广西南宁市第三中学2020-2021学年高二上学期期中段考数学(理)试题 含答案
2019-2020学年广西南宁市第三中学高二上学期期中考试(11月段考)数学(理)试题(解析版)
2019-2020学年广西南宁市第三中学高二上学期期中考试（11月段考）数学（理）试题一、单选题1．“若240b ac -<，则20ax bx c ++=没有实根”，其否命题是（ ） A ．若240b ac -≥，则20ax bx c ++≠没有实根 B ．若240b ac -<，则20ax bx c ++=有实根 C ．若240b ac -≥，则20ax bx c ++=没有实根 D ．若240b ac -≥，则20ax bx c ++=有实根 【答案】D【解析】否命题需要否定条件和结论，得到答案. 【详解】若240b ac -<，则20ax bx c ++=没有实根”其否命题是：若240b ac -≥，则20ax bx c ++=有实根 故答案选D 【点睛】本题考查了命题的否定，命题需要否定条件和结论.2．把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人,则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是( )A ．对立事件B ．互斥但不对立事件C ．不可能事件D ．必然事件 【答案】B【解析】试题分析：把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不可能同时发生，是互斥事件，但除了事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”还有“丙分得红牌”，所以这两者不是对立事件，答案为B. 【考点】互斥与对立事件.3．命题“0x R ∃∈，2000x x ->”的否定是（ ） A ．x R ∀∈，20x x ->B ．0x R ∃∈，2000x x -≤C ．x R ∀∈，20x x -≤D ．0x R ∃∈，2000x x -<【答案】C【解析】根据特称命题的否定可得出正确选项. 【详解】由特称命题的否定可知，命题“0x R ∃∈，2000x x ->”的否定是“x R ∀∈，20x x -≤”，故选：C. 【点睛】本题考查特称命题的否定，着重考查对特称命题概念的理解，属于基础题.4．已知两点2(3)A ，和()1,4B -到直线30mx y ++=的距离相等，则m 的值为（ ）A ．0或12-B ．12或6-C ．12-或12D ．0或12【答案】B【解析】试题分析：∵两点(3,2)A 和(1,4)B -到直线30mx y ++=距离相等，∴223234311m m m m ++-++=++，解得12m =，或6m =-．故选B ． 【考点】点到直线的距离公式．5．甲、乙两名同学在5次数学考试中，成绩统计用茎叶图表示如图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别用、表示，则下列结论正确的是( )A ．，且甲比乙成绩稳定B ．，且乙比甲成绩稳定C ．，且甲比乙成绩稳定D ．，且乙比甲成绩稳定【答案】A【解析】试题分析：由茎叶图可得，，所以，从茎叶图中看出甲的成绩比乙更集中（也可计算），所以甲的方差比乙的方差小，故甲比乙的成绩更稳定，所以选A. 【考点】茎叶图与平均数.6．下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是 A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】试题分析：由，但无法得出，A 满足；由、均无法得出，不满足“充分”；由，不满足“不必要”.【考点】不等式性质、充分必要性.7．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，E 为1AA 中点，则异面直线BE 与1CD 所成角的余弦值为( )A ．1010B ．15C ．310D ．35【答案】C 【解析】【详解】平移成三角形用余弦定理解，或建立坐标系解，注意线线角不大于090,故选C.取DD 1中点F ，则1FCD ∠为所求角, 2221251310cos 10225FCD +-∠==，选C. 8．执行如图所示的程序框图，若输出的S 值为0，则开始输入的S 值为（ ）A ．34B ．78C ．45D ．1516【答案】B【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，即可得到答案． 【详解】模拟程序的运行，可得，当1i =时，21S S ←-，1i =，满足条件3i <，执行循环体； 当2i =时，()2211S S ←--，2i =，满足条件3i <，执行循环体；当3i =时，()22211S S ←--⎡⎤⎣⎦，3i =，不满足条件3i <，退出循环体，输出0S =，所以()2221110S ---=⎡⎤⎣⎦，解得78S =． 故选：B. 【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题.9．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为A ．15B ．625C ．825D ．25【答案】A【解析】阳数：1,3,5,7,9，阴数：2,4,6,8,10，然后分析阴数和阳数差的绝对值为5的情况数，最后计算相应概率. 【详解】因为阳数：1,3,5,7,9，阴数：2,4,6,8,10，所以从阴数和阳数中各取一数差的绝对值有：5525⨯=个，满足差的绝对值为5的有：()()()()()1,6,3,8,5,10,7,2,9,4共5个，则51255P ==. 故选：A. 【点睛】本题考查实际背景下古典概型的计算，难度一般.古典概型的概率计算公式：P =目标事件的个数基本本事件的总个数.10．某几何体的三视图如图所示，这个几何体的体积为（ ）A ．1B ．12C ．43D ．23【答案】B【解析】由已知中的三视图画出几何体的直观图，即可得到答案. 【详解】由题中三视图可得直观图为三棱锥，如图所示：可知6AD =，1BC =，2BD =，2AB =，则3CD =3AC =111133322V =⨯⨯=．故选：B. 【点睛】本题考查的知识点是棱锥的体积，空间几何体的三视图，难度不大，属于基础题.11．在平面直角坐标系xOy 中，已知()()1,2,1,0M N -，动点P 满足PM ON PN ⋅=u u u u v u u u v u u u v，则动点P 的轨迹方程是（ ） A ．24y x = B ．24x y =C ．24y x =-D ．24x y =-【答案】A【解析】设(),P x y ，然后表示出向量的坐标，代入已知条件，整理后得到动点P 的轨迹方程. 【详解】设(),P x y ，()()1,2,1,0M N -()1,2PM x y =---u u u u v ，()1,0ON =u u u v ，()1,PN x y =--u u u v因为PM ON PN ⋅=u u u u v u u u v u u u v所以1x +=整理得24y x = 故选A 项. 【点睛】本题考查求动点的轨迹方程，属于简单题.12．设函数2()(,,,0)f x ax bx c a b c a =++∈>R ，则“02b f f a ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“()f x 与(())f f x ”都恰有两个零点的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为0a >，所以开口向上，()f x 有两个零点，最小值必然小于0，当取得最小值时，2bx a =-，即02b f a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，令()2b f x a =-，则()()()(),0,0222b b b f f x f f f f x f a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--<∴=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Q ，()()f f x ∴必有两个零点，同理00222b b b f f f x a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<⇒-<⇒=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由于2b x a =-是对称轴，0a >开口向上，02b f a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，必有两个零点，所以“02b f f a ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“()f x 与()()ff x ”都恰有两个零点的充要条件，故选C.【方法点睛】本题通过充分条件与必要条件考查二次函数的图象与性质，属于难题题. 判断充要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.本题中，不但要理解充分条件与必要条件的基本含义，更要熟练掌握二次函数的图象与性质，以及二次函数与一元二次方程的关系.二、填空题13．某地甲乙丙三所学校举行高三联考，三所学校参加联考的人数分别为200、300、400。
广西南宁三校联考2020-2021学年度高二第一学期段考期中试题 数学文【含解析】
广西南宁三校联考2020-2021学年度高二第一学期段考期中试题 数学文【含解析】第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 已知向量()1,1a =，()2,b x =，若//a b ，则实数x 的值为（ ）. A. 2- B. 0C. 1D. 2【答案】D 【解析】 【分析】利用向量共线的坐标公式计算即可． 【详解】//,2a b x ∴=故选：D【点睛】本题考查平面向量的坐标表示，考查向量共线的应用，属于基础题． 2. 化简cos16cos 44sin16sin 44-︒︒︒︒的值为（ ） 3 B. 3 C.12D. 12-【答案】C 【解析】 【分析】根据两角和余弦公式化简求值即可.【详解】()1cos16cos 44sin16sin 44cos 1644cos 602︒︒-︒︒=︒+︒=︒=， 故选C ．【点睛】本题考查了三角恒等变换，逆用两角和余弦公式化简求值，属于简单题. 3. 已知ABC ∆中，45,2,2A a b =︒==那么B ∠为（ ） A. 30︒ B. 60︒C. 30︒或150︒D. 60︒或120︒【答案】A【解析】试题分析：在ABC ∆中，45,2,2A a b =︒=a b >， A B ∠>∠，那么B ∠为锐角，由正弦定理可得22,,sin sin sin 45sin a b A B B==即解得01sin ,302B B =∴=. 考点：正弦定理的应用.4. 已知数列{}n a 满足 112(2)n n n a a a n +-=+≥，52a =，则9S =（ ） A. 18 B. 20C. 32D. 64【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得数列{}n a 是等差数列，然后由等差数列的性质易得结论．【详解】因为112(2)n n n a a a n +-=+≥，所以11(2)n n n n a a a a n +--=-≥，所以数列{}n a 是等差数列， 所以19599()92921822a a a S +⨯===⨯=． 故选：A ．【点睛】本题考查等差数列的判断，考查等差数列的性质．判断等差数列的方法： （1）定义法：证明1n n a a d --=(2)n ≥，d 为常数； （2）等差中项法：112(2)n n n a a a n +-=+≥； （3）通项公式法：n a An B =+； （4）前n 项和法：2n S An Bn =+．证明数列为等差数列通常用定义法． 5. 若1tan 3θ= ，则cos 2θ=( ) A. 45-B. 15-C.15D.45【答案】D 【解析】222222cos cos2cos cos sin sin sin θθθθθθθ-=-=+.分子分母同时除以2cos θ，即得：2211149cos211519tan tan θθθ--===++. 故选D6. 数列{}n a 满足12a =，1111n n n a a a ++-=+，则2019a =（ ）A. 3-B. 12-C.13D. 2【答案】B 【解析】 【分析】由递推关系，可求出{}n a 的前5项，从而可得出该数列的周期性，进而求出2019a 即可. 【详解】由1111n n n a a a ++-=+，可得111nn n a a a ++=-，由12a =，可得23a =-，312a =-，413a =，52a =，由15a a =，可知数列{}n a 是周期数列，周期为4， 所以2019312a a ==-. 故选：B.7. ABC 的三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足cos cos a bB A=，则ABC 的形状是（ ） A. 正三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】 利用正弦定理sin sin sin sin a b a A A B b B =⇒=，再结合已知cos cos a bB A=可求得sin cos sin cos A B B A =，从而可得sin 2sin 2A B =，可判断ABC 的形状.【详解】解：ABC 中，由正弦定理得：sin sin a b A B=， ∴sin sin a A b B =，又cos cos a b B A =， ∴sin cos sin cos A BB A=， ∴sin 2sin 2A B =， ∴A B =或22A B π=-， 即A B =或2A B π+=，∴ABC 为等腰三角形或直角三角形. 故选：D .【点睛】本题考查判断三角形的形状，利用正弦定理化边为角后，由正弦函数性质可得角的关系，得三角形形状．8. ABC 的三边为,,a b c ，若ABC 为锐角三角形，则（ ） A. tan tan 1A B < B. sin cos A B < C. 2A B π+> D. 222a b c +<【答案】C 【解析】 【分析】由三角形的内角和定理，得到2A B π+>，再由2A B π+>，求得022A B ππ>>->，根据正切函数和正弦函数的单调性及诱导公式，可判定A 、B 不正确；再由余弦定理，可判定D 不正确. 【详解】由ABC 为锐角三角形，可得(0,),(0,),(0,)222A B C πππ∈∈∈，又由A B C π++=，可得2A B C ππ+=->，即2A B π+>，所以C 正确； 由2A B π+>，可得022A B ππ>>->， 由正切函数在(0,)2π上为单调递增函数，可得1tan tan()2tan A B Bπ>-=， 所以tan tan 1A B >，所以A 不正确； 由正弦函数在(0,)2π上为单调递增函数，可得sin sin()cos 2A B B π>-=， 即sin cos A B >，所以B 不正确；由余弦定理可得222cos 02a b c C ab+-=>，则2220a b c +->，所以D 不正确.故选：C.【点睛】本题主要考查了锐角三角形的性质，以及正弦函数、正切函数的单调性的应用，以及余弦定理的应用，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.9. 已知Rt ABC ∆，点D 为斜边BC 的中点， 62AB =,6AC =,12AE ED =,则AE EB ⋅等于 （ ） A. 14- B. 9-C. 9D. 14【答案】C 【解析】 【分析】可分别以直线AC ，AB 为x ，y 轴，建立平面直角坐标系，根据条件便可求出点A ，B ，C ，D 的坐标，进而求出点E 的坐标，从而得出向量AE EB ，的坐标，这样进行数量积的坐标运算即可求出AE EB ⋅的值． 【详解】如图，分别以边AC ，AB 所在直线为x ，y 轴，建立平面直角坐标系，则：()(()(0,00,626,03,32A B C D因为12AE ED =，所以13AE AD = ∴AE =(12，，((2,1,52E EB =- ∴1109.AE EB ⋅=-+= 故选C ．【点睛】考查建立平面直角坐标系，通过坐标解决向量问题的方法，能求平面上点的坐标，以及向量数乘的几何意义，数量积的坐标运算． 10. 已知向量a ，b 满足2a →=，2b →=()2a a b ⊥+，则b 在a 方向上的投影为（ ）A. 12-B. 1-C.12D. 1【答案】B 【解析】 【分析】由向量垂直求得a b ⋅，再根据数量积的定义求得b 在a 方向上的投影．【详解】因为()2a a b ⊥+，()222420a a b a a b a b ⋅+=+⋅=+⋅=，2a b ⋅=-， 所以b 在a 方向上的投影为212a b a⋅-==-． 故选：B ．11. 已知数列{}n a 满足：11a =，*1()2nn n a a n N a +=∈+．则 10a =（ ） A.11021B.11022 C. 11023D. 11024【答案】C 【解析】 【分析】根据数列的递推关系，利用取倒数法进行转化得1121n n a a +=+ ，构造11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，求解出通项，进而求出10a . 【详解】因为12n n n a a a +=+，所以两边取倒数得12121n n n n a a a a ++==+，则111121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 所以数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，则11111122n n n a a -⎛⎫+=+⋅= ⎪⎝⎭，所以121n n a =-，故101011211023a ==-. 故选：C【点睛】方法点睛：对于形如()11n n a pa q p +=+≠型，通常可构造等比数列{}n a x +（其中1qx p =-）来进行求解. 12. 在ABC 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知25c =4b =，点O 满足0OA OB OC →→→→++=，3cos 8CAO ∠=，则ABC 的面积为（ ）A.55 B. 35C. 52D. 55【答案】D 【解析】 【分析】由0OA OB OC →→→→++=得O 是ABC 的重心，设直线AO 交BC 于G ，则G 是BC 中点，利用2AB AC AG +=得2AB AG AC =-，两边平方后可求得AG ，再由2ABC GAC S S =△△可得三角形面积．【详解】∵0OA OB OC →→→→++=，∴O 是ABC 的重心，设直线AO 交BC 于G ，则G 是BC 中点， 设AG x =，∴2AB AC AG +=，则2AB AG AC =-，2222(2)44AB AG AC AG AG AC AC =-=-⋅+∴220442cos 16x x OAC =-⨯⨯∠+，化简得22320x x --=，解得2x =（12x =-舍去），由3cos 8CAO ∠=，CAO ∠是三角形内角，则2355sin 18CAO ⎛⎫∠=-= ⎪⎝⎭， ∴15522sin 24552ABC GAC S S AG AC CAG ==⨯⨯∠=⨯⨯=△△． 故选：D ．【点睛】本题考查向量的线性运算，向量的数量积运算，考查三角形面积公式．解题关键是由0OA OB OC →→→→++=得O 是ABC 的重心，然后可由向量的线性运算得出关系式2AB AC AG +=（G 是BC 边中点），平方后变成向量的数量积运算，从而求得中线AG 长，由面积公式可得面积．第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知在等比数列{}n a 中，3749a a ==，，则5 a =_______．【答案】6 【解析】 【分析】由等比数列的性质直接计算．【详解】因为{}n a 是等比数列，所以253736a a a ==，又357,,a a a 同号，所以56a =．故答案为：6．14. 已知向量a ，b 满足||1a =，||2b =，且向量a ，b 的夹角为4π，若a b λ-与b 垂直，则实数λ的值为__________ 【答案】2 【解析】 【分析】根据已知条件求得a b ⋅，再对向量垂直进行转化，即可列出等式求得参数值. 【详解】根据a b λ-与b 垂直得到（a b λ-）·b =0， 所以220,12cos40,4a b b πλλλ⋅-=∴⨯⨯-=∴=故答案为：24. 【点睛】本题考查数量积的运算，以及向量垂直的转化，属综合基础题. 15. 若02πα<<，2ππβ-<<-，1cos 43πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，3cos 423πβ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则cos 2βα⎛⎫+= ⎪⎝⎭________.【答案】33【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系可得22sin 43πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，6sin 423πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再由cos cos 2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，根据两角差的余弦公式即可求解.【详解】∵02πα<<，2ππβ-<<-，则3444πππα<+<，32424ππβπ<-<， ∴222sin 1cos 44ααππ⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，26sin 1cos 4242πβπβ⎛⎫⎛⎫-=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 因此，cos cos 2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ cos cos sin sin 442442ββααππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭132********⎛⎫=⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭3【点睛】本题考查了三角恒等变换、同角三角函数的基本关系，熟记公式是解题的关键，考查了基本运算求解能力，属于基础题.16. 如图，在同一个平面内，OA 与OC 的夹角为α，且90α︒=，OB 与OC 的夹角为60︒，4OC =，2OB =，1OA =，若()1212,OA OB OC λλλλ=+∈R ，则12λλ的取值是_______．【答案】3 【解析】 【分析】由OA ⊥OC ，OB 与OC 的夹角为60︒，可建立如图所示的平面直角坐标系，进而用坐标表示出OA ，OC ，OB ，结合12OA OB OC λλ=+，可求出12λλ的值.【详解】由题意，可知OA ⊥OC ，OB 与OC的夹角为60︒，建立如图所示的平面直角坐标系，可得()0,0O ，1,0A ，()0,4C ，()6062s n 0i ,2cos B ︒︒-，所以10OA,，()0,4OC =，()()2sin ,2cos 3,16060OB ︒︒=-=-，由()1212,OA OB OC λλλλ=+∈R ，可得()()()120,41,03,1λλ+=-，即122304λλλ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以123λλ=3三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. 如图，D 是直角ABC 斜边BC 上一点，3AC DC =．（1）若30DAC ∠=︒，求角B 的大小；（2）若2BD DC =，且3DC =，求AD 的长．【答案】（1）60B ∠=︒；（2）32【解析】 【分析】（1）在ADC 中，由正弦定理得可得ADC ∠，从而求得B 角；（2）由直角三角形求得AC ，再用余弦定理计算AD ．【详解】解：（1）在ADC 中，由正弦定理得：sin sin DC AC DAC ADC=∠∠， 由题意得：3sin 3ADC DAC ∠=∠=， ∵6060ADC B BAD B ∠=∠+∠=∠+︒>︒，∴120ADC =∠︒，∴60B ∠=︒； （2）3DC =，933BC AC ∴==，Rt ABC 中，22812736AB BC AC -=-=∴3cos C =， 在ABD △中，由余弦定理得： (2223333233332AD =+-⨯⨯= 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，掌握正弦定理与余弦定理解三角形的类型是解题关键． 正弦定理解三角形类型：（1）已知两角及一角对边；（2）已知两边及一边对角（这种类型可能出现两解，需判断）；余弦定理解三角形类型：（1）已知两边及夹角；（2）已知三边求内角．在已知两边及一角时都可得用余弦定理解三角形．18. 某中学组织了地理知识竞赛，从参加考试的学生中抽出40名学生，将其成绩（均为整数）分成六组[)40,50，[)50,60，…，[]90,100，其部分频率分布直方图如图所示．观察图形，回答下列问题．（1）求成绩在[)70,80的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）估计这次考试的平均分（计算时可以用组中值代替各组数据的平均值）；（3）从成绩在[)40,50和[]90,100的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率．【答案】（1）频率为0.3，频率分布直方图见解析；（2）71分；（3）715． 【解析】【分析】（1）由所有频率之和为1可求得成绩在[)70,80的频率，从而可补全频率分布直方图；（2）由每组数据的中值乘以频率相加可得均值；（3）成绩在[)40,50的人数为400.14⨯=人，成绩在[)90,100的人数为400.052⨯=人，将分数段[)40,50的4人编号为1A ，2A ，3A ，4A ，将[]90,100分数段的2人编号为1B ，2B ，用列举法写出任取2人的所有基本事件，同时得出同一分数段内所含基本事件，计数后可得概率．【详解】（1）因为各组的频率之和等于1，所以成绩在[)70,80的频率为1(0.0250.01520.010.005)100.3-+⨯++⨯=．补全频率分布直方图如图所示：（2）利用中值估算学生成绩的平均分，则有450.1550.15650.15750.3850.25950.0571⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=所以本次考试的平均分为71分．（3）成绩在[)40,50的人数为400.14⨯=人，成绩在[)90,100的人数为400.052⨯=人从成绩在[)40,50和[]90,100的学生中选两人，将分数段[)40,50的4人编号为1A ，2A ，3A ，4A ，将[]90,100分数段的2人编号为1B ，2B ，从中任选两人，则基本事件构成集合{}1213141112232412=A ,A ,A ,A ,A ,A ,A ,B ,A ,B ,A ,A ,(A ,A (B ,B )Ω（）（）（）（）（）（）） 共15个，其中同一分数段内所含基本事件为：()12A A ，，()13,A A ，()14,A A ，()23,A A ，()24,A A ，()34,A A ，12(,)B B 共7个， 故所求概率为P =715． 【点睛】方法点睛：本题考查频率分布直方图，考查由频率分布直方图求均值，考查古典概型．求古典概型的方法：列举法，用列举法写出事件空间中的所有基本事件，同时得出所求概率事件中所含有的基本事件，计数后计算概率．如果元素个数较多，事件的个数也可用排列组合知识计算．19. 已知数列{}n a 中，已知：12a =，*1431n n a a n n N +=-+∈，． （1）设n n b a n =-，求证数列{}n b 是等比数列；（2）记41424log log log n n T b b b =++⋯+，求n T ．【答案】（1）证明见解析；（2）n T =()12n n -． 【解析】【分析】（1）已知等式1 431n n a a n +=-+变形为()()114n n a n a n +-+=-， 由{}n b 的定义可得14n n b b +=，同时求得110b =≠，从而证得等比数列；（2）求出等比数列的通项公式，然后利用等差数列的前n 项和公式教育处出n T ．【详解】（1）∵*1431n n a a n n N +=-+∈， ∴()()114n n a n a n +-+=-，14n n b b +=∵111211b a =-=-=∴{}n b 是首项为1，公比为4的等比数列．（要指明首项和公比，否则扣1分）（2）∵14n n b -=，41424log log log n n T b b b =++⋯+214444log 1log 4log 4log 4n -=+++⋯+()0121n =+++⋯+- ()12n n -=． 【点睛】本题考查等比数列的证明，证明方法是等比数列的定义．本题证明实际上可以直接由n n b a n =-得n n a b n =+，代入已知等式()()114n n a n a n +-+=-即可递推关系，然后一定要计算出1b ，只有在10b ≠时才能确定数列为等比数列，这是易错点．20. 如图，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，//MA PB ，且2PB AB ==．（1）求证：//DM 平面PBC ；（2）求点 C 到平面 APD 的距离．【答案】（1）证明见解析；（22【解析】【分析】（Ⅰ）利用面面平行的判定定理证明平面//AMD 平面BPC ，再利用面面平行的性质定理即可证明//DM 平面PBC ；（2）先证明AD ⊥平面ABPM ，设点C 到平面APD 的距离为d ，利用等体积法得13P ACD C APD APD V V d S --==⋅△，通过计算即可得d . 【详解】（Ⅰ）因为四边形ABCD 是正方形，所以//BC AD ，又BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ，//AD 平面PBC ，因为//MA PB ，同理可证//MA 平面PBC ，,,AD MA A AD MA ⋂=⊂平面AMD ，所以平面//AMD 平面PBC ，又因为DM ⊂平面AMD ，所以//DM 平面PBC ；（2）因为AM ⊥平面ABCD ，∴AM ⊥AD ，PB ⊥平面ABCD ，又∵AD ⊥AB ，AMAB A =，∴AD ⊥平面ABPM ，∴AD ⊥AP 又22AP =设点C 到平面APD 的距离为d ∵11142223323P ACD ACD V PB S -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△ 又∵13P ACD C APD APD V V d S --==⋅△ 1222222APD S =⨯⨯=△ ∴14233d ⨯=; ∴2d =即点C 到平面APD 2【点睛】方法点睛：证明直线与平面平行可通过证明直线与直线平行或平面与平面平行来证明. 21.已知数列{}n a 的前n 项和232n n n S n N *-=∈，. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)证明：对任意1n >，都有m N *∈，使得1n m a a a ，，成等比数列. 【答案】（1）32,n a n =-（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）由和项求通项，主要根据11,1{,2n n n S n a S S n -==-≥进行求解. 因为232n n n S -=，所以当2n ≥时132,n n n a S S n -=-=-又1n =时，11312,n a S ===⨯-所以32,n a n =-（2）证明存在性问题，实质是确定.m 要使得1n m a a a ，，成等比数列，只需要21n m a a a =，即22(32)1(32),342n m m n n -=⨯-=-+.而此时m N *∈，且,m n >所以对任意1n >，都有m N *∈，使得1n m a a a ，，成等比数列. 试题解析：（1）因为232n n n S -=，所以当2n ≥时132,n n n a S S n -=-=-又1n =时，11312,n a S ===⨯-所以32,n a n =-（2）要使得1n m a a a ，，成等比数列，只需要21n m a a a =，即22(32)1(32),342n m m n n -=⨯-=-+.而此时m N *∈，且,m n >所以对任意1n >，都有m N *∈，使得1n m a a a ，，成等比数列. 考点：由和项求通项，等比数列22. 已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，其外接圆半径R 满足22232cos R ac B a c +=+.（1）求B 的大小；（2）已知ABC ∆的面积3abc S =，求a c +的取值范围. 【答案】（1）3B π=（2）(33,6] 【解析】【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理计算得到答案.（2）根据面积公式化简得到6sin 6a c A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，根据角度范围得到值域. 【详解】（1）∵22232cos R ac B a c +=+，∴222232cos R a c ac B b =+-=，即33R =，∴3sin 2223b B b R b===B 为锐角，∴3B π=. （2）∵ABC ∆的面积31sin 23abc S ac π==， ∴3b =，∴23223R ==2sin sin a c R A C ==，23A C B π+=π-=， ∴2332(sin sin )23sin sin 23sin 32a c R A C A A A A π⎫⎤⎛⎫+=+=+-=⎪ ⎪⎥⎪⎝⎭⎦⎭ 6sin 6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由ABC ∆是锐角三角形得,62A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴2,633A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴3sin 6A π⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦， ∴(33,6]a c +∈，即a c +的取值范围为(33,6].【点睛】本题主要考查利用正、余弦定理解三角形和三角形面积公式的应用，考查的核心素养是数学运算.。
广西壮族自治区南宁市市第三中学高二数学理联考试题含解析
广西壮族自治区南宁市市第三中学高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 有A,B两种类型的车床各一台，现有甲，乙，丙三名工人，其中甲乙都会操作两种车床，丙只会操作A种车床，现要从三名工人中选2名分别去操作以上车床，不同的选法有（）A.6种B.5种C.4种D.3种参考答案：C2. 已知是双曲线的左、右焦点，点在上，，则=（）A．2 B. 4 C.6 D. 8参考答案：B略3. 已知全集为R，集合，，则集合A．B．C．D．参考答案：C4. 设为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则（A）-3 （B）-1 （C）1 (D)3参考答案：A 5. 下列句子或式子中是命题的个数是（）（1）语文与数学；（2）把门关上；（3）；（4）；（5）垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？（6）一个数不是合数就是素数；A．1 B．3 C．5 D．2参考答案：A略6. 统计甲、乙两支足球队在一年内比赛的结果如下：甲队平均每场比赛丢失个球, 全年比赛丢失球的个数的标准差为; 乙队平均每场比赛丢失个球, 全年比赛丢失球的个数的方差为.据此分析：①甲队防守技术较乙队好; ②甲队技术发挥不稳定;③乙队几乎场场失球; ④乙队防守技术的发挥比较稳定.其中正确判断的个数是（）A.4B.3C.2D.1参考答案：A7. 某种产品的加工需要经过5道工序，其中有2道工序既不能放在最前面，也不能放在最后面，则这种产品的加工排列顺序的方法数为（）A. 72B. 36C. 24D. 12参考答案：B【分析】先放置有条件的2道工序，有6种，再将剩余的3道工序，有6种最后由分步计数原理，即可求解，得到答案.【详解】由题意，某种产品的加工需要经过5道工序，其中有2道工序既不能放在最前面，也不能放在最后面，其中这2道工序，共有种不同的方法，剩余的3道工序，共有种不同的方法，由分步计数原理，可得这种产品的加工排列顺序的方法数为种，故选B.【点睛】本题主要考查了排列、组合的应用，其中解中认真审题，合理利用排列组合和分步计数原理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.8. 在中，分别是所对边的边长，若，则的值是（）A．1 B．C．D．2参考答案：B考点：两角和与差的三角函数试题解析：因为所以即)又因为、都是的内角是直角是等腰直角三角形。
2019-2020学年广西南宁市第三中学高二上学期期中考试(11月段考)数学(理)试题
南宁三中2019~2020学年度上学期高二段考理科数学试题★祝考试顺利★ 注意事项：1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一项符合．）1．“若240b ac -<，则20ax bx c ++=没有实根”，其否命题是（ ） A ．若240b ac -≥，则20ax bx c ++≠没有实根 B ．若240b ac -<，则20ax bx c ++=有实根 C ．若240b ac -≥，则20ax bx c ++=没有实根D ．若240b ac -≥，则20ax bx c ++=有实根2．把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是( )A ．对立事件B ．互斥但不对立事件C ．不可能事件D ．必然事件3．命题“0x R ∃∈，2000x x ->”的否定是（ ） A ．x R ∀∈，20x x -> B ．0x R ∃∈，2000x x -≤C ．x R ∀∈，20x x -≤D ．0x R ∃∈，2000x x -<4．已知两点A(3,2),B(-1,4)到直线mx +y +3=0距离相等，则m 的值为（ ）A ．6-或1B ．12-或1 C ．12-或12 D ．6-或125．甲、乙两名同学在5次数学考试中，成绩统计图用茎叶图表示如图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别用x x 乙甲、表示，则下列结论正确的是( )A ．x x >乙甲，且甲比乙成绩稳定B ．x x >乙甲，且乙比甲成绩稳定C ．x x <乙甲，且甲比乙成绩稳定D ．x x <乙甲，且乙比甲成绩稳定6．下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是（ ）A ．1a b >+B ．1a b >-C ．22a b >D ．33a b >7．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，E 为1AA 中点，则异面直线BE 与1CD 所成角的余弦值为( )A B ．15C D ．358．执行如图所示的程序框图，若输出的S 值为0，则开始输入的S 值为（ ）A ．34B ．78C ．45D ．1516第8题图 第9题图9．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为（ ）A ．15B ．625C ．825D ．2510．某几何体的三视图如图所示，这个几何体的体积为（ ） A ．1B ．12C ．43D ．2311．在平面直角坐标系xOy 中，已知()()1,2,1,0M N -，动点P 满足PM ON PN ⋅=，则动点P 的轨迹方程是（ ）A ．24y x =B ．24x y =C ．24y x =-D ．24x y =-12．设函数2()f x ax bx c =++(a ,b,c∈R 且a >0)则 “(())02bf f a-<”是“()f x 与(())f f x 都恰有两个零点”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13．某地甲乙丙三所学校举行高三联考，三所学校参加联考的人数分别为200、300、400。
广西南宁市第三中学2019_2020学年高二数学上学期期中(11月段考)试题理
广西南宁市第三中学2019-2020学年高二数学上学期期中（11月段考）试题 理一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一项符合．）1．“若240b ac -<，则20ax bx c ++=没有实根”，其否命题是（ ） A ．若240b ac -≥，则20ax bx c ++≠没有实根 B ．若240b ac -<，则20ax bx c ++=有实根 C ．若240b ac -≥，则20ax bx c ++=没有实根D ．若240b ac -≥，则20ax bx c ++=有实根2．把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是( )A ．对立事件B ．互斥但不对立事件C ．不可能事件D ．必然事件3．命题“0x R ∃∈，2000x x ->”的否定是（ ） A ．x R ∀∈，20x x -> B ．0x R ∃∈，2000x x -≤C ．x R ∀∈，20x x -≤D ．0x R ∃∈，2000x x -<4．已知两点A(3,2),B(-1,4)到直线mx +y +3=0距离相等，则m 的值为（ ）A ．6-或1B ．12-或1 C ．12-或12 D ．6-或125．甲、乙两名同学在5次数学考试中，成绩统计图用茎叶图表示如图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别用x x 乙甲、表示，则下列结论正确的是( )A ．x x >乙甲，且甲比乙成绩稳定B ．x x >乙甲，且乙比甲成绩稳定C ．x x <乙甲，且甲比乙成绩稳定D ．x x <乙甲，且乙比甲成绩稳定6．下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是（ ）A ．1a b >+B ．1a b >-C ．22a b >D ．33a b >7．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，E 为1AA 中点，则异面直线BE 与1CD 所成角的余弦值为( )A ．10B ．15C D ．358．执行如图所示的程序框图，若输出的S 值为0，则开始输入的S 值为（ ）A ．34B ．78C ．45D ．1516第8题图 第9题图9．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为（ ）A ．15B ．625C ．825D ．2510．某几何体的三视图如图所示，这个几何体的体积为（ ） A ．1B ．12C ．43D ．2311．在平面直角坐标系xOy 中，已知()()1,2,1,0M N -，动点P 满足PM ON PN ⋅=，则动点P 的轨迹方程是（ ）A ．24y x =B ．24x y =C ．24y x =-D ．24x y =-12．设函数2()f x ax bx c =++(a ,b,c∈R 且a >0)则 “(())02bf f a-<”是“()f x 与(())f f x 都恰有两个零点”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13．某地甲乙丙三所学校举行高三联考，三所学校参加联考的人数分别为200、300、400。
南宁市第三中学2020_2021学年高二数学上学期月考试题一理含解析
则 ，得 ，
则 。
故答案 ： .
【点睛】本题考查球的截面问题,空间两点距离公式的应用，考查转化思想及空间想象能力，计算能力．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步聚）
17. 学校为了制定培养学生阅读习惯，指导学生提高阅读能力的方案,需了解全校学生的阅读情况，现随机调查了200名学生每周阅读时间X（单位：小时）并绘制如图所示的频率分布直方图。
A. B. C。 D。
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性、单调性进行判断即可.
【详解】由图象可知，该函数为奇函数,定义域为 ，并且在 上单调递增，因为函数 和 为偶函数，排除A，B；
又 为奇函数，在 上单调递减，排除C；
而 为奇函数，定义域为 ,并且在 上单调递增。
故选：D.
【点睛】本题考查根据函数的图象判断函数的解析式，考查学生对于函数单调性、奇偶性的判断，较简单。
【解析】
【分析】
直接由直线平面的定理得到选项 正确；对于选项 ,m，n可能平行、相交或异面,所以该选项错误；对于选项 , 与 内一直线l，所以 ，因为l为 内一直线，所以 ．所以该选项正确.
详解】对于选项 ，若 ， ，则 ，所以该选项正确；
对于选项 ，若 ， ，则 ,所以该选项正确；
对于选项 ，若 ， ，则m,n可能平行、相交或异面，所以该选项错误；
【答案】D
【解析】
【分析】
列举出循环的每一步,可得出该程序的输出结果.
【详解】该程序的运行过程为：
， ， ,判断框条件不成立，开始执行循环体;
， ， ，继续循环； ， ， ，继续循环;
， ， ，继续循环; , ， ，跳出循环，输出出结果,解题的关键就是利用程序框图,列出循环的每一步，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题。
广西南宁市第三中学2020_2021学年高二数学上学期期中段考试题理含解析
某某某某市第三中学2020-2021学年高二数学上学期期中段考试题理（含解析）一、选择题（每小题5分，共60分）1.己知命题p ：Vx>0, 3r >x 3.则「"为（） A.色 > 0, y <x 3B. Vx<0, 3V <X 3C. 3.V O >0, 3v ° <D.3%【答案】c 【解析】 【分析】根据全称命题的否定，改量词、否结论，即可得出结果.【详解】命题P 是一个全称命题，故其否定是一个特称命题，先改写呈词，然后否定结论即 可得到.该命题的否定为"3x o >O t 故选：C.【点睛】本题主要考查全称命题的否定，属于基础题型.2. 甲乙两队积极准备一场篮球比赛，根据以往的经验知卬队获胜的概率是寺,2率是;，则这次比赛乙队获胜的概率是（）6【答案】B 【解析】 【分析】因为“乙队获胜”与“甲队不输”是对立事件，对立爭件的概率之和为1,进而即可求出结果. 【详解】由题意，“乙队获胜”与“甲队不输”是对立弔件，1 1 2因为甲队不输的概率是^+4=4，2 6 3所以，这次比赛乙队获胜的概率是1-|=7- 3 3故选；B.两队打平的概 1 - 3B.3. 过点P（-2,0）,斜率是3的直线的方程是（）A. y = 3x-2B. y = 3x+2 c. y = 3(x-2) D.y = 3(x+2)【答案】D【解析】【分析】由点斜式町求得直线方程.【详解】P(—2,0), k=3,由点斜式为y=3(x + 2),选D.【点睛】考查学生对点斜的掌握，较简单.4. 己知命题"：Hv0 e R ,使smxo =字：命题9：V XE R ,都有x'+x+i>0，则下列结论正确的是()A.命题“ PM”是真命题：B.命题“ pgq) ”是假命题：C.命题“(「p)vq”是假命题：D.命题“(「p)v(「q) ”是假命题. 【答案】B【解析】【分析】根据正弦函数的性质判断命题卩为假命题，由用+卄1 = 4+丄］「+ °>0判断命题9为真命题,{2)4从而得出答案.【详解】因为y = sin_r的值域为［-14］,所以命题P为假命題因为F + x+l = (x + *『+#>0,所以命题9为真命题则命题"PW是假命题，命题“ pMF) ”是假命题，命题“是真命题，命题“mw是真命题故选：B5. 在空间中，设加，"为两条不同直线，a, 0为两个不同平面，则下列命题正确的是A.若m! la且a//0，则ml ipB. 若a 丄0, mua 、〃u0,则m 1 n c.若加丄a 且a//0,则加丄0D.若〃7不垂直于a,且〃ua,则〃7必不垂立于打【答案】c 【解析】【详解】解：由皿力为两条不同直线，a ，B 为两个不同平面，知： 在A 中，若m 〃 a 且a 〃 B ,则m 〃 B 或加B ,故.4错误：在尸中，若a 丄B, md a , ncB,则口与刀相交、平行或异面，故乃错误; 在Q 中.若刃丄a 冃a 〃 B ・则由线面垂育的判定定理得加丄B ・故C 正确： 在。
广西南宁市第三中学2020-2021学年高二上学期期中段考数学(文)试题 含答案
R （ 3）2 （ 3 ）2 15 ，从而外接球的表面积为 4 R2 15 ．
2
2
9
17．【解析】 1 选两名代表发言一共有 A, B, A,C, A, D, A, E , A, F , B,C , B, D , B, E , B, F ,C, D ,C, E ,
C, F , D, E , D, F , E, F 共15 种情况，---------3 分
D．命题“ (p) (q) ”是假命题．
5．在空间中，设 m ， n 为两条不同直线， ， 为两个不同平面，则下列命题正确的是
A．若 m / / 且 / / ，则 m / /
1
B．若 ， m ， n ，则 m n
C．若 m 且 / / ，则 m
D．若 m 不垂直于 ，且 n ，则 m 必不垂直于 n
9．D【解析】因为勾股比为 1∶ 3,不妨设勾为 1,则股为 3,大正方形的边长为 2,小正方形的边长为
3 1．设落在黄色图形内的图钉数为 n,则有 n ( 3 1)2 ，解得 n≈134．
1000
4
10 ． D 【 解 析 】 因 为 f (x) sin 2 x 3 sin x cos x 1 1 cos 2 x 3 sin 2x 1
且m n．
（1）求角 B 的大小；
（2）若 b 6 ，求 ABC 的周长的取值范围．
21．如图，在长方形 ABCD 中， AB 4 ， AD 2 ，点 E 是 DC 的中点．将 ADE 沿 AE 折起， 使平面 ADE 平面 ABCE ，连结 DB 、 DC 、 EB ．
5
（1）求证： AD 平面 BDE ； （2）点 M 是线段 DA 的中点，求三棱锥 D MEC 的体积．
广西南宁市2020年(春秋版)高二上学期期中数学试卷(理科)(II)卷
广西南宁市2020年（春秋版）高二上学期期中数学试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·常德模拟) 已知集合M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|x2﹣6x+8＜0}，则M∩N=（）A . （1，3）B . （2，3）C . （2，4）D . （1，4）2. （2分） (2017高二上·晋中期末) 命题“∃x＞0，使2x＞3x”的否定是（）A . ∀x＞0，使2x≤3xB . ∃x＞0，使2x≤3xC . ∀x≤0，使2x≤3xD . ∃x≤0，使2x≤3x3. （2分）已知函数在上两个零点，则m的取值范围为（）A .B .C .D .4. （2分）在△ABC 中，，则的值为（）A .B .C .D .5. （2分） (2017高一上·南涧期末) 已知向量| |=10，| |=12，且 =﹣60，则向量与的夹角为（）A . 60°B . 120°C . 135°D . 150°6. （2分）(2014·湖北理) 设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B=∅”的（）A . 充分而不必要的条件B . 必要而不充分的条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件7. （2分）(2018·泸州模拟) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A .B .C .D .8. （2分）正方体中，M为侧面所在平面上的一个动点，且M到平面的距离是M到直线BC距离的2倍，则动点M的轨迹为（）A . 椭圆B . 双曲线C . 抛物线D . 圆9. （2分）已知各项不为0的等差数列满足，数列是等比数列，且，则等于（）A . 1B . 2C . 4D . 810. （2分）(2016·北区模拟) 已知实数x，y满足条件，则z=3x+2y的取值范围是（）A . （﹣∞，10]B . [5，10]C . [8，+∞）D . [8，10]11. （2分） (2016高二上·绍兴期末) 点P（﹣3，1）在椭圆 =1（a＞b＞0）的左准线上．过点P 且方向为 =（2，﹣5）的光线，经直线y=﹣2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）A .B .C .D .12. （2分）若a>b>0，则下列不等式一定不成立的是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知{an}为等比数列，且a1a2=﹣，a3= ，则数列{an}的通项公式是________．14. （1分）两圆相交于两点和两圆圆心都在直线上则的值为________．15. （1分） (2019高一下·梧州期末) 下边程序执行后输出的结果是________．16. （1分）(2017·新乡模拟) 已知点A（1，y1），B（9，y2）是抛物线y2=2px（p＞0）上的两点，y2＞y1＞0，点F是它的焦点，若|BF|=5|AF|，则y12+y2的值为________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分）已知命题：函数在上是增函数；命题：，不等式恒成立．（1）如果命题为真命题，求实数的取值范围；（2）命题“ ”为真命题，“ ”为假命题，求实数的取值范围．18. （10分） (2019高二上·宁波期中) 如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，四条侧棱长均为．点分别是棱上共面的四点，平面．（1）证明：（2）若，且二面角大小为 ,求与平面所成角的正弦值．19. （5分）(2017·襄阳模拟) 已知A、B分别在射线CM、CN（不含端点C）上运动，∠MCN= π，在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c．（Ⅰ）若a、b、c依次成等差数列，且公差为2．求c的值；（Ⅱ）若c= ，∠ABC=θ，试用θ表示△ABC的周长，并求周长的最大值．20. （10分） (2019高二上·开封期中) 已知等差数列的前项和为，有， .（1）求数列的通项公式；（2）令，记数列的前项和为，证明： .21. （5分） (2016高一上·桂林期中) 某商品进货单价为60元，若销售价为90元，可卖出40个，如果销售价每涨1元，销售量就减少1个，为了获得最大利润，求此商品的最佳售价应为多少？22. （10分）已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）过点任作一条直线，与椭圆交于不同于点的，两点，与直线交于点，记直线、、的斜率分别为、、．试探究与的关系，并证明你的结论．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、第11 页共11 页。
2024-2025学年南宁市三中高二数学上学期期中试卷附答案解析
2024-2025学年南宁市三中高二数学上学期期中试卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}|1{22}A x xB x x =>=-<<，∣，则()RA B ⋂=ð（）A.(2,1)-B.(2,1]- C.(,2)-∞ D.(1,2]2.复数i 21iz -=+，则z 的虚部为（）A.3i 2 B.32C.32-D.3i2-3.已知空间向量()3,2,5a =-，()1,,1b x =- ，且a 与b 垂直，则x 等于（）A.4B.1C.3D.24.“1m =”是“直线1:(1)10l x m y +++=与直线2:(1)10l m x my +--=垂直”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.若实数m 满足05m <<，则曲线221155x y m -=-与曲线221155x y m -=-的（）A.离心率相等B.焦距相等C.实轴长相等D.虚轴长相等6.已知椭圆22:194x y C +=，12,F F 为两个焦点，P 为椭圆C 上一点，若122PF PF -=，则12PF F 的面积为（）A.2B.3C.4D.67.已知双曲线222x y -=的左，右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线的右半支上，点()0,2Q ，则1PQ PF +的最小值为（）A.B.4C.6D.8.已知椭圆G22+22=1>>01F ，2F ，点1,1是C 上的一点，12PF F 的内切圆圆心为2,2，当12x =时，2x =，则C 的离心率为（）A.2B.1C.3D.2-二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法中正确的是（）A.若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大B.若()()1,3,1,3A B -，则直线AB 的倾斜角为90C.若直线过点()1,2，且它的倾斜角为45 ，则这条直线必过点()3,4D.直线2y kx =-的纵截距为2-10.已知点()1,2A 在抛物线22y px =（0p >）上，F 为抛物线的焦点，()1,0Q -，则下列说法正确的是（）A.2p = B.点F 的坐标为()2,0 C.直线AQ 与抛物线相切D.AF AQ⊥11.已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为4，点N 是底面正方形ABCD 内及边界上的动点，点M 是棱1DD 上的动点（包括点1D D ，），已知4MN =，P 为MN 中点，则下列结论正确的是（）A.无论M ，N 在何位置，1,AP CC 为异面直线B.若M 是棱1DD 中点，则点P 的轨迹长度为π2C.M ，N 存在唯一的位置，使1A P ∥平面1AB CD.AP 与平面11A BCD 所成角的正弦最大值为12三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.两条平行直线1:68100l x y +-=与2:6850l x y +-=之间的距离是__________.13.若圆()22121C x y -+=：与圆222:460C x y x y m ++++=相内切，则m =______.14.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的焦点分别为12,F F M 、为双曲线上一点，若122π,33F MF OM b ∠==，则双曲线的渐近线方程为____________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.15.分别求出适合下列条件的方程：（1）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，且抛物线上一点()3,A m 到焦点的距离为5，求抛物线的方程；（2）已知圆C 的圆心在y 轴上，并且过原点和()，求圆C 的方程.16.记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin2sin b A a B =.（1）求角A ；（2）若a ABC =△的面积为2，求ABC V 的周长.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PAD △是等边三角形，CD ⊥平面,,,,PAD E F G O 分别是,,,PC PD BC AD 的中点.（1）求证：⊥PO 平面ABCD ；（2）求平面EFG 与平面ABCD 夹角的余弦值.18.已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的左､右焦点分别为()()121,01,0,F F M -､为椭圆E 的上顶点时，12MF F △（1）求椭圆E 的方程；（2）直线:l y kx m =+与椭圆E 相交于,P Q 两点，且22434k m +=，求证：OPQ △（O 为坐标原点）的面积为定值.19.已知双曲线222Γ:1,(0),y x b b-=>左右顶点分别为12,A A ，过点()2,0M -的直线l 交双曲线Γ于,P Q两点.（1）若离心率2e =时，求b 的值．（2）若2,3b MA P =△为等腰三角形时，且点P 在第一象限，求点P 的坐标．（3）连接OQ 并延长，交双曲线Γ于点R ，若121A R A P ⋅=，求b 的取值范围．2024-2025学年南宁市三中高二数学上学期期中试卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}|1{22}A x xB x x =>=-<<，∣，则()RA B ⋂=ð（）A.(2,1)-B.(2,1]- C.(,2)-∞ D.(1,2]【答案】B 【解析】【分析】首先求R A ð，再求交集.【详解】{}R 1A x x =≤ð，{22}B xx =-<<∣，所以(){}(]212,1R A B x x ⋂=-<≤=-ð.故选：B 2.复数i 21iz -=+，则z 的虚部为（）A.3i 2 B.32C.32-D.3i2-【答案】B 【解析】【分析】根据复数的除法运算，化简复数z ，进而可求虚部.【详解】()()()()i 21i i 213i 13i 1i 1i 1i 222z ----+====-+++-，故z 的虚部为32，故选：B3.已知空间向量()3,2,5a =-，()1,,1b x =- ，且a 与b 垂直，则x 等于（）A.4 B.1C.3D.2【答案】A 【解析】【分析】由题意可得0a b ⋅=，利用空间向量数量积的坐标运算可求得实数x 的值.【详解】因为空间向量()3,2,5a =- ，()1,,1b x =- ，且a 与b垂直，则325280a b x x ⋅=-+-=-=，解得4x =.故选：A.4.“1m =”是“直线1:(1)10l x m y +++=与直线2:(1)10l m x my +--=垂直”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】先求出两直线垂直的充要条件，进而根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】若直线1:(1)10l x m y +++=与直线2:(1)10l m x my +--=垂直，则()()()1110m m m ⨯+++⨯-=，解得1m =±，所以“1m =”是“直线1:(1)10l x m y +++=与直线2:(1)10l m x my +--=垂直”的充分不必要条件.故选：A.5.若实数m 满足05m <<，则曲线221155x y m -=-与曲线221155x y m -=-的（）A.离心率相等B.焦距相等C.实轴长相等D.虚轴长相等【答案】B 【解析】【分析】根据双曲线的性质逐一分析判断即可.【详解】因为05m <<，所以50,150m m ->->，所以曲线221155x y m -=-与曲线221155x y m -=-都是焦点在x 轴上的双曲线，15520155m m m +-=-=-+，所以两曲线的焦点和焦距都相同，故B 正确；因为20201515m m m--≠-，所以离心率不相等，故A 错误；因为1515m ≠-，所以实轴长不相等，故C 错误；因为55m -≠，所以虚轴长不相等，故D 错误.故选：B .6.已知椭圆22:194x y C +=，12,F F 为两个焦点，P 为椭圆C 上一点，若122PF PF -=，则12PF F 的面积为（）A.2B.3C.4D.6【答案】C 【解析】【分析】首先得,,a b c ，进一步得焦距，由椭圆定义结合122PF PF -=得12,PF PF ，由此即可进一步求解.【详解】由题意3,2,a b c ===1212226F F c PF PF a ==+==，因为122PF PF -=，所以124,2PF PF ==，而222121216420PF PF F F +=+==，所以12PF PF ⊥，所以12PF F 的面积为12121142422PF F S PF PF =⋅=⨯⨯= .故选：C.7.已知双曲线222x y -=的左，右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线的右半支上，点()0,2Q ，则1PQ PF +的最小值为（）A. B.4C.6D.【答案】D 【解析】【分析】首先利用双曲线的定义转化(12PQ PF PQ PF +=++，再结合图象，求2PQ PF +的最小值，再联立方程求交点坐标.【详解】由题意并结合双曲线的定义可得(12224PQ PF PQ PF PQ PF QF +=++=+++当且仅当Q ，P ，2F 三点共线时等号成立.而直线2QF 的方程为2y x =-+，由2222y x x y =-+⎧⎨-=⎩可得32x =，所以12y =，所以点P所以当且仅当点P1 PQ PF+的最小值为.故选：D.8.已知椭圆G22+22=1>>01F，2F，点1,1是C上的一点，12PF F的内切圆圆心为2,2，当12x=时，2x=，则C的离心率为（）A.32B.1C.33D.2-【答案】A【解析】【分析】由点1,1在2222:1x yCa b+=上，结合两点之间的距离公式和椭圆的定义求出11PF ex a=+，21PF a ex=-，即1212PF PF ex-=，再利用内切圆的性质得到1222PF PF x-=，即可求出C的离心率.【详解】设222c a b=-，则1−s0，()2,0F c；由点1,1在2222:1x yCa b+=上，则有2211221x ya b+=，即2221121xy ba⎛⎫=-⎪⎝⎭，所以1PF====；又1a x a-≤≤，所以111cxPF a ex aa=+=+，2112PF a PF a ex=-=-，则1212PF PF ex-=；如图1，由焦点12PF F△的内切圆可得：PE PF=，11EF F H=，22FF F H=，所以12121212PF PF EF FF F H F H ex -=-=-=；又()()12221222F H F H c x c x ex x -=+--==，所以21x ex =，即212x e x ==，故选：A ．【点睛】关键点点睛：本题的关键点是推理出二级结论：点1,1在椭圆上，则11PF ex a =+，21PF a ex =-，再结合内切圆的性质1212PF PF F H F H -=-，建立关于12,,x x e 的等量关系.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法中正确的是（）A.若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大B.若()()1,3,1,3A B -，则直线AB 的倾斜角为90C.若直线过点()1,2，且它的倾斜角为45 ，则这条直线必过点()3,4D.直线2y kx =-的纵截距为2-【答案】BCD 【解析】【分析】根据每一个选项具体直线，以及直线的性质判断每一个选项即可.【详解】倾斜角为锐角，斜率为正；倾斜角为钝角时，斜率为负，故A 错；由于()()1,3,1,3A B -的横坐标相等，即直线AB 与y 轴垂直，故倾斜角为90 ，故B 对；由题设，直线方程为2110y x x y -=-⇒-+=，显然()3,4在直线上，故C 对；直线2y kx =-在y 轴上的截距为2-，故D 对.故选：BCD10.已知点()1,2A 在抛物线22y px =（0p >）上，F 为抛物线的焦点，()1,0Q -，则下列说法正确的是（）A.2p =B.点F 的坐标为()2,0C.直线AQ 与抛物线相切D.AF AQ⊥【答案】AC【解析】【分析】将()1,2A 代入抛物线可得2p =，即可判断ABD,根据直线与抛物线联立后判别式为0，即可求解.【详解】将()1,2A 代入22y px =中可得42p =，故2p =，1,0,A 正确，B 错误，1AQ k =,则AQ 方程为1y x =+，则2212104y x x x y x=+⎧⇒-+=⎨=⎩，0∆=，故直线AQ 与抛物线相切，C 正确，由于AF x ⊥轴，所以AF AQ ⊥不成立，故D 错误，故选：AC11.已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为4，点N 是底面正方形ABCD 内及边界上的动点，点M 是棱1DD 上的动点（包括点1D D ，），已知4MN =，P 为MN 中点，则下列结论正确的是（）A.无论M ，N 在何位置，1,AP CC 为异面直线B.若M 是棱1DD 中点，则点P 的轨迹长度为3π2C.M ，N 存在唯一的位置，使1A P ∥平面1AB CD.AP 与平面11A BCD 所成角的正弦最大值为12【答案】ABD 【解析】【分析】根据1,AP AA 相交，而11//AA CC 即可判断A ，建立空间直角坐标系，利用坐标运算可判断P 的轨14，即可判断B ，根据法向量与方向向量垂直即可判断C,根据线面角的向量法，结合基本不等式即可求解.【详解】由于1,AP AA 相交，而11//AA CC ，因此1,AP CC 为异面直线，A 正确，当M 是棱1DD 中点，建立如图所示的空间直角坐标系，设()()()()()()11,,,0,0,2,4,0,0,0,4,0,0,4,4,4,4,4P x y z M A C C B ,故()2,2,22N x y z -，024,024x y ≤≤≤≤且220z -=，由于4MN =，故()()()2222222216x y z ++--=，化简得223x y +=，由于024,024x y ≤≤≤≤，所以点P14，故长度为π2，B 正确，设()()10,0,,4,0,4M a A ,则()2,2,2N x y z a -，024,024x y ≤≤≤≤且20z a -=，()()114,,4,0,4,4A P x y z AB =--= ，()4,4,0AC =-,设平面1AB C 的法向量为(),,m m n k =，则1440440AB m n k AC m m n ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1m =，则()1,1,1m =- ,()()1440A P m x y z ⋅=-+--=，故0x y z +-=，由于4MN =，故()()()222222216x y z a ++-=，化简得2224y x z ++=，联立2222224x y z x y xy x y z +-=⎧⇒++=⎨++=⎩，故解不唯一，比如取0,x y ==，则或取0,y x ==，故C 错误，由于11A D ⊥平面11ABB A ，1AB ⊂平面11ABB A ，故111A D AB ⊥,又四边形11ABB A 为正方形，所以11A B AB ⊥,111111,,A B A D A B A D ⋂⊂平面11A BCD ，所以1AB ⊥平面11A BCD ，故平面11A BCD 的法向量为()10,4,4AB =()4,,AP x y z =-，设AP 与平面11A BCD 所成角为θ，则111sin cos ,AP AB AP AB AP AB θ⋅===，则()()()222222222222121sin 2244y z y z yz x y z x y zθ+++=≤-++-++，当且仅当y z =时取等号，()()222222222244sin 208444y z x x x x y z x x θ+--≤==--++-+-，∈0,2时，令2080x t -=>，则208t x -=，故22201444404820864t t x t x t-⎛⎫⎛⎫--++ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭==-，由于14424t t +≥，当且仅当144t t =，即12t =时等号成立，此时1x =，由2224y x z ++=且y z =可得2y z ==因此21444024401sin 64644t t θ⎛⎫-++ ⎪-+⎝⎭≤≤=，由于π0,2θ⎡⎤∈⎢⎣⎦，sin 0θ≥，故sin θ的最大值为12，故D 正确，、故选：ABD 【点睛】方法点睛：立体几何中与动点轨迹有关的题目归根到底还是对点线面关系的认知，其中更多涉及了平行和垂直的一些证明方法，在此类问题中要么很容易的看出动点符合什么样的轨迹(定义)，要么通过计算(建系)求出具体的轨迹表达式，和解析几何中的轨迹问题并没有太大区别，所求的轨迹一般有四种，即线段型，平面型，二次曲线型，球型.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.两条平行直线1:68100l x y +-=与2:6850l x y +-=之间的距离是__________.【答案】12##0.5【解析】【分析】借助两平行线间的距离公式计算即可得.【详解】平行直线1l 与2l之间的距离为12d ==.故答案为：12.13.若圆()22121C x y -+=：与圆222:460C x y x y m ++++=相内切，则m =______.【答案】-23【解析】【分析】求出两圆的圆心，确定2C 在圆1C 外部，所以圆1C 内切于圆2C ，由圆心距得到方程，计算即可.【详解】由()()22222:4602313C x y x y m x y m ++++=⇒+++=-，显然()()1213,2,0,2,3m C C >--，圆12,C C 相内切，将2C 点坐标代入圆1C 方程知()()222231--+->，即2C 在圆1C 外部，所以圆1C 内切于圆2C ，则有1251C C ==，解之得23m =-.故答案为：23-14.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点分别为12,FF M 、为双曲线上一点，若122π,33F MF OM b ∠==，则双曲线的渐近线方程为____________.【答案】2y x =±【解析】【分析】设12||,||MF m MF n ==，先利用余弦定理得243b mn =，然后根据121()2MO MF MF =+ ，两边同时平方得222843b a mn +=，进而计算可得答案.【详解】由双曲线的对称性，不妨设M 在第一象限，设12||,||MF m MF n ==，又122π3F MF ∠=，所以1212121222222|1|||2||cos |2(|2|F F MF F m n M MF MF MF mn F +∠+-=-=- 222()3434m n mn a mn c =-+=+=，所以243b mn =，因为O 为12F F 的中点，所以121()2MO MF MF =+ ，即122MO MF MF =+ ，所以两边平方得2222211222π422cos 3MO MF MF MF MF m mn n =++=++ 22228()43b m n mn a mn =-+=+=，所以222428433b a b +=，即2248a b =，即2b a =，所以双曲线的渐近线方程为2y x =±.故答案为：2y x =±.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.15.分别求出适合下列条件的方程：（1）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，且抛物线上一点()3,A m 到焦点的距离为5，求抛物线的方程；（2）已知圆C 的圆心在y 轴上，并且过原点和()，求圆C 的方程.【答案】（1）28y x=（2）22(2)4x y +-=【解析】【分析】（1）根据点()3,A m 在抛物线上，根据抛物线定义，确定p 值，即可求解.（2）由已知,设出圆C 方程2+(−p 2=2>0，代入原点和()，可得b r 、的值,即可求得圆C 的方程.【小问1详解】因为抛物线上一点()3,A m 到焦点的距离为5，准线为2px =-，故352p ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则4p =，故抛物线标准方程为28y x =.【小问2详解】因为圆C 的圆心在y 轴上，则设圆C 方程为2+(=2>0，由已知，圆C 过原点和()，由已知22222((3)b r b r ⎧=⎪⎨+-=⎪⎩，解得22b r =⎧⎨=⎩，所以圆C 方程为22(2)4x y +-=.16.记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin2sin b A a B =.（1）求角A ；（2）若a ABC =△的面积为2，求ABC V 的周长.【答案】（1）π3A =（2）5+【解析】【分析】（1）根据二倍角公式，结合正弦定理边角互化，即可求解，（2）根据面积公式可得bc 的值，结合余弦定理即可求解.【小问1详解】因为sin2sin b A a B =，所以2sin cos sin b A A a B =.根据正弦定理，得2sin sin cos sin sin B A A A B =，因为sin 0,sin 0B A ≠≠，所以1cos 2A =.又()0,πA ∈，所以π3A =.【小问2详解】在ABC V 中，由已知11333sin ,62222ABC S bc A bc bc ==⋅=∴= ，因为,π3A a ==由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，即721()222b c bc bc ⎛⎫=+--⋅⎪⎝⎭，即27()3b c bc =+-，又0,0b c >>,所以5b c +=.所以ABC V 的周长周长为5.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PAD △是等边三角形，CD ⊥平面,,,,PAD E F G O 分别是,,,PC PD BC AD 的中点.（1）求证：⊥PO 平面ABCD ；（2）求平面EFG 与平面ABCD 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）12【解析】【分析】（1）由线面垂直得到CD PO ⊥，再由线面垂直的判定定理得到结果即可；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面EFG 和平面ABCD 的法向量，代入空间二面角公式求解即可；【小问1详解】PAD Q V 是等边三角形，O 是AD 的中点，PO AD ∴⊥，又CD ⊥平面,PAD PO ⊂平面,PAD CD PO ∴⊥，又,AD CD D AD =⊂ 平面,ABCD CD ⊂平面,ABCD PO ∴⊥平面ABCD .【小问2详解】由（1）得⊥PO 平面ABCD ，连接OG ，建立以O 为原点，以,,AD OG OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴的空间直角坐标系O xyz -，如图所示，底面ABCD 是边长为4的正方形，则()()()()0,0,0,2,0,0,2,4,0,2,4,0O A B C -，()()(((2,0,0,0,4,0,0,0,,1,2,,1,0,D G P E F ---，则()(0,2,0,1,2,FE EG == ，设平面EFG 的法向量为 =s s ，则20,20,n FE y n EG x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+-=⎪⎩取x =0,1,y z ==∴平面EFG的法向量为)n = ，又平面ABCD的法向量为(0,0,OP = ，∴平面EFG 与平面ABCD的夹角的余弦值为1cos ,2OP n OP n OP n ⋅===⋅ .18.已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左､右焦点分别为()()121,01,0,F F M -､为椭圆E 的上顶点时，12MF F △（1）求椭圆E 的方程；（2）直线:l y kx m =+与椭圆E 相交于,P Q 两点，且22434k m +=，求证：OPQ △（O 为坐标原点）的面积为定值.【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意可得c ，结合三角形面积公式计算可得b ，即可得a ；（2）联立直线与椭圆方程，可得与交点横坐标有关韦达定理，结合面积公式与所给等式计算即可得解.【小问1详解】根据题意，1c =，M 在椭圆E上顶点，此时121212MF F S F F MO b === .所以2224a b c =+=，则求椭圆E 的方程22143x y +=；【小问2详解】如图所示，设()()1122,,,P x y Q x y ，联立直线l 与椭圆E 的方程22,1,43y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2223484120k x kmx m +++-=，()()()22222222Δ644344121924814448430k m k m k m k m =-+-=-+=-+>.21212228412,3434km m x x x x k k -+=-=++，又12PQ x =-===因为点O 到直线PQ的距离d =22434k m +=，所以222211663223442PQO m m S PQ d k m =⨯⨯=⨯+ ，综上，OPQ △的面积为定值32.19.已知双曲线222Γ:1,(0),y x b b -=>左右顶点分别为12,A A ，过点()2,0M -的直线l 交双曲线Γ于,P Q 两点.（1）若离心率2e =时，求b 的值．（2）若226,3b MA P =△为等腰三角形时，且点P 在第一象限，求点P 的坐标．（3）连接OQ 并延长，交双曲线Γ于点R ，若121A R A P ⋅= ，求b 的取值范围．【答案】（1）b =（2）(2,P （3）(303⎦ 【解析】【分析】（1）根据离心率公式计算即可；（2）分三角形三边分别为底讨论即可；（3）设直线:2l x my =-，联立双曲线方程得到韦达定理式，再代入计算向量数量积的等式计算即可.【小问1详解】由题意得21c c e a ===，则2c =，b ==【小问2详解】当263b =时，双曲线22Γ:183y x -=，其中()2,0M -，()21,0A ，因为2MA P △为等腰三角形，则①当以2MA 为底时，显然点P 在直线12x =-上，这与点P 在第一象限矛盾，故舍去；②当以2A P 为底时，23MP MA ==，设(),P x y ，则2222318(2)9y x x y ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩,联立解得231181711x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或231181711x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或10x y =⎧⎨=⎩，因为点P 在第一象限，显然以上均不合题意，舍去；（或者由双曲线性质知2MP MA >，矛盾，舍去）；③当以MP 为底时，223A P MA ==，设()00,P x y ，其中000,0x y >>，则有()2200220019183x y y x ⎧-+=⎪⎪⎨-=⎪⎪⎩，解得002x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，即(2,P ．综上所述：(2,P .【小问3详解】由题知()()121,0,1,0A A -，当直线l 的斜率为0时，此时120A R A P ⋅=，不合题意，则0l k ≠，则设直线:2l x my =-，设点()()1122,,,P x y Q x y ，根据OQ 延长线交双曲线Γ于点R ，根据双曲线对称性知()22,R x y --，联立有22221x my y x b =-⎧⎪⇒⎨-=⎪⎩()222221430b m y b my b --+=，显然二次项系数2210b m -≠，其中()()22222422Δ44134120mb b m b b m b =---=+>，2122241b m y y b m +=-①，2122231b y y b m =-②，()()1222111,,1,A R x y A P x y =-+-=-，则()()122112111A R A P x x y y ⋅=-+--=，因为()()1122,,,P x y Q x y 在直线l 上，则112x my =-，222x my =-，即()()2112331my my y y ----=，即()()2121213100y y m y y m +-++=，将①②代入有()2222222341310011b b m m m b m b m +⋅-⋅+=--，即()()2222231341010b mm b m b m +-⋅+-=化简得2223100b m b +-=，所以22103m b =-,代入到2210b m -≠,得221031b b =-≠,所以23b ≠,且221030m b =-≥，解得2103b ≤，又因为0b >，则21003b <≤，综上知，()2100,33,3b ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦ ，(303b ∴∈⎦ ．【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是采用设线法，为了方便运算可设:2l x my =-，将其与双曲线方程联立得到韦达定理式，再写出相关向量，代入计算，要注意排除联立后的方程得二次项系数不为0.。
2019-2020学年广西南宁市第三中学高二上学期期中考试(11月段考)数学(理)试题(解析版)
2019-2020学年广西南宁市第三中学高二上学期期中考试（11月段考）数学（理）试题一、单选题1．“若240b ac -<，则20ax bx c ++=没有实根”，其否命题是（ ） A ．若240b ac -≥，则20ax bx c ++≠没有实根 B ．若240b ac -<，则20ax bx c ++=有实根 C ．若240b ac -≥，则20ax bx c ++=没有实根 D ．若240b ac -≥，则20ax bx c ++=有实根 【答案】D【解析】否命题需要否定条件和结论，得到答案. 【详解】若240b ac -<，则20ax bx c ++=没有实根”其否命题是：若240b ac -≥，则20ax bx c ++=有实根 故答案选D 【点睛】本题考查了命题的否定，命题需要否定条件和结论.2．把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人,则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是( ) A ．对立事件 B ．互斥但不对立事件 C ．不可能事件 D ．必然事件 【答案】B【解析】试题分析：把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不可能同时发生，是互斥事件，但除了事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”还有“丙分得红牌”，所以这两者不是对立事件，答案为B. 【考点】互斥与对立事件.3．命题“0x R ∃∈，2000x x ->”的否定是（ ） A ．x R ∀∈，20x x -> B ．0x R ∃∈，2000x x -≤ C ．x R ∀∈，20x x -≤D ．0x R ∃∈，2000x x -<【答案】C【解析】根据特称命题的否定可得出正确选项. 【详解】由特称命题的否定可知，命题“0x R ∃∈，2000x x ->”的否定是“x R ∀∈，20x x -≤”，故选：C. 【点睛】本题考查特称命题的否定，着重考查对特称命题概念的理解，属于基础题.4．已知两点2(3)A ，和()1,4B -到直线30mx y ++=的距离相等，则m 的值为（ ） A ．0或12-B ．12或6- C ．12-或12D ．0或12【答案】B【解析】试题分析：∵两点(3,2)A 和(1,4)B -到直线30mx y ++=距离相等，=，解得12m =，或6m =-．故选B ． 【考点】点到直线的距离公式．5．甲、乙两名同学在5次数学考试中，成绩统计用茎叶图表示如图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别用、表示，则下列结论正确的是( )A ．，且甲比乙成绩稳定B ．，且乙比甲成绩稳定C ．，且甲比乙成绩稳定D ．，且乙比甲成绩稳定【答案】A【解析】试题分析：由茎叶图可得，，所以，从茎叶图中看出甲的成绩比乙更集中（也可计算），所以甲的方差比乙的方差小，故甲比乙的成绩更稳定，所以选A. 【考点】茎叶图与平均数. 6．下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】试题分析：由，但无法得出，A 满足；由、均无法得出，不满足“充分”；由，不满足“不必要”.【考点】不等式性质、充分必要性.7．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，E 为1AA 中点，则异面直线BE 与1CD 所成角的余弦值为( )A B ．15C D ．35【答案】C 【解析】【详解】平移成三角形用余弦定理解，或建立坐标系解，注意线线角不大于090,故选C.取DD 1中点F ，则1FCD ∠为所求角, 1cos FCD ∠==，选C. 8．执行如图所示的程序框图，若输出的S 值为0，则开始输入的S 值为（ ）A ．34B ．78C ．45D ．1516【答案】B【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，即可得到答案． 【详解】模拟程序的运行，可得，当1i =时，21S S ←-，1i =，满足条件3i <，执行循环体；当2i =时，()2211S S ←--，2i =，满足条件3i <，执行循环体；当3i =时，()22211S S ←--⎡⎤⎣⎦，3i =，不满足条件3i <，退出循环体，输出0S =，所以()2221110S ---=⎡⎤⎣⎦，解得78S =． 故选：B. 【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题.9．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为A ．15B ．625C ．825D ．25【答案】A【解析】阳数：1,3,5,7,9，阴数：2,4,6,8,10，然后分析阴数和阳数差的绝对值为5的情况数，最后计算相应概率. 【详解】因为阳数：1,3,5,7,9，阴数：2,4,6,8,10，所以从阴数和阳数中各取一数差的绝对值有：5525⨯=个，满足差的绝对值为5的有：()()()()()1,6,3,8,5,10,7,2,9,4共5个，则51255P ==. 故选：A. 【点睛】本题考查实际背景下古典概型的计算，难度一般.古典概型的概率计算公式：P =目标事件的个数基本本事件的总个数.10．某几何体的三视图如图所示，这个几何体的体积为（ ）A ．1B ．12C ．43D ．23【答案】B【解析】由已知中的三视图画出几何体的直观图，即可得到答案. 【详解】由题中三视图可得直观图为三棱锥，如图所示：可知AD =，1BC =，2BD =，2AB =，则CD =AC =1111322V =⨯⨯=．故选：B. 【点睛】本题考查的知识点是棱锥的体积，空间几何体的三视图，难度不大，属于基础题. 11．在平面直角坐标系xOy 中，已知()()1,2,1,0M N -，动点P 满足PM ON PN ⋅=，则动点P 的轨迹方程是（ ） A ．24y x = B ．24x y =C ．24y x =-D ．24x y =-【答案】A【解析】设(),P x y ，然后表示出向量的坐标，代入已知条件，整理后得到动点P 的轨迹方程. 【详解】设(),P x y ，()()1,2,1,0M N -()1,2PM x y =---，()1,0ON =，()1,PN x y =--因为PM ON PN ⋅= 所以()11x x y +=-+整理得24y x = 故选A 项. 【点睛】本题考查求动点的轨迹方程，属于简单题.12．设函数2()(,,,0)f x ax bx c a b c a =++∈>R ，则“02b f f a ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“()f x 与(())f f x ”都恰有两个零点的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为0a >，所以开口向上，()f x 有两个零点，最小值必然小于0，当取得最小值时，2bx a =-，即02b f a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，令()2b f x a =-，则()()()(),0,0222b b b f f x f f f f x f a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--<∴=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()f f x ∴必有两个零点，同理00222b b b f f f x a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<⇒-<⇒=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由于2b x a =-是对称轴，0a >开口向上，02b f a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，必有两个零点，所以“02b f f a ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“()f x 与()()ff x ”都恰有两个零点的充要条件，故选C.【方法点睛】本题通过充分条件与必要条件考查二次函数的图象与性质，属于难题题. 判断充要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.本题中，不但要理解充分条件与必要条件的基本含义，更要熟练掌握二次函数的图象与性质，以及二次函数与一元二次方程的关系.二、填空题13．某地甲乙丙三所学校举行高三联考，三所学校参加联考的人数分别为200、300、400。
2019-2020学年广西南宁三中高二(上)期中数学试卷(理科)
2019-2020学年广西南宁三中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一项符合．）1．“若b2﹣4ac＜0，则ax2+bx+c＝0没有实根”，其否命题是（）A．若b2﹣4ac＞0，则ax2+bx+c＝0没有实根B．若b2﹣4ac＞0，则ax2+bx+c＝0有实根C．若b2﹣4ac≥0，则ax2+bx+c＝0有实根D．若b2﹣4ac≥0，则ax2+bx+c＝0没有实根2．把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（）A．对立事件B．互斥但不对立事件C．不可能事件D．必然事件3．命题“∃x0∈R，x02﹣x0＞0”的否定是（）A．∀x∈R，x2﹣x＞0B．∃x0∈R，x02−x0≤0C．∀x∈R，x2﹣x≤0D．∃x0∈R，x02−x0＜04．（理科）已知两点A（3，2）和B（﹣1，4）到直线mx+y+3＝0距离相等，则m值为（）A．0或−12B．12或−6C．−12或12D．0或125．甲、乙两名同学在5次数学考试中，成绩统计用茎叶图表示，若甲、乙两人的平均成绩分别用x甲、x乙表示，则下列结论正确的是（）A．x甲＞x乙，且甲比乙成绩稳定B．x甲＞x乙，且乙比甲成绩稳定C．x甲＜x乙，且甲比乙成绩稳定D．x甲＜x乙，且乙比甲成绩稳定6．下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（）A．a＞b+1B．a＞b﹣1C．a2＞b2D．a3＞b37．如图所示，正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，E 为AA 1的中点，则异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为（ ）A ．√1010B ．15C ．3√1010D ．358．执行如图所示的程序框图，若输出的S 值为0，则开始输入的S 值为（ ）A ．34B ．78C ．45D ．15169．《易•系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为（ ）A ．15B ．625C ．825D ．2510．某几何体的三视图如图所示，这个几何体的体积为（ ）A ．1B ．12C ．43D ．2311．在平面直角坐标系xOy 中，已知M （﹣1，2），N （1，0），动点P 满足|PM →⋅ON →|＝|PN →|，则动点P 的轨迹方程是（ ） A ．y 2＝4xB ．x 2＝4yC ．y 2＝﹣4xD ．x 2＝﹣4y12．设函数f （x ）＝ax 2+bx +c （a ，b ，c ∈R 且a ＞0），则“f （f （−b2a））＜0”是“f （x ）与f （f （x ））都恰有两个零点”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13．某地甲乙丙三所学校举行高三联考，三所学校参加联考的人数分别为200、300、400．现为了调查联考数学学科的成绩，采用分层抽样的方法在这三所学校中抽取一个样本，已知甲学校中抽取了40名学生的数学成绩，那么在丙学校中需要抽取 名学生的数学成绩． 14．不论m 取什么实数，直线（2m ﹣1）x +（m +3）y ﹣（m ﹣11）＝0都经过一个定点，则这个定点为 ．15．在区间（0，2）上随机地取出两个数x ，y ，满足y ≥kx 的概率为34，则实数k ＝ ．16．已知实数x ，y 满足x 2+y 2＝4，则2xyx+y−2的最小值为 ．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：日期 12月2日12月3日12月4日温差x （℃） 11 13 12 发芽数y （颗）253026（1）请根据12月2日至12月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^=b ^x +a ^； （2）该农科所确定的研究方案是：先用上面的3组数据求线性回归方程，再选取2组数据进行检验．若12月5日温差为8℃，发芽数16颗，12月6日温差为10℃，发芽数23颗．由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？ 注：b ^=∑ n i=1(x i −x)(y i −y)∑ ni=1(x i −x)2=∑n i=1i i −nxy ni=1x i 2−nx2a ^=y −b ^x ．18．如图，在三角形△ABC 中，C =π4，∠ABC 的角平分线BD 交AC 于D ，设∠CBD ＝θ，且sin θ=√55．（1）求sin ∠ABC 和sin A 的值； （2）若CA →•CB →=28，求AB 的长．19．在一次抽奖活动中，有a ，b ，c ，d ，e ，f 共6人获得抽奖机会，抽奖规则如下：若获一等奖后不再参加抽奖，获得二等奖的仍参加三等奖抽奖．现在主办方先从6人中随机抽取2人均获一等奖，再从余下的4人中随机抽取1人获二等奖，最后还从这4人中随机抽取1人获三等奖． （1）求a 能获一等奖的概率；（2）若a ，b 已获一等奖，求c 能获奖的概率．20．如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，AD ⊥CD ，AB ∥CD ，AB ＝AD =12CD ＝1，点M 在线段EC 上． （Ⅰ）若点M 为EC 的中点，求证：BM ∥平面ADEF ；（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面BEC ；（Ⅲ）当平面BDM 与平面ABF 所成二面角的余弦值为√66时，求AM 的长．21．已知数列{a n }为等差数列，且满足a 2＝0，a 6＝12，数列{b n }的前n 项和为S n ，且b 1＝1，b n +1＝2S n +1．（Ⅰ）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（Ⅱ）若对任意的n ∈N *，不等式k ⋅(S n +12)≥a n 恒成立，求实数k 的取值范围．22．圆O ：x 2+y 2＝4与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），l 1、l 2是分别过A 、B 点的圆O 的切线，过此圆上的另一个点P （P 点是圆上任一不与A 、B 重合的动点）作此圆的切线，分别交l 1、l 2于C 、D 两点，且AD 、BC 两直线交于点M ． （1）设切点P 坐标为（x 0，y 0），求证：切线CD 的方程为x 0x +y 0y ＝4．（2）设点M 坐标为（m ，n ），试写出m 2与n 2的关系表达式（写出详细推理与计算过程）．2019-2020学年广西南宁三中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一项符合．）1．“若b2﹣4ac＜0，则ax2+bx+c＝0没有实根”，其否命题是（）A．若b2﹣4ac＞0，则ax2+bx+c＝0没有实根B．若b2﹣4ac＞0，则ax2+bx+c＝0有实根C．若b2﹣4ac≥0，则ax2+bx+c＝0有实根D．若b2﹣4ac≥0，则ax2+bx+c＝0没有实根【解答】解：∵若p，则q的否命题为：若非p，则非q∴若b2﹣4ac＜0，则ax2+bx+c＝0没有实根的否命题为：若b2﹣4ac≥0，则ax2+bx+c＝0有实根故选：C．2．把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（）A．对立事件B．互斥但不对立事件C．不可能事件D．必然事件【解答】解：根据题意，把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，则两者是互斥事件，但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌”之外，还有“丙分得红牌”，则两者不是对立事件，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件；故选：B．3．命题“∃x0∈R，x02﹣x0＞0”的否定是（）A．∀x∈R，x2﹣x＞0B．∃x0∈R，x02−x0≤0C．∀x∈R，x2﹣x≤0D．∃x0∈R，x02−x0＜0【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x0∈R，x02﹣x0＞0”的否定是∀x∈R，x2﹣x≤0．故选：C．4．（理科）已知两点A（3，2）和B（﹣1，4）到直线mx+y+3＝0距离相等，则m值为（）A．0或−12B．12或−6C．−12或12D．0或12【解答】解：∵两点A（3，2）和B（﹣1，4）到直线mx+y+3＝0距离相等，∴√m2+1=√m2+1，解得m=12，或m＝﹣6．故选：B．5．甲、乙两名同学在5次数学考试中，成绩统计用茎叶图表示，若甲、乙两人的平均成绩分别用x甲、x乙表示，则下列结论正确的是（）A．x甲＞x乙，且甲比乙成绩稳定B．x甲＞x乙，且乙比甲成绩稳定C．x甲＜x乙，且甲比乙成绩稳定D．x甲＜x乙，且乙比甲成绩稳定【解答】解：由茎叶图可知，甲的数据为88，89，90，91，92，所以甲的平均值为x甲=15(88+89+90+91+92)=90．乙的数据为83，88，89，89，91，所以乙的平均值为x乙=15(83+88+89+89+91)=88，所以x甲＞x乙．由茎叶图可知，甲的数据主要集中在90附近，所以甲比乙稳定．故选：A．6．下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（）A．a＞b+1B．a＞b﹣1C．a2＞b2D．a3＞b3【解答】解：a＞b+1⇒a＞b；反之，例如a＝2，b＝1满足a＞b，但a＝b+1即a＞b推不出a＞b+1，故a＞b+1是a＞b成立的充分而不必要的条件．故选：A ．7．如图所示，正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，E 为AA 1的中点，则异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为（ ）A ．√1010B ．15C ．3√1010D ．35【解答】解：以D 1为原点，D 1A 1为x 轴，D 1C 1为y 轴，D 1D 为z 轴，建立空间直角坐标系，令AB ＝1，则B （1，1，2），E （1，0，1），C （0，1，2），D 1（0，0，0）， BE →=（0，﹣1，﹣1），CD 1→=（0，﹣1，﹣2）， ∴|cos ＜BE →，CD 1→＞|＝|BE →⋅CD 1→|BE →|⋅|CD 1→||=310√10．∴异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为3√1010． 故选：C ．8．执行如图所示的程序框图，若输出的S 值为0，则开始输入的S 值为（ ）A ．34B ．78C ．45D ．1516【解答】解：模拟程序的运行，可得，当i ＝1时，S ＝2S ﹣1，i ＝1，满足条件i ＜3，执行循环体； 当i ＝2时，S ＝2（2S ﹣1）﹣1，i ＝2，满足条件i ＜3，执行循环体；当i ＝3时，S ＝2[2（2S ﹣1）﹣1]﹣1，i ＝3，不满足条件i ＜3，退出循环体，输出S ＝0， 所以2[2（2S ﹣1）﹣1]﹣1＝0，解得S =78． 故选：B ．9．《易•系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为（ ）A ．15B ．625C ．825D ．25【解答】解：阴数有2，4，6，8，10，阳数有1，3，5，7，9，从阴数和阳数中各取一数，基本事件总数n =C 51C 51=25，其差的绝对值为5包含的基本事件有：（2，7），（4，9），（6，1），（8，3），（10，5），共5个， ∴其差的绝对值为5的概率为P =525=15．故选：A ．10．某几何体的三视图如图所示，这个几何体的体积为（ ）A ．1B ．12C ．43D ．23【解答】解：如图所示，可知AD =√6，BC ＝1，BD ＝2，AB ＝2， 则CD =√3，AC =√3，所以V =13×12×1×√3×√3=12． 故选：B ．11．在平面直角坐标系xOy 中，已知M （﹣1，2），N （1，0），动点P 满足|PM →⋅ON →|＝|PN →|，则动点P 的轨迹方程是（ ） A ．y 2＝4xB ．x 2＝4yC ．y 2＝﹣4xD ．x 2＝﹣4y【解答】解：（1）设动点P （x ，y ），M （﹣1，2），N （1，0）， 则PM →=（﹣x ﹣1，2﹣y ），PN →=（1﹣x ，﹣y ）， 动点P 满足|PM →⋅ON →|＝|PN →|， |﹣x ﹣1|=√(x −1)2+y 2，所以x 2+2x +1＝x 2﹣2x +1+y 2，整理得：y 2＝4x ， 故动点P 的轨迹C 的方程为：y 2＝4x 故选：A ．12．设函数f （x ）＝ax 2+bx +c （a ，b ，c ∈R 且a ＞0），则“f （f （−b2a ））＜0”是“f （x ）与f （f （x ））都恰有两个零点”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：由题意：f （−b2a）时f （x ）的最小值，若f （x ）由两个零点，x 1＜x 2，设f （x ）＝x 1或f （x ）＝x 2，由题意f （f （−b 2a））＝0只有两个零点，因此，设f （x ）＝x 1无解，而f （x ）＝x 2有两个不等式实数根，即x 1＜f （−b2a ）＜x 2； ∴f （−b 2a））＜0， 同理：f （f （−b 2a））＜0，由于a ＞0，开口向上，f （x ）有两个零点．设两个零点，x 1，x 2，不妨设x 1＜f （−b 2a ）＜x 2；由于f （−b 2a））＝0，可得f （x ）＝x 1或f （x ）＝x 2有两个不等式实数根，显然f （x ）＝x 1无解，而f （x ）＝x 2有两个不等式实数根，即函数f （f （x ））有两个零点． 故选：C ．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13．某地甲乙丙三所学校举行高三联考，三所学校参加联考的人数分别为200、300、400．现为了调查联考数学学科的成绩，采用分层抽样的方法在这三所学校中抽取一个样本，已知甲学校中抽取了40名学生的数学成绩，那么在丙学校中需要抽取 80 名学生的数学成绩．【解答】解：抽样的比例为40200=15，故应从丙学校中需要抽取的人数为 400×15=80， 故答案为：80．14．不论m 取什么实数，直线（2m ﹣1）x +（m +3）y ﹣（m ﹣11）＝0都经过一个定点，则这个定点为 （2，﹣3） ．【解答】解：∵（2m ﹣1）x +（m +3）y ﹣（m ﹣11）＝0， ∴（2x +y ﹣1）m +3y ﹣x +11＝0，∵不论m 取什么实数，直线（2m ﹣1）x +（m +3）y ﹣（m ﹣11）＝0都经过一个定点， ∴{2x +y −1=03y −x +11=0，解得x ＝2，y ＝﹣3， ∴这个定点为（2，﹣3）． 故答案为：（2，﹣3）．15．在区间（0，2）上随机地取出两个数x ，y ，满足y ≥kx 的概率为34，则实数k ＝12．【解答】解：在区间（0，2）上随机地取出两个数x ，y ，则（x ，y ）对应的区域是边长为2的正方形区域，其面积为S 正方形＝4； 在正方形区域内，作出y ≥kx 所表示的图象如下：则阴影部分所表示区域为{y ≥kx0＜x ＜20＜y ＜2所表示区域；由{y =kx x =2得{y =2k x =2， 因此阴影部分面积为S 阴影=4−12×2×2k =4−2k ，因为在区间（0，2）上随机地取出两个数x ，y ，满足y ≥kx 的概率为34，所以S 阴影S 正方形=4−2k 4=34，解得k =12． 故答案为：12．16．已知实数x ，y 满足x 2+y 2＝4，则2xy x+y−2的最小值为 2﹣2√2 ．【解答】解：∵实数x ，y 满足x 2+y 2＝4， （x ﹣y ）2≥0，展开得：2xy ≤x 2+y 2， ∴x 2+y 2+2xy ≤2（x 2+y 2） （x +y ）2≤2（x 2+y 2）＝8 得：﹣2√2≤x +y ≤2√2， ∴2xy x+y−2=x 2+y 2+2xy−4x+y−2=(x +y)2−4x +y −2=(x+y+2)(x+y−2)x+y−2＝x +y +2≥2﹣2√2， ∴2xy x+y−2的最小值为2﹣2√2．故答案为：2﹣2√2．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：日期 12月2日12月3日12月4日温差x （℃） 11 13 12 发芽数y （颗）253026（1）请根据12月2日至12月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^=b ^x +a ^； （2）该农科所确定的研究方案是：先用上面的3组数据求线性回归方程，再选取2组数据进行检验．若12月5日温差为8℃，发芽数16颗，12月6日温差为10℃，发芽数23颗．由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？ 注：b ^=∑ n i=1(x i −x)(y i −y)∑ ni=1(x i −x)2=∑n i=1i i −nxy ni=1x i 2−nx2a ^=y −b ^x ．【解答】解：（1）由数据求得x =13×（11+13+12）＝12， y =13×（25+30+26）＝27， 且3x •y =3×12×27＝972，又∑ n i=1x i y i =11×25+13×30+12×26=977，∑ n i=1x i 2=112+132+122＝434，计算3•x 2=3×122＝432，由公式得b ^=977−972434−432=52，a =y −bx =−3， 所以y 关于x 的线性回归方程是y ^=52x −3．（2）当x ＝10时，y ^=52x −3=22，|22−23|＜2， 同样地，当x ＝8时，y ^=52×8−3=17，|17−16|＜2， 所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠的．18．如图，在三角形△ABC 中，C =π4，∠ABC 的角平分线BD 交AC 于D ，设∠CBD ＝θ，且sin θ=√55．（1）求sin ∠ABC 和sin A 的值； （2）若CA →•CB →=28，求AB 的长．【解答】解：（1）因为sinθ=√55，θ∈（0，π）且θ为三角形内角的一半，所以θ为锐角；∴cos θ=√1−sin 2θ=2√55，所以sin∠ABC =sin2θ=2sinθcosθ=2×√55×2√55=45， ∴cos ∠ABC ＝cos2θ＝2cos 2θ﹣1＝2×45−1=35，所以sinA =sin[π−π4−2θ]=sin(π4+2θ)=√22(sin2θ+cos2θ)√22（35+45）=7√210（2）由正弦定理得BC sinA=AC sin∠ABC，即7√210=AC45，所以BC =7√28AC ，① 又CA →⋅CB →=√22|CA →|⋅|CB →|=28，所以|CA →|⋅|CB →|=28√2，② 由①②得AC =4√2， 又由ABsinC=AC sin∠ABC，得√22=AC45，所以AB ＝5．19．在一次抽奖活动中，有a ，b ，c ，d ，e ，f 共6人获得抽奖机会，抽奖规则如下：若获一等奖后不再参加抽奖，获得二等奖的仍参加三等奖抽奖．现在主办方先从6人中随机抽取2人均获一等奖，再从余下的4人中随机抽取1人获二等奖，最后还从这4人中随机抽取1人获三等奖．（1）求a能获一等奖的概率；（2）若a，b已获一等奖，求c能获奖的概率．【解答】解：（1）设“a能获一等奖”为事件A，事件A等价于事件“从6人中随机抽取两人，能抽到a”，从6人中随机抽取两人的基本事件有：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f），共15个，其中含有a的有（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f）共5个，所以P(A)=515=13，即a能获一等奖的概率为13．（2）设“若a，b已获一等奖，c能获奖”为事件B，a，b已获一等奖，余下的4人中，获奖的基本事件有：（c，c），（c，d），（c，e），（c，f），（d，c），（d，d），（d，e），（d，f），（e，c），（e，d），（e，e），（e，f），（f，c），（f，d），（f，e），（f，f）共16个；其中含有c的有（c，c），（c，d），（c，e），（c，f），（d，c），（e，c），（f，c）共7种，所以P(B)=7 16，即若a，b已获一等奖，c能获奖的概率为716．20．如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD= 12CD＝1，点M在线段EC上．（Ⅰ）若点M为EC的中点，求证：BM∥平面ADEF；（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面BEC；（Ⅲ）当平面BDM 与平面ABF 所成二面角的余弦值为√66时，求AM 的长．【解答】（本题13分）（Ⅰ）证明：∵正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，AD 为交线， ∴ED ⊥平面ABCD ，由已知得DA ，DE ，DC 两两垂直，如图建系D ﹣xyz ，可得D （0，0，0），A （1，0，0），B （1，1，0），C （0，2，0），E （0，0，1），F （1，0，1）．…（1分）由M 为EC 的中点，知M(0，1，12)取得BM →=(−1，0，12)．………（2分）易知平面ADEF 的法向量为DC →=(0，2，0)⋯⋯⋯（3分）∵BM →⋅DC →=0∴BM →⊥DC →⋯⋯⋯4分）∵BM ⊄平面ADEF ∴BM ∥平面ADEF ………（Ⅱ） 证明：由（Ⅰ）知 BE →=(−1，−1，1)，BC →=(−1，1，0)，BD →=(−1，−1，0)设平面BDE 的法向量为m →=(x 1，y 1，z 1)， 平面BEC 的法向量为n →=(x 2，y 2，z 2) 由{m →⋅BE →=−x 1−y 1+z 1=0m →⋅BD →=−x 1−y 1=0得m →=(1，−1，0)⋯（6分）由{n →⋅BE →=−x 2−y 2+z 2=0n →⋅BC →=−x 2+y 2=0得n →=(1，1，2)⋯（7分） ∵m →⋅n →=1−1+0=0．∴平面BDE ⊥平面BEC ．…………（8 分）（Ⅲ） 解：设EM →=λEC →，λ∈[0，1]，设M （x ，y ，z ），计算得M （0，2λ，1﹣λ），………（9 分）则BM →=(−1，2λ−1，1−λ)，BD →=(−1，−1，0) 设平面BDM 的法向量为p →=(x 3，y 3，z 3)，由{p →⋅BD →=−x 3−y 3=0p →⋅BM →=−x 3+(2λ−1)y 3+(1−λ)z 3=0得p →=(1，−1，2λ1−λ)⋯⋯⋯（10 分） 易知平面ABF 的法向量为DA →=(1，0，0)，………（11 分） 由已知得|cos〈p →，DA →〉|=|p →⋅DA →||p →||DA →|=√2+(2λ1−λ)×1=√66解得λ=12，此时M(0，1，12)⋯⋯（12 分） ∴AM →=(−1，1，12)，则|AM →|=√1+1+14=32， 即AM 的长为32．…（13 分）21．已知数列{a n }为等差数列，且满足a 2＝0，a 6＝12，数列{b n }的前n 项和为S n ，且b 1＝1，b n +1＝2S n +1．（Ⅰ）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（Ⅱ）若对任意的n ∈N *，不等式k ⋅(S n +12)≥a n 恒成立，求实数k 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）数列{a n }为等差数列，设首项为a 1，公差为d ， 由于a 6﹣a 2＝4d ＝12，解得d ＝3， ∴a n ＝a 2+（n ﹣2）d ，即a n ＝3n ﹣6， ∵b n +1＝2S n +1， ∴b n ＝2S n ﹣1+1（n ≥2）， ∴b n +1﹣b n ＝2（S n ﹣S n ﹣1）， ∴b n +1＝3b n （n ≥2），又b 2＝2S 1+1＝3，b 2＝3b 1也成立，∴{b n}是以1为首项，3为公比的等比数列，∴b n=3n−1．（Ⅱ）S n=b1(1−q n)1−q=1−3n1−3=3n−12，∴k⋅(3n−12+12)≥3n−6对n∈N*恒成立，即k≥6(n−2)3n对n∈N*恒成立，令c n=n−23n，c n−c n−1=n−23n−n−33n−1=−2n+73n，当n≤3时，c n＞c n﹣1，当n≥4时，c n＜c n﹣1，∴(c n)max=c3=1 27，故k≥6c3=2 9，即k的取值范围为[29，+∞)．22．圆O：x2+y2＝4与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），l1、l2是分别过A、B点的圆O的切线，过此圆上的另一个点P（P点是圆上任一不与A、B重合的动点）作此圆的切线，分别交l1、l2于C、D两点，且AD、BC两直线交于点M．（1）设切点P坐标为（x0，y0），求证：切线CD的方程为x0x+y0y＝4．（2）设点M坐标为（m，n），试写出m2与n2的关系表达式（写出详细推理与计算过程）．【解答】解：（1）∵圆心O（0，0），切点（x0，y0），圆心与切点所成直线斜率k=y0 x0，∴切线斜率k′=−1k=−x0y，又∵切线过（x0，y0），∴切线方程为y−y0=−x0y0(x−x0)，整理得x0x+y0y=x02+y02=4，即切线方程为x0x+y0y＝4，（2）∵过P点的切线为x0x+y0y＝4，当x＝2时，y=4−2x0 y0，当x＝﹣2时，y=4+2x0y0，C(−2，4+2x0y0)，D(2，4−2x0y0)，∴k AD=4+2x0y02−(−2)=2−x02y0，AD：y=2−x02y0(x+2)，k BC=4+2x0y0−2−2=2+x0−2y0，BC：y=2+x0−2y0(x−2)，联立AD 与BC ，∴2+x 0−2y 0x +2+x 0y 0=2−x 02y 0x +2−x 0y 0，x ＝x 0＝m ，所以y =y2=n ，又∵x 02+y 02=4，∴m 2+4n 2＝4．。
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南宁三中2020~2021学年度上学期高二段考理科数学试题命题人：韦锋 陈婷婷 审题人：韦锋 陈婷婷一、选择题（每小题5分，共60分）1．已知命题:0p x ∀>，33x x >,则p ⌝为（ ）A ．0x ∀>，33x x ≤B ．0x ∀≤，33x x ≤C ．00x ∃>，0303x x ≤D ．00x ∃≤，0303x x ≤2．甲乙两队积极准备一场篮球比赛，根据以往的经验知甲队获胜的概率是12，两队打平的概率是16，则这次比赛乙队获胜的概率是（ ） A ．16B ．13C ．12D ．563．过点(2,0)P -，斜率是3的直线方程是（ ）A ．32y x =-B ．32y x =+C ．3(2)y x =-D ．3(2)y x =+4．已知命题0:R p x ∃∈，使0sin 2x =；命题:R q x ∀∈，都有210x x ++>，则下列结论正确的是（ ）A ．命题“p q ∧”是真命题；B ．命题“()p q ∧⌝”是假命题；C ．命题“()p q ⌝∨”是假命题；D ．命题“()()p q ⌝∨⌝”是假命题．5．在空间中，设m ，n 为两条不同直线， α，β为两个不同平面，则下列命题正确的是A ．若//m α且//αβ，则//m βB ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥C ．若m α⊥且//αβ，则m β⊥D ．若m 不垂直于α，且n ⊂α，则m 必不垂直于n6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．23 B ．1C ．43D ．837．已知命题2:6270,p x x --≤命题:|1|(0)q x m m -≤>， 若q 是p 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是( ) A ．4m ≤ B ．4m <C ．8m ≥D ．8m >8．执行如右图所示的程序框图,则输出的m 的值为( ) A ．5 B ．6C ．7D ．89．我国古代数学家赵爽给出了勾股定理的绝妙证明，下图是赵爽的弦图,弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形,其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红(朱)色、黄色,其面积称为朱实、黄实,利用2×勾×股+(股 - 勾)2=4×朱实+黄实=弦实，化简得 勾2+股2=弦2，设其中勾股比为1:3，若向弦图内随机抛掷1 000颗图钉(大小忽略不计),则落在黄色图形内的图钉数大约为 A ．866 B ．500C ．300D ．134F 1C 1A 1B CAB10．已知函数()21sin 3cos 2f x x x x =+，则下列结论正确的是A ．()f x 的最大值为1B ．()f x 的最小正周期为2πC ．()f x 的图象关于点7(0)12π，对称 D ．()f x 的图象关于直线3x π=对称11．平行四边形ABCD 中，2,1,1AB AD AB AD ==⋅=-，点M 在边CD 上，则MA MB ⋅的最大值为（ ）A ．2B ．221C ．5D 3112．在ABC ∆中，,D E 是BC 边上两点，,,BD BA BC 构成以2为公比的等比数列，6BD =，2,9AEB BAD AE ∠=∠=，则三角形AED 的面积为（ ）A ．31.2B ．32.4C ．33.6D ．34.8二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知实数x ,y 满足约束条件20201x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最小值为_________14．某班的全体学生某次测试成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]，则该次测试该班的平均成绩是__________（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）第14题图 第15题图15．如图，111A B C ABC -是直三棱柱，90BCA ∠=，点11,D F 分别是1111,A B AC 的中点，若1BC CA CC ==，则1BD 与1AF 所成角的余弦值是_________．16．在等腰三角形ABC 中，23A AB π∠==，BC 边上的高AD 翻折，使BCD ∆为正三角形，则四面体ABCD 的外接球的表面积为_________． 三、解答题17．学生会有A B C D E F 、、、、、共6名同学,其中4名男生2名女生,现从中随机选出2名代表发言.求：()1列出所有可能的抽取结果，并求A 同学被选中的概率； ()2至少有1名女同学被选中的概率.18．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项10a >且22()n n n S a a n N *=+∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若0()n a n N *>∈，令1(2)n n n b a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．某高新技术企业近5年的年研发费用x (百万元)与企业年利润y (百万元)的统计数据如下表:（1）求出y 关于x 的线性回归方程 ˆˆˆybx a =+； （2）如果该企业某年研发费用投入8百万元,预测该企业获得年利润为多少?参考公式:1122211()(), ()()inniii ii i nnii i x x y y x y nx yb a y bx x x xn x ====---===---∑∑∑∑.20．在ABC ∆中，三个内角,,A B C 所对的边分别为a,b,c ，若(cos ,cos ),(2,)m B C n a c b ==+，且m n ⊥．（1）求角B 的大小；（2）若6b =，求ABC ∆的周长的取值范围．21．如图，在长方形ABCD 中，4AB =，2AD =，点E 是DC 的中点．将ADE ∆沿AE 折起，使平面ADE ⊥平面ABCE ，连结DB 、DC 、EB ． （1）求证：AD ⊥平面BDE ；（2）求平面ADE 与平面BDC 所成锐二面角的余弦值．22．已知点(1,0)(1,0)M N -，，曲线E 上任意一点到点M 的距离均是到点N 倍． （1）求曲线E 的方程；（2）已知0m ≠，设直线1:10l x my --=交曲线E 于A 、C 两点，直线2:0l mx y m +-=交曲线E 于B 、D 两点，C 、D 两点均在x 轴下方．当CD 的斜率为1-时，求线段AB 的长．南宁三中2020~2021学年度上学期高二段考理科数学试题答案1．C 【解析】命题p 是一个全称命题，故其否定是一个特称命题，先改写量词，然后否定结论即可得到，该命题的否定为“00x ∃>，0303x x ≤”．故选：C ．2．B 3．D4．B 【解析】命题p 是假命题，命题q 是真命题，所以B 正确．5．C 【解析】在A 中，若m ∥α且α∥β，则m ∥β或m ⊂β，故A 错误；在B 中，若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m 与n 相交、平行或异面，故B 错误；在C 中，若m ⊥α且α∥β，则由线面垂直的判定定理得m ⊥β，故C 正确；在D 中，若m 不垂直于α，且n ⊂α，则m 有可能垂直于n ，故D 错误．故选：C ．6．C 【解析】由三视图可知，该几何体为三棱锥，其直观图如图， 则其体积114(22)2323V =⨯⨯⨯⨯=，故选C 。
7．C 【解析】若p 成立，则39x -≤≤；若q 成立，则11m x m -≤≤+， 因为q 是p 的必要不充分条件，所以p 是q 的充分不必要条件，所以8m ≥.8．B 【解析】始值S =0,m =1,进入循环,S =2,m =2; S =10,m =3; S =34,m =4; S =98,m =5; S =258,m =6, 此时S >100,不满足循环条件,退出循环．输出的m 的值为6,故选B ．9．D 【解析】因为勾股比为1∶√3,不妨设勾为1,则股为√3,大正方形的边长为2,小正方形的边长为31．设落在黄色图形内的图钉数为n ,则有2(31)1000n -=n ≈134． 10．D 【解析】因为211cos 231()sin 3cos 2222x f x x x x x -=++=++=sin(2)1,6x π-+所以函数()f x 的最大值为2，最小正周期为π，故A 、B 不正确；由2,6x k k Z ππ-=∈得,212k x k Z ππ=+∈，当1k =时712x π=，所以函数()f x 的图象关于点7(,1)12π对称，故C 不正确；由2,62x k k Z πππ-=+∈，得,23k x k Z ππ=+∈，所以函数的图象关于直线3x π=对称，故D 正确．故选D ．()f x11．A 【解析】方法一：如图，在平行四边形ABCD 中，因为2,1,1AB AD AB AD ==⋅=-，所以2cos 1BAD ⨯∠=-，所以1cos 2BAD ∠=-，又(0,)BAD π∠∈，所以23BAD π∠=，设(02)MD t t =≤≤，则()()()()MA MB MD AD MC BC MD AD MC AD ⋅=-⋅-=-⋅-2(2)cos(2)cos133t t t t ππ=-----+ ，当0t =时，MA MB ⋅取得最大值，为2，故选A ．方法二：以A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的 平面直角坐标系．因为2,1,1AB AD AB AD ==⋅=-，所以2cos 1BAD ⨯∠=-，所以1cos 2BAD ∠=-，又(0,)BAD π∠∈，所以23BAD π∠=，所以3313(0,0),(2,0),(,(,2222A B C D -，设313(,222M m m -≤≤，所以3(,),MA m =-，所以23(2)()MA MB m m ⋅=--+ ，当12m =-时，MA MB ⋅取得最大值，为2，故选A ． 12．B 【解析】由2BA BD BC =⋅知BA BCBD BA=，又ABD ABC ∠=∠，故ABD ∆∽ABC ∆，从而BAD ACB ∠=∠，又由2AEB BAD ∠=∠可知9AE EC ==，于是15BE =，而12AB =，在ABE ∆中，由余弦定理可算得4cos 5B =，进而得3sin 5B =. 1sin 32.42ADE ABE ABD S S S AB DE B ∆∆∆=-=⋅= 13．4【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,作出直线3x +2y =0并平移,由图知当直线2MD MC MD AD AD MC AD =⋅-⋅-⋅+223132()24t t t =-+=--3(2,2MB m =--2324m m =-+21(1)4m =--3x+2y - z=0经过点A(0,2)时,z=3x+2y取得最小值,即z min=3×0+2×2=4．14．68【详解】平均分是每个小长方形的面积乘以每个小长方形底边中点横坐标的和．⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．∴平均分为：300.00520500.0120700.0220900.015206815．3010【解析】取BC 的中点D ，连接D 1F 1，F 1D,∴D 1B ∥DF 1,∴∠DF 1A或其补角就是BD 1与AF 1所成角,设BC ＝CA ＝CC 1＝2，则AD 5=AF 15=DF 16=在△DF 1A 中，由余弦定理得cos ∠DF 1A 3010=，16．15π【解析】翻折后所得的四面体ABCD 的直观图如图所示，易知AD ⊥平面,3,3BCD AD BD BC CD ====，设BCD ∆的重心为G ，则3233,23DG =⨯= 外接球的半径2231532R =+=（）（）2415R ππ=．17．【解析】() 1选两名代表发言一共有()()()(),,,,,,,A B A C A D A E ,()()(),,,,,A F B C B D ,()()()(),,,,,,,,B E B F C D C E ()()()(),,,,,,,C F D E D F E F 共15种情况，---------3分 其中A 被选中的情况是()()()()(),,,,,,,,,A B A C A D A E A F 共5种.所以A 被选中的概率为51153=. ------------------------6分()2不妨设, , , A B C D 四位同学为男同学,则没有女同学被选中的情况是: ()()(),,,,,,A B A C A D ()()(),,,,,B C B D C D 共6种， 则至少有一名女同学被选中的概率为631155-=. ------------------------10分18．解：（1）210,2,n n n a S a a >=+∴当1n =时，21112S a a =+，则11a =，∴当2n ≥时，2211122n n n n n n n a a a a a S S ---++=-=-，即111()(1)0,n n n n n n a a a a a a ---+--=∴=-或11n n a a -=+，1(1)n n a -∴=-或n a n =．------------------------6分（2）11110,,()(2)22n n n a a n b n n n n >∴===-++111111(1)()()23242n T n n ⎡⎤∴=-+-++-⎢⎥+⎣⎦1111323(1)221242(1)(2)n n n n n +=+--=-++++------------------------12分19．【解析】（1）由题意可知x =245513++++=3，234475y ++++==4，51122334445771i i i x y ==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，522222211234555i i x ==++++=∑，∴5152221715341.155535ˆ5i i i i i x y x yb x x ==---⨯⨯===-⨯∑∑，∴4 1.130.7ˆa y bx =-=-⨯=，∴所求回归直线的方程为ˆy =1.10.7x +．------------------------8分（2）在（1）中的方程中，令8x =，得ˆy =1.180.7⨯+=9.5，故如果该企业某年研发费用投入8百万元， 预测该企业获得年利润为9.5百万元．-------------12分20．解：（1）,cos (2)cos 0m n B a c C b ⊥∴⋅++⋅=，cos (2sin sin )cos sin 0B A C C B ∴⋅++⋅=，2cos sin (sin cos cos sin )sin()sin B A C B C B B C A ∴=-⋅+⋅=-+=-， 12cos ,23B B π∴=-∴=，故角B 的大小为23π．------------------------6分（2）根据余弦定理可知2222cos b a c ac B =+-22236,36()a c ac a c ac ∴=++∴=+-，2223()36(),()36,624a c a c ac a c a c +∴+-=≤∴+≤∴<+≤则ABC ∆的周长的取值范围是(12,6+．------------------------12分21．【解析】（1）证明：∵2AD DE ==,90ADE ∠=︒∴AE BE ==,4AB =,∴222AE BE AB +=,∴AE BE ⊥又平面ADE ⊥平面ABCE ,平面ADE 平面ABCE AE =,∴BE ⊥平面ADE ，又AD ⊂平面ADE ，所以AD BE ⊥，又AD DE ⊥，DE BE E ⋂=，所以AD ⊥平面BDE .------------------------5分（2）作AE 的中点O ,连结DO ,∵DA DE =,∴DO AE ⊥,又平面ADE ⊥平面ABCE ,∴DO ⊥平面ABCE ,过E 作直线//EF DO , 以EA 、EB 、EF 分别为为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系则(0,0,0),(0,E A B D ,(C 平面ADE 的法向量1//n EB ,∴1(0,1,0)n =又(2,CB=,(DB =-,设平面BDC 的法向量为()2,,n x y z =, 2200n CB n DB ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩,00+=∴+=⎪⎩,即020x y x y z +=⎧⎨-+-=⎩∴平面BDC 的法向量2(1,1,3)n =--121212cos ,11nn n n n n ⋅∴===⋅⨯∴平面ADE 与平面BDC所成锐二面角的余弦值为11．------------------------12分22．解：（1）设曲线E 上任意一点坐标为(,)x y ，=整理得22410x y x +-+=，即22(2)3x y -+=．------------------------4分 （2）由题意知12l l ⊥，且两条直线均过定点(1,0)N ，设曲线E 的圆心为E ，则(2,0)E ，线段CD 的中点为P ，则直线:2EP y x =-， 设直线:CD y x t =-+，由2y x yx t =-⎧⎨=-+⎩得点22(,)22t t P +-，由圆的几何性质得12NP CD ==而22222222(1)(),3,22t t NP ED EP +-=-+==，解得0t =或3t =，又,C D 两点均在x 轴下方，所以直线:CD y x =-，由22410x y x y x ⎧+-+=⎨=-⎩，解得1212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或1212x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，不失一般性，设(11),(1,1)2222C D --+--，由22410(1)x y x y u x ⎧+-+=⎨=-⎩，消去y 得2222(1)2(2)10u x u x u +-+++= ① 方程①的两根之积为1，所以点A的横坐标2A x = 又因为点C (11)22--在直线1:10l x my --=上，解得1m =，直线1:1)(1)l y x =-，所以(2A +，同理可得(2B ， 所以线段AB的长为 ------------------------12分。