两个重要极限公式

1,
1 1 2 n 1 1 1 lim( 2 ) 1. 2 2 n n 1 n 2 n n
n n
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lim
1
1,
由夹逼准则得
10
1 1 1 思考题： lim n 2 ？ 2 2 n n n 2 n n 解: 利用夹逼准则 . 由
2
2 x x 2 x 2sin sin sin 1 1 2 1 2 1 2 2 解: 原式 lim lim lim 1 2 2 x 0 x 0 x 2 2 x 0 x 2 x 2 2 2
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内容小结
n 1
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1 lim 1 ? n n
n
n
4
1 其次，证 xn 1 有界． 显然， xn x1 2 nn
n
1 z 是单调增加的．设数列 n 1 ，则 n n 1 n 1 1 1 1 1 n 1 zn 1 n 1 n 1 yn 1 1 n n n

1 1 1 （1）当 x 0 时， x( 1) x x , x x x
1 x 1. 同样有 xlim 0 x 2016/3/2
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1 a 4. 设 xn 1 ( xn ) ( n 1 , 2 , ) , 且 x1 0 , 2 xn a 0 , 求 lim xn . 利用极限存在准则 n 1 a a xn 解： xn 1 (xn ) a 2 xn xn 1 a xn 1 1 a (1 2 ) ( 1 ) 1 2 a xn 2 xn
单调减少 x1 x2 xn xn1 ,
准则I 单调有界数列必有极限 单调上升有上界数列必有极限 单调下降有下界数列必有极限 说 明: (1) 在收敛数列的性质中曾证明：收敛的数列一定 有界，但有界的数列不一定收敛． (2) 利用准则Ⅰ来判定数列收敛必须同时满足 数列 单调和有界这两个条件． 2016/3/2 2
解:
1 原式 lim 1 x x
1 x
2x
x( 2)
x x 1 lim 1 例2 求 lim x 0 x 0 3 3
1 lim 1 x x 3 1
n 1 1 类似于 xn 1 单调性的证明可证得数列 yn 1 n n n 1
1 n 1 所以数列 z n 是单调减少的. 由于数列 yn 是单调增加的， n 1
1 1 又 xn 1 1 n n
n
1 1 y 1 的极限都存在且都等于e ，即 lim 1 e x x x
利用变量代换，可得更一般的形式
1 ( x)
x
x
（x ) 0
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lim 1 ( x)
e
6
1 例1 求 lim 1 . x x
1 x 1 tan x 即 2 2 x 1 ) 1 sin x x tan x ( 0 x 故有 亦即 2 sin x cos x sin x ) 显然有 cos x 1 (0 x 2 x sin x 注 lim 1 lim cos x 1, x 0 x x 0 2016/3/2
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例4 求
tan x sin x 1 sin x 1 解: lim lim lim lim 1 x 0 x x 0 x cos x x 0 x x 0 cos x
例5 求 解: 令 t arcsin x , 则 x sin t , 因此 t 原式 lim 1 sin t t 0 sin t
n n 1
zn z1 4
则 2 xn 4 . 综上，根据极限存在准则Ⅰ可知，数列是 2016/3/2 5 收敛的 .
通常用字母 e 来表示这个极限，即
1 lim 1 e (e 2.71828) n n
也可以证明，当 x 取实数而趋于 或 时，函数
3
作为准则Ⅰ的应用，我们讨论一个重要极限：
1 首先，证 xn 1 是单调的． n n n n 1 1 1 1 1 1 xn 1 ＝ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n n
第一章
第六节 极限存在准则 两个重要极限
（Existence criteria for limits & Two important limits）
一、极限存在的两个准则
二、两个重要极限
三、内容小结
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1. 单调有界准则
数列
xn : 单调增加 x1 x2 xn xn1 ,
令 N max N1 , N 2 , 则当 n N 时, 有
a y n xn z n a 即 xn a , 故 lim xn a . 2016/3/2
由条件 (1)
n
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我们可将准则II推广到函数的情形： 准则II′
当 x ( x0 , ) 时, g ( x) f ( x) h( x) , 且 ( x X 0)
x
x
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3. 证明 证明： 对任一 x R ，有 x 1 x x ，则当 x 0 1 1 1 时，有 1 . 于是, x x x
由夹逼准则得 lim x x 1 x 0 1 1 1 （2）当 x 0 时， x x x( 1), x x x 1
1. 极限存在的两个准则 夹逼准则; 单调有界准则 . 2. 两个重要极限
或 注:
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代表相同的表达式
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思考与练习
1. 填空题 ( 1～4 ) sin x 0 ; 1. lim _____ x x 1 0 ; 3. lim x sin ____ x 0 x
1 1 ; 2. lim x sin ____ x x 1 1 n e 4. lim(1 ) ____ . n n
x x0

lim g ( x) lim h( x) A
x x0 ( x )
( x )
x x0 ( x )
lim f ( x) A
准则II和准则II′统称为夹逼准则. 注意: 利用夹逼准则求极限关键是构造出 yn 与 z n ,
并且 yn 与 z n的极限是容易求的 .
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2. 求
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10 x 5 10 解： 原式 = lim lim 1 x x 5 x x5 x 5 10 5 10 10 lim 1 x x 5 x 5 10 5 10 10 10 lim 1 1 x x 5 x 5 x 5 10 5 10 10 10 10 lim 1 lim 1 e x x 5 x x 5
2 1 1 1 n2 n 2 2 n 2 2 2 n n n n n n n 2 2 1 n lim 1 lim 2 且 n 1 n n n n
1 n2 lim 1 lim 2 n 1 2 n n n 1 1 1 lim n 2 2 2 n n n 2 n n
(3) 准则Ⅰ只能判定数列极限的存在性， 而未给出 求极限的方法．
n x ( 1) ，虽然有界但不单调； 例如，数列 n
数列 xn n ，虽然是单调的，但其无界，
易知，这两数列均发散． (4) 对于准则I， 函数极限根据自变量的不同变化过程 ( x x0 , x x0 , x , x , x ) 也有类似的 准则， 只是准则形式上略有不同. 例如， 准则I′ 设函数 f ( x) 在点 x0 的某个左邻域内单调 并且有界，则 f ( x) 在 x0 的左极限 f ( x0 ) 必存在． 2016/3/2
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例3 求 lim(
n
1 n2 1

1 n2 2

1 n2 n
).
n 1 1 n , 解： 2 2 2 2 n n n 1 n n n 1
n 又 lim 2 lim n n n n
lim n n 1
2
1 1 1 n
sin ( x) 注: 利用变量代换，可得更一般的形式 lim 1 ( x ) 0 ( x )
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t
例6 求
sin 3x 3 sin 3x 5 x lim 解: lim x 0 sin 5 x 5 x 0 3x sin 5 x 3 sin 3x 5x 3 lim lim 5 x 0 3x x 0 sin 5 x 5 1 cos x . 例7 求 lim 2 x 0 x
1 n 1 n 1 1 n 1 1 n n2 xn 1 ＝ 1 n 1 n 1 n 1 n 1 所以，数列 xn 1 是单调增加的． 2016/3/2 n
x 3
x
2 e .
2
解:
x x lim 1 lim 1 x 0 x 0 3 3
1 x
3 1 x 3
3 x x lim 1 x 0 3
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sin x 极限公式： lim 1 x 0 x
证: 当 x ( 0 , ) 时， 2
1 sin x 2
夹逼准则不仅说明了极限存在，而且给出了求极限的 下面利用它证明另一个重要的 BD 方法．
1 x A o C
△AOB 的面积＜ 圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积
∴数列单调递减有下界， 设 lim xn A 故极限存在， n 1 a A a 则由递推公式有 A ( A ) 2 A x1 0 , xn 0 , 故 lim xn a

1 3
e

1 3
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2. 夹逼准则
准则II (1) yn xn zn ( n 1, 2 , )
(2) lim yn lim z n a
n n
n
lim xn a
证: 由条件 (2) , 0 , N1 , N 2 , 当 时, 当 n N 2 时, z n a