广东省韶关市2021届新高考三诊数学试题含解析
广东省韶关市2021-2022学年高三上学期综合测试(一)数学试题
,故
D
正确.
图（1）
图（2）
图（3）
图（4）
三、填空题（第 13、14、15 题每小题 5 分，第 16 题第一空 2 分，第二空 3 分）.
题号 13
14
15
16
答案 -1
1 7
8 2π 3
5， [−6, 6]
3
13.【解析】由函数 是定义在 上的奇函数得
，
.
14.【解析】
，所以
又
．
15.【解析】设
2
n+1
∑ ( ) 即 2i−1 ai = Cn0 ⋅ 20 + Cn1 ⋅ 21 + Cn2 ⋅ 22 +L + Cnn ⋅ 2n = 1+ 2 n = 3n ，D 错误. 故选：AC. i =1
12.【解析】 如图(1)所示，因为线段 BE 在棱 AB 上，过 F 作棱 CD 的平行线，交 DD1 于
设平面 的法向量为
，
， BP1,− 3 , 1 ，…………8 分 2 2
当n ≥ 2时，Sn = 2n+1 − 2, Sn−1 = 2n − 2 …………………………………2 分
an = Sn − Sn−1 = 2n , 所以 an = 2n ．
综上， an = 2n n ∈ N ∗ ………………………………………………3 分 设等差数列 的公差为 d ， 由题有 b2 + b4 + b6 = 21，解得 d = 2 ………………………………………………4 分
又
，
平面
，…………………………………………………5 分
又
面
，
…………………………………………………………6 分
广东省韶关市2021届新高考数学第三次押题试卷含解析
广东省韶关市2021届新高考数学第三次押题试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若(2)cos cos a b C c B -=，则内角C =（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理化边为角，由三角函数恒等变换可得． 【详解】∵(2)cos cos a b C c B -=，由正弦定理可得(2sin sin )cos sin cos A B C C B -=， ∴2sin cos sin cos sin cos sin()sin A C B C C B B C A =+=+=， 三角形中sin 0A ≠，∴1cos 2C =，∴3C π=． 故选：C ． 【点睛】本题考查正弦定理，考查两角和的正弦公式和诱导公式，掌握正弦定理的边角互化是解题关键．2．若双曲线22214x y a -= ）A．B ．C ．6D ．8【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得24b =，再根据离心率求出2a ，即可求出c ，从而得解； 【详解】解：∵双曲线22214x y a -=所以22413e a=+=，∴22a =，∴c =故选：A 【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.3．设()y f x =是定义域为R 的偶函数，且在[)0,+∞单调递增，0.22log 0.3,log 0.3a b ==，则（ ） A ．()()(0)f a b f ab f +>> B ．()(0)()f a b f f ab +>> C ．()()(0)f ab f a b f >+> D ．()(0)()f ab f f a b >>+【答案】C 【解析】 【分析】根据偶函数的性质，比较+,a b ab 即可. 【详解】解：0.22lg0.3lg0.3+log 0.3log 0.3+lg0.2lg 2a b =+=55lg 0.3lglg 0.3lg 22lg5lg 2lg5lg 2⨯⨯==--⨯⨯ ()0.22lg 0.3lg 0.3log 0.3log 0.3lg 0.2lg 2lg 0.3lg 0.3lg 0.3lg 0.3lg 5lg 2lg 5lg 2lg 0.3lg 0.3lg 5lg 210lg 0.3lg3lg 5lg 2ab =⨯=⨯-⨯⨯==⨯⨯-⨯-=⨯⨯=-⨯显然510lglg 23<，所以+a b ab < ()y f x =是定义域为R 的偶函数，且在[)0,+∞单调递增，所以()()(0)f ab f a b f >+> 故选：C 【点睛】本题考查对数的运算及偶函数的性质，是基础题. 4．抛物线的焦点是双曲线的右焦点，点是曲线的交点，点在抛物线的准线上，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】先由题和抛物线的性质求得点P的坐标和双曲线的半焦距c的值，再利用双曲线的定义可求得a的值，即可求得离心率.【详解】由题意知，抛物线焦点，准线与x 轴交点，双曲线半焦距，设点是以点为直角顶点的等腰直角三角形，即，结合点在抛物线上，所以抛物线的准线，从而轴，所以，即故双曲线的离心率为故选A【点睛】本题考查了圆锥曲线综合，分析题目，画出图像，熟悉抛物线性质以及双曲线的定义是解题的关键，属于中档题.5．若实数x、y满足21yx yy x≤⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y=+的最小值是（）A．6B．5C．2D．3 2【答案】D【解析】【分析】根据约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案【详解】作出不等式组21yx yy x≤⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩所表示的可行域如下图所示：联立1y x x y =⎧⎨+=⎩，得12x y ==，可得点11,22A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由2z x y =+得12y x z =-+，平移直线12y x z =-+， 当该直线经过可行域的顶点A 时，该直线在y 轴上的截距最小，此时z 取最小值，即min 1132222z =+⨯=. 故选：D. 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．6．3本不同的语文书，2本不同的数学书，从中任意取出2本，取出的书恰好都是数学书的概率是（ ） A ．12B ．14C ．15D ．110【答案】D 【解析】 【分析】把5本书编号，然后用列举法列出所有基本事件．计数后可求得概率． 【详解】3本不同的语文书编号为,,A B C ，2本不同的数学书编号为,a b ，从中任意取出2本，所有的可能为：,,,,,,,,,AB AC Aa Ab BC Ba Bb Ca Cb ab 共10个，恰好都是数学书的只有ab 一种，∴所求概率为110P =． 故选：D. 【点睛】本题考查古典概型，解题方法是列举法，用列举法写出所有的基本事件，然后计数计算概率．7．已知(2)f x +是偶函数，()f x 在(]2-∞，上单调递减，(0)0f =，则(23)0f x ->的解集是 A ．2()(2)3-∞+∞，，U B ．2(2)3， C ．22()33-，D ．22()()33-∞-+∞，，U 【答案】D 【解析】 【分析】先由(2)f x +是偶函数，得到()f x 关于直线2x =对称；进而得出()f x 单调性，再分别讨论232x -≥和232x -<，即可求出结果.【详解】因为(2)f x +是偶函数，所以()f x 关于直线2x =对称； 因此，由(0)0f =得(4)0f =；又()f x 在(]2-∞，上单调递减，则()f x 在[)2,+∞上单调递增；所以，当232x -≥即0x ≤时，由(23)0f x ->得(23)(4)f x f ->，所以234x ->， 解得23x <-； 当232x -<即0x >时，由(23)0f x ->得(23)(0)f x f ->，所以230x -<， 解得23x >； 因此，(23)0f x ->的解集是22()()33-∞-+∞，，U . 【点睛】本题主要考查由函数的性质解对应不等式，熟记函数的奇偶性、对称性、单调性等性质即可，属于常考题型.8．已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）与双曲线222212x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的焦点相同，则双曲线渐近线方程为（ ）A ．3y x =±B ．y =C ．2y x =± D ．y =【答案】A 【解析】【分析】由题意可得222222a b a b -=+，即223a b =，代入双曲线的渐近线方程可得答案. 【详解】依题意椭圆22221(a b 0)x y a b +=>>与双曲线22221(a 0,b 0)2x y a b -=>>即22221(a 0,b 022)x y a b -=>>的焦点相同，可得：22221122a b a b -=+， 即223a b =，∴3b a =3=,双曲线的渐近线方程为：3x y x=±=, 故选：A ． 【点睛】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 9．集合{}2|30A x x x =-≤，(){}|lg 2B x y x ==-，则A B ⋂=( )A ．{}|02x x ≤<B ．{}|13x x ≤<C ．{}|23x x <≤D ．{}|02x x <≤【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次不等式化简集合A ，再根据对数的真数大于零化简集合B ，求交集运算即可. 【详解】由230x x -≤可得03x ≤≤，所以{|03}A x x =≤≤，由20x ->可得2x <,所以{|2}B x x =<,所以{|02}A B x x ⋂=≤<，故选A ．【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，涉及一元二次不等式解法及对数的概念，属于中档题.10．在ABC V 中，已知9AB AC ⋅=uu u r uuu r，sin cos sin B A C =，6ABC S =V ，P 为线段AB 上的一点，且CA CB CP x y CA CB=⋅+⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r ，则11x y +的最小值为（ ）A．7312+B．12C．43D．53124+【答案】A【解析】【分析】在ABCV中，设AB c=，BC a=，AC b=，结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求cos0C=，可得2Cπ=，再由已知条件求得4a=，3b=，5c=，考虑建立以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系，根据已知条件结合向量的坐标运算求得4312x y+=，然后利用基本不等式可求得11x y+的最小值.【详解】在ABCV中，设AB c=，BC a=，AC b=，sin cos sinB A C=Q，即()sin cos sinA C A C+=，即sin cos cos sin cos sinA C A C A C+=，sin cos0A C∴=，0Aπ<<Q，sin0A∴>，cos0C∴=，0Cπ<<Q，2Cπ∴=，9AB AC⋅=u u u r u u u rQ，即cos9cb A=，又1sin62ABCS bc A==V，sin4tancos3bc A aAbc A b∴===，162ABCS ab==VQ，则12ab=，所以，4312abab⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得43ab=⎧⎨=⎩，225c a b∴=+=.以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则()0,0C、()3,0A、()0,4B，P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得()()()3,43,401AP ABλλλλλ==-=-≤≤u u u r u u u r，()33,4CP CA CBλλ∴=+=-u u u r u u u r u u u r，设1CA e CA =u u u r u r u u u r ，1C e B CB=u u u r u r u u u r ，则121e e ==u r u u r ，()11,0e ∴=u r ，()20,1e =u r ，()12,CA CB CP x y xe ye x y CA CB =⋅+⋅=+=u u u r u u u ru u u r u r u u r Q u u u r u u u r ，334x y λλ=-⎧∴⎨=⎩，消去λ得4312x y +=，134x y ∴+=，所以，11777343412121211x y x y x x y y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当x y =时，等号成立， 因此，11x y +的最小值为7312+.故选：A. 【点睛】本题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题，解题的关键是理解CA CAu u u ru u u r 是一个单位向量，从而可用x 、y 表示CP u u u r ，建立x 、y 与参数的关系，解决本题的第二个关键点在于由33x λ=-，4y λ=发现4312x y +=为定值，从而考虑利用基本不等式求解最小值，考查计算能力，属于难题.11．若()12nx -的二项展开式中2x 的系数是40，则正整数n 的值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】B 【解析】 【分析】先化简()12n x -的二项展开式中第1r +项()112rrn r r n T C x -+=⋅⋅-，然后直接求解即可【详解】()12nx -的二项展开式中第1r +项()112r r n r r n T C x -+=⋅⋅-.令2r =，则()2232n T C x =⋅-，∴2440n C =，∴4n =-（舍）或5n =. 【点睛】本题考查二项展开式问题，属于基础题12．设不等式组00x y x +≥⎧⎪⎨-≤⎪⎩表示的平面区域为Ω，若从圆C ：224x y +=的内部随机选取一点P ，则P 取自Ω的概率为（ ）A．524B．724C．1124D．1724【答案】B【解析】【分析】画出不等式组表示的可行域，求得阴影部分扇形对应的圆心角，根据几何概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】作出Ω中在圆C内部的区域，如图所示，因为直线0x y+=，30x y-=的倾斜角分别为34π，6π，所以由图可得P取自Ω的概率为3746224πππ-=.故选：B【点睛】本小题主要考查几何概型的计算，考查线性可行域的画法，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
(新高考)2021届高三第三次模拟考试卷 数学(四)解析
（新高考）2021届高三第三次模拟考试卷数 学（四）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}22740A xx x =--≤∣，{}3B x x =<，则A B =（ ）A ．()2,3-B ．(]2,3-C ．1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,32⎡⎫-⎪⎢⎣⎭答案：D解：由22740x x --≤，即(21)(4)0x x +-≤，得142x -≤≤，集合1,42A ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦， 由3x <，得29x <，即33x -<<，集合()3,3B =-， 由数轴表示可得1,32AB ⎡⎫=-⎪⎢⎣⎭，故选D ．2．设复数z 满足()()23i 1i z-=+，则z =（ ）A ．12B ．2 C ．3 D ．1答案：D解：()()223i 1i 12i i 2i z-=+=++=，(()()()2i3ii3i 13i 223i3i3iz ++∴====-+--+， 因此，2213122z ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D ． 3．关于命题，下列判断正确的是（ ） A ．命题“每个正方形都是矩形”是存在量词命题 B ．命题“有一个素数不是奇数”是全称量词命题C ．命题“4,x x ∀∈∈R R ”的否定为“400,x x ∃∈∉R R ”D ．命题“每个整数都是有理数”的否定为“每个整数都不是有理数” 答案：C解：A 选项，命题“每个正方形都是矩形”含有全称量词“每个”，是全称量词命题，故A 错； B 选项，命题“有一个素数不是奇数”含有存在量词“有一个”，是存在量词命题，故B 错；C 选项，命题“4,x x ∀∈∈R R ”的否定为“400,x x ∃∈∉R R ”，故C 正确；D 选项，命题“每个整数都是有理数”的否定为“存在一个整数不是有理数”，故D 错， 故选C ．4．已知函数()()(),(0)23,0x a x f x a x a x ⎧<⎪=⎨-+≥⎪⎩，满足对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则a 的取值范围是（ ） A ．()0,1a ∈ B ．3,14a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭C ．30,4a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦D ．3,24a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭答案：C解：由题意，函数()f x 对任意的12x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-成立，即函数()()(),(0)23,0x a x f x a x a x ⎧<⎪=⎨-+≥⎪⎩为R 上的减函数，可得0120123a a a a<<⎧⎪-<⎨⎪≥-+⎩，解得304a <≤，故选C ．5．函数()2sin 1f x x =-的奇偶性为（ ）此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号A ．奇函数B ．既是奇函数也是偶函数C ．偶函数D ．非奇非偶函数答案：D解：由2sin 10x -≥，即sin 12x ≥，得函数定义域为52π,2ππ66π()k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ，此定义域在x 轴上表示的区间不关于原点对称． 所以该函数不具有奇偶性，为非奇非偶函数，故选D ．6．已知点P 是ABC △所在平面内一点，且PA PB PC ++=0，则（ ）A ．1233PA BA BC =-+B ．2133PA BA BC =+C ．1233PA BA BC =--D ．2133PA BA BC =-答案：D解：由题意，PA BA PB -=，PA AC PC +=，而PA PB PC ++=0， ∴3PA BA AC -+=0，又AC BC BA =-，即32PA BA BC -+=0，∴2133PA BA BC =-，故选D ． 7．已知实数x 、y 满足约束条件001x y mx y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，其中1m <-，若目标函数y y x m =-的最大值为2，则m =（ ） A ．2- B ．2-或32-C ．2-或12 D ．32-答案：A解：因为实数x 、y 满足约束条件001x y mx y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，所以可根据约束条件绘出可行域，如图所示，其中1,11m A m m ⎛⎫⎪++⎝⎭，11,22B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(),0P m ，因为目标函数yz x m=-的几何意义是可行域内的点(),x y 与(),0P m 所连直线的斜率， 所以目标函数yz x m=-的最大值为2，即1211PAmm k m m +==-+，整理得22320m m +-=，解得2m =-或12（舍去）， 故选A ．8．2021年是巩固脱贫攻坚成果的重要一年，某县为响应国家政策，选派了6名工作人员到A 、B 、C 三个村调研脱贫后的产业规划，每个村至少去1人，不同的安排方式共有（ ）A ．630种B ．600种C ．540种D ．480种答案：C解：把6名工作人员分成1，1，4三组，再安排到三个村有1143654322C C C 651A 32190A 21⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯种； 把6名工作人员分成2，2，2三组，再安排到三个村有2223642333C C C A A 90=种； 把6名工作人员分成1，2，3三组， 再安排到三个村有12336533654C C C A 32136021⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯种， 所以共有9090360540++=种，故选C ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．对两个变量y 和x 进行回归分析，得到一组样本数据：11(,)x y ，22(,)x y ，…，(,)n n x y ， 则下列说法中正确的是（ ）A ．由样本数据得到的回归方程y bx a =+必过样本中心(),x yB ．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C ．用相关指数R 2来刻画回归效果，R 2越小，说明模型的拟合效果越好D ．若变量y 和x 之间的相关系数为09362r =-．，则变量y 和x 之间具有线性相关关系答案：ABD解：A ．由样本数据得到的回归方程y bx a =+必过样本中心(),x y ，故正确； B ．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，故正确；C ．用相关指数R 2来刻画回归效果，R 2越大，说明模型的拟合效果越好，故错误；D ．若变量y 和x 之间的相关系数为09362r =-．，r 的绝对值接近于1，则变量y 和x 之间具有线性相关关系，故正确， 故选ABD ．10．截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体．如图所示，将棱长为3a 的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为a 的截角四面体，则下列说法正确的是（ ）A ．该截角四面体的表面积为273aB ．该截角四面体的体积为323212a C ．该截角四面体的外接球表面积为211π2a D ．该截角四面体中，二面角A BC D --的余弦值为13答案：ABC 解：如图所示：由正四面体S NPQ -中，题中截角四面体由4个边长为a 的正三角形，4个边长为a 的正六边形构成， 故2223344673S a =⨯+⨯⨯=，A 正确； ∵棱长为a 的正四面体的高63h =， ∴223136136232)(3)434334312V a a a a =⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=，B 正确； 设外接球的球心为O ，ABC △的中心为O '，NPQ △的中心为O ''，626633a -=， 222226R O C R O H '''--=2222263a R R a --=，22222633a R a R a -=--222222284633a R a R a R a -=+--⋅- ∴22118R a =，∴22114ππ2S R a ==，C 正确；易知二面角S BC A --为锐角，所以二面角A BC D --的余弦值为负值，D 错误， 故选ABC ．11．已知等比数列{}n a 的公比23q =-，等差数列{}n b 的首项112b =，若99a b >且1010a b >， 则以下结论正确的有（ ） A ．9100a a ⋅< B ．910a a > C ．100b >D ．910b b >答案：AD解：数列{}n a 是公比q 为23-的等比数列；{}n b 是首项为12，公差设为d 的等差数列， 则8912()3a a =-，91012()3a a =-，∴21791012()30a a a ⋅=<-，故A 正确； ∵a 1正负不确定，故B 错误；∵a 10正负不确定，∴由1010a b >，不能求得b 10的符号，故C 错误；由99a b >且1010a b >，则812()1283a d >-+，912()1293a d >-+，可得等差数列{}n b 一定是递减数列，即0d <，即有910b b >，故D 正确， 故选AD ．12．在平面直角坐标系xOy 中，过抛物线22x y =的焦点的直线l 与该抛物线的两个交点为11(,)A x y ，22(,)B x y ，则（ ）A ．1214y y =B ．以AB 为直径的圆与直线12y 相切 C ．OA OB +的最小值D ．经过点B 与x 轴垂直的直线与直线OA 交点一定在定直线上 答案：ABD解：抛物线的焦点为10,2⎛⎫⎪⎝⎭，设直线AB 的方程为12y kx =+，联立2122y kx x y⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得2210x kx --=，所以122x x k +=，121x x =-，()21212121y y k x x k +=++=+，()2121212121111122244y y kx kx k x x k x x ⎛⎫⎛⎫=++=+++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故A 正确；以AB 为直径的圆的圆心为1212,22x x y y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，即21,2k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 半径为2121122AB y y k ++==+，所以圆心到直线12y的距离为2211122k k ++=+，等于半径，所以以AB 为直径的圆与直线12y相切，即B 正确； 当直线AB 与x轴平行时，OA OB ==OA OB =+ 所以OA OB +的最小值不是C 错误； 直线OA 的方程为1112y x y x x x ==，与2x x =的交点坐标为122,2x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 因为12122x x =-，所以经过点B 与x 轴垂直的直线与直线OA 交点在定直线12y 上， 故D 正确， 故选ABD ．第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．二项式62x ⎫-⎪⎭的展开式中，常数项为_________．答案：60解：二项式62x ⎫-⎪⎭的展开式通项为()633622166C 12C 2rrr r r r rr x T x ---+⎛⎫=⋅⋅-=-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭， 令3302r -=，解得2r ，则常数项为()222612C 60-⋅⋅=，故答案为60．14．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2222b c a +=，则cos A 的最小值为________． 答案：12解：22222222221cos 222b c a a a a A bc b c a +--=≥==+，当且仅当b c a ==时等号成立，故答案为12． 15．过圆()222:0O x y rr +=>外一点()2,0引直线l 与圆O 相交于A ，B 两点，当AOB △的面积取最大值时，直线l的斜率等于3±r 的值为_________．解：211sin sin 22AOB S OA OB AOB r AOB =∠=∠△，当90AOB ∠=︒时，AOB △的面积最大，此时圆心O 到直线AB的距离d =， 设直线AB 方程为()2y k x =-，213k =，则2d r ==， 所以2224112k r k =+，再将213k =代入，求得r =．16．设函数21()x f x x +=，()x x g x e =，则函数()(0)x x g x x e =>的最大值为_______；若对任意1x ，2(0,)x ∈+∞，不等式()()121g x f x k k ≤+恒成立，则正数k 的取值范围是_________． 答案：1e ，121k e ≥- 解：()()0x x g x x e =>，()21()x x x x x e x e xg x e e '⋅-⋅-'∴==， 由()0g x '>，可得01x <<，此时函数()g x 为增函数； 由()0g x '<，可得1x >，此时函数()g x 为减函数，()g x ∴的最大值为1(1)g e=；若对任意1x ，2(0,)x ∈+∞，不等式()()121g x f x k k ≤+恒成立， 则等价为()()121g x kf x k ≤+恒成立，211()2x f x x x x +==+≥=，当且仅当1x x =，即1x =时等号成立， 即()f x 的最小值为2，且()g x 的最大值为1(1)g e=， 则12()()g x f x 的最大值为1122e e=， 则由112k k e ≥+，得()211k e -≥，即121k e ≥-， 故答案为1e ，121k e ≥-．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，()sin A A b =+． （1）求角B 的大小；（2）若2a c +=，求b 的取值范围． 答案：（1）π3B =；（2）[)1,2b ∈．解：（1()sin A Ab =sin sin cos C B A B A=+，()sin sin cos A B B A B A +=，cos sin sin sin cos A B A B B A B A +=+， cos sin sin A BA B =，∴tan B = ∵()0,πB ∈，∴π3B =． （2）∵2a c +=，π3B =， ∴222222cos a c b c c c a B a a =+=-+-()223434312a c a c ac ac +⎛⎫=+-=-≥-= ⎪⎝⎭（当且仅a c =时取等号）， 又2b a c <+=，∴[)1,2b ∈．18．（12分）已知各项均为正数的等差数列{}n a 满足11a =，22112()n n n n a a a a ++=++．（1）求{}n a 的通项公式；（2）记b，求数列{}n b 的前n 项和S n ．答案：（1）21n a n =-；（2）211n n S +-=．解：（1）由题意，得()22112n n n n a a a a ++-=+，即()()()1112n n n n n n a a a a a a ++++-=+，又数列{}n a 的各项均为正数，即10n n a a ++≠，则12n n a a +-=， ∴{}n a 的公差为2，而11a =，故21n a n =-． （2）由（1）知121212121n n n n n b a a n n ++--===+-++，∴()()()()12131537521212n n S b b b n n ⎡⎤=+++=-+-+-+++--⎣⎦211n +-=． 19．（12分）某行业主管部门为了解本行业疫情过后恢复生产的中小企业的生产情况，随机调查了120个企业，得到这些企业第二季度相对于前一年第二季度产值增长率y 的频数分布表．y 的分组 [0.4,0.2)--[0.2,0)-[0,0.2)[0.2,0.4)[0.4,0.6)企业数3024401610（1）估计这些企业中产值负增长的企业比例（用百分数表示）；（2）估计这120个企业产值增长率的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （3）以表中y 的分组中各组的频率为概率，某记者要从当地本行业所有企业中任意选取两个企业做采访调查．若采访的企业的增长率[0.4,0.2)y ∈--，则采访价值为1；采访的企业的增长率[0.2,0)y ∈-，则采访价值为2；采访的企业的增长率[0,0.6)y ∈，则采访价值为3．设选取的两个企业的采访价值之和为X ，求X 的分布列及数学期望． 答案：（1）45%；（2）0.02；（3）分布列见解析，235． 解：（1）估计这些企业中产值负增长的企业比例为3024100%45%120+⨯=． （2）这120个企业产值增长率的平均数1(0.3300.1240.1400.3160.510)0.02120y =-⨯-⨯+⨯+⨯+⨯=． （3）依题意可得[0.4,0.2)y ∈-的概率为3011204=， [0.2,0)y ∈-的概率为2411205=， [0,0.6)y ∈的概率为4016101112020++=．X 的所有可能取值为2，3，4，5，6，111(2)4416P X ==⨯=；111(3)24510P X ==⨯⨯=；1111163(4)242055200P X ==⨯⨯+⨯=；11111(5)252050P X ==⨯⨯=； 1111121(6)2020400P X ==⨯=， 则X 的分布列为X 234 5 6P11611063200 1150 121400故()11631112123234561610200504005E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 20．（12分）如图所示，四棱锥S ABCD -的底面ABCD 为梯形，平面SCD ⊥平面ABCD ，90BAD ADC SCD ∠=∠=∠=︒，112AB AD CD ===．（1）求证：平面SBD ⊥平面SBC ； （2）若二面角A SB C --的余弦值为320，求SC 的长度． 答案：（1）证明见解析；（2）3．解：（1）由题意，在底面梯形ABCD 中，因为90BAD ADC ∠=∠=︒且1AB AD ==，2CD =，可得2BD BC ==，又由2CD =，所以222BD BC CD +=，所以BD BC ⊥， 又因为平面SCD ⊥平面ABCD ，平面SCD 平面ABCD CD =， 且SC CD ⊥，SC ⊂平面SCD ，所以SC ⊥上平面ABCD ， 又由BD ⊂平面ABCD ，所以BD SC ⊥， 因为SCBC C =且,SC BC ∈平面SBC ，所以BD ⊥平面SBC ，又因为BD ⊂平面SBD ，所以平面SBD ⊥平面SBC ． （2）由（1）知SC ⊥平面ABCD ，以C 为坐标原点，CD 所在直线为x 轴，在平面ABCD 内垂直于CD 的直线为y 轴，CS 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则(2,1,0)A ，(1,1,0)B ，(2,0,0)D ，设(0)SC h h =>，所以(0,0,)S h ，可得(1,0,0)BA =，(1,1,)BS h =--，(1,1,0)BD =-， 由（1）得BD ⊥平面SBC ，所以平面SBC 的一个法向量为(1,1,0)BD =-， 设平面ABS 的法向量为(,,)x y z =n ，则0BA BS ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，可得00x x y hz =⎧⎨--+=⎩，令1z =，可得(0,,1)h =n ，则2320cos ,21BD h〈〉==-⋅+n ，解得3SC =，即3SC =．21．（12分）已知圆()2122:1F x y r ++=与圆()()()2222141:3F x y r r -+=-≤≤的公共点的轨迹为曲线E ． （1）求E 的方程；（2）设点A 为圆2212:7O x y +=上任意点，且圆O 在点A 处的切线与E 交于P ，Q 两点．试问：AP AQ ⋅是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．答案：（1）22143x y +=；（2）是，127-． 解：（1）设公共点为P ，则1PF r =，24PF r =-，12124PF PF F F +=>， 即公共点P 的轨迹为椭圆，且24a =，∴2a =，又1c =，∴23b =，故曲线22:143x y E +=．（2）方法一：当直线PQ 斜率不存在时，12:7PQ x = 代入E 得127y =127AP AQ ⋅-=，易知OP OQ ⊥；当直线PQ 斜率存在，设:PQ y kx m =+，PQ 与圆O ()22212171m r m k k =⇒=++， 将PQ 方程代入E ，得()2224384120k x kmx m +++-=，∴122843km x x k +=-+，212241243m x x k -=+，()()()()221212*********OP OQ x x y y x x kx m kx m k x x km x x m ⋅=+=+++=++++()()()2222222222141271218434343k m m k k m m k k k +--+=-+=+++， 将()221217m k =+代入，得0OP OQ ⋅=，即OP OQ ⊥， 综上，恒有OP OQ ⊥，2127AP AQ AP AQ OA ⋅=-⋅=-=-． 法二：当直线PQ 斜率不存在时，12:7PQ x =E 得127y =2127AP AQ AP AQ OA ⋅=-⋅=-=-； 当直线PQ 斜率存在，设:PQ y kx m =+，∵PQ 与圆Or =，即()221217m k =+． 将PQ 方程代入E ，得()2224384120k x kmx m +++-=，∴122843km x x k +=-+，212241243m x x k -=+，AP ===1==+，同理可得2AQ =， 故()221212712127k AP AQ m x x km x x =+++∣， 将122843km x x k +=-+，212241243m x x k -=+，及()221217m k =+代入，可得127AP AQ ⋅=． 综上2127AP AQ AP AQ OA ⋅=-⋅=-=-． 22．（12分）已知函数ln ()xf x x=．（1）若直线1y kx =-是曲线()y f x =的切线，求实数k 的值；（2）若对任意(0,)x ∈+∞，不等式ln ()1af x ax x≤--成立，求实数a 的取值集合．答案：（1）1k =；（2）{1}． 解：（1）因为ln ()(0)x f x x x =>，所以21ln ()xf x x-'=， 设切点为000ln ,x P x x ⎛⎫⎪⎝⎭，此时切线方程为()000200ln 1ln x x y x x x x --=-， 又直线1y kx =-过(0,1)-，所以()000200ln 1ln 10x x x x x ---=-，即002ln 10x x +-=， 令()2ln 1h x x x =+-，则(1)0h =，且()h x 在(0,)+∞上单调递增， 所以方程002ln 10x x +-=有唯一解01x =，所以1k =．（2）不等式ln ()1af x ax x≤--恒成立，即不等式2ln ln 0ax x x a ---≥恒成立． 方法1：令2()ln ln F x ax x x a =---，则221()ax x F x x--'=，令2()210G x ax x =--=，因为0a >，所以180Δa =+>， 所以()0G x =有两个不等根1x ，2x ，12102x x a=-<，不妨设120x x <<， 所以()F x 在()20,x 上递减，在()2,x +∞上递增， 所以()()2min 2222()ln F x F x ax x ax ==--．由()2222210G x ax x =--=，得22212x ax x +=，所以()222211ln 22x x F x x -+=-， 所以22211ln 022x x x -+-≥， 令111()ln ln 2ln(1)222x x x H x x x x -+-=-=+-+，则(1)(2)()2(1)x x H x x x -+'=-+，所以()H x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减，所以()(1)0H x H ≤=，又()20F x ≥，所以()20F x =，所以21x =，所以1a =， 所以，实数a 的取值集合为{1}．方法2：令2()ln ln F x ax x x a =---，则10()F F x a ⎛⎫=≤⎪⎝⎭， 所以1x a =是函数()F x 的极值点，所以10F a ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，即1a =，此时，2()ln F x x x x =--，221(1)(21)()x x x x F x x x---+'==， 所以()F x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增． 所以min ()(1)0F x F ==，符合题意， 所以，实数a 的取值集合为{1}．。
广东省韶关市2021届高三数学7月模底考试试题 理(1)
广东省韶关市2021届高三模拟底考试数学（理科）试题说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择填空题）和第Ⅱ卷（解答题）两部份，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页，总分值150分，考试时刻120分钟。
注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、班级、学校用蓝、黑墨水钢笔或圆珠笔、签字笔写在答卷上。
2．第I 卷每题得出答案后，请将答案填写在答题卷相应表格指定位置上。
3.考试终止，考生只需将第Ⅱ卷（含答卷）交回． 参考公式：第I 卷 （选择、填空题 总分值70分）一、选择题（本大题共10小题，每题5分，总分值40分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的）．1．设全集{|33,},{1,2},{2,1,2}I x x x Z A B =-<<∈==--，那么()I AB =A ．{1}B ．{l,2}C ．{0,1,2}D ．{一1,0,1,2}2．复数z 知足2)1()1(i z i +=+-,其中i 为虚数单位,那么在复平面上复数z 对应的点位（ ）.A 第一象限 .B 第二象限 .C 第三象限 .D 第四象限３. 以下函数中，既是奇函数又是在概念域上是减函数的为（ ）. A ．1y x =+ B ．1y x=C ．3y x =- D ．ln y x = ４. 在ABC △中，假设60,45,32A B BC ︒︒∠=∠==AC =（ ）.A ．3B ．23C 3D 3 5.如图右所示，该程序运行后输出的结果为 ( )A ．14B ．16C ．18D ．646. 设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，以下命题中正确的选项是（ ）A ．假设//l α，//l β，那么//αβB ．假设l α⊥，l β⊥，那么//αβC ．假设l α⊥，//l β，那么//αβD ．假设αβ⊥，//l α，那么l β⊥7．现有16张不同卡片，其中红色，黄色，蓝色，绿色卡片各４张，从中任取３张，要求这３张不能是同一颜色，且红色卡片最多１张，不同的取法为（ ） A ．232种 B ．252种 C ．472种 D ．484种 8.列命题中是假命题．．．的个数是（ ） ①βαβαβαsin cos )cos(,,+=+∈∃使R ； ②有零点函数a x x x f a -+=>∀ln ln )(,02③),0(,)1()(,342+∞⋅-=∈∃+-且在是幂函数使m mx m x f m R 上递减④若函数()21x f x =-，那么[]12,0,1x x ∃∈且12x x <，使得 12()()f x f x > A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 二．填空题（本大题共6小题，每题5分，总分值30分）． 9.函数2lg(23)y x x =--+的概念域是________(用区间表示)．10. 某工厂的某种型号的机械的利用年限x 和所支出的维修费用y (万元)有下表的统计资料如图： 依照上表可得回归方程^^23.1a x y +=，那么=^a _______________.11. 已知向量()3,2-=p ,()2,x q =,且q p ⊥，那么+的值为 .12．已知,x y 知足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+2211y x y x y x ，那么目标函数23 z x y =-的最大值为 .14. 已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，其公比1q ≠，假设1166,a b a b ==，且{}n a 和{}n b 各项都是正数，那么n a 与n b 的大小关系是______________________.（填 “>”或“=”或“<”）1４.已知抛物线:C 22y px =与双曲线2213x y -=的右核心重合，那么抛物线C 上的动点M 到直线1l ：4360x y -+=和 2:l 2x =-距离之和的最小值为________________.数学（理科）试题一．选择题答卷：二、填空题答卷：9．____________________． 10．__________________________． 11．____________________．12．__________________________．13．________________________． 14．__________________________． 第Ⅱ卷（解答题 总分值80）三．解答题（本大题共6题，总分值80解许诺写出文字说明．证明进程或演算步骤）． 15．（本小题总分值１２分）已知函数()()x x x x f sin cos sin 2+= (x ∈R ). （1）求⎪⎭⎫⎝⎛65πf 的值； （2）求()x f 在区间[]π,0上的最大值及相应的x 值. 16．（本小题总分值１２分）为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者,其年龄频率散布直方图如下图,其中年龄分组区间是:[)[)[)[)[]20,25,25,30,30,35,35,40,40,45.(1)求图中x 的值并依照频率散布直方图估量这500名志愿者中年龄在[)35,40岁的人数；(2)在抽出的100名志愿者中按年龄采纳分层抽样的方式抽取20名参加中心广场的宣传活动,再从这20名中采纳简单随机抽样方式选取3名志愿者担任要紧负责人.记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为X ,求X 的散布列及数学期望.17. （本小题总分值１4分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AD =1AA =1，2AB =，点E 是线段AB 中点.(1)求证：1D E CE ⊥;(2)求二面角1D EC D --的大小的余弦值； （3）求A 点到平面E CD 1的距离. 18．（本小题总分值14分）已知等差数列14521,,,0,1,}{a a a d a a n 且公差中>=别离是等比数列}{n b 的第二项、第三项、第四项. （1）求数列}{n a ，}{n b 的通项公式；（2）设数列}{n c 知足对任意的*N n ∈均有n n n c b c b c b a +++=+ 22111成立，求证：421<+++n c c c . 19. （本小题总分值14分）已知椭圆()2222:10+=>>x y C a b a b 的左、右核心别离为12(1,0)(1,0)F F -、，且通过定点3(1,)2P ，00(,)M x y 为椭圆C 上的动点，以点M 为圆心，2MF 为半径作圆M .（1）求椭圆C 的方程；（2）假设圆M 与y 轴有两个不同交点，求点M 横坐标0x 的取值范围；（3）是不是存在定圆N ，使得圆N 与圆M 恒相切？假设存在，求出定圆N 的方程；假设不存在，请说明理由.20. （本小题总分值14分）已知函数2()ln xf x a x x a =+-，1a >. (1)求证函数()f x 在(0，＋∞)上单调递增； (2)假设函数1()3y f x b b=-+-有四个零点，求b 的取值范围； A BA 1CDB 1C 1D 1E(3)假设关于任意的x ∈[－1,1]时，都有()f x 21e ≤-恒成立，求a 的取值范围．参考解答和评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的要紧知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，若是考生的解法与参考答案不同，可依照试题要紧考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步显现错误时，若是后继部份的解答未改变该题的内容和难度，可视阻碍的程度决定后继部份的得分，但所给分数不得超过该部份正确解许诺得分数的一半；若是后继部份的解答有较严峻的错误，就再也不给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：，ADCBA BCB1． 提示：{0,1},(){1}I I C B A C B =∴=，因此选A2． 提示：211iz i i ==--，对应点在第四象限，因此选D 3. 提示：由概念和图象易知，3y x =-符合题设，因此选C 4.. 提示： 由正弦定理得：sin sin sin 60sin 45BC AC ACAC A B ︒︒=⇒=⇒=5. 提示：第1次循环，S=2，i=9;第2次循环，S=4，i=8;第3次循环，S=6，i=7，第4次循环，S=8，i=6，;第5次循环，S=10，i=5，;第6次循环，S=12，i=4，;第7次循环，S=14，i=3，不知足i≤3，退出循环，输出的结果为14，应选A ．6. 由条件l α⊥，l β⊥，可证得//αβ,选B7. 提示：法１ 33211644124472C C C C --= 法２. 0331241244123472C C C C C -+=８. 提示：只有第④是假，应选B 二、填空题：9. 提示:2230x x --+>,31x -<<,因此概念域为(3,1)-．10. 提示：样本中心为)4.5,4(代入回归方程得48.0^=a 11. 提示：03p q p q x ⊥⇒⋅=⇒= ,(5,1)p q +=-,26p q +=12. 提示:如图作出可行域，可知，max (23)2x y -= 13. 提示:考查等差等比的大体性质及均值不等式. 1111116622a ab b a b ++==≥=，由于1q ≠，因此111b b ≠，因此66a b >.１4. 提示：抛物线:C 22y px =与双曲线2213x y -=2=，1x =-是抛物线准线，作1MA l ⊥ 2MB l ⊥，由抛物线概念MB =其距离为,,M A F 三点共线时，距离之和的最小，其值是F 到1l 距离，145. 三、解答题１５. 解：（1）()()x x x x f sin cos sin 2+= 1)42sin(2+-=πx ………………………………………………………3分2134ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭……………………………………………………… 4分 231-= …………………………………………………………………………7分 （2）0x π≤≤ 72444x πππ-≤-≤………………………………………８分从而当 242ππ=-x 时，即83π=x 时，……………………………… 10分()12max +=x f …………… 1２分另解：（１）5555111()2sin()(cos sin )2()66662222f ππππ=+=⨯-+=……………3分（２）()()x x x x f sin cos sin 2+=x x 2cos 12sin -+=……………………………………………………… ５分1)42sin(2+-=πx ………………………………………………………7分0x π≤≤ 72444x πππ-≤-≤………………………………………８分 从而当 242ππ=-x 时，即83π=x 时，……………………………… 10分()12max +=x f …………… 1２分１６. 解：(1)∵小矩形的面积等于频率,∴除[)40,35外的频率和为0.70, ………………2分估量500名志愿者中,年龄在[)40,35岁的人数为150500506.0=⨯⨯(人).……4分(2)用分层抽样的方式,从当选取20名,那么其中年龄“低于35岁”的人有12名,“年龄不低于35岁”的人有8名故X 的可能取值为0,1,2,3, ……………………………………………………6分()28514032038===C C X P ,()9528132028112===C C C X P ,()9544232018212===C C C X P ,()57113320312===C C X P ,……………………………………………………………………10分 故X 的散布列为因此1428441117190123285959557955EX =⨯+⨯+⨯+⨯==. ………………………12分 17.解：(１) 证明：1DD ⊥面ABCD ，CE ⊂面ABCD因此，1DD ⊥CE ……………………１分Rt DAE ∆中，1AD =，1AE = 同理：CE =，又2CD = ，222CD CE DE =+DE CE ⊥……………………………………………………………3分因此，CE ⊥面1D DE ………………………………………………………………4分 又1D E ⊂面1D EC因此，1D E CE ⊥……………………………………………………………5分(２)解法一 由（１）证可知ED D 1∠是所求二面角1D EC D --的平面角…………６分在ED D RT 1∆中，11=DD ，2=DE ；故，2221tan 1==∠ED D …………………………8分即二面角1D EC D --的大小的余弦值为9分 解法二：利用向量法设平面E CD 1的法向量为)1,,(y x m =， 由(１)得)1,1,1(1-=E D ，)0,1,1(-=CE011=-+=⋅y x E D m 且0=-=⋅y x CE m解得：21==y x ,即)1,21,21(=m ；又平面CDE 的法向量为)1,0,0(1=DD ， 因此，二面角1D EC D --…………………………9分（３）)解法一：1B =C ，1A =E ，C E B A ⊥， 211121A =⨯⨯=∴∆CE S ………………………………………10分 又 31=E D ， 2C =E ，CE E D ⊥1，262321=⨯⨯=∴∆CDE S ……………………（11分） 设A 点到平面E CD 1的距离为d ，那么d V V E CD CE D ⨯⨯==⨯⨯=--26311213111A A ， 解得66=d ，即A 点到平面E CD 1的距离为66. ……………（14分） 解法二：利用向量法由(１) (２)知)0,1,0(A =E ，平面E CD 1的法向量为)1,21,21(=m 故，A 点到平面E CD 1的距离为662621||===m d18. 解:（1）}{,,1452n b a a a 分别是等比数列 的第二项、第三项、第四项.)131)(1()41(2d d d ++=+∴…………..1分)0(2==∴d d 舍去…………..3分 12-=∴n a n ……………………4分又9,35322====a b a b3=∴q 公比，13-=∴n n b …………………………7分（2）证明：当n=1时，112c b a =431<=∴c …………………………8分当112211,2--+++=≥n n n c b c b c b a n 时1132-+=-=∴n n n n n b a a c …………………………11分 4314311)311(3231121<-=--+=+++∴--n n n c c c ………………13分因此，关于任意的.4*,21<+++∈n c c c N n 均有………………14分 19. （1）由椭圆概念得122+=PF PF a ，……………………………………… 1分即532422a ==+=， ……………………… 2分 ∴2a =，又1=c ， ∴2223b a c =-=.……………………………………… 3分故椭圆C 的方程为22143+=x y …………………………………………………4分 （2）圆心00(,)M x y 到y 轴距离0=d x ，圆M 的半径=r假设圆M 与y 轴有两个不同交点，那么有>r d0>x ，化简得200210-+>y x .…………………… …………………………… 6分点M 在椭圆C 上，∴2200334y x =-，代入以上不等式得： 20038160+-<x x ，解得：0443-<<x . ……………………………………… 8分又022-≤≤x ，∴ 0423x -≤<，即点M 横坐标的取值范围是4[2,)3-. ……9分 （3）存在定圆()22:116++=N x y 与圆M 恒相切，其中定圆N 的圆心为椭圆的左核心1F ，半径为椭圆C 的长轴长4. ……………………12分 ∵由椭圆概念知，1224+==MF MF a ，即124MF MF =-， ∴圆N 与圆M 恒内切. …………………………………………………………… 14分 20. 解：(1)证明∵f (x )＝a x ＋x 2－x ln a ，∴f ′(x )＝a x ·ln a ＋2x －ln a ＝(a x －1)ln a ＋2x . …………………………………2分 ∵a >1，x >0，∴a x －1>0，ln a >0,2x >0，∴当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0， 即函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增…………………………………4分 (2)解：由(1)知当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0，∴f (x )在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． ∴f (x )取得最小值为f (0)＝1…………………………………5分 由1()f x b b-+－3＝0，得f (x )＝b －1b ＋3或f (x )＝b －1b －3，∴要使函数y ＝1()f x b b -+－3有四个零点，只需131131b bb b⎧-+>⎪⎪⎨⎪-->⎪⎩………………7分即b －1b>4，即b 2－4b －1b>0，解得b >2＋5或2－5<b <0.故b 的取值范围是(2－5，0)∪(2＋5，＋∞) ………………………………8分(3)解：由(1)知f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， f (－1)＝1a ＋1＋ln a ，f (1)＝a ＋1－ln a ，∴f (1)－f (－1)＝a －1a－2ln a令H (x )＝x －1x －2ln x (x >0)，那么H ′(x )＝1＋1x 2－2x ＝x 2－2x ＋1x 2＝(x －1)2x2>0， ∴H (x )在(0，＋∞)上单调递增．∵a >1，∴H (a )>H (1)＝0. ∴f (1)>f (－1)∴|f (x )|的最大值为 f (1)＝a ＋1－ln a ，……………………………………12分∴要使()f x 22e ≤-恒成立，只需a ＋1－ln a ≤e 2－2即可 令h (a )＝a －ln a (a >1)，h ′(a )＝1－1a>0，∴h (a )在(1，＋∞)上单调递增． ∵h (e 2)＝e 2－1，∴只需h (a )≤h (e 2)，即1<a ≤e 2.故a 的取值范围是(1，e 2] …………………………………………………14分。
广东省韶关市2021届新高考数学最后模拟卷含解析
广东省韶关市2021届新高考数学最后模拟卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知点(2,0)M ，点P 在曲线24y x =上运动，点F 为抛物线的焦点，则2||||1PM PF -的最小值为（ ）A．3 B ．2(51)- C ．45D ．4【答案】D 【解析】 【分析】如图所示：过点P 作PN 垂直准线于N ，交y 轴于Q ，则11PF PN PQ -=-=，设(),P x y ，0x >，则2||4||1PM x PF x=+-，利用均值不等式得到答案. 【详解】如图所示：过点P 作PN 垂直准线于N ，交y 轴于Q ，则11PF PN PQ -=-=，设(),P x y ，0x >，则()()22222224||||44||1x yx x PM P P M x F x Q P x x-+-+====+≥-， 当4x x=，即2x =时等号成立. 故选：D .【点睛】本题考查了抛物线中距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.2．已知函数()32,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则3=3f f ⎛⎫⎛ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A．2B ．12C ．3log 2-D ．3log 2【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数解析式，先求得f ⎝⎭的值，再求得f f ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值. 【详解】依题意12331log log 3332f -⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭，1212322f f f -⎛⎫⎛⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：A 【点睛】本小题主要考查根据分段函数解析式求函数值，属于基础题. 3．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，1252a a +=，234+=a a ，则10S =（ ） A ．85 B ．852C ．35D ．352【答案】B 【解析】 【分析】将已知条件转化为1,a d 的形式，求得1,a d ，由此求得10S . 【详解】设公差为d ，则11522234a d a d ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，所以322d =，34d =，178a =，101138510109242S a =+⨯⨯⨯=. 故选：B 【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的基本量计算，考查等差数列前n 项和的计算，属于基础题. 4．已知集合A {x x 0}︱=>，2B {x x x b 0}=-+=︱，若{3}A B ⋂=，则b =（ ） A ．6- B ．6C ．5D ．5-【答案】A 【解析】 【分析】由{}3A B ⋂=，得3B ∈，代入集合B 即可得b .【详解】{}3A B ⋂=Q ，3B ∴∈，930b ∴-+=，即：6b =-，故选：A 【点睛】本题考查了集合交集的含义，也考查了元素与集合的关系，属于基础题.5．若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线与圆()2221x y -+=相切，则双曲线的离心率为( )A ．2B ．C D【答案】C 【解析】 【分析】利用圆心(2,0)到渐近线的距离等于半径即可建立,,a b c 间的关系. 【详解】由已知，双曲线的渐近线方程为0bx ay ±=，故圆心(2,0)到渐近线的距离等于11=，所以223a b =，c e a ====3. 故选：C. 【点睛】本题考查双曲线离心率的求法，求双曲线离心率问题，关键是建立,,a b c 三者间的方程或不等关系，本题是一道基础题.6．已知等差数列{}n a 的公差为2-，前n 项和为n S ，1a ，2a ，3a 为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120︒，若n m S S ≤对任意的*n ∈N 恒成立，则实数m =（ ）. A ．6 B ．5C ．4D ．3【答案】C 【解析】 【分析】若n m S S ≤对任意的*n ∈N 恒成立，则m S 为n S 的最大值，所以由已知，只需求出n S 取得最大值时的n 即可. 【详解】由已知，1a >2a >30a >，又三角形有一个内角为120︒，所以22212323a a a a a =++，22211111(2)(4)(2)(4)a a a a a =-+-+--，解得17a =或12a =（舍），故2(1)7(2)82n n n S n n n -=+⨯-=-+，当4n =时，n S 取得最大值，所以4m =. 故选：C. 【点睛】本题考查等差数列前n 项和的最值问题，考查学生的计算能力，是一道基础题. 7．已知复数z 1=3+4i,z 2=a+i,且z 12z 是实数,则实数a 等于( ) A ．34B ．43C ．-43D ．-34【答案】A 【解析】分析：计算2z a i =-，由z 1()2z 3a 44a 3i =++-，是实数得4a 30-=，从而得解. 详解：复数z 1=3+4i,z 2=a+i,2z a i =-.所以z 1()()()2z 34i a i 3a 44a 3i =+-=++-，是实数， 所以4a 30-=，即3a 4=. 故选A.点睛：本题主要考查了复数共轭的概念，属于基础题.8．已知{}n a 为正项等比数列，n S 是它的前n 项和，若116a =，且4a 与7a 的等差中项为98，则5S 的值是( ) A ．29 B ．30C ．31D ．32【答案】B 【解析】 【分析】设正项等比数列的公比为q ，运用等比数列的通项公式和等差数列的性质，求出公比，再由等比数列的求和公式，计算即可得到所求． 【详解】设正项等比数列的公比为q ， 则a 4=16q 3，a 7=16q 6， a 4与a 7的等差中项为98，即有a 4+a 7=94， 即16q 3+16q 6，=94，解得q=12（负值舍去），则有S 5=()5111a q q--=511612112⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭-=1． 故选C ． 【点睛】本题考查等比数列的通项和求和公式的运用，同时考查等差数列的性质，考查运算能力，属于中档题．9．定义,,a a b a b b a b ≥⎧⊗=⎨<⎩，已知函数21()2sin f x x =-，21()2cos g x x =-，则函数()()()F x f x g x =⊗的最小值为（ ） A ．23B ．1C ．43D ．2【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数的定义得()()F x f x ≥，()()F x g x ≥，则2()()()F x f x g x ≥+,再根据基本不等式构造出相应的所需的形式，可求得函数的最小值. 【详解】依题意得()()F x f x ≥，()()F x g x ≥，则2()()()F x f x g x ≥+,22222211111()()()[(2sin )(2cos )]2sin 2cos 32sin 2cos f x g x x x x x x x+=+=+-+-----222212cos 2sin 14(2)(232sin 2cos 33x x x x --=++≥+=--(当且仅当222cos 2sin x x --222sin 2cos x x -=-，即221sin cos 2x x ==时“=”成立.此时,2()()3f x g x ==，42()3F x ∴≥，()F x ∴的最小值为23， 故选：A. 【点睛】本题考查求分段函数的最值，关键在于根据分段函数的定义得出2()()()F x f x g x ≥+，再由基本不等式求得最值，属于中档题.10．P 是正四面体ABCD 的面ABC 内一动点，E 为棱AD 中点，记DP 与平面BCE 成角为定值θ，若点P 的轨迹为一段抛物线，则tan θ=（ ） A ．2 B．22C ．24D ．22【答案】B 【解析】 【分析】设正四面体的棱长为2，建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，求出面BCE 的法向量，设P 的坐标，求出向量DP u u u r ，求出线面所成角的正弦值，再由角θ的范围0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，结合θ为定值，得出sin θ为定值，且P 的轨迹为一段抛物线，所以求出坐标的关系，进而求出正切值． 【详解】由题意设四面体ABCD 的棱长为2，设O 为BC 的中点，以O 为坐标原点，以OA 为x 轴，以OB 为y 轴，过O 垂直于面ABC 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则可得1OB OC ==，323OA ==OA 的三等分点G 、F 如图， 则1333OG OA ==，2333AG OF OA ===，2263DG AD AG =-=，1623EF DG ==，所以()0,1,0B 、()0,1,0C -、()3,0,0A、32633D ⎛ ⎝⎭、236,0,33E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭， 由题意设(),,0P x y ，326,DP x y ⎛= ⎝⎭u u u r ，QV ABD 和ACD V 都是等边三角形，E 为AD 的中点，BE AD ∴⊥，CE AD ⊥，BE CE E =Q I ，AD ∴⊥平面BCE ，2326AD ⎛∴= ⎝⎭u u u r 为平面BCE 的一个法向量，因为DP 与平面BCE 所成角为定值θ，则0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦，由题意可得sin cos ,AD DP AD DP AD DPθ⋅=<>==⋅u u u r u u u ru u u r u u u ru u u r u u u r=== 因为P 的轨迹为一段抛物线且tan θ为定值，则sinθ也为定值，22339xx ==，可得23y =，此时sin θ=，则cos θ=，sin tan cos θθθ==故选：B. 【点睛】考查线面所成的角的求法，及正切值为定值时的情况，属于中等题．11．已知变量x ，y 间存在线性相关关系，其数据如下表，回归直线方程为 2.10.5ˆ8yx =+，则表中数据m 的值为（ ）A ．0.9B ．0.85C ．0.75D ．0.5【答案】A 【解析】 【分析】计算,x y ，代入回归方程可得． 【详解】 由题意01231.54x +++==，3 5.5715.544m m y ++++==，∴15.52.1 1.50.854m +=⨯+，解得0.9m =． 故选：A. 【点睛】本题考查线性回归直线方程，解题关键是掌握性质：线性回归直线一定过中心点(,)x y ．12．《易经》包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用，《易经》的博大精深，对今天 的几何学和其它学科仍有深刻的影响．下图就是易经中记载的几何图形——八卦田，图中正八 边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，八块面积相等的曲边梯形代表八卦田．已知正八边 形的边长为10m ，阴阳太极图的半径为4m ，则每块八卦田的面积约为（ ）A ．247.79mB ．254.07mC ．257.21mD ．2114.43m【答案】B 【解析】 【分析】由图利用三角形的面积公式可得正八边形中每个三角形的面积，再计算出圆面积的18，两面积作差即可求解. 【详解】由图，正八边形分割成8个等腰三角形，顶角为360458=oo ，设三角形的腰为a ，由正弦定理可得10135sin 45sin 2a =o o，解得1351022a =o ， 所以三角形的面积为：)211351cos135102sin 455022521222S ⎛⎫-=⨯== ⎪⎝⎭o o o ，所以每块八卦田的面积约为：)212521454.078π-⨯⨯≈.故选：B 【点睛】本题考查了正弦定理解三角形、三角形的面积公式，需熟记定理与面积公式，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省韶关市2021届新高考一诊数学试题含解析
广东省韶关市2021届新高考一诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知3sin 2cos 1,(,)2παααπ-=∈，则1tan21tan 2αα-=+（ ） A ．12-B ．2-C ．12D ．2【答案】B 【解析】 【分析】结合22sin cos 1αα+=求得sin ,cos αα的值，由此化简所求表达式，求得表达式的值. 【详解】由22sin 2cos 1sin cos 1αααα-=⎧⎨+=⎩，以及3(,)2παπ∈，解得34sin ,cos 55αα=-=-. 1tan 21tan2αα-=+222sin21cos sin cos cos sin 12cos sin 2222222sin cossincos sin cos sin cos sin 2222222221cos2αααααααααααααααααα-⎛⎫--- ⎪⎝⎭===⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+311sin 524cos 5αα+-===--. 故选：B 【点睛】本小题主要考查利用同角三角函数的基本关系式化简求值，考查二倍角公式，属于中档题. 2．函数y =A ，集合(){}2log 11B x x =+>，则A B =I （ ）A ．{}12x x <≤ B ．{}22x x -≤≤C ．{}23x x -<<D ．{}13x x <<【答案】A 【解析】 【分析】根据函数定义域得集合A ，解对数不等式得到集合B ，然后直接利用交集运算求解. 【详解】解：由函数24y x =-得240x -≥，解得22x -≤≤，即{}22A x x =-≤≤；又()22log 11og 2l x +>=，解得1x >，即{}1B x x =>， 则{}12A B x x ⋂=<≤. 故选：A. 【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了函数定义域的求法，是基础题.3．一个空间几何体的正视图是长为4，宽为3的长方形，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A 43B ．3C 23D ．23【答案】B 【解析】 【分析】由三视图确定原几何体是正三棱柱，由此可求得体积． 【详解】由题意原几何体是正三棱柱，1234432V =⨯=． 故选：B ． 【点睛】本题考查三视图，考查棱柱的体积．解题关键是由三视图不愿出原几何体． 4．已知ABC ∆为等腰直角三角形，2A π=，22BC =M 为ABC ∆所在平面内一点，且1142CM CB CA =+u u u u r u u u r u u u r ，则MB MA ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．224B ．72-C ．52-D ．12-【答案】D 【解析】 【分析】以AB,AC 分别为x 轴和y 轴建立坐标系，结合向量的坐标运算，可求得点M 的坐标，进而求得,MB MA u u u r u u u r，由平面向量的数量积可得答案. 【详解】如图建系，则()0,0A ，()2,0B ，()0,2C ，由1142CM CB CA =+u u u u r u u u r u u u r ，易得11,22M ⎛⎫⎪⎝⎭，则31111,,22222MB MA ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r . 故选：D 【点睛】本题考查平面向量基本定理的运用、数量积的运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.5．已知函数2()ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，若不等式()()()12122f x f x x x t+>++有解，则t 的取值范围是（ ） A ．(,2ln 2)-∞- B ．(],2ln 2-∞- C ．(,112ln 2)-∞-+ D ．(],112ln 2-∞-+【答案】C 【解析】 【分析】先求导得221()ax x f x x -+='（0x >），由于函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，转化为方程2210ax x -+=有两个不相等的正实数根，根据∆，12x x +，12x x ⋅，求出a 的取值范围，而()()()12122f x f x x x t +>++有解，通过分裂参数法和构造新函数51()1ln(2)048h a a a a ⎛⎫=---<< ⎪⎝⎭，通过利用导数研究()h a 单调性、最值，即可得出t 的取值范围. 【详解】由题可得：221()ax x f x x-+='（0x >），因为函数2()ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ， 所以方程2210ax x -+=有两个不相等的正实数根，于是有1212180,10,210,2a x x a x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩解得108a <<. 若不等式()()()12122f x f x x x t +>++有解， 所以()()()1212max 2t f x f x x x <+-+⎡⎤⎣⎦因为()()()12122f x f x x x +-+()2211122212ln ln 2ax x x ax x x x x =-++-+-+()()()21212121223ln a x x x x x x x x ⎡⎤=+--++⎣⎦51ln(2)4a a=---.设51()1ln(2)048h a a a a ⎛⎫=---<< ⎪⎝⎭， 254()04a h a a -'=>，故()h a 在10,8⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 故1()112ln 28h a h ⎛⎫<=-+ ⎪⎝⎭， 所以112ln 2t <-+，所以t 的取值范围是(,112ln 2)-∞-+. 故选：C. 【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性、最值来求参数取值范围，以及运用分离参数法和构造函数法，还考查分析和计算能力，有一定的难度.6．已知奇函数()f x 是R 上的减函数，若,m n 满足不等式组()(2)0(1)0()0f m f n f m n f m +-≥⎧⎪--≥⎨⎪≤⎩，则2m n -的最小值为（ ） A ．-4 B ．-2C ．0D ．4【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和单调性得到可行域，画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案. 【详解】奇函数()f x 是R 上的减函数，则()00f =，且2100m n m n m ≤-⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，画出可行域和目标函数，2z m n =-，即2n m z =-，z 表示直线与y 轴截距的相反数，根据平移得到：当直线过点()0,2，即0.2m n ==时，2z m n =-有最小值为2-. 故选：B.【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性，线性规划问题，意在考查学生的综合应用能力，画出图像是解题的关键.7．已知i 为虚数单位，若复数z 满足5i 12iz =-+，则z =（ ） A ．1i + B ．1i -+C ．12i -D ．12i +【答案】A 【解析】分析：题设中复数满足的等式可以化为512z i i=++，利用复数的四则运算可以求出z . 详解：由题设有512112z i i i i i=+=-+=-+，故1z i =+，故选A. 点睛：本题考查复数的四则运算和复数概念中的共轭复数，属于基础题.8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，且公比为2，则n S 与n a 的关系正确的是（ ） A ．41n n S a =- B ．21n n S a =+ C ．21n n S a =- D ．43n n S a =-【答案】C 【解析】 【分析】在等比数列中，由11n n a a S qq-⋅=-即可表示之间的关系.【详解】由题可知，等比数列{}n a 中11a =，且公比为2，故11221112n nn n a a q a a q S -⋅-===---故选：C 【点睛】本题考查等比数列求和公式的应用，属于基础题.9．已知抛物线()220y px p =>经过点(M ，焦点为F ，则直线MF 的斜率为（ ）A ．B ．C D ．-【答案】A 【解析】 【分析】先求出p ，再求焦点F 坐标，最后求MF 的斜率 【详解】解：抛物线()220y px p =>经过点(M(222p =⨯，2p =，()1,0F ，MF k =故选：A 【点睛】考查抛物线的基础知识及斜率的运算公式，基础题. 10．某个命题与自然数n 有关，且已证得“假设()*n k k N =∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”．现已知当7n =时，该命题不成立，那么（ ） A ．当8n =时，该命题不成立 B ．当8n =时，该命题成立 C ．当6n =时，该命题不成立 D ．当6n =时，该命题成立【答案】C 【解析】 【分析】写出命题“假设()*n k k N=∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”的逆否命题，结合原命题与逆否命题的真假性一致进行判断.【详解】由逆否命题可知，命题“假设()*n k k N =∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”的逆否命题为“假设当()1n k k N*=+∈时该命题不成立，则当n k =时该命题也不成立”，由于当7n =时，该命题不成立，则当6n =时，该命题也不成立，故选：C. 【点睛】本题考查逆否命题与原命题等价性的应用，解题时要写出原命题的逆否命题，结合逆否命题的等价性进行判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.11．设函数1,2()21,2,1a x f x log x x a =⎧=⎨-+≠>⎩，若函数2()()()g x f x bf x c =++有三个零点123,,x x x ，则122313x x x x x x ++=（ ） A ．12 B ．11C ．6D ．3【答案】B 【解析】 【分析】画出函数()f x 的图象，利用函数的图象判断函数的零点个数，然后转化求解，即可得出结果． 【详解】作出函数1,2()21,2,1ax f x log x x a =⎧=⎨-+≠>⎩的图象如图所示，令()f x t =，由图可得关于x 的方程()f x t =的解有两个或三个（1t =时有三个，1t ≠时有两个），所以关于t 的方程20t bt c ++=只能有一个根1t =（若有两个根，则关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有四个或五个根），由()1f x =，可得123,,x x x 的值分别为1,2,3，则12231312231311x x x x x x ++=⨯+⨯+⨯=故选B ． 【点睛】本题考查数形结合以及函数与方程的应用，考查转化思想以及计算能力，属于常考题型. 12．已知复数z 满足11i z=+，则z 的值为（） A ．12B ．2C ．22D ．2【答案】C 【解析】 【分析】由复数的除法运算整理已知求得复数z ，进而求得其模. 【详解】因为21111111122i i z i z i i -=+⇒===-+-，所以22112222z ⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：C 【点睛】本题考查复数的除法运算与求复数的模，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
全国卷2021年高考第三次联考三模数学试题(理)含答案
姓名 准考证号 绝密★启用前2022届高中毕业班联考理科数学注意事项：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
时量120分钟，满分150分。
2.答卷前，考生务必将自己的性名、准考证号填写在答题卡相应位置上。
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。
4.考试结束后.将本试题卷和答题卡一并交回。
第I 卷一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.欧拉公式x i x e ix sin cos +=（i 是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，被誉为“数学中的天桥。
根据欧拉公式.则复数i e41π在复平面内对应的点所在的象限为A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知集合:A = {0)2)(2(|≤+-x x x },B= {16|22=+y x y }，则=B A A.[-3, -3] B.[-2,2]C.[-4,4]D. 03.等差数列{n a }的公差不为0, 210282624a a a a +=+}，则S 13 =A. -1B.OC.-2D.-34.如图正方体AC 1，点M 为线段BB 1的中点,现用一个过点M,C,D 的平面去截正方体，得到上下两部分，用如图的角度去观察上半部分几何体，所得的侧视图为5.已知两个随机变量y x ,之间的相关关系如下表所示：根据上述数据得到的回归方程为a x b yˆˆˆ+=，则大致可以判断 A.a ˆ>0，b ˆ<0 B.a ˆ<0，b ˆ<0 C. aˆ>0，b ˆ>0 D.a ˆ<0,b ˆ>0 6.已知椭圆12222=+b y a x （a>b>0)的左右焦点分别为F 1、F 2,A 为椭圆上一动点（异于左右顶点），若21F AF ∆的周长为6且面积的最大值为12222=-by a x ，则椭圆的标准方程为A.13422=+y xB.12322=+y xC.1222=+y x D.1422=+y x7.执行如图所示的程序框图，则输出的S 为 A. 55 B. 45 C. 66 D. 408.《中国诗词大会》（第二季）亮点颇多。
广东省广州市2021届新高考三诊数学试题含解析
广东省广州市2021届新高考三诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积为（）A．3B．36C．3D．23【答案】C【解析】【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，求出底面面积，代入锥体体积公式，可得答案．【详解】由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，其底面面积11(11)12S=⨯⨯+=，高3h=故体积133V Sh==故选：C．【点睛】本题考查的知识点是由三视图求几何体的体积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．2．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的a 的值为（ ）A ．2-3B ．3-2C ．52D ．25【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的程序框图，计算前几次的运算规律，得出运算的周期性，确定跳出循环时的n 的值，进而求解a 的值，得到答案.【详解】由题意，3,15a n ==， 第1次循环，2,23a n =-=，满足判断条件；第2次循环，5,32a n ==，满足判断条件；第3次循环，3,45a n ==，满足判断条件；L L可得a 的值满足以3项为周期的计算规律，所以当2019n =时，跳出循环，此时n 和3n =时的值对应的a 相同，即52a =. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中解答中认真审题，得出程序运行时的计算规律是解答的关键，着重考查了推理与计算能力. 3．函数()()ln 12f x x x=++-的定义域为（ ） A ．()2,+∞ B ．()()1,22,-⋃+∞C ．()1,2-D ．(]1,2-【答案】C【解析】 【分析】 【详解】函数的定义域应满足20,1 2.10x x x ->⎧∴-<<⎨+>⎩ 故选C.4．已知三棱锥,2,1,P ABC AC BC AC BC -==⊥且2,PA PB PB =⊥平面ABC ，其外接球体积为（ ） A ．43π B ．4π C ．323πD ．43π【答案】A 【解析】 【分析】由AC BC ⊥,PB ⊥平面ABC ,可将三棱锥P ABC -还原成长方体,则三棱锥P ABC -的外接球即为长方体的外接球,进而求解. 【详解】 由题,因为2,1,AC BC AC BC ==⊥,所以223AB AC BC =+=,设PB h =,则由2PA PB =,可得232h h +=,解得1h =, 可将三棱锥P ABC -还原成如图所示的长方体,则三棱锥P ABC -的外接球即为长方体的外接球,设外接球的半径为R ,则22221(2)12R =++=,所以1R =,所以外接球的体积34433V R ππ==. 故选:A 【点睛】本题考查三棱锥的外接球体积,考查空间想象能力.5．已知六棱锥P ABCDEF -各顶点都在同一个球（记为球O ）的球面上，且底面ABCDEF 为正六边形，顶点P 在底面上的射影是正六边形ABCDEF 的中心G ，若6PA =，2AB =，则球O 的表面积为（ ） A ．163πB ．94π C ．6πD ．9π【答案】D 【解析】 【分析】由题意，得出六棱锥P ABCDEF -为正六棱锥，求得222PG PA AG =-=，再结合球的性质，求得球的半径32R =，利用表面积公式，即可求解. 【详解】由题意，六棱锥P ABCDEF -底面ABCDEF 为正六边形，顶点P 在底面上的射影是正六边形ABCDEF 的中心G ，可得此六棱锥为正六棱锥， 又由2AB =，所以2AG =，在直角PAG ∆中，因为6PA =，所以222PG PA AG =-=，设外接球的半径为R ，在AOG ∆中，可得222AO AG OG =+，即222(2)(2)R R =-+，解得32R =， 所以外接球的表面积为249S R ππ==. 故选:D.【点睛】本题主要考查了正棱锥的几何结构特征，以及外接球的表面积的计算，其中解答中熟记几何体的结构特征，熟练应用球的性质求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与计算能力，属于中档试题.6．已知底面为边长为2的正方形，侧棱长为1的直四棱柱1111ABCD A B C D -中，P 是上底面1111D C B A 上的动点.给出以下四个结论中，正确的个数是（ ）①与点D P 形成一条曲线，则该曲线的长度是2π；②若//DP 面1ACB ，则DP 与面11ACC A 所成角的正切值取值范围是3⎢⎣；③若DP =，则DP 在该四棱柱六个面上的正投影长度之和的最大值为A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】 【分析】①与点D P 形成以1D 的14圆弧MN ，利用弧长公式，可得结论；②当P 在1A （或1)C 时，DP 与面11ACC A 所成角1DA O ∠（或1)DC O ∠的正切值为3最小，当P 在1O 时，DP 与面11ACC A 所成角1DO O ∠最大，可得正切值取值范围是；③设(P x ，y ，1)，则2213x y ++=，即222x y +=，可得DP 在前后、左右、上下面上的正投影长，即可求出六个面上的正投影长度之和． 【详解】 如图：①错误， 因为1D P ===，与点D 的点P 形成以1D 为圆心，的14圆弧MN ，长度为1242⋅=π； ②正确，因为面11//A DC 面1ACB ，所以点P 必须在面对角线11A C 上运动，当P 在1A （或1C ）时，DP与面11ACC A 所成角1DA O ∠（或1DC O ∠）的正切值为3最小（O 为下底面面对角线的交点），当P 在1O 时，DP 与面11ACC A 所成角1DO O ∠最大，所以正切值取值范围是3⎣；③正确，设(),,1P x y ，则2213x y ++=，即222x y +=，DP 在前后、左右、上下面上的正投影长分，所以六个面上的正投影长度之22⎛≤= ⎝⎭，当且仅当P 在1O 时取等号.故选：C .【点睛】本题以命题的真假判断为载体，考查了轨迹问题、线面角、正投影等知识点，综合性强，属于难题． 7．关于x 的不等式0ax b ->的解集是(1,)+∞，则关于x 的不等式()(3)0ax b x +->的解集是（ ） A ．(,1)(3,)-∞-+∞U B ．(1,3)-C ．(1,3)D ．(,1)(3,)-∞+∞U【答案】A 【解析】 【分析】由0ax b ->的解集，可知0a >及1ba=，进而可求出方程()()30ax b x +-=的解，从而可求出()()30ax b x +->的解集.【详解】由0ax b ->的解集为()1,+?，可知0a >且1ba =，令()()30ax b x +-=，解得11x =-，23x =，因为0a >，所以()()30ax b x +->的解集为()(),13,-∞-+∞U ， 故选：A. 【点睛】本题考查一元一次不等式、一元二次不等式的解集，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于基础题. 8．已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的-一个公共点，且1223F PF π∠=，设椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e ，则12,e e 的关系为（ ）A ．2212314e e += B ．221241433e e += C ．2212134e e += D ．221234e e +=【答案】A 【解析】 【分析】设椭圆的半长轴长为1a ，双曲线的半长轴长为2a ，根据椭圆和双曲线的定义得： 12112222PF PF a PF PF a ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ ，解得112212PF a a PF a a ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，然后在12F PF △中，由余弦定理得：()()()()22212121212242cos3c a a a a a a a a π=++--+⋅-⋅，化简求解. 【详解】设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的长半轴长为 2a ，由椭圆和双曲线的定义得： 12112222PF PF a PF PF a ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ ， 解得112212PF a a PF a a ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，设121222,3π=∠=F F c F PF ，在12F PF △中，由余弦定理得： ()()()()22212121212242cos3c a a a a a a a a π=++--+⋅-⋅， 化简得2221234a a c +=，即2212314e e +=. 故选：A 【点睛】本题主要考查椭圆，双曲线的定义和性质以及余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 9．已知直线,m n 和平面α，若m α⊥，则“m n ⊥”是“//n α”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．不充分不必要【答案】B 【解析】 【分析】由线面关系可知m n ⊥，不能确定n 与平面α的关系，若//n α一定可得m n ⊥，即可求出答案.【详解】,m m n α⊥⊥Q ,不能确定αn ⊂还是αn ⊄，//m n n α∴⊥¿，当//n α时，存在a α⊂，//,n a ， 由,m m a α⊥⇒⊥ 又//,n a 可得m n ⊥，所以“m n ⊥”是“//n α”的必要不充分条件， 故选：B 【点睛】本题主要考查了必要不充分条件，线面垂直，线线垂直的判定，属于中档题.10．执行下面的程序框图，若输出的S 的值为63，则判断框中可以填入的关于i 的判断条件是（ ）A ．5i ≤B ．6i ≤C ．7i ≤D ．8i ≤【答案】B 【解析】 【分析】根据程序框图，逐步执行，直到S 的值为63，结束循环，即可得出判断条件. 【详解】 执行框图如下： 初始值：0,1S i ==，第一步：011,112S i =+==+=，此时不能输出，继续循环； 第二步：123,213S i =+==+=，此时不能输出，继续循环；第三步：347,314S i =+==+=，此时不能输出，继续循环； 第四步：7815,415S i =+==+=，此时不能输出，继续循环； 第五步：151631,516S i =+==+=，此时不能输出，继续循环； 第六步：313263,617S i =+==+=，此时要输出，结束循环； 故，判断条件为6i ≤. 故选B 【点睛】本题主要考查完善程序框图，只需逐步执行框图，结合输出结果，即可确定判断条件，属于常考题型.11．已知集合{}2|3100M x x x =--<，{}29N x y x ==-，且M 、N 都是全集R （R 为实数集）的子集，则如图所示韦恩图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{}35x x <≤ B ．{3x x <-或}5x >C ．{}32x x -≤≤- D ．{}35x x -≤≤【答案】C 【解析】 【分析】根据韦恩图可确定所表示集合为()R N M I ð，根据一元二次不等式解法和定义域的求法可求得集合,M N ，根据补集和交集定义可求得结果.【详解】由韦恩图可知：阴影部分表示()R N M I ð，()(){}{}52025M x x x x x =-+<=-<<Q ，{}{}29033N x x x x =-≥=-≤≤， (){}32R N M x x ∴⋂=-≤≤-ð.故选：C . 【点睛】本题考查集合运算中的补集和交集运算，涉及到一元二次不等式和函数定义域的求解；关键是能够根据韦恩图确定所求集合.12．已知实数集R ，集合{|13}A x x =<<，集合|2B x y x ⎧==⎨-⎩，则()R A C B ⋂=（ ）A ．{|12}x x <≤B ．{|13}x x <<C ．{|23}x x ≤<D ．{|12}x x <<【答案】A 【解析】 【分析】20x ->可得集合B ,求出补集R C B ,再求出()R A C B ⋂即可.【详解】 由20x ->,得2x >,即(2,)B =+∞,所以R C B (,2]=-∞, 所以()R A C B ⋂=(1,2]. 故选:A 【点睛】本题考查了集合的补集和交集的混合运算,属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省韶关市2021届高三数学调研测试试题 理（含解析）
广东省韶关市2021届高三数学调研测试试题 理（含解析）新人教A 版第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1.设集合{}2,0,2,4A =-,{}2|230B x x x =--<，,那么AB =（ ） 2．已知a 是实数，i 1ia +-是纯虚数，则a 等于（ ） A . 1 B . 1- C. D.3.假设0.522,log 3,log 2a b c π===，那么有（ ）. A .a b c >> B .b a c >>C .c a b >>D .b c a >> 4. 已知椭圆与双曲线221412x y -=的核心相同，且椭圆上任意一点到两核心的距离之和为10，那么椭圆的离心率等于( )A .35 B . 45 C . 54 D . 345. 函数)43(sin 212π--=x y 是（ ） A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数D ．最小正周期为2π的偶函数 6. 已知某几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为( )A ．12B ．1C ．32D ．3 【答案】C7. 已知向量AB 与AC 的夹角为0120,32==,假设AC AB AP +=λ,且,BC AP ⊥,那么实数λ的值为( ）A ．73B ．13C ．6D ．712 8. 设实数x 、y 知足26260,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩，则{}max 231,22z x y x y =+-++的取值范围是( )A ．[2,5]B ．[2,9]C ．[5,9]D ．[1,9]-第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每题5分，总分值30分.（一）必做题（9~13题）9. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，假设231,2a a ==，那么4S ＝10. 已知函数()4ln f x x x =-，那么曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为___________.11. 已知实数[0,10]x ∈，执行如下图的程序框图，那么输出的x 不小于47的概率为 ．12. 不等式121x x +--≥解集是_____________________.13. 已知函数2log ,0()3,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，且关于x 的方程()0f x x a +-=有且只有一个实根，那么实数a 的取值范围是________.（二）选做题（14、15题，考生只能从当选做一题）14. （几何证明选讲选做题）如图,AB 是圆O 的直径,点C 在圆O 上,延长BC 到D 使CD BC =,过C 作圆O 的切线交AD 于E .假设8=AB ,,4=DC 则DE =_________.15. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中,圆θρsin 4=的圆心到直线)(3R ∈=θπθ 的距离是三、解答题：本大题共6小题，共80分．解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤．16. （本小题总分值12分）如图，在ABC ∆中，45B︒∠=，AC =,cos 5C ∠=点D 是AB 的中点, 求 （1）边AB 的长；（2）cos A 的值和中线CD 的长………………. ………………………………………………………………………5分[](2) cos cos(18045)cos(135)A C C ︒︒︒=--=- 17. （本小题总分值12分）某学校随机抽取部份新生调查其上学路上所需时刻（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率散布直方图（如图），其中，上学路上所需时刻的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100].（1）求直方图中x 的值；（2）若是上学路上所需时刻很多于60分钟的学生可申请在学校住宿，请估量学校1000名新生中有多少名学生能够申请住宿；（3）现有６名上学路上时刻小于40分钟的新生，其中２人上学路上时刻小于20分钟. 从这６人中任选２人，设这２人中上学路上时刻小于20分钟人数为X ,求X 的散布列和数学期望．能够留宿学生的人数.2812012515153EX =⨯+⨯+⨯=………………………………12分 考点：古典概型 频率散布直方图 频率 散布列 期望18. （本小题总分值14分）如下图的多面体中， ABCD 是菱形， BDEF 是矩形，ED ⊥平面ABCD ，3BAD π∠=，2AD =．(1) 求证：平面FCB ∥平面AED ；(2) 假设二面角C EF A --为直二面角，求直线BC 与平面AEF 所成的角θ的正弦值．)0,2,0(C ，平面AEF 的法向量)3,23,23(--==MC n ， -------12分 )0,1,3(-==DA CB . .46cos -==CB n CB n CB n .46sin =∴θ---14分 19. （本小题总分值14分） 已知函数()f x 3233(0)ax x x a =-+> （1）当1a ≥时，求()f x 的单调区间；（2）假设()f x 在[1,3]的最大值为8，求a 的值.20. （本小题总分值14分）已知{}n a 为公差不为零的等差数列，首项1a a =，{}n a 的部份项1k a 、2k a 、…、n k a 恰为等比数列，且11=k ，52=k ，173=k .（1）求数列{}n a 的通项公式n a （用a 表示）；（2）设数列{}n k 的前n 项和为n S , 求证：1211132n S S S +++<（n 是正整数 【答案】（1）12n n a a +=而等比数列{}n k a 的公比511143a a d q a a +===.∵ 0a ≠∴ 1111131(1)1n n S n n n n n =<=---++ (3)n ≥……………………………11分∴当1n =时，11312S =<，不等式成立；当2n =时，21211173132162S S +=+=<--，不等式成立；21. （本小题总分值14分）设抛物线22(0)y px p =>的核心为F ，点(0,2)A ，线段FA 的中点在抛物线上. 设动直线:l y kx m =+与抛物线相切于点P ，且与抛物线的准线相交于点Q ，以PQ 为直径的圆记为圆C ．（1）求p 的值；（2）试判定圆C 与x 轴的位置关系；（3）在座标平面上是不是存在定点M ，使得圆C 恒过点M ？假设存在，求出M 的坐标；假设不存在，说明理由．，通过讨论k 的取值范围取得中点到x 轴距离与圆半径(PQ 为直径)的大小比较即可判定圆与x 轴的位置关∵22222222211113()[()()]()24224k k k PQ d k k k ++--=+-22231()4k k -= ………………………………………8分因此平面上存在定点1(,0)M，使得圆C恒过点M.2。
2021年广东省七校联合体高考数学第三次联考试卷(2021.05)(解析版)
2021年广东省七校联合体高考数学第三次联考试卷（5月份）一、选择题（共8小题）.1．复数（2+i）i的虚部是（）A．1B．﹣1C．2D．﹣22．已知集合A＝{x∈R|y＝x+1}，B＝{y|y＝x2+1，x∈R}，则A∩B＝（）A．{0，1}B．{（0，0），（1，2）}C．∅D．[1，+∞）3．某小区有1000户，各户每月的用电量近似服从正态分布N（300，100），则用电量在320度以上的户数估计约为（）[参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）＝68.26%，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）＝95.44%，P（μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）＝99.74%]．A．17B．23C．34D．464．已知函数f（x）＝（2x+2﹣x）ln|x|的图象大致为（）A．B．C．D．5．设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A．8B．4C．1D．6．中医是中国传统文化的瑰宝．中医方剂不是药物的任意组合，而是根据中药配伍原则，总结临床经验，用若干药物配制组成的药方，以达到取长补短、辨证论治的目的．中医传统名方“八珍汤”是由补气名方“四君子汤”（由人参、白术、茯苓、炙甘草四味药组成）和补血名方“四物汤”（由熟地黄、白芍、当归、川芎四味药组成）两个方共八味药组合而成的主治气血两虚证方剂．现从“八珍汤”的八味药中任取四味，取到的四味药刚好组成“四君子汤”或“四物汤”的概率是（）A．B．C．D．7．平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，•＝4，点P在边CD上，则•的取值范围是（）A．[﹣1，8]B．[﹣1，+∞）C．[0，8]D．[﹣1，0]8．设f（x）是定义在上的奇函数，其导函数为f'（x），当时，f'（x）﹣f（x）＜0，则不等式f（x）＜的解集为（）A．B．C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
新高考2021年高三数学高考三模试题卷三附答案解析
2．已知复数 z 满足 z z 2i ，则 z 的虚部是（ ）
A． 1
B．1
C． i
3．“ m 0 ”是“函数 f (x) ln x mx 在 0,1 上为增函数”的（
D．i ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件
4．函数 y 2sin2 x 2 cos x 3 的最大值是（ ）
（2）企业产品的质量是企业的生命，该企业为了生产优质的产品投放市场，对于生产的每一件产品必须
要经过四个环节的质量检查，若每个环节中出现不合格产品立即进行修复，且每个环节是相互独立的，前
三个环节中生产的产品合格的概率为
1 2
，每个环节中不合格产品所需要的修复费用均为100 元，第四个
环节中产品合格的概率为 3 ，不合格产品需要的修复费用为 50 元，设每件产品修复的费用为 元，写出 4
6
所以，四边形
AODC
为平行四边形，所以，
AD
AO
AC
1
a
b
，
2
故选 D．
7．【答案】D
【解析】由于函数
y
1 a
x
(a
0
，且
a
1
）向右平移两个单位得
y
1 a
x2
(a
0
，且
a
1
），
即为函数 y a2x (a 0 ，且 a 1 ），所以定点 A2,1 ，
由于点 A 在椭圆 x2 y2 1，所以 4 1 1，且 m 0 ， n 0 ，
12．已知函数
f
(x)
ln x ,
x
1,
（）
x0 x0
，若函数
y
f
2020-2021学年广东省高考数学三模试卷(文科)及答案解析
广东省高考数学三模试卷（文科）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合A={x|lgx> 0}, B={x|xw 1},则（）A.人生？B. AU B=RC. B? AD. A? B2.若复数z满足（1+2i） z= （1 - i）,则|z|=（）A.二B.C.D.亚5 5 53. 一个总体中有100个个体，随机编号为0, 1, 2, 3,…，99,依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1, 2, 3, • 10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m,那么在第k组中抽取的号码个位数字与m+k号码的个位数字相同，若m=6,则在第7组中抽取的号码是（）A. 66B. 76C. 63D. 734.在函数y=xcosx, y=e x+x2,尸\虱”「2，y=xsinx偶函数的个数是（）A. 3B. 2C. 1D. 02 2 ]5.直线l: x—2y+2=0过椭圆三一打上木二1的一个顶点.则该椭圆的离心率为（）5 b2A- 1 B- I c 普D•罕）6.已知数列⑸泄足a〔二1, a n- a n 1=n （n>2）,则数列{4}的通项公式4二（）A. -|n（n+1）B. "^（3n - 1）C. n2- n+1D. n2- 2n+27.如图是计算■宁+-1+•••+」]的值的一个程序框图，其中在判断框中应填入的条件是（）停网i<10 B. i>10 C. i<20 D. i>2010.在^ ABC 中，四=3, BC=/13» 则边AC 上的高为(二f(X2).当 f (2a) =f (3b)成立时，则实数 a+b=( )A. 8. 3兀已知节，且〃为第二象限角，则皿口口口 )=()A.19 5B.19C.31 17D.17 31(单位: cm),则该几何体的体积是(A.23 33 cm B.22 3 cm 3 C. 47 63 cm 3D. 7cm A.二.：B 二- ：C. 3D-3^3 11.在球内有相距1cm 的两个平行截面,截面面积分别是5兀cm 2和8兀cm 2,球心不在截面之间,则球面的面积是(A. 36 Ttcm 2B. 27Ttcm 2C. 20 Km 22D. 12 71cm12.已知函数f (x)=满足条件，对于 ? X 1 C R,存在唯一的旭6 R,使得f(X 1)9. 一个几何体的三视图如图所示 正就■二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分支-4vBe -313 .已知x, y 满足不等式彳3肝5y<25 ,则函数z=2x+y 取得最大值等于 .14 .在△ ABC 中，若不价=(2. -1),证E-1, -1),则cos/ BAC 的值等于一，一“，_一…，，_〜冗. ______________ ___16 .已知函数f (x) =sin(3x+4) (0),右f (x)的图象向左平移 工二个单位所得的图象与f(X)的图象向右平移专个单位所得的图象重合，则3的最小值为 -------------------- 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17 .已知等差数列｛4｝的前n 项和S n 满足S 3=6, S S =15.(I )求｛a n ｝的通项公式;(n )设二工一，求数列｛b n ｝的前n 项和T n.2 1118 .某市组织高一全体学生参加计算机操作比赛，等级分为学校各60名学生的成绩，得到样本数据如表：B 校样本数据统计表：成绩(分) 1 2 3 4 5 6 人数(个)91221(I )计算两校样本数据的均值和方差，并根据所得数据进行比较. (n )从A 校样本数据成绩分别为 7分、8分和9分的学生中按分层抽样方法抽取 6人，若从抽取的6人中任选2人参加更高一级的比赛，求这2人成绩之和大于或等于 15的概率.1至10夕3随机调阅了 A 、B 两所7 8 9 10 96312=-1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为12 3 TEG/S 9 10 分就A忸痒*蜕雷条第图19.如图，ABCD是平行四边形，已知卷二2BC=4, BD=2/3, BE=CE平面BCH平面ABCD.(I )证明：BD± CE;(n)若BE=CB=Via，求三棱锥B - ADE的高.20.已知点P i (-2, 3), P2 (0, 1),圆C是以P1P2的中点为圆心，—IP1P2I为半径的圆.(I )若圆C的切线在x轴和y轴上截距相等，求切线方程；(n)若P(x, y)是圆C外一点，从P向圆C引切线PM,M为切点，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|, 求使|PM|最小的点P的坐标.21.已知函数f (x) = (a —之)x2+lnx, g (x) =f (x) — 2ax (aC R).(1)当a=0时，求f (x)在区间看，e］上的最大值和最小值；(2)若对？xC (1, +00), g (x) <0恒成立，求a的取值范围.［选彳4-1 :几何证明选讲］22.如图所示，AB为。
广东省韶关市2021届新高考数学仿真第三次备考试题含解析
广东省韶关市2021届新高考数学仿真第三次备考试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，若点(2,1)P -在角α的终边上，则sin 22πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．45-B ．45C ．35-D ．35【答案】D 【解析】 【分析】由题知cos α=，又2sin 2cos 22cos 12πααα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，代入计算可得.【详解】由题知cos α=，又23sin 2cos 22cos 125πααα⎛⎫-==-= ⎪⎝⎭.故选：D 【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，诱导公式，二倍角公式的应用求值.2．若平面向量,,a b c r r r，满足||2,||4,4,||a b a b c a b ==⋅=-+=rr r rr r r ，则||c b -rr 的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】可根据题意把要求的向量重新组合成已知向量的表达，利用向量数量积的性质，化简为三角函数最值. 【详解】 由题意可得：()(2)c b c a b a b -=-++-r r r r r r r，2222|2|(2)||4||444164452a b a b a b a b -=-=+⋅-⋅=+⨯-⨯=r r r rr r r r Q|2|a b ∴-=r r2222||()[()(2)]|()(2)|c b c b c a b a b c a b a b ∴-=-=-++-=-++-r r r r r r r r r r r r r r22|||2|2|||2|cos ,2c a b a b c a b a b c a b a b =-++-+⋅-+⋅-⋅<-++>r r r r r r r r r r r r r r r3522cos ,2c a b a b =++<-++>r r r r r55cos ,2c a b a b =+<-++>r r r r r55+…2555223+=+⨯=Q ，故选：C 【点睛】本题主要考查根据已知向量的模求未知向量的模的方法技巧,把要求的向量重新组合成已知向量的表达是本题的关键点.本题属中档题.3．已知命题p ：“a b >”是“22a b >”的充要条件；:q x ∃∈R ，|1|x x +≤，则（ ） A ．()p q ⌝∨为真命题 B ．p q ∨为真命题 C ．p q ∧为真命题 D ．()p q ∧⌝为假命题【答案】B 【解析】 【分析】由2xy =的单调性，可判断p 是真命题；分类讨论打开绝对值，可得q 是假命题，依次分析即得解 【详解】由函数2xy =是R 上的增函数，知命题p 是真命题． 对于命题q ，当10x +≥，即1x ≥-时，11x x x +=+>； 当10x +<，即1x <-时，11x x +=--， 由1x x --≤，得12x =-，无解，因此命题q 是假命题．所以()p q ⌝∨为假命题，A 错误；p q ∨为真命题，B 正确；p q ∧为假命题，C 错误；()p q ∧⌝为真命题，D 错误．故选：B 【点睛】本题考查了命题的逻辑连接词，考查了学生逻辑推理，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题. 4．为比较甲、乙两名高中学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为100分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述不正确的是（ ）A ．甲的数据分析素养优于乙B ．乙的数据分析素养优于数学建模素养C ．甲的六大素养整体水平优于乙D ．甲的六大素养中数学运算最强【答案】D 【解析】 【分析】根据所给的雷达图逐个选项分析即可. 【详解】对于A ，甲的数据分析素养为100分，乙的数据分析素养为80分， 故甲的数据分析素养优于乙，故A 正确；对于B ，乙的数据分析素养为80分，数学建模素养为60分， 故乙的数据分析素养优于数学建模素养，故B 正确； 对于C ，甲的六大素养整体水平平均得分为10080100801008031063+++++=，乙的六大素养整体水平均得分为806080606010025063+++++=，故C 正确；对于D ，甲的六大素养中数学运算为80分，不是最强的，故D 错误； 故选：D 【点睛】本题考查了样本数据的特征、平均数的计算，考查了学生的数据处理能力，属于基础题.5．某校在高一年级进行了数学竞赛（总分100分），下表为高一·一班40名同学的数学竞赛成绩： 55 57 59 61 68 64 62 59 80 88 98 95 60 73 88 74 86 77 79 94 97100999789818060796082 95 90 93 90 85 80 77 99 68如图的算法框图中输入的i a 为上表中的学生的数学竞赛成绩，运行相应的程序，输出m ，n 的值，则m n -=（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12【答案】D 【解析】 【分析】根据程序框图判断出,n m 的意义，由此求得,m n 的值，进而求得m n -的值. 【详解】由题意可得n 的取值为成绩大于等于90的人数，m 的取值为成绩大于等于60且小于90的人数，故24m =，12n =，所以241212m n -=-=.故选：D 【点睛】本小题考查利用程序框图计算统计量等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力和数学应用意识. 6．设ln 2m =，lg 2n =，则（ ） A ．m n mn m n ->>+ B ．m n m n mn ->+> C ．m n mn m n +>>- D ．m n m n mn +>->【答案】D 【解析】 【分析】由不等式的性质及换底公式即可得解. 【详解】解：因为ln 2m =，lg 2n =，则m n >，且(),0,1m n ∈，所以m n mn +>，m n m n +>-， 又2222111110log 10log log log 21lg 2ln 2e n m e-=-=-=>=, 即1m nmn->,则m n mn ->， 即m n m n mn +>->，故选：D. 【点睛】本题考查了不等式的性质及换底公式，属基础题. 7．已知函数()1xf x xe-=，若对于任意的0(0,]x e ∈，函数()20()ln 1g x x x ax f x =-+-+在(0,]e 内都有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(1,]e B ．2(,]e e e-C ．22(,]e e e e-+ D ．2(1,]e e-【答案】D 【解析】 【分析】将原题等价转化为方程()20ln 1x x ax f x -++=在(0,]e 内都有两个不同的根，先求导()'f x ，可判断()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 是增函数；当()1,x e ∈时，()0f x '<，()f x 是减函数.因此()01f x <≤，再令2()ln 1F x x x ax =-++，求导得221()x ax F x x'--=-，结合韦达定理可知，要满足题意，只能是存在零点1x ，使得()0F x '=在()0,e 有解，通过导数可判断当()10,x x ∈时()0F x '>，()F x 在()10,x 上是增函数；当()1,x x e ∈时()0F x '<，()F x 在()1,x e 上是减函数；则应满足()()1max 1F x F x =>，再结合211210x ax --=，构造函数()2ln 1m x x x =+-，求导即可求解；【详解】函数()20()ln 1g x x x ax f x =-+-+在(0,]e 内都有两个不同的零点，等价于方程()20ln 1x x ax f x -++=在(0,]e 内都有两个不同的根.111()(1)x x x f x e xe x e '---=-=-，所以当()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 是增函数；当()1,x e ∈时，()0f x '<，()f x 是减函数.因此()01f x <≤.设2()ln 1F x x x ax =-++，2121()2x ax F x x a x x'--=-+=-，若()0F x '=在()0,e 无解，则()F x 在(0,]e 上是单调函数，不合题意；所以()0F x '=在()0,e 有解，且易知只能有一个解.设其解为1x ，当()10,x x ∈时()0F x '>，()F x 在()10,x 上是增函数； 当()1,x x e ∈时()0F x '<，()F x 在()1,x e 上是减函数.因为0(0,]x e ∀∈，方程()20ln 1x x ax f x -++=在(0,]e 内有两个不同的根，所以()()1max 1F x F x =>，且()0F e ≤.由()0F e ≤，即2ln 10e e ae -++≤，解得2a e e≤-. 由()()1max 1F x F x =>，即2111ln 11x x ax -++>，所以2111ln 0x x ax -+>.因为211210x ax --=，所以1112a x x =-，代入2111ln 0x x ax -+>，得211ln 10x x +->. 设()2ln 1m x x x =+-，()120m x x x'=+>，所以()m x 在()0,e 上是增函数， 而()1ln1110m =+-=，由211ln 10x x +->可得()()11m x m >，得11x e <<.由1112a x x =-在()1,e 上是增函数，得112a e e<<-. 综上所述21a e e<≤-， 故选：D. 【点睛】本题考查由函数零点个数求解参数取值范围问题，构造函数法，导数法研究函数增减性与最值关系，转化与化归能力，属于难题 8．若2m ＞2n ＞1，则（ ） A ．11m n＞ B ．πm ﹣n ＞1 C ．ln （m ﹣n ）＞0 D ．1122log m log n ＞【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性，结合特殊值进行辨析. 【详解】若2m ＞2n ＞1＝20，∴m ＞n ＞0，∴πm ﹣n ＞π0＝1，故B 正确； 而当m 12=，n 14=时，检验可得，A 、C 、D 都不正确， 故选：B ．【点睛】此题考查根据指数幂的大小关系判断参数的大小，根据参数的大小判定指数幂或对数的大小关系，需要熟练掌握指数函数和对数函数的性质，结合特值法得出选项.9．已知m ，n 是两条不重合的直线，α是一个平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．若//m α，//n α，则//m n B ．若//m α，n ⊂α，则//m n C ．若m n ⊥，m α⊥，则//n α D ．若m α⊥，//n α，则m n ⊥【答案】D 【解析】 【分析】利用空间位置关系的判断及性质定理进行判断. 【详解】解：选项A 中直线m ，n 还可能相交或异面， 选项B 中m ，n 还可能异面， 选项C ，由条件可得//n α或n ⊂α． 故选：D. 【点睛】本题主要考查直线与平面平行、垂直的性质与判定等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力，属于基础题.10．已知函数()e x f x x =,关于x 的方程()()()2140(f x m f x m m ++++=∈R)有四个相异的实数根,则m 的取值范围是( )A ．44,e e 1⎛⎫--- ⎪+⎝⎭B ．()4,3--C ．4e ,3e 1⎛⎫--- ⎪+⎝⎭ D ．4e ,e 1∞⎛⎫--- ⎪+⎝⎭【答案】A 【解析】()e x f x x ==e ,0e ,0xx x x x x⎧>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩,当0x >时()()()‘2e 10,1,0,1x x f x x x x-===∈时,()f x 单调递减，()1,x ∞∈+时,()f x 单调递增,且当()()()0,1,e,x f x ∞∈∈+时,当()()()1,,e,x f x ∞∞∈+∈+时, 当0x <时，()()2e 10x xf x x-'-=>恒成立，(),0x ∞∈-时,()f x 单调递增且()()0,f x ∞∈+,方程()()()2140(f x m f x m m ++++=∈R)有四个相异的实数根.令()()2,14f x t t m t m =++++=0则()2120,,e 1e 40t e t e m m <<>∴++++<,()201040m m ++++>且,即44,e e 1m ⎛⎫∈---⎪+⎝⎭. 11．已知关于x 的方程3sin sin 2x x m π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭在区间[)0,2π上有两个根1x ，2x ，且12x x π-≥，则实数m 的取值范围是（ ） A ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．[)1,2C ．[)0,1D ．[]0,1【答案】C 【解析】 【分析】先利用三角恒等变换将题中的方程化简，构造新的函数2sin()6y x π=+，将方程的解的问题转化为函数图象的交点问题，画出函数图象，再结合12x x π-≥，解得m 的取值范围. 【详解】由题化简得3sin cos x x m +=，2sin()6m x π=+，作出2sin()6y x π=+的图象，又由12x x π-≥易知01m ≤<． 故选：C. 【点睛】本题考查了三角恒等变换，方程的根的问题，利用数形结合法，求得范围.属于中档题. 12．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若312S a S +=，46a =，则5S =（ ）A ．5B ．10C ．15D ．20【答案】C 【解析】 【分析】利用等差通项，设出1a 和d ，然后，直接求解5S 即可 【详解】令()11n a a n d +-=，则11113232da a a a d ⨯⨯++=++，136a d +=，∴13a =-，3d =，∴()55310315S =⨯-+⨯=.【点睛】本题考查等差数列的求和问题，属于基础题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省韶关市2021届新高考适应性测试卷数学试题(3)含解析
广东省韶关市2021届新高考适应性测试卷数学试题（3）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．百年双中的校训是“仁”、“智”、“雅”、“和”.在2019年5月18日的高三趣味运动会中有这样的一个小游戏.袋子中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“仁”、“智”、“雅”、“和”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“仁”、“智”两个字都摸到就停止摸球.小明同学用随机模拟的方法恰好在第三次停止摸球的概率.利用电脑随机产生1到4之间（含1和4）取整数值的随机数，分别用1，2，3，4代表“仁”、“智”、“雅”、“和”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数：141 432 341 342 234 142 243 331 112 322 342 241 244 431 233 214 344 142 134 412由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为（ ） A ．14B ．15C ．25D ．35【答案】A 【解析】 【分析】由题意找出满足恰好第三次就停止摸球的情况，用满足恰好第三次就停止摸球的情况数比20即可得解. 【详解】由题意可知当1，2同时出现时即停止摸球，则满足恰好第三次就停止摸球的情况共有五种：142，112，241，142，412.则恰好第三次就停止摸球的概率为51204p ==. 故选：A. 【点睛】本题考查了简单随机抽样中随机数的应用和古典概型概率的计算，属于基础题. 2．已知复数21iz i =-，则z 的虚部为（ ） A ．－1 B ．i -C ．1D ．i【答案】A 【解析】 【分析】分子分母同乘分母的共轭复数即可. 【详解】2i 2i(i 1)22i 1i i 1(i 1)(i+1)2z +-+====----，故z 的虚部为1-.故选：A. 【点睛】本题考查复数的除法运算，考查学生运算能力，是一道容易题.3．若i 为虚数单位，网格纸上小正方形的边长为1，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数2iz的点是（ ）A ．EB ．FC ．GD ．H【答案】C 【解析】 【分析】由于在复平面内点Z 的坐标为(1,1)-，所以1z i =-+，然后将1z i =-+代入2iz化简后可找到其对应的点. 【详解】 由1z i =-+，所以22(1)11i i i i i z i==--=--+，对应点G . 故选：C 【点睛】此题考查的是复数与复平面内点的对就关系，复数的运算，属于基础题.4．如图，平面α与平面β相交于BC ，AB α⊂，CD β⊂，点A BC ∉，点D BC ∉，则下列叙述错误的是（ ）A ．直线AD 与BC 异面B ．过AD 只有唯一平面与BC 平行C ．过点D 只能作唯一平面与BC 垂直 D ．过AD 一定能作一平面与BC 垂直 【答案】D 【解析】 【分析】根据异面直线的判定定理、定义和性质，结合线面垂直的关系，对选项中的命题判断. 【详解】A.假设直线AD 与BC 共面，则A ，D ，B ，C 共面，则AB ，CD 共面，与AB α⊂，CD β⊂矛盾， 故正确.B. 根据异面直线的性质知，过AD 只有唯一平面与BC 平行，故正确.C. 根据过一点有且只有一个平面与已知直线垂直知，故正确.D. 根据异面直线的性质知，过AD 不一定能作一平面与BC 垂直，故错误. 故选：D 【点睛】本题主要考查异面直线的定义，性质以及线面关系，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.5．设复数z 满足31ii z=+，则z =（ ）A ．1122i + B ．1122-+i C ．1122i - D ．1122i -- 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数运算，即可容易求得结果. 【详解】3(1)1111(1)(1)222i i i i z i i i i ----====--++-.故选：D. 【点睛】本题考查复数的四则运算，属基础题.6．已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上,PA ⊥平面ABC ,ABC ∆是边长为角形,若球O 的表面积为20π,则直线PC 与平面PAB 所成角的正切值为( )A ．34B ．C D【分析】设D 为AB 中点,先证明CD ⊥平面PAB ，得出CPD ∠为所求角,利用勾股定理计算,,PA PD CD ,得出结论． 【详解】设,D E 分别是,AB BC 的中点AE CD F =IPA ⊥Q 平面ABC PA CD ∴⊥ABC ∆Q 是等边三角形 CD AB ∴⊥又PA AB A =ICD \^平面PAB CPD ∴∠为PC 与平面PAB 所成的角ABC ∆Q 是边长为33CD AE ∴==，223AF AE ==且F 为ABC ∆所在截面圆的圆心 Q 球O 的表面积为20π ∴球O 的半径5OA =221OF OA AF ∴=-=PA ⊥Q 平面ABC 22PA OF ∴== 227PD PA AD ∴=+37tan 7CD CPD PD ∴∠===本题正确选项：C 【点睛】本题考查了棱锥与外接球的位置关系问题，关键是能够通过垂直关系得到直线与平面所求角，再利用球心位置来求解出线段长，属于中档题．7．集合}{220A x x x =--≤，{}10B x x =-<，则A B U =( )A ．}{1x x < B ．}{11x x -≤< C ．{}2x x ≤ D ．{}21x x -≤<【答案】C先化简集合A,B ，结合并集计算方法，求解，即可． 【详解】解得集合()(){}{}21012A x x x x x =-+≤=-≤≤，{}1B x x =< 所以{}2A B x x ⋃=≤，故选C ． 【点睛】本道题考查了集合的运算，考查了一元二次不等式解法，关键化简集合A,B ，难度较小．8．已知某口袋中有3个白球和a 个黑球（*a N ∈），现从中随机取出一球，再换回一个不同颜色的球（即若取出的是白球，则放回一个黑球；若取出的是黑球，则放回一个白球），记换好球后袋中白球的个数是ξ．若3E ξ=，则D ξ= ( )A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】B 【解析】由题意2ξ=或4，则221[(23)(43)]12D ξ=-+-=，故选B ． 9．记M 的最大值和最小值分别为max M 和min M ．若平面向量a r 、b r 、c r，满足()22a b a b c a b c ==⋅=⋅+-=r r r r r r r r，则（ ）A ．maxa c-=r r B ．maxa c+=r rC ．mina c-=r rD ．mina c+=r r【答案】A 【解析】 【分析】设θ为a r 、b r 的夹角，根据题意求得3πθ=，然后建立平面直角坐标系，设()2,0a OA ==r u u u r ，(b OB ==r u u u r ，(),c OC x y ==r u u u r，根据平面向量数量积的坐标运算得出点C 的轨迹方程，将a c -r r 和a c +r r转化为圆上的点到定点距离，利用数形结合思想可得出结果.【详解】由已知可得cos 2a b a b θ⋅=⋅=r r r r ，则1cos =2θ，0θπ≤≤Q ，3πθ∴=，建立平面直角坐标系，设()2,0a OA ==r u u u r ，()1,3b OB ==r u u u r ，(),c OC x y ==r u u u r，由()22c a b c ⋅+-=r r r r，可得()(),42322x y x y ⋅-=，即2242322x x y -+-=，化简得点C 的轨迹方程为()2233124x y ⎛-+-= ⎝⎭，则()222a c x y -=-+r r ，则a c -r r 转化为圆()2233124x y ⎛-+-= ⎝⎭上的点与点()2,0的距离，22max33371222a c ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭∴-r r，22min 33731222a c ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝-⎭r r ， ()222a c x y +=++r ra c +r r 转化为圆()223314x y ⎛-+-= ⎝⎭上的点与点()2,0-的距离， 22max3332393a c⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭∴+r r 22m 3339233im a c ⎛⎫-=+= ⎪⎪⎝⎭+ r r 故选：A. 【点睛】本题考查和向量与差向量模最值的求解，将向量坐标化，将问题转化为圆上的点到定点距离的最值问题是解答的关键，考查化归与转化思想与数形结合思想的应用，属于中等题.10．已知点2F 为双曲线222:1(0)4x y C a a -=>的右焦点，直线y kx =与双曲线交于A ，B 两点，若223AF B π∠=，则2AF B V 的面积为（ ） A ．2B ．3C ．42D ．43【答案】D 【解析】 【分析】设双曲线C 的左焦点为1F ，连接11,AF BF ，由对称性可知四边形12AF BF 是平行四边形，设1122,AF r AF r ==，得222121242cos3c r r r r π=+-，求出12r r 的值，即得解.【详解】设双曲线C 的左焦点为1F ，连接11,AF BF ， 由对称性可知四边形12AF BF 是平行四边形， 所以122AF F AF B S S =V V ，123F AF π∠=.设1122,AF r AF r ==，则222221212121242cos 3c r r r r r r r r π=+-=+-，又122r r a -=.故212416rr b ==，所以12121sin 23AF F S r r π==V 故选：D 【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查余弦定理解三角形和三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11．若两个非零向量a r 、b r 满足()()0a b a b +⋅-=r r r r ，且2a b a b +=-r r r r ，则a r 与b r夹角的余弦值为（ ）A ．35B ．35±C ．12D ．12±【答案】A 【解析】 【分析】设平面向量a r 与b r的夹角为θ，由已知条件得出a b =r r ，在等式2a b a b +=-r r r r 两边平方，利用平面向量数量积的运算律可求得cos θ的值，即为所求. 【详解】设平面向量a r 与b r的夹角为θ，()()22220a b a b a b a b +⋅-=-=-=r r r r r r r r Q ，可得a b =r r ，在等式2a b a b +=-r r r r 两边平方得22222484a a b b a a b b +⋅+=-⋅+r r r r r r r r ，化简得3cos 5θ=.故选：A. 【点睛】本题考查利用平面向量的模求夹角的余弦值，考查平面向量数量积的运算性质的应用，考查计算能力，属于中等题.12．若双曲线22214x y b -=的离心率2e =，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为（ ）A．B ．2CD ．1【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的解析式及离心率，可求得,,a b c 的值；得渐近线方程后，由点到直线距离公式即可求解. 【详解】双曲线22214x y b -=的离心率2e =， 则2a =，c e a ==，解得c =()，所以b ===则双曲线渐近线方程为y x =20y ±=，不妨取右焦点，则由点到直线距离公式可得d ==故选：C. 【点睛】本题考查了双曲线的几何性质及简单应用，渐近线方程的求法，点到直线距离公式的简单应用，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省韶关市2021届新高考数学考前模拟卷(3)含解析
广东省韶关市2021届新高考数学考前模拟卷（3）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知纯虚数z 满足()122i z ai -=+，其中i 为虚数单位，则实数a 等于（ ） A ．1- B ．1C ．2-D ．2【答案】B 【解析】 【分析】先根据复数的除法表示出z ，然后根据z 是纯虚数求解出对应的a 的值即可. 【详解】因为()122i z ai -=+，所以()()()()()21222421212125ai i a a iai z i i i ++-+++===--+， 又因为z 是纯虚数，所以220a -=，所以1a =. 故选：B. 【点睛】本题考查复数的除法运算以及根据复数是纯虚数求解参数值，难度较易.若复数z a bi =+为纯虚数，则有0,0a b =≠.2．若集合M ＝{1，3}，N ＝{1，3，5}，则满足M ∪X ＝N 的集合X 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】D 【解析】X 可以是{}{}{}{}5,1,5,3,5,1,3,5共4个，选D.3．已知不重合的平面,,αβγ 和直线l ，则“//αβ ”的充分不必要条件是（ ） A ．α内有无数条直线与β平行 B ．l α⊥ 且l β⊥C ．αγ⊥ 且γβ⊥D ．α内的任何直线都与β平行【答案】B 【解析】 【分析】根据充分不必要条件和直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断每个选项得到答案. 【详解】A. α内有无数条直线与β平行，则,αβ相交或//αβ，排除；B. l α⊥ 且l β⊥，故//αβ，当//αβ，不能得到l α⊥ 且l β⊥，满足；C. αγ⊥ 且γβ⊥，//αβ，则,αβ相交或//αβ，排除；D. α内的任何直线都与β平行，故//αβ，若//αβ，则α内的任何直线都与β平行，充要条件，排除. 故选：B . 【点睛】本题考查了充分不必要条件和直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的综合应用能力. 4．设正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足6322S S -=，则2823a a 的最小值为A ．8B ．16C ．24D ．36【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】方法一：由题意得636332()2S S S S S -=--=，根据等差数列的性质，得96633,,S S S S S --成等差数列，设3(0)S x x =>，则632S S x -=+，964S S x -=+，则222288789962212333(3)()()=3a a a a a S S a a a a a S ++-==++2(4)x x+=168816x x =++≥=，当且仅当4x =时等号成立，从而2823a a 的最小值为16，故选B ．方法二：设正项等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的前n 项和公式及6322S S -=，化简可得11653262(3)222a d a d ⨯⨯+-+=，即29d =，则2222822222243()33(6)163383a a a d a a a a a ++===++≥816=，当且仅当221633a a =，即243a =时等号成立，从而2823a a 的最小值为16，故选B ．5．甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去、、A B C 三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人.其中甲必须去A 社区，乙不去B 社区，则不同的安排方法种数为 （ ） A ．8 B ．7C ．6D ．5【答案】B 【解析】根据题意满足条件的安排为：A （甲，乙）B （丙）C （丁）；A （甲，乙）B （丁）C （丙）；A （甲，丙）B（丁）C（乙）；A（甲，丁）B（丙）C（乙）；A（甲）B（丙，丁）C（乙）；A（甲）B（丁）C（乙，丙）；A（甲）B（丙）C（丁，乙）；共7种，选B.6．已知S n为等比数列{a n}的前n项和，a5＝16，a3a4＝﹣32，则S8＝（）A．﹣21 B．﹣24 C．85 D．﹣85【答案】D【解析】【分析】由等比数列的性质求得a1q4＝16，a12q5＝﹣32，通过解该方程求得它们的值，求首项和公比，根据等比数列的前n项和公式解答即可.【详解】设等比数列{a n}的公比为q，∵a5＝16，a3a4＝﹣32，∴a1q4＝16，a12q5＝﹣32，∴q＝﹣2，则11a=，则881[1(2)]8512S⨯--==-+，故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和，根据等比数列建立条件关系求出公比是解决本题的关键，属于基础题. 7．某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的外接球表面积为( )A．12πB．16πC．24πD．48π【答案】A【解析】【分析】由三视图知：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱垂直于底面，结合直观图判断外接球球心的位置，求出半径，代入求得表面积公式计算．【详解】由三视图知：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱垂直于底面，高为2， 底面为等腰直角三角形，斜边长为22，如图：ABC ∆∴的外接圆的圆心为斜边AC 的中点D ，OD AC ⊥，且OD ⊂平面SAC ，2SA AC ==Q ，SC ∴的中点O 为外接球的球心，∴半径3R =∴外接球表面积4312S ππ=⨯=．故选：A 【点睛】本题考查了由三视图求几何体的外接球的表面积，根据三视图判断几何体的结构特征，利用几何体的结构特征与数据求得外接球的半径是解答本题的关键． 8．已知复数z 满足11i z=+，则z 的值为（ ） A ．12B ．2C ．22D ．2【答案】C 【解析】 【分析】由复数的除法运算整理已知求得复数z ，进而求得其模. 【详解】因为21111111122i i z i z i i -=+⇒===-+-，所以22112222z ⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：C 【点睛】本题考查复数的除法运算与求复数的模，属于基础题.9．如图，平面四边形ACBD 中，AB BC ⊥，AB DA ⊥，1AB AD ==，2BC =现将ABD △沿AB 翻折，使点D 移动至点P ，且PA AC ⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．8πB ．6πC ．4πD ．823π 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得PA ⊥面ABC ，可知PA BC ⊥，因为AB BC ⊥，则BC ⊥面PAB ，于是BC PB ⊥.由此推出三棱锥P ABC -外接球球心是PC 的中点，进而算出2CP =，外接球半径为1，得出结果. 【详解】解：由DA AB ⊥，翻折后得到PA AB ⊥，又PA AC ⊥， 则PA ⊥面ABC ，可知PA BC ⊥．又因为AB BC ⊥，则BC ⊥面PAB ，于是BC PB ⊥， 因此三棱锥P ABC -外接球球心是PC 的中点．计算可知2CP =，则外接球半径为1，从而外接球表面积为4π．故选：C. 【点睛】本题主要考查简单的几何体、球的表面积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力及创新意识，属于中档题． 10．已知函数()1xf x xe-=，若对于任意的0(0,]x e ∈，函数()20()ln 1g x x x ax f x =-+-+在(0,]e 内都有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(1,]e B ．2(,]e e e-C ．22(,]e e e e-+ D ．2(1,]e e-【答案】D 【解析】 【分析】将原题等价转化为方程()20ln 1x x ax f x -++=在(0,]e 内都有两个不同的根，先求导()'f x ，可判断()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 是增函数；当()1,x e ∈时，()0f x '<，()f x 是减函数.因此()01f x <≤，再令2()ln 1F x x x ax =-++，求导得221()x ax F x x'--=-，结合韦达定理可知，要满足题意，只能是存在零点1x ，使得()0F x '=在()0,e 有解，通过导数可判断当()10,x x ∈时()0F x '>，()F x 在()10,x 上是增函数；当()1,x x e ∈时()0F x '<，()F x 在()1,x e 上是减函数；则应满足()()1max 1F x F x =>，再结合211210x ax --=，构造函数()2ln 1m x x x =+-，求导即可求解；【详解】函数()20()ln 1g x x x ax f x =-+-+在(0,]e 内都有两个不同的零点，等价于方程()20ln 1x x ax f x -++=在(0,]e 内都有两个不同的根.111()(1)x x x f x e xe x e '---=-=-，所以当()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 是增函数；当()1,x e ∈时，()0f x '<，()f x 是减函数.因此()01f x <≤.设2()ln 1F x x x ax =-++，2121()2x ax F x x a x x'--=-+=-，若()0F x '=在()0,e 无解，则()F x 在(0,]e 上是单调函数，不合题意；所以()0F x '=在()0,e 有解，且易知只能有一个解.设其解为1x ，当()10,x x ∈时()0F x '>，()F x 在()10,x 上是增函数； 当()1,x x e ∈时()0F x '<，()F x 在()1,x e 上是减函数.因为0(0,]x e ∀∈，方程()20ln 1x x ax f x -++=在(0,]e 内有两个不同的根，所以()()1max 1F x F x =>，且()0F e ≤.由()0F e ≤，即2ln 10e e ae -++≤，解得2a e e≤-. 由()()1max 1F x F x =>，即2111ln 11x x ax -++>，所以2111ln 0x x ax -+>.因为211210x ax --=，所以1112a x x =-，代入2111ln 0x x ax -+>，得211ln 10x x +->. 设()2ln 1m x x x =+-，()120m x x x'=+>，所以()m x 在()0,e 上是增函数， 而()1ln1110m =+-=，由211ln 10x x +->可得()()11m x m >，得11x e <<.由1112a x x =-在()1,e 上是增函数，得112a e e<<-.综上所述21a e e<≤-， 故选：D. 【点睛】本题考查由函数零点个数求解参数取值范围问题，构造函数法，导数法研究函数增减性与最值关系，转化与化归能力，属于难题11．如图是计算11111++++246810值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )A ．5k ≥B ．5k <C ．5k >D ．6k ≤ 【答案】B 【解析】 【分析】根据计算结果，可知该循环结构循环了5次；输出S 前循环体的n 的值为12，k 的值为6，进而可得判断框内的不等式． 【详解】因为该程序图是计算11111246810++++值的一个程序框圈 所以共循环了5次所以输出S 前循环体的n 的值为12，k 的值为6， 即判断框内的不等式应为6k ≥或5k > 所以选C 【点睛】本题考查了程序框图的简单应用，根据结果填写判断框，属于基础题．12．已知抛物线2:4C y x =和点(2,0)D ，直线2x ty =-与抛物线C 交于不同两点A ，B ，直线BD 与抛物线C 交于另一点E ．给出以下判断：①以BE 为直径的圆与抛物线准线相离； ②直线OB 与直线OE 的斜率乘积为2-；③设过点A ，B ，E 的圆的圆心坐标为(,)a b ，半径为r ，则224a r -=． 其中，所有正确判断的序号是（ ） A ．①② B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】D 【解析】 【分析】对于①，利用抛物线的定义，利用12||||||222d d BF EF BE d R ++==>=可判断； 对于②，设直线DE 的方程为2x my =+，与抛物线联立，用坐标表示直线OB 与直线OE 的斜率乘积，即可判断；对于③，将2x ty =-代入抛物线C 的方程可得，18A y y =，从而，2A y y =-，利用韦达定理可得242||164832BE m m =++，再由222||||2BE r MN ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可用m 表示2r ，线段BE 的中垂线与x 轴的交点（即圆心N ）横坐标为224m +，可得a ，即可判断. 【详解】如图，设F 为抛物线C 的焦点，以线段BE 为直径的圆为M ，则圆心M 为线段BE 的中点．设B ，E 到准线的距离分别为1d ，2d ，M e 的半径为R ，点M 到准线的距离为d ， 显然B ，E ，F 三点不共线， 则12||||||222d d BF EF BE d R ++==>=．所以①正确． 由题意可设直线DE 的方程为2x my =+， 代入抛物线C 的方程，有2480y my --=． 设点B ，E 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则124y y m +=，128y y =-．所以()()()21212121222244x x my my m y y m y y =++=+++=．则直线OB 与直线OE 的斜率乘积为12122y y x x =-．所以②正确． 将2x ty =-代入抛物线C 的方程可得，18A y y =，从而，2A y y =-．根据抛物线的对称性可知，A ，E 两点关于x 轴对称，所以过点A ，B ，E 的圆的圆心N 在x 轴上．由上，有124y y m +=，21244x x m +=+，则()()2224212121212||44164832BE x x x x y y y y m m =+-++-=++．所以，线段BE 的中垂线与x 轴的交点（即圆心N ）横坐标为224m +，所以224a m =+．于是，222222421212||||244128222BE x x y y r MN m m m ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，代入21244x x m +=+，124y y m +=，得24241612r m m =++，所以()()22224224416124a r m mm -=+-++=．所以③正确． 故选：D 【点睛】本题考查了抛物线的性质综合，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于较难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
韶关市2021届高三综合测试(数学)
韶关市2021届高三综合测试数 学本试卷共4页，22小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．回答非选择题时，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 1．已知复数21iz i-=+，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一县象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．命题p ：220x x --<是命题q ：01x <<的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件3．ABC △中，点M 为AC 上的点，且12AM MC =，若BM BA BC λμ=+，则λμ- 的值是（ ） A ．1B ．12C ．13D ．234．人的心脏跳动时，血压在增加或减少．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数12080/mmHg 为标准值．设某人的血压满足函数式()()10125sin 16p t πt =+，其中()p t 为血压（单位：mmHg ），t 为时间（单位：min ），则下列说法正确的是（ ） A ．收缩压和舒张压均高于相应的标准值B ．收缩压和舒张压均低于相应的标准值C ．收缩压高于标准值，舒张压低于标准值D ．收缩压低于标准值，舒张压高于标准值5．假设某射手每次射击命中率相同，且每次射击之间相互没有影响．若在两次射击中至多命中一次的概率是1625，则该射手每次射击的命中率为（ ） A ．925B ．25C ．35D ．346．已知()()()()10210012101222x a a x a x a x +=+++++⋅⋅⋅++，则9a =（ ） A ．10- B ．10 C ．45- D ．457．设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为底面正方形ABCD 内的一动点，若三角形1APC 的面积12S =，则动点P 的轨迹是（ ） A ．圆的一部分B ．双曲线的一部分C ．抛物线的一部分D ．椭圆的一部分8．已知函数()()1ln 12xf x e x =+-，若41log 5a f ⎫⎛= ⎪⎝⎭，()5log 6b f =，()6log 4c f =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（ ）A ．b a c >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．c a b >> 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得2分．请把正确选项在答题卡中的相对位置涂黑．9．设P 是椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点，1F ，2F 是椭圆的左、右焦点，焦距为()20c c >，若12F PF ∠是直角，则（ ）A ．OP c =（O 为原点）B ．122F PF S b =△C ．12F PF △的内切圆半径r a c =-D ．1max PF a c =+10．如图所示，点P 是函数()()sin 2πf x x ωϕ=+（x ∈R ，0ω>）图象的最高点，M 、N 是图象与x 轴的交点，若,06πM ⎫⎛- ⎪⎝⎭，且0PM PN ⋅=，则（ ）A ．2,03πN ⎫⎛ ⎪⎝⎭B ．1ω=C ．,32ππP ⎫⎛ ⎪⎝⎭D ．23πϕ=11．设a ，b 为正数，若直线10ax by -+=被圆224210x y x y ++-+=截得弦长为4，则（ ）A ．1a b +=B ．21a b +=C ．18ab ≤D ．29a b ab+≥ 12．如图三棱锥P ABC -，平面PBC ⊥平面ABC ，已知PBC △是等腰三角形，ABC △是等腰直角三角形，若2AB BC ==，5PB PC ==O 是三棱锥P ABC -的外接球，则（ ）A ．球心到平面PBC 的距离是32B ．球心到平面ABC 的距离是34C ．球的表面积是414πD ．球的体积是7413π三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知集合(){}2log 2A x y x ==-，{}13B x x =≤≤，则AB =________（结果用区间或集合表示）．14．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，671a a +=，则12S =________，若70a <，则使得不等式0n S <成立的最小整数n =________．15．现有标号为①，②，③，④，⑤的5件不同新产品，要放到三个不同的机构进行测试，每件产品只能放到一个机构里．机构A ，B 各负责一个产品，机构C 负责余下的三个产品，其中产品①不在A 机构测试的情况有________种（结果用具体数字表示）．16．若曲线1C ：2y ax =（0a >）与曲线2C ：xy e =存在公切线，则a 的取值范围为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题10分）在①()cos cos 3sin cos 0C A A B +-=，②()cos23cos 1B A C -+=， ③3cos sin 3b C B a +=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中． 问题：在ABC △中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若1a c +=，________，求角B 的值和b 的最小值（注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个解答给分）．18．（本小题12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面CDP ，已知3PA =，4PD =．（1）若E 为PD 中点，求证：PB//平面ACE ； （2）求直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值．19．（本小题12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2n S n kn =-+（*k ∈N ），且n S 的最大值为25．（1）求k 的值及通项公式n a ； （2）求数列{}112n a n -⋅的前n 项和nT ．20．（本小题12分）在一次大范围的随机知识问卷调查中，通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如下表所示：得分 [)30,40 [)40,50 [)50,60 [)60,70 [)70,80 [)80,90 []90,100频数213212524114（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分，μ近似为这100人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的左端点值作代表）． ①求μ的值；②若()()253P a P a ξξ>-=<+，求a 的值；（2）在（1）的条件下，为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：①得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费；赠送话费的金额（单位：元）2050概率34 14现有市民甲参加此次问卷调查，记（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X 的分布列与数学期望． 21．（本小题12分）已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点是F ，若过焦点的直线与C 相交于P ，Q 两点，所得弦长PQ 的最小值为4．（1）求抛物线C 的方程；（2）设A ，B 是抛物线C 上两个不同的动点，O 为坐标原点，若OA OB ⊥，OM AB ⊥，M 为垂足，证明：存在定点N ，使得MN 为定值．22．（本小题12分）已知函数()ln f x x x =． （1）求()f x 的单调区间；（2）若()1,x ∈+∞时，方程()20axae f x -=有两个不等实数根1x ，2x ，求实数a 的取值范围，并证明：12111ax ax +>．数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 D B C C C A D B1．D ．【解析】因为()()()()212111i i i z i i i ---==++-1322i =-，所以复数21i z i -=+在复平面内对应的点位于第四象限．2．B ．【解析】22012x x x --<⇔-<<，所以q p ⇒，故p 是q 的必要不充分条件．3．C ．【解析】由12AM MC =可知，13AM AC =，则有 BM BA AAC =+13BA AC =+()13BA BC BA =+-2133BA BC =+，所以，23λ=，13μ=，13λμ-=．4．C ．【解析】由三角函数知识，函数()p t 的最大值（即收缩压）为126，函数()p t 的最小值（即舒张压）为76，比较得：收缩压高与标准值，舒张压低于标准值，故选C ． 5．C ．【解析】设该射手射击命中的概率为p ，两次射击命中的次数为X ，则()2,X B p ．由题可知：()()160125P X P X =+==，即()()201220161125C p p C p p -+-=，解得35p =．6．A ．【解析】()()()()()101021001210112222x x a a x a x a x +=-+=+++++⋅⋅⋅++⎡⎤⎣⎦()1102r r r T C x +=-+⎡⎤⎣⎦，()99910110a C =-=-．7．D ．【解析】设d 是三角形1APC 边1AC的高，1111222APC S AC d =⋅⋅==△，所以3d =，即点P 到直线1AC的距离为定值3，所以点P 在以直线1AC为轴，以3为底面半径的圆柱侧上，直线1AC 与平面ABCD 既不平行也不垂直，所以点P 的轨迹是平面ABCD 上的一个椭圆，其中只有一部分在正方形ABCD 内． 8．B ．【解析】由题可知：()f x 的定义域为R ，且()()1ln 12xf x e x --=++()111ln ln 122x x x e x e x e +=+=+-，则()f x 为偶函数，()112x x e e f x =-+'()()2112121x x x x xe e e e e ---==++，当0x >时，()0f x '>，()f x 在()0,+∞上单调递增．又由45551log 5log 6log 6log 4-=-5551log 4log 6log 4-⋅=2555log 4log 612log 4+⎫⎛- ⎪⎝⎭≥255log 25120log 4⎫⎛- ⎪⎝⎭>= 所以456log 5log 61log 40>>>>，41log 5a f ⎫⎛= ⎪⎝⎭()()44log 5log 5f f =-=，故a b c >>．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．请把正确选项在答题上中的相应位置涂黑．题号 9 10 11 12 答案 ABC BC BCD BC 9．ABC ．【解析】12Rt F PF △中，O 为斜边12F F 的中点，所以1212OP F F c ==，故A 正确；设1PF m =，2PF n =，则有()2222m n c +=，2m n a +=，所以()()2222122mn m n m n b ⎡⎤=+-+=⎣⎦，所以12212F PF S mn b ==△，故B 正确． ()122122F PF S m n c r b =++⋅=△，1222F PF S r m n c =++△()22222222()a cb ac a c =-=++a c =-，故C 正确；1PF a c =+当且仅当P 为椭圆右顶点，此时P ，1F ，2F 不构成三角形，故D 错误． 10．BC ．【解析】由题知P 的纵坐标为2π，又0PM PN ⋅=，所以PM PN ⊥，PM PN =，所以MN π=，所以()f x 的周期2T π=，所以22ππω=，1ω=，故B 正确；所以43p M T x x π=+=，故C 正确；526N M T πx x =+=，故A 错误，将,32P ππ⎫⎛ ⎪⎝⎭代入函数解析式可得：sin 13πϕ⎫⎛+= ⎪⎝⎭，26k ππϕ=+（k ∈Z ），故D 错误．11．BCD ．【解析】圆的半径是2，所以直线过圆心()2,1-，即21a b +=，故B 正确；又a ，b 均为正数，所以由均值不等式18ab ≤，故C 正确；又2212a b a b ab ab ab b a +=+=+()1222214a b a b b a b a ⎫⎛=++=+++ ⎪⎝⎭59≥+=， 当且仅当22a b b a =，即a b =，即13a b ==时，等号成立，故D 正确． 12．BC ．【解析】三棱锥可置于棱长为2的正方体内，正方体的上底面11B C 的中点P 即为此三棱锥的顶点，如下图的P ABC -，分别设1O ，2O 为ABC △、PBC △外接圆圆心，21OO =所以A 错；因为AB BC ⊥，则1O 是AC 的中点．在等腰三角形PBC 中，22PM BM ==，设其外接圆半径为r （如图），则222PO BO CO r ===，22MO r =-得：()222r r =-，解得54r =，2324MO r =-=．所以，B 对；设三棱锥P ABC -外接球半径为R 在1Rt BO O △中，1234O O MO ==，12BO =，所以()2222324R BO ⎫⎛==+ ⎪⎝⎭，解得24116R =．从而24144S πR ==．所以C 对；计算可得D 错．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）题号 1314（第一空2分，第2空3分） 1516答案[)1,26；13 162,4e ⎫⎡+∞⎪⎢⎣⎭13．[)1,2．【解析】(){}2log 2A x y x ==-(),2=-∞，所以[)1,2AB =．14．6；13．【解析】因为671a a +=，所以()126766S a a =+=；因为70a <，所以60a >，所以{}n a 为递减数列，又1260S =>，133130S a =<，所以min 13n =．15．16．【解析】（1）若产品1在B 机构，则情况数为144C =；（2）若产品1在C 机构则情况数为224212C A =，所以总共16种情况．16．2,4e ⎫⎡+∞⎪⎢⎣⎭．【解析】由()20y ax a =>，得2y ax '=，由x y e =，得x y e '=．设公切线与曲线1C 切于点()211,x ax ，与曲线2C 切于点()22,x x e，则切线方程分别为1l ：()21112y ax ax x x -=-，2l ：()222x x y ee x x -=-；若两切线重合，则有()22121221xx ax e x x eα⎧=⎪⎨-=-⎪⎩，可得：2122x x =+； 所以11212x ea x +=，记()()1202x f e x x x +=>，则()()12224x e x xf x +-='，当()0,2x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当()2,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递减； 所以()2min4e f x =，所以a 的取值范围为2,4e ⎫⎡+∞⎪⎢⎣⎭． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：若选择①：在ABC △中，有A B C π++=，则由题可得：()cos cos cos cos 0A B A B A B -++-=sin sin cos cos cos cos cos 0A B A B A B A B -+-=sin sin cos A B A B =………………………………3分又sin 0A ≠，所以sin B B =，tan B =又()0,B π∈，所以3πB =．………………………………5分 因为1a c +=，所以1c a =-，()0,1a ∈． 由余弦定理可得：2222cos b a c ac B =+-22a c ac =+-()()2211a a a a =+---2331a a =-+，()0,1a ∈………………………………8分 又2211324b a ⎫⎛=-+ ⎪⎝⎭，()0,1a ∈所以，当12a =时，()2min 14b =，………………………………10分说明：研究()2b f a =时，若换成()2b gc =，过程完全相同，请参考上面过程给分． 若选择②：在ABC △中，有A B C π++=，则由题可得：22cos 13cos 1B B -+=，………………………………3分解得1cos 2B =或cos 2B =-（舍去）， 又()0,B π∈，所以3πB =．（剩下同①）………………………………5分若选择③：由正弦定理可将已知条件转化为sin cos sin sin 3B C C B A +=()sin sin A B C =+sin cos sin cos B C C B =+代入上式得3sin sin sin sin sin 3C B B C A ++= 又sin 0C ≠，所以sin 3cos B B =，tan 3B =．又()0,B π∈，所以3πB =．（剩下同①） 18．解：（1）证明：连接BD 交AC 于点M ，连接ME ． 因为四边形ABCD 为正方形，所以M 为BD 中点， 又E 为DP 中点，所以ME//PB ．因为ME ⊂平面ACE ，PB ⊄平面ACE ，所以PB//平面ACE．………………………………5分（2）解法一：如图，过P 作PH AD ⊥，垂足为H ，连接BH ． 因为四边形ABCD 为正方形，所以CD AD ⊥．因为，PA ⊥平面CDP ，CD ⊂平面CDP ，所以，CD AP ⊥．因为，AD AP A =，AD ，AP ⊂平面ADP ，所以，CD ⊥平面ADP ． 因为，CD ⊂平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ． 因为，平面PAD 平面ABCD AD =，PH AD ⊥， 所以，PH ⊥平面ABCD ．BH 为斜线PH 在平面ABCD 内的射影．所以，PBH ∠为直线PB 与平面ABCD 所成的角． ………………………………9分在Rt PAD △中，有AD PH AP PD ⋅=⋅，得125PH =． 因为AB//CD ，所以AB ⊥平面ADP ，在Rt PAB △中，有2234PB PA AB =+=．所以634sin 85PH PBH PB ∠==． 所以直线PB 与平面ABCD 634………………………………12分 （2）解法二：如图，过P 作PH AD ⊥，垂足为H ， 因为，四边形ABCD 为正方形，所以CD AD ⊥． 因为，PA ⊥平面CDP ，CD ⊂平面CDP ， 所以，CD AP ⊥．因为，AD AP A =，AD ，AP ⊂平面ADP ，所以，CD ⊥平面ADP ．因为，CD ⊂平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ．因为，平面PAD 平面ABCD AD =，PH AD ⊥，所以，PH ⊥平面ABCD ．………………………………7分过点D 在平面PAD 内作直线DF //PH ，因为，PH ⊥平面ABCD ，所以，DF ⊥ABCD ．以点D 为原点O ，以DA 所在的直线为x 轴，以DC 所在的直线为y 轴，以DH 所在的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 在Rt PAD △中，有AD PH AP PD ⋅=⋅，易得125PH =，则21216455DH ⎫⎛=-= ⎪⎝⎭．则有()5,5,0B ，1612,0,55P ⎫⎛⎪⎝⎭，所以912,5,55PB ⎫⎛=-⎪⎝⎭显然z 轴⊥平面ABCD ，则平面ABCD 的一个法向量()0,0,1n =．………………………………10分设直线PB 与平面ABCD 所成的角为θ，0,2πθ⎫⎛∈ ⎪⎝⎭． 则sin cos ,n PB n PB n PB θ⋅==⋅22212120015585091252555⎫⎛++⨯- ⎪⎝⎭==⎫⎫⎛⎛++- ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭63485850==所以直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值为3485．………………………………12分说明：若其它方法建系的，参照上面过程给分．19．解：（1）由题可得2224n k k S n ⎫⎛=--+ ⎪⎝⎭，*k ∈Z所以当k 为偶数时，()2mx2254n k k S S ===，解得10k =；当k 为奇数时，()21max 21254n k k S S +-===，此时k 无整数解．综上可得：10k =，210n S n n =-+．………………………………4分说明：若直接由2254k =，得到10k =，扣1分．①1n =时，119a S ==．②当2n ≥时，1n n n a S S -=-()()()()22101101n n n n =-+---+-211n =-+，当1n =时也成立． 综上可得：211n a n =-+所以10k =，211n a n =-+（*n ∈N ）………………………………6分（2）112224n a n n nn n --⋅=⋅=………………………………7分 1212444n nnT =++⋅⋅⋅+ ① 231112144444n n n n nT +-=++⋅⋅⋅++ ② 两式相减得：21311144444n n n nT +=++⋅⋅⋅+-………………………………9分1111131144144334414n n n n n n n T ++⎫⎛- ⎪⎝⎭=-=--⋅- 则14199434n n nnT -=--⋅⋅． 则434993n nn T +=-⋅．………………………………12分 20．解：（1）由题意得：3024013502160257024801190460.5100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，60.5μ∴=，………………………………2分()()253P a P a ξξ>-=<+，∴由正态分布曲线的对称性得()()25360.52a a -++=，解得41a =．………………………………4分 （2）由题意得()()12P Z P Z μμ<=≥=， 获赠话费的X 的所有可能取值为20，40，50，70，100………………………………7分()13320248P X ==⨯=， ()13394024432P X ==⨯⨯=，()11150248P X ==⨯=， ()11313167024424432P X ==⨯⨯+⨯⨯=， ()111110024432F X ==⨯⨯=．………………………………10分 X ∴的分布列为：X20 40 50 70 100P38 932 18 632 132()391612040507010083283232E X =⨯+⨯+⨯+⨯=+⨯33041.258==元．所以X 的数学期望为41.25元．………………………………12分21．解：（1）显然直线PQ 的斜率不为0，故可设置PQ 的方程为2px my =+，2222202y px y mpy p p x my ⎧=⎪⇒--=⎨=+⎪⎩，所以2P Q y y mp +=，2P Q y y p =-．………………………2分所以()22Q P Q P x x m y y p m p p +=++=+．222P Q PQ x x p m p p =++=+，所以当0m =时，PQ 最小，所以24p =，2p =故所求抛物线的方程为24y x =．………………………………5分 说明：若直线根据通径2p 为最短的焦点弦，得到24p =，扣2分．（2）直线AB 的斜率不为0，故可设直线AB 的方程为x ty s =+，()11,A x y ，()22,B x y ．224440y xy ty s x ty s⎧=⇒--=⎨=+⎩，所以124y y t +=，124y y s =-． ()()1212x x ty s ty s =++()2221212t y y ts y y s s =+++=．因为OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅=，所以12120x x y y +=，即240s s -=…………8分解得0s =或4s =．若0s =，则直线AB 过点O ，不符合题意．则有4s =，此时直线AB 的方程为4x ty =+，所以直线AB 过定点()4,0T ． (10)分如图，又OM AB ⊥，所以OM MT ⊥，所以点M 在以OT 为直径的圆上，所以()2,0N ． 此时122MN OT ==．…………12分22．解：（1）由题知()f x 定义域为()0,+∞，()ln 1f x x '=+， 由()ln 10f x x '=+≥解得1x e ≥，得()f x 的增区间为1,e ⎫⎡+∞⎪⎢⎣⎭， 由()ln 10f x x '=+<解得10x e <<，得()f x 的减区间为10,e ⎛⎤⎥⎝⎦， 所以()f x 的增区间为1,e ⎫⎡+∞⎪⎢⎣⎭，减区间为10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦．…………3分（2）解法一：当()1,x ∈+∞时，()20axae f x -=2ln axaex x ⇔=22ln ax ax e x x ⇔⋅=，22ln ln ax ax e e x x ⇔=()()2x f e f x α⇔=，()1,x ∈+∞时，ln 0x >，0a ∴>，1ax e ∴>，21x >，由（1）知()f x 在[)1,+∞上递增，所以()1,x ∈+∞时，()()22ax ax f e f x e x =⇔=2ln 2ln xax x a x⇔=⇔=．…………5分 所以方程()20axae f x -=有两个不等实数根1x ，22ln x x a x⇔=的两根为1x ，2x ，…………6分设()2ln xF x x=，故()()221ln 0x F x x -'=>时，0x e <<，()F x ⇒，增区间为()0,e ，减区间为[),e +∞，如图，当方程2ln xa x =有两个解时， 当且仅当20a e<<…………8分不妨设12x x >，121x t x =>， ()111222122ln 2ln ln 2ln ax x x x a ax x x x =-⎧⇒=⎨=-⎩， ()()()12121212121212112ln ln x x x x x x ax ax ax x x x x x +-+∴+==-()1222122111122212ln 2ln 2lnx x t x x x x t x x t x x x x ---===………9分 设()()12ln 1u t t t t t =-->，则要证12111ax ax +>，即证112ln t t t->，即证12ln t t t ->， 即证12ln 0t t t-->， 因为()()22211210t u t tt t '-=+-=>，所以()u x 为增函数． 所以1t >时，()()10u t u >=恒成立，即12ln 0t t t-->．…………11分 所以()1,x ∈+∞时，12111ax ax +>成立．…………12分解法二：当()1,x ∈+∞时，()20axae f x -=2ln axaex x ⇔=22ln ax ax e x x ⇔⋅=，22ln ln ax ax e e x x ⇔=()()2x f e f x α⇔=，()1,x ∈+∞时，ln 0x >，0a ∴>，1ax e ∴>，21x >，由（1）知()f x 在[)1,+∞上递增，所以()1,x ∈+∞时，()()22ax ax f e f x e x =⇔=2ln ax x ⇔=．…………5分所以，方程()20ax ae f x -=有两个不等实数根1x ，2x ，设函数()2ln F x x ax =-，则()2F x a x'=-， 0a ≤时，()0F x '>，()F x 单调递增，()0F x =不可能有两个根， 0a ∴>，此时，由()20a x F x =->'解得20x a <<，()F x ∴单调递增区间为20,a ⎛⎤ ⎥⎝⎦． 由()20a x F x =-<'解得2x a >，()F x ∴单调递减区间为2,a ⎫⎛+∞ ⎪⎝⎭， 若()0F x =有两个根，则22ln 10F a a ⎫⎛=->⎪⎝⎭，解得20a e <<．………………8分 设()()24a h x x F x F ⎫⎛⎪⎝-⎭=，则2220h F F a a a ⎫⎫⎫⎛⎛⎛=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎝⎝⎭⎭⎭， 且()()24h x F x a F x ⎫⎛⎪'-⎝'=⎭'222242a x a a x a x ⎫⎛⎫⎫⎛⎛=----⎪ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭⎝⎭()2220ax ax -=-<， ()()24h x F x a F x ⎫⎛ ⎪⎝=-⎭∴单调递减，由题可设1220x x a <<<，242x a a ∴-<且()20h x <，即()22240F x F a x ⎫⎛-<⎪ ⎝⎭，()()12F x F x =，()()12224F x F x F a x ⎫⎛∴=<⎪ ⎝⎭，又()F x 在20,a ⎛⎤⎥⎝⎦单调递增，1224x a x ∴<，即1224x x a <，………………10分212121112ax ax a x x ∴+>221214a a >⨯=．………………12分 解法三：当()1,x ∈+∞时，()20axae f x -=2ln axaex x ⇔=22ln ax ax e x x ⇔⋅=，22ln ln ax ax e e x x ⇔=()()2x f e f x α⇔=，()1,x ∈+∞时，ln 0x >，0a ∴>，1ax e ∴>，21x >，由（1）知()f x 在[)1,+∞上递增，所以()1,x ∈+∞时，()()22ax ax f e f x e x =⇔=2ln ax x ⇔=．………………5分设方程2ln 0x ax -=的两根为1x ，2x 设1t ax =，则111t ax =，221t ax =是方程12ln 0at t+=的两根，………………6分设()12ln at t g t =+，则()21212ln g t at t t t '=+=-221t t-=， 由()2210t t t g -=≥'解得12t ≥．()g x ∴单调递增区间为1,2⎫⎡∞⎢⎣+⎪⎭， 由()2210t t t g -=<'解得102t <<，()F x ∴单调递减区间为10,2⎛⎤⎥⎝⎦，若()0g x =有两个根，则112ln 2022g a ⎫⎛=+<⎪⎝⎭，解得20a e <<．………………8分 可知，要证12111ax ax +>，即证121t t +>， 设()()()1102h t g t g t t ⎫⎛=--<≤⎪⎝⎭， 则()()22212111t t t t h t ⎡⎤⎫⎛-+-⎢⎥ ⎪-⎝⎭-⎢⎥⎣⎦'=()()2221201t t t --=<-，()h t ∴是减函数， 不妨设1212t t <<，()()()1111102h t g t g t h ⎫⎛∴=-->= ⎪⎝⎭，即()()111g t g t >-， 又()()12g t g t =，()()211g t g t ∴>-，211t t ∴>-，………………11分121t t ∴+>，即12111ax ax +>．………………12分。
广东省韶关市2021届新高考数学模拟试题含解析
广东省韶关市2021届新高考数学模拟试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设复数z ＝213ii-+，则|z|＝（ ）A ．13B ．C ．12D 【答案】D 【解析】 【分析】先用复数的除法运算将复数z 化简，然后用模长公式求z 模长. 【详解】 解：z ＝213i i -+＝(2)(13)(13)(13)i i i i --+-＝1710i --＝﹣110﹣710i ,则|z|2. 故选：D. 【点睛】本题考查复数的基本概念和基本运算,属于基础题. 2．已知随机变量X 的分布列是则()2E X a +=（ ） A ．53B ．73C ．72D ．236【答案】C 【解析】 【分析】利用分布列求出a ，求出期望()E X ，再利用期望的性质可求得结果. 【详解】由分布列的性质可得11123a ++=，得16a =，所以，()11151232363E X =⨯+⨯+⨯=，因此，()()11517222266362E X a E X E X ⎛⎫+=+=+=⨯+= ⎪⎝⎭.故选：C. 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，是基本知识的考查． 3．在空间直角坐标系O xyz -中，四面体OABC 各顶点坐标分别为：22(0,0,0),(0,0,2),3,0,0,0,3,033O A B C ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．假设蚂蚁窝在O 点，一只蚂蚁从O 点出发，需要在AB ，AC 上分别任意选择一点留下信息，然后再返回O 点．那么完成这个工作所需要走的最短路径长度是（ ） A ．22 B ．1121-C ．521+D ．23【答案】C 【解析】 【分析】将四面体OABC 沿着OA 劈开，展开后最短路径就是AOO '△的边OO '，在AOO '△中，利用余弦定理即可求解. 【详解】将四面体OABC 沿着OA 劈开，展开后如下图所示：最短路径就是AOO '△的边OO '． 易求得30OAB O AC '∠=∠=︒， 由2AO =，233OB =433AB = 433AC =，22263BC OB OC =+=222cos 2AB AC BC BAC AB AC+-⇒∠=⋅ 161683333444233+-== 由余弦定理知2222cos OO AO AO AO AO OAO ''''=+-⋅⋅∠其中2AO AO '==，()3cos cos 608OAO BAC -'∠=︒+∠=∴25OO OO ''=⇒= 故选：C 【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理的内容，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.4．过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点F 的直线过C 的上顶点B ，且与椭圆C 相交于另一点A ，点A 在y 轴上的射影为A '，若34FO AA ='，O 是坐标原点，则椭圆C 的离心率为（ ） A．2B．3C ．12D．2【答案】D 【解析】 【分析】求得点B 的坐标，由34FO AA ='，得出3BF FA =，利用向量的坐标运算得出点A 的坐标，代入椭圆C 的方程，可得出关于a 、b 、c 的齐次等式，进而可求得椭圆C 的离心率. 【详解】由题意可得()0,B b 、(),0F c -.由34FO AA ='，得34BF BA =，则31BF FA =，即3BF FA =. 而(),BF c b =--，所以,33cb FA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以点4,33b A c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.因为点4,33b A c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在椭圆2222:1x yC a b+=上，则22224331b c a b ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=， 整理可得2216899c a ⋅=，所以22212c e a ==，所以2e =. 即椭圆C故选：D. 【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，解答的关键就是要得出a 、b 、c 的齐次等式，充分利用点A 在椭圆上这一条件，围绕求点A 的坐标来求解，考查计算能力，属于中等题.5．如图，在ABC 中，,(,),2AD AB BD xAB yAC x y R AD ⊥=+∈=，且12AC AD ⋅=，则2x y +=（ ）A ．1B ．23-C ．13-D ．34-【答案】C 【解析】 【分析】由题可0,12AD AB AC AD ⋅=⋅=,所以将已知式子中的向量用AD AB AC ，，表示，可得到的,x y 关系，再由,,B D C 三点共线，又得到一个关于,x y 的关系，从而可求得答案 【详解】由BD xAB yAC =+，则(1),[(](1)AD x AB y AC AD AD AD x AB y AC x AD AB y AD AC =++⋅=⋅++=+⋅+⋅，即412y =，所以13y =，又,,B D C 共线，则1111,,233x y x x y ++==-+=-. 故选：C 【点睛】此题考查的是平面向量基本定理的有关知识，结合图形寻找各向量间的关系，属于中档题.6．已知函数()[]010x x f x x x ⎧≥⎪=⎨⎪⎩，，＜（[]x 表示不超过x 的最大整数），若()0f x ax -=有且仅有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．12,23⎛⎤⎥⎝⎦B ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．23,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．23,34⎛⎤⎥⎝⎦【答案】A 【解析】 【分析】根据[x]的定义先作出函数f （x ）的图象，利用函数与方程的关系转化为f （x ）与g （x ）=ax 有三个不同的交点，利用数形结合进行求解即可． 【详解】当01x ≤＜时，[]0x =， 当12x ≤＜时，[]1x =， 当23x ≤＜时，[]2x =， 当34x ≤＜时，[]3x =，若()0f x ax -=有且仅有3个零点， 则等价为()=f x ax 有且仅有3个根， 即()f x 与()g x ax =有三个不同的交点， 作出函数()f x 和()g x 的图象如图，当a=1时，()g x x =与()f x 有无数多个交点，当直线()g x 经过点21A （，）时，即()221g a ==，12a =时，()f x 与()g x 有两个交点， 当直线()g x 经过点()32B ，时，即()332g a ==23a =，时，()f x 与()g x 有三个交点， 要使()f x 与()g x ax =有三个不同的交点，则直线()g x 处在过12y x =和23y x =之间，即1223a ≤＜， 故选：A ．【点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域(最值)问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解. 7．若||1OA =，||3OB =0OA OB ⋅=，点C 在AB 上，且30AOC ︒∠=，设OC mOA nOB =+(,)m n R ∈，则mn的值为（ ） A ．13B ．3C．3D【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的数量积运算即可算出． 【详解】 解：30AOC ︒∠=3cos ,OC OA ∴<>=3OC OA OC OA⋅∴=()32mOA nOB OA mOA nOB OA+⋅∴=+ 2222322m OAnOB OAOA mnOAOB n OB OA+⋅=+⋅+ 1OA =，3OB =，0OA OB ⋅==229m n ∴=又C 在AB 上0m ∴>，0n >3m n∴= 故选：B 【点睛】本题主要考查了向量的基本运算的应用，向量的基本定理的应用及向量共线定理等知识的综合应用． 8．设()'f x 函数()()0f x x >的导函数，且满足()()2'f x f x x>，若在ABC ∆中，34A π∠=，则（ ）A ．()()22sin sin sin sin f A B f B A <B ．()()22sinC sin sin sin f B f B C<C ．()()22cos sin sin cos f A B f B A>D ．()()22cosC sin sin cos f B f B C >【答案】D 【解析】 【分析】 根据()()2'f x f x x >的结构形式，设()()2f x g x x =，求导()()()32xf x f x g x x'-'=，则()0g x '>，()g x 在()0,∞+上是增函数，再根据在ABC ∆中，34A π∠=，得到04π<∠<B ，04π<∠<C ，利用余弦函数的单调性，得到cos sin ∠>∠C B ，再利用()g x 的单调性求解. 【详解】 设()()2f xg x x =， 所以 ()()()32xf x f x g xx'-'=，因为当0x >时，()()2'f x f x x>， 即()()20xf x f x x'->，所以()0g x '>，()g x 在()0,∞+上是增函数， 在ABC ∆中，因为34A π∠=，所以04π<∠<B ，04π<∠<C ， 因为cos sin 4π⎛⎫∠=+∠⎪⎝⎭C B ，且042ππ<∠<+∠<B B ，所以sin sin 4π⎛⎫∠<+∠⎪⎝⎭B B ， 即cos sin ∠>∠C B ， 所以()()22cos sin s sin f C f B co CB>，即()()22cosC sin sin cos f B f B C > 故选：D 【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，还考查了运算求解的能力，属于中档题.9．在直角梯形ABCD 中，0AB AD ⋅=，30B ∠=︒，AB =2BC =，点E 为BC 上一点，且AE xAB y AD =+，当xy 的值最大时，||AE =( )A B ．2C D ．【答案】B 【解析】 【分析】由题，可求出1,AD CD ==2AB DC =，根据共线定理，设(01)BE BC λλ=，利用向量三角形法则求出12AE AB AD λλ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，结合题给AE xAB y AD =+，得出1,2x y λλ=-=，进而得出12xy λλ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，最后利用二次函数求出xy 的最大值，即可求出||AE =.【详解】由题意，直角梯形ABCD 中，0AB AD ⋅=，30B ∠=︒，AB =2BC =，可求得1,AD CD ==2AB DC =·∵点E 在线段BC 上， 设(01)BE BC λλ= ， 则()AE AB BE AB BC AB BA AD DC λλ=+=+=+++(1)12AB AD DC AB AD λλλλλ⎛⎫=-++=-+ ⎪⎝⎭，即12AE AB AD λλ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，又因为AE xAB y AD =+ 所以1,2x y λλ=-=，所以2211111(1)1(1)22222xy λλλλ⎛⎫⎡⎤=-=---=--+ ⎪⎣⎦⎝⎭， 当1λ=时，等号成立. 所以1||||22AE AB AD =+=. 故选：B. 【点睛】本题考查平面向量线性运算中的加法运算、向量共线定理，以及运用二次函数求最值，考查转化思想和解题能力.10．对于定义在R 上的函数()y f x =，若下列说法中有且仅有一个是错误的，则错误．．的一个是（ ） A ．()f x 在(],0-∞上是减函数 B ．()f x 在()0,∞+上是增函数C ．()f x 不是函数的最小值D ．对于x ∈R ，都有()()11f x f x +=-【答案】B 【解析】 【分析】根据函数对称性和单调性的关系，进行判断即可． 【详解】由(1)(1)f x f x +=-得()f x 关于1x =对称，若关于1x =对称，则函数()f x 在(0,)+∞上不可能是单调的， 故错误的可能是B 或者是D ， 若D 错误，则()f x 在(-∞，0]上是减函数，在()f x 在(0,)+∞上是增函数，则(0)f 为函数的最小值，与C 矛盾，此时C 也错误，不满足条件． 故错误的是B ， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查函数性质的综合应用，结合对称性和单调性的关系是解决本题的关键．11．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图是全等的直角三角形，则该几何体的各个面中，最大面的面积为（ ）A ．2B ．5C 13D 22【答案】D 【解析】 【分析】根据三视图还原出几何体，找到最大面，再求面积. 【详解】由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，如图所示，将其放在一个长方体中，并记为三棱锥P ABC -.13PACPAB S S ∆∆==，22PAC S ∆=，2ABC S ∆=，故最大面的面积为22.选D.【点睛】本题主要考查三视图的识别，复杂的三视图还原为几何体时，一般借助长方体来实现.12．设x ，y 满足约束条件34100640280x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】D 【解析】 【分析】作出不等式对应的平面区域，由目标函数的几何意义，通过平移即可求z 的最大值． 【详解】作出不等式组的可行域，如图阴影部分，作直线0l ：20x y +=在可行域内平移当过点A 时，2z x y =+取得最大值.由34100280x y x y -+≥⎧⎨+-≤⎩得：()2,4A ，max 10z ∴= 故选：D【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省韶关市2021届高三数学7月模底考试试题 文(1)
韶关市2021届高三模拟底考试数学（文科）试卷说明：本试卷共4页,21小题,总分值150分.考试历时120分钟. 注意事项：1.答卷前,考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目.2.选择题每题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内.3.非选择题必需用黑色笔迹的钢笔或签字笔作答，答案必需写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原先的答案，然后再写上新的答案；不准利用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.请考生维持答题卷的整洁.考试终止后，将答题卷和答题卡交回.１. 方差公式：n 个数据1x 、2x 、3x ⋅⋅⋅n x 的方差222212()()()n x x x x x x s n----+-+⋅⋅⋅+-=x -是数据1x 、2x 、3x ⋅⋅⋅n x 平均数.２. 锥体体积：设锥体底面积为s ，高为h ，那么锥体体积公式为13V sh =. 一、选择题（本大题共10小题，每题5分，总分值50分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的）．1．设集合{2,1,0,1,2},{1,2},{2,1,2}U A B =--==--,那么()U A C B 等于A ．{0,1,2}B ．{1,2}C ．{2}D ．{1}2．已知i 为虚数单位，复数(2i)z i =-的模z ＝ A. 1 B.3 C 5 D.33．以下函数中，既是奇函数又在(0,)+∞单调递增的函数是A ．3y x = B ．xy e = C ．1y x -= D ．ln y x = 4.如图右所示，该程序运行后输出的结果为 A ．4 B ．6 C ．8 D ．105．在“某中学生歌手大赛”竞赛现场上七位评委为某选手打 出的分数的茎叶统计图如图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方不同离为A.5和1.6 B ．85和1.6 C. 85和0.4 D. 5和0.46．在ABC △中，假设60,45,A B BC ︒︒∠=∠==AC =（ ）.A． B．C D ．27. 已知向量()x a ,1=,()3,x b =，假设b a //A ．1BC ．4D ．28．已知,x y 知足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+2211y x y x y x ，那么目标函数23 z x y =-的最大值为A ．1B ．2C ．3D ．4 9．设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，以下命题中正确的选项是A ．假设//l α，//l β，那么//αβB ．假设αβ⊥，//l α，那么l β⊥C ．假设l α⊥，//l β，那么//αβD ．假设l α⊥，l β⊥，那么//αβ 10. 以下命题中是假命题．．．的个数是 ① βαβαβαsin cos )cos(,,+=+∈∃使R ； ② 有零点函数a x x x f a -+=>∀ln ln )(,02③若a ，b 是两个非零向量，那么“+=-a b a b ”是“⊥a b ”的充要条件；④ 假设函数()21xf x =-，那么[]12,0,1x x ∃∈且12x x <，使得 12()()f x f x >A ．0B ．1C ．2D ．3 二．填空题：（本大题共5小题．考生作答4小题．每题5分，总分值20分．） （一）必做题（11～13题）11.函数2lg(23)y x x =+-的概念域是________．（结果用区间表示）12．如图，已知抛物线22y px =的核心F 与双曲线2213x y -=的右核心重合，过抛抛于线核心F 的直线交该抛物线于,A B 两点，||3AF =，那么p =__________;直线_________.13. 已知各项不为零的等差数列}{n a 知足02211273=+-a a a ，数列}{n b 是等比数列，且77a b =，那么95b b =________.（二）选做题（14~15题，考生只能选做其中的一题，两题全答的，只计算前一题的得分）14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标中，已知直线l 方程为()cos sin 1ρθθ+=，点Q 的坐标为(2,)3π，那么点Q 到l 的距离d 为____________．15．（几何证明选讲选做题）如图，平行四边形ABCD 中，AE ：EB ＝1：2，△AEF 的面积为1cm 2,那么平行四边形ABCD 的面积为__________cm 2. 三．解答题（本大题共6题，总分值80解许诺写出文字说明．证明进程或演算步骤）．16．（本小题总分值１２分） 已知函数()x x x f cos sin 3+= (x ∈R )(1) 求⎪⎭⎫⎝⎛65πf 的值； (2) 求()x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上的最大值和最小值及相应的x 值. 17．（本小题总分值１２分）2021年春节期间，高速公路车辆剧增．高速公路治理测控中心在一特定位置从七座以下小型汽车中按前后顺序，每距离50辆就抽取一辆的抽样方式抽取40辆进行电子测速调查，将它们的车速(km/h)分成六段「80,85），［85，90），[90，95），「95，100），［ 100 ，105）．［105,110）后取得如以下图的频率散布直图． （1) 测控中心在采样中，用到的是什么抽样方式？并估量这40辆车车速的平均数；(2) 从车速在［80,90)的车辆中任抽取2辆，求抽出的2辆车中车速在［85,90)的车辆数的概率 参考数据：18． （本小题总分值１4分）如图，长方体1111ABCD A B C D -的底面是正方形，1AB =，12AA =，线段11B D 上有两个点E ，F .D 1C 1B 1A 1F ED CBA（１）证明：11AC B D ⊥；（２）证明：EF ABCD 平面∥；体积.（３）假设E ,F 是线段11B D 上的点，且12EF =，求三棱锥A BEF -的19．（本小题总分值14分）已知椭圆C 的核心在x轴上，中心在原点，离心率3e =，直线l ：2y x =+与以原点为圆心，椭圆C 的短半轴为半径的圆O 相切． （1） 求椭圆C 的方程；（2） 设椭圆C 的左、右极点别离为12,A A ，点M 是椭圆上异于12,A A 的任意一点，设直线12,MA MA 的斜率别离为1MA k ，2MA k 证明12MA MA k k ⋅为定值． 20．（本小题总分值14分）已知数列{}n a 的首项11a =，前n 项和为n S ，121n n a S +=+，*n N ∈.(1) 求数列{}n a 的通项公式；(2) 设31log n n b a +=，求数列{}n n b a 的前n 项和n T ，并证明：914n T ≤<． 21. （本小题总分值14分）已知函数2()ln ,()()f x b x g x ax x a R ==-∈．（1）假设曲线()f x 与()g x 在公共点(1,0)A 处有相同的切线，求实数,a b 的值； （2）假设1b =，设函数()()()u x g x f x =-，试讨论函数()u x 的单调性；（3）假设1,2a b e =>，求方程()()f x g x x -=在区间(1,)be 内实根的个数（其中e 为自然对数的底数）．参考解答和评分标准一、选择题：ACA ＢB BDBDB 1. 提示：因为{0,1}U C B =，因此()U AC B ={0,1,2}，应选A2解答：因为z ＝i （2一i）12,i z =+=所以故选C3. 提示：A 选项中，函数3y x =是奇函数又在(0,)+∞单调递增；B 选项中，xy e =是非奇非偶函数，；C 选项中，1y x -=是奇函数，但在(0,)+∞上是减函数；D 选项中，ln y x =是非奇非偶函数．应选A.4 提示：第1次循环，S=2，i=5;第2次循环，S=4，i=4;第3次循环，S=6，i=3,不知足i≤3，退出循环，输出的结果为14，应选B ． 5. 提示()24446718085,11114 1.655x s ++++=+==++++=，应选B ．6. 提示：由正弦定理得：sin sin sin 60sin 45BC AC ACAC A B ︒︒=⇒=⇒=7. 提示：因为//a b ，因此23x =,因此212a x =+= 应选D 8. 提示:画出约束区域可得：max (23)2,x y -=,因此选B 9.提示：由判定定理和性质定理可知D 正确，应选D 10. 提示：只有第④个是假的，应选B 二、填空题：11.∞∞（-，-3)(1,+）, 12. (2,A , 13.16 ,15. 24 填空题 提示：11. 提示:由2230(3)(1)03,1,x x x x xx +->⇒+->∴<->∞∞或即（-，-3)(1,+）．12. 提示：由抛物线概念，13A x +=，因此2A x =，248y x =⋅= y =±因为点A 在x 轴上方，因此(2,A ,K =-13. 提示：因为}{n a 等差数列，因此042227711273=-=+-a a a a a ，因此74a =因此22597716.b b b a ===14. 提示： 化直角坐标方程，直线10x y +-=，点Q ，距离2d =15. 提示：设AE a =，那么2EB a =，3AB CD a ==，13AEF ADF S EF S DF ∆∆==， 3ADF S ∆=，AEF CDF ∆∆，99CDF AEF S S ∆∆== 因此，平行四边形ABCD 的面积为24三、解答题 16解（1） ()x x x f cos sin 3+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3sin 2πx ………………… 2分6sin26sin 267sin 2365sin 265πππππππ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+==⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛∴f …………………4分1-= ……………………………………………………… 6分 （2）22ππ≤≤-x6536πππ≤+≤-∴x ………………… 7分 13sin 21≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤-∴πx …………………8分 从而当23ππ=+x 时，即6π=x 时()2max =x f ………………… 12分………………… 10分而当63ππ-=+x 时，即2π-=x 时()1m in -=x f …………………12分另解：（１）555()sin 666f πππ=1=-……………………………………………………… ３分（２）()sin 2sin()3f x x x x π=+=+………………………………………５分6536πππ≤+≤-∴x ………………… ６分 13sin 21≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤-∴πx …………………8分 从而当23ππ=+x 时，即6π=x 时()2max =x f ………………… 12分………………… 10分而当63ππ-=+x 时，即2π-=x 时()1m in -=x f …………………12分17解:（1）依照“某段高速公路的车速(/km h )分成六段”,符合系统抽样的原理,故此调查公司在采样中,用到的是系统抽样方式.( 注意每距离50辆就抽取一辆这一条件)…………3分平均数的估量值为：19.4597=⨯=…………………………6分(2)从图中可知，车速在[80,85)的车辆数为10.015402m =⨯⨯=（辆），别离记为12,B B ；车速在[85,90)车辆数为20.025404m =⨯⨯=（辆），别离记为1234,,,A A A A ，从这6辆车中随机抽取两辆共有15种情形：1213141112(,),(,),(,),(,),(,)A A A A A A A B A B ，2324(,),(,)A A A A ，2122(,),(,)A B A B ，3431(,),(,)A A A B ，32(,)A B ，41(,)A B ，42(,)A B ，12(,)B B .……………………9分抽出的2辆车中车速在[85,90)的车辆数1213(,),(,),A A A A 14(,),A A 2324(,),(,)A A A A34(,)A A 共6种，………………………………………………………１１分故所求的概率62()155P A ==.…………………………………12分 18解：证明：（1）在1111ABCD A B C D -中，连接BD ，因为底面ABCD 是正方形因此AC BD ⊥………………………………………………………………1分 又11,DD ABCD AC ABCD DD AC ⊥⊂∴⊥面面………………………3分 又1BDDD D =，11AC BDD B ∴⊥面，又1111B D BDD B ⊂面，11.AC B D ∴⊥…………………………………………………………5分（2）法一：在1111ABCD A B C D -中，11//BB DD ,因此四边形11BDD B 是平行四边形因此11//BD B D ………………………………………………7分因此//,,EF BD EF ABCD BD ABCD ⊄⊂又面面………………………………9分 因此//EF ABCD 面………………………………………………10分 法二：在1111ABCD A B C D -中，//EF ABCD ⊆∴11111111面A B C D //面ABCD ，又EF 面A B C D ，面………………10分（3）设AC 与BD 交于点O ，由（1）可知11AO BDD B ⊥面，即AO BEF ⊥面因此AO 是三棱锥A BEF -的高，且122AO AC ==…………………………12分因此111123322A BEF BEF V AO S -∆=⨯⨯=⨯⨯=………………………14分 19解：(1) ：由题意得112121(2)n n n n a S a S n +-=+=+≥，…………………………1分两式相减得1112)23(2)n n n n n n n a a S S a a a n +-+-=-=⇒=≥（…………………2分 因此当2n ≥时，{}n a 是以3为公比的等比数列．…………………………………3分 因为21121213a S a =+=+=，213a a = 因此，13n na a +=，对任意正整数成立 {}n a 是首项为１,公比为３的等比数列…５分 (2)由(1得知13n n a -=，313log log 3n n n b a n +===…………………………………6分111()33n n n n b n n a --==⋅……………………………………………………………………7分 2311111123()4()()3333n n T n -=+⨯+⨯+⨯++⨯ ①23111111112()3()(1)()()333333n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ ② ① -②得2312111111()()()()333333n nn T n -=+++++-⨯………………………9分11()13()1313nn n -=-⨯-………………………………………………………10分 因此9931()()4423nn T n =-+……………………………………………………11分因为931()()0423n n +>，因此99319()()44234n n T n =-+<．………………………12分又因为1103n n n n T T ++-=>，因此数列{}n T 单调递增，因此min 1()1n T T ==因此914n T ≤<．……………………………………………………14分20. （１）解：设椭圆的方程为22221(a b 0)x y a b+=>>∵离心率33e =， 223,a c ∴=222b c =;…………2分∵直线l ：y=x+2与以原点为圆心，椭圆C 的短半轴为半径的圆O 相切 ∴b=∴c 2=1 ∴a 2=3…………5分∴椭圆C 的方程为22132x y +=；…………6分（２）证明：由椭圆C 方程得1(A ，2A ，设M 点坐标00(x ,y )，那么2200132x y +=…………8分 ∴22002(3x )3y =-…………10分 ∴12202000333MA MA y y y K K x x x ==-+-…………12分 ∴12MA MA K K 是定值为23-．…………14分 21.解：（1）''(),()21b f x g x ax x==- 则''(1)(1)01(1)(1)1g f a g f b ===⎧⎧⇒⎨⎨==⎩⎩ ………3分 （2）设()2()()()ln 0u x g x f x ax x x x =-=--> ①当0a =时，'1()0x u x x--=<，因此函数()u x 在(0,)+∞上单调递减；………4分 ②当0a ≠时，令'()0u x =，即2210ax x --=………………（*），18a ∆=+当0∆≤，即18a ≤-时，2210ax x --≤，即'()0u x ≤，因此函数()u x 在(0,)+∞上单调递减；……………………………………………………………………5分当0∆≤，即18a >-时，方程（*）的解为：12x x ==当108a -<<时， 120,0x x =<=<，那么函数()u x 在(0,)+∞上单调递减；………………………………………………………………6分当0a >时，120,0x x =<=>，那么函数()u x 在2(0,)x 上递减，在2(,)x +∞上递增；………………………………………………………………7分综上所述，当0a ≤时，函数()u x 在(0,)+∞上单调递减； 当0a >时，函数()u x 在2(0,)x 上递减，在2(,)x +∞上递增. …………8分（２）另解：()2()()()ln 0u x g x f x ax x x x =-=-->① 0a ≤时，(0,)x ∈+∞ 因此，'()0u x <()u x 在(0,)+∞上单调递减…………………………………………５分②0a >时，180a ∆=+>12110,044x x a a+=<=>………………………………………６分当2(0,)x x ∈时，'()0u x <，()u x 在2(0,)x 上单调递减 当2(,)x x ∈+∞时，'()0u x >，()u x 在2(,)x +∞上单调递增综上所述，当0a ≤时，函数()u x 在(0,)+∞上单调递减； 当0a >时，函数()u x 在2(0,)x 上递减，在2(,)x +∞上递增. …………8分(3) 设()2()()()ln (1,)b h x f x g x x b x x x e =--=-∈，2'2()b x h x x-=，令'()0h x x =⇒=>，1x >x x e <<b e <…………………………9分因此， ()ln 1022b b h x h ⎛⎫==-> ⎪⎝⎭极大 ……………………………11分又因为()11,h =- 方程在上有一个根 设()xt x e x =-（()2,x e ∈+∞,'()10xt x e =->，因此()t x 在()2,e +∞上单调递增，()()(2)0,0x b t x t e e x h e ∴>>∴>∴<，方程在)be 上有一个根 因此方程()()f xg x x -=在区间(1,)be 内有两个实根…………………………14分。
广东省韶关市2021届新高考数学第三次调研试卷含解析
广东省韶关市2021届新高考数学第三次调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知椭圆22:13x C y +=内有一条以点11,3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为中点的弦AB ，则直线AB 的方程为( )A ．3320x y --=B ．3320x y -+=C ．3340x y +-=D ．3340x y ++=【答案】C 【解析】 【分析】设()11,A x y ，()22,B x y ，则221113x y +=，222213x y +=，相减得到22033k +=，解得答案. 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，设直线斜率为k ，则221113x y +=，222213x y +=， 相减得到：()()()()1212121203x x x x y y y y -+++-=，AB 的中点为11,3P ⎛⎫⎪⎝⎭，即22033k +=，故1k =-，直线AB 的方程为：43y x =-+. 故选：C . 【点睛】本题考查了椭圆内点差法求直线方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.2．设x ，y 满足约束条件34100640280x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】D 【解析】 【分析】作出不等式对应的平面区域，由目标函数的几何意义，通过平移即可求z 的最大值． 【详解】作出不等式组的可行域，如图阴影部分，作直线0l ：20x y +=在可行域内平移当过点A 时，2z x y =+取得最大值.由34100280x y x y -+≥⎧⎨+-≤⎩得：()2,4A ，max 10z ∴= 故选：D 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法，属于基础题.3．点O 在ABC ∆所在的平面内，OA OB OC ==u u u v u u u v u u u v ，2AB =u u u v，1AC =u u u v ，AO AB AC λμ=+u u u v u u u v u u u v(),R λμ∈，且()420λμμ-=≠，则BC =uu u v （ ） A ．73B ．72C ．7D 7【答案】D 【解析】 【分析】确定点O 为ABC ∆外心，代入化简得到56λ=，43μ=，再根据BC AC AB =-u u u r u u u r u u u r 计算得到答案.【详解】由OA OB OC ==u u u r u u u r u u u r可知，点O 为ABC ∆外心，则2122AB AO AB ⋅==u u u r u u u r u u u r ，21122AC AO AC ⋅==u u u r u u u r u u u r ，又AO AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，所以2242,1,2AO AB AB AC AB AC AB AO AC AB AC AC AB AC λμλμλμλμ⎧⋅=+⋅=+⋅=⎪⎨⋅=⋅+=⋅+=⎪⎩u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u vu u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ①因为42λμ-=，② 联立方程①②可得56λ=，43μ=，1AB AC ⋅=-u u u r u u u r ，因为BC AC AB =-u u u r u u u r u u u r ，所以22227BC AC AB AC AB =+-⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，即7BC=u u u r ．故选：D 【点睛】本题考查了向量模长的计算，意在考查学生的计算能力.4．一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为1r ，大圆柱底面半径为2r ，如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为1h ，如图2放置容器时，液面以上空余部分的高为2h ，则12h h =（ ）A ．21r rB ．212r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．321r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭D 21r r 【答案】B 【解析】 【分析】根据空余部分体积相等列出等式即可求解. 【详解】在图1中，液面以上空余部分的体积为211r h π；在图2中，液面以上空余部分的体积为222r h π.因为221122r h r h ππ=，所以21221h r h r ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：B 【点睛】本题考查圆柱的体积，属于基础题.5．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题；“三百七十八里关，初行健步不为难，次后脚痛递减半，六朝才得到其关，要见每朝行里数，请公仔细算相还.”其意思为：“有一个人走了378里路，第一天健步走行，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地，求该人每天走的路程.”由这个描述请算出这人第四天走的路程为（ ） A ．6里 B ．12里C ．24里D ．48里【答案】C【解析】 【分析】设第一天走1a 里，则{}n a 是以1a 为首项，以12为公比的等比数列，由题意得1661(1)2378112a S -==-，求出1192a =（里)，由此能求出该人第四天走的路程． 【详解】设第一天走1a 里，则{}n a 是以1a 为首项，以12为公比的等比数列， 由题意得：1661(1)2378112a S -==-， 解得1192a =（里)，∴34111()1922428a a =⨯=⨯=（里)．故选：C ． 【点睛】本题考查等比数列的某一项的求法，考查等比数列等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题． 6．函数ln ||()xx x f x e=的大致图象为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】利用特殊点的坐标代入，排除掉C，D；再由1()12f-<判断A选项正确.【详解】1.11.1ln|1.1|( 1.1)0fe--=<，排除掉C，D；1211ln122()ln22f ee---==，1ln2ln2e<=Q，2e<，1()ln212f e∴-=<.故选：A．【点睛】本题考查了由函数解析式判断函数的大致图象问题，代入特殊点，采用排除法求解是解决这类问题的一种常用方法，属于中档题.7．《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如：2n=及3n=时，如图：记n S为每个序列中最后一列数之和，则6S为（）A．147 B．294 C．882 D．1764【答案】A【解析】【分析】根据题目所给的步骤进行计算，由此求得6S的值.【详解】依题意列表如下：所以6603020151210147S =+++++=.故选：A 【点睛】本小题主要考查合情推理，考查中国古代数学文化，属于基础题. 8．已知R 为实数集，{}2|10A x x =-≤，1|1B x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，则()A B =R I ð（ ） A ．{|10}x x -<≤ B ．{|01}x x <≤ C ．{|10}x x -≤≤ D ．{|101}x x x -≤≤=或【答案】C 【解析】 【分析】求出集合A ，B ，B R ð，由此能求出()R A B I ð． 【详解】R Q 为实数集，2{|10}{|11}A x x x x =-=-剟?，1{|1}{|01}B x x x x==<厔， {|0R B x x ∴=„ð或1}x >， (){|10}R A B x x ∴=-I 剟ð．故选：C ． 【点睛】本题考查交集、补集的求法，考查交集、补集的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．在ABC ∆中，,2,BD DC AP PD BP AB AC λμ===+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，则λμ+= （ ）A ．13- B ．13C ．12-D ．12【答案】A 【解析】 【分析】先根据,2BD DC AP PD ==u u u r u u u r u u u r u u u r得到P 为ABC ∆的重心，从而1133AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，故可得1133AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，利用BP AP AB =-uu r uu u r uu u r 可得23BP AB AC =-+u u u r u u ur u u u r ，故可计算λμ+的值．【详解】因为,2,BD DC AP PD ==u u u r u u u r u u u r u u u r所以P 为ABC ∆的重心，所以11311,22222AD AB AC AP AB AC =+∴=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,所以1133AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ,所以2133BP AP AB AB AC =-=-+u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，因为BP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，所以211=,,333λμλμ-=∴+=-，故选A ．【点睛】对于ABC ∆，一般地，如果G 为ABC ∆的重心，那么()13AG AB AC =+u u u r u u u r u u u r，反之，如果G 为平面上一点，且满足()13AG AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，那么G 为ABC ∆的重心．10．若函数2sin(2)y x ϕ=+的图象过点(,1)6π，则它的一条对称轴方程可能是（ ）A ．6x π=B ．3x π=C ．12x π=D ．512x π=【答案】B 【解析】 【分析】把已知点坐标代入求出ϕ，然后验证各选项． 【详解】由题意2sin()13πϕ+=，1sin()32πϕ+=，26k πϕπ=-或22k πϕπ=+，k Z ∈，不妨取6πϕ=-或2ϕπ=，若2ϕπ=，则函数为sin(2)cos 22y x x π=+=，四个选项都不合题意，若6πϕ=-，则函数为2sin(2)6y x π=-，只有3x π=时，sin(2)136ππ⨯-=，即3x π=是对称轴．故选：B ． 【点睛】本题考查正弦型复合函数的对称轴，掌握正弦函数的性质是解题关键．11．如下的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为176，320，则输出的a 为（ ）A ．16B ．18C ．20D ．15【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知最后计算的结果为a b ，的最大公约数. 【详解】输入的a ，b 分别为176,320,根据流程图可知最后计算的结果为a b ，的最大公约数，按流程图计算320-176=144,176-144=32,144-32=112,112-32=80,80-32=48,48-32=16,32-16=16,易得176和320的最大公约数为16， 故选:A. 【点睛】本题考查的是利用更相减损术求两个数的最大公约数,难度较易.12．已知点2F 为双曲线222:1(0)4x y C a a -=>的右焦点，直线y kx =与双曲线交于A ，B 两点，若223AF B π∠=，则2AF B V 的面积为（ ） A ．2B ．3C ．42D ．43【答案】D 【解析】 【分析】设双曲线C 的左焦点为1F ，连接11,AF BF ，由对称性可知四边形12AF BF 是平行四边形，设1122,AF r AF r ==，得222121242cos3c r r r r π=+-，求出12r r 的值，即得解.【详解】设双曲线C 的左焦点为1F ，连接11,AF BF ， 由对称性可知四边形12AF BF 是平行四边形， 所以122AF F AF B S S =V V ，123F AF π∠=.设1122,AF r AF r ==，则222221212121242cos 3c r r r r r r r r π=+-=+-，又122r r a -=.故212416rr b ==，所以12121sin 23AF F S r r π==V 故选：D 【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查余弦定理解三角形和三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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广东省韶关市2021届新高考三诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数21,0()ln ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩,则方程[]()3f f x =的实数根的个数是（ ） A ．6B ．3C ．4D ．5 【答案】D【解析】【分析】画出函数21,0()ln ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩,将方程[]()3f f x =看作()(),3t f x f t ==交点个数，运用图象判断根的个数．【详解】 画出函数21,0()ln ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩令()(),3t f x f t =∴=有两解()()120,1,1,+t t ∈∈∞ ，则()()12,t f x f x t ==分别有3个，2个解，故方程[]()3f f x =的实数根的个数是3+2=5个故选：D【点睛】本题综合考查了函数的图象的运用，分类思想的运用，数学结合的思想判断方程的根，难度较大，属于中档题．2．设i 是虚数单位，a R ∈，532ai i a i +=-+，则a =（ ） A ．2- B ．1-C ．1D ．2【答案】C【解析】【分析】 由532ai i a i+=-+，可得()()()5323232ai a i i a a i +=+-=++-，通过等号左右实部和虚部分别相等即可求出a 的值.【详解】 解：532ai i a i+=-+Q ，()()()5323232ai a i i a a i ∴+=+-=++- 53232a a a=+⎧∴⎨-=⎩ ，解得：1a =. 故选:C.【点睛】本题考查了复数的运算，考查了复数相等的涵义.对于复数的运算类问题，易错点是把2i 当成1进行运算. 3．高三珠海一模中，经抽样分析，全市理科数学成绩X 近似服从正态分布()285,N σ，且(6085)0.3P X <≤=．从中随机抽取参加此次考试的学生500名，估计理科数学成绩不低于110分的学生人数约为（ ）A ．40B ．60C ．80D ．100 【答案】D【解析】【分析】由正态分布的性质，根据题意，得到(110)(60)P X P X ≥=≤，求出概率，再由题中数据，即可求出结果.【详解】由题意，成绩X 近似服从正态分布()285,N σ，则正态分布曲线的对称轴为85x =，根据正态分布曲线的对称性，求得(110)(60)0.50.30.2P X P X ≥=≤=-=，所以该市某校有500人中，估计该校数学成绩不低于110分的人数为5000.2100⨯=人，故选:D .【点睛】本题考查正态分布的图象和性质,考查学生分析问题的能力,难度容易.4．抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点()06,A y 是C 上一点，||2AF p =，则p =（ ）A ．8B ．4C ．2D ．1【答案】B【解析】【分析】 根据抛物线定义得62p AF =+，即可解得结果. 【详解】 因为262p AF p ==+，所以4p =. 故选B【点睛】 本题考查抛物线定义，考查基本分析求解能力，属基础题.5．在ABC V 中，D 为BC 边上的中点，且||1,|2,120AB AC BAC ==∠=︒u u u r u u u r ，则||=uuu r AD （ ）AB ．12C ．34 D【答案】A【解析】【分析】由D 为BC 边上的中点，表示出()12AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，然后用向量模的计算公式求模. 【详解】解：D 为BC 边上的中点，()12AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ， ()12=2AD AB AC =+===u u u r u u u r u u u r故选：A【点睛】在三角形中，考查中点向量公式和向量模的求法，是基础题.6．国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如下图所示.则下列结论中错误的是（ ）A．12个月的PMI值不低于50%的频率为1 3B．12个月的PMI值的平均值低于50%C．12个月的PMI值的众数为49.4%D．12个月的PMI值的中位数为50.3%【答案】D【解析】【分析】根据图形中的信息，可得频率、平均值的估计、众数、中位数，从而得到答案.【详解】对A，从图中数据变化看，PMI值不低于50%的月份有4个，所以12个月的PMI值不低于50%的频率为41123=，故A正确；对B，由图可以看出，PMI值的平均值低于50%，故B正确；对C，12个月的PMI值的众数为49.4%，故C正确，；对D，12个月的PMI值的中位数为49.6%，故D错误故选：D.【点睛】本题考查频率、平均值的估计、众数、中位数计算，考查数据处理能力，属于基础题.7．已知复数21aibii-=-，其中a，b R∈，i是虚数单位，则a bi+=（）A．12i-+B．1C．5D5【答案】D【解析】试题分析：由21aibii-=-,得()21,1,2ai i bi b i a b-=-=+∴=-=,则()2212,12125a bi i a bi i+=-+∴+=-+=-+= D. 考点：1、复数的运算；2、复数的模.8．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()330f x f x --+-=，若()11f =，()22f =-，则()()()()1232020f f f f ++++=L （ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2 【答案】C【解析】【分析】首先判断出()f x 是周期为6的周期函数，由此求得所求表达式的值.【详解】由已知()f x 为奇函数，得()()f x f x -=-，而()()330f x f x --+-=，所以()()33f x f x -=+，所以()()6f x f x =+，即()f x 的周期为6.由于()11f =，()22f =-，()00f =，所以()()()()33330f f f f =-=-⇒=，()()()4222f f f =-=-=，()()()5111f f f =-=-=-，()()600f f ==.所以()()()()()()1234560f f f f f f +++++=，又202063364=⨯+，所以()()()()1232020f f f f ++++=L ()()()()12341f f f f +++=.故选：C【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和周期性，属于基础题.9．过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点F 的直线过C 的上顶点B ，且与椭圆C 相交于另一点A ，点A 在y 轴上的射影为A '，若34FO AA ='，O 是坐标原点，则椭圆C 的离心率为（ ）A B ．C ．12 D【答案】D【解析】【分析】求得点B 的坐标，由34FO AA ='，得出3BF FA =u u u r u u u r ，利用向量的坐标运算得出点A 的坐标，代入椭圆C 的方程，可得出关于a 、b 、c 的齐次等式，进而可求得椭圆C 的离心率.【详解】由题意可得()0,B b 、(),0F c -. 由34FO AA ='，得34BF BA =，则31BF FA =，即3BF FA =u u u r u u u r . 而(),BF c b =--u u u r ，所以,33c b FA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ，所以点4,33b A c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 因为点4,33b A c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在椭圆2222:1x y C a b +=上，则22224331b c a b ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=， 整理可得2216899c a ⋅=，所以22212c e a ==，所以e =. 即椭圆C的离心率为2 故选：D.【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，解答的关键就是要得出a 、b 、c 的齐次等式，充分利用点A 在椭圆上这一条件，围绕求点A 的坐标来求解，考查计算能力，属于中等题.10．阿波罗尼斯（约公元前262~190年）证明过这样的命题：平面内到两定点距离之比为常数()0,1k k k >≠的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 与A ，B 的距离之比为2，当P ，A ，B 不共线时，PAB ∆的面积的最大值是（ ） A．B． C．3 D【答案】A【解析】【分析】根据平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 与A ，B的距离之比为22，利用直接法求得轨迹，然后利用数形结合求解.【详解】如图所示：设()1,0A -，()10B ,，(),P x y ()()22221221x y x y ++=-+， 化简得()2238x y ++=， 当点P 到AB （x 轴）距离最大时，PAB ∆的面积最大，∴PAB ∆面积的最大值是1222222⨯⨯=故选：A.【点睛】本题主要考查轨迹的求法和圆的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 11．已知不重合的平面,,αβγ 和直线l ，则“//αβ ”的充分不必要条件是（ ）A ．α内有无数条直线与β平行B ．l α⊥ 且l β⊥C ．αγ⊥ 且γβ⊥D ．α内的任何直线都与β平行 【答案】B【解析】【分析】根据充分不必要条件和直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断每个选项得到答案.【详解】A. α内有无数条直线与β平行，则,αβ相交或//αβ，排除；B. l α⊥ 且l β⊥，故//αβ，当//αβ，不能得到l α⊥ 且l β⊥，满足；C. αγ⊥ 且γβ⊥，//αβ，则,αβ相交或//αβ，排除；D. α内的任何直线都与β平行，故//αβ，若//αβ，则α内的任何直线都与β平行，充要条件，排除.故选：B .【点睛】本题考查了充分不必要条件和直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的综合应用能力. 12．已知斜率为2的直线l 过抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F ，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的中点M 的纵坐标为1，则p ＝（ ）A ．1B ．C ．2D ．4 【答案】C【解析】【分析】设直线l 的方程为x ＝12y 2p +，与抛物线联立利用韦达定理可得p ． 【详解】由已知得F （2p ，0），设直线l 的方程为x ＝12y 2p +，并与y 2＝2px 联立得y 2﹣py ﹣p 2＝0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），AB 的中点C （x 0，y 0），∴y 1+y 2＝p ，又线段AB 的中点M 的纵坐标为1，则y 012=（y 1+y 2）＝12p =，所以p=2, 故选C ．【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的相交弦问题，利用韦达定理是解题的关键，属中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。