第3章_光学谐振腔

共焦腔的场即为高斯场
沿z轴传播的高斯光束的电矢量
A0 ( x2 y 2 ) x2 y2 E ( x, y, z ) exp[ ] exp[ik ( z ) i ( z )] 2 W ( z) W ( z) 2 R( z )
z点处光斑半径 高斯光束的腰粗
z 2 1 2 W ( z ) [1 ( ) ] W02
对于缓变的电磁波，要求
2 0 2 z
如果沿z轴传播的平面光波可以表示成：
E( x, y, z) A0 exp(iKz)exp(it )
A0 为振幅
波矢 K
2n

球面波表示成：
E ( x, y , z )
A0 exp(iKR) exp(it ) R
A0 为振幅， R为半径，等R 等振幅，等位相 R
W0 W (0)
（又称束腰半径）
2 0
W 2 ) ] z处波阵面曲率半径 R( z ) z[1 ( z z 相位因子 ( z ) arctan 2 W0
空间传播的高斯光束是一种高斯球面波
波阵面的曲率半径为R(z) 光斑半径为W(z) 光束横截面上的光斑尺寸W(z)随z变化，呈特定的 函数关系
共焦稳定腔
2 a12 a2 Ne 2 2 W1 W2
一般稳定球面腔两个反射镜的有效菲涅耳数为
1 a12 a12 J1 2 N e1 [ ( 1 J J )] 1 2 W12 L J 2
Ne2
1 2 2 a2 a2 J2 2 [ ( 1 J J )] 1 2 2 W2 L J 1
第一节
共焦腔中的光束特性
J2
半共心腔
(0,1) (1,1)
共焦腔的几何特点
R1 R2 L
共焦腔
平面腔
(0,0)
J1
(1,0) 半共心腔
L
(-1,-1)
共心腔
临界腔（介稳腔）
因为 J1=J2=0
光波的波动方程
在均匀媒介中的电磁波的波动方程
2 E k 2 E 0
在均匀媒介中的平面波的波函数（沿Z方向传播）
稳定腔：几何偏折损耗很低， 调整精度要求较低，波形限制能 力比较弱，输出光束反射角较大。 介稳腔：波形限制能力比较强， 光束方向性 好，光腔调整精度 要求高，几何偏折损耗较大。 非稳腔：波形限制能力比较强， 输出光束发散角小，光束质量良 好，但单程损耗很高。
J2
半共心腔
(0,1) (1,1)
平面腔
沿z轴传播的高斯光束的电矢量为波动方程的解
E代入微分方程可以得到W、R等的关系式
高斯光束的特点
高斯光束的场分布 为z轴旋转对称，中心 处是强度为高斯分布 的平面波，在其他处 为高斯分布的球面波。
其电场可以表示为：
A0 ( x2 y 2 ) x2 y2 E ( x, y, z ) exp[ ] exp[ik ( z ) i ( z )] 2 W ( z) W ( z) 2 R( z )
共焦腔
(0,0)
J1
(1,0) 半共心腔
(-1,-1)
共心腔
稳定腔：典型的谐振腔有：平凹腔，双凹腔 等 临界腔（介稳腔）对称共焦腔，平行平面腔， 共心腔等 非稳腔：双凸腔，平凸腔，凹凸腔等
稳定腔的条件
L L 0 1 1 1 R1 R2
共焦腔中基模光斑尺寸
1 R12 ( R2 L) L W1 W ( z1 ) [ ]4 L( R1 L)( R1 R2 L)
1 R22 ( R1 L) L W2 W ( z2 ) [ ]4 L( R2 L)( R1 R2 L)
L ( R1 L)( R2 L)( R1 R2 L) 1 W0 [ ]4 2 ( R1 R2 2 L)
当R=2L时，凹镜光斑与等价共 焦腔的反射镜相等
基模远场发散角
稳定球面腔的基模远场发散角
2 W0
J1 J 2 2 J1 J 2 2 2 2 L J1 J 2 (1 J1 J 2 )
1/ 4
对称共焦腔情况下
半共焦情况下 平-凹腔情况下
共焦参数的物理意义：在
两光斑之间距离的一半
等价共焦腔
W02 2 f2 R ( z ) z[1 ( ) ] z z z
第二节 共焦光学谐振腔中基模的分布
一、基模高斯光束的基本性质
A0 r2 r2 z E00 ( x, y, z ) exp[ 2 ] exp[ik ( z ) acr tan ] W ( z) W ( z) 2 R( z ) f
用菲涅耳数N定义为
a2 a2 a2 N 2 L 2 f W0
物理意义：从一个反射镜的中心向对面的一个反射镜看过去的接收 角（a/L)与光束衍射角(/a)之比， N越大，损耗越小
N>1是从镜中间发出的光束在镜间往返一次不致发生衍射逸出的条件 N表示不致于衍射逸出腔外的最大往返次数 1/N表示每往返一次衍射损耗占模式总能量的比率
r 2 x2 y2 k f 2 R W0 2

1. |z|=f时，
W ( z) 2W0
R( z ) 2 f
z W ( z ) W0 [1 ( ) 2 ]1/ 2 f f R ( z ) z[1 ( ) 2 ] z
2. |z|<f时，|R(z)|>2f, 波面球心[-f,] |z|>f时，波面球心[-f,0] 3. 可以用f和W0来表征高斯光束
1/ 4
4z 2 1 L( 2 R L)
为此我们可以得到腔镜上的光斑大小，及z=±L/2时的光斑值以及腔中心z=0 时最小光斑尺寸（腰斑）
L R2 W1 W2 L ( 2 R L )
1/ 4
L 2R L W0 2 L
z
E E0 exp{ i(wt k r )} E0 exp(ikz) exp(iwt ) 当振幅在空间不再是常数时，可写成一般形式
E ( x, y, z) exp(ikz) exp(iwt )
轴对称型电磁波，可写为
E (r , z ) exp(ikz) exp(iwt )
Emax e
2
光强分布
2r 2 I max A0 I E ( x, y , z ) exp 2 2 W ( z) W ( z) e
2
高斯光束在 z z0 0时， 在z=0附件有
A0 x2 y 2 E ( x, y , z ) exp iK z R 2R
k
2

R W02 f 2
f 2 R( z ) z 1 z
z 2 W ( z) W0 1 f
1/ 2
共焦腔的腔镜结构确定
f 2 R( z1 ) R1 z1 1 z 1
对1cm3的空腔，波长为3cm的微波， N=1 对波长为1um的光波，N=8x1012 模式太多对形成单一频率的激光不利
开式谐振腔
平行于光场传播方向的四周敞开，仅仅在垂直光 场传播方向（即光轴）两头设有反射腔镜。
按照腔的稳定性
L L 0 1 1 1 R1 R2
原则：腔镜与高斯光束波面匹配
f 2 R( z2 ) R2 z2 1 z 2
z2 z1 L
z1 L( R2 L) 2 L R1 R2
z2
f2
L( R1 L) 2 L R1 R2
L( R1 L)(R2 L)(R1 R2 L) L R1 L R2 2
可见高斯光束在z=0处的波阵面是平面，但它 的E矢量振幅分布是高斯分布。
W0称为高斯光束的束腰（光斑）半径
高斯光束特性
E
高斯光束的束斑（光束半径）
Emax
场强分布
r0 E
A0 r2 E ( x, y,0) exp[ 2 ] W0 W0
A0
r
W0
Emax
r ( z)
E
谐振腔
0~K间波矢量包含的总的模式数为
K 空体积 4 K 3 / 3 ( KL)3 L3 2 3 8 3 L3 Nk 2＝ 3 3 2 2( ) 每模式所占体积 8 / L 3 2 3 3c3
单位体积、单位频率间隔内的模式数为模密度
1 dN K 8 n3 2 ( ) V d c3
园频率
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2
高斯光束的波动方程
把E代入波动方程，可以得到在直角坐标下的波动方程为
2 2 2 2ik 0 2 x y z
其中一种特解为高斯光束：
A0 ( x2 y 2 ) x2 y2 E ( x, y, z ) exp[ ] exp[ik ( z ) i ( z )] 2 W ( z) W ( z) 2 R( z )
振幅中心部分最强，按高斯曲线规律向外逐渐减弱。
束腰光斑尺寸
z W ( z0 ) W0 [1 ] W
2 2 1 0 2 2 4 0
z=0处光斑半径 W0最小，称之为束腰半径（腰粗）。
高斯光束发散角
dW ( z ) 2z W 2 2 [( ) z2 ] dz W0
1/ 4
L 1 J 2 1 J
1/ 4
对称稳定腔
R1 R2 R,
J1 J 2 1
L
R 2
给定L，变化R时，共焦腔镜面光斑为极小 W
给定R，变化L时，共焦腔 的腰斑光斑为极大 W0
平凹腔的腰斑中心就在平面镜上，
z1 0 z2 L f L( R L)
确定反射镜（腔镜）的大小
对称稳定腔
L( R L) z1 2( L R)
L( R L) z2 2( L R)
R1 R2 R
L( 2 R L ) 2
f
腔内基模光斑尺寸随z的变化为
R 2 R L W ( z1 ) W ( z2 ) W ( z ) L
第三章
光学谐振腔
谐振腔
q 2
电磁波在一个空腔内被腔壁来回反射，最终在腔内形成一种稳定的驻波， 这种腔体就称为谐振腔 在一个封闭的腔内，有三个方向的驻波形式
2m 2n 2q , ky , kz L L L 每一个振荡模式所占的波矢空间为 kx
kx k y kz (2 L)3
2 2 2 L
2 2 L 1 1 4 2 2 [ ] ( RL L2 )
衍射损耗
任何实际的激光谐振腔中，腔镜的透射与限制孔阑（包括激 光介质材料端面边缘口径）均会造成光束损耗 孔阑造成的损耗主要是衍射损耗，该损耗主要取决于孔阑位 置激光束的直径与孔阑直径 用菲涅尔系数N来表示激光束大小与孔阑大小之间的关系， 进而表示衍射损耗
高斯光束在z=0时
A0 r E ( x, y,0) exp[ 2 ] W0 W0
2
E
A0 W0
其中
r 2 x2 y 2
-W0 W0
A0 eW0
2 2 W0 lim R( z ) lim z 1 z 0 z 0 z
2 2 0 2

1 2
高斯光束发散角的特点
z=0， 2=0
z=
W02
2=
2 / W0
2 lim 2W ( z ) x z
f
z
2 2= W0
或者
W02 令 f为高斯光束的共焦参数， f
z2 2 (1 2 ) f 2W ( z ) 2 lim lim 2 z z z z f