数学：3.5《导数及其应用-小结》课件(新人教A版选修1-1)

应用：
❖ 例2 将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同
产品，需要对原由进行冷却和加热。如果第 x(h)
时，原由的温度（单位：0C）为 f(x)=x2-
7x+15(0≤x≤8).计算第2（h) 和第6（h）时，原由
温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。
关键是求出：
f x3
x
再求出lim x0
f x
它说明在第2（h)附近，原油 温度大约以3 0C/H的速度下 降；在第6（h)附近，原油温 度大约以5 0C/H的速度上升。
A3
B 3Δx-(Δx)2
C 3-(Δx)2 D 3-Δx
❖ 2、求y=x2在x=x0附近的平均速度。 2x0+Δx
小结：
❖ 1.函数的平均变化率
f f(x2 ) f (x1)
xຫໍສະໝຸດ Baidu
x2 x1
❖ 2.求函数的平均变化率的步骤:
(1)求函数的增量Δf=Δy=f(x2)-f(x1);
(2)计算平均变化率
(单位:dm)之间的函数关系是 V
(r)
4 r3
3
❖ 如果将半径r表示为体积V的函数,那么 r(V ) 3 3V
4
❖ 当V从0增加到1时,气球半径增加了 r(1) r(0) 0.62(dm)
气球的平均膨胀率为 r(1) r(0) 0.62(dm / L)
1 0
❖ 当V从1增加到2时,气球半径增加了 r(2) r(1) 0.16(dm
气球的平均膨胀率为
r(2) 2
r(1) 1
0.16(dm
/
显然
L)0.62>0.16
思考?
❖ 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均 膨胀率是多少?
r(V2 ) r(V1) V2 V1
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度 h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函 数关系
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数 增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一 般、最有效的工具。
3.5.1变化率问题
❖ 问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以 发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加 越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
我们来分析一下:
❖ 气球的体积V(单位:L)与半径r
f f(x2 ) f (x1)
x
x2 x1
练习：
❖ 过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当Δx=0.1时 割线的斜率.
K=3Δx+(Δx)2=3+3×0.1+(0.1)2=3.31
作业：
❖ 第二教材P67 A 1、2、4，B 5
3.5.2 导数的概念
再求
f 6 x x
再求 lim y 6 x0 x
小结：
❖ 1求物体运动的瞬时速度：
（1）求位移增量Δs=s(t+Δt)-s(t)
(2)求平均速度
（3）求极限
v
lim x0
s t
s;
t
lim
s(t
x0
t) s(t) . t
❖ 1由导数的定义可得求导数的一般步骤：
（(12）)求求平函均数变的增化量率Δy=xy f(x0+Δt)-f(x0)
上述问题中的变化率可用式子 f(x2 ) f (x1) 表示 x2 x1
称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
❖ 若设Δx=x2-x1, Δf=f(x2)-f(x1)
则平均变化率为
这里Δx看作是对于x1的一
个“增量”可用x1+Δx代
替x2
f 同样Δf=Δfy(=x=2f()x2)-ff(x(1x)1)
应用：
❖ 例3．质量为１０kg的物体，按照s(t)=3t2+t+4的规 律做直线运动，
（１）求运动开始后４s时物体的瞬时速度；
（２）求运动开始后４s时物体的动能。
(E 1 mv2 ) 2
练习:
❖ 求函数y=3x2在x=1处的导数.
分析：先求Δf=Δy=f(１＋Δx)-f(１)
=6Δx+(Δx)2
x
x2 x1
思考?
❖ 观察函数f(x)的图象
平均变化率 f(x2 ) f ( x1) y
x x 2
1
f(x2)
Y=f(x) x2-x1 B
表示什么?
直线AB的斜 率
f(x2)-f(x1)
f(x1) O
A
x
x1
x2
做两个题吧!
❖ 1 、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-
2)及临近一点D B(-1+Δx,-2+Δy),则Δy/Δx=( )
（3）求极限
f '(x0 ) lim x0
y x
作业：
❖ 课本86页 A 1，2，3。
❖ [教学方法]
❖ 1.采用“学案导学”方式进行教学。
❖ 2.讨论法、启发式、自主学习、合作探究式教 学方法的综合运用。
❖ [教学流程]：独立完成基础回顾，合作交流纠错, 老师点评；然后通过题目落实双基，根据学生 出现的问题有针对性的讲评.
❖ [教学重点和难点]
❖ 教学重点：导数的概念、四则运算、常用函数 的导数，导数的应用理解运动和物质的关系、
(1) 物体在时间区间[2,2.1]上的平均速度；
(2) 物体在时间区间[2,2.01]上的平均速度；
(3) 物体在t=2(s)时的瞬时速度.
解:
__ s
1
v 2g g(t)
t
2
(1)将 Δt=0.1代入上式，得: __
v 2.05g 20.5m / s.
(2)将 Δt=0.01代入上式，得: __ v 2.005g 20.05m / s.
h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描 述其运动状态?
请计算
0 t 0.5和1 t 2时的平均速度v :
0 t 0.5和1 t 2时的平均速度v :
请计算
平均速度不能反映他在这段时间里运动状态， 需要用瞬时速度描述运动状态。
平均变化率定义:
❖ 教学难点：导数的定义，导数在求函数的单调 区间、极值、最值、证明中的应用
第三章 导数及其应用
微积分主要与四类问题的处理相关:
❖ 一、已知物体运动的路程作为时间的函数, 求物体在任意时刻的速度与加速度等;
❖ 二、求曲线的切线; ❖ 三、求已知函数的最大值与最小值; ❖ 四、求长度、面积、体积和重心等。
(3)当t 0,2 t 2,
O s(2)
s(2+t) s
__
从而平均速度v 的极限为：
__
s
v lim v lim 2g 20m / s.
t 0
t0 t
s
即物体在时刻t0=2(s)的瞬时速度等于20(m/s).
当时间间隔Δt 逐渐变小时,平均速度就越接近
t0=2(s) 时的瞬时速度v=20(m/s).
t0
t
表示 “当t=2, Δt趋近于0时,平均速度趋于确定值13.1”.
❖ 那么,运动员在某一时刻t0的瞬时速度?
lim h(t0t)h(t0)
t0 t
导数的定义:
从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:
应用：
例1 物体作自由落体运动,运动方程为：s
1 gt 2 2
其
中位 移单位是m,时间单位是s,g=10m/s2.求：
❖ 在高台跳水运动中,平均速度不能反映他在这 段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运 动状态。我们把物体在某一时刻的速度称为 瞬时速度.
又如何求 瞬时速度呢?
如何求（比如， t=2时的）瞬时速度？
： 当Δt趋近于0时,平均
通过列表看出平均速度的变化速度趋有势什么变化趋势?
❖ 我们用
瞬时速度?
lim h(2 t) h(2) 13.1
新课标人教版课件系列
《高中数学》
选修1-1
3.5《导数及其应 用-小结》
审校：王伟
教学 目标
❖ 【知能目标】 ❖ 1.了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加
速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一 点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导数 的概念。 ❖ 2、熟记基本导数公式：xm(m为有理数)、sinx、 cosx、ex、ax、lnx、logax的导数；掌握两个函 数和、差、积、商的求导法则和复合函数的求导 法则，会求某些简单函数的导数。 ❖ 3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解 可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 (导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一 般指单峰函数)的最大值和最小值。