状态空间模型和卡尔曼滤波

yt Ztαt dt ut
(11.1.5)
varut()2 t1,2, ,T
其中：Zt 表示 1m 矩阵，t 表示 m1状态向量， ut 是方 差为 2 的扰动项。
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若使上述的状态空间模型成立，还需要满足下面两个假定：
(1) 初始状态向量 0 的均值为 a0，协方差矩阵为 P0，即
(11.1.6)
同时又使用尽可能少的元素。所以如果状态空间模型的 状 态 向 量 具 有 最 小 维 数 ， 则 称 为 最 小 实 现 (Minimal Realization)。对一个好的状态空间模型，最小实现是一 个基本准则。然而对于任一特殊问题的状态空间模型的 表示形式却不是惟一的，这一点很容易验证。
yt Ztαtdtut, t1,2， ,T (11.1.1)
其中：T 表示样本长度，Zt 表示 km 矩阵，称为量测矩阵， dt 表示 k1 向量，ut 表示 k1 向量，是均值为0，协方差矩 阵为 Ht 的不相关扰动项，即
E (u t) 0 编辑v ppt a u t)rH (t
(11.1Βιβλιοθήκη Baidu2)
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利用状态空间形式表示动态系统主要有两个优点：
第一，状态空间模型将不可观测的变量(状态变量) 并入可观测模型并与其一起得到估计结果；
其次，状态空间模型是利用强有效的递归算法—— 卡尔曼滤波来估计的。卡尔曼滤波可以用来估计单变量 和多变量的ARMA模型、MIMIC（多指标和多因果）模 型、马尔可夫转换模型以及变参数模型。
Rt 表示 mg 矩阵，t 表示 g1 向量，是均值为0，协方差矩阵
为 Qt 的连续的不相关扰动项，即
E (εt) 0 va εt) rQ (t (11.1.4)
量测方程和状态方程的扰动项的协方差矩阵用 表示
Ωvarεutt 编辑pH p0t t
0 Qt
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当 k 1 时，变为单变量模型，量测方程可以写为
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4
§11.1 状态空间模型的定义
在本节中，我们仅就如何定义并预测一个线性状态空间
模型做以简要的讨论。状态空间模型一般应用于多变量时间
序列。设 yt 是包含 k 个经济变量的 k1 维可观测向量。这
些变量与 m1 维向量 t 有关，t 被称为状态向量。定义
“量测方程” (measurement equation) 或称“信号方 程”(signal equation)为
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1
在一般的统计模型中出现的变量都是可以观测到的， 这些模型以反映过去经济变动的时间序列数据为基础，利 用回归分析或时间序列分析等方法估计参数，进而预测未 来的值。状态空间模型的特点是提出了“状态”这一概念。
而实际上，无论是工程控制问题中出现的某些状态 （如导弹轨迹的控制问题）还是经济系统所存在的某些状 态都是一种不可观测的变量，正是这种观测不到的变量反 映了系统所具有的真实状态，所以被称为状态向量。这种 含 有 不 可 观 测 变 量 的 模 型 被 称 为 UC 模 型 (Unobservable Component Model)。
第十一章 状态空间模型和卡尔曼滤波
State Space Models and Kalman Filter
上世纪60年代初，由于工程控制领域的需要，产生了卡
尔曼滤波 (Kalman Filtering)。进入70年代初，人们明确提出
了状态空间模型的标准形式，并开始将其应用到经济领域。
80年代以后，状态空间模型已成为一种有力的建模工具。许
多时间序列模型，包括典型的线性回归模型和ARIMA模型都
能作为特例写成状态空间的形式，并估计参数值。在计量经
济学文献中，状态空间模型被用来估计不可观测的时间变量：
理性预期，测量误差，长期收入，不可观测因素（趋势和循
环要素）。状态空间模型在经济计量学领域其他方面的大量
应用请参见 Harvey（1989）和 Hamilton（1994） 。
量测方程： yt (1,0)t
(11.1.10)
状态方程： t 00 10t11t
(11.1.11)
这种形式的特点是不存在量测方程噪声。
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对于任何特殊的统计模型，状态向量t 的定义是由
结构确定的。它的元素一般包含具有实际解释意义的成 分，例如趋势或季节要素。状态空间模型的目标是，所
建立的状态向量t 包含了系统在时刻 t 的所有有关信息，
但是都是可以预先确定的。对于任一时刻 t，yt 能够被
表示为当前的和过去的 ut 和 t 及初始向量 0 的线性组
合，所以模型是线性的。
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例11.1 一阶移动平均模型MA(1)
yt t t1 ，t1,2, ,T (11.1.9)
其中：E(t )=0，var(t)= 2，cov(t , t-s)=0, 通过定义状态向量 t =( yt ,t )可以写成状态空间形式
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2
UC模型通过通常的回归方程式来估计是不可能的， 必须利用状态空间模型来求解。状态空间模型建立了可 观测变量和系统内部状态之间的关系，从而可以通过估 计各种不同的状态向量达到分析和观测的目的。
EViews状态空间对象对单方程或多方程动态系统提 供了一个直接的、易于使用的界面来建立、估计及分析 方程结果。它提供了大量的建立、平滑、滤波及预测工 具，帮助我们利用状态空间形式来分析动态系统。
一般地，t 的元素是不可观测的，然而可表示成一阶马
尔可夫(Markov)过程。下面定义转移方程(transition equation)
或称状态方程(state equation)为
α t T tα t 1 c t R tεt, t1,2， ,T (11.1.3)
其中：Tt 表示 mm 矩阵，称为状态矩阵，ct 表示 m1 向量，
(2) 在所E 有( 的α 0 时) 间a 区0 间上，扰v 动项α a 0 ) u r t 和P ( 0 t 相互独立，而且
它们和初始状态 0 也不相关，即
(11.1.7)
且
E(utεs)0 s,t1,2, ,T
E(utα0)0， E(εtα0)0
(11.1.8)
t1,2, ,T
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8
量测方程中的矩阵 Zt , dt , Ht 与转移方程中的矩阵 Tt , ct , Rt , Qt 统称为系统矩阵。如不特殊指出，它们都 被假定为非随机的。因此，尽管它们能随时间改变，