工程力学-组合变形
工程力学第十一章 组合变形
土建工程中的混凝土或砖、石偏心受压柱，往往不 允许横截面上出现拉应力。这就是要求偏心压力只能作 用在横截面形心附近的截面核心内。
要使偏心压力作用下杆件横截面上不出现拉应力， 那么中性轴就不能与横截面相交，一般情况下充其量只能 与横截面的周边相切，而在截面的凹入部分则是与周边外 接。截面核心的边界正是利用中性轴与周边相切和外接时 偏心压力作用点的位置来确定的。
解：拉扭组合:
7kNm T
50kN FN
安全
例11-8 直径为d的实心圆轴，
·B
P 若m=Pd，指出危险点的位置， 并写出相当应力 。
x
m
解：偏拉与扭转组合
z
C P P 例11-9 图示折角CAB，ABC段直径
d=60mm，L=90mm，P=6kN，[σ]＝
BA
60MPa，试用第三强度理论校核轴 x AB的强度。
例11-6 图示圆轴.已知,F=8kN,Me=3kNm,［σ］=100MPa, 试用第三强度理论求轴的最小直径.
解：(1) 内力分析
4kNm M
3kNm T
(2)应力分析
例11-7 直径为d=0.1m的圆杆受力如图，T=7kNm，P=50kN， []=100MPa，试按第三强度理论校核此杆的强度。
至于发生弯曲与压缩组合变形的杆件，轴向压力 引起的附加弯矩与横向力产生的弯矩为同向，故只有 杆的弯曲刚度相当大（大刚度杆）且在线弹性范围内 工作时才可应用叠加原理。
A M
F FN
+ ql2/8
+
B
+
=
C 10kN
A 1.6m
1.6m
10kN
1.2m
例11-3 两根无缝钢管焊接 而成的折杆。钢管外径 D=140mm，壁厚t=10mm。求 危险截面上的最大拉应力和 B 最大压应力。
12-2 工程力学-组合变形的强度计算
故，安全。
3 2 4 2
6.37 2 435.7 2 71.7 MPa
[例7] 方形截面杆的横截面面积在 mn 处减少一半，试求由 轴向载荷 P 引起的 mn 截面上的最大拉应力。
解：
N M m ax A W
a2 a a a2 P P/ P / 8 2 2 4 4 6 a
§12–3
拉(压)弯组合 偏心拉（压）
一、拉(压)弯组合变形：杆件同时受横向力和轴向力的作用而产
生的变形。
P P R
x z
P
x y z Mz
P
My
y My
二、应力分析： x z Mz P
P
MZ
My
y My
P xP A
Mzy xM z Iz
xM
y
Myz Iy
P Mz y Myz x A Iz Iy
max
F1 M max A Wz F1 F e A Wz
m
m
4）强度计算 因危险点的应力是单向应力 状态，所以其强度条件为：
F1 F e max 135MPa [ ] A Wz
例11-11 如图所示为一起重支架。已知a =3.0m， b=1.0m，F=36.0kN，AB梁材料的许用应力[ ]=140 MPa。试确定AB梁槽钢的型号。
拉压与弯曲组合变形的分析步骤
(1)、外力分析：
y
x
y P1
y
y P
x
=
P1
x
+
x P2
P2
P
P1 P cos
P2 P sin
(2)、内力分析：
工程力学第15章组合变形
32(1.0103)20.75(1.0103)2
M 20.010.21kNm 3 160106
max
2 2 r4M2W0.75T232M2d30.75T2
d3
32
M2 0.75T2
由内力图及强度公式可判断危险截面在E 处 ⑶ 确定AB 轴的直径 所以AB 轴的直径d = 44mm 。
例：图所示齿轮传动轴，用钢制成。在齿轮1 上作用有径
tmax
Mymax Wy
Mzmax Wz
F2l bh2 /
6
2F1l hb2 /6
90118605201109/618029082001019/6 cmax(MWymyaxMWzmzax)9.98MPa
例：图所示一矩形截面悬臂梁，截面宽度b = 90mm ，高度h = 180mm ， 两在两个不同的截面处分别承受水平力F1和铅垂力F2。已知F1 = 800N ， F2 = 1650N ，l = 1m ，求梁内的最大正应力并指出其作用位置。
FN
N
FN A
F S y F S z （对实心截面引起切应力很小，忽略）
M y Mz
M
My Iy
z
Mz Iz
y
T
T
IP
1
1(
2
242)
3
1(
2
242)
强度条件
弯扭组合受力的圆轴一般由塑性材料制成，采用第三或第四强度理论建立强 度条件。分析危险截面A A
3
T 410 A W
20MPa 20103 (10103)2(8103)2
6
W 20010 85104 100106
P
强度校核 由内力图及强度公式可判断危险截面距B 端2m 处， 计算危险点在横截面的应力值 所以AB 段强度满足要求。
组合变形(工程力学课件)
偏心压缩（拉伸）
轴向拉伸（压缩）
偏心压缩
F2 F2e
轴向压缩（拉伸）和 弯曲两种基本变形组合
偏心压缩（拉伸）
单向偏心压缩（拉伸）
双向偏心压缩（拉伸）
单向偏心压缩（拉伸）
外力
内力
平移定理
应力
+
=
弯矩
轴力
max
min
FN A
Mz Wz
【例 1】求横截面上的最大正应力
F 50 kN
e 10 mm
组合变形的概念 及其分析方法
杆件的四种基本变形
轴向拉压 剪切 扭转
F
F
F
F
Me
Me
沿轴线的伸长或缩短 相邻横截面相对错动 横截面绕轴线发生相对转动
Me
弯曲
Me
F
轴线由直线变为曲线 横截面发生相对的转动
两种或两种以上基本变形的组合，称为组合变形
常见的 组合变形
（1）拉（压）弯组合 （2）斜弯曲（弯、弯组合） （3）偏心压缩（拉伸） （4）弯扭组合
24 106 401.88 103
64
4.3 59.7 64 [ ] 满足强度要求
59.7 55.4
斜弯曲
平面弯曲
作用线与截面的 纵向对称轴重合
梁弯曲后挠曲线位于外力F所在的纵向对称平面内
斜弯曲
作用线不与截面 的对称轴重合
梁弯曲后挠曲线不再位于外力F所在的纵向平面内
图示矩形截面梁，应用叠加原理对其进行分析计算：
3、应力分析
( z,y)
横截面上任意一点 （ z, y） 处 的正应力计算公式为
Mz
z
O
x
1.拉伸正应力
N
工程力学组合变形
内力图如图所示，危险截面为D截面， 其内力为：FN=-5kN，M=2.5kN.m
3) 应力分析：
FC
C
FAy FAx 30
A
L
D
L
B
F=10kN
FN
-
8.66kN
2.5kN.m
M
+
D截面旳上边沿点为危险点，为最大压应力。
矩形截面梁 宽b=40mm 高h=60mm
[]=120MPa
FC
P
R
Ｍ
二、组合变形工程实例
P
q
h
水坝
H
压弯组合变形:同步发生轴向压缩与弯曲
G1 D 烟囱
h
拉弯组合变形:同步发生轴向拉伸与弯曲
弯扭组合变形:同步发生弯曲与扭转 辘轳从深井中提水
P
P
三、组合变形旳研究措施 —— 叠加原理
对于组合变形下旳构件，在线弹性范围内、小变形 条件下，可先将荷载简化为符合基本变形外力作用条件 旳外力系，分别计算构件在每一种基本变形下旳内力、 应力或变形。然后利用叠加原理，综合考虑各基本变形 旳组合情况，以拟定构件旳危险截面、危险点旳位置及 危险点旳应力状态，并据此进行强度计算。
max
FN A
M ≤ [ ]
W
max
FN M ≤ [ ]
AW
式中FN和M是指危险截 面旳轴力和弯矩，轴力拉为 正，压为负，弯矩则用绝对 值代入。
提议：进行危险点旳应力分 析时，绘出应力分布图！
对拉压（弯）组合变形杆件进行应力分析时，一般忽视了弯曲剪应 力，所以横截面上只有正应力，各点处于单向应力状态。
1. External force analysis and determine basic deformation 外力分析，拟定基本变形
工程力学-组合变形
s
强度条件为 nb
n
塑性材料 脆性材料
(2) 概述复杂应力状态下的强度计算：
组合变形的构件内危险点多为二向或三向应力状态。
难以用实验测定各种应力状态而建立强度条件，常常依 据部分实验结果提出假设，推测材料失效的原因，从而 建立强度理论。
5
§14.2 强度理论概论
强度理论 (theory of strength)
(1) 两种失效现象：屈服和断裂
各种材料的强度不足引起的失效现象不同，表现为屈服 和断裂两类。
(2) 衡量变形的程度：
衡量构件受力变形程度的量有应力、应变、能量等。
(3) 强度理论：
根据材料破坏现象和大量的实验资料，人们对强度的失 效提出了各种假说，称为强度理论。
不同的强度理论认为，材料按某种方式（屈服或断裂）
在二向应力状态下， 为两个非零主应力，
则在 为坐标的平面坐标系中， 当 同号时，失效准则为
当 异号时，失效准则为
28
故任意情况下失效准则在 所示。
平面中为六角形，如图
若某一平面应力状态其两个非零主应力
所在的点 M ，落在六来自形区域之内，则该应力状态不会引起屈服。
若点 M 落在六角形边界上，则该应力状态会引起材料 屈服。
本章主要内容：
(1) 介绍几种常见的强度理论； (2) 讨论工程中常见的斜弯曲、拉（压）弯、偏心拉
（压）、弯扭等组合变形形式的强度计算。
2
第14章 组合变形 (combined deformation)
§14.1 组合变形的概念与分析方法
四种基本变形
拉伸（压缩）、剪切、扭转、弯曲。
组合变形 (combined deformation)
工程力学-组合变形课程课件
离中性轴最远的点，这就是危险点。
令 y0 , z0 代表中性轴上任一点的坐标，
即得中性轴方程
中性轴
z
1 ez z ey y 0
O
Iy
Iz
中性轴在 y , z 两轴上的截距为 D2
ay
D1
az y
ay
iz2 ey
az
iy2 ez
工程力学
第12章 组合变形
例12.6 螺旋夹紧装置如图所示，已知 F 2kN ，
800
D
C
A
2500
B
1500
F
工程力学
第12章 组合变形
1、先计算出CD 的杆长
800
D
C
A
2500
1500
FCD
FAx A
FCDx
FAy
FCDy
l 25002 8002 2620mm 2.62m
2、取AB为研究对象，画受力简图
B
MA 0
F
FCD
2.5 2.5 2.62
F
(2.5 1.5)
中性轴与y 轴的夹角q 为
tanq z0 I y M z I y tan
y0 I z M y I z
式中， 为合弯矩与轴的夹角。
Iz Iy Iz Iy
q q
斜弯曲 平面弯曲
工程力学
中性轴将横截面分为两部分，一部分受 拉应力，一部分受压应力。作平行于中 性轴的两直线，分别与横截面的周边相 切，这两个切点D1，D2就是该截面上拉应 力和压应力为最大的点。将危险点的坐 标代入（12.1）式，即可求得横截面上的 最大拉应力和最大压应力。危险点的应 力状态为单向应力状态或近似当作单向 应力状态，故其强度条件为
工程力学-第8章组合变形
斜弯曲也称为双向平面弯曲。 一、强度计算：
外力分解： Py Pcos
内力计算： Pz Psin
MzPyxPcosxMco;s MyPzxPsinxMsin;
应力计算：
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最大应力：
ma x M Izzym ax M Iyyzma x M W zzM Iyy;
强度条件：
m axM Wzz
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二、计算： 以挡土墙为例。
自重作用使任意截面产生轴向
压力N(x)；对应各点产生压应力：
N(x);
N
A
土压力作用使截面产生弯矩
M(x)；对应点产生正应力：
M(x)y;
M
Iz
X截面任意点应力：
k
N(x)M(x)y;
A
Iz
ma x N(x)M(x);
min
A
W z
挡土墙底部截面轴力和弯矩最大，
返. 回 下一张 上一张 小结
3. 常见组合变形的类型 ： （1） 斜弯曲 （2） 拉伸（压缩）与弯曲组合 （3） 偏心拉伸（压缩） （4） 弯扭组合
二、计算方法 ： 组合变形若忽略变形过程中各基本变形间的互相影
响，则可依据叠加原理计算。
1. 叠加原理 ：弹性范围小变形情况下，各荷载分别单独 作用所产生的应力、变形等互不影响，可叠加计算。
设计 W z ： M [m ]a x12c0 m 3;
查表 1号 6选工字 W z 钢 14 c， 1 m 3,A2,6 1 cm 2;
校核 m a | xN A ： M W m z | a1 x .4 0 M 0 1 P 0 0 0 a [] 5;
因此，可选16号工字钢。
工程力学组合变形
取=0 ，以y0、z0代表中性轴上任一点的坐标，则可得中性轴方程
y
O
z
中性轴
*
可见，在偏心拉伸(压缩)情况下，中性轴是一条不通过截面形心的直线。
求出中性轴在y、z两轴上的截距
对于周边无棱角的截面，可作两条与中性轴平行的直线与横截面的周边相切，两切点D1、D2，即为横截面上最大拉应力和最大压应力所在的危险点。相应的应力即为最大拉应力和最大压应力的值。
添加标题
01
弯矩Mz=Mez 引起的正应力
添加标题
03
A为横截面面积；Iy、Iz分别为横截面对y轴、z轴的惯性矩。
添加标题
05
弯矩My=Mey 引起的正应力
添加标题
02
按叠加法，得C点的正应力
添加标题
04
在任一横截面n-n上任一点 C(y,z) 处的正应力分别为
添加标题
06
*
利用惯性矩与惯性半径间的关系
*
*
危险点：m-m截面上
角点 B 有最大拉应力，D 有最大压应力； E、F点的正应力为零，EF线即是中性轴。 可见B、D点就是危险点，离中性轴最远
中性轴：正应力为零处，即求得中性轴方程
强度条件：B、D角点处的切应力为零，按单向应力状态来建立强度条件。设材料的抗拉和抗压强度相同，则斜弯曲时的强度条件为
边长为h和b的矩形截面，y、z两对称轴为截面的形心主惯性轴。
得
若中性轴与AB 边重合，则中兴轴在坐标轴上的截距分别为
b
6
6
h
C
z
y
b
h
B
A
D
h
6
6
b
工程力学 第11章组合变形
第三节
偏心压缩
三.截面核心的概念 ——若外力作用在截面形心附近的某一个区域，使 得杆件整个截面上全为压应力而无拉应力，这个 外力作用的区域称为截面核心。
第三节
偏心压缩
例2. 起重机支架的轴线通过基础的中心。 起重机自重180kN，其作用线通过基础 底面QZ轴，且有偏心距e=0.6m.已知基 础混凝土的容重等于22kN/m3，若矩形 基础的短边长3m。 试计算：（1）其长边的尺寸为 多少时使基础底面不产生拉应力？ （2）在所选的值之下，基础底面上的 最大压应力为多少？
Mzy M cosy Iz Iz
Myz Iy
M sin z Iy
（4）应力叠加——危险点应力
Mz y Myz cos sin M ( y z) IZ Iy IZ Iy
第二节
危险点的应力为：
max
斜弯曲
工程力学
第十一章 组合变形
主要内容
第一节 组合变形的概念 第二节 斜弯曲 第三节 偏心压缩
第一节
组合变形的概念
牛腿柱
第一节
组合变形的概念
F F F
试分析受压立柱的变形形式
压缩-弯曲变形
压缩变形
压缩-弯曲变形
第一节
组合变形的概念
一.组合变形的概念 1.组合变形——由两种或两种以上的基本变形组合 而成的变形称为组合变形 。 2.组合变形杆件的强度计算方法——叠加原理。 二.叠加原理解题步骤： （1）分解：将作用于组合变形杆件上的外力分解或简化 为基本变形的受力方式； （2）叠加：对各基本变形进行应力计算后，将各基本变形 同一点处的应力进行叠加，以确定组合变形时各点的应力； （3）强度条件：分析确定危险点的应力，建立强度条件。
工程力学-组合变形汇总
⼯程⼒学-组合变形汇总10 组合变形1、斜弯曲，弯扭，拉（压）弯，偏⼼拉伸（压缩）等组合变形的概念；2、危险截⾯和危险点的确定,中性轴的确定；如双向偏⼼拉伸, 中性轴⽅程为3、危险点的应⼒计算，强度计算，变形计算、。
4、截⾯核⼼。
10.1、定性分析图10.1 ⽰结构中各构件将发⽣哪些基本变形图 10.1[解]（a ）AD 杆时压缩、弯曲组合变形，BC 杆是压缩、弯曲组合变形；AC 杆不发⽣变形。
（b ）AB 杆是压弯组合变形，BC 杆是弯曲变形。
（c ）AB 是压缩弯曲组合变形，BC 是压弯组合变形。
（d ）CD 是弯曲变形，BD 发⽣压缩变形，AB 发⽣弯伸变形，BC 发⽣拉弯组合变形。
10.2 分析图10.2中各杆的受⼒和变形情况。
解题范例图 10.2[解] (a)⼒可分解成⽔平和竖直⽅向的分⼒,为压弯变形。
(b)所受外⼒偶矩作⽤,产⽣弯曲变形。
(c)该杆受竖向集中荷载,产⽣弯曲变形.(d)该杆受⽔平集中荷载,偏⼼受压,产⽣压缩和弯曲变形。
(e)AB段:受弯,弯曲变形，BC段:弯曲。
(f)AB段:受弯,弯曲变形，BC段:压弯组合。
(g)AB段:斜弯曲，BC段:弯纽扭合。
10.3分析图10.3 ⽰构件中 (AB、BC和CD) 各段将发⽣哪些变形?图10.3[解] AB 段发⽣弯曲变形，BC 段发⽣弯曲、扭转变形；CD 段发⽣拉伸、双向弯曲变形。
10.4⼀悬臂滑车架如图 10.4 所⽰，杆AB 为18号⼯字钢（截⾯⾯积30.6cm 2，Wz=185cm 3），其长度为l =2.6m 。
试求当荷载F=25kN 作⽤在AB 的中点处时，杆内的最⼤正应⼒。
设⼯字钢的⾃重可略去不计。
图 10.4[解] 取AB 为研究对象，对A 点取矩可得NBCY F 12.5kN = 则 3225==NBCX NAB F F 分别作出AB 的轴⼒图和弯矩图:kN3225kN.mNBCX轴⼒作⽤时截⾯正应⼒均匀分布，AF N=σ（压）弯矩作⽤时截⾯正应⼒三⾓形分布，WzM=σ（下拉上压）可知D 截⾯处上边缘压应⼒最⼤,叠加可得最⼤正应⼒94.9MPa （压10.5如图 10.5 所⽰,截⾯为 16a 号槽钢的简⽀梁,跨长 L=4.2m, 受集度为 q 的均布荷载作⽤ ,q=2KN/m 。
工程力学力 08章组合变形-1
中性轴
Z y
z y
Z y
斜弯曲
3.横截面为园形或椭圆形（无棱角），则先合成弯矩后计算应力： 先用双箭头矢量表示绕两个轴的弯矩，然后按照矢量合成法则
确定合弯矩，然后确定最大拉、压正应力点，根据材料进行强
度校核。
例题：结构如图，在端部Py过形心且与沿y轴方向，在中部Pz过形 心且与沿z轴方向。尺寸如图。 求此梁的最大应力。
max
N Mz (拉，在最上沿的各点) A Wz
或者
偏心拉伸时，中性轴不再过截面形 心，甚至没有中性轴。
或者
max
N Mz (拉，在最上沿的各点) A Wz
强度条件：
注意：偏心拉伸时，无论什么材料，只有一个危险点即：最大 拉应力点。
基本工作： ①安全校核 ②பைடு நூலகம்面设计 ③确定承载力
•根据截面应力的分布规律，可以找到危险点，然 后进行强度校核。
2.两种组合变形应力计算：
•拉压与弯曲—在危险点处：
（弯曲应力） （拉、压应力）
•偏心拉压—在危险点处：
(拉、压应力) ( y向弯曲应力) ( z向弯曲应力)
3.斜弯曲变形的应力处理方法： （1）矩形或工字形截面：
x
Pz z y L H Py
解：对于园截面杆，在危险截面的形心处，分解出与基本变形对
应的载荷，将绕Y轴和Z轴的弯矩My、Mz用双箭头矢量表示， 然后按照矢量合成的方法，计算出合弯矩M，根据弯曲应力的 分布规律，可以找到危险点。 Mz=PyL
M
My=PzH
x
2 M y M z2
最大拉应力σT
（假设：各个基本变形互不影响）
③叠加。
第十二章 工程力学之组合变形
二、叠加原理 杆在组合变形下的应力和变形分析，一般可利用叠加原理。
叠加原理： 实践证明，在小变形和材料服从虎克定律的前提下， 杆在几个载荷共同作用下所产生的应力和变形，等于每个载荷 单独作用下所产生的应力和变形的总和。 当杆在外力作用下发生几种基本变形时，只要将载荷简化为一 系列发生基本变形的相当载荷，分别计算杆在各个基本变形下 所产生的应力和变形，然后进行叠加，就得到杆在组合变形下 的应力和变形。 另外，在组合变形情况下，一般不考虑弯曲剪应力。
（2）根部截面的内力分析
作轴的扭矩图和弯矩图如图12-6（c）所示。
根部截面上的扭矩 T m 120 N m
弯矩
M Pl 3Fl 3 960 0.12 346 N m
（3）应力分析
根部截面在弯曲、扭转基本变形下的应力分布如图12-6（d） 所示
由此可见，A点既有正应力，也有剪应力，B点只有剪应力
max N M 5.9 115 120.9MPa
最大应力几乎等于许用应力，故可安全工作。
例12-2：图12-5（a）所示为一钻床，在零件上钻孔时，钻床的 立柱受到的压力为P=15kN。已知钻床的立柱由铸铁制成，许用 拉应力，［σ拉］=35MPa，e=400mm试计算立柱所需的直径d。 解： （1）内力分析，判断变形 形式 用截面法求立柱横截面上 的内力，如图12-5（b）所 示，横截面上的内力有两 个，轴力FN和弯矩M，且 有
可见， Tx和Fcx使AC产生轴向压缩，而Ty、P和Fcy产生弯曲变 形，所以AC杆实际发生的是轴向压缩与弯曲的组合变形。 （2）作内力图，找出危险截面 AC梁的轴力图和弯矩图如图12-4（b）所示。
从图中可以看出，在梁的中间截面上有最大弯矩，而轴力在各 个截面上是相同的，所以，梁的中间截面是危险截面。
工程力学8组合变形
最大拉应力 最大压应力
σt max
P 425×7.5P = + MPa 15 5310
P 425×12.5P = − MPa 15 5310
′ σcmax = σ′ +σc′max
由抗拉强度条件
σt max ≤ [σt ] = 30 MPa
由抗压强度条件
P ≤ 45.1 kN P ≤171.3 kN
A =15×10 m , zo = 7.5 cm , 4 I y = 5310 cm
2
−3
求内力(作用于截面形心 求内力 作用于截面形心) 作用于截面形心
10
几何参数
A =15×10 m , zo = 7.5 cm , 4 I y = 5310 cm
2
−3
求内力(作用于截面形心 求内力 作用于截面形心) 作用于截面形心 取研究对象如图
23
i
2 z
+
i
2 y
= −1
当压力作用点在直线 上移动时 当压力作用点在直线pq上移动时，C点的应力保 直线 上移动时， 点的应力保 持为零。 持为零。 中性轴通过C点，但方位不断变化。 中性轴通过 点 但方位不断变化。 截面核心的确定 截面核心的确定 设AE为中性轴 为 中性轴的截距为a 中性轴的截距为 y, az， 由：
b h 2 i = , iz = 12 12
2 y
2
2
设AB为中性轴 为中性轴
a点坐标 点坐标
h AB直线的截距为： ay = − , az = ∞ 直线的截距为： 直线的截距为 2 2 2 iy iz h 由：ya = − , z = − ya = , za = 0 a ay az 6
26
工程力学组合变形习题
工程力学组合变形习题引言在工程力学中，组合变形是指由于受到多种力的作用，导致物体的形状和尺寸发生变化的现象。
组合变形是一种重要的力学现象，它在工程设计和分析中具有广泛的应用。
本文将介绍一些工程力学中常见的组合变形习题，并通过使用Markdown文本格式进行解答。
习题一一块钢板的初始长度为L0，厚度为L0，宽度为L0。
当向该钢板施加拉力L，使其同时拉伸和压缩时，钢板的最终长度L，厚度L和宽度L如何变化？解答：根据弹性原理，钢板的变形量与施加在它上面的力成正比。
设长度、厚度和宽度的变形比例分别为$\\epsilon_L$、$\\epsilon_t$和$\\epsilon_w$。
则钢板的最终长度、厚度和宽度为： $L = L_0(1 +\\epsilon_L)$ $t = t_0(1 + \\epsilon_t)$ $w = w_0(1 +\\epsilon_w)$施加拉力L对应的变形量为： $\\epsilon_L =\\frac{F}{AE}$，其中L为钢板的横截面积，L为钢的弹性模量。
同时，根据材料的体积不变原则，可得到如下关系：L0L0L0=LL0L综上所述，可以得到钢板的最终长度变化关系： $L = L_0(1 + \\frac{F}{AE})$钢板的最终厚度变化关系： $t = t_0(1 - \\frac{F}{AE})$钢板的最终宽度变化关系： $w = w_0(1 - \\frac{F}{AE})$习题二一根悬臂梁的初始长度为L0，弯曲刚度为L。
当在悬臂梁上施加一个集中力L时，悬臂梁的最大挠度L如何计算？解答：根据悬臂梁的弯曲理论，悬臂梁的挠度与施加在它上面的力成正比。
设最大挠度为L。
则悬臂梁的最大挠度与施加力的关系为：$δ =\\frac{F\\times L_0^3}{3Ek}$，其中L为悬臂梁的材料弹性模量。
习题三一根弹性绳的初始长度为L0，弹性系数为L。
当对该绳施加一个拉力L时，绳的最大伸长量L如何计算？解答：根据弹性绳的特性，绳的伸长量与施加在它上面的力成正比。
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10 组合变形1、 斜弯曲，弯扭，拉（压）弯，偏心拉伸（压缩）等组合变形的概念；2、危险截面和危险点的确定,中性轴的确定； 如双向偏心拉伸, 中性轴方程为3、危险点的应力计算，强度计算，变形计算、。
4、截面核心。
10.1、定性分析图10.1 示结构中各构件将发生哪些基本变形?图 10.1[解]（a ）AD 杆时压缩、弯曲组合变形，BC 杆是压缩、弯曲组合变形；AC 杆不发生变形。
（b ）AB 杆是压弯组合变形，BC 杆是弯曲变形。
（c ）AB 是压缩弯曲组合变形，BC 是压弯组合变形。
（d ）CD 是弯曲变形，BD 发生压缩变形，AB 发生弯伸变形，BC 发生拉弯组合变形。
10.2 分析图10.2中各杆的受力和变形情况。
解题范例图 10.2[解] (a)力可分解成水平和竖直方向的分力,为压弯变形。
(b)所受外力偶矩作用,产生弯曲变形。
(c)该杆受竖向集中荷载,产生弯曲变形.(d)该杆受水平集中荷载,偏心受压,产生压缩和弯曲变形。
(e)AB段:受弯,弯曲变形，BC段:弯曲。
(f)AB段:受弯,弯曲变形，BC段:压弯组合。
(g)AB段:斜弯曲，BC段:弯纽扭合。
10.3分析图10.3 示构件中 (AB、BC和CD) 各段将发生哪些变形?图10.3[解] AB 段发生弯曲变形，BC 段发生弯曲、扭转变形；CD 段发生拉伸、双向弯曲变形。
10.4一悬臂滑车架如图 10.4 所示，杆AB 为18号工字钢（截面面积30.6cm 2，Wz=185cm 3），其长度为l =2.6m 。
试求当荷载F=25kN 作用在AB 的中点处时，杆内的最大正应力。
设工字钢的自重可略去不计。
图 10.4[解] 取AB 为研究对象，对A 点取矩可得NBCY F 12.5kN = 则 3225==NBCX NAB F F 分别作出AB 的轴力图和弯矩图:kN3225kN.mNBCX轴力作用时截面正应力均匀分布，AF N=σ（压） 弯矩作用时截面正应力三角形分布，WzM=σ（下拉上压） 可知D 截面处上边缘压应力最大,叠加可得最大正应力94.9MPa （压10.5如图 10.5 所示,截面为 16a 号槽钢的简支梁,跨长 L=4.2m, 受集度为 q 的均布荷载作用 ,q=2KN/m 。
梁放在ϕ=20o的斜面上,试确定梁危险截面上 A 点和 B 点处的弯曲正应力。
图10.5[解] 双向弯曲梁,在梁跨中点处的截面是危险截面,该截面上的弯矩、m kN ql M Z ∙==15.4cos 812max αmkM ql M y ∙==5.1sin 812max α 从型钢规格中查得16A 号钢的抗弯截面模量cmb cm z cm I cm W Z Z 3.608.13.73108043====离中和轴最远的点是危险点: A 点: ()ymax 0Zmax cmaxZ yM 6.3z M 145.22MPa W I ∙-σ=+= B 点: MPa I z M W M yy Zy t .5.600max max max =⨯+=σ10.1矩形截面木檩条,跨度 L=4m,荷载及截面尺寸如图 10.6所示,木材为杉木,弯曲容许应力 [σ]=12MPa,E=9×103MPa 容许挠度为 L/200, 试验算穰条的强度和刚度。
习题解析图 10.6[解] ⑴首先进行强度的校核：先将q 分解成为两个分量X q =716N/m ，z q =1430N/m,二者对应最大弯矩分别为max x M =1432N ·m, max z M =2860 N ·m ，代入强度条件公式得max x M ／x W +max z M ／Z W =1053.MPa ＜[]σ=12MPa故强度条件满足.⑵ 再进行刚度的核算：与X q 相应的挠度X f =43845l EI q Zx=14.9mm与z q 相应的挠 度z f =43845l EI q xz=14.mmmax f =z x f f +=20.51mm<[L ／200]=20mm (容许挠度)可以认为刚度满足要求。
10.2 由木材制成的矩形截面悬臂梁 ,在梁的水平对称面内受到力 P 1=1.6kN 的作用,在铅直对称面内受到力 P 2=0.8 kN 作用(如图 10.7 所示)。
已知:b=90mm ，h=180mm,E=1.0 × 104MPa 。
试求梁的横截面上的最大正应力及其作用点的位置 ,并求梁的最大挠度。
如果截面为圆形,d=13Omm, 试求梁的横截面上的最大正应力。
图 10.7[解] P1,P2单独作用在梁上时,所引起的最大弯矩m kN l P M y ∙=⨯=∙=2.36.121m kN P M Z ∙=⨯=⨯=8.08.0112都在梁固定端 ,截面上 1、2两点是危险点.MPa W M W M ZZyy 82.14max =+=σ(1点为拉应力,2点为压应力) 梁的最大挠度在自由端,其值为 mm EI l P l EIl P EI l P f y 5.148522)2(3)3(322232==∙+=mm EIl P f z 39331===所以最大挠度为 mm f f f z y 03.3922max =+=如果截面为圆形: 332D W W Z y π==MPa WM M W MZ y 3.15max 2max 2max =+==σ(发生在固定端截面上)10.3试分别求出图10.8 示不等截面及等截面杆内的最大正应力,并作比较(图中尺寸单位为 mm) 。
图 10.8[解] (a)轴力 N=P=350kNm kN e P M ∙=⨯=∙=5.1405.0350MPa AP h b P A N W M Z 67.1161502max =+⨯=+=σ (b) MPa APA N 75.8===σ.10.4 一伞形水塔,受力如图10.9, 其中P 为满水时的重力,Q 为地震时引起的水平载荷,立柱的外径 D=2m, 壁厚 t=0.5m, 如材料的许用应力[σ]=8MPa ，试校核其强度。
图10.9[解] 水塔为压弯组合编形,由轴向压力P 引起的压应力APp =σ 由Q 引起的正应力WMQ max max =σ (最大值在固定端)[]33max max2423M P 180010300104017.068MPa A W D d d 1D 14D 32D ⨯⨯⨯σ=+=+=>σ=⎡⎤⎡⎤ππ⎛⎫⎛⎫--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 所以,不满足强度条件.10.5起重机受力如图10.10,P 1=3OkN, P 2=22OkN, P 3=6OkN,它们的作用线离立柱中心线的距离分别为 1.Om ,1.2m 和 1.6m, 如立柱为实心钢柱,材料许用应力[σ]=16OMPa, 试设计其底部 A --A 处的直径。
图10.10[解] 该杆为压弯组合变形,设底部A-A 处直径D ，柱底部所受的压应力有两部分33123122P P P 302206010394.9101A d d 4++++⨯⨯σ===π（） 柱底部最大弯矩max 112233M P l P l P l 468kN m=+-=∙由此弯矩产生的最大压力33max 233M 46810324769.410W d d⨯⨯σ===⨯π 柱底部所受的压应力 []12160MPa σ+σ≤σ= 由于21σσ,若只考虑弯矩的作用解得d=31cm取 d=40cm10.6 上题中,若立柱为空心钢管,内外径之比 d/D=0.9, 试设计 A-A 处的直径。
[解] 此题为压弯组合变形，将立柱在A-A 处截开，合压力123F P P P 3022060310kN =++=++=底部面积222D d )A 0.15D 4π-==（弯矩 Z 123M P 10P 1.2P 1.63010220 1.260 1.6468kN m =⨯+⨯-⨯=⨯+⨯-⨯=⋅33344Z D D 0.3439D W 110.9323232πππ=-α=⨯-=（）（）3Z Z c 23Z M 32M F F []16.10A W 0.15D 0.3439Dσ=+=+≤σ=⨯π 解得D 43cm,d 0.9D 38cm ≈==可取 D 45cm,d 38cm ==10.7 三角形构架 ABC, 受力如图 10.11 。
水平杆AB 由 18 号工字钢制成 , 试求 AB 杆的最大应力。
如产生力 P 的小车能在 AB 杆上移动,则又如何?图 10.11[解] AB 杆产生压缩与弯曲组合变形kN P N BC 15030sin 5.125.10=⨯⨯=荷载移动到中点时弯矩最大,其值为 m kN N M BC ∙=⨯⨯=1255.130sin 0maxMPa ANW M Z D c 92.717max =+=σ (截面的上边缘为压应力) 10.8上题中,若工字钢材料的许用应力[σ]=10O0MPa,试选择 AB 杆的截面尺寸。
[解] 接上题[]σσ≤+=Z D D c W M A N max , []3125cm MW D Z =≥σ 选16号普通工字钢,231.26,141cm A cm W Z ==强度校核: cmax a 936.3MP σ=<[]σ 即选16号普通工字钢,231.26,141cm A cm W Z ==.10.9 图 10.12 示钻床,受力 P=15kN,铸铁立柱的许用应力[σ]=35MPa, 试计算立柱所需的直径 d 。
图 10.12[解] 为拉弯组合变形,只考虑弯矩的作用解得[]σσ≤=Zt W Mmax[][]331017.0m eP M W Z -⨯=∙=≥σσ 或331017.032-⨯=d π解得d 12cm ≥取 d=14cm 代入验算: maxt max zM P 28.95MPa 35MPa A W σ=+=< 10.10砖砌烟囱,高H=30m, 自重 Q=200OkN, 受水平风力 q=2kN/m 作用,如图 10.13所示。
如烟囱底部截面的外径D=3m 时,内径d=2m, 求烟囱底部截面上的最大压应力。
图 10.13 [解] 由自重引起的压应力大小为:Q0.509MPa Aσ==⨯ 烟囱底部截面上的弯距大小为m N ql M ∙⨯==52max 100.921max max MQ 0.92MPa A Wσ=+=10.11 如图 10.14所示某厂房柱子,受到吊车竖直轮压力P=22OKN, 屋架传给柱顶的水平力 Q=8KN,以及风载荷 q=1kN/m 的作用 ,P 力的作用线离底部柱的中心线的距离 e=0.4m, 柱子底部截面尺寸为1m ×0.3m, 试计算柱底部的危险点的应力。