求函数值域典型例题

求函数值域典型例题

一、函数点调性法

对于一些比较简单的函数，通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。 例1. 求函数

1

y x

=

的值域。解：∵0x ≠ ∴ 显然函数的值域是：

),0()0,(+∞-∞

例2. 求函数x 3y -=的值域。解：∵0x ≥ 3x 3,0x ≤-≤-∴ 故函数的值域是：]3,[-∞ 练习1：求函数

， 故

。 ∴函数的值域为[ 3 ,＋∞) 点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。 练习2：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝） 练习3：① y=3x+2(-1≤x ≤1) ②x x f -+=42)( ③1+=

x x y ④x

x y += 解：①∵-1≤x ≤1，∴-3≤3x ≤3，∴-1≤3x+2≤5，即-1≤y ≤5，∴值域是[-1，5]

②∵),0[4+∞∈-x ∴,2[)(+∞∈x f 即函数x x f -+=42)(的值域是 { y| y ≥2}

③1111111+-=+-+=+=

x x x x x y ∵01

1

≠+x ∴1≠y

即函数的值域是 { y| y ∈R 且y ≠1}（此法亦称分离常数法） ④当x>0，∴x x y 1

+

==2)1(2+-

x

x 2≥， 当x<0时，)1

(x x y -+

--==－2)1(2---

-x

x -≤ ∴值域是 ]2,(--∞[2，+∞).（此法也称为配方法）函数

x

x y 1

+=的图像为：

例3 求函数y =

+-2

5

x log

3

1-x （2≤x ≤10）的值域

解：令y 1=

2

5

-x ，2y =

log

3

1-x ，则 y 1 ， 2y 在[ 2， 10 ]上都是增函数。

所以y= y 1 +2y 在[ 2 ，10 ]上是增函数。

当x = 2 时，y m in = 3

2-+log 3

12-=8

1

， 当x = 10 时，m ax y = 52+log 39=33。

故所求函数的值域为：[

8

1

，33]。 例4 求函数y= 1+x -1-x 的值域。

解：原函数可化为： y=

1

12-++x x 当x = 1时，y=1y +2y 有最小值2，原函数有最大值

2

2= 2。

显然y>0，故原函数的值域为( 0 , 2]。

例5求函数y x = y ∈1,2

⎛⎤-∞ ⎥⎝

⎦

练习：求函数 的值域。(答案：｛y|y≥3｝) 求函数y=x-3+√2x+1 的值域。

二、反比例函数法

直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。 例6. 求函数3x 4

y 5x 6

+=

+值域。

则其反函数为：46x y 5x 3-=-，其定义域为：3

x 5

≠ 故所求函数的值域为：3y 5⎧

⎫≠

⎨⎬⎩⎭

当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例7 求函数x+1

y x+2

=

的值域。 点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。 解：显然函数x+1

y x+2

=

的反函数为:12y x y-1-=,其定义域为y≠1的实数,故函数y 的值域为｛y ∣y≠1,y ∈R ｝。

点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，

是数学解题的重要方法之一。

练习2：求函数y=(10x+10-x)/(10x －10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y ∣y<－1或y>1｝）

三、函数有界性法

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。

例8. 求函数

1e 1

e y x

x +-=的值域。 解：由原函数式可得：

1y 1y e x -+=

∵0e x > ∴0

1y 1

y >-+

解得：1y 1<<- 故所求函数的值域为)1,1(-

例9. 求函数

3x sin x

cos y -=

的值域。

解：由原函数式可得：y 3x cos x sin y =-，可化为：

x+y （）=3β

即sin x+3（）β

∵R x ∈ ∴]1,1[)x (x sin -∈β+

即

1

1

y y 312

≤+≤

-

解得：42y 4

2≤

≤- 故函数的值域为⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎣

⎡-42,42 形如02

≥x 可解出y 的范围,从而求出其值域或最值。

例10．求函数121

2--=x x y 的值域

[解析]：由1

212--=x x y 得112--=y y x

四、配方法

配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，形如])()([2

c x bf x f a y --=的函数的值域问题，均可使用配方法。

例8. 求下列函数的最大值、最小值与值域：

①142+-=x x y ；②]4,3[,142∈+-=x x x y ；③]1,0[,142∈+-=x x x y ；④]5,0[,142∈+-=x x x y ； 解：∵3)2(1422--=+-=x x x y ，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2. ①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R ，

∴x=2时，ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是{y|y ≥-3 }. ②∵顶点横坐标2∈[3,4]，当x=3时，y= -2；x=4时，y=1； ∴在[3,4]上，min y =-2，m ax y =1；值域为[-2，1].

③∵顶点横坐标2∈[0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2, ∴在[0,1]上，min y =-2，m ax y =1；值域为[-2，1].

④∵顶点横坐标2∈ [0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3, x=5时，y=6, ∴在[0,1]上，min y =-3，m ax y =6；值域为[-3，6].