幂函数复习
幂函数分类专题复习
幂函数分类专题复习幂函数是数学中一种重要的函数类型，具有形如 $f(x) =ax^b$ 的特征形式，其中 $a$ 和 $b$ 是常数。
在幂函数的分类专题复中，我们将介绍几种常见的幂函数及其性质。
一次幂函数一次幂函数的形式为 $f(x) = ax$，其中 $a$ 是常数。
一次幂函数的图像是一条经过原点且斜率为 $a$ 的直线。
当 $a > 0$ 时，图像是上升的；当 $a < 0$ 时，图像是下降的。
性质：- 零点：一次幂函数的零点为 $x=0$。
- 斜率：一次幂函数的斜率恒为 $a$。
- 定义域和值域：一次幂函数的定义域和值域都是全体实数。
二次幂函数二次幂函数的形式为 $f(x) = ax^2$，其中 $a$ 是常数且 $a \neq 0$。
二次幂函数的图像是开口朝上或朝下的抛物线，具体取决于$a$ 的正负性。
性质：- 零点：二次幂函数的零点可以通过解方程 $f(x) = 0$ 来求得。
- 顶点：二次幂函数的顶点坐标为 $\left(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right)$，其中 $b$ 和 $c$ 是常数。
- 对称轴：二次幂函数的对称轴为直线 $x = -\frac{b}{2a}$。
- 定义域和值域：二次幂函数的定义域为全体实数，值域视$a$ 的正负性而定。
三次及更高次幂函数三次及更高次幂函数的形式为 $f(x) = ax^n$，其中 $a$ 是常数且 $a \neq 0$，$n$ 是大于等于3的整数。
这些函数的图像具有更复杂的曲线特征，通常会有多个极值点和拐点。
性质：- 零点：三次及更高次幂函数的零点可以通过解方程 $f(x) =0$ 来求得。
- 极值点：三次及更高次幂函数可能存在多个极值点，可以通过求导数和解方程 $f'(x) = 0$ 来找到。
- 拐点：三次及更高次幂函数的拐点是曲线的转折点，可以通过求二阶导数和解方程 $f''(x) = 0$ 来找到。
幂函数复习
三、幂函数（1）幂函数的定义：一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x为自变量，α是常数．（2）幂函数的图像：规律：①在第一象限内x=1的右侧：指数越大，图像相对位置越高（指大图高）②幂指数互为倒数时，图像关于y=x对称（3）幂函数的性质：①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限。
②过定点：所有的幂函数在(0,+∞) 都有定义（具体的定义域要根据具体幂函数决定）并且图象都通过点(1,1)③单调性：如果α>0 ，则幂函数的图象过原点，并且在[0,+∞)上为增函数．如果α<0 ，则幂函数的图象在(0,+∞) 上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．④奇偶性：当 α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．【扩展】：当α=q p (其中,pq 互质，p 和q ∈Z ），若p 为奇数q 为奇数时，则y=x q 是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则y=x q 是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则y=x q p 是非奇非偶函数（定义域肯定不是关于原点对称） ⑤图象特征：幂函数y=x α，当x ∈(0,+∞)当α>1时，若0<x<1，其图象在直线y=x 下方,若x>1，其图象在直线y=x 上方， 当α<1时，若0<x<1，其图象在直线y=x 上方,若x>1，其图象在直线y=x 下方。
练习：1.函数f (x )＝(m 2－m －5)x m －1是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )是单调增函数，则m的值为________．2.在第一象限内，函数y ＝x 2(x ≥0)与y ＝x 12的图象关于________对称．3.函数f (x )＝(1－x )0＋(1－x )12的定义域为________．4.如图，曲线C 1与C 2分别是函数y ＝x m 和y ＝x n 在第一象限内的图象，则m ，n 与0的大小关系是________．5.函数f (x )＝x 1m 2＋m ＋1(m ∈N ＋)为________函数．(填“奇”，“偶”，“奇且偶”，“非奇非偶”)6.下面4个图象都是幂函数的图象，函数y ＝x －23的图象是________．7.写出下列四个函数：①y ＝x 13；②y ＝x －13；③y ＝x －1；④y ＝x 23.其中定义域和值域相同的是________．(写出所有满足条件的函数的序号)8.已知函数f (x )＝x －m ＋3(m ∈N *)是偶函数，且f (3)<f (5)，求m 的值，并确定f (x )的函数解析式．9.已知函数f(x)＝x2＋1x2.(1)判断f(x)的奇偶性；(2)求f(x)的单调区间和最小值．。
幂函数(复习)
幂函数的图像
y=x y=x y=x y=x y=x y=x
2 3 1 2
y6
4
2
-5
o
-2
5
x
-1 0
-4
幂函数y = xα 在第一象限内，当α < 0, 0 < α < 1, α > 1时的图像
在 1 +∞） ， 越 图 越 （， 上 α 大 像 高
例1.已知函数f ( x) = (m2 − m − 1) x −5m−3 , m为何值时，f ( x) :
C）
B）
C、a < c < b
D、b < a < c
比较a, b的大小，利用幂函数y = x 0.3的单调性；
比较b, c的大小，利用指数函数y = 0.3x的单调性；
当堂检测
1、下列函数①y = x + 1 ②y = x
2 − 1 2
③y = 2 x ④y = x
2
−
2 3
⑤y = x
−
1 3
+1
中，是幂函数的是（ A、①⑤
1 6
（2） ( x + 1)
（3）
> > >
x
3 2
( x > 0)
0.51.3
− 5 4
0.41.3
（4） 3.1
3.7
−
5 4
利用幂函数的单调性来比较大小
3、设a = 0.2 , b = 0.3 , c = 0.3 , 则（ A、a > b > c B、a < b < c
0.3 0.3 0.2
∴ m − 2 m − 3 < 0且 为 偶 数
幂函数复习.
幂函数复习一、知识要点1、幂函数定义：一般地，形如αx y =)(R a ∈的函数称为幂函数，其中α为常数．2、幂函数性质归纳．（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；（2）0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸；（3）0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．二、典型例题及对应习题1、幂函数的概念、解析式、定义域、值域1．若幂函数y=f （x ）的图象过点（5，），则为（ ） A ． B ． C ． D ．﹣1 2．设α∈{﹣2，﹣1，，1，2，3}，则使幂函数y=x a 为奇函数且在（0，+∞）上单调递减的a 个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．已知函数f （x ）=x k （k 为常数，k ∈Q ），在下列函数图象中，不是函数y=f （x ）的图象是（ ）A ．B ．C ．D ． 4．已知函数f （x ）=（m 2﹣m ﹣1）x﹣5m ﹣3是幂函数且是（0，+∞）上的增函数，则m 的值为（ ）A ．2B ．﹣1C ．﹣1或2D ．05．已知点（a ，）在幂函数f （x ）=（a 2﹣6a +10）x b 的图象上，则函数f （x ）是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．定义域内的减函数D ．定义域内的增函数2、幂函数的图像6．幂函数y=f （x ）的图象过点（4，2），则幂函数y=f （x ）的图象是（ ）A．B．C．D．9．幂函数y=x m，y=x n，y=x p的图象如图所示，以下结论正确的是（）A．m＞n＞p B．m＞p＞n C．n＞p＞m D．p＞n＞m10．函数f（x）=﹣1的图象大致是（）A．B．C．D．3、幂函数的图像及其与指数的关系11．函数y=x3和图象满足（）A．关于原点对称B．关于x轴对称C．关于y轴对称D．关于直线y=x对称12．已知点在幂函数f（x）的图象上，则f（x）是（）A．奇函数B．偶函数C．定义域内的减函数D．定义域内的增函数13．若0＜x＜y＜1，则（）A．3y＜3x B．x0.5＜y0.5 C．log x3＜log y3 D．log0.5x＜log0.5y14．已知幂函数y=（a2﹣2a﹣2）x a在实数集R上单调，那么实数a=（）A．一切实数B．3或﹣1 C．﹣1 D．315．函数y=的单调递增区间是（）A．（﹣∞，1）B．（0，1）C．（1，2）D．（1，+∞）4、幂函数的性质16．幂函数f（x）=（m2﹣4m+4）x在（0，+∞）为减函数，则m的值为（）A．1或3 B．1 C．3 D．217．若四个幂函数y=x a，y=x b，y=x c，y=x d在同一坐标系中的图象如图，则a、b、c、d的大小关系是（）A．d＞c＞b＞a B．a＞b＞c＞d C．d＞c＞a＞b D．a＞b＞d＞c18．幂函数y=（m2﹣m﹣1），当x∈（0，+∞）时为减函数，则实数m的值为（）A．m=2 B．m=﹣1 C．m=﹣1或2 D．m≠19．若幂函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x1﹣m是偶函数，则实数m=（）A．﹣1 B．2 C．3 D．﹣1或25、幂函数的单调性、奇偶性及其应用20．已知﹣1＜α＜0，则（）A．B．C．D．21．若a=0.5，b=0.5，c=0.5，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．a＞b＞c22．若，则a、b、c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c23．函数y=在第二象限内单调递增，则m的最大负整数是（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣124．设a＞1，若对于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a2]满足方程log a x+log a y=3，这时a 的取值集合为（）A．{a|1＜a≤2}B．{a|a≥2}C．{a|2≤a≤3}D．{2，3}25．使不等式成立的实数a的范围是．6、幂函数的实际应用26．已知函数f（x）=（m∈Z）为偶函数，且f（3）＜f（5）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若g（x）=log a[f（x）﹣ax]（a＞0且a≠1）在区间[2，3]上为增函数，求实数a的取值范围．27．已知函数是幂函数且在（0，+∞）上为减函数，函数在区间[0，1]上的最大值为2，试求实数m，a的值．28．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数．（1）求m的值；（2）求满足的a的取值范围．29．已知幂函数在区间（0，+∞）上是单调增函数，且为偶函数．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设函数，若g（x）＞0对任意x∈[﹣1，1]恒成立，求实数q 的取值范围．30．已知幂函数（m∈Z）的图象关于y轴对称，且在区间（0，+∞）为减函数（1）求m的值和函数f（x）的解析式（2）解关于x的不等式f（x+2）＜f（1﹣2x）．2017年09月15日dragon的高中数学幂函数复习参考答案与试题解析一．选择题（共24小题）1．若幂函数y=f（x）的图象过点（5，），则为（）A．B．C．D．﹣1【解答】解：∵幂函数y=f（x）的图象过点（5，），设f（x）=xα，∴5α=，解得α=﹣1．∴f（x）=x﹣1．∴=f（）=f（）=（）﹣1=，故选C．2．设α∈{﹣2，﹣1，，1，2，3}，则使幂函数y=x a为奇函数且在（0，+∞）上单调递减的a个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：幂函数y=x﹣2为偶函数且在（0，+∞）上单调递减；幂函数y=x﹣1为奇函数且在（0，+∞）上单调递减；幂函数y=x为奇函数且在（0，+∞）上单调递增；幂函数y=x为奇函数且在（0，+∞）上单调递增；幂函数y=x2为偶函数且在（0，+∞）上单调递增；幂函数y=x3为奇函数且在（0，+∞）上单调递增．综上可得，符合条件的函数只有一个．故选：A．3．已知函数f（x）=x k（k为常数，k∈Q），在下列函数图象中，不是函数y=f（x）的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）=x k（k为常数，k∈Q）为幂函数，图象不过第四象限，所以C中函数图象，不是函数y=f（x）的图象．故选：C．4．已知函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x﹣5m﹣3是幂函数且是（0，+∞）上的增函数，则m的值为（）A．2 B．﹣1 C．﹣1或2 D．0【解答】解：因为函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x﹣5m﹣3是幂函数，所以m2﹣m﹣1=1，即m2﹣m﹣2=0，解得m=2或m=﹣1．又因为幂函数在（0，+∞），所以﹣5m﹣3＞0，即m＜﹣，所以m=﹣1．故选B．5．已知点（a，）在幂函数f（x）=（a2﹣6a+10）x b的图象上，则函数f（x）是（）A．奇函数B．偶函数C．定义域内的减函数D．定义域内的增函数【解答】解：幂函数f（x）=（a2﹣6a+10）•x b的图象经过点（a，），∴a2﹣6a+10=1且a b=，解得a=3，b=﹣1；∴f（x）=x﹣1在定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）的奇函数．故选：A．6．幂函数y=f（x）的图象过点（4，2），则幂函数y=f（x）的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：设幂函数的解析式为y=x a，∵幂函数y=f（x）的图象过点（4，2），∴2=4a，解得a=∴，其定义域为[0，+∞），且是增函数，当0＜x＜1时，其图象在直线y=x的上方．对照选项．故选C7．函数y=的图象是（）A．B． C．D．【解答】解：∵函数y=的定义域为[0，+∞）∴所求图象在第一象限，可排除A、C，再根据函数y=的图象横过（4，2），可排除B，故选D．8．函数的图象是（）A． B．C． D．【解答】解：因为函数的定义域是[0，+∞），所以图象位于y轴右侧，排除选项C、D；又函数在[0，+∞）上单调递增，所以排除选项B．故选A．9．幂函数y=x m，y=x n，y=x p的图象如图所示，以下结论正确的是（）A．m＞n＞p B．m＞p＞n C．n＞p＞m D．p＞n＞m 【解答】解：在第一象限作出幂函数y=x m，y=x n，y=x p的图象．在（0，1）内取同一值x0，作直线x=x0，与各图象有交点．则“点低指数大”，如图，知0＜p＜1，﹣1＜m＜0，n＞1，∴n＞p＞m故选：C．10．函数f（x）=﹣1的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：因为0，所以f（x）在[0，+∞）上递增，排除B；当x=0时，f（0）=﹣1，即f（x）的图象过点（0，﹣1），排除C、D；故选A．11．函数y=x3和图象满足（）A．关于原点对称B．关于x轴对称C．关于y轴对称D．关于直线y=x对称【解答】解：由得到x=y3，所以这两个函数互为反函数，根据反函数图象的性质可知函数y=x3和的图象关于直线y=x对称．故选D．12．已知点在幂函数f（x）的图象上，则f（x）是（）A．奇函数B．偶函数C．定义域内的减函数D．定义域内的增函数【解答】解：设幂函数为f（x）=xα，∵点在幂函数f（x）的图象上，∴f（）=（），即，∴，即α=﹣1，∴f（x）=为奇函数，故选：A．13．若0＜x＜y＜1，则（）A．3y＜3x B．x0.5＜y0.5C．log x3＜log y3 D．log0.5x＜log0.5y【解答】解：因为：0＜x＜y＜1，y=3x为增函数，则3y＞3x，故A错误，因为：0＜x＜y＜1，y=x0.5为增函数，则x0.5＞x0.5，故B正确，因为：0＜x＜y＜1则log x3＞log y3，故C错误，因为：0＜x＜y＜1，log0.5x为减函数，则log0.5x＞log0.5y，故D错误，故选：D．14．已知幂函数y=（a2﹣2a﹣2）x a在实数集R上单调，那么实数a=（）A．一切实数B．3或﹣1 C．﹣1 D．3【解答】解：由幂函数的定义及其单调性可得：a2﹣2a﹣2=1，a＞0，解得a=3．∴a=3．故选：D．15．函数y=的单调递增区间是（）A．（﹣∞，1）B．（0，1） C．（1，2） D．（1，+∞）【解答】解：设u=﹣x2﹣2x，在（﹣∞，1）上为增函数，在（1，+∞）为减函数，因为函数y=为减函数，所以f（x）的单调递增区间（1，+∞，），故选：D16．幂函数f（x）=（m2﹣4m+4）x在（0，+∞）为减函数，则m的值为（）A．1或3 B．1 C．3 D．2【解答】解：∵为幂函数∴m2﹣4m+4=1，解得m=3或m=1．由当x∈（0，+∞）时为减函数，则m2﹣6m+8＜0，解得2＜m＜4．∴m=3，故选：C．17．若四个幂函数y=x a，y=x b，y=x c，y=x d在同一坐标系中的图象如图，则a、b、c、d的大小关系是（）A．d＞c＞b＞a B．a＞b＞c＞d C．d＞c＞a＞b D．a＞b＞d＞c【解答】解：幂函数a=2，b=，c=﹣，d=﹣1的图象，正好和题目所给的形式相符合，在第一象限内，x=1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以a＞b ＞c＞d．故选B．18．幂函数y=（m2﹣m﹣1），当x∈（0，+∞）时为减函数，则实数m 的值为（）A．m=2 B．m=﹣1 C．m=﹣1或2 D．m≠【解答】解：∵y=（m2﹣m﹣1）为幂函数，∴m2﹣m﹣1=1，即m2﹣m﹣2=0．解得：m=2或m=﹣1．当m=2时，m2﹣2m﹣3=﹣3，y=x﹣3在（0，+∞）上为减函数；当m=﹣1时，m2﹣2m﹣3=0，y=x0=1（x≠0）在（0，+∞）上为常数函数（舍去），∴使幂函数y=（m2﹣m﹣1）为（0，+∞）上的减函数的实数m的值为2．故选A．19．若幂函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x1﹣m是偶函数，则实数m=（）A．﹣1 B．2 C．3 D．﹣1或2【解答】解：∵幂函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x1﹣m是偶函数，∴，解得m=﹣1．故选：A．20．已知﹣1＜α＜0，则（）A．B．C．D．【解答】解：∵﹣1＜α＜0，故函数y=x a在（0，+∞）上是减函数，∵0.2，故，故选：A21．若a=0.5，b=0.5，c=0.5，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．a＞b＞c【解答】解：构造函数f（x）=0.5x，因为函数f（x）=0.5x，为单调递减函数．且，所以，即，所以a＜b＜c．故选B．22．若，则a、b、c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c【解答】解：∵在第一象限内是增函数，∴，∵是减函数，∴，所以b＜a＜c．故选D．23．函数y=在第二象限内单调递增，则m的最大负整数是（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1【解答】解：∵函数y==x m﹣1在第二象限内单调递增，当m=﹣1时，y=x﹣2在第二象限内单调递增，﹣1是最大的负整数，∴m的最大负整数是﹣1，故选：D．24．设a＞1，若对于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a2]满足方程log a x+log a y=3，这时a的取值集合为（）A．{a|1＜a≤2}B．{a|a≥2}C．{a|2≤a≤3}D．{2，3}【解答】解：由log a x+log a y=3，可得log a（xy）=3，得，在[a，2a]上单调递减，所以，故⇒a≥2故选B．二．填空题（共1小题）25．使不等式成立的实数a的范围是（﹣∞，﹣1）∪（，）．【解答】解：∵函数y=为奇函数，且在（﹣∞，0）和（0，+∞）上均为减函数故不等式可化为0＞a+1＞3﹣2a…①或a+1＜0＜3﹣2a…②或a+1＞3﹣2a＞0…③不等式①无解解②得a＜﹣1解③得＜a＜故实数a的范围是（﹣∞，﹣1）∪（，）故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（，）三．解答题（共5小题）26．已知函数f（x）=（m∈Z）为偶函数，且f（3）＜f（5）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若g（x）=log a[f（x）﹣ax]（a＞0且a≠1）在区间[2，3]上为增函数，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）为偶函数，∴﹣2m2+m+3为偶数，又f（3）＜f（5），∴＜，即有：＜1，∴﹣2m2+m+3＞0，∴﹣1＜m＜，又m∈Z，∴m=0或m=1．当m=0时，﹣2m2+m+3=3为奇数（舍去），当m=1时，﹣2m2+m+3=2为偶数，符合题意．∴m=1，f（x）=x2（2）由（1）知：g（x）=log a[f（x）﹣ax]=log a（x2﹣ax）（a＞0且a≠1）在区间[2，3]上为增函数．令u（x）=x2﹣ax，y=log a u；①当a＞1时，y=log a u为增函数，只需u（x）=x2﹣ax在区间[2，3]上为增函数．即：⇒1＜a＜2②当0＜a＜1时，y=log a u为减函数，只需u（x）=x2﹣ax在区间[2，3]上为减函数．即：⇒a∈∅，综上可知：a的取值范围为：（1，2）．27．已知函数是幂函数且在（0，+∞）上为减函数，函数在区间[0，1]上的最大值为2，试求实数m，a的值．【解答】解：因为函数是幂函数且在上为减函数，所以有解得m=﹣1．∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5’①当，[0，1]是f（x）的单调递减区间，∴∴a=﹣6＜0，∴a=﹣6﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣7’②当，，解得a=﹣2（舍）或a=3（舍）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣9’③，[0，1]为f（x）的单调递增区间，∴，解得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣11’综合①②③可知﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣12’28．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数．（1）求m的值；（2）求满足的a的取值范围．【解答】解：（1）∵函数在（0，+∞）上递减，∴m2﹣2m﹣3＜0即﹣1＜m＜3，又m∈N*∴m=1或2，又函数图象关于y轴对称，∴m2﹣2m﹣3为偶数，故m=1为所求．（2）函数在（﹣∞，0），（0，+∞）上均为减函数∴等价于a+1＞3﹣2a＞0或0＞a+1＞3﹣2a或a+1＜0＜3﹣2a，解得故a的取值范围为29．已知幂函数在区间（0，+∞）上是单调增函数，且为偶函数．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设函数，若g（x）＞0对任意x∈[﹣1，1]恒成立，求实数q的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数，∴﹣m2+2m+3＞0即m2﹣2m﹣3＜0∴﹣1＜m＜3又∵m∈Z∴m=0，1，2而m=0，2时，f（x）=x3不是偶函数，m=1时，f（x）=x4是偶函数．∴f（x）=x4（2）由f（x）=x4知g（x）=2x2﹣8x+q﹣1，g（x）＞0对任意x∈[﹣1，1]恒成立⇔g（x）min＞0，x∈[﹣1，1]．又g（x）=2x2﹣8x+q﹣1=2（x﹣2）2+q﹣9∴g（x）在[﹣1，1]上单调递减，于是g（x）min=g（1）=q﹣7．∴q﹣7＞0，q＞7故实数q的取值范围是（7，+∞）．30．已知幂函数（m∈Z）的图象关于y轴对称，且在区间（0，+∞）为减函数（1）求m的值和函数f（x）的解析式（2）解关于x的不等式f（x+2）＜f（1﹣2x）．【解答】解：（1）幂函数（m∈Z）的图象关于y轴对称，且在区间（0，+∞）为减函数，所以，m2﹣4m＜0，解得0＜m＜4，因为m∈Z，所以m=2；函数的解析式为：f（x）=x﹣4．（2）不等式f（x+2）＜f（1﹣2x），函数是偶函数，在区间（0，+∞）为减函数，所以|1﹣2x|＜|x+2|，解得，又因为1﹣2x≠0，x+2≠0所以，。
幂函数(高考复习)模板
变式探究
1 1. (2012· 湛江二中月考)幂函数f(x)＝xα的图象经过点 ， 4, 1 则f 的值为 4
(
2
)
A．4
B．3
C．2
D．1
1 1 解析：依题意 ＝4α，得 α＝－ ， 2 2
1 1 ∴f(x)＝x ，f ＝ ＝2.故选 C. 4 4 答案：C
fx，fx≤gx， h(x)＝ gx，fx>gx，
试求函数 h(x)的最大
解析： 设 f(x)＝xa，因为点( 2，2)在幂函数 f(x)的图象上，所 1 a 2 b 以 2 ＝2，∴a＝2，即 f(x)＝x .又设 g(x)＝x ，点 －2，4在幂函数 1 b － ＝ ，∴b＝－2，即 g(x)＝x 2. － 2 g(x)的图象上，所以 4
1 3
2 3 所以 a 的取值范围是 , ∪(－∞，－1)． 3 2 点评：比较幂函数形式的两个数的大小，一般的思路是：(1)若 点评：比较幂函数形式的两个数的大小，一般的思路是： 能化为同指数，则用幂函数的单调性； (2)若能化为同底数，则用指 (1) 若能化为同指数，则用幂函数的单调性； (2)若能化为同底 数函数的单调性； (3)若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则 数，则用指数函数的单调性； (3)若既不能化为同指数，也不 需寻找一个恰当的数(比如 1)作为桥梁来比较大小．
D．lg 1.6>lg 1.4 ( )
，则a的取值范围是 B．a＞0 D．1≥a≥0
解析：(1)对于A，由幂函数y＝x3为增函数知，A正确；对 于B，D，由对数函数y＝log0.5x为减函数，y＝lg x为增函数
知，B，D都正确；对于C，由指数函数y＝0.75x为减函数，
数学人教A版必修第一册3.3幂函数复习
16
)
D． b c a
题型练习三：幂函数的应用
5．已知函数 f ( x) (a a 1) x
2
a 1
为幂函数，且为奇函数；
（1）求 a 的值；
1
（2）求函数 g ( x) f ( x) 1 2 f ( x) 在 x [0, ] 的值域．
2
题型练习三：幂函数的应用
3
3
B．
2
2
C．
3
)
3
D．
2
【解答】解：根据幂函数 y x a 的图象关于 y 轴对称，函数是偶函数，排除 B 、 D 选项；
再根据幂函数 y x 的图象在第一象限内从左到右下降，是单调减函数，
a
所以 a 0 ，排除 A ，即 C 选项正确．
故选： C ．
题型练习二：幂函数的图像和性质
是幂函数，且 y f ( x) 在 (0, ) 上单调递增，则 f （2）
1
B．
2
C．2
【解答】解：因为函数 f ( x) (m2 2m 2) x m1 是幂函数，
所以 m 2m 2 1 ，解得 m 1 或 m 3 ．
2
又因为 y f ( x) 在 (0, ) 上单调递增，所以 m 1 0 ，
幂函数
知识梳理
1、幂函数的概念
2、幂函数的图像
3、幂函数的性质
4、应用（比较大小）
1、幂函数的概念
定义：一般地，函数 = 叫做幂函数，其中 x 是自变量， 是常数.
注意：
Байду номын сангаас
① 幂前系数必须是1
②底数是自变量 x，指数是常数
高考数学复习幂函数知识点归纳
高考数学复习幂函数知识点归纳形如y=xa(a为实数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数，以下是幂函数知识点归纳，期望对考生有关心。
幂函数定义：形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。
定义域和值域：当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情形如下：假如a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数;假如a为负数，则x确信不能为0，只是这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即假如同时q 为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;假如同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。
当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情形如下：在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。
在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。
而只有a为正数，0才进入函数的值域。
性质：关于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情形来讨论各自的特性：第一我们明白假如a=p/q，q和p差不多上整数，则x^(p/q)=q次根号(x 的p次方)，假如q是奇数，函数的定义域是R，假如q是偶数，函数的定义域是[0，+)。
当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，明显x0，函数的定义域是(-，0)(0，+).因此能够看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就能够明白：排除了为0与负数两种可能，即关于x0，则a能够是任意实数;排除了为0这种可能，即关于x0和x0的所有实数，q不能是偶数;排除了为负数这种可能，即关于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。
总结起来，就能够得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情形如下：假如a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数;假如a为负数，则x确信不能为0，只是这时函数的定义域还必须依照q的奇偶性来确定，即假如同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;假如同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。
高一数学复习考点知识与题型专题讲解12--- 幂函数
高一数学复习考点知识与题型专题讲解3．3 幂函数【考点梳理】知识点一幂函数的概念一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．知识点二五个幂函数的图象与性质1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝12x；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图．2．五个幂函数的性质y＝x y＝x2y＝x312y xy＝x－1定义域R R R[0，＋∞){x|x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增在[0，＋∞) 上增，增增在(0，＋∞)上减，在(－∞，0] 上减在(－∞，0)上减知识点三 一般幂函数的图象特征1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸． 3．当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y ＝x 对称．5．在第一象限，作直线x ＝a (a >1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．【题型归纳】题型一：幂函数的定义1．（2020·江苏省平潮高级中学高一月考）如果幂函数()22233m m y m m x --=-+的图象不过原点，则实数m 的取值为（ ） A ．1B ．2C ．1或2D ．无解2．（2021·云南省玉溪第一中学高一月考）已知幂函数()y f x =的图象过点()33，，则该函数的解析式为（ ）A ．2y x =B ．2y x =C ．3y x =D ．y x =3．（2020·江苏镇江市·）已知幂函数()2()33m f x m m x =--在区间()0,∞+上是单调递增函数，则实数m 的值是（ ）A ．-1或4B ．4C ．-1D ．1或4题型二：幂函数的值域问题4．（2021·全国高一课时练习）已知幂函数()f x x α=的图像过点(8,4)，则()f x x α= 的值域是（ ）A ．(),0-∞B ．()(),00,-∞⋃+∞C ．()0,∞+D ．[)0,+∞5．（2020·湖南衡阳市·高一月考）函数2y x -=在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是（ ）A ．14B ．14-C ．4D ．4-6．（2018·南京市第三高级中学高一期中）以下函数12y x =，2y x =，23y x =，1y x -=中，值域为[0,)+∞的函数共（ ）个 A ．1B ．2C ．3D ．4题型三：幂函数的定点和图像问题7．（2021·高邮市临泽中学高一月考）已知幂函数1()(21)a g x a x +=-的图象过函数1()(0,1)2x b f x m m m -=->≠的图象所经过的定点，则b 的值等于（ ）A ．12±B ．22±C ．2D ．2± 8．（2020·南宁市银海三美学校高一月考）函数23y x =的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．9．（2019·宁都县宁师中学高一月考）已知函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c 的图象如图所示，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <b <aB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b题型四：幂函数的单调性问题（比较大小、解不等式、参数）10．（2021·江西宜春市·高安中学高一月考）已知 1.13a =， 1.14b =，0.93c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<11．（2020·江苏省平潮高级中学高一月考）幂函数223a a y x --=是奇函数，且在()0+∞，是减函数，则整数a 的值是（ ） A ．0B ．0或2C ．2D ．0或1或212．（2020·江西鹰潭一中）已知幂函数12()f x x =，若()()132f a f a +<-，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)1,3-B ．21,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．[)1,0-D ．21,3⎛⎤- ⎥⎝⎦题型五：幂函数的奇偶性问题13．（2020·江西南昌市·南昌十中高一月考）已知幂函数y ＝f (x )经过点(3，3)，则f (x )（ ）A ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数B ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数C ．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数D ．是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数14．（2021·吴县中学）有四个幂函数：①()2f x x -=；②()1f x x -=；③()3f x x =；④()3f x x =，某向学研究了其中的一个函数，并给出这个函数的三个性质：（1）()f x 为偶函数；（2）()f x 的值域为()(),00,-∞⋃+∞；（3）()f x 在(),0-∞上是增函数.如果给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是（ ） A ．①B ．②C ．③D ．④15．（2020·乌苏市第一中学高一月考）已知112,1,,,1,2,322α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，若幂函数()f x x α=为偶函数，且在(0,)+∞上递减，则a =（ ） A ．1-，12-B ．1，3C ．2-D ．12，2【双基达标】一、单选题16．（2021·镇远县文德民族中学校高一月考）已知幂函数()()21f x m x =-，则实数m 等于（ ）A ．2B ．1C ．0D ．任意实数17．（2020·南京市第十三中学高一月考）函数 85y x =的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．18．（2021·全国高一课时练习）下列结论中，正确的是（ ） A ．幂函数的图象都经过点(0，0)，(1，1) B ．幂函数的图象可以出现在第四象限C ．当幂指数α取1，3，12时，幂函数y ＝x α是增函数 D ．当α＝－1时，幂函数y ＝x α在其整个定义域上是减函数19．（2021·全国高一单元测试）已知幂函数()f x 的图象过点1(2,)2，则f （4）的值是（ ） A ．64B ．42C ．24D ．1420．（2021·全国高一专题练习）函数()()()102121f x x x -=-+-的定义域是（ ） A ．(],1-∞B ．11,,122⎛⎫⎛⎫-∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．(),1-∞-D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭21．（2021·全国高一课前预习）已知幂函数()3m f x x -=(m ∈N *)为奇函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数，则m 等于（ ） A ．1B ．2C ．1或2D ．322．（2021·全国）幂函数()f x 满足：对任意12x x R ∈、，当且仅当12x x =时，有12()()f x f x =，则(1)(0)(1)f f f -++=（ ）. A ．1-B ．0C ．1D ．223．（2021·全国）下列比较大小中正确的是（ ）.A ．0.50.532()()23<B ．1123()()35---<-C ．3377( 2.1)( 2.2)--<-D ．443311()()23-<24．（2019·云南昭通市第一中学高一月考）已知函数()f x x =，若(1)(102)f a f a+<-，则a 的取值范围是（ ）A ．(0,5)B ．(5,)+∞C ．[1,3)-D ．(3,5)25．（2021·全国）幂函数1y x -=，及直线,1,1y x y x ===将直角坐标系第一象限分成八个“卦限： I, II, III,IV, V, VI, VII, VIII （如图所示），那么，而函数13y x -=的图象在第一象限中经过的“卦限”是（ ）A ．IV,VII B ． IV,VIII C ． III, VIII D ． III, VII 【高分突破】一：单选题26．（2021·全国高一课前预习）幂函数2266()(33)m m f x m m x -+=-+在(0,)+∞上单调递增，则m的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．1或227．（2021·浙江）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A ．()y x x R =-∈B ．3()y x x x R =--∈ C ．1()()2x y x R =∈D ．1y x=-(x R ∈，且0)x ≠28．（2021·全国高一课时练习）点(,8)m 在幂函数()(1)n f x m x =-的图象上，则函数()g x n x x m =-+-的值域为（ ）A ．0,2⎡⎤⎣⎦B ．1,2⎡⎤⎣⎦C ．2,2⎡⎤⎣⎦D ．[]2,329．（2021·全国高一课时练习）如图，①②③④对应四个幂函数的图像，其中②对应的幂函数是（ ）A ．3y x =B ．2y x =C ．y x =D ．y x =30．（2021·全国高一课时练习）已知幂函数()()2133m f x m m x +=-+的图象关于原点对称，则满足()()132m ma a +>-成立的实数a 的取值范围为（ ）A ．22,33⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．22,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．2,43⎛⎫ ⎪⎝⎭31．（2021·全国高一课时练习）设11,,1,2,32α⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭则“()f x x α=的图象经过()1,1--”是“()f x x α=为奇函数”的（ ）A ．充分不必要件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件32．（2021·浙江高一期末）已知实数a ，b 满足等式35a b =，给出下列五个关系式：①1b a <<；②1a b <<-；③01b a <<<；④10a b -<<<；⑤a b =，其中，可能成立的关系式有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．5个33．（2021·全国高一单元测试）已知函数1a y ax b =-+-是幂函数，直线20(0,0)mx ny m n -+=>>过点(,)a b ，则11n m ++的取值范围是（ ） A ．11,,333⎫⎫⎛⎛-∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭B ．(1,3)C ．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭二、多选题34．（2021·全国高一课时练习）下列关于幂函数y x α=的性质，描述正确的有（ ） A ．当1α=-时函数在其定义域上是减函数B ．当0α=时函数图象是一条直线 C ．当2α=时函数是偶函数D ．当3α=时函数在其定义域上是增函数35．（2021·全国高一课时练习）已知函数()21m m y m x -=-为幂函数，则该函数为（ ） A ．奇函数B ．偶函数C ．区间()0,∞+上的增函数D ．区间()0,∞+上的减函数36．（2021·全国高一课时练习）已知幂函数223()(1)m m f x m m x +-=--，对任意12,(0,)x x ∈+∞，且12x x ≠，都满足1212()()0f x f x x x ->-，若,a b ∈R 且()()0f a f b +<，则下列结论可能成立的有（ ）A ．0a b +> 且0ab <B ．0a b +< 且0ab <C ．0a b +< 且0ab >D ．以上都可能37．（2021·全国高一专题练习）已知幂函数9()5m f x m x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论正确的有（ ）A ．()13216f -=B ．()f x 的定义域是RC ．()f x 是偶函数D ．不等式()()12f x f -≥的解集是[)(]1,11,3-38．（2020·江苏常州市·常州高级中学高一期中）若函数()f x 同时满足：①对于定义域上的任意x ，恒有()()0f x f x +-=；②对于定义城上的任意1x ，2x ，当12x x ≠时，恒有()()12120f x f x x x -<-，则称函数()f x 为“理想函数”．下列四个函数中，能被称为“理想函数”的有（ ） A ．()2121x f x x -=+B ．()3f x x =-C ．()f x x =-D ．()22,0,,0x x f x x x ⎧-≥=⎨<⎩三、填空题39．（2021·湖南邵阳市·高一期末）已知幂函数()y f x =的图象过点()2,2，则()5f =______.40．（2021·雄县第二高级中学高一期末）已知幂函数()f x 过定点18,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，且满足()()2150f a f ++->，则a 的范围为________．41．（2021·全国高一课时练习）不等式()()1133312a a -<+的解集为______42．（2021·上海上外浦东附中高一期末）已知幂函数()223()m m f x x m Z --=∈的图像关于y 轴对称，与x 轴及y 轴均无交点，则由m 的值构成的集合是__________．43．（2021·全国高一单元测试）已知112,1,,1,,2,322k ⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，若幂函数()kf x x =为奇函数，且在()0,∞+上单调递减，则k =______．四、解答题44．（2021·全国高一课时练习）已知函数()()21212223m f x m m xn -=+-+-是幂函数，求2m n -的值．45．（2021·全国高一课时练习）已知函数()()()()1221a a f x a a x -+=--是幂函数()a R ∈，且()()12f f <.（1）求函数()f x 的解析式；（2）试判断是否存在实数b ，使得函数()()32g x f x bx =-+在区间[]1,1-上的最大值为6，若存在，求出b 的值；若不存在，请说明理由.46．（2021·全国高一专题练习）已知幂函数()()1222mf x m m x =--在()0,∞+上单调递减．（1）求实数m 的值．（2）若实数a 满足条件()()132f a f a ->+，求a 的取值范围．47．（2021·江西省乐平中学高一开学考试）已知幂函数()()()22322k k f x m m x k -=-+∈Z 是偶函数，且在()0,∞+上单调递增. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若()()212f x f x -<-，求x 的取值范围： （3）若实数()*,,a b a b ∈R 满足237a b m +=，求3211a b +++的最小值.【答案详解】1．C 【详解】由幂函数的定义得m 2-3m +3=1，解得m =1或m =2；当m =1时，m 2-m -2=-2，函数为y =x -2，其图象不过原点，满足条件； 当m =2时，m 2-m -2=0，函数为y =x 0，其图象不过原点，满足条件. 综上所述，m =1或m =2. 故选：C. 2．D 【详解】设()f x x α=，依题意()13332f αα==⇒=，所以()f x x =. 故选：D 3．B 【详解】幂函数()2()33mf x m m x =--在(0,)+∞上是增函数则2331m m m ⎧--=⎨>⎩ ，解得4m = 故选：B 4．D【详解】幂函数()f x x α=的图像过点(8,4)，84α∴=，解得23α=，2332(0)f x x x ∴==≥，∴()f x 的值域是[)0,+∞. 故选：D. 5．A 【详解】∵函数2y x -=在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，∴2min 124y -==， 故选：A. 6．C 【详解】函数12y x x ==，其定义域为[0,)+∞，值域为[0,)+∞； 函数2y x =的定义域为R ，值域为[0,)+∞； 函数2323y x x ==，20x ≥Q ，∴函数值域为[0,)+∞；函数331y x x -==，值域为(,0)(0,)-∞+∞． ∴值域为[0,)+∞的函数共3个．故选：C. 7．B 【详解】由于1()(21)a g x a x +=-为幂函数，则211a -=，解得：1a =，则2()g x x =； 函数1()(0,1)2x b f x m m m -=->≠，当x b = 时，11()22b b f b a -=-=，故()f x 的图像所经过的定点为1,2b ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以1()2g b =，即212b =，解得：22b =±, 故选：B. 8．C 【详解】首先由分数指数幂运算公式可知()21233x x ⎛⎫=⎪⎝⎭，则()()23y f x x ==，()()f x f x -=，且函数的定义域为R ，所以函数是偶函数，关于y 轴对称，故排除AD ，因为2013<<，所以23y x =在第一象限的增加比较缓慢，故排除B ， 故选：C 9．A试题：由幂函数图像特征知，1a >，01b <<，0c <，所以选A ． 10．A 【详解】由题意，构造函数 1.13,x y y x ==，由指数函数和幂函数的性质， 可知两个函数在(0,)+∞单调递增；由于0.9 1.10.9 1.133c a <∴<∴<；由于 1.1 1.13434a b <∴<∴<；综上：c a b << 故选：A 11．B由于幂函数223a a y x --=是奇函数，且在(0,)+∞是减函数，故2230a a --<，且223a a --是奇数，且a 是整数，13a -<<∴，a Z ∈，当0a =时，2233a a --=-，是奇数，； 当1a =时，2234a a --=-，不是奇数； 当2a =时，2233a a --=-，是奇数； 故0a =或2． 故答选：B 12．B 【详解】因为幂函数()12f x x =是增函数，且定义域为[)0,+∞，由()()132f a f a +<-得13210320a aa a +<-⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩，解得213a -≤<.所以实数a 的取值范围是21,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭故选：B 13．D 【详解】设幂函数的解析式为y x α=， 将点()3,3的坐标代入解析式得33α=，解得12α=， ∴12y x =，函数的定义域为[)0,+∞,是非奇非偶函数，且在()0,+∞上是增函数，14．A 【详解】对于①，函数()2f x x -=为偶函数，且()2210f x x x -==>，该函数的值域为()0,∞+， 函数()2f x x -=在()0,∞+上为减函数，该函数在(),0-∞上为增函数，①满足条件；对于②，函数()11x x f x -==为奇函数，且()10f x x=≠，该函数的值域为()(),00,-∞⋃+∞， 函数()f x 在(),0-∞上为减函数，②不满足条件；对于③，函数()3f x x =的定义域为R ，且()()33f x x x f x -=-=-=-，该函数为奇函数， 当0x ≥时，()30f x x =≥；当0x <时，()30f x x =<，则函数()f x 的值域为R ， 函数()3f x x =在()0,∞+上为增函数，该函数在(),0-∞上也为增函数，③不满足条件；对于④，函数()3f x x =为奇函数，且函数()3f x x =的值域为R ，该函数在(),0-∞上为增函数，④不满足条件. 故选：A. 15．C 【详解】112,1,,,1,2,322α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭若幂函数()f x x α=为偶函数，且在(0,)+∞上递减，则0α<且2,k k Z α=∈， 所以2a =-. 故选：C 16．A因为函数()()21f x m x =-为幂函数，所以m -1=1，则m =2.故选：A. 17．A 【详解】由幂函数85y x =可知: 85y x =是定义域为R 的偶函数，在(0,+∞)上单调递增，且当x >1时,函数值增长的比较快. 故选：A 18．C 【详解】当幂指数α＝－1时，幂函数y ＝x －1的图象不经过原点，故A 错误；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y ＝x α(α∈R)>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故B 错误； 当α>0时，y ＝x α是增函数，故C 正确；当α＝－1时，y ＝x －1在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，但在整个定义域上不是减函数，故D 错误． 故选：C. 19．D 【详解】幂函数()a f x x =的图象过点1(2,)2，122a ∴=，解得1a =-，1()f x x∴=， f ∴（4）14=， 故选：D . 20．B 【详解】因为()()()()121121211f x x x x x-=-+-=+--， 则有10210x x ->⎧⎨-≠⎩，解得1x <且12x ≠，因此()f x 的定义域是11,,122⎛⎫⎛⎫-∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故选：B. 21．B 【详解】因为()3m f x x -=在(0，＋∞)上是减函数，所以m －3<0,所以m <3. 又因为m ∈N *，所以1m =或2.又因为()3m f x x -=是奇函数，所以m －3是奇数， 所以m ＝2. 故选：B. 22．B 【详解】设()a f x x =，由已知，函数()f x 的定义域为R ，∴0a >，又∵对任意12x x R ∈、，当且仅当12x x =时，有12()()f x f x =，即y 与x 一一对应，()f x 必定不是偶函数，∴必定为奇函数，∴答案为0，故选：B. 23．C 【详解】A 选项，0.5y x =在[0)+∞，上是递增函数，0.50.523()()32<，错， B 选项，1y x -=在()0-∞，上是递减函数，1123()()35--->-，错， C 选项，37y x =在()0-∞，上是递增函数， 337721( 2.1)()10-=-，33775( 2.2)()11--=-，3377( 2.1)( 2.2)--<-，对，D 选项，43y x =在[0)+∞，上是递增函数， 443311()()22-=，443311()()23>，443311()()23->，错，故选：C ． 24．C 【详解】()f x x =的定义域为[)0,+∞，且在[)0,+∞单调递增，所以(1)(102)f a f a +<-可化为：1010201102a a a a +≥⎧⎪-≥⎨⎪+<-⎩，解得：13x -≤<. 故a 的取值范围是[1,3)-. 故选：C 25．B【详解】对于幂函数13y x -=，因为103-< ，所以13y x -=在第一象限单调递减， 根据幂函数的性质可知：在直线1x =的左侧，幂函数的指数越大越接近y 轴 ，因为113->-，所以13y x -=的图象比1y x -=的图象更接近y 轴 ，所以进过第IV 卦限， 在直线1x =的右侧，幂函数的指数越小越接近x 轴，因为1103-<-<， 所以13y x -=的图象位于1y x -=和1y =之间，所以经过VIII 卦限，所有函数13y x -=的图象在第一象限中经过的“卦限”是IV,VIII ， 故选：B 26．A 【详解】解：幂函数2266()(33)m m f x m m x -+=-+在(0,)+∞上单调递增，2331m m ∴-+=，且2660m m -+>，解2331m m -+=得1m =或2m =，当1m =时26610m m -+=>符合题意； 当2m =时26620m m -+=-<不符合题意； 故选：A ． 27．B 【详解】解：对于A 选项，()()f x x x f x -=--=-=，为偶函数，故错误；对于B 选项，()()()()33f x x x x x f x -=----=+=-，为奇函数，且函数3,y x y x =-=-均为减函数，故3()y x x x R =--∈为减函数，故正确； 对于C 选项，指数函数没有奇偶性，故错误；对于D 选项，函数为奇函数，在定义域上没有单调性，故错误.故选：B28．B【详解】解：因为点(,8)m 在幂函数()(1)n f x m x =-的图象上，所以11m -=，即2m =，()()228n f m f ===，所以3n =， 故()32g x x x =-+-，[]2,3x ∈， ()()22()12321256g x x x x x =+--=+-+-， 因为[]2,3x ∈，所以21560,4x x ⎡⎤-+-∈⎢⎥⎣⎦， 所以[]2()1,2g x ∈， 所以函数()g x n x x m =-+-的值域为1,2⎡⎤⎣⎦.故选：B.29．C【详解】 解：由图知：①表示y x =，②表示y x =，③表示2y x =，④表示3y x =.故选：C.30．D【详解】由题意得：2331m m -+=，得1m =或2m =当1m =时，2()f x x =图象关于y 轴对称，不成立；当2m =时，3()f x x =是奇函数，成立；所以不等式转化为22(1)(32)a a +>-，即231480a a -+<，解得243a <<.故选：D31．C【详解】 由11,,1,2,32α⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，由()f x x α=的图像经过()1,1--，则α的值为11,3-，，此时()f x x α=为奇函数. 又当()f x x α=为奇函数时，则α的值为11,3-，，此时()f x x α=的图象经过()1,1--. 所以“()f x x α=的图象经过()1,1--”是“()f x x α=为奇函数”的充要条件故选：C32．C【详解】在同一坐标系中画出函数3y x =和5y x =的图像，如图所示：数形结合可知，在（1）处1a b <<-；在（2）处10b a -<<<；在（3）处01a b <<<； 在（4）处1b a <<；在1a b ==或1a b ==-也满足，故①②⑤对故选：C.33．D【详解】由1a y ax b =-+-是幂函数，知：1,1a b =-=，又(,)a b 在20mx ny -+=上，∴2m n +=，即20n m =->，则1341111n m m m m +-==-+++且02m <<， ∴11(,3)13n m +∈+. 故选：D.34．CD【详解】对于A 选项，1y x =，在(,0)-∞和(0,)+∞上递减，不能说在定义域上递减，故A 选项错误．对于B 选项，0y x =，0x ≠，图像是：直线1y =并且除掉点(0,1)，故B 选项错误． 对于C 选项，2y x =，定义域为R ，是偶函数，所以C 选项正确．对于D 选项，3y x =，函数在其定义域上是增函数，所以D 选项正确．故选：CD35．BC【详解】由()21m m y m x -=-为幂函数，得11m -=，即m =2，则该函数为2y x =，故该函数为偶函数，且在区间()0,∞+上是增函数，故选：BC .36．BC【详解】因为223()(1)m m f x m m x +-=--为幂函数，所以211m m --=，解得：m =2或m =-1.因为任意12,(0,)x x ∈+∞，且12x x ≠，都满足1212()()0f x f x x x ->-， 不妨设12x x >，则有12())0(f x f x ->，所以()y f x =为增函数，所以m =2，此时3()f x x =因为()33()()f x x x f x -=-=-=-，所以3()f x x =为奇函数.因为,a b ∈R 且()()0f a f b +<，所以()()f a f b <-.因为()y f x =为增函数，所以a b <-，所以0a b +<.故BC 正确.故选：BC37．ACD【详解】 因为函数是幂函数，所以915m +=，得45m =-，即()45f x x -=， ()()()45451322216f --⎡⎤-=-=-=⎣⎦，故A 正确；函数的定义域是{}0x x ≠，故B 不正确； ()()f x f x -=，所以函数是偶函数，故C 正确；函数()45f x x -=在()0,∞+是减函数，不等式()()12f x f -≥等价于12x -≤，解得：212x -≤-≤，且10x -≠，得13x -≤≤，且1x ≠，即不等式的解集是[)(]1,11,3-，故D 正确.故选：ACD38．BCD【详解】对于①对于定义域内的任意x ，恒有()()0f x f x +-=，即()()f x f x -=-，所以()f x 是奇函数；对于②对于定义域内的任意1x ，2x ，当12x x ≠时，恒有()()12120f x f x x x -<-， ()f x 在定义域内是减函数； 对于A ：()2121x f x x -=+，()113f =，()13f -=，故不是奇函数，所以不是“理想函数”； 对于 B ：()3f x x =-是奇函数，且是减函数，所以是“理想函数”；对于C ：()f x x =-是奇函数，并且在R 上是减函数，所以是“理想函数”；对于D ：()22,0,0x x f x x x x x ⎧-≥==-⎨<⎩，()||()f x x x f x -==-， 所以()22,0,0x x f x x x ⎧-≥=⎨<⎩是奇函数； 根据二次函数的单调性，()f x 在(,0)-∞，(0,)+∞都是减函数，且在0x =处连续，所以()22,0,0x x f x x x ⎧-≥=⎨<⎩在R 上是减函数， 所以是“理想函数”.故选：BCD.39．5【详解】设()f x x α=，则()12222f αα==⇒=， 所以()(),55f x x f ==. 故答案为：540．()22-，【详解】设幂函数()y f x x α==，其图象过点18,2⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以182α=，即3122α-=，解得：13α=-，所以()13f x x -=， 因为()()()13f x x f x --=-=-，所以()13f x x -=为奇函数，且在()0-∞，和()0+∞，上单调递减， 所以()()2150f a f ++->可化为()()()2155f a f f +>--=， 可得215a +<，解得：22a -<<，所以a 的范围为()22-，， 故答案为：()22-，． 41．()4,-+∞【详解】 解：因为幂函数13y x =在R 上为增函数，()()1133312a a -<+， 所以312a a -<+，解得4a >-，所以不等式的解集为()4,-+∞，故答案为：()4,-+∞42．{}1,1,3-【详解】由幂函数()f x 与x 轴及y 轴均无交点，得2230m m -≤-，解得13m -≤≤，又m Z ∈，即{}1,0,1,2,3m ∈-，()223()m m f x x m Z --=∈的图像关于y 轴对称， 即函数为偶函数，故223m m --为偶数， 所以{}1,1,3m ∈-，故答案为：{}1,1,3-.43．1-【详解】由题意知，幂函数()k f x x =在(0)+∞，上单调递减， 则k 为负数，则k =-2，-1，12-，又由函数()k f x x =为奇函数，则k =-1，故答案为：-144．-6【详解】因为()()21212223m f x m m x n -=+-+-是幂函数，所以22221,10,230,m m m n ⎧+-=⎪-≠⎨⎪-=⎩，解得3,3,2m n =-⎧⎪⎨=⎪⎩， 所以323262m n -=--⨯=-．45．（1）()2f x x =；（2）存在，2b =±. 解：因为函数()()()()1221a a f x a a x -+=--是幂函数，所以211a a --=，解得2a =或1a =-，当2a =时，()4f x x -=，则()()12f f >，故不符题意，当1a =-时，()2f x x =，则()()12f f <，符合题意，所以()2f x x =；（2）由（1）得 ()()()22232233g x f x bx x bx x b b =-+=-++=--++， 函数图像开口向下，对称轴为：x b =，当1b ≤-时，函数()g x 在区间[]1,1-上递减，则()()11236max g x g b =-=--+=，解得2b =-，符合题意； 当1b ≥时，函数()g x 在区间[]1,1-上递增，则()()11236max g x g b ==-++=，解得2b =，符合题意；当11b -<<时，()()22236max g x g b b b ==-++=，解得3b =±，不符题意， 综上所述，存在实数2b =±满足题意.46．（1）1m =-；（2）32,,123⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【详解】解：（1）()f x 是幂函数，2221m m ∴--=，解得：3m =或1m =-， 3m =时，()13f x x =在(0,)+∞上单调递增，1m =-时，()1f x x=在(0,)+∞递减， 故1m =-；（2）若实数a 满足条件()()132f a f a ->+，则10320a a ->⎧⎨+<⎩或10320132a a a a ->⎧⎪+>⎨⎪-<+⎩或10320132a a a a-<⎧⎪+<⎨⎪-<+⎩，解得：32a <-或213a -<<，故a 的取值范围是32,,123⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 47．（1）2()f x x =；（2）(1,1)-；（3）2．【详解】（1）()f x 是幂函数，则2221m m -+=，1m =，又()f x 是偶函数，所以23(3)k k k k -=-是偶数，()f x 在(0,)+∞上单调递增，则230k k ->，03k <<，所以1k =或2． 所以2()f x x =；（2）由（1）偶函数()f x 在[0,)+∞上递增， (21)(2)f x f x -<-22(21)(2)212f x f x x x ⇔-<-⇔-<-11x ⇔-<<． 所以x 的范围是(1,1)-．（3）由（1）237a b +=，2(1)3(1)12a b +++=，0,0a b >>， []3213219(1)2(1)2(1)3(1)121112111211b a a b a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫+=++++=++ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭ 19(1)4(1)12221211b a a b ⎛⎫++≥+⨯= ⎪ ⎪++⎝⎭，当且仅当9(1)4(1)11b a a b ++=++，即2,1a b ==时等号成立． 所以3211a b +++的最小值是2．。
幂函数高考知识点总结
幂函数高考知识点总结幂函数是高中数学中非常重要的一部分内容，也是高考中经常出现的知识点之一。
幂函数在数学中具有广泛的应用，不仅仅体现在纵坐标的数值关系上，更是涉及到图像特征、函数性质以及解题方法等方面。
下面我将对幂函数的相关知识进行总结和梳理，希望对大家复习和备考有所帮助。
1、幂函数的定义和性质幂函数的一般形式可以表示为：f(x) = ax^b，其中a和b是常数，而x是变量。
其中，a称为幂函数的系数，b称为幂函数的指数。
幂函数的定义域由指数b的正负决定，若b为正整数，则定义域是全体实数；若b为负整数，则定义域是x ≠ 0的一切实数；若b为0，则幂函数的定义域是x > 0的一切实数。
当只考虑幂函数f(x)在正数定义域上的取值时，幂函数的图像可以分为两种情况：当a > 1时，图像呈现递增趋势；当0 < a < 1时，图像则呈现递减趋势。
2、幂函数的图像特征通过观察幂函数的图像，我们可以得出一些重要的结论。
首先，当幂函数的系数a为正数时，图像都经过第一象限的点(1, a)。
其次，当幂函数的指数b为奇数时，幂函数的图像对称于y轴；当幂函数的指数b为偶数时，幂函数的图像具有原点对称性。
除此之外，我们还可以通过改变系数a和指数b的值，来改变幂函数图像的特征，如峰值的高低、函数图像的陡峭程度等。
3、幂函数的运算与应用幂函数的求导是高中数学中的重要内容之一。
对于幂函数f(x) =ax^b，其中a为常数，b为实数，我们可以通过求导的方法来确定幂函数的导函数形式。
具体来说，当指数为整数时，我们可以利用幂函数的定义进行求导；当指数为实数且不为整数时，我们则需要利用对数函数的性质来求导。
此外，由于幂函数具有多种性质和特点，在解决实际问题时也能够提供很多启示和方法。
4、幂函数的解题技巧和例题分析在高考中，幂函数常常出现在各种数学题目中，因此熟练掌握幂函数的解题方法是非常重要的。
对于幂函数的解题技巧，我们可以利用以下几点进行分析和总结：首先，要熟悉幂函数的性质和特点，了解其图像形态和函数性质；其次，要能够根据题目给出的条件和要求，建立幂函数方程或不等式；最后，要善于运用数学方法和思维工具，进行合理的推导和计算。
高考数学专题复习题：幂函数
高考数学专题复习题：幂函数一、单项选择题（共5小题）1．幂函数()f x x α=的图象过点1(,22，则()4f 等于（ ）2．若函数()22211mm y m m x −−=−−是幂函数，且在()0,x ∈+∞上是减函数，则实数m 的值为（ ）A.2B.-2C.1D.-13．已知幂函数()f x x α=的图象过点15,5⎛⎫ ⎪⎝⎭,则函数()(3)()g x x f x =−在区间1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是（ ）A.-1B.-2C.-4D.-84．已知a ===A.a b c << B.c b a << C.b c a << D.c a b <<5．已知幂函数()f x x α=的图象过点11,28⎛⎫ ⎪⎝⎭，且(2)(2)f a f a +<，则实数a 的取值范围是（ ）A.(,2)−∞B.(2,)+∞C.(2,2)−D.(2,)−+∞二、多项选择题（共2小题）6．若幂函数()()23231mm f x a x −+=−+，其中a ，m ∈R ，则下列说法正确的是（ ）A.a =−1m <<时，()()21f f > C.若4m =时，()y f x =关于y 轴对称 D.()f x 恒过定点()1,1−−8．已知112,1,,,1,2,322α⎧⎫∈−−−⎨⎬⎩⎭，若幂函数()f x x α=为奇函数，且在()0,+∞上是严格减函数，则α取值的集合是________.9．函数32y x α=−的图象过定点________.四、解答题（共3小题）10．已知幂函数()()2157m f x m m x −=−+为偶函数． （1）求()f x 的解析式．（2）若()()34g x f x x =−+，求函数()g x 在区间[]1,2−上的值域．11．已知幂函数()23()69m f x m m x +=++在(0,)+∞上单调递减． （1）求实数m 的值．（2）若11(32)(4)m m a a −−−−−<+，求实数a 的取值范围．12．已知幂函数()m f x x =的图象过点()25,5． （1）求()4f 的值．（2）若()()132f a f a +>−，求实数a 的取值范围．。
幂函数【高三重点复习】
【例3】已知幂函数y=x3m-9(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在
(0，+∞)上函数值随x的增大而减小，求满足 (a 1) 的a的取值范围. 【解题指南】利用幂函数的性质，构建出m的不等式，并求出m 的值，再根据其单调性，由关于a的已知不等式，构建a的不等 式，从而求出a的范围.
m 3
(3 2a)
(3)幂函数的图象最多只能出现在两个象限内； (4)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.
1 【例2】若点 ( 2， 在幂函数f(x)的图象上，点 ( 2， ) 在幂函数 2) － 4
g(x)的图象上，定义h(x)= 大值以及单调区间.
f(x )，f (x) g(x) 试求函数h(x)的最 ， g(x)，f (x) g(x)
【阅卷人点拨】通过对试卷及阅卷数据分析与总结，我们可以 得到以下误区警示和备考建议： 误 区 警 示 在解答本题时，有两大误区： (1)本题易漏掉m2-2m-3=0的情况，此时y=x0(x≠0)与 x轴、y轴也无交点，且关于y轴对称. (2)对函数y=1(x≠0)忽视了注明“x≠0”而失误.
备 考 建 议
的图象又关于y轴对称，
∴m2-2m-3为偶数.
当m=-1时，m2-2m-3=0，为偶数；
当m=0时，m2-2m-3=-3，为奇数；
当m=1时，m2-2m-3=-4，为偶数； 当m=2时，m2-2m-3=-3，为奇数； 当m=3时，m2-2m-3=0，为偶数. 综上m=-1,1,3. 故幂函数的解析式为y=x-4或y=1(x≠0). 答案：-1或1或3 y=x-4或y=1(x≠0)
利用幂函数图象与性质时，还有以下几个误区，在 备考中要高度关注： (1)画的图象太粗糙而致误；
幂函数-高考数学复习
（
1
2 ，则α＝ ，∴ f （ x ）＝
2
，∴ y ＝ ＋1－ x ＝－
1
5
5
2
－ ） ＋ ，∴所求最大值为 .故选B.
2
4
4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
目录
5. 已知函数 f （ x ）＝ x －3，若 a ＝ f （0.60.6）， b ＝ f （0.60.4）， c ＝ f
幂函数
1. 通过具体实例，理解幂函数的概念.
2.
1
结合 y ＝ x ， y ＝ ， y ＝ x 2， y ＝
变化规律.
， y ＝ x 3的图象，理解它们的
目录
1
C O N T E N T S
2
3
知识 逐点夯实
考点 分类突破
课时 跟踪检测
PART
1
知识 逐点夯实
课前自修
必备知识 系统梳理 基础重落实
C. 是奇函数，且在（0，＋∞）上单调递减
D. 是奇函数，且在（0，＋∞）上单调递增
1
3
解析： 因为 f （ x ）＝ ，故 f （ x ）是奇函数，且在（0，＋
∞）上单调递增，故选D.
目录
4.
1
已知α∈{－2，－1， ，1，2，3}.若幂函数 f （ x ）＝ x α为奇函数，
2
且在（0，＋∞）上单调递减，则α＝
调递减
目录
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
1
3
（1）函数 y ＝2 是幂函数.
（
考点11 幂函数——2021年高考数学专题复习讲义附解析
考点11：幂函数【思维导图】【常见考法】考法一：幂函数定义辨析1．已知函数22+3()(21)mm f x n x -+=-，其中m N ∈，若函数()f x 为幂函数且其在(0,)+∞上是单调递增的，并且在其定义域上是偶函数，则m n += 。
2．幂函数()()2231m m f x m m x+-=--在()0,+∞时是减函数，则实数m 的值为 。
3．若幂函数()()223265m f x m m x-=-+没有零点，则()f x 满足 。
A ．在定义域上单调递减 B ．()f x 在(0,)x ∈+∞单调递增 C ．关于y 轴对称 D ．()()0f x f x +-=4．已知幂函数y ＝（m 2﹣3m +3）x m +1是奇函数，则实数m 的值为 。
考法二：幂函数的性质1．函数()12ln 1xf x x x =-+的定义域 。
2．若函数()12f x x -=则函数y ＝f (4 x －3)的定义域是 。
3．已知幂函数y x α=的图象过点1,42⎛⎫⎪⎝⎭，则该函数的单调递减区间为 。
4．若()14f x x =,则不等式816f x f x 的解集是 。
5．已知()()2233132a a --+<-，则a 的取值范围__________.6．已知函数()22k k f x x -++=，且()()23f f >，则实数k 的取值范围是______.7．已知，131344525,,333a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是 。
考法三：图像问题1．幂函数y =（m 2-m -5）x 241m m -+的图象分布在第一、二象限，则实数m 的值为______.2．上图中曲线是幂函数n y x =在第一象限的图象，已知n 取2±，12±四个值，则相应于曲线1C 、2C 、3C 、4C 的n 依次为（ ）3．下图给出四个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是 （ ）① ② ③ ④ A ．①13y x =，②2y x ，③12y x =，④1y x -= B ．①3y x =，②2y x ，③12y x =，④1y x -=C ．①2yx ，②3y x =3y x =，③1y x -=，④12y x =D ．①13y x =，②12y x =，③2y x ，④1y x -=4．已知幂函数a y x =的图像满足，当(0,1)x ∈时，在直线y x =的上方；当(1,)x ∈+∞时，在直线y x =的下方，则实数a 的取值范围是_______________.解析附后考点10：对数函数【思维导图】。
高考数学专题复习：幂函数
高考数学专题复习：幂函数一、单选题1．定义在R 上的函数()f x 满足(2)()f x f x +=，(1)(1+)f x f x -=，当[]0,1x ∈时，()f x =则函数()f x 的图象与()3xg x =的图象的交点个数为（ ） A ．5B ．6C ．7D ．82．幂函数2266()(33)m m f x m m x -+=-+在(0,)+∞上单调递增，则m 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．1或23．已知函数()f x ()x ∈R 满足()()6f x f x -=-，函数33y x =+的图象与()y f x =的图象的交点为()11,x y ，()22,x y ，…，()1111,x y ，则()11111i x y =+=∑（ ）A ．40B ．50C ．33D ．704．已知函数1a y ax b =-+-是幂函数，直线20(0,0)mx ny m n -+=>>过点(,)a b ，则11n m ++的取值范围是（ ）A ．11,,333⎫⎫⎛⎛-∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭B ．(1,3)C ．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭5．已知函数131()2021(1)20212x x f x x x --=+--+，则不等式2(4)(23)4f x f x -+-≤的解集为（ ）． A ．[1,4]-B ．[4,1]-C ．(,1][4,)-∞-⋃+∞D ．(,4][1,)-∞-+∞6．幂函数()()22222m f x m m x-=--在()0,∞+为增函数，则m 的值是（ ）A ．1-B ．3C ．1-或3D ．1或3-7．设α∈11,132⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，，，则使函数y ＝x α 的定义域为R 的所有α的值为（ ） A ．1,3 B ．－1,1 C ．－1,3 D ．－1,1,38．下列结论正确的是（ ） A ．幂函数图象一定过原点B ．当0α<时，幂函数y x α=是减函数C ．当1α>时，幂函数y x α=是增函数D ．函数2yx 既是二次函数，也是幂函数9．不等式12x⎫⎛≤ ⎪⎝⎭） A ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C．⎡⎢⎣⎦D．⎫+∞⎪⎪⎣⎭10．已知幂函数()f x x α=满足()()2216f f =，若()4log 2a f =，()ln 2b f =，()125c f -=，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a c b >> B ．a b c >> C ．b a c >>D ．b c a >>11．已知幂函数()f x 的图象经过点122⎛⎫⎪⎝⎭，，则(4)f 的值等于（ ）A ．12B ．2C ．4D ．1412．已知幂函数()221()22m f x m m x+=--的图象不经过原点，则m 的取值集合是（ ） A ．{}13-，B ．{}1-C ．{}3D ．1|2m m ⎧⎫≤-⎨⎬⎩⎭二、填空题13．已知幂函数()y f x =的图象经过点()9,3，则()f x 的解析式是________． 14．幂函数221()mm y x m N +-=∈在区间(0,)+∞上是减函数，则m =________.15．已知函数1()log (3)(0,1)2a f x x a a =-+>≠的图象过定点P ，若点P 在幂函数()g x x α=的图象上，则1()9g 的值为___________.16．若01b a <<<，b p a =，a q b =，b r b =，则________．（用>连接）三、解答题17．已知函数()f x =()2g x x =-.（1）求方程()()f x g x =的解集；（2）定义：{},,,a a bmax a b b a b ≥⎧=⎨<⎩.已知定义在[)0,+∞上的函数{}()(),()h x max f x g x =.求函数()h x 的解析式，在平面直角坐标系中，画出函数()h x 的简图；并写出函数()h x 的单调区间和最小值.18．已知幂函数223()m m f x x --=(m ∈Z )为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调减函数.（1）求函数()f x ；（2）讨论()()bF x xf x =的奇偶性.19．已知幂函数()()2133m f x m m x+=-+为偶函数.一次函数()y g x =满足()11g =，()23g =.（1）求()y f x =和()y g x =的解析式； （2）求函数()()()11f x h x f x -=+在区间[]1,2上的最大值和最小值.20．函数()f x （1）求函数()f x 的定义域； （2）解不等式(1)3f x +≤.21．已知幂函数()y f x =的图象经过点()5,25P . （1）求()f x 的解析式； （2）用定义法证明函数()()4f x g x x+=在区间2,上单调递增22．设指数函数()(2)x f x m =+，幂函数()23()1g x m m x =++.（1）求m ；（2）设0a <，如果存在12,[2,2]x x ∈-，使得()()12af x g x >，求a 的取值范围.参考答案1．A 【分析】根据题意，分析()f x 的周期性和对称性，结合函数的解析式可得()f x 的图像，在相同坐标系中作出()f x 的图像与()3xg x =的图像，结合图像分析可得答案 【详解】解：因为义在R 上的函数()f x 满足(2)()f x f x +=，(1)(1+)f x f x -=， 所以()f x 的周期为2，且图像关于直线1x =对称，由于当[]0,1x ∈时，()f x =()f x 的图像如图所示，再作出()3xg x =的图像， 则由图像可知，两函数图像的交点个数为5， 故选：A2．A 【分析】由题意利用幂函数的定义和性质，求得m 的值． 【详解】解：幂函数2266()(33)m m f x m m x -+=-+在(0,)+∞上单调递增，2331m m ∴-+=，且2660m m -+>，解2331m m -+=得1m =或2m =，当1m =时26610m m -+=>符合题意； 当2m =时26620m m -+=-<不符合题意； 故选：A ．3．C 【分析】由条件得，两个函数均关于点(0,3)对称，从而求得交点的横坐标和及纵坐标和. 【详解】由()()6f x f x =--可知()y f x =的图象关于点()0,3对称， 又因为33y x =+的图象也关于点()0,3对称， 所以两个函数的图象的交点关于点()0,3对称， 即12110x x x ++⋅⋅⋅+=，121133y y y ++⋅⋅⋅+=， 所以()11133i i i x y =+=∑，故选：C ． 4．D 【分析】由幂函数的性质求参数a 、b ，根据点在直线上得2m n +=，有14111n m m +=-++且02m <<，进而可求11n m ++的取值范围. 【详解】由1a y ax b =-+-是幂函数，知：1,1a b =-=，又(,)a b 在20mx ny -+=上， ∴2m n +=，即20n m =->，则1341111n m m m m +-==-+++且02m <<， ∴11(,3)13n m +∈+. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：根据幂函数的性质求参数，再由点在线上确定m 、n 的数量关系，进而结合目标式，应用分式型函数的性质求范围. 5．A 【分析】设函数3()202120212x x g x x x -=+-+，判断其单调性与奇偶性；从而得出()f x 单调性与对称性，将所求不等式化为2(4)(3)f x f x -≤，根据函数单调性，即可求出结果.【详解】设函数3()202120212x x g x x x -=+-+，则函数()g x 是定义域为R ，根据指数函数与幂函数的单调性可得，2021x y =是增函数，2021x y -=是减函数，3y x =是增函数，所以3()202120212x x g x x x -=+-+在R 上单调递增；又3()202120212()x x g x x x g x --=-=---，所以()g x 是奇函数，其图象关于原点对称；又()131()2021(1)202121)212x xf x x xg x --=+--+-+=-+（， 即()f x 的图象可由()g x 向右平移一个单位，再向上平移两个单位后得到，所以131()2021(1)202121)2x x f x x x --=+--+-+（是定义域为R 的增函数， 且其图像关于点(1,2)对称，即有()(2)4f x f x +-=，即 (2)4()f x f x -=-． 由2(4)(23)4f x f x -+-≤得 2(4)4(23)f x f x -≤--，即()()242(23)f x f x -≤--，即2(4)(3)f x f x -≤，所以 243x x -≤，解得 14x -≤≤． 故选：A ． 【点睛】 关键点点睛：求解本题的关键在于根据函数的解析式，判断函数()f x 的单调性与对称性，进而即可求解不等式. 6．B 【分析】由幂函数解析式的形式可构造方程求得1m =-或3m =，分别验证两种情况下()f x 在()0,∞+上的单调性即可得到结果. 【详解】()f x 为幂函数，2221m m ∴--=，解得：1m =-或3m =；当1m =-时，()1f x x -=，则()f x 在()0,∞+上为减函数，不合题意；当3m =时，()7=f x x ，则()f x 在()0,∞+上为增函数，符合题意；综上所述：3m =. 故选：B. 7．A 【分析】利用幂函数的性质逐一验证选项即可． 【详解】当1α=-时，函数y ＝1x -的定义域为{}|0x x ≠，不是R ，所以1α=-不成立； 当12α=时，函数y ＝12x 的定义域为{}|0x x ≥，不是R ，所以12α=不成立； 当1α=或3α=时，满足函数y ＝x α的定义域为R ， 故选：A. 8．D 【分析】由函数1y x -=的性质，可判定A 、B 不正确；根据函数2y x 可判定C 不正确；根据二次函数和幂函数的定义，可判定D 正确. 【详解】由题意，函数1y x -=的图象不过原点，故A 不正确； 函数1y x -=在(,0)-∞及(0,)+∞上是减函数，故B 不正确； 函数2yx 在(,0)-∞上是减函数，在(0,)+∞上是增函数，故C 不正确；根据幂函数的定义，可得函数2y x 是二次函数，也是幂函数，所以D 正确.故选：D. 9．B 【分析】在同一坐标系中作出函数的图象，先求得12x ⎛⎫⎪⎝⎭12x⎫⎛≤ ⎪⎝⎭的解集. 【详解】再同一坐标系中作出函数的图象，如图所示：当12x⎛⎫⎪⎝⎭12x =，由图象知：12x⎫⎛ ⎪⎝⎭1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭故选：B 10．C 【分析】由()()2216f f =可求得13α=，得出()f x 单调递增，根据单调性即可得出大小. 【详解】由()()2216f f =可得4222αα⋅=，∴14αα+=， ∴13α=，即13f x x .由此可知函数()f x 在R 上单调递增.而由换底公式可得242log 21log 2log 42==，22log 2ln 2log e =，125-=， ∵21log 2e <<，∴2222log 2log 2log 4log e <，于是4log 2ln 2<， 又12<，∴1245log 2-<，故a ，b ，c 的大小关系是b a c >>. 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题考查利用函数单调性判断大小，解题的关键是判断出函数的单调性以及自变量的大小. 11．D【分析】设幂函数()f x x α=，再将122⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入，求出函数的解析式，即可得答案； 【详解】设幂函数()f x x α=，幂函数()f x 的图象经过点122⎛⎫⎪⎝⎭，所以1(2)22f α==，解得1α=- 所以1()f x x -=，则11(4)44f -==故选：D 12．B 【分析】根据幂函数的定义和性质，求m 的取值集合. 【详解】因为函数是幂函数，所以2221m m --=，解得：1m =-或3m =，当1m =-时，()1f x x -=，函数的图象不经过原点，当3m =时，()7=f x x ，函数的图象经过原点.所以m 的取值集合是{}1-. 故选：B 13．()12f x x = 【分析】先设解析式()f x x α=，再由点()9,3代入求得α，即得结果.【详解】幂函数()y f x =可设为()f x x α=，图象过点()9,3，则()993f α==，则12α=， 所以()12f x x =. 故答案为：()12f x x =. 14．0 【分析】根据题意，得到2210m m +-<，结合m N ∈，即可求解.【详解】由题意，幂函数221()m m y x m N +-=∈在区间(0,)+∞上是减函数，可得2210m m +-<，解得11m -<-因为m N ∈，可得0m =.故答案为：0.15．3【分析】首先求出定点P ，进而求出α，然后带入求值即可.【详解】因为函数log a y x =过定点()1,0，所以令31x -=，即4x =，所以()142=f ，则14,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 又因为点P 在幂函数()g x x α=的图象上，所以142α=，即12α=-，则12()g x x -=，所以11222111()3993g --⎡⎤⎛⎫⎛⎫===⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，故答案为：3.16．p r q >>【分析】利用幂函数和指数函数的单调性比较大小即可【详解】解：因为01b <<，所以函数b y x =在(0,)+∞上为增函数，因为01b a <<<，所以011b b b b a <<<=，即01r p <<<，因为01b <<，所以函数x y b =在R 上为减函数，因为01b a <<<，所以01b a b b b b >>>，即1b q r <<<，所以p r q >>，故答案为：p r q >>17．（1）1或4；（2）图象答案见解析，单调递减区间是[0,1]，单调递增区间是(1,)+∞，其最小值为1.【分析】（1）平方去根号，转化为二次方程求解即得；（2）利用条件将()h x 写成分段函数的形式，根据一次函数和幂函数的图像分段画出图像，得到整体图像，从而得到单调区间和最小值.【详解】解：（1|2|x =-，得2540x x -+=，121,4x x ∴==；（2）由已知得2,012()4222,4x x x h x x x x x x -≤<⎧⎧-⎪⎪==≤≤⎨⎨--⎪⎪⎩->⎩， 函数()h x 的图象如图实线所示：函数()h x 的单调递减区间是[0,1]，单调递增区间是(1,)+∞，其最小值为1.18．（1）4()f x x -=；（2）答案见解析.【分析】（1）由()f x 是偶函数，且在（0，+∞）上是单调减函数，可得m 的值；（2）求出()F x -，分0a ≠且0b ≠，0a ≠且0b =，0a =且0b ≠和0a =且0b =四种情况，分别得出函数的奇偶性．【详解】（1）∵()f x 是偶函数，∴223m m --应为偶数.又∵()f x 在（0，+∞）上是单调减函数，∴223m m --<0，-1<m <3.又m ∈Z ，∴m =0，1，2.当m =0或2时，223m m --=-3不是偶数，舍去；当m =1时，223m m --=-4；∴m =1，即4()f x x -=.（2）32()a F x bx x =-，∴32()a F x bx x-=+ ①当0a ≠且0b ≠时，函数()F x 为非奇非偶函数；②当0a ≠且0b =时，函数()F x 为偶函数；③当0a =且0b ≠时，函数()F x 为奇函数；④当0a =且0b =时，函数()F x 既是奇函数，又是偶函数.19．（1）()2f x x =，()21g x x =-；（2）最小值为0，最大值为35. 【分析】（1）根据幂函数的定义以及幂函数的性质可得1m =，从而求出()y f x =；利用待定系数法求出()y g x =.（2）令21x t +=，且[]2,5t ∈，21y t-=+，利用函数的单调性即可求解. 【详解】（1）因为函数()()2133m f x m m x +=-+为幂函数，所以2331m m -+=， 即2320m m -+=，解得：1m =或2m =.当1m =时，()2f x x =为偶函数，满足题意；当2m =时，()3f x x =为奇函数，不满足题意；所以，()2f x x =.因为()y g x =为一次函数，所以，设()()0g x kx b k =+≠，由()11g =，()23g =，得：123k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：21k b =⎧⎨=-⎩.所以()21g x x =-.. （2）()()()2221121111f x x h x f x x x ---===++++，令21x t +=， 因为[]1,2x ∈，所以[]2,5t ∈， 而21y t -=+在[]3,5t ∈上单调递增， 所以，当2t =，即1x =时，()f x 取得最小值0.当5t =，即2x =时，()f x 取得最大值35. 所以，函数()y f x =在区间[]1,2上的最小值为0，最大值为35. 20．（1）[)2,-+∞；（2）[]3,6-【分析】（1）根据函数有意义的条件求解即可；（2）根据复合函数单调性得()f x [)2,-+∞上单调递增，再结合(7)3f =得1217x x +≥-⎧⎨+≤⎩，进而解不等式即可得答案. 【详解】解：（1）要使函数()f x 20x +≥，解得2x ≥-， 所以函数()f x 的定义域为[)2,-+∞（2）由于函数2t x =+在[)2,-+∞上单调递增，y [)0,+∞上单调递增，所以结合复合函数的单调性得()f x [)2,-+∞上单调递增，由于(7)3f ，所以(1)3f x +≤等价于1217x x +≥-⎧⎨+≤⎩，解得36x -≤≤ 所以不等式(1)3f x +≤的解集为[]3,6-21．（1）2()f x x =，（2）证明见解析【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）由（1）可得4()g x x x=+，然后直接利用单调性的定义证明即可 【详解】（1）解：设()f x x α=，则525α=，得2α=， 所以2()f x x =，（2）证明：由（1）可得4()g x x x =+， 任取12,(2,)x x ∈+∞，且12x x <，则12121244()()g x g x x x x x -=+-- 2112124()()x x x x x x -=-+ 1212124()x x x x x x -=-⋅， 因为122x x <<，所以120x x -<，120x x >，1240x x ->， 所以12()()0g x g x -<，即12()()<g x g x ，所以 函数()()4f xg x x +=在区间2,上单调递增22．（1）0；（2）(32,0)a ∈-.【分析】（1）根据幂函数的系数为1，指数函数的底数0a >且1a ≠求解即可； （2）结合（1）得()2x f x =，3()g x x =，进而问题转化为当12,[2,2]x x ∈-时，()()12max min af x g x ⎡⎤⎡⎤>⎣⎦⎣⎦，再求函数最值即可得答案.【详解】解：（1）根据题意得：2212011m m m m +≠⎧⎪+>⎨⎪++=⎩，解得0m =.（2）由（1）知()2x f x =，3()g x x =，存在12,[2,2]x x ∈-，使得()()12af x g x >，等价于当12,[2,2]x x ∈-时，()()12max min af x g x ⎡⎤⎡⎤>⎣⎦⎣⎦，又0a <，所以()1max (2)4a af x af ⎡⎤=-=⎣⎦， ()32min (2)(2)8g x g ⎡⎤=-=-=-⎣⎦， 所以84a >-，解得：32a >-， 所以(32,0)a ∈-【点睛】本题第二问解题的关键在于根据题意将问题转化为当12,[2,2]x x ∈-时，()()12max min af x g x ⎡⎤⎡⎤>⎣⎦⎣⎦，进而求最值求解即可.考查运算求解能力，化归转化能力，是中档题.。
《幂函数》专题复习与训练
《3.3 幂函数》专题复习与训练【新课导入】1．幂函数的概念一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 2．幂函数的图象在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x－1的图象如图所示：3．幂函数的性质1．下列函数中不是幂函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝x 3 C ．y ＝3xD ．y ＝x －1C [只有y ＝3x 不符合幂函数y ＝x α的形式，故选C.] 2．已知f (x )＝(m ＋1)x m 2＋2是幂函数，则m ＝( ) A ．2 B ．1 C ．3 D ．0 D [由题意可知m ＋1＝1，即m ＝0，∴f(x )＝x 2.]3．已知幂函数f (x )＝x α的图象过点⎝⎛⎭⎪⎫2，22，则f (4)＝________.12 [由f (2)＝22可知2α＝22，即α＝－12， ∴f (4)＝4－12＝12.]【合作探究】 幂函数的概念【例1】 已知y ＝(m 2＋2m －2)xm 2－1＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值．[解]由题意得⎩⎨⎧m 2＋2m －2＝1，m 2－1≠0，2n －3＝0，解得⎩⎨⎧m ＝－3，n ＝32，所以m ＝－3，n ＝32.判断一个函数是否为幂函数的方法判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.1．(1)在函数y ＝1x2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1中，幂函数的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)若函数f (x )是幂函数，且满足f (4)＝3f (2)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值等于________．(1)B (2)13 [(1)∵y ＝1x2＝x －2，∴是幂函数；y ＝2x 2由于出现系数2，因此不是幂函数； y ＝x 2＋x 是两项和的形式，不是幂函数；y ＝1＝x 0(x ≠0)，可以看出，常函数y ＝1的图象比幂函数y ＝x 0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y ＝1不是幂函数．(2)设f (x )＝x α，∵f (4)＝3f (2)，∴4α＝3×2α，解得α＝log 23，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＝13.]幂函数的图象及应用【例2】 点(2，2)与点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12分别在幂函数f (x )，g (x )的图象上，问当x 为何值时，有：(1)f (x )>g (x )；(2)f (x )＝g (x )；(3)f (x )<g (x )．[解] 设f(x)＝xα，g(x)＝xβ.∵(2)α＝2，(－2)β＝－1 2，∴α＝2，β＝－1，∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知，(1)当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；(2)当x＝1时，f(x)＝g(x)；(3)当x∈(0,1)时，f(x)<g(x)．解决幂函数图象问题应把握的两个原则(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高).(2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝x 12或y＝x3)来判断.2.(1)若四个幂函数y＝x a，y＝x b，y＝x c，y＝x d在同一坐标系中的图象如图，则a，b，c，d的大小关系是( )A．d>c>b>aB．a>b>c>dC．d>c>a>bD．a>b>d>c(2)函数y＝x 12－1的图象关于x轴对称的图象大致是( )A B C D(1)B(2)B[(1)令a＝2，b＝12，c＝－13，d＝－1，正好和题目所给的形式相符合．在第一象限内，x＝1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以a>b>c>d.故选B.(2)y＝x 12的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y＝x 12－1的图象可看作由y＝x12的图象向下平移一个单位得到的(如选项A中的图所示)，将y＝x 12－1的图象关于x轴对称后即为选项B.]幂函数性质的综合应用[探究问题]1．幂函数y＝xα在(0，＋∞)上的单调性与α有什么关系？提示：当α>0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增；当α<0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递减．2．2.3－0.2和2.2－0.2可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？提示：2.3－0.2和2.2－0.2可以看作幂函数f(x)＝x－0.2的两个函数值，因为函数f(x)＝x－0.2在(0，＋∞)上单调递减，所以2.3－0.2＜2.2－0.2.【例3】比较下列各组中幂值的大小：(1)0.213,0.233；(2)1.212，0.9－12， 1.1.[思路点拨] 构造幂函数，借助其单调性求解．[解] (1)∵函数y＝x3是增函数，且0.21＜0.23，∴0.213<0.233.(2)0.9－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫10912， 1.1＝1.112.∵1.2>109>1.1，且y ＝x 12在[0，＋∞)上单调递增，∴1.212>⎝ ⎛⎭⎪⎫10912>1.112，即1.212>0.9－12> 1.1.把本例的各组数据更换如下，再比较其大小关系：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫250.5与⎝ ⎛⎭⎪⎫130.5；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－1与⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－1.[解] (1)因为幂函数y ＝x 0.5在[0，＋∞)上是单调递增的， 又25>13， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫250.5>⎝ ⎛⎭⎪⎫130.5.(2)因为幂函数y ＝x －1在(－∞，0)上是单调递减的，又－23<－35，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－1>⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－1.比较幂的大小时若指数相同，则利用幂函数的单调性比较大小；若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”.1．判断一个函数是否为幂函数，其关键是判断其是否符合y ＝x α(α为常数)的形式．2．幂函数的图象是幂函数性质的直观反映，会用类比的思想分析函数y ＝x α(α为常数)同五个函数(y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x －1，y ＝x 12)图象与性质的关系．3．幂函数的单调性是比较幂值大小关系的重要依据，要学会用幂函数的图象及性质处理幂值大小的比较问题.【课堂达标】 1．思考辨析(1)幂函数的图象都过点(0,0)，(1,1)．( ) (2)幂函数的图象一定不能出现在第四象限．( )(3)当幂指数α取1,3，12时，幂函数y ＝x α是增函数．( )(4)当幂指数α＝－1时，幂函数y ＝x α在定义域上是减函数．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×2．幂函数的图象过点(2，2)，则该幂函数的解析式是( ) A ．y ＝x －1B ．y ＝x 12 C ．y ＝x 2D ．y ＝x 3B [设f (x )＝x α，则2α＝2， ∴α＝12，∴f (x )＝x 12.选B.]3．函数y ＝x 54的图象是( )A B C DC [∵函数y ＝x 54是非奇非偶函数，故排除A 、B 选项．又54>1，故选C.]4．比较下列各组数的大小：(1)3－52与3.1－52；(2)4.125，3.8－23，(－1.9)－35.[解] (1)因为函数y ＝x－52在(0，＋∞)上为减函数，又3<3.1，所以3－52>3.1－52. (2)4.125>125＝1,0<3.8－23<1－23＝1，而(－1.9)－35<0，所以4.125>3.8－23>(－1.9)－35.《幂函数》专题训练[合格基础练]一、选择题1．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，则k ＋α等于( )A.12 B ．1 C.32D ．2 A [∵幂函数f (x )＝kx α(k ∈R ，α∈R )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，∴k ＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝2，即α＝－12，∴k ＋α＝12.]2.如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是( )A ．①y ＝x 13，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1B ．①y ＝x 3，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1C ．①y ＝x 2，②y ＝x 3，③y ＝x 12，④y ＝x －1D ．①y ＝x 3，②y ＝x 12，③y ＝x 2，④y ＝x －1B [因为y ＝x 3的定义域为R 且为奇函数，故应为图①；y ＝x 2为开口向上的抛物线且顶点为原点，应为图②.同理可得出选项B 正确．]3．幂函数的图象过点(3, 3)，则它的单调递增区间是( ) A ．[－1，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(－∞，＋∞)D ．(－∞，0)B [设幂函数为f (x )＝x α，因为幂函数的图象过点(3, 3)，所以f (3)＝3α＝3＝312，解得α＝12，所以f (x )＝x 12，所以幂函数的单调递增区间为[0，＋∞)，故选B.]4．设α∈⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域是R ，且为奇函数的所有α的值是( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3A [当α＝－1时，y ＝x －1的定义域是{x |x ≠0}，且为奇函数；当α＝1时，函数y ＝x 的定义域是R ，且为奇函数；当α＝12时，函数y ＝x 12的定义域是{x |x ≥0}，且为非奇非偶函数；当α＝3时，函数y ＝x 3的定义域是R 且为奇函数．故选A.]5．幂函数f (x )＝x α的图象过点(2,4)，那么函数f (x )的单调递增区间是( )A ．(－2，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．[0，＋∞)D ．(－∞，－2)C [由题意得4＝2α，即22＝2α，所以α＝2.所以f (x )＝x 2. 所以二次函数f (x )的单调递增区间是[0，＋∞)．]二、填空题6．已知幂函数f (x )＝x m 的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫3，13，则f (6)＝________.136 [依题意13＝(3)m＝3m 2，所以m 2＝－1，m ＝－2， 所以f (x )＝x －2，所以f (6)＝6－2＝136.] 7．若幂函数f (x )＝(m 2－m －1)x 2m －3在(0，＋∞)上是减函数，则实数m ＝________.－1 [∵f (x )＝(m 2－m －1)x 2m －3为幂函数， ∴m 2－m －1＝1，∴m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，f (x )＝x ，在(0，＋∞)上为增函数，不合题意，舍去；当m ＝－1时，f (x )＝x －5，符合题意．综上可知，m ＝－1.]8．若幂函数y ＝x mn (m ，n ∈N *且m ，n 互质)的图象如图所示，则下列说法中正确的是________．①m ，n 是奇数且m n <1；②m 是偶数，n 是奇数，且m n>1；③m 是偶数，n 是奇数，且m n <1；④m ，n 是偶数，且m n>1.③ [由题图知，函数y ＝x mn 为偶函数，m 为偶数，n 为奇数，又在第一象限向上“凸”，所以mn<1，选③.]三、解答题9．已知函数f (x )＝(m 2＋2m )·x m 2＋m －1，m 为何值时，函数f (x )是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)幂函数．[解] (1)若函数f (x )为正比例函数，则⎩⎨⎧m 2＋m －1＝1，m 2＋2m ≠0，∴m ＝1.(2)若函数f (x )为反比例函数，则 ⎩⎨⎧m 2＋m －1＝－1，m 2＋2m ≠0，∴m ＝－1.(3)若函数f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1，∴m ＝－1± 2. 10．已知幂函数y ＝f (x )经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，18.(1)试求函数解析式；(2)判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间．[解] (1)由题意，得f (2)＝2α＝18，即α＝－3，故函数解析式为f (x )＝x－3.(2)∵f (x )＝x －3＝1x3，∴要使函数有意义，则x ≠0，即定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．∵f (－x )＝(－x )－3＝－x －3＝－f (x )， ∴该幂函数为奇函数．当x ＞0时，根据幂函数的性质可知f (x )＝x －3在(0，＋∞)上为减函数，∵函数f (x )是奇函数，∴在(－∞，0)上也为减函数，故其单调减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．[等级过关练]1．函数y ＝x －2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最大值是( )A.14 B ．－1 C ．4D ．－4C [函数y ＝x －2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上为减函数，所以当x ＝12时有最大值4.] 2．给出幂函数：①f (x )＝x ；②f (x )＝x 2；③f (x )＝x 3；④f (x )＝x ；⑤f (x )＝1x .其中满足条件f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>f (x 1)＋f (x 2)2(x 1>x 2>0)的函数的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个A [①函数f (x )＝x 的图象是一条直线，故当x 1>x 2>0时，f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝f (x 1)＋f (x 2)2；②函数f (x )＝x 2的图象是凹形曲线，故当x 1>x 2>0时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f (x 1)＋f (x 2)2；③在第一象限，函数f (x )＝x 3的图象是凹形曲线，故当x 1>x 2>0时，f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f (x 1)＋f (x 2)2；④函数f (x )＝x 的图象是凸形曲线，故当x 1>x 2>0时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>f (x 1)＋f (x 2)2；⑤在第一象限，函数f (x )＝1x的图象是一条凹形曲线，故当x 1>x 2>0时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f (x 1)＋f (x 2)2.故仅有函数f (x )＝x 满足当x 1>x 2>0时， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>f (x 1)＋f (x 2)2.故选A.]3．幂函数f (x )＝x 3m －5(m ∈N )在(0，＋∞)上是减函数，且f (－x )＝f (x )，则m 可能等于________．1 [∵幂函数f (x )＝x 3m －5(m ∈N )在(0，＋∞)上是减函数，∴3m －5＜0，即m ＜53，又m ∈N ，∴m ＝0,1；∵f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．当m ＝0时，f (x )＝x －5是奇函数；当m ＝1时，f (x )＝x －2是偶函数，故m ＝1.]4．已知幂函数f (x )＝x 12，若f (10－2a )<f (a ＋1)，则a 的取值范围是________．3<a ≤5 [因为f (x )＝x 12＝x (x ≥0)， 易知f (x )在(0，＋∞)上为增函数， 又f (10－2a )<f (a ＋1)，所以⎩⎨⎧a ＋1≥0，10－2a ≥0，a ＋1>10－2a ，解得⎩⎨⎧a ≥－1，a ≤5，a >3，所以3<a ≤5.]5．已知幂函数f (x )＝x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，函数g (x )＝(x －2)f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤x ≤1，求函数g (x )的最大值与最小值．[解] 因为f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，所以12＝2α，所以α＝－1，所以f (x )＝x －1， 所以g (x )＝(x －2)·x －1＝x －2x ＝1－2x. 又g (x )＝1－2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上是增函数，所以g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－3，g (x )max ＝g (1)＝－1.。
(完整版)幂函数知识总结
幂 函 数 复 习一、幂函数定义：形如)(R x y ∈=αα的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数。
注意：幂函数与指数函数有何不同？【思考·提示】 本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置． 观察图:归纳：幂函数图像在第一象限的分布情况如下：二、幂函数的性质归纳:幂函数在第一象限的性质:0>α，图像过定点（0,0）（1,1)，在区间(+∞,0）上单调递增。
0<α，图像过定点(1，1)，在区间（+∞,0）上单调递减.探究：整数m,n 的奇偶与幂函数nm x y =),,,(互质且n m Z n m ∈的定义域以及奇偶性有什么关系? 结果：形如nmx y =),,,(互质且n m Z n m ∈的幂函数的奇偶性（1）当m,n 都为奇数时，f （x)为奇函数,图象关于原点对称； （2）当m 为奇数n 为偶数时，f(x)为偶函数，图象关于y 轴对称；（3）当m 为偶数n 为奇数时，f(x ）是非奇非偶函数，图象只在第一象限内. 三、幂函数的图像画法：关键先画第一象限，然后根据奇偶性和定义域画其它象限。
指数大于1，在第一象限为抛物线型（凹）； 指数等于1，在第一象限为上升的射线；指数大于0小于1,在第一象限为抛物线型（凸）； 指数等于0，在第一象限为水平的射线； 指数小于0，在第一象限为双曲线型; 四、规律方法总结:1、幂函数)1,0(==ααx y 的图像：2、幂函数),,,,(互质q p Z q p p qx y ∈==αα的图像:3、比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是： (1)若能化为同指数，则用幂函数的单调性; （2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；(3)若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小． 题型一:幂函数解析式特征例1。
下列函数是幂函数的是（ ） A ．y=xxB 。
2025届高考数学一轮复习讲义函数之 幂函数、指数与指数函数
C. 当x＞1时，f(x)＞1
[解析]
D.
(1 )＋(2 )
1 ＋2
当0＜x1＜x2时，
＜f(
)
2
2
1
α
α
因为幂函数 f ( x )＝ x 的图象经过点(16，4)，所以16 ＝4，α＝ ，所以 f ( x )
2
1
2
＝ ＝ ，由其图象可知，A错误，B正确；当 x ＞1时， f ( x )＞ f (1)＝1，故C正
(2)指数函数的图象和性质
函数
y＝ax(a＞1)
y＝ax(0＜a＜1)
图象
函数的定义域为R；值域为⑲ (0，＋∞) .
函数图象过定点⑳ (0，1) ，即当x＝0时，y＝1.
性质
当x＞0时，0＜y＜1；当x＜0时，
当x＞0时，y＞1；当x＜0时，0＜y＜1.
y＞1.
函数在R上单调递㉑ 增 .
函数在R上单调递㉒ 减 .
确；由 f ( x )＝
(1 )＋(2 )
1 ＋2
的图象可知
＜f(
)，故D正确.故选BCD.
2
2
)
3. 函数 f ( x )＝ ax －1＋2( a ＞0，且 a ≠1)的图象恒过定点 (1，3) .
4. 已知函数 f ( x )＝ ax ＋ b ( a ＞0，且 a ≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则 a ＋ b
＝⑭
( a ＞0， m ， n ∈N*，且 n ＞1).
1
( a ＞0， m ， n ∈N*，且 n ＞1).
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.
(3)有理数指数幂的运算性质
幂函数复习——精选推荐
幂函数复习考纲要求：①了解幂函数的概念；②结合函数12321,,,,y x y x y x y y x x=====的图像，了解他们的变化情况．知识梳理：1. 幂函数的基本形式是y x a =，其中x 是自变量，a 是常数. 要求掌握y x =，2y x =，3y x =，1/2y x=，31x y =32x y =1y x-=2-=xy 3-=x y 这几个常用幂函数的图象. 2. 观察出幂函数的共性，总结如下： （1）当0a >时，图象过定点 ；在(0,)+¥上是 函数. （2）当0a <时，图象过定点 ；在(0,)+¥上是 函数；在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近. 3. 幂函数y x a =的图象，在第一象限内，直线1x =的右侧，图象由下至上，指数 . y 轴和直线1x =之间，图象由上至下，指数a . 诊断练习： 1如果幂函数()f x x a=的图象经过点2(2,)2，则(4)f 的值等于 2．函数y ＝（x 2－2x ）21－的定义域是 3．函数y ＝52x 的单调递减区间为 4．函数y ＝21m mx－－在第二象限内单调递增，则m 的最大负整数是__ _ 范例分析：例1比较下列各组数的大小：（1）1.531，1.731，1； （2）（－22）32-，（－107）32，1.134-；55)的值为 .a在区间上是减函数．4271．用“<”或”>”连结下列各式：0.60.32 0.50.32 0.50.34， 0.40.8-0.40.6-．2．函数1322(1)(4)y x x --=-+-的定义域是 3．942--=a a x y 是偶函数，且在),0(+¥是减函数，则整数a 的值是 .4．已知3532x x >，x的取值范围为5．若幂函数a y x =的图象在0<x<1时位于直线y=x 的下方，则实数a 的取值范围是6．若幂函数()f x 与函数g(x)的图像关于直线y=x 对称，且函数g(x)的图象经过3(33,)3,则()f x 的表达式为7. 函数2()3x f x x +=+的对称中心是 ，在区间是 函数（填“增、减”） 8．比较下列各组中两个值的大小33221.31.30.30.35533(1)1.5 1.6(2)0.60.7(3)3.5 5.3(4)0.18.15----与与与与09．若3131)23()2(---<+a a ，求a 的取值范围。
总复习《第10讲 幂函数》
二. 图象及其应用 例题2 P24 课前热身第1题.
解题是一种实践性技能 , 就象 游泳、滑雪、弹钢琴一样，只能通 过模仿和实践来学到它！ ——波利亚
1
y＝x－1
R R
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞) {x|x∈R 且 x≠0} [0，＋∞)
{y|y∈R 且 y≠0}
R
奇函数
奇偶性 奇函数
偶函数
x∈[0，＋∞) 时，增 x∈(-∞，0பைடு நூலகம் 时，减
非奇非 偶函数
奇函数
x∈[0，＋∞) 时，增 x∈(-∞，0] 时，减
单调性
增
增
增
例题1 已知幂函数 f ( x) (m m 1) x
高中数学总复习
幂函数
要点梳理
1．幂函数的概念
忆一忆知识要点
α y ＝ x 一般地，我们把形如 的函数称为幂函数，其中 x
是自变量，α 是常数． 2．幂函数的图象与性质 由幂函数 y＝x、y＝x 、y＝x2、y＝x 1、y＝x3 的图象，
－
1 2
可归纳出幂函数的如下性质： (1)幂函数在(0，＋∞)上都有定义； (2)幂函数的图象都过点 (1,1) ；
要点梳理
忆一忆知识要点
(3)当 α>0 时，幂函数的图象都过点 (0,0) 与 (1,1) ，且在 (0，＋∞)上是单调 递增 ； (4)当 α<0 时， 幂函数的图象都不过点(0,0)， 在(0， ＋∞) 上是单调 递减 ． 3．五种幂函数的比较 (1)幂函数的图象比较
(2)幂函数的性质比较 y＝ x 定义域 值域 y＝x2 y＝x3 y＝x2
2
5m3
在(0,+∞)上是增函数，则m=
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幂函数复习考纲要求：①了解幂函数的概念；②结合函数12321,,,,y x y x y x y y x x=====的图像，了解他们的变化情况．知识梳理：1. 幂函数的基本形式是y x α=，其中x 是自变量，α是常数. 要求掌握y x =，2y x =，3y x =，1/2y x =，31x y =32x y =1y x -=2-=xy 3-=x y 这几个常用幂函数的图象.2. 观察出幂函数的共性，总结如下： （1）当0α>时，图象过定点 ；在(0,)+∞上是 函数.（2）当0α<时，图象过定点 ；在(0,)+∞上是 函数；在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近.3. 幂函数y x α=的图象，在第一象限内，直线1x =的右侧，图象由下至上，指数 . y 轴和直线1x =之间，图象由上至下，指数α . 诊断练习：1如果幂函数()f x x α=的图象经过点，则(4)f 的值等于 2．函数y ＝（x 2－2x ）21－的定义域是3．函数y ＝52x 的单调递减区间为 4．函数y ＝221m mx－－在第二象限内单调递增，则m 的最大负整数是__ _范例分析：例1比较下列各组数的大小：（1）1.531，1.731，1； （2）（－2）32-，（－107）32，1.134-；（3）3.832-，3.952，（－1.8）53； （4）31.4，51.5. 例2已知幂函数6()m y x m Z -=∈与2()m y x m Z -=∈的图象都与x 、y 轴都没有公共点，且2()m y x m Z -=∈的图象关于y 轴对称，求m 的值．例3幂函数273235()(1)t t f x t t x+-=-+是偶函数，且在(0,)+∞上为增函数，求函数解析式.反馈练习： 1．幂函数()y f x =的图象过点1(4,)2，则(8)f 的值为 .2．比较下列各组数的大小： 32(2)a + 32a ； 223(5)a -+ 235-； 0.50.40.40.5.3．幂函数的图象过点(2,14), 则它的单调递增区间是 ．4．设x ∈(0, 1)，幂函数y ＝ax 的图象在y ＝x 的上方，则a 的取值范围是 ．5．函数y ＝34x -在区间上 是减函数．6．一个幂函数y ＝f (x )的图象过点(3, 427),另一个幂函数y ＝g (x )的图象过点(－8, －2),(1)求这两个幂函数的解析式； （2）判断这两个函数的奇偶性； （3）作出这两个函数的图象，观察得f (x )< g (x )的解集. 巩固练习1．用“<”或”>”连结下列各式：0.60.32 0.50.32 0.50.34， 0.40.8-0.40.6-．2．函数1322(1)(4)y x x --=-+-的定义域是3．942--=a a x y 是偶函数，且在),0(+∞是减函数，则整数a 的值是 . 4．已知3532x x >，x 的取值范围为5．若幂函数a y x =的图象在0<x<1时位于直线y=x 的下方，则实数a 的取值范围是6．若幂函数()f x 与函数g(x)的图像关于直线y=x 对称，且函数g(x)的图象经过,则()f x 的表达式为 7. 函数2()3x f x x +=+的对称中心是 ，在区间 是 函数（填“增、减”） 8．比较下列各组中两个值的大小33221.31.30.30.35533(1)1.5 1.6(2)0.60.7(3)3.5 5.3(4)0.18.15----与与与与09．若3131)23()2(---<+a a ，求a 的取值范围。
10．已知函数y ＝42215x x －－．（1）求函数的定义域、值域；（2）判断函数的奇偶性；（3）求函数的单调区间．诊断练习：1。
122。
（－≦，0） （2，＋≦）3。
（－≦，0）4。
-1例1解：（1）≧所给的三个数之中1.531和1.731的指数相同，且1的任何次幂都是1，因此，比较幂1.531、1.731、1的大小就是比较1.531、1.731、131的大小，也就是比较函数y =x 31中，当自变量分别取1.5、1.7和1时对应函数值的大小关系，因为自变量的值的大小关系容易确定，只需确定函数y =x 31的单调性即可，又函数y =x 31在（0，+≦）上单调递增，且1.7＞1.5＞1，所以1.731＞1.531＞1．（2）（－2）32-=（2）32-，（－107）32=（710）32-，1.134-=［（1.1）2］32-=1.2132-．≧幂函数y =x 32-在（0，+≦）上单调递减，且710＜2＜1.21，≨（710）32-＞232-＞1.2132-，即（－107）32＞232-＞1.134-．（3）利用幂函数和指数函数的单调性可以发现0＜3.832-＜1，3.952＞1，（－1.8）53＜0，从而可以比较出它们的大小．（4）它们的底和指数也都不同，而且都大于1，我们插入一个中间数31.5，利用幂函数和指数函数的单调性可以发现31.4＜31.5＜51.5．例2解：≧ 幂函数图象与x 、y 轴都没有公共点，≨{6020m m -<-<，解得26m <<.又 ≧ 2()m y x m Z -=∈的图象关于y 轴对称， ≨ 2m -为偶数，即得4m =.例3解：≧ ()f x 是幂函数， ≨ 311t t -+=，解得1,10t =-或.当0t =时，75()f x x =是奇函数，不合题意；当1t =-时；25()f x x =是偶函数，在(0,)+∞上为增函数； 当1t =时；85()f x x =是偶函数，在(0,)+∞上为增函数. 所以，25()f x x =或85()f x x =.反馈 1。
.>,≤, <, 3。
(－≦, 0);4. (－≦, 1);5. （0，＋≦）;6．（1）设f (x )＝x a, 将x ＝3, y a ＝43, 34()f x x =；设g (x )＝x b, 将x ＝－8, y ＝－2代入，得b ＝31,13()g x x =；（2）f (x )既不是奇函数，也不是偶函数；g (x )是奇函数；（3） (0,1)巩固练习： 1．0.60.50.50.320.320.34<<，22550.80.6--<2．[1,4) 提示：⎩⎨⎧>-≥-0401x x ⇒41≤≤x 。
3．5 提示：≧942--=a a x y 是偶函数，且在),0(+∞是减函数，为负整数）k k a a (2942=--，当2-=k 时，解得5=a 。
4．),1()0,(+∞⋃-∞ 提示：函数y=32x 与y=53x 的定义域都是R ，y=32x 的图象分布在第一、第二象限，y=53x 的图象分布在第一、第三象限，所以当x )0,(-∞∈时，32x ＞53x ，当x=0时，显然不适合不等式；当x ),0(+∞∈时，32x ＞0，53x ＞0，由11515332>=x x x 知x ＞1。
即x ＞1时，32x ＞53x 。
综上讨论，x 的取值范围是),1()0,(+∞⋃-∞。
5．a>1 函数a y x =的图象在0<x<1时位于直线y=x 的下方，说明函数的图象下凸，所以1>a .6．3()f x x -= 因为函数g(x)的图象经过，所以函数f(x)的图象就经过点)33,33(7. （-3，1） (-≦，-3)；（-3，+≦） 增 提示：2()3x f x x +=+=311313+-=+-+x x x . 8．解析:3335553355(1) 1.5 1.6 1.5 1.6301.5 1.6 1.5 1.65><∴< 与可看作幂函数y ＝X 在与处的函数值，且，由幂函数单调性知： 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3(2)0.6.7.6.700.7 0.6.7><∴ 与0可看作幂函数y ＝X 在0与0处的函数值，且1.3，0.6由幂函数单调性知：<022222(3) 3.5.3.5.320 3.5.33-----<∴ 33333与5可看作幂函数y ＝X 在3与5处的函数值，且-，3.5<5.3由幂函数单调性知：>50.30.30.30.30.3(4)0.180 0.18-----<∴ 与0.15可看作幂函数y ＝X 在0.18与0.15处的函数值，且-0.3，0.18>0.15由幂函数单调性知：<0.159．解析：≧3131)23()2(---<+a a ，据y=31-x 的性质及定义域{}0,≠∈x R x x ，有三种情况：⎪⎩⎪⎨⎧->+>->+a a a a 23202302 或⎩⎨⎧>-<+02302a a 或 ⎪⎩⎪⎨⎧->+<-<+aa a a 23202302， 解得 )23,31()2,(⋃--∞∈a 。
10．这是复合函数问题，利用换元法令t ＝15－2x －x 2，则y ＝4t ， （1）由15－2x －x 2≥0得函数的定义域为［－5，3］， ≨t ＝16－（x －1）2∈［0，16］．≨函数的值域为［0，2］． （2）≧函数的定义域为［－5，3］且关于原点不对称，≨函数既不是奇函数也不是偶函数．（3）≧函数的定义域为［－5，3］，对称轴为x ＝1，≨x ∈［－5，1］时，t 随x 的增大而增大；x ∈（1，3）时，t 随x 的增大而减小． 又≧函数yt ∈［0，16］时，y 随t 的增大而增大，≨函数y的单调增区间为［－5，1］，单调减区间为（1，3）．。