第二章第9节
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2.9.1 子系统的并联(续)
一般的，设有N个子系统并联，则组合系统的 状态空间实现为：
& x1 A1 B1 x + M u & x= M = O Σp : xN BN AN & y = [C1 L C N ]x + ( D1 + L + D N )u
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C 2 ]x + D2 D1u
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2.9.2 子系统的串联(续)
对N个串联子系统的传递函数矩阵，有： y ( s ) = y N ( s ) = G N ( s )u N ( s ) = G N ( s ) y N 1 ( s ) = G N ( s )(G N ( s )u N 1 ( s ) ) =L = G N ( s ) L G1 ( s )u ( s ) 由此可知， 组合系统的传递函数矩阵为： G ( s ) = G N ( s ) L G1 ( s )
y2 +
2
2.9.1 子系统的并联(续)
为列出组合系统状态方程，令
x1 u = u1 = u 2 , x = x2 & x1 A1 x1 + B1u1 A1 x1 B1 & x = = = x + B u & A2 2 2 x 2 A2 x 2 + B2 u 2 y = y1 + y 2 = C1 x1 + D1u1 + C 2 x 2 + D 2 u 2 x1 = [C1 C 2 ] + ( D1 + D 2 )u x2
另外， 反馈组合系统的传递函数矩阵也可为：
G ( s ) = G1 ( s ) (I + G 2 ( s ) G1 ( s ) )
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2.10 小结和评述
本章是状态空间方法的基础。重点是，围绕线性 系统分析和论述状态空间方法的内涵、形式、建 立方法、特性和变换，及其对组合系统的推广。 本章概念和方法对随后各章是必需的。 状态空间描述的内涵：是由系统结构导出的一种 内部描述，可以完全表征系统的动态行为和结构 特性。 状态空间描述的形式：重点是时不变系统。
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2.9.3 子系统的反馈联接(续)
组合系统状态方程为：
& x1 A1 x1 + B1 (u y2 ) A1 x1 + B1u B1C2 x2 & x= = = A x +B C x & 2 2 2 1 1 x2 A2 x2 + B2 y1 A1 B1C2 B1 x1 = x + u y1 y u1 A2 0 u B2C1 Σ1 y = y1 = C1 x1 = [C1 0]x
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小结和评述(续)
状态空间描述的建立方法：“机理法”和“辨识 法”。 状态空间描述的特性：由特征结构表征，包括特 征值和特征向量，与系统的动态运动规律、稳定 性和能控能观等结构特性，有内在联系。 状态空间描述的变换：简化系统分析与综合，系 统的固有特性在非奇异线性变换下保持不变。 组合系统的状态空间描述：
∑ G (s)
i i =1
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N
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2.9.2 子系统的串联
考虑图2.11两个子系统的串联。两个子系统可 实现串联的条件是 x x
y1 = u 2 令 u = u1 , y = y 2 ，则
u1
1
Σ1
y1
2
u2
Σ2
y2
图2.11 子系统串联
A1 x1 + B1u A1 x1 + B1u &= x = A x + B C x + B D u 2 1 1 2 1 A2 x2 + B2 y1 2 2 0 A1 B1 = x + B D u B2 C1 A2 2 1 y = C 2 x2 + D2 y1 = C 2 x2 + D2 C1 x1 + D2 D1u = [D2 C1
y2
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Σ2
x2
u2
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图2.12 子系统输出反馈联接
2.9.3 子系统的反馈联接(续)
对输出反馈联接子系统的传递函数矩阵，有：
y ( s ) = y1 ( s ) = G1 ( s ) (u ( s ) y 2 ( s ) ) = G1 ( s ) (u ( s ) G 2 ( s ) y ( s ) ) = G1 ( s ) u ( s ) G 1 ( s ) G 2 ( s ) y ( s ) ( I + G1 ( s ) G 2 ( s ) ) y ( s ) = G 1 ( s ) u ( s ) 1 G ( s ) = ( I + G1 ( s ) G 2 ( s ) ) G1 ( s )
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2.9.3 子系统的反馈联接
为简便起见，设子系统状态方程为：
& x i = Ai x i + Bi u i , i = 1, 2 Σi y i = C i xi
u u1 x1
Σ1
y1 y
考虑两个子系统的输出反 y 2 Σ 2 u2 x2 馈联接，如图2.12 所示。显然， 图2.12 子系统输出反馈联接 可实现反馈联接的条件是： dim(u1 ) = dim( y 2 ) dim(u1 ) = dim( y1 )
& xi = Ai xi + Bi ui Σi , i = 1,2 yi = Ci xi + Di ui
显然，可实现并联必须：
u
u1 u2
x1
Σ1 Σ2
y1
+ y
dim(u1 ) = dim(u 2 ) dim( y1 ) = dim( y 2 )
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x2 图2.10 子系统并联
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对子系统并联的组合系统的传递函数矩阵有：
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2.9.1 子系统的并联(续)
N y(s) = G i ( s )u i ( s ) = G i ( s ) u ( s ) i =1 i =1 由此可知， N个子系统并联，组合系统的传递 函数矩阵为：
∑
N
∑
G (s) =
2.9 组合系统的状态空间描述和传递函数矩 阵
多个子系统联接构成的系统称为组合系统，本 节讨论线性时不变系统的三种基本组合方式，主要 内容有 2.9.1 子系统的并联 2.9.2 子系统的串联 2.9.3 子系统的反馈联接
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2.9.1 子系统的并联
考虑图2.10两个子系统的并联，子系统传递函 数矩阵记为Gi(s)，状态方程为：
2.9.1 子系统的并联(续)
一般的，设有N个子系统并联，则组合系统的 状态空间实现为：
& x1 A1 B1 x + M u & x= M = O Σp : xN BN AN & y = [C1 L C N ]x + ( D1 + L + D N )u
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C 2 ]x + D2 D1u
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2.9.2 子系统的串联(续)
对N个串联子系统的传递函数矩阵，有： y ( s ) = y N ( s ) = G N ( s )u N ( s ) = G N ( s ) y N 1 ( s ) = G N ( s )(G N ( s )u N 1 ( s ) ) =L = G N ( s ) L G1 ( s )u ( s ) 由此可知， 组合系统的传递函数矩阵为： G ( s ) = G N ( s ) L G1 ( s )
y2 +
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2.9.1 子系统的并联(续)
为列出组合系统状态方程，令
x1 u = u1 = u 2 , x = x2 & x1 A1 x1 + B1u1 A1 x1 B1 & x = = = x + B u & A2 2 2 x 2 A2 x 2 + B2 u 2 y = y1 + y 2 = C1 x1 + D1u1 + C 2 x 2 + D 2 u 2 x1 = [C1 C 2 ] + ( D1 + D 2 )u x2
另外， 反馈组合系统的传递函数矩阵也可为：
G ( s ) = G1 ( s ) (I + G 2 ( s ) G1 ( s ) )
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2.10 小结和评述
本章是状态空间方法的基础。重点是，围绕线性 系统分析和论述状态空间方法的内涵、形式、建 立方法、特性和变换，及其对组合系统的推广。 本章概念和方法对随后各章是必需的。 状态空间描述的内涵：是由系统结构导出的一种 内部描述，可以完全表征系统的动态行为和结构 特性。 状态空间描述的形式：重点是时不变系统。
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2.9.3 子系统的反馈联接(续)
组合系统状态方程为：
& x1 A1 x1 + B1 (u y2 ) A1 x1 + B1u B1C2 x2 & x= = = A x +B C x & 2 2 2 1 1 x2 A2 x2 + B2 y1 A1 B1C2 B1 x1 = x + u y1 y u1 A2 0 u B2C1 Σ1 y = y1 = C1 x1 = [C1 0]x
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状态空间描述的建立方法：“机理法”和“辨识 法”。 状态空间描述的特性：由特征结构表征，包括特 征值和特征向量，与系统的动态运动规律、稳定 性和能控能观等结构特性，有内在联系。 状态空间描述的变换：简化系统分析与综合，系 统的固有特性在非奇异线性变换下保持不变。 组合系统的状态空间描述：
∑ G (s)
i i =1
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N
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2.9.2 子系统的串联
考虑图2.11两个子系统的串联。两个子系统可 实现串联的条件是 x x
y1 = u 2 令 u = u1 , y = y 2 ，则
u1
1
Σ1
y1
2
u2
Σ2
y2
图2.11 子系统串联
A1 x1 + B1u A1 x1 + B1u &= x = A x + B C x + B D u 2 1 1 2 1 A2 x2 + B2 y1 2 2 0 A1 B1 = x + B D u B2 C1 A2 2 1 y = C 2 x2 + D2 y1 = C 2 x2 + D2 C1 x1 + D2 D1u = [D2 C1
y2
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Σ2
x2
u2
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图2.12 子系统输出反馈联接
2.9.3 子系统的反馈联接(续)
对输出反馈联接子系统的传递函数矩阵，有：
y ( s ) = y1 ( s ) = G1 ( s ) (u ( s ) y 2 ( s ) ) = G1 ( s ) (u ( s ) G 2 ( s ) y ( s ) ) = G1 ( s ) u ( s ) G 1 ( s ) G 2 ( s ) y ( s ) ( I + G1 ( s ) G 2 ( s ) ) y ( s ) = G 1 ( s ) u ( s ) 1 G ( s ) = ( I + G1 ( s ) G 2 ( s ) ) G1 ( s )
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2.9.3 子系统的反馈联接
为简便起见，设子系统状态方程为：
& x i = Ai x i + Bi u i , i = 1, 2 Σi y i = C i xi
u u1 x1
Σ1
y1 y
考虑两个子系统的输出反 y 2 Σ 2 u2 x2 馈联接，如图2.12 所示。显然， 图2.12 子系统输出反馈联接 可实现反馈联接的条件是： dim(u1 ) = dim( y 2 ) dim(u1 ) = dim( y1 )
& xi = Ai xi + Bi ui Σi , i = 1,2 yi = Ci xi + Di ui
显然，可实现并联必须：
u
u1 u2
x1
Σ1 Σ2
y1
+ y
dim(u1 ) = dim(u 2 ) dim( y1 ) = dim( y 2 )
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x2 图2.10 子系统并联
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对子系统并联的组合系统的传递函数矩阵有：
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2.9.1 子系统的并联(续)
N y(s) = G i ( s )u i ( s ) = G i ( s ) u ( s ) i =1 i =1 由此可知， N个子系统并联，组合系统的传递 函数矩阵为：
∑
N
∑
G (s) =
2.9 组合系统的状态空间描述和传递函数矩 阵
多个子系统联接构成的系统称为组合系统，本 节讨论线性时不变系统的三种基本组合方式，主要 内容有 2.9.1 子系统的并联 2.9.2 子系统的串联 2.9.3 子系统的反馈联接
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2.9.1 子系统的并联
考虑图2.10两个子系统的并联，子系统传递函 数矩阵记为Gi(s)，状态方程为：