平行四边形分类证明
平行四边形证明·方法
平行四边形证明·方法宝子们，今天咱们来唠唠平行四边形的证明方法呀。
那啥是平行四边形呢？就是那种对边平行的四边形啦。
要是想证明一个四边形是平行四边形呀，有好多小窍门呢。
有一种方法是看对边。
如果两组对边分别平行，那这个四边形肯定就是平行四边形啦。
就像两个人并排走，另外两个人也并排走，而且这两组人的方向还都一样，那这个四边形的形状就像平行四边形这个小方队啦。
比如说给你个四边形ABCD，要是AB 平行于CD，然后AD又平行于BC，那妥了，它就是平行四边形。
还有哦，如果两组对边分别相等，这个四边形也是平行四边形呢。
这就好比四边形的四条边是小棍儿，两组对边的小棍儿一样长，那它就能摆出平行四边形的模样啦。
像四边形ABCD里，要是AB等于CD，AD等于BC，那它就是平行四边形。
另外呀，一组对边平行且相等也能证明是平行四边形。
这就像一个人沿着一个方向直直地走，而且他走的距离和对面那个人站着不动的距离是一样的，那这个四边形也是平行四边形的形状。
比如在四边形ABCD中，AB平行于CD，并且AB等于CD，那这个四边形就是平行四边形啦。
再说说对角线的情况。
要是一个四边形的对角线互相平分，这个四边形也是平行四边形。
对角线就像是这个四边形的两条交叉的线，它们把四边形分成了四个小三角形。
如果这两条对角线互相把对方分成了相等的两段，就像两个人分东西分得很公平一样，那这个四边形就是平行四边形啦。
比如四边形ABCD里，AC和BD是对角线，如果AO等于OC，BO等于OD（O是AC和BD的交点），那这个四边形就是平行四边形。
宝子们，这些证明平行四边形的方法是不是还挺有趣的呀？只要记住这些小妙招，再遇到平行四边形的证明题就不怕不怕啦。
加油哦，宝子们！。
证明四边形是平行四边形的条件
证明四边形是平行四边形的条件平行四边形是几何中的一种特殊四边形，具有一些独特的性质和特点。
在数学中，我们可以通过一些条件来证明一个四边形是平行四边形。
本文将从不同的角度探讨平行四边形的条件，以帮助读者更好地理解和应用这些条件。
一、对边平行平行四边形的第一个条件是对边平行。
也就是说，如果一个四边形的两对对边分别平行，则该四边形可以被证明为平行四边形。
对边平行的概念是指两条直线在平面上没有交点，且在同一平面内保持相同的方向。
如果一个四边形的对边满足这个条件，那么这个四边形就是平行四边形。
二、对角线互相平分平行四边形的第二个条件是对角线互相平分。
对角线是连接四边形两对相对顶点的线段。
如果一个四边形的对角线互相平分，即将对角线分割成相等的两段，那么这个四边形可以被证明为平行四边形。
这个条件可以通过计算对角线的长度来验证，如果两条对角线的长度相等，则可以证明这个四边形是平行四边形。
三、对边长度成比例平行四边形的第三个条件是对边长度成比例。
也就是说，如果一个四边形的对边长度成比例，即两对对边比值相等，那么这个四边形可以被证明为平行四边形。
这个条件可以通过计算对边长度的比值来验证，如果两对对边的比值相等，则可以证明这个四边形是平行四边形。
四、内角和为180度平行四边形的第四个条件是内角和为180度。
内角是指两条边之间的夹角，对于平行四边形来说，相邻内角互补，即相邻内角的和为180度。
如果一个四边形的内角和等于180度，那么这个四边形可以被证明为平行四边形。
这个条件可以通过测量和计算内角的和来验证，如果内角的和等于180度，则可以证明这个四边形是平行四边形。
五、对边等长平行四边形的第五个条件是对边等长。
也就是说，如果一个四边形的对边长度相等，那么这个四边形可以被证明为平行四边形。
这个条件可以通过测量和计算对边的长度来验证，如果两对对边的长度相等，则可以证明这个四边形是平行四边形。
我们可以通过对边平行、对角线互相平分、对边长度成比例、内角和为180度以及对边等长等条件来证明一个四边形是平行四边形。
平行四边形四种证明方式
平行四边形的性质有很多种证明方式，下面列举了四种常见的证明方式：
1. 同底异边平行四边形性质证明：
性质：若平行四边形的一对对边分别平行，则该平行四边形是平行四边形。
证明：利用平行线的性质，通过对应角相等或同位角相等的方式证明。
2. 同位角平行四边形性质证明：
性质：平行四边形的同位角相等。
证明：利用平行线的同位角性质，通过角对应或同位角相等的方式证明。
3. 对角线分割平行四边形性质证明：
性质：平行四边形的对角线互相等分，即平行四边形的一条对角线把它分成两个全等的三角形。
证明：利用三角形的全等条件，通过SAS、ASA等证明两个三角形全等。
4. 边角对应平行四边形性质证明：
性质：平行四边形的对应边成比例，对应角相等。
证明：利用对应角相等和平行线的性质，通过相似三角形的性质证明对应边成比例。
这些证明方式可以根据具体的平行四边形问题选择合适的方法。
在证明中，要善于利用平行线的性质和三角形的性质，灵活应用各种角关系和边关系。
证明为平行四边形的条件
证明为平行四边形的条件
1. 两组对边分别平行，那它不就是平行四边形嘛！就像咱家里的窗户框，上下边平行，左右边也平行，这就是典型的平行四边形呀！
2. 两组对边分别相等也能证明呀！你想想，桌子的桌面，相对的两边一样长，不就是平行四边形的特征嘛！
3. 一组对边平行且相等，这还能不是平行四边形？好比走在路上，一边是直的路，另一边和它一样长且也平行，这不就是嘛！
4. 对角线互相平分也能说明哦！像小区的两个路灯，它们之间的连线把区域分成相等的部分，这就是平行四边形呀！
5. 两组对角分别相等也得算呀！那玩的飞盘，它的对角角度一样，不就是平行四边形的表现嘛！
6. 有一组对边平行，一组对角相等，这肯定是平行四边形啦！就像那书本打开，一边平行，对角相等，可不就是嘛！
7. 四条边都相等，那还能不是平行四边形？那正方形的手帕，四条边一样长，它也是特殊的平行四边形呀！
8. 相邻的两个角互补，这也是条件之一呢！就像那钟的表面，相邻角加起来 180 度，这就是平行四边形的特点呀！
9. 一组对边平行，另一组对边相等，这也能说明呀！那梯子不就是这样，一边平行，另一边相等，不就是嘛！
10. 对角线相等的四边形，可不一定是平行四边形哦！这得记住了，可别搞混啦！
我的观点结论就是：记住这些条件，判断平行四边形就容易多啦！。
平行四边形的证明方式
平行四边形的证明方式稿子一：嘿，朋友！今天咱们来聊聊平行四边形的证明方式哈。
你看哦，如果两组对边分别平行，那这个四边形肯定就是平行四边形啦。
这就好像两条平行线，一直延伸，它们对应的边也都平行，那这个图形自然就稳稳地是平行四边形咯。
还有哦，如果两组对边分别相等，那也能说明它是平行四边形。
想象一下，两条对边一样长，另外两条对边也一样长，是不是就有一种很平衡、很规整的感觉，那这就是平行四边形没错啦。
要是一组对边平行且相等，那也能敲定它是平行四边形哟。
就像是有一对小伙伴，不仅朝着一个方向走，而且步伐还一样大，那肯定能走出平行四边形的样子来。
还有一组对角相等也能证明呢。
你想想，角度都一样，那对应的边的走向不也就差不多，自然就构成平行四边形啦。
对角线互相平分也能说明问题哦。
两条对角线就像两个好朋友，把这个四边形的面积公平地分一分，那它就是平行四边形啦。
怎么样，是不是觉得平行四边形的证明方式还挺有趣的？稿子二：亲，咱们来唠唠平行四边形的证明方式哈。
你知道不，当两组对边分别平行的时候，这个四边形就跑不了是平行四边形啦。
这就好比两条平行线带着它们的小伙伴，整整齐齐的，肯定就是平行四边形嘛。
再说，如果两组对边长度相等，那它也是平行四边形哟。
你就想象一下，四边形的四条边，两两一组，长度都一样，多规整呀，这不是平行四边形是啥？还有呢，一组对边平行并且相等也能证明。
这就像一个人走路，方向定好了，步子大小也不变，走出来的形状肯定就是平行四边形的样子。
要是一组对角相等，那也能说明是平行四边形哦。
角度相等，边的倾斜程度也就差不多，自然而然就构成平行四边形啦。
别忘了，对角线互相平分也能证明哦。
这两条对角线就像在平分宝贝一样，把这个四边形的地盘分得妥妥当当，那它就是平行四边形呀。
咋样，是不是觉得平行四边形的证明方式没有那么难啦？。
证明平行四边形的方法
证明平行四边形的方法平行四边形是几何学中常见的一种图形，它具有一些特殊的性质和特点。
在数学学习中，我们经常需要证明一个四边形是平行四边形，下面我将介绍一些证明平行四边形的方法。
首先，我们来看平行四边形的定义。
平行四边形是指具有两对对边分别平行的四边形。
根据这个定义，我们可以通过以下几种方法来证明一个四边形是平行四边形。
方法一，利用对应角相等的性质。
对于一个四边形ABCD，如果我们能够证明∠A = ∠C 且∠B = ∠D，那么根据对应角相等的性质，我们可以得出AB∥CD。
同理，如果我们能够证明∠A = ∠B 且∠C = ∠D，那么我们也可以得出AB∥CD。
这就是利用对应角相等的性质来证明平行四边形的方法。
方法二，利用同位角相等的性质。
对于一个四边形ABCD，如果我们能够证明∠A = ∠D 且∠B = ∠C，那么根据同位角相等的性质，我们可以得出AB∥CD。
同理，如果我们能够证明∠A = ∠B 且∠C = ∠D，那么我们也可以得出AB∥CD。
这就是利用同位角相等的性质来证明平行四边形的方法。
方法三，利用对角线分割的性质。
对于一个四边形ABCD，如果我们能够证明对角线AC和BD互相平分，即AC和BD的交点O是对角线的中点，那么根据对角线分割的性质，我们可以得出AB∥CD。
这就是利用对角线分割的性质来证明平行四边形的方法。
方法四，利用对边平行的性质。
对于一个四边形ABCD，如果我们能够证明AB∥CD 且AD∥BC，那么根据对边平行的性质，我们可以得出这个四边形是平行四边形。
综上所述，我们可以通过对应角相等、同位角相等、对角线分割、对边平行等性质来证明一个四边形是平行四边形。
在实际问题中，我们可以根据具体的情况选择合适的方法来进行证明。
总之，证明平行四边形的方法有很多种，我们需要根据具体情况选择合适的方法来进行证明。
希望以上方法能够帮助大家更好地理解和运用平行四边形的性质。
平行四边形的判定证明题
四、运用判定3“对角线互相平分的四边形是平行四边形” 判定，证对角线互相平分。 1、如图,在平行四边形ABCD中,E、F在对角线AC上,且 AE=CF,试说明四边形DEBF是平行四边形.
解：连接BD交AC于点O. ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AO=CO,BO=DO. 又AE=CF, ∴AO-AE=CO-CF, 即EO=FO. ∴四边形DEBF是平行四边形.（对角线互相平分 的四边形是平行四边形）
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB = CD，AD = BC， ∠A =∠C =∠ABC =∠ADC ＝90° ∵AE = AD ，CF = BC，
∴AE = CF. ∴△ABE≌△CDF. ∴∠ABE =∠CDF，∠AEB =∠CFD. ∴∠BED =∠DFB. ∴∠EBF =∠EDF. ∴四边形BFDE是平行四边形. （两组对角 分别相等的四边形是平行四边形）
例2、已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，E是AB的中 点，D在BC上，延长ED到F，使ED = DF = EB. 连结FC. 求证：四边形AEFC是平行四边形.
证明：∵AB＝AC， ∴∠B =∠ACB. ∵ED = EB， ∴∠B =∠EDB. ∴∠ACB =∠EDB. ∴EF∥AC. ∵E是AB的中点， ∴BD = CD. ∵∠EDB =∠FDC，ED = DF， ∴△EDB≌△FDC. ∴∠DEB =∠F. ∴AB∥CF. ∴四边形AEFC是平行四边形. （两组对边
证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠DAB=∠BCD， 又∵∠1= ∠DAB，∠2= ∠BCD，
∴∠1=∠2， ∵AB//CD， ∴∠3=∠1，∠4=∠2， ∴∠3=∠4， ∴∠5=∠6， ∴四边形AECF是平行四边形．（两组对角分 别相等的四边形是平行四边形）
平行线与平行四边形的性质
06
总结与展望
回顾本次课程重点内容
平行线的定义与性质
平行线是两条在同一平面内且永远不会相交的直线。它们 具有一些重要的性质，如同位角相等、内错角相等以及同 旁内角互补等。
平行四边形的定义与性质
平行四边形是一个四边形，其中两对相对边分别平行。它 的性质包括对角线互相平分、对边相等且平行、邻角互补 等。
利用平行四边形的性质
平行四边形的对边平行且相等、对角相等、邻角互补等性质，结合三角形的性质进行证明。
向量法证明平行四边形性质
向量表示
将平行四边形的四个顶点用向量表示 ，利用向量的加法和数乘运算表示出 平行四边形的各条边和对角线。
向量证明
结合向量的性质和运算，通过逻辑推 理和演绎证明，得出平行四边形的相 关性质。
平行四边形的定义在三维空间中的推广
在三维空间中，一个四边形如果它的对边都是异面平行线，则这个四边形被称为空间平行 四边形。
平行四边形的性质在三维空间中的推广
空间平行四边形具有与平面内平行四边形相似的性质，如对边平行且相等、对角线互相平 分等。
平行四边形的判定在三维空间中
可以通过四边形的边和角的关系来判断一个四边形是否为空间平行四边形。
两组对边分别平行
在一个四边形中，如果两组对边都分别平行，则该四边形为 平行四边形。这是平行线构成平行四边形的基本条件。
一组对边平行且相等
另外，如果一个四边形中有一组对边既平行又相等，那么也 可以判定该四边形为平行四边形。
平行四边形中平行线性质体现
对边平行
在平行四边形中，两组对边都是平行 的，这是平行四边形最基本的性质之 一。
同旁内角
两条直线被第三条直线所截，在截 线同旁，且在被截线之内的两角， 叫做同旁内角。
平行四边形的判定
A O D C
B
∠ADB= ∠CBD AD ∥BC，AB ∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形
判定方法3：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
思考1：你能从角的角度来判断四边形是平行四边形吗？ 若四边形中有一组对角相等，那它是平行四边行吗？ 若不是，你能举出反例吗？ 若四边形中有两组对角相等，结论又如何？ 思考2：你能用文字语言表达你的想法吗？ B
A
B
∴四边形ABCD是平行四边形
判定方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D
C
思考1：两组对边分别平行，两组对边分别相等都 可证明一个四边形是平行四边形，那么： （1）一组对边平行另一组对边相等能否得到一个 四边形是平行四边形呢？若不能，你能举出反例 吗 （2）一组对边平行且相等能否得到一个四边形是 平行四边形呢？
例题1
已知：在平行四边形ABCD中，BE=DF
求证：四边形AECF是平行四边形
A
F
D
B
E
C
判定方法：一组对边平行且相等
例题2
如图，在平行四边形ABCD中，EF为边AD、BC上的点， 且AE=CF，连结AF、EC、BE、DF交于M、N， 证明：四边形MFNE是平行四边形.
A M
E D N
B
F
C
判定方法：两组对边分别平行
导入新知
四边形ABCD具备怎样的条件就能判定它是平 行四边形？
∵AB∥CD ,AD∥BC(已知) ∴四边形ABCD是平行四边形
A D
（平行四边形定义）
B
C
具备“两组对边分别平行”的条件就可以判定四 边形是平行四边形。
判定方法1：两组对边分别平行的四边形 是平行四边形
平行四边形的证明
平行四边形的证明
平行四边形是由四条相互平行的线段组成的一种多边形，它的特性使它在几何中变得非常重要。
下面将对其进行证明。
根据定义，平行四边形是由四条相互平行的线段组成的，因此我们必须证明四个线段都是平行的。
要做到这一点，首先我们需要确定的是，四边形的每个顶点之间的距离都是相等的。
例如，如果ABCD是一个平行四边形，那么AB=BC=CD=DA。
接下来，我们要证明的是，四边形的每个边都是平行的。
为了做到这一点，首先我们需要证明的是，四边形的每个内角都是相等的。
例如，如果ABCD是一个平行四边形，那么∠A=∠B=∠C=∠D。
现在，我们来证明四条线段是平行的。
这可以通过反证法来证明。
即，假设AB不是平行的，那么AB和CD之间存在一个内角，记作θ。
根据上面的结论，
∠A=∠B=∠C=∠D，因此θ=∠A=∠B。
但是，根据三角形的外角定理，∠A+∠B+θ=180°，因此θ=180°-2*∠A。
由于∠A=∠B，所以θ=180°-2*∠A=180°-2*∠B，这和之前的结论θ=∠A=∠B矛盾，因此AB不可能不平行。
同样，我们可以用同样的方法证明BC、CD和DA都是平行的。
因此，我们已经证明了ABCD是一个平行四边形。
总之，平行四边形的证明包括以下几个步骤：首先证明四边形的每个顶点之间的距离都是相等的；然后证明四边形的每个内角都是相等的；最后利用反证法证明四条线段是平行的。
证明是平行四边形的方法
证明是平行四边形的方法
要证明一个四边形是平行四边形，可以通过以下几种方法：
1. 证明对边平行：如果四边形的对边都是平行的，那么它就是一个平行四边形。
可以使用向量、几何转化或相交线所成的对应角来证明对边平行。
2. 证明对角线等长和平分：如果四边形的对角线相等长并且平分彼此，那么它就是一个平行四边形。
可以使用距离公式和线段等长或直角来证明对角线等长和平分。
3. 证明对角线互相垂直：如果四边形的对角线互相垂直，那么它就是一个平行四边形。
可以使用向量、几何转化或角度的平分线来证明对角线互相垂直。
4. 证明边的比例：如果四边形的对边之间的长度比例相等，那么它就是一个平行四边形。
可以使用距离公式和线段比例来证明边的比例。
请注意，在进行证明时，需要使用较为严谨的逻辑推理和数学语言，并保证所使用的前提条件和定理的正确性。
平行四边形常用的证明方法
平行四边形常用的证明方法一利用平行四边形的相关定理证明1.(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形例题：已知在四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D．求证：四边形ABCD是平行四边形证明：∵∠A=∠C，∠B=∠D，又∵∠A+∠C+∠B+∠D=3600，∴∠A+∠B=∠C+∠D=1800，∴AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形例题：如图，□ABCD中，点E、F分别在边BC和AD上，且∠BAE=∠DCF．求证：四边形AECF是平行四边形证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，AB=CD，AD=BC,又∵∠BAE=∠DCF, ∴△BAE≌△DCF, ∴AE=CF,BE=DF, ∵AD=BC, ∴AF=EC, ∴四边形AECF是平行四边形（3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形例题：如图，在□ABCD中，点E、F分别在CD、AB的延长线上，且AE=AD，CF=CB．求证：四边形AFCE是平行四边形证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC=∠ABC，∠BAD=∠DCB，∴∠ADE=∠CBF,∴AE=AD,CF=CB,∴∠EAD=∠ADE,∠CBF=∠FCB，∵∠ADC=∠ABC，∴∠EAD=∠BCF，∴∠EAD+∠BAD=∠BCF+∠DCB，即∠EAF=∠ECF，∵∠EAD=∠BCF，∠EAD=∠ADE,∠CBF=∠FCB，∴∠EAD=∠ADE=∠CBF=∠FCB，∴∠E=∠F，∴四边形AFCE是平行四边形（4）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形例题：如图，□AECF的对角线交于点O，DB经过点O，分别与AE，CF交于B，D．求证：四边形ABCD是平行四边形证明：∵四边形AECF是平行四边形，∴AO=CO，∠FCA=∠CAE，∵∠DOC=∠AOB，∴△AOB≌△COD，∴DO=BO，∴四边形ABCD是平行四边形（5）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形例题：如图，□ABCD中，AM=（2／3）AB，CN=（2／3）CD．求证：四边形AMCN是平行四形证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∵AM=（2／3）AB，CN=（2／3）CD，∴AM∥CN，AM ＝CN，∴四边形AMCN是平行四形2.(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形例题：如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形，求证：四边形ADCE是矩形证明：∵AB=AC，D为BC中点，∴AD⊥BC，BD=DC，∵四边形ABDE是平行四边形，∴AE=BD，AE∥BD，∵A、D、C在一条直线上，∴AE=CD，AE∥CD，∴四边形ADCE是平行四边形，∵∠ADC=900，∴四边形ADCE是矩形(2)有三个角是直角的四边形是矩形例题：如图，BD，BE分别是∠ABC与它的邻补角∠ABP的平分线．AE⊥BE，AD⊥BD，E，D为垂足，求证：四边形AEBD是矩形证明：∵BD，BE分别是∠ABC与它的邻补角∠ABP的平分线，∴∠PBE=∠ABE=0.5∠ABP，∠ABD=∠DBC= 0.5∠ABC，∵∠ABP+∠ABC=900，∴∠ABE+∠ABD=∠PBE+∠DBC=0.5×1800，∴∠EBD=900，∵AE⊥BE，AD⊥BD，∴∠AEB=900，∠ADB=900，∴∠EBD=∠AEB=∠ADB=900，∴四边形AEBD是矩形,(3)对角线相等的平行四边形是矩形例题：如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△OAB是等边三角形，求证：四边形ABCD是矩形证明：∵△OAB是等边三角形，∴OA=OB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∴AO=OB=OC=OD，∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形3.(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形例题：如图，在△ABC中，AB＝BC，D、E、F分别为BC、AC、AB边的中点。
怎么证明平行四边形
怎么证明平行四边形证明：∵四边形ABCD为平行四边形;∴DC‖AB;∴∠EAF=∠DEA∵AE，CF，分别是∠DAB、∠BCD的平分线;∴∠DAE=∠EAF;∠ECF=∠BCF;∴∠EAF=∠CFB;∴AE‖CF;∵EC‖AF∴四边形AFCE是平行四边形1两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义)2两组对边分别相等的四边形是平行四边形3一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4对角线相互平分的'四边形是平行四边形5两组对角分别相等的四边形是平行四边形1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形2、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形4、对角线相互平分的四边形是平行四边形21.画个圆，里面画个矩形2.假设圆里面的是平行四边形3.由于对边平行，所以4个角相等4.平行四边四个角之和等于360，5.360除以4等于906.所以圆内平行四边形为矩形..3判定(前提：在同一平面内)(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;(2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形; (3)两组对边分别平行的四边形是平行四边形; (4)两条对角线相互平分的四边形是平行四边形 (5)两组对角分别相等的四边形为平行四边形 (注：仅以上五条为平行四边形的判定定理，并非全部真命题都为判定定理，盼望各位读者不要随便更改。
) (第五条对，假如对角相等，那么邻角之和的二倍等于360°，那么邻角之和等与180°，那么对边平行，(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)所以这个四边形是平行四边形) 编辑本段性质(矩形、菱形、正方形都是特别的平行四边形。
)(1)平行四边形对边平行且相等。
(2)平行四边形两条对角线相互平分。
(3)平行四边形的对角相等，两邻角互补。
(4)连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。
(推论) (5)平行四边形的面积等于底和高的积。
(可视为矩形) (6)过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。
证明平行四边形的方法
证明平行四边形的方法平行四边形是一种特殊的四边形，它具有两对对边平行且相等的性质。
在几何学中，我们经常需要证明一个四边形是平行四边形，下面将介绍几种常用的证明方法。
1. 利用对角线。
首先，我们可以利用平行四边形的对角线性质来证明。
对于一个四边形ABCD，如果它是平行四边形，那么对角线AC和BD会互相平分。
我们可以利用这一性质来进行证明。
首先，我们假设ABCD是一个平行四边形，然后通过对角线AC和BD的交点O来证明这一点。
我们可以利用三角形的性质来证明AO=OC，BO=OD，从而得出结论ABCD是平行四边形。
2. 利用边的性质。
其次，我们还可以利用平行四边形的边的性质来进行证明。
对于一个四边形ABCD，如果它是平行四边形，那么相邻的两条边是相等的。
我们可以利用这一性质来进行证明。
首先，我们假设ABCD是一个平行四边形，然后通过分析其边的性质来证明AB=CD，BC=AD，从而得出结论ABCD是平行四边形。
3. 利用角的性质。
最后，我们还可以利用平行四边形的角的性质来进行证明。
对于一个四边形ABCD，如果它是平行四边形，那么相邻的两个内角是补角。
我们可以利用这一性质来进行证明。
首先，我们假设ABCD是一个平行四边形，然后通过分析其角的性质来证明∠A+∠D=180°，∠B+∠C=180°，从而得出结论ABCD是平行四边形。
综上所述，我们可以利用对角线、边、角的性质来证明一个四边形是平行四边形。
在实际应用中，我们可以根据具体问题选择合适的证明方法来进行推导，从而得出结论。
通过掌握这些证明方法，我们可以更加灵活地运用几何知识，解决各种与平行四边形相关的问题。
平行四边形的性质与判定条件
平行四边形的性质与判定条件平行四边形是几何学中一种重要的四边形，它具有一些独特的性质和判定条件。
在本文中，我们将介绍平行四边形的定义，性质和判定条件，并通过实例进行说明。
一、平行四边形的定义平行四边形是指具有两组对边分别平行的四边形。
简单来说，就是四边形的两组相对边是平行的。
二、平行四边形的性质1. 对边性质：平行四边形的对边长度相等。
证明：设平行四边形ABCD的对边AB和CD平行，我们可以利用平行线的性质来证明其对边长度相等。
首先，我们连接AC和BD，并延长线段AD和BC相交于点E。
由于AB和CD平行，根据同位角的性质，我们可以得到∠AEC = ∠CED 和∠BED = ∠CEB。
又由于三角形AEC和BCD的对应边相等（共边AC和BC相等，BE = CE），以及共边CED，所以可以得出三角形AEC和BCD全等，即AE = BD。
同理，可以证明BC = AD。
因此，平行四边形的对边长度相等。
2. 对角性质：平行四边形的对角线互相平分，并且长度相等。
证明：仍设平行四边形ABCD的对边AB和CD平行，连接AC和BD。
利用同位角的性质，可以证明∠ACD = ∠BAC和∠CBD =∠CBA。
根据直角三角形的性质，我们可以得到AC平方 = AD平方 +CD平方和BC平方 = CD平方 + BD平方。
由于AD = BC（平行四边形的对边长度相等），所以AC平方 = BC平方 + CD平方。
同理，可以证明BD平方 = AC平方 + AB平方。
由于AC平方 = BD平方，所以AC = BD。
因此，平行四边形的对角线互相平分，并且长度相等。
3. 同位角性质：平行四边形的同位角相等。
证明：设平行四边形ABCD的对边AB和CD平行，我们可以利用同位角的性质来证明其同位角相等。
根据同位角的定义，对于平行线AB和CD，若用割线EF与它们相交于点E和F, 分别连接AE，BF，CE，DF，可以得出∠AED = ∠BFE和∠DEC = ∠CFD。
(完整版)平行四边形的性质及判定典型例题
平行四边形的性质及判定 （典型例题）1.平行四边形及其性质例1如图，O 是卜二・ABCD 对角线的交点.△ OBC 的周长为59, BD=38 , AC=24，贝卩AD= __ 若厶OBC 与厶OAB 的周长之差为 15，贝y AB=QABCD 的周长= _____ .AC ,可得BC ,再由平行四边形对边相等知 AD=BC ，由平行四 边形的对角线互相平分，可知△ OBC 与厶OAB 的周长之差就为BC 与AB 之差，可得AB ，进而可得」ABCD 的周长.解 EBCD 中0A 二= OB = OD = |E D （平行四边形的对角线互相平分）•••△ OBC 的周长=0B + 0C +EC分析: 根据平行四边形对角线互相平先 所OC =1=19 + 12 + BC=59••• BC=28—ABCD 中，•BC=AD(平行四边形对边相等)•AD=28△ OBC的周长-△ OAB的周长=(OB + OC + BC)-(OB + OA+AB)=BC-AB=15•AB=13•••二ABCD的周长=AB + BC + CD + AD=2(AB + BC)=2(13 + 28)=82说明：本题条件中的△ OBC占厶OAB的周长之差为15”，用符号语言表示出来后，便容易发现其实质，即BC与AB之差是15 .例2判断题(1) 两条对边平行的四边形叫做平行四边形. ()(2) 平行四边形的两角相等.()(3) 平行四边形的两条对角线相等.()(4) 平行四边形的两条对角线互相平分. ()(5) 两条平行线中，一条直线上任一点到另一条直线的垂线段叫做两条平行线的距离.()(6) 平行四边形的邻角互补.()分析：根据平行四边形的定义和性质判断.解：(1) 错两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”是两组对边，而不是两条对边.如图四边形ABCD，两条对边AD // BC .显然四边形ABCD 不是平行四边形．(2) 错平行四边形的性定理1，“平行四边形的对角相等．”对角是指四边形中设有公共边的两个角，也就是相对的两个角．(3) 错平行四边形的性质定理3，“平行四边形的对角线互相平分．”一般地不相等．(矩形的两条对角线相等)．(4) 对根据平行四边形的性质定理 3 可判断是正确的．(5) 错线段图形，而距离是指线段的长度，是正值正确的说法是：两条平行线中，一条直线上任一点到另一条直线的垂线段的长度叫做这两条平行线的距离．(6) 对由定义知道，平行四边形的对边平行，根据平行线的性质可知．平行四边形的邻角互补．例3 .如图1,在二ABCD中，E、F是AC上的两点.且AE=CF .求证：ED // BF .分析：欲址DE // BF，只需/ DEC二/ AFB,转证=/ ABF CDF, 因卜二，ABCD，则有AB丄CD，从而有/ BAC= / CDA .再由AF=CF 得AF=CE .满足了三角形全等的条件.证明：v AE=CFAE+EF二CF+EF••• AF=CE在二ABCD中AB // CD（平行四边形的对边平行）• / BAC= / DCA（两直线平行内错角相等）AB=CD（平行四边形的对边也相等）•••△ ABF刍乂 CDE（SAS）•••/ AFB= / DCE• ED // BF（内错角相等两直线平行）说明：解决平行四边形问题的基本思想是化为三角形问题不处理.例4如图已知在△ ABC中DE // BC // FG，若BD=AF、求证; DE + FG=BC .分析1:要证DE + FG=DC由于它们是平行线，由平行四边形定义和性质.考虑将DE平移列BC上为此，过E（或D）作EH // AB（或DM // AC）,得至U DE=BH、只需证HC=FG ,因AF=BD=EH , / CEH=/ A. / AGF = Z C所以△ AFG幻/ EHC .此方法称为截长法.分析2:过C点作CK // AB交DE的延长线于K，只需证FG=EK , 转证△ AFG CKE .过E作EH // AB交于Hv DE // BC•••四边形DBHE是平行四边形（平行四边形定义）••• DB=EHDE=BH（平行四边形对边也相等）又BD=AF• AF=EHv BC // FGAGF= / C（两直线平行同位角相等）同理 / A= / CEH• △ AFG EHC(AAS)••• FG=HC••• BC二BH+HC二DE二FG.过C作CK // AB交DE的延长线于K.v DE // BC•四边形DBCK是平行四边形（平行四边形定义）•CK=BD DK=BC（平行四边形对边相等）又BD=AF•AF=CKv CK // AB• / A= / ECK（两直线平行内错角相等）v BC // FG•••/ AGF二/ AED（两直线平行同位角相等）又/ CEK二/ AED（对顶角相等）•••/ AGF= / CEK•••△ AFG S' CKE（AAS）FG=EKDE+EK=BC• DE+FG=BC例 5 如图I—ABCD 中，/ ABC=3 /A，点 E 在CD 上,CE=1 , EF丄CD交CB延长线于F，若AD=1，求BF的长.u --- ---------- r分析：根据平行四边形对角相等，邻角互补，可得/ C= / F=45°进而由勾股定理求出CF ,再根据平行四边形对边相等，得BF的长.解：在二ABCD 中，AD // BC•••/ A +/ ABC=180 （两直线平行同旁内角互补）vZ ABC=3 / A•••/ A=45 ,Z ABC=135•••Z C= Z A=45 （平行四边形的对角相等）•EF 丄CD•Z F=45°（直角三角形两锐角互余）•EF=CE=1在RtAOEF中,CF = JCE之》EF金=（勾股定理）v AD=BC=1二BF = CF”EC = Q[例6如图1，‘ ■ ABCD中，对角线AC长为10cm , Z CAB=30 , AB长为6cm，求一ABCD的面积.解：过点C作CH丄AB，交AB的延长线于点H .(图2)vZ CAB=30-■.CH 二丄= 1 X10=52 2••• S—ABCD = AB-CH = 6X5=30(cm2)答：二ABCD的面积为30cm2 .说明：由于二=底＞高，题设中已知AB的长，须求出与底AB 相应的高，由于本题条件的制约，不便于求出过点D的高，故选择过点C 作高.例7如图，E、F分别在’・ABCD的边CD、BC上，且EF //求证：S△ ACE二S △ ABF分析：运用平行四形的性质，利用三角形全等，将其转化为等底同高的三角形.证明：将EF向两边延长分别交AD、AB的延长线于G、H.二ABCD DE // AB•••/ DEG= / BHF（两直线平行同位角相等）/ GDE= / DAB（同上）AD // BC•••/ DAB= / FBH（同上）:丄 GDE= / FBHv DE // BH , DB // EH•四边形BHED是平行四边形V DE二BH（平行四边形对边相等）GDE 刍乂 FBH（ASA）••• S△ GDE=S △ FBH（全等三角形面积相等）.GE=FH（全等三角形对应边相等）.S△ ACE=S △ AFH（等底同高的三角形面积相等）.S △ ADE = S △ ABF说明：平行四边形的面积等于它的底和高的积.即S二二a・ha .a 可以是平行四边形的任何一边，h必须是a边与其对边的距离.即对应的高，为了区别，可以把高记成ha，表明它所对应的底是a.例8如图，在二ABCD中，BE平分/ B交CD于点E, DF 平分/ D交AB于点F,求证BF=DE .分析EF二DE （目标）十BEDP 为口DF"d叫西3 ]1=Z 3 r Z 1=Z 2f t"S亠彩姑皤彩B口ABCD证明：T四边形ABCD是平行四边形二DE // FB，/ ABC= / ADC（平行四边形的对边也平行对角相等）•••/仁/ 3（两直线平行内错角相等）而Z]=^Z ADC,Z2=|ZABC•••/ 2= / 3• DF // BE（同位角相等两条直线平行）•四边形BEDF为平行四边形（平行四边形定义）• BF=DE .（平行四边形的对边相等）说明：此例也可通过△ ADF CBE来证明，但不如上面的方法简捷.例9如图，CD的Rt△ ABC斜边AB上的高，AE平分/ BAC 交CD于E, EF // AB，交BC于点F,求证CE=BF .分析作EG // BC,交AB于G,易得EG=BF .再由基本图, 可得EG=EC ,从而得出结论.过E点作EG // BC交AB于G点.v EF // AB••• EG=BFv CD为Rt△ ABC斜边AB上的高•/ BAC + / B=90°.Z BAC + / ACD = 90°•/ B= Z ACD•Z ACD=Z EGAv AE 平分Z BAC•Z 1= Z 2又AE=AE•△ AGE ACE(AAS)•CE=EG•CE=BF .说明：(1)在上述证法中，“平移”起着把条件集中的作用.(2)本题也可以设法平移AE .(连F点作FG // AE，交AB于G)例10如图，已知I —ABCD的周长为32cm , AB : BC=5 : 3, AE 丄BC 于E, AF 丄DC 于F，/ EAF=2 / C,求AE 和AF 的长.分析：从化简条件开始①由二ABCD的周长及两邻边的比，不难得到平行四边形的边长.口虹CD 的周长=321 fAB=10AB : BC-5 : 3 p |BC=6②/ EAF=2 / C告诉我们什么？AF i FC1 ZFAE^ZC=180°] oAE 1 EAF-2 Z C j討c=6°这样，立即可以看ADF、△ AEB都是有一个锐角为30°的直角三角形.于是有= = = 3再由勾股定理求出解：——ABCD的周长为32cm即AB+BC+CD+DA=32v AB=CD BC=DA（平行四边形的对边相等）/.AB + BC = - X32 = 16 2又AB : BC=5 : 35+3BC= —X3 = 65+3/ EAF+ / AFC+ / C+ / CEA=360 （四边形内角和等于360°v AE 丄BC / AEC=90AF 丄DC / AFC=90•••/ EAF+ / C=180/ EAF=2 / CT AB // CD(平行四边形的对边平行)•••/ ABE二/ C=60 (两直线平行同位角相等)同理/ ADF=60SRiAABE 中，ZBAE = 30* BE = |AB = 5£—■Al = ja =E^ = 5^3 (cm)在RtAADF中，ZDAF = 30° DF= ^AP = |B C=3■f-j d—iAF - 7A D3 -I>F a = M Ccm)说明：化简条件，化简结论，总之，题目中哪一部分最复杂就从化简那一部分开始，这是一种常用的解题策略，我们把这种解题策略称为：从最复杂的地方开始.它虽简单，却很有效.2 .平行四边形的判定例1填空题(1)如图1,四边形ABCD与四边形BEFC都是平行四边形，则四边形AEFD是—，理由是（2）如图2, D、E分别在△ ABC的边AB、AC上，DE=EF , AE=EC , DE // BC贝卩四边形ADCF是__,理由是__ ,四边形BCFD 是—，理由是—分析：判定一个四边形是平行四边形的方法较多，要从已知条件出发，具体问题具体分析：（1）根据平行四边形的性质可得AD平行且等于BC，BC平行且等于EF，从而得AD平行且等于EF，由判定定理4可得.（2）由AE=EC , DE=EF，由判定定理3可得四边形ADCF是平行四边形，从而得AD // CF即BD // CF，再由条件，可得四边形BCFD是平行四边形.解：（1）平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（2）平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，平行四边形，两组对边分别平行的四边形是平行四边形.说明：平行四边形的定义（两组对边分别平行的四边形叫做平行 四边形，既是平行四边形的一个性质，又是平行四边形的一个判定 方法.例 2 女口图，四边形 ABCD 中，AB=CD . / ADB 二 /CBD=90 .求 证：四边形ABCD 是平行四边形.分析：判定一个四边形是平行四边形，有三类五个判定方法, 这三类也是按边、角和对角线分类，具体的五个方法如下表：CIID 从对角钱看一（5 ）对角线互相平分 因此必须根据已知条件与图形结构特点，选择判定方法.证法一:v AB=CD . Z ADB= / CBD=90 , BD=DB .••• Rt △ ABD 坐 Rt △ CDB .「（ 1）两组对边分别平存C I ）从边看 —（2）两组对边分别相等_（3）-组对边平行且相尊 （1）从边看 （II ）从角看 （4）两组对角分别相等 的四边形绘平行四边形•••/ ABD= / CDB，/ A= / C.•/ ABD+ / CBD= / CDB+ / ADB即 / ABC= / CDA .•四边形ABCD 是平行四边形（两组对角分别相等的四边形是平行四边形）．证法二：vZ ADB= / CBD=90 , AB=CD、BD=DB .•Rt△ ABD 坐Rt△ CDB .•Z ABD=Z CDB．•AB //CD.（内错角相等两直线平行）•四边形ABCD 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．证法三：由证法一知，Rt △ ABD幻Rt △ CDB .••• DA=BC又T AB二CD•四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）说明：证明一个四边形是平行四边形，往往有多种证题思路，我们必须注意分析，通过比较，选择最简捷的证题思路.本题三种证法中，证法二与证法三比较简捷，本题还可用定义来证明.例3如图，‘「ABCD中，E、G、F、H分别是四条边上的点, 且AE=CF , BG=DH，求证：EF与GH互相平分.分析：只须证明EGFH为平行四边形.证明：连结EG 、GF、FH 、HE．T四边形ABCD是平行四边形•••/ A= / C, AD=CB .T BG=DH•AH=CG又AE=CF•△ AEH CFG（SAS）•HE=GF同理可得EG=FH•四边形EGFH 是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）•EF 与GH 互相平分（平行四边形的对角线互相平分）．说明：平行四边形的性质，判定的综合运用是解决有关线段和角问题基本方法．例4如图，二ABCD中，AE丄BD于E, CF丄BD于F.求证：四边形AECF是平行四边形.分析：由平行四边形的性质，可得△ ABE CDF••• AE= CF进而可得四边形AECF是平行四边形.证明：口ABCD中，AB屯CD（平行四边形的对边平行，对边相等）•/ ABD= / CDB（两直线平行内错角相等）AE 丄BD、CF 丄BD•AE // CF / AEB= / CFD=90•△ ABE CDF（AAS）•AE=CF•四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）说明：平行四边形的定义，既是平行四边形的一个性质，又是平行四边形的一个判定方法.例5如图，二ABCD中，E、F分别在AD、BC上，且AE=CF , AF、BE相交于G, CE、DF相交于H求证：EF与GH互相平分分析：欲证EF与GH互相平分，只需四边形EGFH为平行四边形，利用已知条件可知四边形AFCE、四边形EBFD都为平行四边形，所以可得AF // EC , BE // DF，从而四边形GEHF为平行四边形.证明：」ABCD中，AD丄BC（平行四边形对边平行且相等）v AE=CF /. DE=BFT四边形AFCE、四边形BFDE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平形四边形）二AF // CE , BE // DF（平行四边形对边平行）•••四边形EGFH是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）••• GH与EF互相平分（平行四边形的对角线互相平分）说明：平行四边形问题，并不都是以求证某一个四边形为平行四边形的形式出现的.往往更多的是求证线段的相等、角的相等、直线的平行、线段的互相平分等等.要灵活地根据题中已知条件，以及定义、定理等.先判定某一四边形为平行四边形，然后再应用平行四边形的性质加以证明.例6如图，已知—ABCD中，EF在BD上，且BE=DF ,点G、H 在AD、CB上，且有AG=CH , GH与BD交于点0,求证EG丄HF分析：证EF 、GH 互相平分二GEHF 为平行四边形.证明:连 BG 、DH 、GF 、EHT ABCD 为平行四边形.••• AD 垒 BC又 AG=HC• DG 丄 BH•四边形BGDH 为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）• HO = GO , DO=BO （平行四边形的对角线互相平分） 又 BE=DF•OE=OF•四边形GEHF为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）••• EG丄HF.（平行四边形的对边平行相等）说明：由于条件BE=DF涉及到对角线BD，所以考虑用对角线互相平分来证明例7如图，——ABCD中，AE丄BD于E, CF丄BD于F, G、H分别为AD、BC的中点，求证：EF和GH互相平分.分析：连结EH , HF、FG、GE，只须证明EHFG为平行四边证法一:连结EH , HF、FG、GEv AE丄BD , G是AD中点.-■.GE=C J D =^AD2/ GED二 / GDE同理可得HF =HB =^EC,Z HFE =Z HEFV四边形ABCD是平行四边形••• AD 岂BC,/ GDE= / HBF••• GE=HF，/ GED= / HFB•GE // HF•四边形GEHF为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）•EF和GH互相平分.（平行四边形对角线互相平分）证法二：容易证明厶ABE CDF• BE=DFT四边形ABCD为平行四边形••• AD 些BCT G、H分别为AD、BC的中点•DG 丄BH•四边形BHDG为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）•BD和GH互相平分（平行四边形对角线互相平分）•OG=OH , OB=OD又BE=DF•OE=OF•EF和GH互相平分.例8如图，已知线段a、b与/ a,求作：—ABCD ,使/ ABC二/ a, AB=a , BC=b ,分析：已知两边与夹角，可先确定△ ABC，根据判定定理2(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)，再确定点D，从而平行四边形可作出.作法:(1) 作/ EBF二/ a,⑵在BE、BF上分别截取BA=a , BC=b ,⑶分别为A、C为圆心，b, a为半径作弧，两弧交于点D, 二四边形ABCD为所求.*证明：由作法可知AB=CD = aBC=AD=b二四边形ABCD 为平行四边形(两组对边分别相等的四边形为平 行四边形)且/ ABC 二 / a, AB=a , BC=b- ABCD 为所求说明：常见的平行四边形作图有以下几种：(1) 已知两邻边(AB 、BC)和夹角(/ B).(2) 已知一边(BC)和两条对角线(AC , BD).(3) 已知一边(BC)和这条边与两条对角线的夹角 (如/ DBC ,Z ACB).⑷已知一边(CD)和一个内角(/ ABC)以及过这个角的顶点的一条对角线(BD ，且BD > CD)求作平行四边形(如图)完成这些作图的关键点，都在于先作出一个三角形，然后再完成平行四边形的作图，体现了把平行四边形的问题化归为三角形问题的思想方法.。
判定平行四边形的五种方法
判别平行四边形的基本方法如何判别一个四边形是平行四边形呢?下面举例予以说明.一、运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”判别例1 如图1,在平行四边形ABCD中,E、F 在对角线AC上,且AE=CF,试说明四边形DEBF 是平行四边形.分析:由于已知条件与对角线有关，故考虑运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”进行判别.为此,需连接BD.解：连接BD交AC于点O.因为四边形ABCD是平行四边形,所以AO=CO,BO=DO. 又AE=CF,所以AO-AE=CO-CF,即EO=FO.所以四边形DEBF是平行四边形.二、运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”判别例2 如图2，是由九根完全一样的小木棒搭成的图形，请你指出图中所有的平行四边形，图1AB C DEF并说明理由.分析:设每根木棒的长为1个单位长度，则图中各四边形的边长便可求得，故应考虑运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”进行判别.解：设每根木棒的长为1个单位长度，则AF=BC=1,AB=FC=1,所以四边形ABCF是平行四边形.同样可知四边形FCDE、四边形ACDF都是平行四四边形.因为AE=DB=2,AB=DE=1,所以四边形ABDE也是平行四边形.三、运用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判别例3 如图3，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF,DF=BE,DF∥BE，试说明四边形ABCD是平行四边形.分析: 题目给出的条件都不能直接判别四边形ABCD是平行四边形，但仔细观察可知，由已知条件可得△ADF≌△CBE，由此就可得到判图3别平行四边形所需的“一组对边平行且相等”的条件.解：因为DF∥BE，所以∠AFD=∠CEB.因为AE=CF,所以AE+EF=CF+EF，即AF=CE.又DF=BE,所以△ADF≌△CBE，所以AD=BC，∠DAF=∠BCE，所以AD∥BC.所以四边形ABCD是平行四边形.四、运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判别例 4 如图4，在平行四边形ABCD中，∠DAB、∠BCD的平分线分别交BC、AD边于点E、F，则四边形AECF是平行四边形吗？为什么？分析：由平行四边形的性质易得AF∥EC，又题目中给出的是有关角的条件，借助角的条件可得到平行线，故本题应考虑运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”进行判别.解：四边形AECF是平行四边形.AB CDEF图41 32理由：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AD ∥BC ，∠DAB=∠BCD ，所以AF ∥EC.又因为∠1=21∠DAB ，∠2=21∠BCD ，所以∠1=∠2.因为AD ∥BC ，所以∠2=∠3， 所以∠1=∠3，所以AE ∥CF.所以四边形AECF 是平行四边形.判定平行四边形的五种方法平行四边形的判定方法有：（1）证两组对边分别平行；（2）证两组对边分别相等；（3）证一组对边平行且相等；（4）证对角线互相平分；（5）证两组对角分别相等。
平行四边形的性质及其证明
平行四边形的性质及其证明平行四边形是一种特殊的四边形，其具有一些独特的性质。
本文将介绍平行四边形的性质，并给出相应的证明。
性质一：对边平行平行四边形的两组对边是平行的。
设平行四边形ABCD的对边AB与CD，以及对边BC与AD。
为了证明对边平行，可以利用平行线的性质来推导。
首先，连接AC和BD两条对角线。
根据平行四边形的定义，可以得出∠ABC = ∠CDA和∠ABD = ∠CDB。
由此，我们可以得出∠ABD + ∠CDA = 180°和∠ABC + ∠CDB = 180°。
再加上AC与BD是相交直线，根据内角和定理可知∠CDA + ∠CDB = 180°。
将以上两个等式相加，得到∠ABD + ∠ABC + ∠CDA + ∠CDB = 360°，即四个角的和为360°。
但是，由平行四边形的性质可知，∠ABD + ∠ABC= 180°，∠CDA + ∠CDB = 180°。
因此，∠ABD + ∠ABC + ∠CDA +∠CDB = 360°等式成立，推导得证。
性质二：对角线相等平行四边形的对角线相等。
设平行四边形ABCD的对角线AC和BD。
为了证明对角线相等，可以利用三角形的性质来推导。
根据前面的证明，∠ABC = ∠CDA和∠ABD = ∠CDB。
又因为平行四边形的对边平行，所以∠BAD = ∠CBA和∠CBD = ∠ADC。
根据AA相似性质，可以得出△ABC与△CDA相似，以及△ABD与△CDB相似。
根据相似三角形的性质，我们可以得出下面的比例关系：AB/CD = BC/AD和AD/BC = CD/AB。
这两个比例关系可以合并为AB × AD = BC × CD，说明对角线的乘积相等。
因此，平行四边形的对角线相等，证明完成。
性质三：对角线平分平行四边形的对角线互相平分。
设平行四边形ABCD的对角线AC和BD。
四边形性质及其证明教案
四边形性质及其证明教案一、引言四边形是几何学中常见的图形，具有一些独特的性质。
本教案将详细介绍四边形的性质以及如何进行相应的证明。
二、四边形的定义与分类1. 定义：四边形是由四条线段所围成的图形。
2. 四边形的分类：四边形可以分为平行四边形、矩形、菱形、正方形等几种常见类型。
三、平行四边形性质及其证明1. 性质一：相对边相等证明：假设ABCD是一个平行四边形，连接AC和BD的中点E和F。
根据平行线性质，可得AE=EC，BF=FD。
又根据线段的加法原理，可得AE+BF=EC+FD，化简得AE+BF=AB。
由此可证明相对边相等。
2. 性质二：相邻角互补证明：假设ABCD是一个平行四边形，连接AC和BD的中点E和F。
通过角求和定理可知∠AED+∠BFC=180°，化简得∠AED=180°-∠BFC。
由此可证明相邻角互补。
四、矩形性质及其证明1. 性质一：四个角都是直角证明：假设ABCD是一个矩形，连接AC和BD的中点E和F。
根据平行线性质可知∠AEB=∠FDB，又由平行线性质可得∠AEB+∠ABF=180°，化简得∠ABF=90°。
同理可证明其余三个角也为直角。
2. 性质二：对角线相等证明：假设ABCD是一个矩形，连接AC和BD的中点E和F。
由于AE=CE和BE=DE（平行线性质），再根据线段的加法原理，可得AE+BE=DE+CE，化简得AB=CD。
同理可证明对角线BD=AC。
五、菱形性质及其证明1. 性质一：所有边相等证明：假设ABCD是一个菱形，连接AC和BD的中点E和F。
根据平行线性质可知AE=CE和BE=DE。
再根据线段的加法原理可得AE+BE=CE+DE，化简得AB=BC=CD=DA。
由此可证明所有边相等。
2. 性质二：对角线互相垂直证明：假设ABCD是一个菱形，连接AC和BD的中点E和F。
根据平行线性质可知∠AED=∠BFC和∠BAE=∠DCF。
根据菱形性质可得AB=AC，BC=CD，由此可证明对角线互相垂直。
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四边形判定定理以及性质定理一、平行四边形：判定：（1）两组对边分别平行的四边形（2）两组对边分别相等的四边形（3）一组对边平行且相等的四边形（4）对角线互相平分的四边形（5）两组对角分别相等的四边形性质：两组对边分别平行对边相等对角相等两条对角线互相平分是中心对称图形对称中心是两条对角线的交点二、矩形：判定：（1）有一个内角是直角的平行四边形（2）有三个内角是直角的四边形（3）对角线相等的平行四边形性质：四个角都是直角两条对角线相等三、菱形：判定：（1）有一组邻边相等的平行四边形（2）四条边都相等的四边形（3）对角线互相垂直的平行四边形性质：四条边都相等对角线互相垂直每一条对角线平分一组对角四、正方形：判定：（1）有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形（2）有一组邻边相等的矩形（3）有一个内角是直角的菱形性质：四个角都是直角四条边都相等两条对角线相等，并且互相垂直每条对角线平分一组对角五、其他定理中位线定理：三角形两边中点连线平行于第三边，且等于第三边的一半斜边中线：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半六、平行四边形证明题1、如图，四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F。
（1）求证：BE=DF （2）若M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，判断四边形MENF的形状2、如图，□AECF的对角线相交于点O，DB经过点O，分别与AE、CF交于点B、D。
求证：四边形ABCD是平行四边形3、如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F。
（1）求证：△ABE≌△CDF（2）若AC与BD交于点O，求证：AO=CO4、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD。
求证：EF=AD5、如图，D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点O，且OA=OC，猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系，并加以证明6、如图，平行四边形ABCD中，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点。
求证：四边形MFNE是平行四边形7、在平行四边形ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE、DF。
求证：四边形BEDF是平行四边形8、如图，DB∥AC，且2DB=AC，E是AC的中点，求证：BC=DE9、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=24cm，BC=30cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止。
点Q自点C向B 以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截梯形为两个四边形。
问当P，Q同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形10、如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点，求证：AE与DF互相平分11、如图，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB、CD、AC、BD的中点，并且点E、F、G、H有在同一条直线上。
求证：EF和GH互相平分12、如图，平行四边形ABCD中，MN∥AC，试说明MQ=NPAQ D EBPCODBCA ENMO七、特殊平行四边形证明题13、如图，在平行四边形ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将△ABE 沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得△GFC （1）求证：BE=DG （2）若∠B=60°，证明当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形14、将平行四边形纸片ABCD 按如图方式折叠，使点C 与A 重合，点D 落到D ′ 处，折痕为EF 。
（1）求证：△ABE ≌△AD ′F （2）连接CF ，判断四边形AECF 是什么特殊四边形15、如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线MN 交AB 于点D ，交AC 于点O ，CE ∥AB 交MN 于E ，连结AE 、CD 。
求证：AD ＝CE16、如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 的中点，连结AD ，在AD 的延长线上取一点E ，连结BE ，CE 。
（1）求证：△ABE ≌△ACE （2）证明当AE 与AD 满足什么数量关系时，四边形ABEC 是菱形17、在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AB=5，AC=6．点D 作DE//AC 交BC 的延长线于点E 。
（1）求△BDE 的周长 （2）点P 为线段BC 上的点，连接PO 并延长交AD 于点Q 。
求证：BP=DQ18、如图，四边形ABCD 中，AB // CD ，AC 平分∠BAD ，CE//AD 交AB 于E 。
（1）求证：四边形AECD 是菱形； （2）若点E 是AB 的中点，试判断△ABC 的形状，并说明理由 A BCDEF D ′ ADGCBFEABCD EF EG ADFAC BDPQA D FCEGB 19、四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG 。
（1）求证：AE =CG （2）观察图形，猜想AE 与CG 之间的位置关系，并证明你的猜想20、如图，在正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，延长BC 到E ，使CE ＝CG ，连接BG 并延长交DE 于F 。
（1）求证：△BCG ≌△DCE （2）将△DCE 绕点D 顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD 是什么特殊四边形？并说明理由21、如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过A 点作BC 的平行线交CE 的延长线于点F ，且AF =BD ，连结BF 。
（1） 求证：BD =CD （2）如果AB =AC ，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论22、如图，四边形ABCD 是矩形，△PBC 和△QCD 都是等边三角形，且点P 在矩形上方，点Q 在矩形内。
求证：（1）∠PBA =∠PCQ =30°（2）P A =PQ23、如图，矩形ABCD 中，点E 是BC 上一点，AE ＝AD ，DF ⊥AE 于F ，连结DE ，求证：DF ＝DC综合证明题24、如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，将Rt △ABC 绕点C 顺时针方向旋转60°得到△DEC ，点E 在AC 上，再将Rt △ABC 沿着AB 所在直线翻转180°得到△ABF ，连接AD （1）求证：四边形AFCD 是菱形（2）连接BE 并延长交AD 于G 连接CG 请问：四边形ABCG 是什么特殊平行四边形1、解答：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB，∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，∴∠AEB=∠CFD=90°，∴△ABE≌△CDF（A．A．S．），∴BE=DF；（2）四边形MENF是平行四边形．证明：有（1）可知：BE=DF，∵四边形ABCD为平行四边行，∴AD∥BC，∴∠MDB=MBD，∵DM=BN，∴△DNF≌△BNE，∴NE=MF，∠MFD=∠NEB，∴∠MFE=∠NEF，∴MF∥NE，∴四边形MENF是平行四边形．2、解答：证明：∵四边形AECF是平行四边形∴OE=OF，OA=OC，AE∥CF，∴∠DFO=∠BEO，∠FDO=∠EBO，∴△FDO≌△EBO，∴OD=OB，∵OA=OC，∴四边形ABCD是平行四边形．3、解答：证明：（1）∵BF=DE，∴BF﹣EF=DE﹣EF，即BE=DE，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB=∠CFD=90°，∵AB=CD，∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）；（2）∵△ABE≌△CDF，∴∠ABE=∠CDF，∴AB∥CD，∵AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO．4、解答：证明：∵DE，DF是△ABC的中位线，∴DE∥AB，DF∥AC，∴四边形AEDF是平行四边形，又∵∠BAC=90°，∴平行四边形AEDF是矩形，∴EF=AD．5、解答：解：猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系是：平行且相等．证明：∵CE∥AB，∴∠DAO=∠ECO，∵OA=OC，∴△ADO≌△ECO，∴AD=CE，∴四边形ADCE是平行四边形，∴CD AE．6、解答：证明：由平行四边形可知，AD=CB，∠DAE=∠FCB，又∵AE=CF，∴△DAE≌△BCF，∴DE=BF，∠AED=∠CFB又∵M、N分别是DE、BF的中点，∴ME=NF又由AB∥DC，得∠AED=∠EDC∴∠EDC=∠BFC，∴ME∥NF∴四边形MFNE为平行四边形．7、解答：证明：连接AC交BD于点O，∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA=OC，OB=OD．∵BE=DF，∴OE=OF．∴四边形AECF为平行四边形．8、解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB，AD=CB，∠DAB=∠BCD．又∵△ADE和△CBF都是等边三角形，∴DE=BF，AE=CF．∠DAE=∠BCF=60°．9、解答：证明：∵E是AC的中点，∴EC=AC，又∵DB=AC，∴DB=EC．又∵DB∥EC，∴四边形DBCE是平行四边形．∴BC=DE．10、解答：解：设P，Q同时出发t秒后四边形PDCQ或四边形APQB是平行四边形，根据已知得到AP=t，PD=24﹣t，CQ=2t，BQ=30﹣2t．（1）若四边形PDCQ是平行四边形，则PD=CQ，∴24﹣t=2t∴t=8∴8秒后四边形PDCQ是平行四边形；（2）若四边形APQB是平行四边形，则AP=BQ，∴t=30﹣2t∴t=10∴10秒后四边形APQB是平行四边形11、解答：证明：∵D、E、F分别是△ABC各边的中点，根据中位线定理知：DE∥AC，DE=AF，EF∥AB，EF=AD，∴四边形ADEF为平行四边形．故AE与DF互相平分．12、解答：证明：∵▱ABCD中，对角线AC交BD于点O，∴OB=OD，又∵四边形AODE是平行四边形，∴AE∥OD且AE=OD，∴AE∥OB且AE=OB，∴四边形ABOE是平行四边形，同理可证，四边形DCOE也是平行四边形．13、解答：证明：连接EG、GF、FH、HE，点E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点．在△ABC中，EG=BC；在△DBC中，HF=BC，∴EG=HF．同理EH=GF．∴四边形EGFH为平行四边形．∴EF与GH互相平分．14、解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AM∥QC，AP∥NC．又∵MN∥AC，∴四边形AMQC为平行四边形，四边形APNC为平行四边形．∴AC=MQ AC=NP．∴MQ=NP．15、解答：证明：如答图所示，∵点O为平行四边形ABCD对角线AC，BD的交点，∴OA=OC，OB=OD．∵G，H分别为OA，OC的中点，∴OG=OA，OH=OC，∴OG=OH．又∵AB∥CD，∴∠1=∠2．在△OEB和△OFD中，∠1=∠2，OB=OD，∠3=∠4，∴△OEB≌△OFD，∴OE=OF．∴四边形EHFG为平行四边形．16、解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，17、∴AB=CD，AB∥CD，∴∠GBE=∠HDF．∴GE∥HF，∴四边形GEHF是平行四边形．（2）解：仍成立．（证法同上）17、解答：（1）证明：∵AF∥EC，∴∠DFA=∠DEC，∠DAF=∠DCE，∵D是AC的中点，∴DA=DC，∴△DAF≌△DCE，∴AF=CE；（2）解：四边形AFCE是正方形．理由如下：∵AF∥EC，AF=CE，∴四边形AFCE是平行四边形，又∵AC=EF，∴平行四边形AFCE是矩形，∴∠FCE=∠CFA=90°，而∠ACB=135°，∴∠FCA=135°﹣90°=45°，∴∠FAC=45°，∴FC=FA，∴矩形AFCE是正方形．18、解答：（1）证明：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，且AB=CD，又∵AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AB=DE，∴CD=DE，即D是EC的中点；（2）解：连接EF，∵EF⊥BF，∴△EFC是直角三角形，又∵D是EC的中点，∴DF=CD=DE=2，在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∵∠ABC=60°，∴∠ECF=∠ABC=60°，∴△CDF是等边三角形，∴FC=DF=2．故答案为：2．19、解答：证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∵∠EFB=60°，∴∠ABC=∠EFB，∴EF∥DC（内错角相等，两直线平行），∵DC=EF，∴四边形EFCD是平行四边形；（2）连接BE∵BF=EF，∠EFB=60°，∴△EFB是等边三角形，∴EB=EF，∠EBF=60°∵DC=EF，∴EB=DC，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，AB=AC，∴∠EBF=∠ACB，∴△AEB≌△ADC，∴AE=AD．20、解答：解：（1）如图，四边形EFGH是平行四边形．连接AC，∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF∥AC，EF=AC同理HG∥AC，∴EF∥HG，EF=HG∴EFGH是平行四边形；（2）四边形ABCD的对角线垂直且相等．∵假若四边形EFGH为正方形，∴它的每一组邻边互相垂直且相等，∴根据中位线定理得到四边形ABCD的对角线应该互相垂直且相等．21、解答：（1）证明：∵△ABE、△BCF为等边三角形，∴AB=BE=AE，BC=CF=FB，∠ABE=∠CBF=60°．∴∠CBA=∠FBE．∴△ABC≌△EBF．∴EF=AC．又∵△ADC为等边三角形，∴CD=AD=AC．∴EF=AD．同理可得AE=DF．∴四边形AEFD是平行四边形．（2）解：构成的图形有两类，一类是菱形，一类是线段．当图形为菱形时，∠BAC≠60°（或A与F不重合、△ABC不为正三角形）当图形为线段时，∠BAC=60°（或A与F重合、△ABC为正三角形）．22、解答：解：四边形AFED是平行四边形．证明如下：在△BED与△BCA中，BE=BC，BD=BA（均为同一等边三角形的边）∠DBE=∠ABC=60°﹣∠EBA∴△BED≌△BCA（SAS）∴DE=AC又∵AC=AF∴DE=AF在△CBA与△CEF中，CB=CE，CA=CF∠ACB=∠FCE=60°+∠ACE∴△CBA≌△CEF（SAS）∴BA=EF又∵BA=DA，∴DA=EF故四边形AFED为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．23、解答：解：图2结论：PD+PE+PF=AB．证明：过点P作MN∥BC分别交AB，AC于M，N两点，由题意得PE+PF=AM．∵四边形BDPM是平行四边形，∴MB=PD．∴PD+PE+PF=MB+AM=AB，即PD+PE+PF=AB．图3结论：PE+PF﹣PD=AB．24、解答：解：（1）DE∥BC，DE=BC，DE⊥AC．（2）如图4，如图5．（3）方法一：如图6，连接BE，∵PM=ME，AM=MB，∠PMA=∠EMB，∴△PMA≌△EMB．∵PA=BE，∠MPA=∠MEB，∴PA∥BE．∵平行四边形PADC，∴PA∥DC，PA=DC．∴BE∥DC，BE=DC，∴四边形DEBC是平行四边形．∴DE∥BC，DE=BC．∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC，∴DE⊥AC．方法二：如图7，连接BE，PB，AE，∵PM=ME，AM=MB，∴四边形PAEB是平行四边形．∴PA∥BE，PA=BE，余下部分同方法一：方法三：如图8，连接PD，交AC于N，连接MN，∵平行四边形PADC，∴AN=NC，PN=ND．∵AM=BM，AN=NC，∴MN∥BC，MN=BC．又∵PN=ND，PM=ME，∴MN∥DE，MN=DE．∴DE∥BC，DE=BC．∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC．∴DE⊥AC．（4）如图9，DE∥BC，DE=BC．25、解答：解：（1）无数；（2）作图的时候要首先找到对角线的交点，只要过对角线的交点，任画一条直线即可．如图有：AE=BE=DF=CF，AM=CN．（3）这两条直线过平行四边形的对称中心（或对角线的交点）．26、解答：解：（1）过点A作AM⊥CD于M，根据勾股定理，AD=10，AM=BC=8，∴DM==6，∴CD=16；（2）当四边形PBQD为平行四边形时，点P在AB上，点Q在DC上，如图，由题知：BP=10﹣3t，DQ=2t∴10﹣3t=2t，解得t=2此时，BP=DQ=4，CQ=12∴∴四边形PBQD的周长=2（BP+BQ）=；（3）①当点P在线段AB上时，即时，如图∴．②当点P在线段BC上时，即时，如图BP=3t﹣10，CQ=16﹣2t∴化简得：3t2﹣34t+100=0，△=﹣44＜0，所以方程无实数解．若点P在Q的右侧，即6≤t≤，则有PQ=34﹣5t，＜6，舍去若点P在Q的左侧，即，则有PQ=5t﹣34，，t=7.8．综合得，满足条件的t存在，其值分别为，t2=7.8．27、解答：解：当BC∥OA，BC=OA时，C和B的纵坐标相等，若选择AB为对角线，则C1（3，1）；若选择OB为对角线，则C2（﹣1，1）；当AB∥OC，AB=OC时，选择OA为对角线，则C3（1，﹣1）．故第四个顶点坐标是：C1（3，1），C2（﹣1，1），C3（1，﹣1）．28、解答：解：设AB=x，则BC=18﹣x，由AB•DE=BC•DFF得：，解之x=10，所以平行四边形ABCD的面积为．29、解答：解：（1）由B、C的坐标可知，AD=BC=4，则可得点D的横坐标为1，点D的纵坐标与点A的纵坐标相等，为，可得点D 的坐标为（1，）．（2）依题意得A1、B1、C1、D1的坐标分别为A（﹣3+，0），B（﹣2+，2）C（2+，2），D（1+，0）．（3）如图，平行四边形ABCD与四边形A1B1C1D1重叠部分的面积为平行四边形DEFG的面积，由题意可得GD=AD﹣AG=4﹣，平行四边形DEFG的高为2﹣=，∴重叠部分的面积为（4﹣）•=4﹣2．30、解答：证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠DAF=∠F，又AF平分∠BAD，∴∠DAF=∠BAF，∴∠BAF=∠F，∴AB=BF，又AF平分∠BAD，DE⊥AF，∴∠AOD=∠ADO，又∠BOE=∠AOD=∠EDC，∠ADO=∠E，∴∠EDC=∠E，∴CE=CD，又AB=CD，∴BE=CF．。