面PDC ，∴平面P AD ⊥平面PDC .B 组 专项能力提升(时间：25分钟)10.如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别是棱BC ，DD 1上的点，如果B 1E ⊥平面ABF ，则CE 与DF 的和的值为________.答案 1解析 以D 1A 1，D 1C 1，D 1D 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设CE ＝x ，DF ＝y ，则易知E (x,1,1)，B 1(1,1,0)，F (0,0,1－y )，B (1,1,1)，∴B 1E →＝(x －1,0,1)，∴FB →＝(1,1，y )，由于B 1E ⊥平面ABF ，∴FB →·B 1E →＝(1,1，y )·(x －1，0,1)＝0⇒x ＋y ＝1.11.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为正方形A 1B 1C 1D 1四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，M ，N 分别为AB ，BC 的中点，点Q 为平面ABCD 内一点，线段D 1Q与OP 互相平分，则满足MQ →＝λMN →的实数λ有________个.答案 2解析 建立如图的空间直角坐标系，设正方体的边长为2，则P (x ，y,2)，O (1，1,0)，∴OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x ＋12，y ＋12，1， 又知D 1(0,0,2)，∴Q (x ＋1，y ＋1,0)，而Q 在MN 上，∴x Q ＋y Q ＝3，∴x ＋y ＝1，即点P 坐标满足x ＋y ＝1.∴有2个符合题意的点P ，即对应有2个λ.12.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝1，E 为CD 的中点.(1)求证：B 1E ⊥AD 1；(2)在棱AA 1上是否存在一点P ，使得DP ∥平面B 1AE ？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由.(1)证明 以A 为原点，AB →，AD →，AA 1→的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图).设AB ＝a ，则A (0,0,0)，D (0,1,0)，D 1(0,1,1)，E ⎝⎛⎭⎫a 2，1，0，B 1(a,0,1)，故AD 1→＝(0,1,1)，B 1E →＝⎝⎛⎭⎫－a 2，1，－1，AB 1→＝(a,0,1)，AE →＝⎝⎛⎭⎫a 2，1，0. ∵B 1E →·AD 1→＝－a 2×0＋1×1＋(－1)×1＝0， ∴B 1E ⊥AD 1.(2)解 假设在棱AA 1上存在一点P (0,0，z 0).使得DP ∥平面B 1AE ，此时DP →＝(0，－1，z 0).又设平面B 1AE 的法向量n ＝(x ，y ，z ).∵n ⊥平面B 1AE ，∴n ⊥AB 1→，n ⊥AE →，得⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋z ＝0，ax 2＋y ＝0. 取x ＝1，得平面B 1AE 的一个法向量n ＝⎝⎛⎭⎫1，－a 2，－a . 要使DP ∥平面B 1AE ，只要n ⊥DP →，有a 2－az 0＝0， 解得z 0＝12. 又DP ⊄平面B 1AE ，∴存在点P ，满足DP ∥平面B 1AE ，此时AP ＝12. 13.如图所示，四棱锥S —ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P 为侧棱SD 上的点.(1)求证：AC ⊥SD .(2)若SD ⊥平面P AC ，则侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE ∥平面P AC .若存在，求SE ∶EC 的值；若不存在，试说明理由.(1)证明 连接BD ，设AC ∩BD ＝O ，则AC ⊥BD .由题意知SO ⊥平面ABCD .以O 为坐标原点，OB →，OC →，OS →分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图.设底面边长为a ，则高SO ＝62a ， 于是S ⎝⎛⎭⎫0，0，62a ，D ⎝⎛⎭⎫－22a ，0，0， B ⎝⎛⎭⎫22a ，0，0，C ⎝⎛⎭⎫0，22a ，0，OC →＝⎝⎛⎭⎫0，22a ，0， SD →＝⎝⎛⎭⎫－22a ，0，－62a ，则OC →·SD →＝0. 故OC ⊥SD .从而AC ⊥SD .(2)解 棱SC 上存在一点E ，使BE ∥平面P AC .理由如下：由已知条件知DS →是平面P AC 的一个法向量，且DS →＝⎝⎛⎭⎫22a ，0，62a ，CS →＝⎝⎛⎭⎫0，－22a ，62a ，BC →＝⎝⎛⎭⎫－22a ，22a ，0. 设CE →＝tCS →，则BE →＝BC →＋CE →＝BC →＋tCS → ＝⎝⎛⎭⎫－22a ，22a (1－t )，62at ， 而BE →·DS →＝0⇔t ＝13. 即当SE ∶EC ＝2∶1时，BE →⊥DS →.而BE 不在平面P AC 内，故BE ∥平面P AC .∴存在一点E ，使得BE ∥平面P AC ，此时SE ∶EC ＝2.。
4.2 用向量方法讨论立体几何中的位置关系
∠BAC= ,故以点A为原点,AB,AC,AA'所在直线分别
2
为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图3-39).
设AA'=1,因为AB=AC= 2AA',所以A'(0,0,1) ,
B( 2,0,0), B'( 2,0,1),C(0, 2,0),C'(0, 2,1).
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-5
α⊥β，则 x＝________.
解析 ∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝x－4＋9＝0，∴x＝－5.
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4．已知 a＝(0,1,1)，b＝(1,1,0)，c＝(1,0,1)分别是平面α，β，γ的法向
0
量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有________对．
求证：n丄α.
图 3-35
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分析 设m是平面α内的任意一条直线.要证明n丄α,只需证明n丄m.如何充分
运用条件,表达“m是平面α内的任意一条直线''呢？可以考虑将直线m的方
向向量用平面α的 一组基表示.
证明 设m是平面α内的任意一条直线(如图3-35(2)),a,b,,n依次为直线
理、数学抽象素养.
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探究导学
探究点1 用向量方法表示几何位置关系
因为直线的方向向量与平面的法向量是确定直线和平面位置的关键
因素,所以可以利用直线的方向向量和平面的法向量表示空间直线与平
面间的平行、垂直等位置关系.
设向量l,m分别是直线l,m的方向向量,n1,n2分别是平面α,β的法向量,用
用空间向量解立体几何问题方法归纳
1．如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，AB ＝3，BC ＝5.(1)求证：AA 1⊥平面ABC ；(2)求二面角A 1BC 1B 1的余弦值；(3)证明：在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，并求BD BC 1的值．解：(1)证明：因为四边形AA 1C 1C 为正方形，所以AA 1⊥AC .因为平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，且AA 1垂直于这两个平面的交线AC ，所以AA 1⊥平面ABC .(2)由(1)知AA 1⊥AC ，AA 1⊥AB .由题知AB ＝3，BC ＝5，AC ＝4，所以AB ⊥AC .如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz ，则B (0,3,0)，A 1(0,0,4)，B 1(0,3,4)，C 1(4,0,4)，1A B ＝(0,3，－4)，11A C ＝(4,0,0)．设平面A 1BC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，n ·B ＝0，n ·11A C ＝0.3y －4z ＝0，4x ＝0.令z ＝3，则x ＝0，y ＝4，所以n ＝(0,4,3)．同理可得，平面B 1BC 1的一个法向量为m ＝(3,4,0)．所以cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝1625.由题知二面角A 1BC 1B 1为锐角，所以二面角A 1BC 1B 1的余弦值为1625.(3)证明：设D (x ，y ，z )是直线BC 1上一点，且BD ＝λ1BC .所以(x ，y －3，z )＝λ(4，－3,4)．解得x ＝4λ，y ＝3－3λ，z ＝4λ.所以AD ＝(4λ，3－3λ，4λ)．由AD ·1A B ＝0，即9－25λ＝0，解得λ＝925.因为925∈[0,1]，所以在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B .此时，BD BC 1＝λ＝925.2．如图(1)，四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，DB ＝2，DC ＝1，BC ＝5，AB ＝AD ＝2.将图(1)沿直线BD 折起，使得二面角A BD C 为60°，如图(2)．(1)求证：AE ⊥平面BDC ；(2)求直线AC 与平面ABD 所成角的余弦值．解：(1)证明：取BD 的中点F ，连接EF ，AF ，则AF ＝1，EF ＝12，∠AFE ＝60°.由余弦定理知AE ＝12＋122－2×1×12cos 60°32.∵AE 2＋EF 2＝AF 2，∴AE ⊥EF .∵AB ＝AD ，F 为BD 中点．∴BD ⊥AF .又BD ＝2，DC ＝1，BC ＝5，∴BD 2＋DC 2＝BC 2，即BD ⊥CD .又E 为BC 中点，EF ∥CD ，∴BD ⊥EF .又EF ∩AF ＝F ，∴BD ⊥平面AEF .又BD ⊥AE ，∵BD ∩EF ＝F ，∴AE ⊥平面BDC .(2)以E 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则0，0，32C －1，12，01，－12，0，D －1，－12，0DB ＝(2,0,0)，DA 1，12，32AC ＝－1，12，－32.设平面ABD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，n ·DB ＝0n ·DA ＝02x ＝0，x ＋12y ＋32z ＝0，取z ＝3，则y ＝－3，又∵n ＝(0，－3，3)．∴cos 〈n ，AC 〉＝n ·|n ||AC |＝－64.故直线AC 与平面ABD 所成角的余弦值为104.3.如图，在四棱锥P ABCD 中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱PA ＝PD ＝2，PA⊥PD ，底面ABCD 为直角梯形，其中BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AB ＝BC ＝1，O 为AD 中点．(1)求直线PB 与平面POC 所成角的余弦值；(2)求B 点到平面PCD 的距离；解：(1)在△PAD 中，PA ＝PD ，O 为AD 中点，所以PO ⊥AD .又侧面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，PO ⊂平面P AD ，所以PO ⊥平面ABCD .又在直角梯形ABCD 中，连接OC ，易得OC ⊥AD ，所以以O 为坐标原点，OC ，OD ，OP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则P (0,0,1)，A (0，－1,0)，B (1，－1,0)，C (1,0,0)，D (0,1,0)，∴PB ＝(1，－1，－1)，易证OA ⊥平面POC ，∴OA ＝(0，－1,0)是平面POC 的法向量，cos 〈PB ，OA 〉＝·|PB ||OA |＝33.∴直线PB 与平面POC 所成角的余弦值为63.(2)PD ＝(0,1，－1)，CP ＝(－1,0,1)．设平面PDC 的一个法向量为u ＝(x ，y ，z )，u ·CP ＝－x ＋z ＝0，u ·PD ＝y －z ＝0，取z ＝1，得u ＝(1,1,1)．∴B 点到平面PCD 的距离为d ＝|BP ·u ||u |＝33.4、.如图，在四棱锥P ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是菱形，AC ＝2，BD ＝23，E 是PB 上任意一点．(1)求证：AC ⊥DE ；(2)已知二面角A PB D 的余弦值为155，若E 为PB 的中点，求EC 与平面PAB 所成角的正弦值．解：(1)证明：∵PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥AC ，∵四边形ABCD 是菱形，∴BD ⊥AC ，又BD ∩PD ＝D ，∴AC ⊥平面PBD ，∵DE ⊂平面PBD ，∴AC ⊥DE .(2)在△PDB 中，EO ∥PD ，∴EO ⊥平面ABCD ，分别以OA ，OB ，OE 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设PD ＝t ，则A (1,0,0)，B (0，3，0)，C (－1,0,0)E0，0，t 2P (0，－3，t )，AB ＝(－1，3，0)，AP ＝(－1，－3，t )．由(1)知，平面PBD 的一个法向量为n 1＝(1,0,0)，设平面PAB 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )，则n 2·AB ＝0，n 2·AP ＝0－x ＋3y ＝0，－x －3y ＋tz ＝0，令y ＝1，得n 2＝31，23t ∵二面角A PB D 的余弦值为155，则|cos 〈n 1，n 2〉|＝155，即34＋12t 2＝155，解得t ＝23或t ＝－23(舍去)，∴P (0，－3，23)．设EC 与平面PAB 所成的角为θ，∵EC ＝(－1,0，－3)，n 2＝(3，1,1)，则sin θ＝|cos 〈EC ，n 2〉|＝232×5＝155，∴EC 与平面PAB 所成角的正弦值为155.。
例谈用向量法解立体几何问题
例谈用向量法解立体几何问题向量法是解决立体几何问题的一种有效方法，它在空间的方向和长度上具有良好的可视化效果。
下面我们将介绍如何用向量法解决立体几何问题。
一、向量的表示方法在空间中，向量可以用一个有序三元组(x,y,z)来表示。
其中，x、y、z分别表示向量在x、y、z三个轴向上的分量。
例如，三维空间中的一个向量A可以表示为A=(x1,y1,z1)，另一个向量B可以表示为B=(x2,y2,z2)。
这两个向量之间的距离可以用以下公式计算：$$ AB = \\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2} $$二、向量的运算方法向量之间可以进行四则运算，它们的定义如下：•向量加法：当两个向量A=(x1,y1,z1)和B=(x2,y2,z2)相加时，结果为A+B=(x1+x2,y1+y2,z1+z2)。
•向量减法：当两个向量A和B相减时，结果为A−B=(x1−x2,y1−y2,z1−z2)。
•向量数乘：当一个向量A与一个标量k相乘时，结果为kA= (kx,ky,kz)。
•点乘：当两个向量A和B进行点乘时，结果为$A·B=|A||B|\\cos\\theta$，其中 $\\theta$ 表示两个向量之间的夹角。
三、向量在立体几何中的应用在立体几何中，向量法可以解决很多难题。
例如：1. 点到直线的距离在三维空间中，过已知点A0的直线l可以表示为 $l:\\frac{x-x_0}{l_1}=\\frac{y-y_0}{l_2}=\\frac{z-z_0}{l_3}$。
要求点B到直线l的距离，可以用以下公式：$$ d_{AB}=\\frac{|(B-A_0)×l|}{|l|} $$其中，×表示向量叉乘。
2. 点到平面的距离在三维空间中，已知一个平面p的法向量n=(n1,n2,n3)和一个过点A0的直线l，该点不在平面上。
要求点B到平面p的距离，可以用以下公式：$$ d_{AB}=\\frac{|n(B-A_0)|}{|n|} $$3. 直线间的距离在三维空间中，已知两个直线l1和l2，要求它们的最短距离。
空间向量法解决立体几何证明
空间向量法解决立体几何证明空间向量法是一种运用向量的几何性质进行证明的方法，它以向量为基本工具，通过对向量的运算和性质的利用来解决立体几何的问题。
它不仅可以简化证明过程，还能够准确地描述空间中的点、线、面等几何元素的关系，使证明更加直观和清晰。
一、空间向量的定义和性质：在空间中，我们可以用向量表示点、线、面等几何元素，同时向量之间也可以进行加减、乘除等运算。
1.向量的定义：向量是具有大小和方向的有向线段，可以通过两点确定，也可以利用坐标表示。
2.平行向量：两个向量的方向相同或相反，则它们是平行向量。
3.共线向量：如果一个向量与另一个向量成正比例，则它们是共线向量。
4.零向量：即向量的大小为0，没有方向。
5.向量的加法和减法：向量的加法满足交换律和结合律，即a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)；向量的减法可以通过加上相反向量来实现。
6.向量的数量积和向量积：数量积是两个向量的数量乘积，向量积是两个向量的叉乘积。
二、空间向量法的应用：1.证明平面垂直或平行关系：通过计算两个向量的点积来判断它们是否垂直，如果点积为0，则说明两个向量垂直；如果点积为非零常数，则说明两个向量平行。
2.求线段的中点：设线段AB的中点为M，可以通过向量加法来计算中点坐标，即M=(A+B)/23.证明两个向量共线：如果一个向量和另一个向量成正比例，则说明它们共线，可以通过向量的除法来验证。
4.求直线的方程：可以通过设定直线上的一点和与直线平行的向量来确定直线的方程，利用向量法可以方便地表示直线的方向和位置关系。
5.判断四点共面：通过计算四个向量的混合积来判断四点是否共面，如果混合积为0，则说明四点共面。
6.求空间三角形面积：可以通过向量的叉乘来计算三个不共线点所确定的面积，公式为S=1/2*，AB×AC。
三、空间向量法的证明步骤：1.设定要证明的几何问题，明确所要证明的结论。
2.根据所给信息，用向量来表示图中的几何元素，建立向量方程或相关关系。
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专题：运用向量法证明立体几何问题
一、知识点：
1、若向量m
与直线l 平行，则向量叫做直线l 的方向向量。
2、若⊥α，则叫做平面α的法向量。
（1）要证m 为平面α的法向量，只须让m 与平面α内的两条相交直线垂直。
（2）若χ轴与平面的法向量，可设为=（1，0，0）
（3）若
y 轴为平面的法向量，可设为=（0，1，0）
（4）若Z 轴为平面的法向量，可设为m =（0，0，1） 3、证明线面平行与线面垂直
若为平面α的法向量，n 为直线l 的方向向量，则
（1）l ⊥α⇔m ∥n ⇔m =λn
（2）l ∥α
⇔m ⊥n ⇔m ·n
=0
4、运用向量求角
（1）若两条异面直线l 1，l 2所成的角为
θ，为l
1
的方向向量，
n
为l 2
的方向向量，则
cos (090)m n m n
θθ=<≤
， （2）若两个平面12αα，所成的二面角的平面角为
θ，为1α的法向
量，为2α的法向量，则
cos (090)m n m n
θθ=<≤
， 当二面角为锐时为θ；当二面角为钝角时为
π-θ。
（3）直线l 与平面α所成的角为θ，n 为直线l 的方向向量，m 为平面α
的法向量，则
sin (090)m n m n
θθ=<≤
， 5、点P 到平面α的距离为d,若为平面α的法向量，A 为平面α内任
一点，则PA m d m
= 例1．如图在四棱锥P-ABCD 中，底面AB 、CD 是正方形且边长为1，侧棱PD
⊥底面ABCD ，PD=DC ，点E 是PC 的中点，且F 的坐标是（31，31，3
2
）。
（1）求证：PA ∥平面EDB （２）求证：PB ⊥平面EFD
解：如图建立空间直角坐标系D xyz -。
设底面正方形的边长为１,则PD=1 D （0，0，0），P （0，0，1），A （1，0，0），
B （1，1，0）,
C （0，1，0），E （0，21，2
1
）
（1）设(x,y,z)m =
为平面EDB 的法向量
则00m DB m DE ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ， 而(1,1,0)11(0,,)22
DB DE ⎧=⎪⎨=⎪⎩
∴011022
x y y z +=⎧⎪
⎨+=⎪⎩ ， 即 x y z y =-⎧⎨=-⎩
故m =（1，-1，1）（取Y=-1）
又∵PA =（1,0，-1）
∴1010PA m =+-=
故PA ⊥m ，即PA ∥平面EDB
（2）设(x,y,z)n =
为平面EFD 的法向量
则00
n DF n DE ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 而112
(,,)33311(0,,)22
DF DE ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
故1
12033311022
x y z y z ⎧++=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 即x z y z =-⎧⎨=-⎩
故n
=（1，1，-1）
而PB
=（1，1，-1） ∴PB ∥n
即PB ⊥平面EFD
例2，在直三棱柱中，AA 1=AB=BC=3,AC=2,D 是AC 的中点， （1）求证： B 1C ∥ 平面A 1BD （2）求点B 1到平面A 1BD 的距离 （3）求二面角11A DB B --的余弦值 解：如图建立空间直角系D xyz -，
由AA 1=AB=BC=3,AC=2知
D （0，0，0），B （0，
0），C （1，0，0） A 1（-1，0，3），B 1（0，
3）
（1）设(x,y,z)m =
为面A 1
BD 的法向量
则100m DB m DA ⎧=⎪⎨=⎪⎩
而1(1,0,3)
DB DA ⎧=⎪⎨=-⎪⎩
故0
30y x z =⎧⎨-+=⎩
即03y x z =⎧⎨=⎩
故m =（3，0，1）
又∵1C B
=（1，
-3） ∴13030B C m =+-=
故⊥1C B
∴1C B
∥平面A 1
BD
（2）由（1）知面A 1BD 的法向量=（3，0，1）
又∵1B B
=（0，0，-3）
∴1B 到面A 1BD 的距离为 1m B B d m
=
=3
10= （3）由图可知χ轴为面B 1
BD 的法向量，可设为n
=（1，0，0）
由（1）知面A 1
BD 的法向量m
=（3，0，1）
设锐二面角A 1-DB-B 1的平面角为θ
则m n Cos m n
θ
=
例3：如图，在正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=2，AA 1=4，E 为BC 的中点，F
为CC 1的中点。
（1）求EF 与平面ABCD 所成的角的余弦值 （2）求二面角F-DE-C 的余弦值
解：如图示建立空间直角坐标系D xyz -。
∵AB=2，AA 1=4
∴D （0，0，0），A （2，0，0），B （2，2，0）， C （0，2，0），E （1，2，0），F （0，2，2）
（1）Z 轴为面ABCD 的法向量，可设为m
=（0，0，1）
又∵EF
=（-1，0，2）
设EF 与面ABCD 所成的角为θ
则m EF Sin m EF
θ==
故Cos θ== （2）Z 轴为面CDE 的法向量，设为n =（0，0，1）
设(x,y,z)m =
为面DEF 的法向量
则则00m DE m DF ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 而(1,2,0)(0,2,2)
DE DF ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 故20
0x y y z +=⎧⎨+=⎩
即2x y y z =-⎧⎨=-⎩
故m
=（2，-1，1）
设锐二面角F-DE-C 的平面角为θ
则
cos 6m n m n
==。