圆的切线专题课件
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2.3 圆的切线的性质及判定定理 课件(人教A选修4-1)
1．切线的性质 (1)性质定理：圆的切线垂直于经 过 切点的半径． 如图，已知AB切⊙O于A点，则 OA ⊥AB.
(2)推论1：经过圆心且 垂直于切线 的直线必经过切点．
(3)推论2：经过切点且 垂直于切线 的直线必经过圆心．
2．圆的切线的判定方法 (1)定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线．
利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算有时需
添加辅助线，其中连接圆心和切点的半径是常用辅助线， 从而可以构造直角三角形，利用直角三角形边角关系求解， 或利用勾股定理求解，或利用三角形相似求解等．
1. AB是圆O的直径，D为圆O上一点， 过D作圆O的切线交AB的延长线于点C，
若DA＝DC，求证：AB＝2BC.
∠BOD 是 BD 所对的圆心角，
∠BCD＝45° ， ∴∠BOD＝90° . ∵∠ADB 是△BCD 的一个外角， ∴∠DBC＝∠ADB－∠ACB ＝60° －45° ＝15° ， ∴∠DOC＝2∠DBC＝30° ， 从而∠BOC＝120° ， ∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝30° .
在△OEC 中，因为∠EOC＝∠ECO＝30° ， ∴OE＝EC， 在△BOE 中，因为∠BOE＝90° ，∠EBO＝30° . ∴BE＝2OE＝2EC， CE CD 1 ∴BE＝DA＝ ， 2 ∴AB∥OD，∴∠ABO＝90° ， 故 AB 是△BCD 的外接圆的切线．
交⊙O于点E，PA＝AO＝OB＝1. (1)求∠P的度数； (2)求D切点，∴OC⊥PC，△POC 为直角三角形． ∵OC＝OA＝1，PO＝PA＋AO＝2， OC 1 ∴sin ∠P＝ PO＝ .∴∠P＝30° . 2 (2)∵BD⊥PD，∴在 Rt△PBD 中， 由∠P＝30° ，PB＝PA＋AO＋OB＝3， 3 得 BD＝ . 2 连接 AE.则∠AEB＝90° ，∴AE∥PD. ∴∠EAB＝∠P＝30° ，∴BE＝ABsin 30° ＝1， 1 ∴DE＝BD－BE＝ . 2
(2)推论1：经过圆心且 垂直于切线 的直线必经过切点．
(3)推论2：经过切点且 垂直于切线 的直线必经过圆心．
2．圆的切线的判定方法 (1)定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线．
利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算有时需
添加辅助线，其中连接圆心和切点的半径是常用辅助线， 从而可以构造直角三角形，利用直角三角形边角关系求解， 或利用勾股定理求解，或利用三角形相似求解等．
1. AB是圆O的直径，D为圆O上一点， 过D作圆O的切线交AB的延长线于点C，
若DA＝DC，求证：AB＝2BC.
∠BOD 是 BD 所对的圆心角，
∠BCD＝45° ， ∴∠BOD＝90° . ∵∠ADB 是△BCD 的一个外角， ∴∠DBC＝∠ADB－∠ACB ＝60° －45° ＝15° ， ∴∠DOC＝2∠DBC＝30° ， 从而∠BOC＝120° ， ∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝30° .
在△OEC 中，因为∠EOC＝∠ECO＝30° ， ∴OE＝EC， 在△BOE 中，因为∠BOE＝90° ，∠EBO＝30° . ∴BE＝2OE＝2EC， CE CD 1 ∴BE＝DA＝ ， 2 ∴AB∥OD，∴∠ABO＝90° ， 故 AB 是△BCD 的外接圆的切线．
交⊙O于点E，PA＝AO＝OB＝1. (1)求∠P的度数； (2)求D切点，∴OC⊥PC，△POC 为直角三角形． ∵OC＝OA＝1，PO＝PA＋AO＝2， OC 1 ∴sin ∠P＝ PO＝ .∴∠P＝30° . 2 (2)∵BD⊥PD，∴在 Rt△PBD 中， 由∠P＝30° ，PB＝PA＋AO＋OB＝3， 3 得 BD＝ . 2 连接 AE.则∠AEB＝90° ，∴AE∥PD. ∴∠EAB＝∠P＝30° ，∴BE＝ABsin 30° ＝1， 1 ∴DE＝BD－BE＝ . 2
圆的切线的性质及判定定理 课件
故 AC＝2AD.
【名师点评】 (1)圆的圆心；②经过切点；③垂直于切 线．用其中的某两点作条件，便能推出第三点．
(2)若题目条件中有圆的切线，可考虑连接圆心和切点，则得 垂直关系．
【名师点评】 (1)判断圆的切线的常用方法： ①和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； ②到圆心距离等于半径的直线是圆的切线； ③过圆的半径的外端且与半径垂直的直线是圆的切线． (2)判断一条直线是圆的切线时，常用辅助线的作法： ①如果已知这条直线与圆有公共点，则连接圆心与这个公共 点，设法证明连接所得到的半径与这条直线垂直，简记为“连 半径，证垂直”； ②若题目未说明这条直线与圆有公共点，则过圆心作这条直
考点突破
考点一 圆的切线的判定 例1 如图所示，在△ABC 中，已知 AB＝AC，以 AB 为直径 的⊙O 交 BC 于点 D，DE⊥AC 于点 E. 求证：DE 是⊙O 的切线．
【证明】 连接 OD 和 AD，如图所示． ∵AB 是⊙O 的直径，∴AD⊥BC. 又∵AB＝AC，∴BD＝CD. ∵AO＝OB，∴OD∥AC. ∵DE⊥AC，∴DE⊥OD， ∴DE 是⊙O 的切线．
线的垂线，得垂线段，再证明这条垂线段的长等于半径，简
记“作垂直，证半径”．
考点二 圆的切线的性质 例2 如图，AB 和 BC 分别与圆 O 相切于点 D，C，AC 经过圆 心 O，且 BC＝2OC.求证：AC＝2AD.
【证明】 连接 OD.因为 AB 和 BC 分别与圆 O 相切于点 D，C， 所以∠ADO＝∠ACB＝90°. 又因为∠A＝∠A， 所以 Rt△ADO∽Rt△ACB. 所以OBCD＝AACD. 又 BC＝2OC＝2OD，
圆的切线的性质及判定定理
1．直线与圆的位置关系
直线与圆有两___个_公共点，称直线与圆相交；直线与圆只有一__个__
【名师点评】 (1)圆的圆心；②经过切点；③垂直于切 线．用其中的某两点作条件，便能推出第三点．
(2)若题目条件中有圆的切线，可考虑连接圆心和切点，则得 垂直关系．
【名师点评】 (1)判断圆的切线的常用方法： ①和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； ②到圆心距离等于半径的直线是圆的切线； ③过圆的半径的外端且与半径垂直的直线是圆的切线． (2)判断一条直线是圆的切线时，常用辅助线的作法： ①如果已知这条直线与圆有公共点，则连接圆心与这个公共 点，设法证明连接所得到的半径与这条直线垂直，简记为“连 半径，证垂直”； ②若题目未说明这条直线与圆有公共点，则过圆心作这条直
考点突破
考点一 圆的切线的判定 例1 如图所示，在△ABC 中，已知 AB＝AC，以 AB 为直径 的⊙O 交 BC 于点 D，DE⊥AC 于点 E. 求证：DE 是⊙O 的切线．
【证明】 连接 OD 和 AD，如图所示． ∵AB 是⊙O 的直径，∴AD⊥BC. 又∵AB＝AC，∴BD＝CD. ∵AO＝OB，∴OD∥AC. ∵DE⊥AC，∴DE⊥OD， ∴DE 是⊙O 的切线．
线的垂线，得垂线段，再证明这条垂线段的长等于半径，简
记“作垂直，证半径”．
考点二 圆的切线的性质 例2 如图，AB 和 BC 分别与圆 O 相切于点 D，C，AC 经过圆 心 O，且 BC＝2OC.求证：AC＝2AD.
【证明】 连接 OD.因为 AB 和 BC 分别与圆 O 相切于点 D，C， 所以∠ADO＝∠ACB＝90°. 又因为∠A＝∠A， 所以 Rt△ADO∽Rt△ACB. 所以OBCD＝AACD. 又 BC＝2OC＝2OD，
圆的切线的性质及判定定理
1．直线与圆的位置关系
直线与圆有两___个_公共点，称直线与圆相交；直线与圆只有一__个__
圆的切线的性质及判定定理 课件
【典例训练】
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3 cB的关系为( )
(A)相切
(B)相离
(C)相交
(D)无法判断
2.如图所示，CB为⊙O的直径，P是CB的延
长线上一点，且OB=BP，∠AOC=120°，
则PA与⊙O的位置关系是_____.
圆的切线的性质
圆的切线的性质 (1)已知一条直线是圆的切线时,常作出过切点的半径,则该半 径垂直于切线,从而出现了直角. (2)从圆外一点引圆的两条切线,这点与圆心的连线平分这两条 切线的夹角,这点到切点的切线长相等. (3)连接圆的两条平行切线的切点的线段是圆的直径.
【典例训练】 1.如图所示，DB，DC是⊙O的两条切线，A是圆上一点，已知 ∠D=46°，则∠A=_____.
DO AD
AD
2.如图，已知EB是半圆O的直径，A是BE延长线上的一点，AC是 半圆O的切线，D为切点，BC⊥AC于C，若BC=6，AC=8，则 AE=_______.
【解析】1.如图所示，连接OB，OC，
则OB⊥BD，OC⊥CD，
则∠DBO+∠DCO=90°+90°=180°，
则四边形OBDC内接于一个圆，
则有∠BOC=180°-∠D=180°-46°=134°，
【解析】连接OC，∵OA=OB,AC=CB,OC=OC, ∴△OAC≌△OBC, ∴∠OCA=∠OCB=90°, ∴直线AB与⊙O相切. 答案：相切
1.圆的切线的其他相关性质 (1)切线和圆只有一个公共点; (2)切线和圆心的距离等于圆的半径; (3)过圆心且过切点的直线与过该点的切线垂直.
2.切线的判定定理 在切线的判定定理中要分清定理的题设和结论，“经过半径外 端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是 圆的切线，如图①②中的例子就不同时满足这两个条件，所以 都不是圆的切线.
2.3 圆的切线的性质及判定定理 课件(人教A选修4-1)
(2)数量关系：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线．
(3)定理：过半径外端点且与这条半径 垂直 的直线是圆 的切线． 其中(2)和(3)是由(1)推出的，(2)是用数量关系来判定， 而(3)是用位置关系加以判定的．
[例1]
如图，已知∠C＝90°，点O在AC上，CD
为⊙O的直径，⊙O切AB于E，若BC＝5，AC＝12.求⊙O
的半径． [思路点拨] ⊙O切AB于点E，
由圆的切线的性质，易联想到连接 OE构造Rt△OAE，再利用相似三角
形的性质，求出⊙O的半径．
[解] 连接 OE， ∵AB 与⊙O 切于点 E， ∴OE⊥AB，即∠OEA＝90° . ∵∠C＝90° ，∠A＝∠A， ∴Rt△ACB∽Rt△AEO， OE AO ∴BC ＝ AB. ∵BC＝5，AC＝12，∴AB＝13， OE 12－OE ∴ ＝ ， 5 13 10 ∴OE＝ . 3 10 即⊙O 的半径为 . 3
要证明某直线是圆的切线，主要是运用切线的判
定定理，除此以外，还其 中过圆心作直线的垂线是常用辅助线．
3．本例中，若将已知改为“∠ABD＝∠C”，怎样证明： AB是△BCD的外接圆的切线． 证明：作直径BE，连接DE， ∵BE是⊙O的直径，
对圆的切线的性质与判定的综合考查往往是热
点，其解答思路常常是先证明某直线是圆的切线， 再利用切线的性质来求解相关结果．
5.如图， 已知两个同心圆 O， 大圆的直径 AB 交 小圆于 C、 大圆的弦 EF 切小圆于 C， D， ED 交小圆于 G，若小圆的半径为 2，EF＝4 3， 试求 EG 的长．
[例 2]
已知 D 是△ABC 的边 AC 上的一点，AD∶DC
＝2∶1，∠C＝45° ，∠ADB＝60° ，求证：AB 是△BCD 的外 接圆的切线． [思路点拨] 连接OB，OC，OD → ∠BOD＝90° → ∠OBC＝∠OCB＝30° ∠ABO＝90° 结论 . → →
圆的切线课件
通过圆上一点作切线
总结词
通过圆上一点作切线需要利用半径垂直于切线的性质。
详细描述
选取圆上任意一点，然后通过这一点作一条直线与圆相切，即为切线。这种方法 需要利用圆的性质，即半径垂直于切线。
通过圆外一点作切线
总结词
通过圆外一点作切线需要利用垂径定 理和切线的性质。
详细描述
选取圆外任意一点，然后通过这一点 作一条直线与圆相切，即为切线。这 种方法需要利用垂径定理和切线的性 质，即半径与切线垂直且半径长度等 于圆心到切点的距离。
判定方法三
利用圆的性质，通过观察 圆心到直线的距离是否等 于半径来判断是否为切线 。
02 圆的切线的性质定理
切线与半径垂直
切线与经过切点的半径垂直， 这是切线的基本性质。
在几何学中，这一性质用于证 明切线的其他性质和定理。
在实际应用中，这一性质可用 于确定某直线是否为圆的切线 。
切线长定理
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。 这一性质在几何作图和证明中非常有用，特别是在解决与圆和切线相关的问题时。
05 圆的切线的相关定理和推论
切线与半径之间的夹角定理
总结词
切线与半径之间的夹角定理描述了切线与半径之间的角度关系。
详细描述
切线与半径之间的夹角是直角，即切线与半径垂直。这个定理是圆的基本性质之一，是证明其他切线定理的基础 。
切线长定理的推论
总结词
切线长定理的推论给出了切线长度与半径之间的关系。
圆的切线ppt课件
目录
Contents
• 圆的切线的基本概念 • 圆的切线的性质定理 • 圆的切线的应用 • 圆的切线的作法 • 圆的切线的相关定理和推论
01 圆的切线的基本概念
《切线的性质和判定》PPT课件
常添辅助线
连接圆心和切点
垂直于
切点
圆心
惟一
半径
垂直于
┃考点聚焦
考点2 切线长及切线长定理
切线长
在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长
切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长________，圆心和这一点的连线________两条切线的夹角
基本图形
如图所示，点P是⊙O外一点，PA、PB切⊙O于点A、B，AB交PO于点C，则有如下结论：(1)PA＝PB；(2)∠APO＝∠BPO＝∠OAC＝∠OBC，∠AOP＝∠BOP＝∠CAP＝∠CBP
切线的性质和判定
- .
考点1 圆的切线
切线的性质
圆的切线________过切点的半径
推论
(1)经过圆心且垂直于切线的直线必过________；(2)经过切点且垂直于切线的直线必过________
切线的判定
(1)和圆有________公共点的直线是圆的切线；(2)如果圆心到一条直线的距离等于圆的________，那么这条直线是圆的切线；(3)经过半径的外端并且________这条半径的直线是圆的切线
探究一、圆的切线的性质
┃归类探究
┃归类探究
┃归类探究
命题角度：1．利用圆心到一条直线的距离等于圆的半径，判定这条直线是圆的切线；2．利用一条直线经过半径的外端，且垂直于这条半径，判定这条直线是圆的切线．
探究二、圆的切线的判定方法
┃归类探究
┃归类探究
┃归类探究
┃归类探究
命题角度：1．利用切线长定理计算；2．利用切线长定理证明．
相等
平分
┃考点聚焦
考点3 三角形的内切圆
连接圆心和切点
垂直于
切点
圆心
惟一
半径
垂直于
┃考点聚焦
考点2 切线长及切线长定理
切线长
在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长
切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长________，圆心和这一点的连线________两条切线的夹角
基本图形
如图所示，点P是⊙O外一点，PA、PB切⊙O于点A、B，AB交PO于点C，则有如下结论：(1)PA＝PB；(2)∠APO＝∠BPO＝∠OAC＝∠OBC，∠AOP＝∠BOP＝∠CAP＝∠CBP
切线的性质和判定
- .
考点1 圆的切线
切线的性质
圆的切线________过切点的半径
推论
(1)经过圆心且垂直于切线的直线必过________；(2)经过切点且垂直于切线的直线必过________
切线的判定
(1)和圆有________公共点的直线是圆的切线；(2)如果圆心到一条直线的距离等于圆的________，那么这条直线是圆的切线；(3)经过半径的外端并且________这条半径的直线是圆的切线
探究一、圆的切线的性质
┃归类探究
┃归类探究
┃归类探究
命题角度：1．利用圆心到一条直线的距离等于圆的半径，判定这条直线是圆的切线；2．利用一条直线经过半径的外端，且垂直于这条半径，判定这条直线是圆的切线．
探究二、圆的切线的判定方法
┃归类探究
┃归类探究
┃归类探究
┃归类探究
命题角度：1．利用切线长定理计算；2．利用切线长定理证明．
相等
平分
┃考点聚焦
考点3 三角形的内切圆
圆的切线判定PPT课件
分析：欲证AB是 ⊙ O 的切线．由于 AB 过 圆上点 C ，若连结 OC ， 则AB过半径OC的外端， 只需证明OC⊥OB.
O
例2 如图2.已知OA＝OB＝5厘米， AB＝8厘米，⊙O的直径为6厘米. 求证：AB与⊙O相切
O
A A C B
证明：连结0C ∵0A＝0B，CA＝CB， ∴0C是等腰三角形0AB底边AB上 的中线． ．∴AB⊥OC． 直线AB经过半径0C的外端 C 并且垂直于半径0C， 所以 AB是⊙O的切线．
（四）巩固练习
练习1 判断下列命题是否正确． (1)经过半径外端的直线是圆的切线． ( (2)垂直于半径的直线是圆的切线． ( (3)过直径的外端并且垂直于这条直径 的直线是圆的切线． ( (4)和圆有一个公共点的直线是圆的切线． ( (5)以等腰三角形的顶点为圆心,底边上的 高为 半径的圆与底边相切 ． (
分析：因为已知条件没给出AB和 ⊙O有公共点，所以可过圆心O作 OC⊥AB，垂足为C.只需证明OC等 于⊙O的半径3厘米即可.
C
B
证明：过O作 OC⊥AB，垂足为C. 因为OA＝OB＝5cm，AB＝8cm， 所以AC＝BC＝4cm. 在Rt∆AOC 中 OC=√OA2-AC2=3 cm 又因为Ｏ的直径为6cm 故ＯＣ的长等于☉Ｏ的半径3cm. ∴ AB 与☉Ｏ相切
O
l
O l A
A
图 (1) 中直线 l 经过半径外端，但不与半径垂直；图 (2) （3 ） 中直线l与半径垂直，但不经过半径外端． 从以上反例可以看出，只满足其中一个条件的直线不是圆 的切线．必需同时满足,二者缺一不可
应用定理，强化训练
例1 已知：直线AB经过⊙O上的 点C，并且OA=OB，CA＝CB． 求证：直线AB是⊙O的切线
O
例2 如图2.已知OA＝OB＝5厘米， AB＝8厘米，⊙O的直径为6厘米. 求证：AB与⊙O相切
O
A A C B
证明：连结0C ∵0A＝0B，CA＝CB， ∴0C是等腰三角形0AB底边AB上 的中线． ．∴AB⊥OC． 直线AB经过半径0C的外端 C 并且垂直于半径0C， 所以 AB是⊙O的切线．
（四）巩固练习
练习1 判断下列命题是否正确． (1)经过半径外端的直线是圆的切线． ( (2)垂直于半径的直线是圆的切线． ( (3)过直径的外端并且垂直于这条直径 的直线是圆的切线． ( (4)和圆有一个公共点的直线是圆的切线． ( (5)以等腰三角形的顶点为圆心,底边上的 高为 半径的圆与底边相切 ． (
分析：因为已知条件没给出AB和 ⊙O有公共点，所以可过圆心O作 OC⊥AB，垂足为C.只需证明OC等 于⊙O的半径3厘米即可.
C
B
证明：过O作 OC⊥AB，垂足为C. 因为OA＝OB＝5cm，AB＝8cm， 所以AC＝BC＝4cm. 在Rt∆AOC 中 OC=√OA2-AC2=3 cm 又因为Ｏ的直径为6cm 故ＯＣ的长等于☉Ｏ的半径3cm. ∴ AB 与☉Ｏ相切
O
l
O l A
A
图 (1) 中直线 l 经过半径外端，但不与半径垂直；图 (2) （3 ） 中直线l与半径垂直，但不经过半径外端． 从以上反例可以看出，只满足其中一个条件的直线不是圆 的切线．必需同时满足,二者缺一不可
应用定理，强化训练
例1 已知：直线AB经过⊙O上的 点C，并且OA=OB，CA＝CB． 求证：直线AB是⊙O的切线
圆的切线课件
于Ｅ,则Ｅ为所求作．
E
证明：连结ＢＣ．
∵ＡＢ是直径
∴∠Ｃ＝９０°
又∵ＤＥ⊥ＡＢ与Ｅ
∴∠ＤＥＡ＝９０°
∠Ａ＝∠Ａ
∴△ＡＤＥ∽△ＡＢＣ
∴ AD AB
AE AC
AD AC AB AE
F
（2）在AB上是否存在点F，使
AD AB AF AC ？证明之。
例2:已知: ⊙O内切于四边形 ABCD,AB=AD,连接AC ,BD,如图.由这些 条件,你能推出哪些结论?(要求:图中不得 再标注任何字
⊙O的切线，D、B为切点，OC交⊙O于点E，
连结AE并延长交BC于F,连结AD、BD。以下结
论：（1）AD∥OC；（2）点E为Δ CDB的内心；
（3）FC=FE（4）
CE FB AB CF
其中正确的是
。
证明其中的一个正确
结论。
小结:
• 如何解答存在性的问题: • (1)作判断 • (2)把符合条件的图形(点或线)作出. • (3)证明 • 圆的两个重要性质的运用. • 几个特征图形 • 图形的分解组合
求证：AD AE AB AC
变题：已知，Δ ABC内接于⊙O，点E在圆上，弧BE>弧CE
问能否在BC上找一点D，使 AD AE AB AC
若能，请说明确定点D的一种方法并证明；若不能， 试说明理由。
3\如图， PA、PB分别切⊙O于点A、B，C是圆上异 于点A、B的任意一点，试探求∠C与∠P关系。
（2）AE BE
（3） AD 1 BF
2
（4） BE BF BD BC
2、上述（2）（3）（4）中，如果有正确的，请选择
一个予以证明。
圆的切线方程求法PPT课件
kCA kAM 1
2019/10/18
可编辑
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2019/10/18
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三、经过圆外一点，求圆的切线方程
已知圆C的方程为 (x a)2 ( y b)2 r，2
求经过圆外一点 M (x0 , y0 ) 的切线l方程。
分析：1.特殊情况 2.一般情况： 经过圆外一点可以作两条切线 思路二：求切线斜率
例1：已知圆C的方程为(x 1)2 ( y ，1)2 5
求经过圆上一点 M (2的,3)切线方程。
2019/10/18
可编辑
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二、经过圆上一点，求圆的切线方程
例2：已知圆C的方程为 x2 y2 ， r求2 经过圆上
一点 M的(切x0线, y方0 ) 程。
练习：已知圆C的方程为 x2 y2 10 ， 求经过点P（1,3）的圆的切线方程。
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四、总结
2019/10/18
可编辑
10
四、练习
1.求圆C x2 y2 4x 0 在点 P(1, 3) 处的切线方程。
2.已知圆C的方程为 x2 ( y 2)2 1，求经过原点 的切线方程。
3.已知圆C的方程为 x2 y2 2 y 0，求该圆的斜 率为1的切线方程。
一、复习讨论
1、圆的切线有何性质？
圆心与切点间的距离等于半径
圆心与切点的连线与切线垂直
2、怎样判断一条直线和圆是否相切？
d r
0
3、两条直线垂直，它们的斜率有什么关系？
k1 k2 1
4、直线的点斜式方程是怎样的？
y y0 k(x x0 )
2019/10/18
可编辑
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圆的切线的性质及判定定理 课件
证明：连接OQ. ∵QR是⊙O的切线， ∴OQ⊥QR. ∵OB＝OQ， ∴∠B＝∠OQB. ∵BO⊥OA， ∴∠BPO＝90°－∠B＝∠RPQ， ∠PQR＝90°－∠OQP， ∴∠RPQ＝∠PQR， ∴RP＝RQ
1．分析圆的切线的性质定理及两个推论的条件和结论间 的关系，可以得出如下结论：如果一条直线具备下列三个条件 中的任意两个，就可以推出第三个：①垂直于切线；②过切点； ③过圆心．于是，在利用切线性质时，通常作的辅助线是过切 点的半径．
PA=AO=OB=1. (1)求∠P的度数. (2)求DE的长. 解析：(1)如图，连接OC. ∵点C为切点， ∴OC⊥PC，△POC为直角三角形. ∵OC=OA=1,PO=PA+AO=2, ∴sin∠ p OC 1 ,
PO 2
∴∠P=30°
(2)∵BD⊥PD, ∴在Rt△PBD中，由∠P=30°， PB=PA+AO+OB=3,得BD= 3 .
A．∠1＝∠2＝∠3 B．AM·CN＝CM·BN C．CM＝CD＝CN D．△ACM∽△ABC∽△CBN
5．如图所示，⊙O是正△ABC的内切圆，切点分别为E、 F、G，P是 EG 上任意一点，则∠EPF的度数等于( C )
A．120° B．90° C．60° D．30°
6．如图所示，⊙O为△ABC的内切圆，∠C＝90°， AO的延长线交BC于点D，AC＝4，CD＝1，则⊙O的半径等 于( A )
解析：连接 OA.∵AP 为⊙O 的切线， ∴OA⊥AP. 又∠ABC＝30°，∴∠AOC＝60°. ∴在 Rt△AOP 中，OA＝1，PA＝OA·tan 60°＝ 3. 答案： 3
9．PA、PB切⊙O于点A、B，PA＝5，在劣弧 AB上取一点 C，过C作⊙O的切线， 分别交PA、PB于D、E两点，则△PDE
圆的切线性质与判定PPT课件
t3=17÷2=8.5（秒）
y
A
· · C2 O C3
B x
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大显身手
③设当C运动到C4时圆与直线AB相切于Q点， 连C4 Q，则C4 Q⊥AB ∠C4 BQ=30° ∴ B C4 =2 C4 Q=14 ∴ CC4 =10+12+14=36 ∴ t4=36÷2=18（秒）
y
A
· O C3 B
C4
x
Q
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心得体会
1、判定切线的方法有哪些？ 与圆有唯一公共点
是圆的切线
直线l与圆心的距离等于圆的半径
是圆的切线
经过半径外端且垂直这条半径
是圆的切线
2、常用的添辅助线方法？ （1）直线与圆的公共点已知时，作出过公共点的半径，再证半径垂直 于该直线。（连半径，证垂直） （2）直线与圆的公共点不确定时，过圆心作直线的垂线段，再证明这 条垂线段为圆的半径。（作垂直，证半径）
.O
➢1、 P l 与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。
rO
➢2、 d
l 当d=r时直线是圆的切线。
O
➢3、 P
l 经过半径的外端并且垂直于这条半径的 直线是圆的切线。
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小试牛刀
例1：直线l和⊙O的公共点的个数为m，且m满足方程 m2+2m- 3=0, 试判断直线l和⊙ O的位置关系，并 说明理由.
3、圆的切线性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。 辅助线作法：连接圆心与切点可得半径与切线垂直。 即“连半径，得垂直”。
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y A
·· C C1 O
B x
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· · C2 O C3
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大显身手
③设当C运动到C4时圆与直线AB相切于Q点， 连C4 Q，则C4 Q⊥AB ∠C4 BQ=30° ∴ B C4 =2 C4 Q=14 ∴ CC4 =10+12+14=36 ∴ t4=36÷2=18（秒）
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A
· O C3 B
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心得体会
1、判定切线的方法有哪些？ 与圆有唯一公共点
是圆的切线
直线l与圆心的距离等于圆的半径
是圆的切线
经过半径外端且垂直这条半径
是圆的切线
2、常用的添辅助线方法？ （1）直线与圆的公共点已知时，作出过公共点的半径，再证半径垂直 于该直线。（连半径，证垂直） （2）直线与圆的公共点不确定时，过圆心作直线的垂线段，再证明这 条垂线段为圆的半径。（作垂直，证半径）
.O
➢1、 P l 与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。
rO
➢2、 d
l 当d=r时直线是圆的切线。
O
➢3、 P
l 经过半径的外端并且垂直于这条半径的 直线是圆的切线。
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小试牛刀
例1：直线l和⊙O的公共点的个数为m，且m满足方程 m2+2m- 3=0, 试判断直线l和⊙ O的位置关系，并 说明理由.
3、圆的切线性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。 辅助线作法：连接圆心与切点可得半径与切线垂直。 即“连半径，得垂直”。
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y A
·· C C1 O
B x
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圆的切线PPT课件
如上图：直线l与⊙O相切，直线l叫做⊙O切线 ，点D叫做切点。
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活动二:探究切线的判定
问题：过已知一个圆和圆上的一个点，怎样过该 点作圆的切线？
已知：⊙O和⊙O上的一点D，如何过点D 画⊙O的切线？
下面我们共同完成作图后,再回答问 题:
（1）任意画一个半径为r的⊙O。 （2）任意画⊙O的一条半径OD。 （3）过D作直线l⊥OD。
若直线满足②， 而不满足①。
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例题欣赏
例1：如图，直线AB经过⊙O上的 点C，并且OA＝OB, CA＝CB, 求证：直线AB是⊙O的切线。
证明：连接OC ∵OA=OB ∴ABC是等腰三角形 ∵CA=CB ∴OC⊥AB ∵OC为半径 ∴AB为⊙O的切线
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2 、如图，以O为圆心，OA为半 径的圆交OB于C，若OA=3，AB=4， BC=2，则AB是⊙O的切线吗？
如果不相切，请说明理由？ ②，若CD与⊙O相切，且∠D＝30，BD＝ 10，求⊙O的半径。
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练习引入： 如图，已知在△ABC中，∠BAC＝ 120°,AB＝AC,AB＝4,以A为圆心，2 为半径，做⊙A,试问直线BC与⊙A的 相切吗？说明原因 ？
答：相切 ∵D＝2＝r
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A
O
B
D C
（2），如图，AB为非直径的弦， 且∠CAE＝∠B, 求证：直线EF是⊙O的切线。
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1，AD为等腰△ ABC的高，E、F分别为AB、AC的中点，
则以EF为直径的圆与BC的位置关系是
（C）
A.
相离
B、相切
C、 相交
D、以上都有可能
圆的切线的性质及判定定理 课件
[解题过程] (1)证明：依据题意，得 a＋b＝c＋4，ab＝4(c＋2)， 则 a2＋b2＝(a＋b)2－2ab ＝(c＋4)2－2×4(c＋2)＝c2， 所以△ABC 是直角三角形．
(2)∵∠C＝90°，tan A＝ab＝34， ∴不妨设 a＝3k，b＝4k，则 c＝5k(k>0)， 代入 a＋b＝c＋4，得 k＝2. ∴a＝6，b＝8，c＝10. 连接 OE，得 BC∥OE. ∴OBCE＝AAOB，即O6E＝10－10OE.解得 OE＝145. 在 Rt△AOE 中，tan A＝OAEE＝34，∴AE＝5.
[规律方法] 用切线的性质定理求解线段的长度时，应注 意哪些问题？
(1)如果已知三边的一元二次方程，可利用韦达定理建立起 三角形的三边之间的关系；
(2)在应用切线的性质定理及其推论进行几何证明和求解 时，如果已知切点，则连接圆心和切点构成垂直是一种常用的 方法．
(江苏高考)AB是圆O的直径，D为圆O上一点， 过D作圆O的切线交AB延长线于点C，若DA＝DC，求证：AB
[思路点拨]
[解题过程] 如图所示，连接OA、OB、OC．
∵PA和PB分别切⊙O于点A和B， ∴∠PAO＝∠PBO＝90°. ∴∠AOB＋∠APB＝180°. ∴∠AOB＝180°－∠APB＝140°. ∵DC切⊙O于点C，∴∠OCD＝90°.
又∵∠PAO＝90°， 在 Rt△CDO 与 Rt△ADO 中， 有 OD＝DO，CO＝AO， ∴△CDO≌△ADO.
∴∠COD＝∠AOD＝12∠COA． 同理可证，∠COE＝∠BOE＝12∠COB．
∴∠DOE＝12(∠COA＋∠COB)＝12×140°＝70°.
[规律方法] (1)如何利用切线性质定理及推论求解有关角 的问题？
圆的切线的性质及判定定理 课件
∴∠1＝∠3，∴OD∥AE.
∵DE⊥AE，∴DE⊥OD， 即 DE 是⊙O 的切线．
(2)过 D 作 DG⊥AB， ∵∠1＝∠2，∴DG＝DE＝3. 在 Rt△ODG 中，OG＝ 52－32＝4， ∴AG＝4＋5＝9.
∵DG⊥AB，FB⊥AB，∴DG∥FB.
∴△ADG∽△AFB，∴DBFG＝AAGB. ∴B3F＝190，∴BF＝130.
【自主解答】 (1)如图所示，连接 BC. ∵CD 为⊙O 的切线， ∴OC⊥CD. 又 AD⊥CD，
∴OC∥AD.
(2)∵AC 平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠CAB. ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°. 又 AD⊥CD，∴∠ADC＝90°， ∴△ADC∽△ACB. ∴AADC＝AACB，∴AC2＝AD·AB. ∵AD＝2，AC＝ 5，∴AB＝52.
1．“以圆的两条平行切线的切点为端点的线段是圆的 直径”这句话对吗？为什么？
【提示】 正确．如图 AB、CD 分别切⊙O 于 E、F， 连接 EO 并延长交 CD 于 F′，∵AB 是⊙O 的切线，∴OE
⊥AB.∵AB∥CD，∴OF′⊥CD，∴F′为切点，∴F′与 F
重合，即 EF 是⊙O 的直径．
圆的切线的性质及判定定理
1．切线的性质定理及推论
(1)性质定理：圆的切线垂直于经过 切点的半径．
如图 2－3－1，已知 AB 切⊙O 于点 A，则 OA⊥AB.
(2)推论 1：经过圆心且 垂直于切线的直线 必经过切点． (3)推论 2：经过切点且 垂直于切线的直线 必经过圆心．
图 2－3－1
2．切线的判定定理 经过半径的 外端 并且 垂直于 这条半径的直线是圆的 切线．
如图 2－3－2 所示，已知
AB 是⊙O 的直径，直线 CD 与⊙O 相切 于点 C，AC 平分∠DAB，AD⊥CD.
∵DE⊥AE，∴DE⊥OD， 即 DE 是⊙O 的切线．
(2)过 D 作 DG⊥AB， ∵∠1＝∠2，∴DG＝DE＝3. 在 Rt△ODG 中，OG＝ 52－32＝4， ∴AG＝4＋5＝9.
∵DG⊥AB，FB⊥AB，∴DG∥FB.
∴△ADG∽△AFB，∴DBFG＝AAGB. ∴B3F＝190，∴BF＝130.
【自主解答】 (1)如图所示，连接 BC. ∵CD 为⊙O 的切线， ∴OC⊥CD. 又 AD⊥CD，
∴OC∥AD.
(2)∵AC 平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠CAB. ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°. 又 AD⊥CD，∴∠ADC＝90°， ∴△ADC∽△ACB. ∴AADC＝AACB，∴AC2＝AD·AB. ∵AD＝2，AC＝ 5，∴AB＝52.
1．“以圆的两条平行切线的切点为端点的线段是圆的 直径”这句话对吗？为什么？
【提示】 正确．如图 AB、CD 分别切⊙O 于 E、F， 连接 EO 并延长交 CD 于 F′，∵AB 是⊙O 的切线，∴OE
⊥AB.∵AB∥CD，∴OF′⊥CD，∴F′为切点，∴F′与 F
重合，即 EF 是⊙O 的直径．
圆的切线的性质及判定定理
1．切线的性质定理及推论
(1)性质定理：圆的切线垂直于经过 切点的半径．
如图 2－3－1，已知 AB 切⊙O 于点 A，则 OA⊥AB.
(2)推论 1：经过圆心且 垂直于切线的直线 必经过切点． (3)推论 2：经过切点且 垂直于切线的直线 必经过圆心．
图 2－3－1
2．切线的判定定理 经过半径的 外端 并且 垂直于 这条半径的直线是圆的 切线．
如图 2－3－2 所示，已知
AB 是⊙O 的直径，直线 CD 与⊙O 相切 于点 C，AC 平分∠DAB，AD⊥CD.
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圆的切线 专题复习
圆的切线相关知识点
1、定义： 和圆有惟一公共点的直线叫做圆的切线。 圆的切线垂直于过切点的直径。 2、性质定理： 3、判定定理：经过直径的一端，并且垂直于这条
直径的直线是圆的切线。
4、直线与圆相切的相关性质
（1）切线与圆有惟一公共点； （2）圆心到切线的距离等于半径；
已知切线 ,连圆心与切点,得垂直 （ 3）切线垂直于经过切点的半径 .
A
1
O
2
3 4
D
C
E
B
例2
已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为 B 半径作⊙O。 D 求证：⊙O与AC相切。 O
A E 证明：过O作OE⊥AC于E。 C ∵ AO平分∠BAC，OD⊥AB ∴ OE＝OD ∵ OD是⊙O的半径 小提示：过圆心作直 ∴ OE也是半径 线的垂线段证明其与 ∴ AC是⊙O的切线。 半径相等也是切线判 定的常用方法。
H
课堂小结
1. 判定切线的方法有哪些？
直线l 与圆有唯一公共点 与圆心的距离等于圆的半径 经过半径外端且垂直这条半径 l是圆的切线 l是圆的切线 l是圆的切线
2. 常用的添辅助线方法？
⑴有切点：连半径，证垂直 ⑵无切点：作垂直，证半径
同学们，谢谢合作！
再 见！
分析： 要证DE是⊙O 的切 线，只要证明DE经过⊙O 的 半径的外端并且垂直于这条 半径.由于点D 在 ⊙O 上,因此 连结OD,只要证明DE⊥ OD.
1 3
O
2 4
D
C
E
B
证明：连结OD ∵OE∥AB, ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4 ∵OA=OD, ∴∠1=∠3. ∴∠2=∠4 又∵OC=OD，OE=OE ∴△OCE≌△ODE（SAS） ∵∠C=∠900 ∴∠ODE=900,即DE⊥OD. ∴DE是⊙O的切线。
∵CD是⊙O的切线 ∴OC⊥CD 又∵CD⊥AD ∴OC∥AD ∴∠1=∠3 又∵OA=OC A
1
D C
2 3
O
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∴∠2=∠3
∴ ∠1=∠2 即AC平分∠DAB
小提示：连结圆心与切点是作辅 助线常用的以AC为直径 的⊙O交斜边 AB于D,OE∥AB交BC于E 求证: DE是圆O的切线 A
再接再厉：
如图，已知，AB=8,BC=6,AC=10,∠A的平分线 交BC于D，E为AB上一点，DE=DC，以D为圆 心，以DB的长为半径画圆． 求证： （1）AB是⊙D的切线； （2）AC是⊙D的切线； （3）AB+EB=AC．
F
直击2013中考
如图，直线L与⊙O相切于点D. 过圆心O作EF∥L交⊙O于E、F两 点，点A是⊙O上一点，连接AE、 AF.并分别延长交直线L于 B、C 两点. (1)求证：∠ABC+∠ACB=90°； (2)当⊙O的半径R=5，BD=12时， 求tan∠ABC的值.
圆的切线相关知识点
5、切线判定方法：
（1）与圆有惟一公共点的直线； （2）与圆心的距离等于半径的直线； 未知直线过圆上一点，作垂直，证半径 （3）经过半径外端垂直于半径的直线。 已知直线过圆上一点，连半径，证垂直
范例提炼
例1：如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点切线互
相垂直，垂足为D.求证:AC平分∠DAB 证明： 连结OC
圆的切线相关知识点
1、定义： 和圆有惟一公共点的直线叫做圆的切线。 圆的切线垂直于过切点的直径。 2、性质定理： 3、判定定理：经过直径的一端，并且垂直于这条
直径的直线是圆的切线。
4、直线与圆相切的相关性质
（1）切线与圆有惟一公共点； （2）圆心到切线的距离等于半径；
已知切线 ,连圆心与切点,得垂直 （ 3）切线垂直于经过切点的半径 .
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例2
已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为 B 半径作⊙O。 D 求证：⊙O与AC相切。 O
A E 证明：过O作OE⊥AC于E。 C ∵ AO平分∠BAC，OD⊥AB ∴ OE＝OD ∵ OD是⊙O的半径 小提示：过圆心作直 ∴ OE也是半径 线的垂线段证明其与 ∴ AC是⊙O的切线。 半径相等也是切线判 定的常用方法。
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课堂小结
1. 判定切线的方法有哪些？
直线l 与圆有唯一公共点 与圆心的距离等于圆的半径 经过半径外端且垂直这条半径 l是圆的切线 l是圆的切线 l是圆的切线
2. 常用的添辅助线方法？
⑴有切点：连半径，证垂直 ⑵无切点：作垂直，证半径
同学们，谢谢合作！
再 见！
分析： 要证DE是⊙O 的切 线，只要证明DE经过⊙O 的 半径的外端并且垂直于这条 半径.由于点D 在 ⊙O 上,因此 连结OD,只要证明DE⊥ OD.
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证明：连结OD ∵OE∥AB, ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4 ∵OA=OD, ∴∠1=∠3. ∴∠2=∠4 又∵OC=OD，OE=OE ∴△OCE≌△ODE（SAS） ∵∠C=∠900 ∴∠ODE=900,即DE⊥OD. ∴DE是⊙O的切线。
∵CD是⊙O的切线 ∴OC⊥CD 又∵CD⊥AD ∴OC∥AD ∴∠1=∠3 又∵OA=OC A
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∴∠2=∠3
∴ ∠1=∠2 即AC平分∠DAB
小提示：连结圆心与切点是作辅 助线常用的以AC为直径 的⊙O交斜边 AB于D,OE∥AB交BC于E 求证: DE是圆O的切线 A
再接再厉：
如图，已知，AB=8,BC=6,AC=10,∠A的平分线 交BC于D，E为AB上一点，DE=DC，以D为圆 心，以DB的长为半径画圆． 求证： （1）AB是⊙D的切线； （2）AC是⊙D的切线； （3）AB+EB=AC．
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直击2013中考
如图，直线L与⊙O相切于点D. 过圆心O作EF∥L交⊙O于E、F两 点，点A是⊙O上一点，连接AE、 AF.并分别延长交直线L于 B、C 两点. (1)求证：∠ABC+∠ACB=90°； (2)当⊙O的半径R=5，BD=12时， 求tan∠ABC的值.
圆的切线相关知识点
5、切线判定方法：
（1）与圆有惟一公共点的直线； （2）与圆心的距离等于半径的直线； 未知直线过圆上一点，作垂直，证半径 （3）经过半径外端垂直于半径的直线。 已知直线过圆上一点，连半径，证垂直
范例提炼
例1：如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点切线互
相垂直，垂足为D.求证:AC平分∠DAB 证明： 连结OC