整数规划例题
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〈运筹学〉补充例题
例题 1.1 某工厂可以生产产品A和产品B两种产品。生产单位产品A和B所需要的机时、人工工时的数量以及可利用资源总量由下表给出。这两种产品在市场上是畅销产品。该工厂经理要制订季度的生产计划，其目标是使工厂的销售额最大。
产品A 产品B 资源总量
机器（时） 6 8 120
人工（时） 10 5 100
产品售价（元） 800 300
MAX 800X1 +300X2
ST
6X1 +8X2 <= 120
10X1 +5X2 <= 100
X1, X2 >=0
例题 1.2该工厂根据产品A和产品B的销售和竞争对手的策略，调整了两种产品的售价。产品A和B的价格调整为600元和400元。假设其它条件不变，请你帮助该工厂经理制订季度的生产计划，其目标仍然是使工厂的销售额最大。
X 600X1 +400X2
ST
6X1 +8X2 <= 120
10X1 +5X2 <= 100
X1, X2 >=0
例题 1.3由于某些原因，该工厂面临产品原料供应的问题。因此，工厂要全面考虑各种产品所需要的机时、人工工时、原材料的资源数量及可用资源的总量、产品的售价等因素。有关信息在下表中给出。
产品A 产品B 资源总量
机器（时） 6 8 120
人工（时） 10 5 100
原材料(公斤) 11 8 130
产品售价（元） 600 400
MAX 600X1 +400X2
ST
6X1 +8X2 <= 120
10X1 +5X2 <= 100
11X1 +8X2 <= 130
X1, X2 >=0
例题 1.４随着企业改革的不断深化，该企业的经理的管理思想产生了变化，由原来的追求销售额变为注重销售利润，因此，要考虑资源的成本。工厂的各种产品所需要的机时、人
工工时、原材料的资源数量及可用资源的总量、产品的售价和各种资源的价格等因素。有关信息在下表中给出。
产品A 产品B 资源总量资源价格（元／单位）机器（时） 6 8 120 ５
人工（时） 10 5 100 20
原材料(公斤) 11 8 130 1
产品售价（元） 600 400
设： J为所用机器资源数量（小时）；R为所用人力资源数量（小时）；L为所用原材料数量（公斤）
MAX 600X1 +400X2 -C
ST
6X1 +8X2 - J = 0
10X1 +5X2 - R = 0
11X1 +8X2 - L = 0
J <= 120
R <= 100
L <= 130
5J +20R +1L - C = 0
x1, x2, J,R,L>=0
例题 1.5 学习了管理课程后，该企业的经理明白了产品的成本包括变动成本和固定成本。如果生产产品A，工厂要花费1000元的固定成本，如果生产产品B，工厂要花费800元的固定成本。假设其它情况不变，请你为该工厂设计一个使利润最大化的生产方案。
!在例1_4的基础上改进.
!设:Y1,Y2是0,1变量。若Y1=1,表示生产A,若Y1=0,表示不生产A;
! 若Y2=1,表示生产B,若Y2=0,表示不生产B.
!分析:如果X1>0,应该让Y1=1。为此，选一个充分大的数（此处选1000），
! 加约束 X1<=1000Y1。
! 如果X1=2，Y1必须为1，不能为零。
! 若X1=0，Y1既可以为零,又可以等于1；由于目标函数越大越好，
! Y1的系数为负数，所以Y1选择等于零。
!约束 X1<=1000Y1, 变形为 1000Y1-X1>=0；同理，有1000Y2-X2>=0。
MAX 600X1 +400X2 -C -1000Y1 -800Y2
ST
6X1 +8X2 - J = 0
10X1 +5X2 - R = 0
11X1 +8X2 - L = 0
J <= 120
R <= 100
L <= 130
5J +20R +1L - C = 0
1000Y1-X1>=0
1000Y2-X2>=0
END
INT Y1
INT Y2
见LINDO《IP例1_5.LTX》
例题 1.6 通过求解例1.4和1.5中的线性规划模型，从结果分析可知原材料已经用尽,是稀缺资源。假设，该原材料在总量100公斤以内，按正常价1元/公斤供应；若超过100公斤，超过部分按1.2元/公斤供应。假设其它情况不变，请你为该工厂设计一个使利润最大化的生产方案。
!在例1_5的基础上改进.
!将使用的原材料分为两部分L1和L2。L1表示100公斤以内使用的原材料数量，L2表示超过100公斤使用的原材料数量。
MAX 600X1 +400X2 -C -1000Y1 -800Y2
ST
6X1 +8X2 - J = 0
10X1 +5X2 - R = 0
11X1 +8X2 - L1 -L2 = 0
J <= 120
R <= 100
L1 <= 100
5J +20R +1L1 +1.2L2- C = 0
1000Y1-X1>=0
1000Y2-X2>=0
END
INT Y1
INT Y2
见LINDO《IP例1_6.LTX》
例题 1.7 假设，该原材料在市场上容易买到，是买方市场。原料生产厂家实行如下的销售策略：如果购买100公斤以下，按正常价1元/公斤供应；若超过100公斤，超过部分按0.8元/公斤供应。假设其它情况不变，请你为该工厂设计一个使利润最大化的生产方案。
!此题看似与例1.6相同，但是，如果将例1_6中的1.2改为0.8，
! 求解后会出现出乎意料的结果：L1=0, L2=120，
! 即不使用100公斤以内的，专使用超过100公斤的原材料。
!为了解决此问题，增加一个0-1变量Y.
! Y=0，L1没有达到100公斤(L1 <= 100)；Y=1, L1已经达到100公斤。
!若L1<100, 必须有Y=0。添约束：L1>=100Y,
! 只有L1=100时Y才可以等于1。
! （变换后为：100Y-L1<=0）
!若Y=1, L2可以取正数，添约束：L2<=10000Y,
! 其中10000是考虑到其它资源，L2不可能超过的数。
! （变换后为：L2-10000Y<=0）
MAX 600X1 +400X2 -C -1000Y1 -800Y2
ST
6X1 +8X2 - J = 0
10X1 +5X2 - R = 0
11X1 +8X2 - L1 -L2 = 0
J <= 120
R <= 100
L1 <= 100
5J +20R +L1 +0.8L2- C = 0
1000Y1-X1>=0
1000Y2-X2>=0
100Y-L1<=0
L2-10000Y<=0
END
INT Y1
INT Y2
INT Y