频率波数域波动方程偏移

（二）频率波数域波动方程偏移序：有限差分法是在时空域进行偏移，利用付氏变换可在频率波数域实现偏移。

1．偏移公式① 速度减半后的波动方程：042222222=∂∂-∂∂+∂∂tuV z u x u (6.4-67)② 对上式进行关于x 和t 的二维付氏变换，速度用常数，得0)4(22222=-+U k Vdz U d xω (6.4-77) 式中),,(ωz k U U x =是波场函数u(x,z,t)的二维付氏变换。

③ 求解（6.4-77），有两个解，分别对应着上行波和下行波。

偏移研究的是上行波的向下延拓问题，所以只取上行波解为：])4(exp[),0,(),,(21222z k Vj k U z k U x x x -=ωωω （6.4-78）物理意义：用地面波场的付氏变换),0,(ωx k U ,可求出地下任何深度处的波场的付氏变换),,(ωz k U x ，是频率波数域内的常速波场延拓公式。

④ 求地下任意深度处的波场u(x,z,t) 对（6.4-78）进行反付氏变换，得x x k t j x dk d e z k U t z x u x ωωπω)(),,(21),,(++∞+∞-∞+∞-⎰⎰=（6.4-79）⑤ 成像取t=0时刻的波场，由（6.4-79）得x x jk x dk d e z k U z x u x ωωπ+∞+∞-∞+∞-⎰⎰=),,(21)0,,(⎰⎰∞+∞-∞+∞-=π21x x x x dk d z k Vx k j k U ωωω]})4([exp{),0,(21222-+（6.4-80） 2．频波域波动方程偏移的特点优点：①利用快速付氏变换，偏移效率高。

②适合于大倾角的地区。

缺点：①速度横向变化大的地区不能用。

②必须注意采样间隔，以免出现假频。

（三）克希霍夫积分偏移 1.用克希霍夫积分解求解波动方程 2．维波动方程克希霍夫积分解(x,y,z,t)P13图6.1-12 克希霍夫积分示意图如果围绕着震源的封闭曲面Q ，已知 Q 面上波动的位移位φ(x 1,y 1,z 1,t)及其对时间对空间的导数,且这些值是连续的没有奇点。

那么可以算出Q 面以外．（内．）任意观测点M(x,y,z)上由震源引起的位移位：（注：“内外”公式差一负号，表现为波形反相）[]dQ t n r Vr n r r n t z y x Q⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂-=⎰⎰φφφπφ11)1(41),,,( (6.1-37) 式中[ ]不是方括号，表示计算t 时刻的位移位要用到t 1=t-Vr时刻的位移位及其对时间对空间的导数，故[φ]叫延迟位。

r ——M 点到Q 面上各点和距离 n ——Q 面的外法线方向。

说明：（6.1-37）更深层的的含义a.已知Q 面上的是位移位，算出来的是M 点上的位移位。

b.已知Q 面上的是位移，算出来的是M 点上的位移。

c.1883年出现克希霍夫公式，1983年用于生产实践，用地面波场计算地下任一点的波场。

3．适合地震叠后时间偏移的克希霍夫积分公式 第一步：选择Q 面M *(x,y,-z,t)z选择封闭曲面Q 由无限大的地面Q 0和地下无限大的半球面Q 1构成。

因为Q 1上各点的波场值为0，它对封闭曲面Q 内任一点M （x,y,z,t ）的波场没有贡献。

由（6.1-37）得由地面Q 0计算地下任一点的位移波场的公式为： []011)1(41),,,(0dQ t u n r Vr n u r r n u t z y x u Q ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂-=⎰⎰π(6.4-83a) ∵n 与z 方向相反 ∴zn ∂∂-=∂∂∴[]011)1(41),,,(0dQ t u z r Vr z u r r z u t z y x u Q ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂+=⎰⎰π(6.4-83b) 第二步：消去对空间求导数项（6.4-83b ）中含有波场对空间的导数项，实际记录没有对空间进行连续观测,而是r 固定，u=u(t),没法求zu∂∂，想法消去这一项。

计算M *(x,y,-z,t)的波场，M *(x,y,-z,t)是地下点M （x,y,z,t ）关于地面的镜象,地震勘探中地面以上波场值为0，用克希霍夫积分结果应为0,即[]0****11)1(4100dQ t u z r Vr z u r r z u Q ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂-=⎰⎰π(6.4-83c) 在地面Q 。

上，zr z r r r ∂∂-=∂∂=**,0)()()(222=-+-+-=L L L L z z z y y x x r 0)()()(222*=++-+-=L L L L z z z y y x x r代入（6.4-83-c ），得 []011)1(4100dQ t u z r Vr z u r r z u Q ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂--=⎰⎰π (6.4-83d) 即[]011)1(4100dQ t u z r Vr z u r r z u Q ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂=⎰⎰π(6.4-83e) 将(6.4-83b)与(6.4-83e)相加，得 []01)1(21),,,(0dQ t u z r Vr r z u t z y x u Q ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂-∂∂=⎰⎰π（书上Q ╳） (6.4-83) 该式已消去对空间的导数项，可以实用。

第三步：延迟位、超前位及速度减半延迟位：用u(t-V r )求u （t ）。

克希霍夫积分是用前一时刻波场u(t-Vr )求后一时刻波场u （t ）。

超前位：用u(t+Vr)求（t ）。

用地面波场向反时间方向“倒退”求出t=0时的波场，可理解为用u(t+Vr)倒退求u （t ）。

由（6.4-83）得反时间方向克希霍夫积分公式为： 0),0,,(1)1(21),,,(0dQr t y x u r t z y x u LL Q +=⎬⎫⎨⎧∂∂-∂=⎰⎰τπ(6.4-84a)据爆炸反射界面模型，将速度减半，有0)2,0,,(21)1(21),,,(0dQ V r t y x u z r r V r z t z y x u LL Q +=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂∂∂-∂∂=⎰⎰ττπ(6.4-84) 注：书上有错第四步：成像取t=0时刻波场得偏移结果， 将空间深度Z 转换为时间深度Vzt 20=， 考虑二维偏移，去掉y 坐标。

由（6.4-84），得 L L x dx V r x u z r Vr r z t x u L)20,0,(2)1(21)0,,(0+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂∂∂-∂∂=⎰ττπ(6.4-85)注： z t=0 t=0∵22)0()(z x x r L -+-= 2Vt z =VV r 22==τ22220222222)(4)2(2)(4)(t Vx x Vt V V x x z x x L L L +-=+-=+-注：将该式与P154(6.4-66)比较 x L -为地面记录道的横坐标，x-为偏移后剖面道的横坐标。

u(x L ,0,τ=2r/V) xzθcos -=∂∂zr,代入(6.4-85)，得 L L L dx t V x x x u Vr rt x u ))(4,0,(cos 2cos 21),(202220+-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂-=⎰∞+∞-ττθθπ(6.4-86) 4.（6.4-86）式的物理意义x2Z或t按双曲线到地面地震记录上取波场值，将取来的波场值本身加权参加叠加，将取来的波场值求导数后加权参加叠加，将叠加结果放在双曲线的顶点上。

5．克希霍夫积分偏移与绕射扫描偏移的区别绕射扫描叠加偏移：按双曲线取波场值，直接放在地下双曲线的顶点上，只恢复了运动学特征。

克希霍夫积分偏移：按双曲线取波场值，经计算加权后放在地下双曲线的顶点上，既恢复了运动学特征，也恢复了动力学特征。

6．克希霍夫积分偏移的特点（1）能适合大倾角的地层。

（2）不适合速度横向变化大的情况。

（3）噪音对偏移结果影响大，因为噪音参加叠加。

（四）二维波动方程偏移剖面的优缺点优点：（1）除水平叠加的优点以外，波场的位置和时间在上下左右．．．．得到了归位，即运动学特征在上下左右得到了恢复，提高了横向分辨率。

（2）用地面波场值计算地下网格点上的波场值，即波的振幅、频率等动力学特征得到恢复。

缺点：波场前后．．没有归位。

三、三维波动方程偏移y优点：（1）除水平叠加的优点以外，波场的位置和时间在上下左右前后．．．．．．都得到了归位，即运动学特征在上下左右得到了恢复，提高了横向分辨率。

（2）用地面波场值计算地下网格点上的波场值，即波的振幅、频率等动力学特征得到恢复。

例子：熊煮（粉红）P50（浅蓝）P201思考：1．水平叠加、二维绕射扫描叠加偏移、二维波动方程叠加偏移、三维波动方程叠加偏移4种时间剖面的优缺点。

2．叙述爆炸反射界面模型及其成像原理。