中科院 2015 年量子力学(811)考研真题
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中国科学院大学 2016 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题
科目名称：量子力学（811）
考生须知： 1. 本试卷满分 150 分，考试时间总计 180 分钟。 2. 所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸或草稿纸上一律无效。 1. 质量为 m 粒子被束缚在半径为 a 的圆周上。 （1）求粒子的能级和归一化波函数； （2）初始时刻（ t 0 ）粒子波函数为 A sin 2 ，其中 A 是归一化常数， 是极 角。求 t 0 时刻粒子的波函数 (t ) ； （3）求 t 时刻粒子的垂直于圆周所在平面的角动量的平均值。 2. 质量为 m 的粒子在势场 V ( x) V0 ( x) （ V0 0 ）中运动。 （1）求束缚态粒子的归一化波函数和能级； （2）根据 H—F 定理或 Virial 定理求束缚态粒子的势能平均值和动能平均值。 2 2 2 1 2 2 2 ˆ 3. 二维各向同性谐振子的 Hamilton 量算符为 H 0 x 2 y 2 2 m ( x y ) 。 2 m ˆ ( xy y 2 ) （其中 为小量）的微扰的作用，则谐振子的 设谐振子又受到 H Hamilton 量 ˆ ˆ ˆ 为 H H H 。
0
ˆ 的第 n 激发态的能量及简并度； （1）求 H 0 ˆ （2） H 0 的基态能量的一级微扰修正； ˆ 的第一激发态能量的一级微扰修正。 （3） H
0
4. 一自旋为 1 2 、磁矩为 的粒子置于 z 方向的恒定磁场 B B0 (0,0, B0 ) 中，系 ˆ B σ ， σ 是 Pauli 矩阵。已知 t 0 时粒子处于基态。设系统再受 统 Hamilton 量为 H
1 2 1 2
（1）总轨道角动量量子数 L 的取值；
ˆ 的共同本征函数； （2）总自旋角动量量子数 S 的取值及 S 2 和 S z
（3）基于电子的全同性考虑，讨论 L S 的奇偶性。
本试卷内容由本人 2015 年 12 月考试结束后回忆而来，仅用于分享知识和学习、交 流使用，版权归原单位所有，请勿用于商业用途，本人亦不对内容的真实性和可靠性负 任何直接或间接责任。
x 方向的微小脉冲磁场 B1 ( B1 ,0,0) (t ) 的作用，用微扰方法计算：
来自百度文库
（1）粒子在 t 0 时刻处于激发态和基态的概率； （2）粒子在 t 0 时刻的波函数 (t ) ； （3）粒子在 t 0 时刻分别处于 x 的两个本征态上的概率。 ˆ1 和 lˆ2 、 s ˆ2 分别表 5. 考虑原子中处于同一个单电子能级 Enl 上的两个电子。以 lˆ1 、 s 示电子 1、2 的轨道角动量算符和自旋角动量算符，则两个电子的总轨道角动量为 ˆ s ˆ l ˆ ，总自旋角动量算符为 S ˆ l ˆ s ˆ 。求： L
科目名称：量子力学（811）
考生须知： 1. 本试卷满分 150 分，考试时间总计 180 分钟。 2. 所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸或草稿纸上一律无效。 1. 质量为 m 粒子被束缚在半径为 a 的圆周上。 （1）求粒子的能级和归一化波函数； （2）初始时刻（ t 0 ）粒子波函数为 A sin 2 ，其中 A 是归一化常数， 是极 角。求 t 0 时刻粒子的波函数 (t ) ； （3）求 t 时刻粒子的垂直于圆周所在平面的角动量的平均值。 2. 质量为 m 的粒子在势场 V ( x) V0 ( x) （ V0 0 ）中运动。 （1）求束缚态粒子的归一化波函数和能级； （2）根据 H—F 定理或 Virial 定理求束缚态粒子的势能平均值和动能平均值。 2 2 2 1 2 2 2 ˆ 3. 二维各向同性谐振子的 Hamilton 量算符为 H 0 x 2 y 2 2 m ( x y ) 。 2 m ˆ ( xy y 2 ) （其中 为小量）的微扰的作用，则谐振子的 设谐振子又受到 H Hamilton 量 ˆ ˆ ˆ 为 H H H 。
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ˆ 的第 n 激发态的能量及简并度； （1）求 H 0 ˆ （2） H 0 的基态能量的一级微扰修正； ˆ 的第一激发态能量的一级微扰修正。 （3） H
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4. 一自旋为 1 2 、磁矩为 的粒子置于 z 方向的恒定磁场 B B0 (0,0, B0 ) 中，系 ˆ B σ ， σ 是 Pauli 矩阵。已知 t 0 时粒子处于基态。设系统再受 统 Hamilton 量为 H
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（1）总轨道角动量量子数 L 的取值；
ˆ 的共同本征函数； （2）总自旋角动量量子数 S 的取值及 S 2 和 S z
（3）基于电子的全同性考虑，讨论 L S 的奇偶性。
本试卷内容由本人 2015 年 12 月考试结束后回忆而来，仅用于分享知识和学习、交 流使用，版权归原单位所有，请勿用于商业用途，本人亦不对内容的真实性和可靠性负 任何直接或间接责任。
x 方向的微小脉冲磁场 B1 ( B1 ,0,0) (t ) 的作用，用微扰方法计算：
来自百度文库
（1）粒子在 t 0 时刻处于激发态和基态的概率； （2）粒子在 t 0 时刻的波函数 (t ) ； （3）粒子在 t 0 时刻分别处于 x 的两个本征态上的概率。 ˆ1 和 lˆ2 、 s ˆ2 分别表 5. 考虑原子中处于同一个单电子能级 Enl 上的两个电子。以 lˆ1 、 s 示电子 1、2 的轨道角动量算符和自旋角动量算符，则两个电子的总轨道角动量为 ˆ s ˆ l ˆ ，总自旋角动量算符为 S ˆ l ˆ s ˆ 。求： L