北师大版下册数学九年级第1章导学案全集
2016年春季学期新版北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系单元复习导学案
第一章三角函数 回顾与思考一、教学目标1、理解圆的描述定义,了解圆的集合定义.2、经历探索点与圆的位置关系的过程，以及如何确定点和圆的三种位置关系 二、教学重点和难点重点：掌握锐角三角函数的概念和特殊角的三角函数值,并熟练运用于解直角三角形及与直角三角形有关的实际问题.难点：将实际问题转化为数学问题,建立数学模型 三、教学过程 （一）复习回顾：1.如图所示 在 Rt △ABC 中，∠C=90°.（1）a 、b 、c 三者之间的关系是 ，∠A+∠B= . （2）sinA= ，cosA= ，tanA= .sinB= ，cosB= ，tanB= .2. 特殊角的锐角三角函数值．3.锐角三角函数的大小比较(1) 正弦、正切的锐角三角函数值随角度的增大而_____，随角度的减小而_____．(2)余弦的锐角三角函数值随角度的增大而_____，随角度的减小而_____。
(3)锐角A 的取值范围__________三个锐角三角函数值的取值范围__________、__________、__________（二）基础训练：1．如果∠α是等边三角形的一个内角，那么cos α的值等于（ ）AA ．12 B ．2C ．2D ．1 2．在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝2，sinA ＝23，则AC 的长是（ ）A ．3 C ．45D3．△ABC 中，若C=_______．4．在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝23，则tanB= 5．如图所示，人们从O 处的某海防哨所发现，在它的北偏东60°方向，•相距600m 的A 处有一艘快艇正在向正南方向航行，经过若干时间快艇到达哨所东南方向B 处，则A 、B 间的距离是________．6.计算（1）︒︒-︒30cos 30sin 260sin ； （2）045cos 360sin 2+；（3）130sin 560cos 300-.（三）典例讲解：例1.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，已知•BC=2，那么sin ∠ACD=（ ）2.3B C D变式：若将题目中“CD ⊥AB 于点D ”改为“CD 为AB 边上的中线”，其它条件不变，选哪个答案呢？例2.在Rt △ABC 中，∠C=90°，根据下列条件求直角三角形中的其它元素: （1）c=20 , ∠A=45°; （2）a=62 , b=66; （2）已知两直角边,求斜边和两锐角.例 3.如图在等腰直角三角形ABC 中，∠C=90°，AC=6，D 是AC 上一点，若tan ∠=DBA AD 15，求的长。
北师大版九年级下册数学：第1章_直角三角形的边角关系全章教案
第一章 直角三角形的边角关系第1节 从梯子的倾斜程度谈起本节内容：正切的定义 坡度的定义及表示（难点） 正弦、余弦的定义 三角函数的定义（重点）在确定，那么A 的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A 的正切，记作tanA 。
即tanA=baA =∠∠的邻边的对边A已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB ，AD=8，BD=4，求tanA 的值。
我们通常把坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或坡比）。
坡度常用字母i 表示。
斜坡的坡度和坡角的正切值关系是：lh a =tan 注意：（1）坡度一般写成1：m 的形式（比例的前项为1，后项可以是小数）； （2）若坡角为a ，坡度为a lhi tan ==，坡度越大，则a 角越大，坡面越陡。
拦水坝的横断面为梯形ABCD ，坝顶宽BC 为6m ，坝高为3.2m ，为了提高拦水坝的拦水能力，需要将水坝加高2m ，并且保持坝顶宽度不变，迎水坡CD 的坡度不变，但是背水坡的坡度由原来的i=1：2变成i’=1：2.5（有关数据在图上已标明）。
求加高后的坝底HD 的宽为多少？在△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，求sinA、sinB、cosA、cosB的值。
通过计算你有什么发现？请加以证明。
■例4方方和圆圆分别将两根木棒AB=10cm，CD=6cm斜立在墙上，其中BE=6cm，DE=2cm，你能判断谁的木棒更陡吗？说明理由。
本节作业：1、∠C=90°，点D 在BC 上，BD=6，AD=BC ，cos ∠ADC=53，求CD 的长。
2、P 是a 的边OA 上一点，且P 点的坐标为（3，4），求sina 、tana 的值。
3、在△ABC 中，D 是AB 的中点，DC ⊥AC ，且tan ∠BCD=31，求tanA 的值。
4、在Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA=125，周长为30，求△ABC 的面积。
北师大版 九年级数学下册 教案(全册优质教案精选)
北师大版九年级数学下册教案第一章直角三角形的边角关系1．1锐角三角函数第1课时正切教学目标1．经历探索直角三角形中某锐角确定后其对边与邻边的比值也随之确定的过程，理解正切的意义．2．能够用表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度，并能够用正切进行简单的计算．教学重点理解锐角三角函数正切的意义，用正切表示倾斜程度、坡度．教学难点从现实情境中理解正切的意义．教学过程一、创设情景明确目标我们都有过走上坡路的经验，坡面有陡有平，在数学上该如何衡量坡面的倾斜程度呢？如图所示，哪个坡面更陡一些？想一想：如图所示的两个坡面，哪个更陡一些？你是怎么做的？二、自主学习指向目标阅读预习教材第2页至第4页的内容；完成《名师学案》“课前预习”部分．三、合作探究达成目标探究点一正切的定义活动：1．想一想：当直角三角形的一个锐角的大小确定时，其对边与邻边比值会确定的吗？2．如图所示：在锐角A的一边上任意取点B，B1，B2，过这些点分别作CB⊥AC，C1B1⊥AC ，C 2B 2⊥AC ，垂足分别是C ，C 1，C 2.展示点评：证明：△ABC ∽△AB 1C 1，从而得出BC ∶B 1C 1＝AC ∶AC 1，进一步转化成BC ∶AC ＝B 1C 1∶AC 1，同理可以证明：BC ∶AC ＝B 2C 2∶AC 2.反思小结：(1)通过以上论证，引导学生总结：在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与邻边的比是一个固定值．(2)直角三角形中边与角的关系：在直角三角形中，如果一个锐角确定，那么这个角的对边与邻边的比便随之确定．在Rt △ABC 中，锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tan A ，即tan A ＝∠A 的对边∠A 的邻边例题讲解：见教材例1.针对训练：教材第4页《课堂练习》第1题． 探究点二 坡度活动：阅读教材第4页内容．反思小结：坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度(坡比)，可以写成i ＝tan α. 针对训练：《名师学案》当堂练习部分． 四、总结梳理 内化目标本节课从梯子的倾斜程度谈起，通过探索直角三角形中边角关系，得出了直角三角形中的锐角确定后，它的对边比邻边的比也随之确定，在直角三角形中定义了正切的概念，接着，了解了坡面的倾斜程度与正切的关系．五、达标检测 反思目标1．如图所示，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，指出∠A 和∠B 的对边，邻边：(1)tan A ＝( )∶AC ＝CD ∶( ) (2)tan B ＝( )∶BC ＝CD ∶( ) 2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°.(1)AC ＝3，AB ＝6，求tan A 和tan B ； (2)BC ＝3，tan A ＝34，求34AC 和AB.3．在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝13，BC ＝10，求tan B.作业布置教材第4页习题1，2题． 教学反思________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________第2课时正弦和余弦教学目标1．经历探索知道直角三角形中某锐角确定后，它的对边、邻边和斜边的比值也随之确定，能够根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算．2．能够正确地运用sin A，cos A，tan A表示直角三角形中两边之比．教学重点正确地运用三角函数值表示直角三角形中两边之比．教学难点理解角度与数值之间一一对应的函数关系．教学过程一、创设情景明确目标1．锐角∠A的正切符号分别如何表示？2．它等于哪两边的比？3．求出如图所示的Rt△ABC中∠A的正切值．二、自主学习指向目标阅读教材第5页至第6页的内容；完成《名师学案》“课前预习”部分．三、合作探究达成目标探究点正弦和余弦的定义活动：(1)如图，当Rt△ABC中的一个锐角A确定时，它的对边与邻边的比随之确定．此时，其他边之间的比值也确定吗？(2)可以让学生再画一个Rt△ABC，使之与上图相似，然而再求出对边与斜边，邻边与斜边，比较与上图所求出对边与斜边，邻边与斜边的比相等吗？展示点评：两个相似三角形的对边与斜边之比相等，邻边与斜边的比也相等，据相似三角形的比例而得到的．反思小结：(1)在Rt△ABC中，如果锐角A确定时，那么∠A的对边与斜边的比，邻边与斜边的比也随之确定．(2)在Rt△ABC中，锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sin A，即sin A＝∠A的对边斜边(3)在Rt △ABC 中，锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cos A ，即cos A ＝∠A 的邻边斜边(4)锐角A 的正弦，余弦和正切都是做∠A 的三角函数． 例题讲解：见教材例2.针对练习：教材随堂练习第1，2题． 四、总结梳理 内化目标 1．锐角三角函数定义：sin A ＝∠A 的对边斜边tan A ＝∠A 的对边∠A 的邻边cos A ＝∠A 的邻边斜边2．定义中应该注意的几个问题：(1)sin A ，cos A ，tan A 是在直角三角形中定义的，∠A 是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)；(2)sin A ，cos A ，tan A 是一个完整的符号，表示∠A 的正弦，余弦，正切，习惯省去“∠”号；(3)sin A ，cos A ，tan A 是一个比值．注意比的顺序，且sin A ，cos A ，tan A 均﹥0，无单位； (4)sin A ，cos A ，tan A 的大小只与∠A 的大小有关，而与直角三角形的边长无关； (5)两个锐角相等，则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等，则这两个锐角相等． 五、达标检测 反思目标1．在Rt △ABC 中，锐角A 的对边和斜边同时扩大100倍，sin A 的值( ) A ．扩大100倍 B ．缩小100倍 C ．不变 D ．不能确定2．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°.(1)若AC ＝4，AB ＝5，求sin A 与sin B ； (2)若AC ＝5，AB ＝12，求sin A 与sin B ； (3)若BC ＝m ，AC ＝n ，求sin B.3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝15，sin A ＝513，求AC 和BC.4．如图：在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6.求：sin B ，cos B ，tan B. 提示：过点A 作AD 垂直于BC 于D.作业布置教材第6页习题1，4题． 教学反思________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________1．2 30°，45°，60°角的三角函数值教学目标1．能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应锐角度数． 2．能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式． 教学重点熟记30°、45°、60°角的三角函数值，能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式．教学难点30°、45°、60°角的三角函数值的推导过程． 教学过程一、创设情景 明确目标1．一个直角三角形中是怎么定义一个锐角的正弦、余弦和正切的？2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若tan A ＝512，则sin A ＝________，cos A ＝________．二、自主学习 指向目标阅读教材第8页至第9页的内容，完成《名师学案》的“课前预习”部分． 三、合作探究 达成目标探究点一 30°，45°，60°的特殊值活动：(1)思考两块三角尺有几个不同的锐角？分别是多少度？(可以通过量角器去度量) (2)你通过两块直角的各边长分别求出几个锐角的正弦值，余弦值和正切值．展示点评：如图(1)，∵a ＝12c ，即c ＝2a ，据勾股定理可得到b ＝3a ，∴sin 30°＝a c ＝12，cos 30°＝b c ＝32；tan 30°＝a b ＝33，依次可以用45°，60°的三角函数值．以上均属于特殊角，例如在直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半，可以通过勾股定理求出它的邻边的长，即可求出30°的角所有三角函数值，同理45°，60°也可进行．反思小结：sin 30°＝12，sin 45°＝22，sin 60°＝32，cos 30°＝32，cos 45°＝22，cos 60°＝12，tan 30°＝33，tan 45°＝1，tan 60°＝ 3. 讲解例题：教材例1. 针对训练：(1)sin 30°＝_______；cos 45°＝_______；tan 30°＝________；sin 60°＝________；cos A ＝32，则∠A ＝________；tan A ＝33，则∠A ＝________；sin A ＝12，则∠A ＝________． (2)教材随堂练习1.探究点二 特殊值的应用活动：教材例2 例2：一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5m ，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(结果精确到0.01m )．展示点评：解：如图，据题意可知：∠AOD ＝12×60°＝30°，OD ＝2.5m∴OC ＝OD·cos 30°＝2.5×32≈2.165(m )，∴AC ＝2.5－2.165≈0.34(m ) 反思小结：利用通过锐角三角函数在实际中的应用，得到与特殊角的三角函数值，尽量取值接近准确值．针对训练：教材随堂练习2. 四、总结梳理 内化目标(1)熟练30°，45°，60°的特殊三角函数值．(2)准确应用锐角三角函数在实际生活中，特殊值在实际生活中有很大的用途． 五、达标检测 反思目标1．已知：Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cos A ＝35，AB ＝15，则AC 的长是( )A ．3B ．6C ．9D ．12 2．下列各式中不正确的是( )A ．sin 260°＋cos 260°＝1B ．sin 30°＋cos 30°＝1C ．sin 35°＝cos 55°D ．tan 45°>sin 45°3．计算2sin 30°－2cos 60°＋tan 45°的结果是( ) A ．2 B . 3 C . 2 D ．14．已知∠A 为锐角，且cos A ≤12，那么( )A ．0°＜∠A ≤60°B ．60°≤∠A ＜90°C ．0°＜∠A ≤30°D ．30°≤∠A ＜90°5．在△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且sin A ＝12，cos B ＝32，则△ABC 的形状是( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定6．如图Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，BC ＝3，AC ＝4，设∠BCD ＝α，则tan α的值为( )A .34B .43C .35D .457．当锐角α>60°时，cos α的值( ) A ．小于12 B ．大于12C ．大于32D ．大于1 作业布置教材第10页习题1，2题． 教学反思________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________1．3 三角函数的计算教学目标1．熟练运用计算器，求出锐角的三角函数值，或是根据三角函数值求出相应的锐角． 2．能够进行简单的三角函数式的运算，理解正弦值与余弦值都在0与1之间． 教学重点学会应用计算器求三角函数值． 教学难点能够进行简单的三角函数式的运算． 教学过程一、创设情景 明确目标(1)让学生熟练写出30°，45°，60°的三角函数的特殊值．(2)如图，∠C ＝90°，∠A ＝16°，则∠B ＝________(74°)． 16°，74°的三角函数值是特殊值吗？可以直接求出来吗？还有16°32′的三角函数值怎么求？二、自主学习指向目标阅读教材第12页至第14页的内容，完成《名师学案》的“课前预习”部分．三、合作探究达成目标探究点一用科学计算器求锐角三角函数值活动：像这样的问题：如图，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了200m.已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α＝16°，那么缆车垂直上升的距离是多少？如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝AB sin16°，你知道sin16°等于多少吗？我们可以借助科学计算器求锐角的三角函数值？怎样用科学计算器求锐角的三角函数值呢？请与同伴交流你是怎么做的．展示点评：(1)用科学计算器求16°的三角函数值(sin16°)：(2)操作顺序如下：∴据上表则可以求得BC＝AB·sin16°≈200×0.2756≈55.12反思小结：利用科学计算器求锐角的三角函数值按键的顺序为：第一步按sin或cos或tan，第二步按数键？，第三步按＝，即可出来数据；一般题中无特例说明，数据一般精确到万分位．例题讲解：例：用科学计算器计算cos42°，tan85°和sin72°38′5″的值．(学生动手操作) 针对训练：教材随堂练习1.探究点二用科学计算器求锐角的度数活动：教材第13页[想一想]展示点评：已知三角函数值求角度，要用到sin cos tan键的第二功能sin－1cos－1 tan－1和SHIFT键．例已知三角函数值，用计算器求锐角A：sin A＝0.9816，cos A＝0.8607，tan A＝0.1890，tan A＝56.78上表的显示结果是以“度”为单位的，再按.，，，键即可显示以“度，分，秒”为单位的结果．请你求出想一想中∠A的度数．反思小结：已知三角函数值求角度，要用到科学计算器中的sin，cos，tan键的第二功能键sin－1cos－1tan－1和SHIFT键．针对训练：教材随堂练习4.四、总结梳理内化目标利用科学计算器求已知角的三角函数值和已知三角函数值求角度的步骤．注意区分以上两种计算方式的步骤；在计算时注意精确值．五、达标检测反思目标1．用计算器求下列各式的值：(1)sin56°；(2)sin15°49′；(3)cos20°；(4)tan29°；(5)tan44°59′59″；(6)sin15°＋cos61°＋tan76°2．根据下列条件求∠θ的大小：(1)tanθ＝2.9888；(2)sinθ＝0.3957；(3)cosθ＝0.7850；(4)tanθ＝0.89723．求图中避雷针的长度(结果精确到0.01m)作业布置教材第15页习题2，3，4. 教学反思________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________1．4 解直角三角形教学目标1．熟练掌握直角三角形除直角外五个元素之间的关系． 2．学会根据题目要求正确地选用这些关系式解直角三角形． 教学重点会利用已知条件解直角三角形． 教学难点根据题目要求正确选用适当的三角关系式解直角三角形． 教学过程一、创设情景 明确目标(1)直角三角形三边的关系：勾股定理a 2＋b 2＝c 2.直角三角形两锐角的关系：两锐角互余∠A ＋∠B ＝90°. *直角三角形边与角之间的关系：锐角三角函数sin A ＝a c ，cos A ＝b c ，tan A ＝a b(2)特殊角30°，45°，60°角的三角函数值．(3)直角三角形中有6个元素，三个角和三条边，那么至少知道几个元素就可以求其他元素．二、自主学习 指向目标阅读教材第16页至第17页的内容，完成《名师学案》中的“课前预习”部分． 三、合作探究 达成目标 探究点 解直角三角形活动：想一想：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，(1)根据∠A ＝60°，斜边AB ＝30，你能求出这个三角形的其他元素吗？ (2)根据AC ＝2，BC ＝6，你能求出这个三角形的其他元素吗？ (3)根据∠A ＝60°，∠B ＝30°，你能求出这个三角形的其他元素吗？ 展示点评：(1)∠B ＝90°－∠A ＝30°；AC ＝sin B ·AB ；BC ＝sin A ·AB. (2)AB ＝AC 2＋BC 2；tan A ＝BCAC；∠B ＝90°－∠A ，以上可以根据所给出的等量关系分别求出(1)(2)中的未知元素．(3)不可以求出各边长．反思小结：(1)在直角三角形中由已知的元素，求出所有未知的元素，叫解直角三角形．(2)解直角三角形中，除直角外，其他五个元素中需要知道两个元素(至少有一个为边)可以求到其他三个元素．例题讲解：教材例1，例2针对训练：(1)教材随堂练习．(2)《名师学案》中“当堂练习”部分．四、总结梳理内化目标本节课主要学习了如何利用已知条件，选用合适的三角关系式解直角三角形，这是需要我们熟练掌握的，为后面学习解决实际问题提供打下基础．五、达标检测反思目标1．在下列直角三角形中不能求解的是()A．已知一直角边一锐角B．已知一斜边一锐角C．已知两边D．已知两角2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边．(1)已知∠B＝45°，c＝6解这个直角三角形(2)已知∠A＝30°，b＋c＝30解这个直角三角形3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，∠BAC的平分线AD＝43，解此直角三角形．作业布置教材习题1.5第1，2题．教学反思________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．5三角函数的应用第1课时与方位角有关的实际问题教学目标1．理解航海方位角的概念，并学会画航行方位图，将航海问题转化成数学问题．2．通过航海问题的解决让学生体会船只在海上航行的实际情景，从而培养空间想象力．教学重点学会画航行的方位图，将航海问题转化成数学问题．教学难点将航海的实际情景用航行方位图表现出来．教学过程一、创设情景明确目标(1)回顾直角三角形边与角之间的关系．(2)让学生画出方位角的示意图，并给出定义．学生画图：二、自主学习指向目标阅读教材第19页图1－13有关的内容，并完成《名师学案》中的“课前预习”部分．三、合作探究达成目标探究点方位角的实际问题活动：出示幻灯片动画，动画内容如下：一渔船以20海里/小时的速度跟踪鱼群由西向东航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B点，这时测得灯塔C在北偏东30°方向上，已知灯塔C的周围10海里范围内有暗礁，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？展示点评：根据题中船的路径可以把它画成平面图，如图所示，根据实际问题，作CD⊥AD，在Rt△ACD中，求出CD的长度，然后比较CD与10海里的大小就可以确定此船有没有触礁的危险．解答如下：根据题意可知，∠BAC＝30°，∠CBD＝60°，AB＝20×1＝20(海里)．则∠BAC＝∠ACB＝30°，故AB＝BC＝20海里．在直角三角形CBD中，∵sin60°＝CD∶CB＝3 2，∴CD＝20×32＝103＞10所以，货轮继续向东航行途中没有触礁的危险．反思小结：(1)在这种航海问题上，首先通过方位角的定位画出平面示意图，用辅助线的方法把实际问题转化成数学问题(解直角三角形)(2)方位角的位置要精确．针对训练：《名师学案》中“当堂练习”部分．四、总结梳理内化目标本节课我们学习了航海方位角的概念，并学会根据航海实际情景来画航行方位图，将航海问题转化成数学问题来解决．五、达标检测反思目标如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？(精确到0.01海里)作业布置教材习题1.6第4题．教学反思________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________第2课时与仰角、俯角有关的实际问题教学目标1．了解仰角、俯角的概念，并弄清它们的意义．2．将实际问题转化成数学问题，并由实际问题画出平面图形，也能由平面图形想象出实际情景，再根据解直角三角形的方法来解决实际问题．教学重点将实际问题转化成数学问题且了解仰角、俯角的概念．教学难点实际情景和平面图形之间的转化．教学过程一、创设情景 明确目标(1)让学生熟练写出直角三角形中的边与角之间的关系：(①三边之间，②角之间，③锐角三角函数)(2)仰角与俯角 ①如图：②定义：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角．二、自主学习 指向目标阅读教材第19页中想一想的内容，完成《名师学案》中“课前预习”部分． 三、合作探究 达成目标探究点 仰角、俯角的实际问题 活动：出示幻灯动画，动画内容如下：小明想测量塔CD 的高度．他在A 处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m 至B 处，测得仰角为60°，那么该塔有多高？(小明的身高忽略不计，结果精确到1m )．(1)你能完成这个任务吗？(2)请与同伴交流你是怎么想的？ (3)准备怎么去做？展示点评：实物图可以建立成两个直角三角形模型，已知在Rt △ACD 中，AC ＝CD·tan 30°，同理BC ＝CD·tan 60°，于是AC －BC ＝AB ，可以得到关于CD 与已知量的关系，即可求出CD 的长．解答如下：解：如图，根据题意可知，∠A ＝30°，∠DBC ＝60°，AB ＝50m.求CD 的长设CD ＝x m ，则∠ADC ＝60°，∠BDC ＝30°，∵tan ∠ADC ＝AC x ，tan ∠BDC ＝BCx ，∴AC ＝xtan60°，BC ＝xtan30°，∴xtan60°－xtan30°＝50.∴x ＝50tan60°－tan30°＝503－33＝253≈43(m )所以，该塔约有43m 高．反思小结：仰角、俯角的问题上的类型题，首先要据题意建立直角三角形模型，充分利用三角函数来解决此类实际问题．针对训练：《名师学案》中的“当堂练习”部分．四、总结梳理 内化目标本节课学习了解决实际问题的重要方法：实际问题数学化，由实际问题画出平面图形，也能由平面图形想象出实际情景，再根据解直角三角形的方法来解决实际问题．并且了解了仰角，俯角的概念．五、达标检测 反思目标两座建筑AB 及CD ，其地面距离AC 为50.4米，从AB 的顶点B 测得CD 的顶部D 的仰角β＝25°，测得其底部C 的俯角α＝50°，求两座建筑物AB 及CD 的高．(精确到0.1米)作业布置教材第21页习题2. 教学反思________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________第3课时 与坡角有关的实际问题教学目标1．加强对坡度、坡角、坡面概念的理解，了解坡度与坡面陡峭程度的关系． 2．能解决堤坝等关于斜坡的实际问题，提高解决实际问题的能力． 教学重点对堤坝等关于斜坡的实际问题的解决． 教学难点对坡度、坡角、坡面概念的理解． 教学过程一、创设情景 明确目标1．修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度．什么叫坡度(坡比)?2．坡度等于什么？用什么表示？ 3．坡度和坡角之间有什么关系？坡面的铅垂高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡面坡度(或坡比)．记作i ，即i ＝hl.坡度通常写成l ∶m 的形式，如i ＝1∶6.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i ＝tan α＝hl 显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡．4．利用解直角三角形的方法解决实际问题时应注意什么？ 二、自主学习 指向目标阅读教材第19页做一做内容，完成《名师学案》“课前预习”部分． 三、合作探究 达成目标探究点 倾斜角有关的实际问题活动：出示幻灯动画，动画内容如下：如图，水库大坝的截面是梯形ABCD ，坝顶AD ＝6m ，坡长CD ＝8m .坡底BC ＝30m ，∠ADC ＝135°.(1)求坡角∠ABC 的大小；(2)如果坝长100m ，那么修建这个大坝共需多少土石料(结果精确到0.01m 3)．展示点评：作AF ⊥BC ，DE ⊥BC 建立直角三角形模型，首先在Rt △DCE 中，EC ＝DE ＝DC·tan 45°，又可以得到四边形AFED 为矩形，即AF ＝DE ，再解Rt △ABF ，其中BF ＝BC －CF ，tan ∠ABC ＝AF BF.解：略反思小结：有关坡度(坡角)或倾斜角的实际问题，首先要通过作垂线把平面几何图形转化一个或者几个直角三角形来解．在解直角三角形中中主要利用公式i ＝tan α＝hl 求题目中未知条件．针对训练：《名师学案》中“当堂练习”部分． 四、总结梳理 内化目标本节课从对坡度、坡角、坡面概念的复习，了解坡度与坡面陡峭程度的关系．学会解决堤坝等关于斜坡的实际问题，提高解决实际问题的能力．五、达标检测 反思目标 1．如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD(图中i ＝1∶3是指坡面的铅直高度DE 与水平宽度CE 的比)，根据图中数据求：(1)坡角α和β；(2)斜坡AB 的长(精确到0.1m )2．如图，燕尾槽的横断面是一个等腰梯形，其中燕尾角∠B ＝55°，外口宽AD ＝180mm ，燕尾槽的深度是70mm ，求它的里口宽BC(结果精确到1mm )．作业布置教材第21页习题3.教学反思________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 第二章二次函数2．1二次函数教学目标1．能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围．2．注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯．教学重点能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围．教学难点根据实际问题，列出二次函数关系式．教学过程一、创设情景明确目标(1)什么叫一次函数？什么叫反比例函数，它们的一般形式各有什么特点？有定义中分别要注意什么？(2)下列关系式中：y＝2x＋1，y＝－x－4，y＝2x，y＝5x2，y＝－4x，y＝ax＋1，其中一次函数有哪些？反比例函数有哪些？二、自主学习指向目标阅读教材第29页至30页内容，完成《名师学案》中的“课前预习”部分．三、合作探究达成目标探究点一二次函数的定义活动：请用适当的函数解析式表示下列问题情境中的两个变量y与x之间的关系：(1)圆的面积y(cm2)与圆的半径x(cm)________．(2)正方形的边长为a，如果边长增加2，新图形的面积S与a之间的函数关系式为________．(3)果园里有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子，现在准备多种一些果树以提高果园产量，但多种果树，那么树之间的距离和每棵树所接受的阳光就会减少，根据经验估计，每多种1棵树，平均每棵树就会少结5个橙子，假设果园增种x 棵果树，那么果园共有_______棵橙子树，这时平均每颗橙子树结_______个橙子，如果用y 表示橙子的总产量，那么y 与x 之间的关系式是：________．展示点评：(1)y ＝πx 2；(2)S ＝(a ＋2)2； (3)y ＝－5x 2＋100x ＋60000思考：上面第(1)(2)(3)题中函数表达式有什么共同点？展示点评：归纳：二次函数定义：一般地，若两个变量x ，y 之间的对应关系可以表示成y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 为常数，a ≠0)的形式，则称y 是x 的二次函数．能否抛开“a ≠0”理解二次函数的概念？为什么？对于b ，c 它们可否等于0?反思小结：判断一个函数是否为二次函数，关键是看它是否符合二次函数的特征，若形式比较复杂，则要先化简，再作出判断．具体地可从如下几点进行：(1)自变量的最高次数是2；(2)二次项系数不为0；(3)右边是整式；(4)判断时首先将右边化成一般式，不要看表面形式．针对训练：(1)教材随堂练习1.(2)《名师学案》中“当堂练习”有关部分． 探究点二 列出实际问题中的二次函数表达式 活动：某小区要修建一块矩形绿地，设矩形的边长为x 米，宽为y 米，面积为S 平方米，(x>y)．(1)如果用18米的建筑材料来修建绿地的边框(即周长)，求S 与x 的函数关系，并求出x 的了取值范围．(2)根据小区的规划要求，所修建的绿地面积必须是18平方米，在满足(1)的条件下，矩形的长和宽各为多少米？展示点评：题目中蕴涵的公式是什么？(S ＝18－2x2·x ＝(9－x)·x ＝－x 2＋9x)第(2)问就是已知S(函数值)，求x(自变量)的问题；即当S ＝18时，求x 的值．反思：根据实际问题列二次函数关系式的一般步骤有哪些？求自变量的值或二次函数值与以前学过的哪些知识相关？反思小结：一般地，列实际问题中的二次函数关系式可以按如下步骤进行：(1)审清题意，找出实际问题中的已知量，并分析它们之间的关系，将文字或图形语言转化成数字符号语言；(2)根据实际问题中存在的等量关系或客观存在的某种数量关系(如学过的公式等)，建立二次函数关系式，并将之整理成一般形式为y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)；(3)联系实际，写出需要标明的自变量的取值范围．已知二次函数值求自变量的值可以化为解一元二次方程，而已知自变量的值求二次函数值实际上就是求代数式的值．针对训练：(1)教材第30页随堂练习2.(2)《名师学案》中“当堂练习”有关部分． 四、总结梳理 内化目标(1)一次函数与二次函数的区别与联系．(2)二次函数的定义？在定义中需注意些什么？二次函数的一般形式是：y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)其中ax 2是二次项，bx 为一次项，c 为常数项．。
新版北师大数学九年级下第一章1.锐角三角函数(一)导学案
思考：梯子的倾斜程度与 tanA 有关系吗? 总结：tanA 的值越 ，梯子越 . 例 1：如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡?
乙组 4、坡度 如图， 有一山坡在水平方向上每前进 100m， 就升高 60 m，那么山坡的坡度(即坡角α 的正切——tanα )就是 60 3 . tanα = 100 5 1、在△ACB 中，∠C = 90° ， （1）若 AC = 4，BC = 3，则 tanA = ；tanB = （2）若 AC = 8，AB = 10，则 tanA = ；tanB = （3）在 Rt△ABC 中，∠C = 90° ，则 tanA· tanB = 2、在 Rt△ABC 中，∠C = 90° ，若 AB = ； . .
3 ，则 AC = ； 4 检 4、在 Rt △ABC 中，∠C = 90° ，AB = 5，AC＝3，那么 tanA = . 5、在 Rt△ABC 中，∠C = 90° ，BC = 3，tanB =3,则 AC＝ . 测 6、在直角△ACB 中，∠C = 90° ，AC = 5，AB= 13，求 tan A 和 tan B .
（1）tanA 是在直角三角形中定义的,目前∠A 是一个锐角（注意数形结合，构造直角三角形）. （2）tanA 是一个完整的符号,表示∠A 的正切,省去“∠”号（注意 tanA 不表示 tan 乘以 A). （3）tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比. （4）tanA 的大小只与∠A 的大小有关,而与直角三角形的边长无关. （5）角相等,则正切值相等；两锐角的正切值相等,则这两个锐角相等.
中学导学案
学科 数学 参备者 学习目标： 重、难点： 学 前 准 备
探索合作： 1、甲组中 EF 和 AB 哪组梯子比较陡，乙图中 AB 和 EF 哪组梯子较陡. 甲组时间：主 Nhomakorabea者 学生姓名
九年级数学下册-北师大版九年级下册数学第一章 直角三角形的边角关系1.4 解直角三角形导学案
在平地上一点C，测得山顶A的仰角为30°，向山沿直线前进20米到D处，再测得山顶A的仰角为45°，求山高AB．此题一方面可引导学生复习仰角、俯角的概念，同时，可引导学生加以分析：
如图6-39，根据题意可得AB⊥BC，得∠ABC=90°，△ABD和△ABC都是直角三角形，且C、D、B在同一直线上，由∠ADB=45°，AB=BD，CD=20米，可得BC=20+AB，在Rt△ABC中，∠C=30°，可得AB与BC之间的关系，因此山高AB可求．学生在分析此题时遇到的困难是：在Rt△ABC中和Rt△ABD中，都找不出一条已知边，而题目中的已知条件CD=20米又不会用．学习时，在这里教师应着重引
1.4解直角三角形
课题
解直角三角形
学习目标
1、使学生综合运用有关直角三角形知识解决实际问题．
2、培养学生分析问题、解决问题的能力，渗透数形结合的数学思想方法．
学习重点
归纳直角三角形的边、角之间的关系，利用这些关系式解直角三角形，并利用解直角三角形的有关知识解决实际问题．
学习难点
利用解直角三角形的有关知识解决实际问题．
首先请学生分析：过B、C作梯形ABCD的高，将梯形分割成两个直角三角形和一个矩形来解．
教师可请一名同学上黑板板书，其他学生笔答此题．教师在巡视中为个别学生解开疑点，查漏补缺．
解：作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E、F，则BE=23m．
在Rt△ABE中，
∴AB=2BE=46(m)．
∴FD=CF=23(m)．
②，通过①，②两式，可得AB长．
解：根据题意，得AB⊥BC，∴∠ABC=Rt△．
∵∠ADB=45°，∴AB=BD，
∴BC=CD+BD=20+AB．
北师大版数学九年级下册教案 最新(全)
第一章直角三角形的边角关系第1课时§1.1.1锐角三角函数教学目标1、经历探索直角三角形中边角关系的过程2、理解锐角三角函数（正切、正弦、余弦）的意义，并能够举例说明3、能够运用三角函数表示直角三角形中两边的比4、能够根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算➢➢1、题。
这时通常1）（2）3）正弦、余弦的概念奠定基础。
2、想一想（比值不变）☆想一想书本P2想一想通过对前面的问题的讨论，学生已经知道可以用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度。
当倾斜角确定时，其对边与邻边的比值随之确定。
这一比值只与倾斜角的大小有关，而与直角三角形的大小无关。
3、 正切函数（1） 明确各边的名称（2） 明确要求：1）必须是直角三角形；2）是∠A 的对边与∠A 的邻边的比值。
a 、 1） 2） 若3） 若b 、 （34、 例1 例2 ➢ 5➢ 小结➢ 作业书本教学目标5、 6、 理解锐角三角函数（正切、正弦、余弦）的意义，并能够举例说明 7、 能够运用三角函数表示直角三角形中两边的比8、 能够根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算 教学重点和难点重点：理解正弦、余弦函数的定义 难点：理解正弦、余弦函数的定义 教学过程设计➢ 从学生原有的认知结构提出问题上一节课，我们研究了正切函数，这节课，我们继续研究其它的两个函数。
✧ 复习正切函数ABC∠A 的对边∠A 的邻边斜边B➢师生共同研究形成概念6、引入书本P7顶7、正弦、余弦函数c、1）2）若3）若d、8、9、sinA10、例3例4➢11、A➢小结➢作业书本教学目标9、10、11、能够根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应的锐角的大小教学重点和难点重点：进行含有30°、45°、60°角的三角函数值的计算难点：记住30°、45°、60°角的三角函数值教学过程设计➢从学生原有的认知结构提出问题上两节课，我们研究了正切、正弦、余弦函数，这节课，我们继续研究特殊角的三角函数值。
最新九年级数学北师版 第1章 学案
科目数学课题矩形的判定学习1．理解并掌握矩形的判定定理，能有理有据的推理证明，精练准确地书写表达。
目 2. 能熟练应用矩形的性质、判定等知识进行有关证明和计算.标重点掌握并会运用矩形的判定难点运用矩形的判定进行简单的推理与计算。
学法指导及使用说明：用15分钟的时间，结合课本完成一、二部分，用25分钟完成三、四部分。
一、旧知回顾备注（教师复备1、想一想：矩形有哪些性质？在这些性质中那些是平行四边形所没栏及学生笔记）有的？列表进行比较.平行四边形矩形边对边平行且相等对边平行且相等角对角相等，邻角互补四个角都是直角对角线对角线互相平分对角线相等且互相平分2、矩形对称性：二、合作探究仿照平行四边形的判定猜想，你能猜出矩形的判定有哪些吗？（分别从边、角、对角线几个方面考虑。
）1、定义可以作为判定2、四个角都是直角的四边形3、对角线相等的平行四边形或对角线互相平分且相等的四边形。
你能证明所写出的判定命题吗？三、应用备注（教师复备例1. 如图，□ABCD的对角线AC、BD交于点O，△AOB是正三角形，栏及学生笔记）AB=4cm.(1) 求证□ABCD是矩形.A D(2) 求□ABCD的面积. OBC2．已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，CD为中线，延长CD到点E，使得DE＝CD．连结AE，BE，则四边形ACBE为矩形吗？说明理由。
答案：四边形ACBE是矩形.因为CD是Rt△ACB斜边上的中线，所以DA=DC=DB,又因为DE=CD，所以DA=DC=DB=DE,所以四边形ABCD是矩形（对角线相等且互相平分的四边形是矩形）。
四、课堂检测：1．下列说法正确的是（）A.有一组对角是直角的四边形一定是矩形B.有一组邻角是直角的四边形一定是矩形C.对角线互相平分的四边形是矩形D.对角互补的平行四边形是矩形2. 矩形各角平分线围成的四边形是（）A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形3. 下列判定矩形的说法是否正确（1）有一个角是直角的四边形是矩形（）（2）四个角都是直角的四边形是矩形（）（3）四个角都相等的四边形是矩形（）（4）对角线相等的四边形是矩形（）（5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形（）（6）对角线相等且互相平分的四边形是矩形（）4. （2011江苏淮安）在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC.请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形.你添加的条件是.(写出一种即可)五、我的收获：六、课后作业：科目数学课题矩形及其性质学习目标1．知道矩形的概念与有关性质，会用这些知识进行简单的推理与计算。
数学初三下北师大版：第一章导学案+练习
数学初三下北师大版：第一章导学案＋练习【学习目标】1、理解锐角的正切值的意义及梯子的倾斜程度与正切值之间的关系；2、能够依照直角三角形的边角关系进行计算。
【学习过程】【一】旧知回忆：1、勾股定理：______________________________________________________________； 应用勾股定理的前提是_________________________；如图，△ABC 中，∠C=90°，那么_________________。
分别用小写字母a 、b 、c 标注各边，那么可得_____________2、相似三角形的对应边_______________【二】自主探究及巩固：【探究1】1、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，________是斜边，∠A 的对边是________，AC 是∠A 的_________。
2、如图，BC 、DE 、FG 、HI 都与AC 垂直，容易证明△ABC_____△ADE ；从而可得：DE BC =______，因此AE DE AC BC ____，进而可得：AEDE AC BC ==____=_____=…。
如此，能够归纳得到：在直角三角形中，当∠A 大小确定时，∠A 的_____边与_____边的比值不变，那个比值叫做∠A 的正切，记作_________。
即tanA=______。
【自我巩固】1、如图4，在Rt △ABC 中，∠C=90°，假如BC=5，AB=13，那么tanA=_______，tanB=________。
2、图4中，假如把AB 看做梯子，那么tanA 的值_________，梯子就越陡。
3、如图5，梯子AB 与EF 更陡的是________。
你判断的理由是：【探究2】坡度1、定义：坡面的_____________与______________的比称为坡度(或坡比)，用“i ”表示。
北师大版九年级数学下册：第一章 1.1.1锐角三角函数 精品导学案(附答案)
九年级数学（下）第一章1.1.1 锐角三角函数导学案 班级：_____________姓名：_____________家长签字：_____________一、 学习目标1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.2.能够用tanA 表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算.二、温故知新1．在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C 所对的边分别为a 、b 、c.（1）边的关系：.（2）角的关系：.（3）边角关系？三、自主探究：阅读课本p1—4一．生活中的数学问题:梯子是我们日常生活中常见的物体.（1）在下图中，体重AB 和EF 哪个更陡？你是怎么判断的？ c ba 斜边∠A 的邻边∠A 的对边BA C想一想如图1-3，小明想通过测量B1C1及AC1，计算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为通过测量B2C2及AC2，计算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度.你同意小亮的看法吗？（1）直角三角形A B1C1和直角三角形A B2C2有什么关系？（2）B1C1AC1和B2C2AC2有什么关系？（3）如果改变B2在梯子上的位置呢？由此你能得出什么结论？如图1-4，在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A正切，记作tanA,即tanA=∠A的对边∠A的邻边总结：1.锐角的正切与锐角所在的三角形大小有关系吗？2.在图1-3中，梯子的倾斜程度与tanA有什么关系？ .3.什么是坡度？ .4.什么是坡角？ .5.坡度和坡角之间的关系是 .例1．下图表示两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡?解：甲梯中，tanα= ；乙梯中，tanβ=，∵αtanβtan，∴梯更陡．例2．在△ABC中，∠C=90°，BC=12cm，AB=20cm，求tanA和tanB的值.总结：在△ABC中，∠C=90°，则tanA和tanB的关系是。
北师大版(初三)九年级第一章 证明(二)导学案 1.4.1
第1页 共4页九年级数学导学案课题 §1.4.1角平分线（1）学案课型新授课 课时教师教学目标 1、通过学习角平分线定理及逆定理的过程，掌握该定理及逆定理，并运用之进行证明、计算、作图，以及掌握该定理在三角形中的应用；2、通过探索与证明，进一步发展推理意识及能力；3、证明是严密推理的方法，并培养自身的逆向思维能力。
重点 掌握该定理及逆定理，并运用之进行证明、计算、作图，以及掌握该定理在三角形中的应用 难点 掌握该定理及逆定理，并运用之进行证明、计算、作图，以及掌握该定理在三角形中的应用 教法 合作探究学法合作交流时间2010年9月 日一、前置准备角平分线的定义：_______________________ ___ ___ 。
学习困惑记录 二、讲授新课问题1：还记得角平分线上的点有什么性质吗？你是怎样得到的？你能证明它吗？已知：OC 是∠AOB 的平分线，点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E 。
求证：PD=PE定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
已知：如图，点P 在射线OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，且PD=PE 。
学习困惑记录ODAP EBC ODAPEC求证：OC是∠AOB的角平分线定理：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
三、合作交流：（做一做）用尺规作已知角的平分线已知：∠AOB求作：射线OC，使∠AOC=∠BOC。
四、例题解析：如图，已知AD为△ABC的角平分线，∠B=90°，DF ⊥AC，垂足为F，DE=DC，求证：BE=CF[分析]要证BE=CF，只需证△ADE≌△FDC第2页共4页第3页 共4页三、应用深化 、当堂训练：1、如图在△ABC 中AQ=PQ ，PR=PS ，PR ⊥AB 于R ，PS ⊥AC 于S ，则三个结论：①AS=AR ，②QP ∥AR ，③△BRP ≌△QSP 中（ ） A 全部正确 B ：仅①和②正确 C ：仅①正确 D ：仅①和③正确。
北师大版九年级数学第一章三角函数全章导学案
3
35
A4
C
(1)
C
A
(2)
4．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则 sin α的值是﹙ ﹚
3
A． 4
4
B
．3
3
C ．5
4
D
．5
5．如图，在直角△ ABC中，∠ C＝ 90o，若 AB＝ 5， AC＝4，则
A
sinA ＝（ ）
2
6．在△ ABC中，∠C=90°，BC=2，sinA= 3，则边 AC的长是 ( )
斜边
c
把∠ A 的对边与邻边的比叫做∠ A 的正切，记作 tanA ，即 tanA= A的对边 = a ． A的邻边 b
例如，当∠ A=30°时，我们有 cosA=cos30°=
；
当∠ A=45°时，我们有 tanA=tan45 °=
．
锐角 A 的正弦、余弦、正切都叫做∠ A 的锐角三角函数．
对于锐角 A 的每一个确定的值， sinA 有唯一确定的值与它对应， 所以 sinA
B
2．难点：理解正弦的意义，并用它来表示两边的 比。
一、预习案
A
C
B
1、如图在 Rt△ABC 中，∠ C=90°，∠ A=30 °，
BC=10m， ?求 AB
A
C
2、如图在 Rt△ABC 中，∠ C=90°，∠ A=30 °，
AB=20m， ?求 BC
3、归纳直角三角形中存在的边角关系：
二、探究案
1.为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，
AB A ' B '
结论：这就是说，在直角三角形中，当锐角 形的大小如何， ?∠A 的对边与斜边的比
最新北师大版九年级数学下册教案全册
最新北师大版九年级数学下册教案全册第一章直角三角形的边角关系§1.1 从梯子的倾斜程度谈起（第一课时）学习目标:1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.2.能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算.学习重点:1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系.2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系.学习难点:理解正切的意义，并用它来表示两边的比.学习方法:引导—探索法.学习过程:一、生活中的数学问题:1、你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？2、生活问题数学化：⑴如图：梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？⑵以下三组中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？二、直角三角形的边与角的关系（如图，回答下列问题）⑴Rt △AB 1C 1和Rt △AB 2C 2有什么关系?⑵222111B AC C B AC C 和有什么关系？⑶如果改变B 2在梯子上的位置(如B 3C 3)呢? ⑷由此你得出什么结论?三、例题：例1、如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡?例2、在△ABC 中，∠C=90°，BC=12cm ，AB=20cm ，求tanA 和tanB 的值.四、随堂练习：1、如图，△ABC 是等腰直角三角形，你能根据图中所给数据求出tanC 吗?2、如图，某人从山脚下的点A 走了200m 后到达山顶的点B ，已知点B 到山脚的垂直距离为55m ，求山的坡度.(结果精确到0.001)3、若某人沿坡度i＝3：4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置升高________米.4、菱形的两条对角线分别是16和12.较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为θ，则tanθ＝______.5、如图，Rt△ABC是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB的长为12 m，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡AD，求DB的长.(结果保留根号)五、课后练习：1、在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=3,BC=1,则tanA= _______.2、在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,则tanA=_______.3、在△ABC中,AB=AC=3,BC=4,则tanC=______.4、在Rt△ABC中,∠Ｃ是直角,∠A、∠B、∠Ｃ的对边分别是a、b、c,且a=24,c= 25,求tanA、tanB的值.5、若三角形三边的比是25:24:7,求最小角的正切值.6、如图,在菱形ABCD 中,AE ⊥BC 于E,EC=1,tanB=125, 求菱形的边长和四边形AECD 的周长.7、已知:如图,斜坡AB 的倾斜角a,且tan α=34,现有一小球从坡底A 处以20cm/s 的速度向坡顶B 处移动,则小球以多大的速度向上升高?8、探究:⑴、a 克糖水中有b 克糖(a>b>0),则糖的质量与糖水质量的比为_______; 若再添加c 克糖(c>0),则糖的质量与糖水的质量的比为________.生活常识告诉我们: 添加的糖完全溶解后,糖水会更甜,请根据所列式子及这个生活常识提炼出一个不等式: ____________.⑵、我们知道山坡的坡角越大,则坡越陡,联想到课本中的结论:tanA 的值越大, 则坡越陡,我们会得到一个锐角逐渐变大时,它的正切值随着这个角的变化而变化的规律,请你写出这个规律:_____________.⑶、如图,在Rt △ABC 中,∠B=90°,AB=a,BC=b(a>b),延长BA 、BC,使AE=CD=c, 直线CA 、DE 交于点F,请运用(2) 中得到的规律并根据以上提供的几何模型证明你提炼出的不等式.§1.1从梯子的倾斜程度谈起（第二课时）学习目标： 1.经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正弦和余弦的意义.2.能够运用sinA 、cosA 表示直角三角形两边的比.3.能根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算.4.理解锐角三角函数的意义.学习重点：1.理解锐角三角函数正弦、余弦的意义，并能举例说明.2.能用sinA 、cosA 表示直角三角形两边的比.E DBACBACBD ACEF3.能根据直角三角形的边角关系，进行简单的计算.学习难点：用函数的观点理解正弦、余弦和正切.学习方法：探索——交流法. 学习过程：一、正弦、余弦及三角函数的定义想一想：如图(1)直角三角形AB 1C 1和直角三角形AB2C 2有什么关系? (2) 211122BA C A BA C A 和有什么关系? 2112BA BC BA BC 和呢? (3)如果改变A 2在梯子A 1B 上的位置呢?你由此可得出什么结论?(4)如果改变梯子A1B 的倾斜角的大小呢?你由此又可得出什么结论?请讨论后回答.二、由图讨论梯子的倾斜程度与sinA 和cosA 的关系：三、例题：例1、如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，AC ＝200.sinA ＝0.6，求BC 的长.例2、做一做：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA ＝1312，AC ＝10，AB 等于多少?sinB 呢?cosB 、sinA 呢?你还能得出类似例1的结论吗?请用一般式表达.四、随堂练习：1、在等腰三角形ABC 中，AB=AC ＝5，BC=6，求sinB ，cosB ，tanB.BAC2、在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝54，BC=20，求△ABC 的周长和面积.3、在△ABC 中.∠C=90°，若tanA=21，则sinA= .4、已知：如图，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，求证：BC 2＝AB ・BD.(用正弦、余弦函数的定义证明)五、课后练习：1、在Rt △ABC 中,∠C=90°,tanA=34,则sinB=_______,tanB=______.2、在Rt △ABC 中,∠C=90°,AB=41,sinA=941,则AC=______,BC=_______.3、在△ABC 中,AB=AC=10,sinC=45,则BC=_____.4、在△ABC 中,已知AC=3,BC=4,AB=5,那么下列结论正确的是( )A.sinA=34B.cosA=35C.tanA=34D.cosB=355、如图,在△ABC 中,∠C=90°,sinA=35,则BC AC等于( )A.34B.43C.35D.456、Rt △ＡBC 中,∠C=90°,已知cosA=35,那么tanA 等于( ) A.43B.34C.45D.547、在△ABC 中，∠C=90°,BC=5,AB=13,则sinA 的值是DB ACA ．135 B ．1312 C ．125 D ．5128、已知甲、乙两坡的坡角分别为α、β, 若甲坡比乙坡更徒些, 则下列结论正确的是( )A.tan α<tan βB.sinα<sin β; C.cosα<cos β D.cosα>cos β9、如图,在Rt △ABC 中,CD 是斜边AB 上的高,则下列线段的比中不等于sinA的是( ) A.CD ACB.DB CBC.CB ABD.CD CB10、某人沿倾斜角为β的斜坡前进100m,则他上升的最大高度是( )mA.100sinB.100sinβ C.100cosD. 100cos β11、如图,分别求∠α,∠β的正弦,余弦,和正切.12、在△ABC 中,AB=5,BC=13,AD 是BC 边上的高,AD=4.求:CD,sinC.13、在Rt △ABC 中,∠BCA=90°,CD 是中线,BC=8,CD=5.求sin ∠ACD,cos ∠ACD 和tan ∠ACD.14、在Rt △ABC 中,∠C=90°,sinA 和cosB 有什么关系?15、如图,已知四边形ABCD 中,BC=CD=DB,∠ADB=90°,cos ∠ABD=45.求：s △ABD ：s △BCD§1.2 30°、45°、60°角的三角函数值学习目标： 1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义. 2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算.3.能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小.学习重点：1.探索30°、45°、60°角的三角函数值.2.能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.3.比较锐角三角函数值的大小.学习难点：进一步体会三角函数的意义. 学习方法：自主探索法学习过程：一、问题引入[问题]为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含30°和60°两个锐角的三角尺；②皮尺.请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度.BDAC二、新课[问题] 1、观察一副三角尺，其中有几个锐角?它们分别等于多少度?[问题] 2、sin30°等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流.[问题] 3、cos30°等于多少?tan30°呢? [问题] 4、我们求出了30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角——45°、60°，它们的三角函数值分别是多少?你是如何得到的?结论：三角函数角度sin αco αtan α30°45°60°[例1]计算：(1)sin30°+cos45°； (2)sin260°+cos 260°-tan45°.[例2]一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为 2.5 m ，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到0.01 m)三、随堂练习1.计算：(1)sin60°-tan45°； (2)cos60°+tan60°；(3)22sin45°+sin60°-2cos45°；⑷13230sin 1；⑸(2+1)-1+2sin30°-8；⑹(1+2)0-｜1-sin30°｜1+(21)-1；⑺sin60°+60tan 11；⑻2-3-(0032+π)0-cos60°-211.2.某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°.高为7 m ，扶梯的长度是多少?3．如图为住宅区内的两幢楼，它们的高AB ＝CD=30 m ，两楼问的距离AC=24 m ，现需了解甲楼对乙楼的采光影响情况.当太阳光与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高?(精确到0.1 m ，2≈1.41，3≈1.73)四、课后练习：1、Rt △ABC 中，8,60c A ，则__________,b a ；2、在△ABC 中，若2,32b c ,，则____tan B，面积S ＝；3、在△ABC 中，AC ：BC ＝1：3，AB＝6，∠B ＝，AC ＝BC ＝4、等腰三角形底边与底边上的高的比是3:2，则顶角为（）（A ）60（B ）90（C ）1200（D ）1505、有一个角是30的直角三角形，斜边为cm 1，则斜边上的高为（）（A ）cm 41（B ）cm21（C ）cm43（D ）cm236、在ABC 中，90C ，若A B 2，则tanA 等于（）．（A ）3（B ）33（C ）23（D ）217、如果∠a 是等边三角形的一个内角，那么cos a 的值等于（）．（A ）21（B ）22（C ）23（D ）18、某市在“旧城改造”中计划内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a 元，则购买这种草皮至少要（）．（A ）450a 元（B ）225a 元（C ）150a 元（D ）300a 元9、计算：⑴、60cos 60sin 22⑵、30cos 30sin 260sin ⑶、45cos 30sin 2⑷、3245cos 2⑸、45cos 360sin 2⑹、130sin 560cos 30⑺、30sin 22・60cos 30tan tan60°⑻、30tan 45sin 2215020米30米10、请设计一种方案计算tan15°的值。
北师大版九年级数学下册导学案(全册)
2、如图，某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B，已知点B到山脚的垂直距离为55m，求山的坡度.(结果精确到0.001)
3、若某人沿坡度i＝3：4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置升高________米.
4、菱形的两条对角线分别是16和12.较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为θ，则tanθ＝______.
[问题] 3、cos30°等于多少?tan30°呢?
[问题] 4、我们求出了30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角——45°、60°，它们的三角函数值分别是多少?你是如何得到的?
结论：
三anα
30°
45°
60°
[例1]计算：
(1)sin30°+cos45°； (2)sin260°+cos260°-tan45°.
学习难点:
理解正切的意义，并用它来表示两边的比.
学习方法:
引导—探索法.
学习过程:
一、生活中的数学问题:
1、你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？
2、生活问题数学化：
⑴如图：梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
⑵以下三组中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
二、直角三角形的边与角的关系（如图，回答下列问题）
3、在△ABC中,AB=AC=10,sinC= ,则BC=_____.
4、在△ABC中,已知AC=3,BC=4,AB=5,那么下列结论正确的是( )
A.sinA= B.cosA= C.tanA= D.cosB=
5、如图,在△ABC中,∠C=90°,sinA= ,则 等于( )
A. B. C. D.
北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系 导学案
第一章 直角三角形的边角关系［知识目标］1、理解锐角三角形函数的定义.2、熟记特殊锐角的三角函数值，并用于计算.3、能运用三角函数知识求解直角三角形与直角三角形有关的实际问题. ［情感目标］1、通过复习再次认识锐角三角形函数及其在现实生活中的应用，培养学生分析问题和解决问题的能力.2、体会数形之间的联系，培养利用数形结合的思想进行分析问题和解决问题的能力.3、使学生进一步认识数学知识源于生活，又服务于生活，从而加强学生学习数学的意识，提高学习兴趣.［重 点］ 1、理解锐角三角形函数的定义.2、熟记特殊锐角的三角函数值，并用于计算.3、能运用三角函数知识求解直角三角形与直角三角形有关的实际问题. ［难 点］运用三角函数解决与直角三角形有关的实际问题.［教学过程］一、知识回顾1、锐角三角函数.1）锐角三角函数的定义.2）刻画梯子的倾斜程度的量――锐角三角函数.3）坡度与坡角.2、特殊锐角的三角函数.3、三角函数的计算.1）由角度求出三角函数值.2）由三角函数值求角度.4、解直角三角形.5、三角函数的应用.二、巩固练习与中考链接1、如图①，则αsin ＝＿＿＿，αcos ＝＿＿＿，αtan ＝＿＿＿＿＿.2、计算：1） 45cos 45sin 45tan 30cos 60sin ⨯⨯++2）22245sin 60cos +3、填空：1） 30sin ＝＿＿＿＿＿＿， 16cos ＝＿＿＿， 50tan ＝＿＿＿.2）若21sin =α，则∠α＝＿＿＿＿，若θtan ＝56.78，则∠θ＝＿＿＿. 4、如图②，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB=52，AC ＝15，求△ABC 的其它元素.5、(2010·广东)如图，在Rt △ABC 中，斜边BC 上的高AD=4，54cos =B ，则AC=______.(4分)6、(2011·广东)计算：20245sin 18)12011(-+- .(6分)7、（2012·广东）如图，小山岗的斜坡AC 的坡度是43tan =α， 在与山脚C 距离200米的D 处，测得山顶A 的仰角为26.6°，求小山岗的高AB.（结果取整数；参考数据45.06.26sin = ，89.06.26cos = ，50.06.26tan = ）.(7分)8、（2013·广东）在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，则A sin ＝＿＿.（4分）9、（2014·广东）如图，某兴趣小组想测量一棵树CD 的高度，他们先在点A 处测得树顶C 的仰角30°，然后沿AD 方向前行10m ，到达点B ，在B 处测得树顶C 的仰角高度为60°(A 、B 、D 三点在同一直线上)请你根据他们测量数据计算这棵树CD 的高度(结果精确到0.1m ) (参考数据：414.12≈，732.13=).(7分)三、课堂小结本节课复习了直角三角形中的锐角三角函数，并利用它来解决实际问题，我们要熟记特殊角有三角函数数值为计算带来方便. 在中考中本章内容考试形式多种，有填空，选择、解答题的形式.四、课后作业1、完成白色试卷(第一单元).2、复习第二单元知识点.。
北师大版下册九年级数学第1章导学案全集
北师大版下册九年级数学第1章导学案全集————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期：1.1锐角三角函数第1课时正切与坡度学习目标:1.经历探索直角三角形中边角关系的过程．理解正切的意义和与现实生活的联系．2.能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等,外能够用正切进行简单的计算.学习重点：1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系.2．理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义,密切数学与生活的联系．学习难点:理解正切的意义,并用它来表示两边的比.学习方法：引导—探索法.学习过程:一、生活中的数学问题:1、你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法?2、生活问题数学化:⑴如图:梯子ＡB和EF哪个更陡？你是怎样判断的?⑵以下三组中，梯子AＢ和EF哪个更陡？你是怎样判断的?二、直角三角形的边与角的关系(如图,回答下列问题) ⑴Rt △AB 1C 1和Rt△ＡB 2C 2有什么关系? ⑵222111B AC CB AC C 和有什么关系? ⑶如果改变B 2在梯子上的位置(如B 3Ｃ3)呢？ ⑷由此你得出什么结论？ 三、例题：例1、如图是甲，乙两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡?例2、在△ABC 中,∠C ＝9０°，B Ｃ=12cm,ＡＢ＝2０cm ，求ｔanA 和ｔanB 的值.四、随堂练习:1、如图，△A ＢC 是等腰直角三角形,你能根据图中所给数据求出tanC 吗?2、如图,某人从山脚下的点A 走了20０m 后到达山顶的点B,已知点B 到山脚的垂直距离为55m,求山的坡度.(结果精确到0.0０１)3、若某人沿坡度i=3：4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置升高________米.4、菱形的两条对角线分别是16和12.较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为θ,则ｔanθ=___＿__.5、如图，Rt△AＢC是一防洪堤背水坡的横截面图,斜坡AB的长为１2 ｍ，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力,现将背水坡改造成坡比为1:1．5的斜坡AＤ，求ＤB的长.(结果保留根号）五、课后练习:１、在Rt△ABC中,∠Ｃ=９０°，AＢ=3，BC=1,则tanA= _＿＿__＿_．2、在△ABC中，AB＝１0，AC=８,BC=６,则ｔanA=___＿___.3、在△ABC中,ＡB=ＡC=3，BC=4，则tanＣ＝＿__＿＿_.4、在Rt△ABC中，∠Ｃ是直角，∠A、∠Ｂ、∠C的对边分别是a、ｂ、c,且a=24,c= ２5,求tanA、taｎB的值.5、若三角形三边的比是25：2４：７,求最小角的正切值．6、如图,在菱形ＡBC Ｄ中,ＡE⊥BC 于E,ＥC ＝1,ｔａnB=125, 求菱形的边长和四边形AE ＣD 的周长.７、已知:如图,斜坡AB 的倾斜角a,且ｔan α＝34，现有一小球从坡底Ａ处以２0cm/s 的速度向坡顶Ｂ处移动,则小球以多大的速度向上升高? 8、探究:⑴、ａ克糖水中有b 克糖(a>b>0),则糖的质量与糖水质量的比为＿＿__＿__; 若再添加c 克糖（c>0)，则糖的质量与糖水的质量的比为_＿__＿_＿_.生活常识告诉我们: 添加的糖完全溶解后,糖水会更甜,请根据所列式子及这个生活常识提炼出一个不等式: ____＿＿___＿__.⑵、我们知道山坡的坡角越大，则坡越陡,联想到课本中的结论:tanA 的值越大, 则坡越陡,我们会得到一个锐角逐渐变大时，它的正切值随着这个角的变化而变化的规律，请你写出这个规律:______＿＿__＿__.⑶、如图,在Rt△ABC 中,∠B=90°，ＡＢ=a,BC ＝b （a>ｂ),延长BA 、BC,使AE ＝C Ｄ=c ， 直线CA 、ＤE 交于点F,请运用(2) 中得到的规律并根据以上提供的几何模型证明你提炼出的不等式.E DB ACBAC1.１ 锐角三角函数 第2课时 正弦与余弦学习目标:１.经历探索直角三角形中边角关系的过程,理解正弦和余弦的意义． 2．能够运用ｓinA 、cos Ａ表示直角三角形两边的比. 3．能根据直角三角形中的边角关系,进行简单的计算. 4.理解锐角三角函数的意义. 学习重点：1.理解锐角三角函数正弦、余弦的意义，并能举例说明. ２．能用ｓinA 、cos Ａ表示直角三角形两边的比． 3.能根据直角三角形的边角关系，进行简单的计算. 学习难点：用函数的观点理解正弦、余弦和正切． 学习方法:探索——交流法. 学习过程:一、正弦、余弦及三角函数的定义 想一想：如图(1）直角三角形AB 1Ｃ１和直角三角形AB 2C ２有什么关系?(２) 211122BA C A BA C A 和有什么关系? 2112BA BC BA BC 和呢? (3)如果改变A 2在梯子A 1B 上的位置呢?你由此可得出什么结论? （4)如果改变梯子A1B 的倾斜角的大小呢?你由此又可得出什么结论? 请讨论后回答.二、由图讨论梯子的倾斜程度与sinA 和cos Ａ的关系:三、例题：例1、如图,在Rt △ＡBC 中,∠Ｂ=90°，AC=２00.s ｉnA ＝０．6,求B Ｃ的长.例2、做一做：如图,在Rt △A ＢC 中,∠C=90°,co ｓA=1312,ＡC ＝10，A Ｂ等于多少？sinB 呢?ｃｏsB 、sinA 呢?你还能得出类似例１的结论吗？请用一般式表达.四、随堂练习:1、在等腰三角形AB Ｃ中,AB=A Ｃ＝5，BC=６,求sin Ｂ，c ｏsB ，tanB.2、在△ＡBC 中,∠C ＝90°，sin Ａ＝54,BC=２0,求△ＡBC 的周长和面积.3、在△ABC 中.∠C=９0°，若ｔan Ａ=21,则s ｉnA ＝ .4、已知:如图,CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，求证:ＢC 2=AB ·BD ．(用正弦、余弦函数的定义证明）五、课后练习：DB ACBAC1、在Rt△ABC 中,∠ C=90°，ta ｎA=34,则si ｎＢ＝_______,t ａn Ｂ=＿_＿_＿_． 2、在Ｒt△ＡBC 中,∠C=90°,AB＝４1,s ｉｎA=941,则ＡC=______,BC=__＿＿＿_＿. 3、在△ＡBC 中，ＡB=ＡC=10,sinC=45,则BC=_____. 4、在△AＢC 中,已知AC=３，BC ＝4,ＡB=5,那么下列结论正确的是( ) Ａ.sin Ａ=34 B.cos Ａ=35 C.ta ｎA=34D ．ｃosB=35５、如图,在△ABＣ中,∠C=90°,sinＡ=35,则BC AC等于（ ) A.34 B ．43 C.35 D.456、R ｔ△AＢC 中,∠Ｃ=9０°,已知ｃo ｓA=35，那么ｔanA 等于( ) A ．43 B.34 C ．45 D ．547、在△ABC 中,∠C=９0°,BC=5,ＡB ＝13,则s ｉnA 的值是Ａ．135 B ．1312 C.125 Ｄ.512 8、已知甲、乙两坡的坡角分别为α、β, 若甲坡比乙坡更徒些， 则下列结论正确的是( ) A.tan α<tan β B ．ｓｉｎα<sin β; Ｃ.c ｏs α<c ｏs β D.cos α>co ｓβ９、如图，在Rt△ABC 中,CD 是斜边AB 上的高,则下列线段的比中不等于ｓin Ａ的是( ) A.CD AC B.DB CB C.CB AB D.CDCB10、某人沿倾斜角为β的斜坡前进１０0m,则他上升的最大高度是（ )mA.100sin βＢ.100s ｉｎβ Ｃ.100cos β D. １０0cos β11、如图,分别求∠α,∠β的正弦,余弦,和正切.12、在△AＢＣ中，AＢ＝5,BC=1３,AD是ＢC边上的高,AD=4.求:CD,ｓinC．13、在Rt△ABC中,∠BCA=90°,CＤ是中线，BC=8,ＣD=５.求siｎ∠AＣD，cｏs∠ACＤ和tan∠ACD.１4、在Ｒｔ△ＡＢC中,∠C=9０°，sinＡ和cosB有什么关系？１5、如图,已知四边形ＡBCD中,BC=ＣD＝DB,∠AＤB=9０°,cｏs∠AＢD=45.求：s△ABD:ｓ△ＢCDﻬ１.2 ３０°，4５°，60°角的三角函数值学习目标：1.经历探索30°、45°、6０°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义．2.能够进行３0°、4５°、60°角的三角函数值的计算．3.能够根据30°、４5°、６0°的三角函数值说明相应的锐角的大小.学习重点：1.探索３０°、4５°、６0°角的三角函数值.B DAC2.能够进行含30°、45°、６０°角的三角函数值的计算.3.比较锐角三角函数值的大小.学习难点：进一步体会三角函数的意义.学习方法:自主探索法学习过程:一、问题引入[问题］为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含30°和60°两个锐角的三角尺;②皮尺.请你设计一个测量方案,能测出一棵大树的高度.二、新课[问题] 1、观察一副三角尺，其中有几个锐角?它们分别等于多少度?[问题] ２、sin30°等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流.[问题] 3、cos30°等于多少？taｎ３０°呢?[问题］ 4、我们求出了30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角——45°、6０°，它们的三角函数值分别是多少?你是如何得到的?结论：三角函数角度sinαcoαtａnα30°4５°６0°［例1］计算:（1)sｉｎ30°＋ｃos45°; (2)siｎ2６０°+cｏs２6０°－tan45°.[例２]一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为２.５ m，当秋千向两边摆动时,摆角恰好为６0°,且两边的摆动角度相同,求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.（结果精确到0.０1 m)三、随堂练习 １.计算:(1）sin6０°-tan45°； (2)ｃos60°+tan6０°； (3） 22si ｎ45°+ｓｉｎ60°－２ｃos45°; ⑷13230sin 1+-︒；⑸(2＋1)-１+2sin30°-8； ⑹(１＋2)0-｜1－ｓi ｎ30°｜１+(21)－１；⑺si ｎ６0°＋︒-60tan 11； ⑻2-3-（0032＋π)0－c ｏs6０°－211-.2.某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°．高为７ m,扶梯的长度是多少?３．如图为住宅区内的两幢楼，它们的高ＡB ＝CD ＝３0 m,两楼问的距离AC=24 m ，现需了解甲楼对乙楼的采光影响情况.当太阳光与水平线的夹角为3０°时,求甲楼的影子在乙楼上有多高?(精确到０.1 ｍ，2≈１.４1，3≈１.73)四、课后练习:１、Rt △ABC 中，8,60=︒=∠c A ,则__________,==b a ；2、在△AB Ｃ中,若2,32==b c ，,则____tan =B ,面积S= ;3、在△A ＢC 中,A Ｃ:BC=1:3，ＡＢ＝6，∠B= ，ＡC ＝ BC ＝4、等腰三角形底边与底边上的高的比是3:2,则顶角为 ( ） (Ａ)60０（Ｂ）9０0(Ｃ）12０0（Ｄ）15０5、有一个角是︒30的直角三角形,斜边为cm 1，则斜边上的高为 ( ) （Ａ）cm 41 （B)cm 21(Ｃ）cm 43 (Ｄ）cm 23 6、在ABC ∆中,︒=∠90C ，若A B ∠=∠2,则ta ｎA 等于（ ）. （Ａ)3 （B )33 （Ｃ)23 （D ）217、如果∠a 是等边三角形的一个内角，那么cos a 的值等于（ ).ﻩ（A )21 (B )22（C ）23 （D ）18、某市在“旧城改造”中计划内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a 元,则购买这种草皮至少要（ ). (A )45０a 元 （B ）２２５a 元 (C ）１5０a 元 （D )300a 元 ９、计算：⑴、︒+︒60cos 60sin 22⑵、︒︒-︒30cos 30sin 260sin⑶、︒-︒45cos 30sin 2⑷、3245cos 2-+︒⑸、045cos 360sin 2+ ⑹、 130sin 560cos 30-⑺、︒30sin 22·︒+︒60cos 30tan ta ｎ6０° ⑻、︒-︒30tan 45sin 2210、请设计一种方案计算tan15°的值。
北师大版九年级数学下册全套教案1
第一章直角三角形的边角关系§1.1 从梯子的倾斜程度谈起（第一课时）学习目标:1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.2.能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算.学习重点:1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系.2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系.学习难点:理解正切的意义，并用它来表示两边的比.学习方法:引导—探索法.学习过程:一、生活中的数学问题:1、你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？2、生活问题数学化：⑴如图：梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？⑵以下三组中，梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？二、直角三角形的边与角的关系（如图，回答下列问题）⑴Rt △AB 1C 1和Rt△AB 2C 2有什么关系? ⑵222111B AC C B AC C 和有什么关系？ ⑶如果改变B 2在梯子上的位置(如B 3C 3)呢?⑷由此你得出什么结论?三、例题：例1、如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡?例2、在△ABC 中，∠C=90°，BC=12cm ，AB=20cm ，求tanA 和tanB 的值.四、随堂练习：1、如图，△ABC是等腰直角三角形，你能根据图中所给数据求出tanC吗?2、如图，某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B，已知点B到山脚的垂直距离为55m，求山的坡度.(结果精确到0.001)3、若某人沿坡度i＝3：4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置升高________米.4、菱形的两条对角线分别是16和12.较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为θ，则tanθ＝______.5、如图，Rt△ABC是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB的长为12 m，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡AD，求DB的长.(结果保留根号)五、课后练习：1、在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=3,BC=1,则tanA= _______.2、在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,则tanA=_______.3、在△ABC中,AB=AC=3,BC=4,则tanC=______.4、在Rt△ABC中,∠C是直角,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,且a=24,c= 25,求tanA、tanB 的值.5、若三角形三边的比是25:24:7,求最小角的正切值.6、如图,在菱形ABCD 中,AE⊥BC 于E,EC=1,tanB=125, 求菱形的边长和四边形AECD 的周长.7、已知:如图,斜坡AB 的倾斜角a,且tan α=34,现有一小球从坡底A 处以20cm/s 的速度向坡顶B 处移动,则小球以多大的速度向上升高?8、探究:⑴、a 克糖水中有b 克糖(a>b>0),则糖的质量与糖水质量的比为_______; 若再添加c 克糖(c>0),则糖的质量与糖水的质量的比为________.生活常识告诉我们: 添加的糖完全溶解后,糖水会更甜,请根据所列式子及这个生活常识提炼出一个不等式: ____________.⑵、我们知道山坡的坡角越大,则坡越陡,联想到课本中的结论:tanA 的值越大, 则坡越陡,我们会得到一个锐角逐渐变大时,它的正切值随着这个角的变化而变化的规律,请你写出这个规律:_____________.⑶、如图,在Rt△ABC 中,∠B=90°,AB=a,BC=b(a>b),延长BA 、BC,使AE=CD=c, 直线CA 、DE 交于点F,请运用(2) 中得E D B A C B A DCE到的规律并根据以上提供的几何模型证明你提炼出的不等式.§1.1从梯子的倾斜程度谈起（第二课时）学习目标：1.经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正弦和余弦的意义.2.能够运用sinA、cosA表示直角三角形两边的比.3.能根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算.4.理解锐角三角函数的意义.学习重点：1.理解锐角三角函数正弦、余弦的意义，并能举例说明.2.能用sinA、cosA表示直角三角形两边的比.3.能根据直角三角形的边角关系，进行简单的计算.学习难点：用函数的观点理解正弦、余弦和正切.学习方法：探索——交流法.学习过程：一、正弦、余弦及三角函数的定义想一想：如图(1)直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么关系?(2) 211122BA C A BA C A 和有什么关系? 2112BA BC BA BC 和呢? (3)如果改变A 2在梯子A 1B 上的位置呢?你由此可得出什么结论?(4)如果改变梯子A1B 的倾斜角的大小呢?你由此又可得出什么结论?请讨论后回答.二、由图讨论梯子的倾斜程度与sinA 和cosA 的关系：三、例题：例1、如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，AC ＝200.sinA ＝0.6，求BC 的长.例2、做一做：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA ＝1312，AC ＝10，AB 等于多少?sinB 呢?cosB 、sinA 呢?你还能得出类似例1的结论吗?请用一般式表达.四、随堂练习：1、在等腰三角形ABC 中，AB=AC ＝5，BC=6，求sinB ，cosB ，tanB.2、在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝54，BC=20，求△ABC 的周长和面积.3、在△ABC 中.∠C=90°，若tanA=21，则sinA= .4、已知：如图，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，求证：BC 2＝AB ·BD.(用正弦、余弦函数的定义证明)五、课后练习： 1、在Rt△ABC 中,∠ C=90°,tanA=34,则sinB=_______,tanB=______. 2、在Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=41,sinA=941,则AC=______,BC=_______. 3、在△ABC 中,AB=AC=10,sinC=45,则BC=_____.DB ACB AC 4、在△ABC 中,已知AC=3,BC=4,AB=5,那么下列结论正确的是( )A.sinA=34 B.cosA=35 C.tanA=34 D.cosB=355、如图,在△ABC 中,∠C=90°,sinA=35,则BCAC等于( ) A.34 B.43 C.35 D.456、Rt△ABC 中,∠C=90°,已知cosA=35,那么tanA 等于( ) A.43 B.34 C.45 D.547、在△ABC 中，∠C=90°,BC=5,AB=13,则sinA 的值是A ．135B ．1312C ．125D ．5128、已知甲、乙两坡的坡角分别为α、β, 若甲坡比乙坡更徒些, 则下列结论正确的是( ) A.tan α<tan β B.sin α<sin β; C.cos α<cos β D.cos α>cos β 9、如图,在Rt△ABC 中,CD 是斜边AB 上的高,则下列线段的比中不等于sinA的是( ) A.CD AC B.DB CB C.CB AB D.CD CB10、某人沿倾斜角为β的斜坡前进100m,则他上升的最大高度是( )m A.100sin β B.100sin β C.100cos βD. 100cos β 11、如图,分别求∠α,∠β的正弦,余弦,和正切.12、在△ABC 中,AB=5,BC=13,AD 是BC 边上的高,AD=4.求:CD,sinC.13、在Rt△ABC 中,∠BCA=90°,CD 是中线,BC=8,CD=5.求sin∠ACD,cos∠ACD 和tan∠ACD.14、在Rt△ABC 中,∠C=90°,sinA 和cosB 有什么关系?15、如图,已知四边形ABCD 中,BC=CD=DB,∠ADB=90°,cos∠ABD=45. 求：s △ABD ：s △BCDBDAC§1.2 30°、45°、60°角的三角函数值学习目标：1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义.2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算.3.能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小.学习重点：1.探索30°、45°、60°角的三角函数值.2.能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.3.比较锐角三角函数值的大小.学习难点：进一步体会三角函数的意义.学习方法：自主探索法学习过程：一、问题引入[问题]为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含30°和60°两个锐角的三角尺；②皮尺.请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度.二、新课[问题] 1、观察一副三角尺，其中有几个锐角?它们分别等于多少度?[问题] 2、sin30°等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流.[问题] 3、cos30°等于多少?tan30°呢?[问题] 4、我们求出了30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角——45°、60°，它们的三角函数值分别是多少?你是如何得到的?结论：[例1]计算：(1)sin30°+cos45°；(2)sin260°+cos260°-tan45°.[例2]一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5 m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到0.01 m)三、随堂练习 1.计算：(1)sin60°-tan45°； (2)cos60°+tan60°； (3) 22sin45°+sin60°-2cos45°； ⑷13230sin 1+-︒；⑸(2+1)-1+2sin30°-8； ⑹(1+2)0-｜1-sin30°｜1+(21)-1；⑺sin60°+︒-60tan 11； ⑻2-3-(0032+π)0-cos60°-211-.2.某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°.高为7 m ，扶梯的长度是多少?3．如图为住宅区内的两幢楼，它们的高AB ＝CD=30 m ，两楼问的距离AC=24 m ，现需了解甲楼对乙楼的采光影响情况.当太阳光与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高?(精确到0.1 m ，2≈1.41，3≈1.73)四、课后练习：1、Rt △ABC 中，8,60=︒=∠c A ，则__________,==b a ；2、在△ABC 中，若2,32==b c ,，则____tan =B ，面积S ＝ ；3、在△ABC 中，AC ：BC ＝1：3，AB ＝6，∠B ＝ ，AC ＝ BC ＝4、等腰三角形底边与底边上的高的比是3:2，则顶角为 （ ） （A ）600 （B ）900 （C ）1200 （D ）15005、有一个角是︒30的直角三角形，斜边为cm 1，则斜边上的高为 （ ） （A ）cm 41 （B ）cm 21（C ）cm 43 （D ）cm 23 6、在ABC ∆中，︒=∠90C ，若A B ∠=∠2，则tanA 等于（ ）． （A ）3 （B ）33 （C ）23 （D ）217、如果∠a 是等边三角形的一个内角，那么cos a 的值等于（ ）．（A ）21 （B ）22（C ）23 （D ）18、某市在“旧城改造”中计划内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a 元，则购买这种草皮至少要（ ）． （A ）450a 元 （B ）225a 元 （C ）150a 元 （D ）300a 元9、计算：⑴、︒+︒60cos 60sin 22⑵、︒︒-︒30cos 30sin 260sin⑶、︒-︒45cos 30sin 2⑷、3245cos 2-+︒⑸、045cos 360sin 2+ ⑹、 130sin 560cos 30-⑺、︒30sin 22·︒+︒60cos 30tan tan60° ⑻、︒-︒30tan 45sin 22︒15020米30米10、请设计一种方案计算tan15°的值。
北师大版 九年级下册 数学 第一章 《直角三角形的边角关系》学案
一、作业检查作业完成情况：优良中差二、内容回顾回顾上节课内容三、知识整理知识点一、锐角三角函数1．锐角三角函数的定义在Rt△ABC中，△C=90°．（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做△A的正弦，记作sinA．即sinA=△A的对边斜边=ac．（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做△A的余弦，记作cosA．即cosA=△A的邻边斜边=bc．（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做△A的正切，记作tanA．即tanA=△A的对边△A的邻边=ab．（4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做△A的锐角三角函数．练一练1、如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则sin△ABC等于（）A．√5B．2√52C．√55D．232、如图，在直角△ABC中，△C=90°，若AB=5，AC=4，则sinB=（）A．53B．45C．34D．433、在△ABC中，△C=90°，AB=13，BC=12，则sinB的值为（）A．512B．1312C．513D．1354、如图，在Rt△ABC中，△C=90°，AB=5，AC=2，则cosA的值是（）A．√215B．25C．√212D．525、在Rt△ABC中，△C=90°，若AC=2BC，则tanA的值是（）A．12B．2C．√55D．．√52知识点二、锐角三角函数的增减性（1）锐角三角函数值都是正值．（2）当角度在0°～90°间变化时，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．2、下列运算：sin30°=√32，√8=2√2，π0=π，2﹣2=﹣4，其中运算结果正确的个数为（）A．4B．3C．2D．13、计算：cos245°+sin245°=（）A．12B．1C．14D．√224、计算（1）2cos60゜+2sin30゜+4tan45゜.5、计算：﹣23×2﹣2+√18+tan45°﹣（4sin60°+1）0﹣|2﹣3√2|．6、计算：cos60°+|1﹣√3|﹣（2﹣tan30°）+（25）﹣1知识点五、特殊角的三角函数值的应用（1）应用中熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．（2）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．练一练1、如图，一电线杆AB高为10米，当太阳光线与地面的夹角为60°时，其影长AC约为（）A．5.00米B．8.66米C．17.3米D．5.77米2、某课外学习小组在设计一个长方形时钟钟面时，欲使长方形的宽为20厘米，时钟的中心在长方形对角线的交点上，数字2在长方形的顶点上，数字3，6，9，12标在所在边的中点上，如图所示．（1）当时针指向数字2时，时针与分针的夹角是多少度？（2）请你在长方框上点出数字1的位置，并说明确定该位置的方法；（3）问长方形的长应为多少？3、如图，在一个坡角为40°的斜坡上有一棵树BC ，树高4米．当太阳光AC 与水平线成70°角时，该树在斜坡上的树影恰好为线段AB ，求树影AB 的长．（结果保留一位小数） （参考数据：sin20°=0.34，tan20°=0.36，sin30°=0.50，tan30°=0.58，sin40°=0.64，tan40°=0.84，sin70°=0.94，tan70°=2.75）4. 如图，山脚下有一棵树AB ，小强从点B 沿山坡向上走50米到达点D ，用高为1.5米的测解仪CD 测得树顶的仰角为10°，已知山坡的坡角为45°，求AB 的高（精确到0.1米，已知sin10°=0.17； cos10°=0.98； tan10°=0.18；sin15°=0.26； cos15°=0.97； tan15°=0.27）5. 某商场门前有一台阶CD 高1.8米,商场原来建有一个斜坡BC ,坡角︒=∠30CBD ,为了顾客出入商场更安全,现在准备把坡角改为︒=∠20CAD .问斜坡AC 比原来的斜坡BC 长多少米?斜坡的新起点比原来延伸出多少米?(精确到0.1米)（参考数据：7.13,4.020tan ,9.020cos ,3.020sin ≈≈︒≈︒≈︒）6. 如图，A，B是公路l（l为东西走向）两旁的两个村庄，A村到公路l的距离AC=1km，B村到公路l 的距离BD=2km，B村在A村的南偏东45方向上．（1）求出A，B两村之间的距离；（2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P的位置（保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法）．7 、五一期间，小明随父母到某旅游胜地参观游览，他在游客中心O处测得景点A在其北偏东72°方向，测得景点B在其南偏东40°方向，小明从游客中心走了2千米到达景点A，已知景点B正好位于最点A 的正南方向，求景点A与B之间的距离．（结果精确到0.1千米）（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0. 31，sin40°≈0.64，tan40°≈0.84）变式训练1.“村村通公路工程”拉近了城乡距离，加速了我区农村经济建设步伐．如图所示，C村村民欲修建一条水泥公路，将C村与区级公路相连．在公路A处测得C村在北偏东60°方向，前进500米，在B处测得C村在北偏东30°方向．为节约资源，要求所修公路长度最短．画出符合条件的公路示意图，并求出公路长度．（结果保留整数）北东BACDl2. 如图，一艘船以每小时36海里的速度向东北方向（北偏东45°）航行，在A 处观测灯塔C 在船的北偏东80°的方向，航行20分钟后到达B 处，这时灯塔C 恰好在船的正东方向．已知距离此灯塔25海里以外的海区为航行安全区域，这艘船是否可以继续沿东北方向航行？请说明理由.（参考数据：sin80°≈0.9, tan80°≈5.7，sin35°≈0.6,tan45○=1 cos35°≈0.8,tan35°≈0.7）3. 如图，一艘货轮以 36海里每小时的速度在海面上航行，当它行驶到A 处时，发现它的东北方向有一灯塔B . 货轮继续向北航行32小时后到达C 处，发现此时灯塔B 在它的北偏东64.5方向。
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1.1 锐角三角函数第1课时正切与坡度学习目标:1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.2.能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算.学习重点:1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系.2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系.学习难点:理解正切的意义，并用它来表示两边的比.学习方法:引导—探索法.学习过程:一、生活中的数学问题:1、你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？2、生活问题数学化：⑴如图：梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？⑵以下三组中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？二、直角三角形的边与角的关系（如图，回答下列问题） ⑴Rt △AB 1C 1和Rt△AB 2C 2有什么关系? ⑵222111B AC CB AC C 和有什么关系？ ⑶如果改变B 2在梯子上的位置(如B 3C 3)呢? ⑷由此你得出什么结论? 三、例题：例1、如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡?例2、在△ABC 中，∠C=90°，BC=12cm ，AB=20cm ，求tanA 和tanB 的值.四、随堂练习：1、如图，△ABC 是等腰直角三角形，你能根据图中所给数据求出tanC 吗?2、如图，某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B，已知点B到山脚的垂直距离为55m，求山的坡度.(结果精确到0.001)3、若某人沿坡度i＝3：4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置升高________米.4、菱形的两条对角线分别是16和12.较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为θ，则tanθ＝______.5、如图，Rt△ABC是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB的长为12 m，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡AD，求DB的长.(结果保留根号)五、课后练习：1、在Rt △ABC 中,∠C=90°,AB=3,BC=1,则tanA= _______.2、在△ABC 中,AB=10,AC=8,BC=6,则tanA=_______.3、在△ABC 中,AB=AC=3,BC=4,则tanC=______.4、在Rt △ABC 中,∠C 是直角,∠A、∠B、∠C 的对边分别是a 、b 、c,且a=24,c= 25,求tanA 、tanB 的值.5、若三角形三边的比是25:24:7,求最小角的正切值.6、如图,在菱形ABCD 中,AE⊥BC 于E,EC=1,tanB=125, 求菱形的边长和四边形AECD 的周长.7、已知:如图,斜坡AB 的倾斜角a,且tan α=34,现有一小球从坡底A 处以20cm/s 的速度向坡顶B 处移动,则小球以多大的速度向上升高? 8、探究:⑴、a 克糖水中有b 克糖(a>b>0),则糖的质量与糖水质量的比为_______; 若再添加c 克糖(c>0),则糖的质量与糖水的质量的比为________.生活常识告诉我们: 添加的糖完全溶解E DB ACBA后,糖水会更甜,请根据所列式子及这个生活常识提炼出一个不等式: ____________.⑵、我们知道山坡的坡角越大,则坡越陡,联想到课本中的结论:tanA的值越大, 则坡越陡,我们会得到一个锐角逐渐变大时,它的正切值随着这个角的变化而变化的规律,请你写出这个规律:_____________.⑶、如图,在Rt△A BC中,∠B=90°,AB=a,BC=b(a>b),延长BA、BC,使AE=CD=c, 直线CA、DE交于点F,请运用(2) 中得到的规律并根据以上提供的几何模型证明你提炼出的不等式.1.1 锐角三角函数 第2课时 正弦与余弦学习目标：1.经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正弦和余弦的意义.2.能够运用sinA 、cosA 表示直角三角形两边的比.3.能根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算.4.理解锐角三角函数的意义. 学习重点：1.理解锐角三角函数正弦、余弦的意义，并能举例说明.2.能用sinA 、cosA 表示直角三角形两边的比.3.能根据直角三角形的边角关系，进行简单的计算. 学习难点：用函数的观点理解正弦、余弦和正切. 学习方法：探索——交流法. 学习过程：一、正弦、余弦及三角函数的定义 想一想：如图(1)直角三角形AB 1C 1和直角三角形AB 2C 2有什么关系?(2)211122BA C A BA C A 和有什么关系? 2112BA BC BA BC 和呢? (3)如果改变A 2在梯子A 1B 上的位置呢?你由此可得出什么结论? (4)如果改变梯子A1B 的倾斜角的大小呢?你由此又可得出什么结论? 请讨论后回答.二、由图讨论梯子的倾斜程度与sinA 和cosA 的关系：三、例题：例1、如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，AC ＝200.sinA ＝0.6，求BC 的长.例2、做一做：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA ＝1312，AC ＝10，AB 等于多少?sinB 呢?cosB 、sinA 呢?你还能得出类似例1的结论吗?请用一般式表达.四、随堂练习：1、在等腰三角形ABC 中，AB=AC ＝5，BC=6，求sinB ，cosB ，tanB.BAC2、在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA＝54，BC=20，求△ABC 的周长和面积.3、在△ABC 中.∠C=90°，若tanA=21，则sinA= .4、已知：如图，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，求证：BC 2＝AB ·BD.(用正弦、余弦函数的定义证明)五、课后练习：1、在Rt△ABC 中,∠ C=90°,tanA=34,则sinB=_______,tanB=______. 2、在Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=41,sinA=941,则AC=______,BC=_______. 3、在△ABC 中,AB=AC=10,sinC=45,则BC=_____. 4、在△ABC 中,已知AC=3,BC=4,AB=5,那么下列结论正确的是( ) A.sinA=34 B.cosA=35 C.tanA=34 D.cosB=355、如图,在△ABC 中,∠C=90°,sinA=35,则BCAC等于( )DB ACA.34 B.43 C.35 D.456、Rt△ABC 中,∠C=90°,已知cosA=35,那么tanA 等于( ) A.43 B.34 C.45 D.547、在△ABC 中，∠C=90°,BC=5,AB=13,则sinA 的值是A ．135 B ．1312 C ．125 D ．5128、已知甲、乙两坡的坡角分别为α、β, 若甲坡比乙坡更徒些, 则下列结论正确的是( ) A.tan α<tan β B.sin α<sin β; C.cos α<cos β D.cos α>cos β 9、如图,在Rt△ABC 中,CD 是斜边AB 上的高,则下列线段的比中不等于sinA 的是( )A.CD ACB.DB CBC.CB ABD.CDCB10、某人沿倾斜角为β的斜坡前进100m,则他上升的最大高度是( )m A.100sin βB.100sin βC.100cos β D. 100cos β11、如图,分别求∠α,∠β的正弦,余弦,和正切.12、在△ABC 中,AB=5,BC=13,AD 是BC 边上的高,AD=4.求:CD,sinC.13、在Rt△ABC 中,∠BCA=90°,CD 是中线,BC=8,CD=5.求sin∠ACD,cos∠ACD 和tan∠ACD.14、在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA和cosB有什么关系?15、如图,已知四边形ABCD中,BC=CD=DB,∠ADB=90°,cos∠ABD=45.求：s△ABD：s△BCDBDAC1.2 30°，45°，60°角的三角函数值学习目标：1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义.2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算.3.能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小.学习重点：1.探索30°、45°、60°角的三角函数值.2.能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.3.比较锐角三角函数值的大小.学习难点：进一步体会三角函数的意义.学习方法：自主探索法学习过程：一、问题引入[问题]为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含30°和60°两个锐角的三角尺；②皮尺.请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度.二、新课[问题] 1、观察一副三角尺，其中有几个锐角?它们分别等于多少度?[问题] 2、sin30°等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流.[问题] 3、cos30°等于多少?tan30°呢?[问题] 4、我们求出了30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角——45°、60°，它们的三角函数值分别是多少?你是如何得到的?结论：(1)sin30°+cos45°； (2)sin 260°+cos 260°-tan45°.[例2]一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5 m ，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到0.01 m)三、随堂练习 1.计算：(1)sin60°-tan45°； (2)cos60°+tan60°；(3)22sin45°+sin60°-2cos45°； ⑷13230sin 1+-︒；⑸(2+1)-1+2sin30°-8； ⑹(1+2)0-｜1-sin30°｜1+(21)-1；⑺sin60°+︒-60tan 11； ⑻2-3-(0032+π)0-cos60°-211-.2.某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°.高为7 m ，扶梯的长度是多少?3．如图为住宅区内的两幢楼，它们的高AB ＝CD=30 m ，两楼问的距离AC=24 m ，现需了解甲楼对乙楼的采光影响情况.当太阳光与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高?(精确到0.1 m ，2≈1.41，3≈1.73)四、课后练习：1、Rt △ABC 中，8,60=︒=∠c A ，则__________,==b a ；2、在△ABC 中，若2,32==b c ,，则____tan =B ，面积S ＝ ；3、在△ABC 中，AC ：BC ＝1：3，AB ＝6，∠B ＝ ，AC ＝ BC ＝4、等腰三角形底边与底边上的高的比是3:2，则顶角为 （ ） （A ）600（B ）900（C ）1200（D ）1505、有一个角是︒30的直角三角形，斜边为cm 1，则斜边上的高为 （ ）（A ）cm 41 （B ）cm 21（C ）cm 43 （D ）cm 23 6、在ABC ∆中，︒=∠90C ，若A B ∠=∠2，则tanA 等于（ ）．（A ）3 （B ）33 （C ）23 （D ）217、如果∠a 是等边三角形的一个内角，那么cos a 的值等于（ ）．（A ）21 （B ）22（C ）23 （D ）18、某市在“旧城改造”中计划内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a 元，则购买这种草皮至少要（ ）． （A ）450a 元 （B ）225a 元 （C ）150a 元 （D ）300a 元 9、计算：⑴、︒+︒60cos 60sin 22⑵、︒︒-︒30cos 30sin 260sin⑶、︒-︒45cos 30sin 2⑷、3245cos 2-+︒⑸、045cos 360sin 2+ ⑹、 130sin 560cos 30-⑺、︒30sin 22·︒+︒60cos 30tan tan60° ⑻、︒-︒30tan 45sin 2210、请设计一种方案计算tan15°的值。