极限存在准则、两个重要极限和连续复利公式
极限存在准则两个重要极限公式
极限存在准则两个重要极限公式首先，我们来介绍极限保号公式。
设函数f(x)在点a的一些邻域内有定义，如果存在常数M>0，使得对于任意的x∈(a-h,a+h)（h>0），都有，f(x)，≤M，则称M为f(x)在点a处的一个保号常数。
现在我们来证明极限保号公式：假设f(x)在其中一点a的一些邻域内有定义，并且存在常数M>0，使得对于任意的x∈(a-h,a+h)（h>0），都有，f(x)，≤M。
如果limx→af(x)=L存在，那么L也满足，L，≤M。
证明：由于limx→a f(x)=L存在，那么对于任意的ε>0，存在δ>0，使得对于任意的x∈(a-h,a+h)（h>0），如果0<，x-a，<δ，那么有，f(x)-L，<ε。
现在我们取ε=M，那么存在δ>0，使得对于任意的x∈(a-h,a+h)，如果0<，x-a，<δ，那么有，f(x)-L，<M。
这说明，对于任意的x∈(a-h,a+h)，如果0<，x-a，<δ，那么有，f(x)，=，f(x)-L+L，≤，f(x)-L，+，L，<M+，L。
我们再取任意的x∈(a-h,a+h)，如果0<，x-a，<δ，那么有，f(x)，≤M+，L，但是我们已经知道，在点a的一些邻域内存在保号常数M>0，使得对于任意的x∈(a-h,a+h)，都有，f(x)，≤M。
所以有，L，≤M。
这就是极限保号公式的证明。
接下来我们来介绍夹逼准则。
设函数f(x)、g(x)、h(x)在点a的一些邻域内有定义，并且对于任意的x∈(a-h,a+h)（h>0），都有g(x)≤f(x)≤h(x)。
如果limx→a g(x)=limx→a h(x)=L存在，那么limx→a f(x)=L也存在。
证明：对于任意的ε>0，由于limx→a g(x)=L存在，那么存在δ1>0，使得对于任意的x∈(a-h,a+h)，如果0<，x-a，<δ1，那么有，g(x)-L，<ε。
第五节 极限存在准则 两个重要极限、连续复利(简案)2012-9-23
§2.5 极限存在准则两个重要极限 连续复利教学目的：了解夹逼准则的推导过程；能熟练应用夹逼准则、两个重要极限解决相关问题；会正确求解连续复利问题．重点:熟练运用两个重要极限解决相关问题; 会求解连续复利问题．难点: 夹逼准则及两个重要极限的灵活与正确运用. 教学方法：启发式讲授与指导练习相结合 教学过程： 一、夹逼准则【定理2.11】准则Ⅰ若数列{}n x {}n y {}n z (1,2,)n = 满足条件:(1) n n n y x z ≤≤(1,2,)n = ; (2) lim lim n n n n z y a →∞→∞==;则lim n n x →∞存在,且lim n n x a →∞=.证明 由lim lim n n n n z y a →∞→∞==知 对于120,0,0N N ε∀>∃>>,1n N >当时,有n y a ε-<；当2n N >时,有n z a ε-<;取{}12max ,N N N =,当n N >时, 有,n n y a z a εε-<-< 同时成立, 从而n n n a y x z a εε-<<<<+成立, 即n x a ε-<, 故 lim n n x a →∞=.准则Ⅰ1(夹逼准则):lim lim x x u v A λλ→→==,且,()u w v x U λ≤≤∈,则 lim x w A λ→=.证明：因A v u x x ==→→λλl i m l i m⇒)1(o A u +=,)1(o A v +=, )(λ→x .又因v w u ≤≤,于是, ]1,0[∈∃θ ..t s()w u v u θ=+-[(1)](1){[(1)][(1)]}A o O A o A o =+++-+ )1()1()1(o A o o A +=++=, )(λ→x . 所以 A w x =→λlim .( 其实uv uw --=θ, v u ≠； 0=θ, v u =. ) 例1 证明（1）0limsin 0x x →=；（2）0limcos 1x x →=.证：(1)当02x π<<时，0sin x x <<；由 0lim 0x x →=， 故 0lim sin 0x x →=.（0lim sin 0limsin 0x x x x →→=⇔=）(2)22201cos 2sin 2222x x x x ⎛⎫≤-=≤= ⎪⎝⎭，因为 20lim02x x →=，所以 0lim(1cos )0x x →-=； 故 0lim cos 1x x →=.例2 利用夹逼准则计算下列极限(1)22212lim()12n nn n n n n n n→∞+++++++++解：设2221212n nx n n n n n n n =+++++++++ ，则 2212121n n nn ny x z n n n n n ++++++=≤≤=++++因为21211lim limlim 2(2)2n n n n n n y n n n n →∞→∞→∞++++===+++ 且2212(1)1lim limlim 12(1)2n n n n n n n z n n n n →∞→∞→∞++++===++++ 所以由夹逼准则知：1lim 2n n x →∞=，故222121lim()122n n n n n n n n n →∞+++=++++++ (2)222111lim()12n n n n n→∞++++++解：设22211112n x n n n n =++++++ ，则221n n n n ny x z n n n =≤≤=++因为222lim lim lim 1n n n n nn y n n n n→∞→∞→∞===++且222lim lim lim 111n n n n nn z n n →∞→∞→∞===++ 所以由夹逼准则知：lim 1n n x →∞=，故222111lim()112n n n n n→∞+++=+++(3) 222111lim ()12n n n n n n πππ→∞⋅+++=+++ . 证明：由于2222222111()2n n n n n n n n n n πππππ≤+++≤+++++ ，而221lim lim 11n n n n n nππ→∞→∞==++,2221lim lim 11n n n n n ππ→∞→∞==++,所以 222111lim()12n n n n n πππ→∞+++=+++ . (4)设12max{,,,}m A a a a = ,(0,1,2,,)i a i m >= ,则有12lim nnnn m n a a a A →∞+++= .证明：由于12nn n n n nn n n m A A a a a mA A m =≤+++≤= ，而 lim lim 1n n n n A m A m A A →∞→∞==⋅=,所以 12lim n n nn m n a a a A →∞+++= .(5)1lim(1234)nn nn nn →∞+++解：设1(1234)n n nn nn x =+++，则111(4)4(44)4n n n n n nn n n y x z +==≤≤⨯==因为lim 4n n y →∞=且1limlim 44n n nn n z →∞+→∞==所以由夹逼准则知：lim 4n n x →∞=，故 1lim(1234)4n n nn nn →∞+++=.例3 证明:lim 1n n a →∞=, (0)a >.证明：(1)当1=a 时,结论显然成立；(2)当1>a 时, 令01>-=n n a t ,有n nn n nk k n k n nn nt t nt t C t a +≤+++==+=∑=11)1(0 ,这样 010→-≤<na t n ,(∞→n ), 于是0lim =∞→n n t ,所以1101lim ]1)1[(lim lim =+=+=+-=∞→∞→∞→n n n n n n t a a ；(3)当10<<a 时,令11>=ab , 1lim 11lim lim ===∞→∞→∞→n n n n n n bb a . 综上所述 1lim =∞→n n a , )0(>a .提问:(00.3) 设对任意的x ,总有()()()x f x g x ϕ≤≤,且lim[()()]0x g x x ϕ→∞-=,则lim ()x f x →∞=( ).(A )存在且等于零 (B )存在但不一定为零 (C )一定不存在 (D )不一定存在答 因)()()(x g x f x ≤≤ϕ很容易想到夹逼定理,但注意适用条件是)(),(x x g ϕ极限均存在且相等.此题选(D ).例4*(06.4) (1)1lim()nn n n-→∞+= .解法1 由于1(1)1n-≤-≤,有1(1)111111()()11n n n n n n n n n--+++-=≤≤=++因11lim(1)lim(1)11n n n n→∞→∞-=+=+,所以(1)1lim()1nn n n-→∞+=.设有数列()n y f n =，（1）若对于任何正整数n ，恒有()(1)f n f n <+，则称()f n 为单调递增数列.（2）如果对于任何正整数n ，恒有()(1)f n f n >+，则称()f n 为单调递减数列.（3）如果存在两个数,()m M M m >，使得对于任何正整数n ，恒有()m f n M <<，则称()f n 为有界数列.【定理2.12】准则Ⅱ：单调有界数列必有极限.（单调上升且有上界或单调下降且有下界时极限存在），即数列()n y f n =单调有界，则lim ()n f n →∞存在.例如 数列 11231:0,,,,234n ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭……， 因为11n y n =-单调增加且有上界 1n y <， 所以 1lim(1)n n →∞-存在.且 1lim(1)1n n→∞-=.例5 （1）设12x =,12n n x x -=+,2,3,n = ,证明数列{}n x 存在极限并求之. 证明:1)先证明数列}{n x 存在极限 显然 122x =<,假设12n x -<, 有 12222n n x x -=+<+=,因此,02n x <<,（ ,3,2,1=n ），{}n x 有界. 由于11222x x x =>+=,假设1->n n x x ,有1122n n n n x x x x +-=+>+=,因此, {}n x 为单调递增数列； 综上所述: 数列}{n x 必存在极限.2)求极限: 设lim n n x a →∞=，显然有02a ≤≤.由2a a =+， 即022=--a a ，得2=a(1-=a 舍去).故 数列}{n x 极限存在且 lim 2n n x →∞=.（2）证明数列21=x ,)1(211nn n x x x +=+的极限存在.并求此极限.证明：①显然121≥=x ,而11221)1(211=⋅⋅⋅≥+=+nn n n n x x x x x ,②由于111()2n n n n nx x x x x +-=+- 221111022221n n n n x x x x --=-=≤=⋅, 即 n n x x ≤+1,因此,}{n x 为单调递减数列；③由①②知,21≤≤n x , ,3,2,1=n ,因此数列}{n x 的极限必存在. 设a x n n =∞→lim ,则2211()211(0)2a a a a a a a =+⇒=+⇒=±> 1a ⇒=. 准则Ⅲ：有界数列必有收敛的子数列.二、两个重要极限1.0sin lim 1x xx→=. 证明：如图,AO D AO B AO B S S S ∆∆<<扇,从而,BADxCO1当20π<<x 时,x x x tan 2121sin 21<<时, 由于sin 0x >所以 1sin cos <<xxx , 显然02<<-x π时此式也成立.（注意：sin xx是偶函数）下证 1cos lim 0=→x x .因 2||0π<<x 时)0( 02)2(22sin 2cos 10222→→=⋅<=-<x x x x x ,所以 1cos lim 0=→x x .由准则Ⅰ, 知 1sin lim0=→x xx .提问：21sin(1)lim 1x x x →-=-【 】.(A )1 (B )0 (C )2 (D )21答221)]1(1)1sin([lim 1)1sin(lim 22121=⋅=+⋅--=--→→x x x x x x x . 例6计算下列极限 (1)0tan limx xx→000sin 1sin 1lim lim lim 111cos cos x x x x x x x x x →→→⎛⎫=⋅=⋅=⋅= ⎪⎝⎭. (2)201cos limx xx →-222002sin sin222lim lim 42x x x x xx →→⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭22201sin 11lim 1222x t t t t =→⎛⎫===⋅= ⎪⎝⎭. (3)arcsin 00arcsin limlim 1sin t x x t x txt =→→== (4)00sin sin()sin lim lim lim 1t x x t t x t tx t tππππ=-→→→+==-=--．(5)00sin 1sin 11lim lim 0sin sin 111x x x x x x x x x x→→---===+++; (7)30tan sin lim sin x x xx→- 2211cos ~2220sin ~011cos 2lim lim sin cos cos x x x x x x x x x x x x-→→-= 0111lim 2cos 212x x →===⋅. (8)00sin 22sin 22122lim lim sin 5sin 551555x x x x x x x x→→⋅⋅===⋅⋅. 00sin sin limlim x x kx kxk k x kx→→=⋅= （k 为非零常数）. (9)2112122sin 22cos lim 2cot lim 00=⨯=⋅=→→xx x x x x x .(10)2001cos 22sin lim lim sin sin x x x xx x x x→→-⋅=0sin lim(2)212x xx→=⋅=⨯=.(11)lim 2sin 2nn n x →∞12sin lim()1nt n txxx x tx=→∞===⋅=,(x 为不等于零的常数).(12)0sin sin sin()sin lim lim t x a x a t x a a t ax a t=-→→-+-====-022sin cos22limt t a t t→+= 00sin2lim limcos()cos 22t t t t a a t →→=+=. (14)303sin()sin 3lim lim12cos 12cos()3t x t x x t x t ππππ=-→→-====--+sin lim12(cos cossin sin )33t tt t ππ→=--0sin lim1cos 3sin t tt t→=-+0022sin sin lim lim1cos 3sin sin sin 232()2t t tt t tt t t t t t→→==-+⋅+1330131==⨯+⨯. 另解33sin()sin()133limlim 112cos 2cos 2x x x x x x ππππ→→--=-- 3sin()13lim2cos cos 3x x x πππ→-=-33cos112lim 233sin 2x x x πππ→-=-=+. (15)1102lim(1)tan lim 2cot2t x x t x t x t πππ=-→→-==.(16)(07-08期末考试)11lim(sinsin )n n n n n→∞+= 1 .若 lim(1)5xx a x→∞+=,则 ln5a = .例7 (1)(05.4) 极限22lim sin 1x xx x →∞=+ . 答案：2.(2)(93.3) =++∞→xx x x 2sin 3553lim2 . 解 2222sin3526106lim sin lim()253535x x x x x x x x x x→∞→∞++=⋅=++. 2. 1lim 1nn e n →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭.将数列1(1)nn+的值列成表格：n1 2 3 4 5 10 100 1000 100001(1)n n +2 2.250 2.370 2.441 2.488 2.594 2.705 2.717 2.718 有表格看出随着n →∞，1(1)nn+的变化趋势是稳定的.下证1lim 1nn e n →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭证明：令0111n n k n n k k x C n n =⎛⎫=+= ⎪⎝⎭∑, 1,2,3,n = (1) 先证{}n x ↑. 由于23(1)1(1)(2)1112!3!n n n n n n x n n ---=++⋅+⋅+ (1)(1)1!n n n n n n n--++⋅ )11()21)(11(!1)11(!2111nn n n n n ----++-++=11111(1)2!1n x n +=++-++1121(1)(1)(1)!111n n n n n -+---+++ 112(1)(1)(1)(1)!111nn n n n +---++++ 显然 1+≤n n x x , ,3,2,1=n ， 所以↑}{n x . (2) 再证3<n x , 即 3||<n x , ,3,2,1=n . 由于1111(1)2!n x n =++-+1121(1)(1)(1)!n n n n n -+--- 111112!3!!n ≤+++++2111111222n -≤+++++111121331212nn --=+=-<-.{}n x 有界 (3) 由(1)(2)及准则Ⅱ知, n n x ∞→lim 存在,记作e ,即e n nn =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim . 其中：e 是无理数, 它的值是 718281828.2=e .下证: 1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭.证明:(1)0x ∀>,n N +∃∈ ..t s 1n x n ≤<+⇒1111111n x n+<+≤++, 从而 11111111n x n n x n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+<+≤+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 又因为 111lim 1,lim 11nn n n e e n n +→∞→∞⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭所以 1l i m 1xx e x →+∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭.(2) 111lim 1lim 1lim 1x t t x t x t t x t t t -=-→-∞→+∞→+∞⎛⎫⎛⎫+===-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎪⎝⎭111lim 1111t t t t -→+∞⎛⎫⎛⎫=+⋅+⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭11lim 11t t e t -→+∞⎛⎫=+= ⎪-⎝⎭.综上所述 1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭.公式: 1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭,1101lim(1)lim 1t txx x t x e t =→→∞⎛⎫+===+= ⎪⎝⎭. 例8 计算下列极限(1)1lim 11nn n →∞⎛⎫+ ⎪+⎝⎭11111lim 111lim 1111lim 111n n n n n e n n e n n ++→∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭====⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭.(2)1111lim 1lim 11n nn n n n n +→∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11lim 1lim 1n n n e n n →∞→∞⎛⎫⎛⎫=+⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (3)lim [ln(2)ln ]n n n n →∞+-22lim 2ln(1)nn n→∞=+2e ln 2==.(4)22lim(1)x x x →∞+e 4422lim[(1)]x x x→∞=+=;（5）100ln(1)lim lim ln(1)x x x x x x→→+=+10ln[lim(1)]1xx x →=+=所以 ln(1)(0x x x +→ 时）(6) 2111202lim(1) lim(1)xu x u x u u x=----→∞→-+11lim[(1)(1)]u u u u →=++1e=; (7)e1)1(lim 1)1(lim )22(lim 101220=+=+-→-→-=→uu uu xu xx u u x; (8)1lim()1xx x x →∞-+e21(1)11lim lim 111(1)(1)(1)xx x x x x x x x x →∞→∞--===+++-;(9)211lim (1)lim (1)u x x u x u x u=→+∞→+∞-- 1ee )11()11(lim ==-++=-+∞→u uu u u ;(10)22lim()1xx x x →∞- 211lim 111(1)lim[(1)(1)]x x x xx x x x→∞→∞==--+ 1lim(1)11lim(1)xx x x e x e x-→∞→∞-===+.(11)22cot 0lim(13tan )xx x →+2313tan 330lim(1)[lim(1)]t xtt t t t t e =→→===+=+=.(12)0ln(12)lim sin 3x x x→+11220002l i m l n (12)2l n (12)lim sin 3sin 333lim33xxx x x x x x x xx x x→→→++==⋅2l n 2313e ==⨯. (13)3tan 0lim(1)xx x →+01313lim3tan tan 0lim(1)[lim(1)]x x x x xx xx x x x e →⋅→→=+=+=.例9 确定ｃ，使lim()4xx x c x c→∞+=- 解：由于1lim()lim 1xx x x c x c x c x c x →∞→∞⎡⎤+⎢⎥+=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦ 2[(1)]lim [(1)]x ccc x x cc c x e c x→∞--+==-. 由24ce =解得：ln 2c = 三、连续复利1.一年一个计息期的复利：设年利率为r ,贷款本金为0A ,那么一年后本利和为：10(1)A A r =+； 两年后本利和为：220(1)A A r =+；……………………k 年后本利和为：0(1)k k A A r =+.2.一年n 个计息期的复利：设年利率为r ,一年n 个计息期,则每期利率为nr , 若贷款本金为0A ,那么, k 年后本利和为：0(1)kn k rA A n=+.3.连续复利：即每时每刻计算复利.设年利率为r ,贷款本金为0A ,让一年计息期的个数n →∞,则k 年后本利和为：000lim (1)lim (1)krnkn kr r k n n r r A A A A e n n →∞→∞⎡⎤=+=+=⎢⎥⎣⎦.这个数学模型在现实世界中应用很多，例如物体的冷却、细胞的繁殖、树木的生长、镭的衰变等.例10某企业计划发行公司债券,规定以年利率6.5%的连续复利计算利息,10年后每份债券一次偿还本息1000元,问发行时每份债券的价格应定为多少元？ 解：设0A 为发行时每份债券的价格,年利率为6.5%r =,10k =年后每份债券一次偿还本息1000k A =元,若以连续复利计算利息,则0krk A A e =, 即100.06501000A e⨯=,得 100.06501000552.05A e-⨯==(元).小结：1.利用两个重要极限时，计算式必须符合重要极限的形式才能套用公式.但需注意巧算.2．运用夹逼准则解题时放缩尺度要把握好，两边极限要相等.3．解决经济问题时注意：以年计息时，月利息=年利息的12分之一；每期到时结一次息，按年数乘以年息.课后记：1.计算技巧运用不到位，不能灵活变形，蛮算.使用公式时，不注意公式的条件限制.2.用夹逼准则解题时放缩的尺度把握不好；用重要极限时不能灵活运用变量替换进行适当变形．。
2.5 极限存在准则
§2.5 极限存在准则 两个重要极限连续复利·夹逼准则·单调有界收敛准则 ·连续复利 一、夹逼准则准则Ⅰ 如果数列n n y x ,及n z 满足下列条件:,lim ,lim )2()3,2,1()1(a z a y n z x y n n n n nn n ===≤≤∞→∞→那末数列n x 的极限存在, 且a x n n =∞→lim .证明:因 a z a y n n →→,，据数列极限定义，有 εε<->>∃>∀ay N n N n 有时当,,0,011；对于上述ε， 02>∃N ，,,2ε<->a z N n n 有时当故可取},max{21N N N =则当 N n > 时，有 ε<-a y n ，ε<-a z n 同时成立，亦即：εεεε+<<-+<<-a z a a y a n n ,从而有 εε+<≤≤<-a z x y a n n n 亦即ε<-a x n 成立这就是说， a x n n =∞→lim . 准则I '如果函数f (x )、g (x )及h (x )满足下列条件: (1) )()()(x h x f x g ≤≤ ;(2) A x h A x g ==)(lim ,)(lim (;那么)(lim x f 存在, 且A x f =)(lim .注 如果上述极限过程是x →x 0, 要求函数在x 0的某一去心邻域内有定义, 上述极限过程是x →∞, 要求函数当|x |>M 时有定义,准则I 及准则I ' 称为夹逼准则. 例1：求 )12111(lim 222n n n n n ++++++∞→解：,11112222+<++++<+n nn n n n n n n n n n n n 111limlim2+=+∞→∞→又 ,1=22111lim1limn n n n n +=+∞→∞→由夹逼定理得.1)12111(lim 222=++++++∞→nn n n n下面根据准则I '证明第一个重要极限:1sin lim 0=→xx x .证明 首先注意到, 函数xxsin 对于一切x ≠0都有定义. 参看附图: 图中的圆为单位圆, CD ⊥OB , AB ⊥OB . 圆心角∠AOB =x (0<x <2π). 显然 x CD sin =弦,x BC =弧x AB tan =弦.因为 S ∆AOB <S 扇形AOB <S ∆AOD , 所以 x x x tan 2121sin 21<< ,即 x x x tan sin <<. 不等号各边都除以sin x , 就有xx x cos 1sin 1<<,或 1sin cos <<xxx . 注意此不等式当2π<x <0时也成立. 而1cos lim 0=→x x ,根据准则I ',1sin lim 0=→xxx . 应注意的问题:在极限)()(sin lim x x αα中, 只要)(x α是无穷小, 就有1)()(s i n l i m =x x αα.这是因为, 令)(x u α= , 则0→u , 于是 )()(sin limx x αα1sin lim 0==→u u u . 1sin lim 0=→x x x ， 1)()(sin lim =x x αα (0)(→x α) 例2. 求 xx x tan lim 0→.解: x xx tan lim0→x x x x cos 1sin lim 0⋅=→1cos 1lim sin lim 00=⋅=→→x x x x x . 例3. 求 20cos 1lim xxx -→. 解: 20cos 1limx x x -→220220)2(2sin lim 212sin 2lim x x x x x x →→== 2112122sin lim 21220=⋅=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=→x x x . 二、单调有界准则满足条件如果数列n x,121 ≤≤≤≤+n n x x x x 单调增加 ,121 ≥≥≥≥+n n x x x x 单调减少准则Ⅱ 单调有界数列必有极限.单调数列准则Ⅱ的几何解释:单调增加数列的点只可能向右一个方向移动, 或者无限向右移动, 或者无限趋近于某一定点A , 而对有界数列只可能后者情况发生.例4：.)(333的极限存在重根式证明数列n x n +++= 证：,1n n x x >+显然 {};是单调递增的n x ∴331<=x 又， ,3<k x 假定331<+=+k k x x ，{};是有界的n x ∴ .lim 存在n n x ∞→∴ ,31n n x x +=+ ,321n n x x +=+ ),3(lim lim 21nn n n x x +=∞→+∞→ ,32A A += 2131,2131-=+=A A 解得 (舍去) .2131lim +=∴∞→n n x 根据准则Ⅱ, 可以证明极限 nn n)11(lim +∞→ 存在. 设n n nx )11(+= 现证明数列{n x }是单调有界的.按牛顿二项公式, 有123x 1+n n A Mnn n nn n n n n nn n n n n n n n n x 1!)1()1(1!3)2)(1(1!2)1(1!11)11(32⋅+-⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅+⋅--+⋅-+⋅+=+=)11()21)(11(!1)21)(11(!31)11(!2111nn n n n n n n --⋅⋅⋅--+⋅⋅⋅+--+-++= )111()121)(111(!1)121)(111(!31)111(!21111+--⋅⋅⋅+-+-+⋅⋅⋅++-+-++-++=+n n n n n n n n x n)11()121)(111()!1(1+-⋅⋅⋅+-+-++n nn n n .比较n x , 1+n x 的展开式, 可以看出除前两项外, n x 的每一项都小于1+n x 的对应项, 并且1+n x 还多了最后一项, 其值大于0, 因此 n x <1+n x ,这就是说数列{n x }是单调有界的.这个数列同时还是有界的. 因为n x 的展开式中各项括号内的数用较大的数1代替, 得3213211211121212111!1!31!2111112<-=--+=+⋅⋅⋅++++<⋅⋅⋅++++<--n nn n n x . 根据准则II , 数列{n x }必有极限. 这个极限我们用e 来表示. 即e nnn =+∞→)11(lim . 我们还可以证明e xxx =+∞→)11(lim . e 是个无理数, 它的值是e =2. 718281828459045⋅ ⋅ ⋅.指数函数x e y =以及对数函数x y ln = 中的底e 就是这个常数.因此的极限都存在且等于时，函数或取实数而趋向可以证明，当,)11(e xx x+∞-∞+.)11(lim e xxx =+∴∞→ 在极限)(1)](1lim[x x αα+中, 只要)(x α是无穷小, 就有e x x =+)(1)](1lim[αα.ez z x xz zz =+→∞→=→10)1(lim ,01于是有时，，则当利用代换例5. 求xx x)11(lim -∞→.解: 令t =-x , 则x →∞时, t →∞. 于是x x x )11(lim -∞→tt t-∞→+=)11(lim e tt t 1)11(1lim=+=∞→. 或)1()11(lim )11(lim --∞→∞→-+=-x x x x x x 11])11(lim [---∞→=-+=e x x x . 例6．.)23(lim 2xx xx ++∞→求 解：422)211(])211[(lim -+∞→++++=x x x x 原式 .2e = 例7．.)1ln(lim0xx x +→求 解：.1ln )1(lim ln )1ln(lim )1ln(lim 10100==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+→→→e x x x x xx x x x 例8．.1lim0xe x x -→求 解：,1u e x =-令 ),1ln(u x +=即 ,0,0→→u x 有时则当)1ln(lim1lim 00u ux e u x x +=-→→ uu u )1ln(1lim 0+=→ .1= 三、连续复利则，年利率为称为本金设一笔贷款,)(0r A)1(01r A A +=一年后本利和2012)1()1(r A r A A +=+=两年后本利和k k r A A k )1(0+=年后本利和，则，年利率仍为期计息如果一年分r n，于是一年后的本利和每期利率为nrnnr A A )1(01+=nkk nr A A k )1(0+=年后本利和年后的本利和，则称为连续复利复利，即每时每刻计算如果计息期数k n )(∞→rkrkrn n nkn k e A r n A nr A A 00011lim )1(lim =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+=∞→∞→。
§1-7j极限存在准则与两个重要极限
, sin x 0 , sin x x tan x 2 sin x 1 1 cos x , x
得
1
x 1 , sin x cos x
1式 也 成 立 .
lim cos x 1
x 0
x 0
sin x 1. 由夹逼准则知 lim x
推广:
lim
sin
x 1 解 lim x x 1
x
x x x x lim ( ) ( ) 1 1 x x x 1 x 1 解 lim lim lim x 1 x e x x 1 x x x (1 ) lim x x x 1 x 1
n 2 2 2 2 2
解
存在 , 并求极限. 1 1 1 2 2 k 1,2, , n, 2 2 n k n2 12 n n 1 1 1 n 1 n 2 2 2 2 2 2 2 2 n 1 2n n n n 1 n 2 n n
12
t年末的本利和为
r mt Am (t ) A0 (1 ) m
若期数无限增大，即令 m , 则表示利息随时 计入本金，这样t年末本利和为
A(t ) lim Am (t ) lim A0 (1
m m
r mt ) m
r m rt = A0 lim (1 ) r A0 e rt m m
8
1 1 1 2. lim 1 e lim 1 e lim( 1 x ) x e n x x 0 n x
n
x
利用准则2,可以证明第二个重要极限
特点 1.幂指函数; 2.底数是1与无穷小量之和; 3.指数是无穷大量,且与底数中的无穷小量成倒数关系.
高等数学--25极限存在性定理与两个重要极限
lim
x
1
1 1 [x] 1
e
lim
x
1
1 x
x
e.
19
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令 t x,
lim
x
1
1 x
x
lim
t
1
1 t
t
lim
t
1
t
1
t
1
lim
t
1
t
1
1
t
1
1
t
1
1
e.
lim
x
1
1 x
x
e
令 t 1, x
lim(1
x0
1
x) x
lim
t
1
1 t
t
e
1
lim(1 x) x e
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第五节 极限存在性定理与两个重要极限
2.5.1 极限存在性定理
定理 : (夹逼定理) 设在x0的某空心邻域内恒有：
(1) g(x) f (x) h(x),
(2) lim g(x) A, lim h(x) A
x x0
x x0
那末极限 lim f (x) A 存在. xx0
An
A0 (1
r )n n
令n→∞，则表示利息随时计入本金，这样， 一年后 其本利和为：
lim
n
A0 (1
r )n n
lim
n
A0
(1
rn )r
n
r
A0e r
25
an 是单调递增的
an 2 2 2 2 2 2 22 2
7
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极限的两个重要极限公式
极限的两个重要极限公式极限是高等数学中的重要概念，具有广泛的应用。
在研究函数的性质、求导、积分等方面，极限都起着重要的作用。
本文将介绍两个重要的极限公式，它们分别是复合函数的极限公式和级数的比较判别法。
一、复合函数的极限公式复合函数是由两个或多个函数组合而成的函数，例如f(g(x))。
当我们需要计算复合函数的极限时，可以使用复合函数的极限公式，它的表述如下：设函数f(x)在x0处连续，g(x)在x0处极限存在且等于a，则有：lim f(g(x)) = f(a)x→x0这个公式的意义是，当自变量x趋近于x0时，函数g(x)的值趋近于a，因此f(g(x))的值也趋近于f(a)。
这个公式的证明可以使用ε-δ定义，但在这里我们不再赘述。
这个公式的应用非常广泛，特别是在微积分中，它可以用于求导和积分。
例如，当我们需要求f(g(x))的导数时，可以先求出g(x)的导数，然后将它代入f(x)中，再乘以g'(x)，即可得到f(g(x))的导数。
同样地，当我们需要对f(g(x))求积分时，可以将它转化为f(u)du的形式，其中u=g(x)，du=g'(x)dx，然后再对f(u)进行积分。
二、级数的比较判别法级数是由无穷多个数相加得到的数列，例如1+1/2+1/3+1/4+...。
在研究级数的性质时，我们经常需要判断它是否收敛。
如果一个级数收敛，那么它的和就是一个有限的数；如果一个级数发散，那么它的和就是无穷大或无穷小。
级数的比较判别法是判断级数收敛性的一种方法，它的表述如下：设有两个级数an和bn，如果存在一个正整数N，使得当n>N 时，有an≤bn，则有：若级数bn收敛，则级数an也收敛。
若级数an发散，则级数bn也发散。
这个公式的意义是，如果级数an的每一项都小于等于级数bn 的对应项，那么an的收敛性和bn的收敛性是相同的。
如果bn收敛，那么an也收敛；如果an发散，那么bn也发散。
这个公式的证明也比较简单，可以使用比较原理和收敛级数的性质进行推导。
极限存在准则与两个重要极限资料
1
(1
1 )(1
2 )(1
n1 )
2! n
n! n n
n
xn
11
1 2!
1 n!
11
1 2
1 2n1
3
1 2n1
3,
{xn}是有界的; 单调上升有上界必有极限
lim n
xn
存在.
记为 lim(1 1)n e
n
n
(e 2.718281828459045) 无理数
12 23
n1 n
2 1 2, n
{ xn}是有上界的;
因此, 利用单调有界数列必收敛准则即得结论.
15
2.5 极限存在准则 两个重要极限
例 证明数列 xn 3 3 3
(n重根式)的极限存在.
证 (1) 显然 xn1 xn ,
{xn}是单调增加的; (2) x1 3 3, 假定 xk 3,
1.
8
2.5 极限存在准则 两个重要极限
0
例 lim x 0 lim
x
lim sin x 1 lim x 1
x0 x
x0 sin x
cos x 1.
x0 tan x x0 sin x
例
sin3 3 lim x0 3x
x
0
0
1 3
lxim0
sin
3
3
x
x
3
n
an
bn
cn ,求 lim n
xn .
解 法一 由于 a xn a n 3
1
以及 lima a, lim a n 3 lim a 3n a 1
极限存在准则两个重要极限公式
夹逼准则不仅说明了极限存在，而且给出了求极限的
方法．下面利用它证明另一个重要的
极限公式： lim sin x 1 x0 x
证:
当
x
(
0
,
2
)
时，
BD
1x
oC
A
△AOB 的面积＜圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积
即
1 2
sin
x
1 2
x
1 2
tan
x
亦故即有
1sin sxinxxxctoa1snxx
1. 单调有界准则
数列 xn : 单调增加 x1 x2 xn xn1 ,
单调减少 x1 x2 xn xn1 ,
准则I 单调有界数列必有极限 单调上升有上界数列必有极限
说 明: 单调下降有下界数列必有极限 (1) 在收敛数列的性质中曾证明：收敛的数列一定 有界，但有界的数列不一定收敛．
1
1 1 n1 n 1
1 yn1
由于数列 yn 是单调增加的，所以数列 zn 是单调减少的.
又
xn
1
1
n
n
1
1
ห้องสมุดไป่ตู้n1
n
zn
z1
4
则 2 xn 4. 综上，根据极限存在准则Ⅰ可知，数列是
收敛的.
2023年12月9日星期六
4
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通常用字母 e 来表示这个极限，即
lim
n
1
1
n
)
( n 1, 2,
), 且
x1 0,
a0,
求
lim
n
xn
.
利用极限存在准则
极限存在准则与两个重要极限
c 2012
15
例20. 对第一章中的例19,若即时产生即使结算(按连 续复利计算),求银行t期末的本利和.按连续复利(将利 息记入本金,时刻结算本利和的方法)计算,实质上就是 每期的结算次数 m→∞ 时的本利和, 即
an 1 1 1 1 1 2! 3! n! 1 1 1 11 1 2 2 3 ( n 1)n 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) 2 2 3 n1 n 1 3 3. n
故{an} 有上界, 从而 lim(1 n
tan x sin x 1 lim 3 x 0 1 sin x x sin x 1 cos x 1 1 lim x 0 x x2 cos x(1 sin x ) 2
1 1 tan x lim( ) e2 x 0 1 sin x
1
1
13
1 x2 (5). lim(cos ) . x x
r mt lim A0 (1 ) A0e rt m m
16
为使计算简化, 我们给出(不证明)上面公式的一 个对“1∞” 型非常适用的结论: 若 lim ƒ(x) = 0 , lim g(x) = ∞ 且 lim ƒ(x)g(x) = m, 则
lim[1 f ( x)]g ( x ) e m
11
例18.求下列极限
1 5 x2 (1). lim(1 ) ; x x
§2.4 极限存在准则与两个重要极限
本节先介绍极限存在准则利用它们来导出两个重 要极限. 一.极限存在准则 准则І (夹逼定理) 若 x U ( x0 , ) (或 x M ) , 均有 g(x) ≤ ƒ(x) ≤ h(x) 且 lim g(x) = lim h(x) = A, 则有 lim ƒ(x) = A.
极限存在准则两个重要极限公式
令t =1x, 则:
lim(1
1
x)x
=
lim(1
1)t
=
e.
x0
t
t
此结论可推广到
1
lim1 ( x)( x) = e
xa
条件是x a时, ( x) 0，其中a可为
有限值，也可为
2020年9月1日星期二
(20ppt,scau,L.G.YUAN)
14
例5 求 lim(1 1 )x .
n2 n n2 1
又 lim n
n = lim n2 n n
1 1 1 = 1,
n
lim
n
n = lim n2 1 n
1 = 1,
1 1 n2
由夹逼定理得
lim( 1 1 L 1 ) = 1.
n n2 1 n2 2
n2 n
2020年9月1日星期二
(20ppt,scau,L.G.YUAN)
2020年9月1日星期二
(20ppt,scau,L.G.YUAN)
6
例2 证明数列 xn = 3 3 L 3 (n重根 式)的极限存在.
证: 显然 xn1 > xn , xn是单调递增的 ;
又 x1 = 3 3, 假定 xk 3, xk1 = 3 xk 3 3 3,
xn 是有界的 ;
原式
=
lim x (1
x 1 )x
x
=
e e 1
=
e2
2020年9月1日星期二
(20ppt,scau,L.G.YUAN)
16
三、小结
1.两个准则
夹逼准则; 单调有界准则 .
2.两个重要极限
10 lim sin x = 1; x0 x
大一高数课件ch2-5极限存在准则两个重要极限连续复利
两个重要极限的应用
总结词
两个重要极限在微积分、概率论和统计 学等领域有广泛应用。
VS
详细描述
第一个重要极限常用于解决一些微积分问 题，例如求不定积分和定积分；第二个重 要极限则常用于解决一些概率论和统计学 问题，例如计算概率和期望值等。两个重 要极限都是微积分和概率论中非常重要的 概念，对于理解这些学科的基本原理和解 决问题具有重要意义。
在一些特定的金融产品中，如指数基金、期权等，连续复利的应用尤为重 要。
连续复利还可以用于评估企业的价值，如市盈率、市净率等指标的计算中 ，连续复利的应用也是不可忽视的。
CHAPTER 04
极限存在准则与连续复利的 关系
极限存在准则对连续复利的影响
01
极限存在准则为连续复利的计算提供了理论基础， 确保了复利计算的正确性和可靠性。
CHAPTER 03
连续复利
连续复利的概念
连续复利
是一种计算利息的方式，它假设本金在每个时间点上都获得利息 ，而不是在固定的时间段内获得利息。
与离散复利的区别
离散复利假设本金在固定的时间段内获得利息，而连续复利则假设 本金在每个时间点上都获得利息。
连续复利的计算公式
A=P*e^rt，其中A是未来的总金额，P是本金，r是年利率，t是时 间。
详细描述
柯西收敛准则是一个非常强大的工具，用于证明数列的收敛性。这个准则表明，如果一个数列的任意 两项之间的差的绝对值可以任意小，那么这个数列就是收敛的。柯西收敛准则可以用来证明许多复杂 的数列的收敛性，尤其是在处理无穷级数时非常有用。
极限存在准则三
总结词
极限存在准则三是闭区间套定理，它指出如果一个数列的项构成一个闭区间套， 即每个区间端点的极限相等且等于该数列的项，则该数列收敛于这个极限。
重要极限
x 1 1 sin 7 x
（2）lim
x 0
x 0
(1 x ) tan
x
2
（3） lim
x sin x x sin x
x 0
（4） lim
x sin x x sin x
5
x
三、利用等价无穷小代换求极限
1、定理：设 f ( x) ~ g ( x) , lim g ( x)h( x) A, 则
22
2
例9
连续复利问题
将 本 金 A 0 存 入 银 行 , 年 利 率 为 r, 则 一 年 后 本 息 之 和 为 A 0 ( 1 r ) . 如 果 年 利 率 仍 为 r， 半 年 计 一 次 但 利 息 ,且 利 息 不 取 ， 前 期 的 本 息 之 和 作 为 下 期 的 本 金 再 计算以 后的利 息，这 样利息 又生利 息，由 于半年 的利率为
1 n 1
2
1 n 2
2
1 n n
2
1 n n
2
).
解
n n n
2
n
1 n 1
2
1 1
1
n n 1
2
,
又 lim
n
n n
2
lim
n
1 n
1,
lim
n n 1
2
n
lim
n
1
1 n
2
1,
由夹逼定理得
1 n n
sin x ~ x , tan x ~ x,
1 cos x ~
e x
1 2
x , arcsin x ~ x, arctan x ~ x,
极限存在准则-两个重要极限公式
星期六
夹逼准则不仅说明了极限存在，
而且给出了求极限的方下法面．利用 证明一个
重要的极限公式lim：sin x它 1
BD
1
x0 x
ox C A
证:
当x
(
0
,
2
)
时，
△AOB 的面积＜圆扇形AOB的面＜△AOD的面
即
1 2
sin
x积
1 2
x
1 2
tan
x
积
亦故即有
1sin sxinxxxctoa1snxx
lim
n
1
1 n
n
?
首先，证xn
1
1 n
n
是单调的．
证 a b n Cn0anb0 Cn1a b n1 1 Cn2an2b2
Cni ani bi Cnna0bn
2020年7月11日
14
星期六
设
xn
(1
1)n n
1 n 1 n(n 1) 1 n(n 1)(n n 1) 1
(n 1)! n 1 n 2
(0
x
2
)
显然有
cos x sin x 1 x
(0
x
2
)
lim cos x 1, 注 lim sin x 1
x0
x0 x
2020年7月11日 星期六
例3 求
解:
lim
x0
tan x
x
lim x0
sin x
x
1 cos
x
lim sin x0 x
x
lim 1 x0 cos
x
1
例4
（课本例）
1.6 极限存在准则 两个重要极限
《高等数学B》 第二章 极限与连续 第5节 极限存在准则、两个重要极限、连续复利
n 那么第n 那么第 年后存款额变为 pn = p(1 + r ) .
在第二种情况下, 即当每月结算一次时, 在第二种情况下, 即当每月结算一次时, 利率为 r 12 , n 年后存款额为 r 12n pn = p(1 + ) . 12 当每年结算m次时 次时, 当每年结算 次时, 利率为 r m , n年间共结算次 nm , 年间共结算次 m pn , 则有 则 n 年后的总存款额记为 r mn m pn = p(1 + ) . m 即为上述两种情况。 显然 m = 1 与 m = 12 即为上述两种情况。
二、单调有界收敛准则
准则Ⅱ 单调有界数列必有极限. 准则Ⅱ 单调有界数列必有极限.
我们不作证明, 只给出几何解释。 对准则Ⅱ我们不作证明 只给出几何解释。 几何解释: 几何解释:
x1 x 2 x 3x n x n + 1
A
M
x
例3 证明数列 xn = 3 + 3 + ⋯ + 3 ( n 重根式 ) 的极限存在 . 证 显然 xn+1 > xn , ∴ { xn }是单调递增的 ;
1 1 )+⋯ 2! n+1 1 1 2 n−1 )(1 − )⋯(1 − ) + (1 − n+1 n! n+1 n+2 n 1 1 2 (1 − )(1 − )⋯(1 − ). + n+1 n+2 n+1 ( n + 1)!
显然 xn+1 > xn ,
∴ {xn }是单调递增的 ;
1 1 1 1 xn < 1 + 1 + + ⋯ + < 1 + 1 + + ⋯ + n −1 2! n! 2 2 1 ∴ { xn }是有界的 ; = 3 − n −1 < 3 , 2 1n ∴ lim xn 存在 . ) 记为lim(1 + ) = e (e = 2.71828⋯ n→ ∞ n→∞ n
极限存在准则、两个重要极限和连续复利公式
即 a yn a , a zn a ,
当 n N时, 恒有 a yn xn zn a ,
即 xn a 成立,
lim n
xn
a.
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
准则Ⅰ′
如果当
x
U
0
(
x 2
)2
1 2
12
2
2
1. 2
2. lim(1 1 )n e
n
n
定义 lim(1 1)n e
n
n
设
xn
(1
1)n n
1 n 1 n(n 1) 1 n(n 1)(n n 1) 1
1! n 2! n2
n!
nn
1 1 1 (1 1) 1 (1 1)(1 2)(1 n 1).
C
B
1. lim sin x 1 x0 x
o
x
D
A
设单位圆 O, 圆心角AOB x, (0 x )
2
作单位圆的切线，得ACO .
扇形OAB的圆心角为 x , OAB的高为 BD ,
于是有 sin x BD, x 弧 AB, tan x AC ,
△AOB 的面积＜圆扇形AOB的面积＜△AOC的面积
sin x x tan x, 即 cos x sin x 1, x
上式对于 x 0也成立. 当 0 x 时,
2
2
注
lim cos x 1, 又lim1 1,
lim sin x 1.
极限的运算法则及
(5)
又存在正整数 2，当 > N2时，恒有 N n
即
a − ε < zn < a + ε.
(6)
取N = max{N0 , N1, N2}, 当n>N时，(5)式与(6)式
同时成立，又由条件(1)可得
a − ε < yn ≤ xn ≤ zn < a + ε ,
即得 | xn − a |< ε.
则有
x→x0
lim f (x) = lim (a0 xn + a1xn−1 + ⋅ ⋅ ⋅ + an−1x + an )
x→x0
= a0 lim xn + a1 lim xn−1 + ⋅ ⋅ ⋅ + an−1 lim x + an
x→x0
n
x→x0
x→x0
= a0 x0 + a1x0 = f (x0 ).
| [ f (x) + g(x)] − ( A + B) | ≤| f (x) − A | + | g(x) − B |
< + = ε, 2 2
ε ε
故 lim[ f (x) + g(x)] = A + B.
x→x0
定理2.8中的(1)和(2)可以推广到有限个函数的代 数和及乘积的极限情况.结论(2)还有如下常用的推论. 推论1 设limf(x)存在，则对于常数c，有
第三节 极限的运算法则及 存在准则
一、极限的四则运算 二、极限的存在准则 三、两个重要极限
一、极限的四则运算
下面的定理，仅就函数极限的情形给出，所得的结 论对数列极限也成立. 定理2.8 设 f (x) = A, limg(x) = B，则 lim
第一重要极限和第二重要极限
第一个重要极限公式是：lim((sinx)/x)=1(x->0)。
第二个重要极限公式是：lim(1+(1/x))^x=e(x→∞)。
极限的求法有很多种：
1、连续初等函数，在定义域范围内求极限，可以将该点直接代入得极限值，因为连续函数的极限值就等于在该点的函数值。
2、利用恒等变形消去零因子（针对于0/0型）。
3、利用无穷大与无穷小的关系求极限。
4、利用无穷小的性质求极限。
5、利用等价无穷小替换求极限，可以将原式化简计算。
6、利用两个极限存在准则，求极限，有的题目也可以考虑用放大缩小，再用夹逼定理的方法求极限。
1-05-极限的存在准则
sin x ∴ sin x < x < tan x , 即 cos x < < 1, x 上式对于 −
π
2
< x < 0也成立.当0 < x <
2
π
2
时,
2
x x 2 x 0 < cos x − 1 = 1 − cos x = 2sin , < 2( ) = 2 2 2 2 x Q lim = 0,∴ lim(1 − cos x ) = 0, x→0 2 x →0 sin x ∴ lim cos x = lim1 = 1,∴ lim = 1. x→0 x →0 x→0 x
r ≠0 n rt r
= A0e
rt
∴ A( t ) = A0 e ( r ∈ R )
rt
A t )=A0 e （
rt
rt
连续复利函数A( t ) = A0e 是一个常见的增 长函数例如,以后我们将用其他方法讨论的 Malthus 的人口增长问题, 放射性物质由于 衰变导致质量的变化规律等等, 有许多事 物的数量变化规律都服从此规律。
π
3 ⋅ 2 n −1 ∴圆 的 面 积公 式 为 A = π R 2 .
口头练习题: 口头练习题
sin 2 x 1.lim = ____, x → 0 sin 3 x
2.lim x ⋅ cot 3 x = ____,
x→0 2
1 x sin 1 − cos 2 x x = ____ 3.lim = ____, 4. lim x →0 x →∞ x sin x x +1
+
1 1 2 1 n 1 < < ,则 < ∑ < 2,L 2 2 2 n n k =1 n + k n +k n
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△AOB 的面积＜圆扇形AOB的面积＜△AOC的面积
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极限存在准则 重要极限
sin x x tan x ,
sin x 即 cos x 1, x
上式对于 x 0也成立. 2
x x0 ( x )
准则 I和准则 I'称为夹逼准则.
注 利用夹逼准则求极限关键是构造出 yn与 zn ,
并且 yn与 zn的极限是容易求的 .
4
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极限存在准则 重要极限
例1 求 lim(
n
1 n 1
2
1 n 2
2
1 n n
2
).
n 1 1 n , 解 2 2 2 2 n n n 1 n n n 1
解
1 x2 2 1 4 原式 lim[(1 ) ] (1 ) e2 . x x2 x2
17
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极限存在准则 重要极限
四、小结
1.两个准则
夹逼准则; 单调有界准则 .
2.两个重要极限
设 为某过程中的无穷小,
sin 0 1 lim 1; 某过程
极限存在准则 重要极限
第5节 极限存在准则、 两个重要极限、连续复利公式
一、函数极限与数列极限的关系及夹逼准则
二、 两个重要极限
sin x lim 1 x 0 x
1 n lim(1 ) e n n
三、连续复利公式
1
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极限存在准则 重要极限
一、极限存在准则
x
xa x 3、 lim ( ) x x ) n n1
极限存在准则 重要极限
例2
证明数列 xn 3 3 3 ( n重根
xn 是单调递增的 ;
式)的极限存在. 证 显然 xn1 xn ,
xn 是有界的;
又 x1 3 3, 假定 xk 3, x k 1 3 x k 3 3 3,
极限存在准则 重要极限
1 x 2x 7、 lim ( ) _________. x x 1 x 8、 lim (1 ) _________. x x
二、求下列各极限: 1 cos 2 x 1、 lim x 0 x sin x 2、 lim (tan x ) tan 2 x
A1 A0 1 r ) （
A2 A1 1 r ) A0 (1 r ) 2 （
Ak A0 (1 r ) k
r n
如果一年分 n 期计息，年利率仍为 r ，则每期利率为
r A1 A0 1 ) n （ n
于是一年末的本利和 且前一期的本利和为后一期的本金，
k 年末共计复利 nk 次，其本利和为
n 又 lim 2 lim n n n n
1 1 1 n
1,
1 1 2 n 1 1 1 lim( 2 ) 1. 2 2 n n 1 n 2 n n
5
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lim
n
n n 1
2
lim
n
1
1,
由夹逼定理得
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称为贴现问题，这时的利率称为贴现率。
16
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r n
极限存在准则 重要极限
1 x 例4 求 lim(1 ) . x x
解
1 1 x 1 原式 lim[(1 ) ] lim x x 1 x x (1 ) x 1 . e
3 x 2x 例5 求 lim( ) . x 2 x
A 2 3 A,
7
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极限存在准则 重要极限
二、两个重要极限
1.
C
B
o
x
sin x lim 1 x 0 x
D
A
设单位圆 O, 圆心角AOB x , (0 x ) 2
作单位圆的切线 ，得ACO .
扇形OAB的圆心角为x , OAB的高为BD ,
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极限存在准则 重要极限
r nk Ak A0 (1 ) n
如果计息期数 n ，即利息随时计入本金（连续
复利），则 k 年末的本利和为
r nk 1 Ak lim A0 (1 ) lim A0 {[1 ] }rk A0 e rk n n n n r A A 上述两式中： 0 称为现值， k 称为将来值（终值）， 已知 A0 求 Ak ，称为复利问题， 已知 Ak ，求 A0
（ D ）
( B ) ; ( D) e .
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( A) e 2; (C ) 0;
2
极限存在准则 重要极限
练 习 题
一、填空题: sin x 1、 lim _________. x 0 x sin 2 x 2、 lim __________. x 0 sin 3 x
0, N1 0, N 2 0, 使得
2
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极限存在准则 重要极限
当 n N 1时恒有 yn a , 当 n N 2时恒有 z n a ,
取 N max{ N 1 , N 2 }, 即 a y n a ,
12
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极限存在准则 重要极限
当 x 1时,
有 [ x ] x [ x ] 1,
1 [ x] 1 x 1 [ x ] 1 (1 ) (1 ) (1 ) , [ x] 1 x [ x] 1 [ x ] 1 1 [ x] 1 而 lim (1 ) lim (1 ) lim (1 ) e, x x x [ x] [ x] [ x] 1 [ x] lim (1 ) x [ x] 1 1 [ x ] 1 1 1 lim (1 ) lim (1 ) e, x x [ x] 1 [ x] 1 1 x lim (1 ) e . x x
1 x lim (1 ) e x x
1 令t , x
x 0
1t lim(1 x ) lim(1 ) e. x 0 t t
1 x
1 x
lim(1 x ) e
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极限存在准则 重要极限
三、连续复利
设本金为 A0 ，年利率为 r ，则 一年末的本利和 二年末的本利和 k年末的本利和
2 lim (1 ) e .
0 某过程
1
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极限存在准则 重要极限
思考练习
选择
1 ( 1) lim x sin ( C ). x x ( A) ; ( B ) 不存在; (C ) 1; ( D ) 0.
（2）lim 1 x
x 0 2 x
2
10
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极限存在准则 重要极限
2. 定义
1 n lim(1 ) e n n
1 n lim (1 ) e n n
1 n 设 x n (1 ) n n 1 n( n 1) 1 n( n 1)( n n 1) 1 1 2 n 1! n 2! n n! n
当 0 x 时, 2
lim cos x 1,
x 0
注
又 lim1 1,
x 0
x 2 x 0 1 cos x 1 cos x 2 sin 2 2 2 lim (1 cos x ) 0
x 0
机动
当 0 x 时， 2
sin x lim 1. x 0 x
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极限存在准则 重要极限
令 t x,
1 x 1 t 1 t lim (1 ) lim (1 ) lim (1 ) x t t x t t 1 1 t 1 1 lim (1 ) (1 ) e. t t 1 t 1
1.夹逼准则
准则Ⅰ 如果数列 x n , y n 及z n 满足下列条件:
(1) yn xn zn
n
( n 1,2,3)
( 2) lim yn a , lim zn a ,
那末数列 x n 的极限存在, 且lim x n a .
n
n
证 yn a,
zn a ,
3、 lim
x 0
x 0
4、 lim x cot 3 x __________.
sin x 5、 lim __________. x 2 x
arcsin x __________ . x
6、 lim (1 x ) _________.
x 0
1 x
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2
x 2
2
9
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极限存在准则 重要极限
1 cos x 例3 求 lim . 2 x 0 x
x 2 x 2 sin sin 2 1 lim 2 解 原式 lim x 0 x2 2 x 0 x 2 ( ) 2 x sin 1 2 )2 1 2 lim( 1 x 0 x 2 2 2 1 . 2