整数规划例题
第六章 运筹学 整数规划案例
第六章整数规划6.1 用图形将一下列线性规划问题的可行域转换为纯整数问题的可行域(在图上用“×”标出)。
1、 max z=3x1+2x2S.T. 2x1+3x2≤122x1+x2≤9x1、x2≥0解：2、 min f=10x1+9x2S.T. 5x1+3x2≥45x1≥8x2≤10x1、x2≥06.2 求解下列整数规划问题1、 min f=4x1+3x2+2x3S.T. 2x1-5x2+3x3≤44x1+x2+3x3≥3x2+x3≥1x1、x2、x3=0或1解：最优解（0，0，1），最优值：22、 min f=2x1+5x2+3x3+4x3S.T. -4x1+x2+x3+x4≥2-2x1+4x2+2x2+4x2≥4x1+x2-x2+x2≥3x1、x2、x3、x3=0或1解：此模型没有可行解。
3、max Z=2x1+3x2+5x3+6x4S.T. 5x1+3x2+3x3+x4≤302x1+5x2-x2+3x2≤20-x1+3x2+5x2+3x2≤403x1-x2+3x2+5x2≤25x1、x2、x3、x3=正整数解：最优解（0，3，4，3），最优值：474、min z =8x1 +4 x2+3 x3+5 x4+2 x5＋3 x6＋4 x7＋3 x8+4 x9+9 x10+7 x11+5 x12 +10 x13+4 x14+2 x15+175 x16+300 x17+375 x18 +500 x19约束条件x1 + x2+x3≤30x4+ x5＋x6-10 x16≤0x7+ x8＋x9-20 x17≤0x10+ x11＋x12-30 x18≤0x13+ x14＋x15-40 x19≤0x1 + x4+ x7+x10+ x13＝30x2 + x5+ x8+x11+ x14＝20x3 + x6+ x9+x12+ x15＝20x i为非负数（i=1,2…..8）x i为非负整数（i=9,10…..15）x i为为0－1变量（i=16,17…..19）解：最优解（30，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，20，20，0，0，0，1），最优值：8606.3 一餐饮企业准备在全市范围内扩展业务，将从已拟定的14个点中确定8个点建立分店，由于地理位置、环境条件不同，建每个分店所用的费用将有所不同，现拟定的14个店的费用情况如下表：公司办公会决定选择原则如下：（1）B5、B3和B7只能选择一个。
数学建模 -整数规划
松弛问题 L0： max z 30x1 20x 2 2 x1 3 x 2 14.5 s.t 4 x1 x 2 16.5 x1 0, x 2 0
z 2 130 剪枝 ( IP)的最优解：x 3，x 2 1 2
最优值：Z * 130
4x1+x2=16.5
3 L3：xx21 2 z 3 130 关闭
11 L4 x1 4 ，x2 3 28543;3x2=14.5
L5 x1 2，x2 7
剪枝 z 130 5
2
L6 剪枝
无可行解
· · · · · · · · · 1 2 3 4 5 6 7
19:01
分枝定界法
分枝定界法
（1）分枝：通常，把全部可行解空间反复地分割为越 来越小的子集，称为分枝； （2）定界：并且对每个子集内的解集计算一个目标下 界（对于最小值问题），这称为定界。 （3）剪枝：在每次分枝后，凡是界限超出已知可行解 集目标值的那些子集不再进一步分枝，这样，许多子 集可不予考虑，这称剪枝。 求解生产进度问题、旅行推销员问题、工厂选址问题、 背包问题及分配问题。
对（ IP） max z 30x1 20x 2 2 x1 3x 2 14.5 4 x1 x 2 16.5 s.t x 0, x 2 0 1 x1 , x 2为整数
父问题
松弛问题 ( L0 )： max z 30x1 20x 2 2 x1 3 x 2 14.5 s.t 4 x1 x 2 16.5 最优解： x1 3.5, x1 0, x 2 0
x 2 2 .5
子问题
( L1 ) max z 30x1 20x 2 ( L ) max z 30x 20x 2 1 2 2 x1 3 x 2 14.5 2 x1 3x2 14.5 4 x1 x 2 16.5 4 x1 x2 16.5 s.t s.t x1 3 x1 4 x1 0, x 2 0 x1 0, x2 0
整数规划例题
〈运筹学〉补充例题例题 1.1 某工厂可以生产产品A和产品B两种产品。
生产单位产品A和B所需要的机时、人工工时的数量以及可利用资源总量由下表给出。
这两种产品在市场上是畅销产品。
该工厂经理要制订季度的生产计划，其目标是使工厂的销售额最大。
产品A 产品B 资源总量机器（时） 6 8 120人工（时） 10 5 100产品售价（元） 800 300MAX 800X1 +300X2ST6X1 +8X2 <= 12010X1 +5X2 <= 100X1, X2 >=0例题 1.2该工厂根据产品A和产品B的销售和竞争对手的策略，调整了两种产品的售价。
产品A和B的价格调整为600元和400元。
假设其它条件不变，请你帮助该工厂经理制订季度的生产计划，其目标仍然是使工厂的销售额最大。
X 600X1 +400X2ST6X1 +8X2 <= 12010X1 +5X2 <= 100X1, X2 >=0例题 1.3由于某些原因，该工厂面临产品原料供应的问题。
因此，工厂要全面考虑各种产品所需要的机时、人工工时、原材料的资源数量及可用资源的总量、产品的售价等因素。
有关信息在下表中给出。
产品A 产品B 资源总量机器（时） 6 8 120人工（时） 10 5 100原材料(公斤) 11 8 130产品售价（元） 600 400MAX 600X1 +400X2ST6X1 +8X2 <= 12010X1 +5X2 <= 10011X1 +8X2 <= 130X1, X2 >=0例题 1.４随着企业改革的不断深化，该企业的经理的管理思想产生了变化，由原来的追求销售额变为注重销售利润，因此，要考虑资源的成本。
工厂的各种产品所需要的机时、人工工时、原材料的资源数量及可用资源的总量、产品的售价和各种资源的价格等因素。
有关信息在下表中给出。
产品A 产品B 资源总量资源价格（元／单位）机器（时） 6 8 120 ５人工（时） 10 5 100 20原材料(公斤) 11 8 130 1产品售价（元） 600 400设： J为所用机器资源数量（小时）；R为所用人力资源数量（小时）；L为所用原材料数量（公斤）MAX 600X1 +400X2 -CST6X1 +8X2 - J = 010X1 +5X2 - R = 011X1 +8X2 - L = 0J <= 120R <= 100L <= 1305J +20R +1L - C = 0x1, x2, J,R,L>=0例题 1.5 学习了管理课程后，该企业的经理明白了产品的成本包括变动成本和固定成本。
整数规划典型问题实例
例1 原料下料问题 生产中通过切割、剪裁、冲压等 手段，将原材料加工成所需大小
按照工艺要求，确定下料方案， 使所用材料最省，或利润最大
(钢管下料) 做100套钢架，用长为2.9m,2.1m,1.5m的元钢各一根，已知原料长 为7.4m，问如何下料，所用最省？
问题分析：每一种下料方式用了多少根钢材，合理的下料方式是剩余料头的
原料钢管总根数上界：13+10+8=31
2 6x1x2x331模式排列顺序可任定
x1 x2 x3
LINGO求解整数非线性规划模型
Local optimal solution found at
iteration: 12211
Objective value:
28.00000
Variable Value Reduced Cost
现有4种需求：4米50根，5米10根，6米20根，8米 15根，用枚举法确定合理切割模式，过于复杂。
对大规模问题，用模型的约束条件界定合理模式 决策变量
xi ~按第i 种模式切割的原料钢管根数(i=1,2,3) r1i, r2i, r3i, r4i ~ 第i 种切割模式下，每根原料钢管 生产4米、5米、6米和8米长的钢管的数量
钢管下料问题2
目标函数（总根数） Mix1 nx2x3
约束 条件 满足需求
模式合理：每根 余料不超过3米
r1x11r1x22r1x33501 6 4 r 1 15 r2 16 r3 18 r4 119
r2x 11r2x 22r2x 33101 6 4 r1 25 r2 26 r3 28 r4 219
模 4米 6米 8米 余 式 根数 根数 根数 料
14
第二章 整数规划+答案
故最优解为：X
0010
1 0
0 1
0 0
0 0
，最优值为 14。
0001
6103 0211 1030 5300
5、在今后三年内有五项工程考虑施工，每项工程的期望收入和年度费用（千元）如表所示。假定 每一项已批准的工程要在三年内完成，目标是要选出使总收入达到最大的那些工程。
工程
第1年
费用（千元） 第2年
2 3 14 s. t. 4 2 18
, 0 且为整数
B：X=（3.25,2.5）z=14.75
x2<=3
x2>=4
B1：X=（3,2.67）z=14.33
B2：X=（4,1）z=14
x2<=2
x2>=3
B11：X=（3,2）z=13
B12：X=（2.5,3）z=13.5
所以，最优解为：X=（4,1），最优值为 14。
人
A
B
C
D
E
甲
25
29
31
42
37
乙
39
38
26
20
33
丙
34
27
28
40
32
丁
24
42
36
23
45
解：（1）由于任务数多于人数，所以需要一名假想的人，设为戊。因为工作 E 必须完成，故设戊完
成 E 的时间为 M，其余的假象为 0，建立如下的效率矩阵。
任务
人
A
B
C
D
E
甲
25
29
31
42
37
乙
39
38
解：变换目标函数 max Z=16‐（2 3 5 6 ）
典型的整数线性规划问题
小型 中型 大型
现有量
钢材（吨）
1.5
3
5
600
劳动时间（小时） 280
250
400
60000
利润（万元）
2
3
4
• 制订月生产计划，使工厂的利润最大。
• 如果生产某一类型汽车，则至少要生产80辆，
那么最优的生产计划应作何改变？
汽车厂生产计划
模型建立
设每月生产小、中、大型 汽车的数量分别为x1, x2, x3
模型建立
令xj表示对第j个发展项目的投资数量
n
Max z cj x j j 1 n
s. t. a j xj b j 1
xj 0或1(j=1,2, ,n)
整数 线性 规划 0－1 模型
(IP)
整数线性规划及0－1规划
例1 汽车厂生产计划
汽车厂生产三种类型的汽车，已知各类型每辆车对钢 材、劳动时间的需求，利润及工厂每月的现有量。
方法3：化为非线性规划
x1=0 或 80
x1(x1 80) 0
x2=0 或 80
x2 (x2 80) 0
x3=0 或 80
x3 (x3 80) 0
非线性规划（Non- Linear Programming，简记NLP）
NLP 虽 然 可 用 现 成 的 数 学 软 件 求 解 ( 如 LINGO, MATLAB)，但是其结果常依赖于初值的选择。
丙 1’18” 1’07”8 1’24”6 59”4
丁 1’10” 1’14”2 1’09”6 57”2
戊 1’07”4 1’11” 1’23”8 1’02”4
讨论 丁蛙泳c43 =69.675.2，戊自由泳c54=62.4
运筹学整数规划例题
练习4.9 连续投资问题某公司现有资金10万元,拟在今后五年内考虑用于下列项目的投资:项目A:从第一年到第四年每年年初需要投资,并于次年收回本利115%,但要求第一年投资最低金额为4万元,第二.三.四年不限.项目B:第三年初需要投资,到第五年末能收回本利128%,但规定最低投资金额为3万元,最高金额为5万元.项目C:第二年初需要投资,到第五年末能收回本利140%,但规定其投资金额或为2万元,或为4万元,或为6万元,或为8万元.项目D:五年内每年年初都可购买公债,于当年末归还,并获利6%,此项目投资金额不限. 试问该公司应图和确定这些项目的每年投资金额,使到第五年末拥有最大的资金收益.(1) x 为项目各年月初投入向量。
(2) ij x 为 i 种项目j 年的月初的投入。
(3) 向量c 中的元素ijc 为i 年末j 种项目收回本例的百分比。
(4) 矩阵A 中元素ija 为约束条件中每个变量ijx 的系数。
(5) Z 为第5年末能拥有的资金本利最大总额。
因此目标函数为4325max 1.15 1.28 1.40 1.06A B C D Z x x x x =+++束条件应是每年年初的投资额应等于该投资者年初所拥有的资金.第1年年初该投资者拥有10万元资金,故有11100000A D x x +=.第2年年初该投资者手中拥有资金只有()116%D x +,故有22211.06A C D D x x x x ++=.第3年年初该投资者拥有资金为从D 项目收回的本金: 21.06D x ,及从项目A 中第1年投资收回的本金: 11.15A x ,故有333121.15 1.06A B D A D x x x x x ++=+同理第4年、第5年有约束为44231.15 1.06A D A D x x x x +=+,5341.15 1.06DA Dx x x =+max =1.15*x4a+1.28*x3b+1.4*x2c+1.06*x5d; x1a+x1d=100000;-1.06*x1d+x2a+x2c+x2d=0;-1.15*x1a-1.06*x2d+x3a+x3b+x3d=0; -1.15*x2a-1.06*x3d+x4a+x4d=0; -1.15*x3a-1.06*x4d+x5d=0; x2c=40000 ; x2c=60000; x2c=80000; x2c=20000; x3b>=30000; x3b<=50000;x1a>=0;x2a>=0;x3a>=0;x4a>=0;x5a>=0; x1b>=0;x2b>=0;x3b>=0;x4b>=0;x5b>=0; x1c>=0;x2c>=0;x3c>=0;x4c>=0;x5c>=0; x1d>=0;x2d>=0;x3d>=0;x4d>=0;x5d>=0;Variable Value Reduced Cost X4A 22900.00 0.000000 X3B 50000.00 0.000000 X2C 40000.00 0.000000 X5D 0.000000 0.000000 X1A 62264.15 0.000000 X1D 37735.85 0.000000 X2A 0.000000 0.000000 X2D 0.000000 0.3036000E-01 X3A 0.000000 0.000000 X3D 21603.77 0.000000 X4D 0.000000 0.2640000E-01 X5A 0.000000 0.000000 X1B 0.000000 0.000000 X2B 0.000000 0.000000 X4B 0.000000 0.000000 X5B 0.000000 0.000000 X1C 0.000000 0.000000 X3C 0.000000 0.000000 X4C 0.000000 0.000000 X5C 0.000000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price 1 80000.00 1.0000002 0.000000 1.4018503 0.000000 1.3225004 0.000000 1.2190005 0.000000 1.1500006 0.000000 1.0600007 0.000000 -0.8388608E+188 -20000.00 -0.1280000E+109 -40000.00 -0.1280000E+1010 -20000.00 0.1280000E+1011 20000.00 0.00000012 0.000000 0.6100000E-0113 62264.15 0.00000014 0.000000 0.00000015 0.000000 0.00000016 22900.00 0.00000017 0.000000 0.00000018 0.000000 0.00000019 0.000000 0.00000020 50000.00 0.00000021 0.000000 0.00000022 0.000000 0.00000023 0.000000 0.00000024 40000.00 0.00000025 0.000000 0.00000026 0.000000 0.00000027 0.000000 0.00000028 37735.85 0.00000029 0.000000 0.00000030 21603.77 0.00000031 0.000000 0.00000032 0.000000 0.0000004.10某城市的消防总站将全市划分为11个防火区，现有4个消防站，图4-11给出的是该城市各防火区域和防火站的示意图，其中1,2,3,4，表示消防站1，2，…11表示防火区域，根据历史资料证实，各消防站可在事先规定允许的时间内对所负责的区域内的火灾予以扑灭，图中没有虚线连接的就表示不负责，现在总部提出：能否减少消防站的数目，仍能保证负责各地区的防火任务？如果可以的话，应该关闭哪个？练习4.10某城市的消防站总部将全市划分为11个防火区，现有四的。
整数规划案例模型
工厂1、2、3分别生产A、B产品的零件A B 可用时间工厂1 1 0 4工厂2 0 2 12工厂3 3 2 8利润300 500–变化1：增加A、B产品的准备成本，分别为700和1300–变化2：A、B的数量限制在整数范围。
案例1：产量x1、x2，A和B是否生产y1、y2Max z=300x1+500x2-700y1-1300y2X1<=42x2<=123x1+2x2<=18X1<=99y1X2<=99y2X1、x2为非负整数y1、y2为0-1整数包含互斥产品两种产品具有相同的用户，是互相竞争的。
因此，管理层决定不同时生产两种产品，而是只能选择其中的一种。
案例2：A和B是否生产y1、y2；产量x1、x2。
Max z=300x1+500x2X1<=42x2<=123x1+2x2<=18Y1+y2=1X1<=99y1X2<=99y2Y1、y2为0-1整数X1、x2为非负数加入二选一约束公司最近新建了一个与工厂3类似的新厂，因此，新厂也可以生产两种产品。
但是出于管理上的原因，管理层决定只在工厂3、4中选择一个工厂生产，同时要获得最大利润。
案例3：产量x1、x2；工厂3或4是否生产y1、y2 X1<=42x2<=123x1+2x2<=18+99y22x1+4x2<=28+99y1Y1+y2=1Y1、y2为0-1整数X1、x2为非负数如果y1=1，y2=03x1+2x2<=182x1+4x2<=28+99如果y1=0，y2=13x1+2x2<=18+992x1+4x2<=28。
6.1整数规划问题
二、整数规划解的理论
对整数规划问题： max z = CX AX = b s （IP）.t X ≥ 0 x 为整数 j
max z = CX AX = b s.t X ≥0
（IP）问题的松弛问题
对（ IP ）问题： max z = CX AX = b s .t X ≥ 0 x j 为整数
（ ）若松弛问题的最优解 X * 为整数解 4 则 X * 也是 IP 的最优解
其松弛问题为： max z = CX AX = b s .t X ≥ 0
（） IP 的可行解域 1
（2 IP 的最优值 ）
≤
松弛问题的可行解域
松弛问题的最优值
若松弛问题无可行解，则IP 无可行解
松弛问题的最优值是原整数规划 的目标函数值的上界
(3)若松弛问题可以找到一 个整数解 X，
则X 的目标函数值是 IP 最优值的下界
1 解： 设 x i = 0
带第 i 件物品 不带第 i 件物品
m
数学模型：
Z表示所带物品的总价值
m Z = ∑ci xi ax
m b x ≤b s.t ∑ i i i= 1 xi = 0,1 ， i = 1 2,Lm ,
i =1
m
Z =
∑c
带第 i 件
i
=∑c xi =来自 i m i =1x1 , x 2 L , x n ≥ 0 x1 , x2 L, xn = 0,1
例
max z = 30 x 1 + 20 x 2 2 x 1 + 3 x 2 ≤ 14 × 2x + x ≤ 9 1 2 s .t x1 ≥ 0, x 2 ≥ 0 x 1 , x 2 为整数
最新最全整数规划习题(完整版)
第五章整数规划习题5.1考虑以下数学模型min z = fi(Xi) + f2 (x2)且满意约束条件(1) 或 ,或X2 河0：(2) 以下各不等式至少有一个成立：2x〔+ x2 *5+ X2 >15x〔+2x2 215(3) Xi -X2 =0或 5 或10(4) 为No , X2 2 0其中20 + 5xi,如>0fi(xO= 10 ，如=°12 + 6x2,如>0f2(X2)= .0 ，如=0将此问题归结为混合整数规划的模型；minz = 1°y〔* 5xi 十12y2 -6x2（0）xi V yi ,M; x2 y2• M（1）% >10- y3 <MX2 己10 —（1 — y3）• M（2）X1 +xA5- y4M2Xi +X2 2 15- y5MX1 + 2x2 2 15 - yeM第 +y5 + y6 < 2（3）x1 _X2 =0y7 -5y8+5y9 -10y w+ 11yn工y8 + y9 + Yw + y” = 1（4）xi >0，x2 - 0; yi = 0或5.2试将下述非线性的0-1规划问题转换成线性的0-1规划问题_ 2 + 3max z - % x2 x3 - x3一 2xi + 3x2 + X3 <3Xj = 0或 1,= 1,2,3)，当=Xs = 1X 22 3又X 〔，Xi 分别与X 、X3等价，因此题中模型可转换为max z = % + y - X3—2xi + 3x2 X3 — 3 y WX2"X3X2 * X3 V y F一Xi ，X2，X3，y 均为 一1 变5.3某科学试验卫星拟从以下仪器装置中选如干件装上；有关数据资料见表5-1表5-1要求：(1)装入卫星的仪器装置总体积不超过 V,总质量不超过 W (2) A 与A 中最多安装一件；(3)氏与4中至少安装一件；(4) As 同玲或者都安上，或者都 担心；总的目的是装上取的仪器装置使该科学卫星发挥最大的试验价值； 试建立 这个问题的数学模型； 解： 6max z = Z CjXj j ='6三 VjXj -V jT解：令y = 故有 x 2x3 =y,I 6£ Wj Xj - w jTXi + x3 -1 X2十X4 Z 1X5 = X61 ，安装Aj仪器X・=< J 0，否就5.4 某钻井队要从以下10个可供选择的井位中确定5个钻井探油，使总的钻探 费用最小；如10个井位的代号为Si , S2, S10,相应的钻探费用为C1 , C2, ,C 10, 并且井位选择上要满意以下限制条件：(1) 或选择S1和S7,或选择钻探S8；(2) 选择了 S3或S4就不能选择S5,或反过来也一样；(3) 在S5,S6,S7,S8,中最多只能选两个；试建立这个问题的整数规划模型； 解： 10min z = £ CjXj j=3'10E Xj = 5 jmX1 + X8 = 1 X3 + Xs < 1 X7 〜彘=1 X4 + X5 三 1 X5 + X6 + X7 + X8 M 2，选择钻探第Sj 井‘0 ,否就5.5用割平面法求解以下整数规划问题(a) maxz = 7x 〔 一 9x 2 —q 3x2 — 6 7Xi +x 2 V 35 x 1s x 2, - 0且为整(b) minz =数4对 5x2% +2X2 V Xi -4x2 - 5 3xi + X2 -2 XlJ x 2 20且为整、 I ' £4xi — 4X 2 J 5 -Xi 〜6X2 — 5一 Xi + X2 + X3 -5*,X2，X3,20 且为整 (d) max z = "Xi +4x2(c)max z 一 4xi 6x 2 + 2x3-x〔+2x2 £14 5x1+ 2X2 <16 2xi - X2 三 4KM*。
整数规划典型问题实例
2. 所用原料钢管总根数最少
决策 变量 xi ~按第i 种模式切割的原料钢管根数(i=1,2,…7) 目标1（总余量） Min Z 1 3 x 1 x 2 3 x 3 3 x 4 x 5 x 6 3 x 7
模 式 1 2 3 4 5 6 7 需 求 4米 根数 4 3 2 1 1 0 0 50 6米 根数 0 1 0 2 1 3 0 20 8米 根数 0 0 1 0 1 0 2 15 余 料 3 1 3 3 1 1 3
m in f 0 .1 x1 0 .3 x 2 0 .9 x 3 0 x 4 1 .1 x 5 0 .2 x 6 0 .8 x 7 0 .4 x 8
x8
2 x1 x 2 x 3 x 4 1 0 0 2 x 2 3 x3 3 x5 2 x6 x7 1 0 0 s .t . x1 x 3 3 x 4 2 x 6 3 x 7 4 x 8 1 0 0 x 0, i 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8, x 取 整 i i
8米1根
8米1根
合理切割模式的余料应小于客户需要钢管的最小尺寸
钢管下料问题1
模式 1 2 3 4 5 6 7 4米钢管根数 4 3 2 1 1 0 0
合理切割模式
6米钢管根数 0 1 0 2 1 3 0 8米钢管根数 0 0 1 0 1 0 2 余料(米) 3 1 3 3 1 1 3
为满足客户需要，按照哪些种合理模式，每种模式 切割多少根原料钢管，最为节省？ 两种 标准 1. 原料钢管剩余总余量最小
建立模型：
m ax
f
cx
i i 1
7
i
7 bi x i b i 1 x1 x 2 x 3 2 s .t . x 4 x 5 1 x x 1 7 6 x i 0 或 1, i 1, 2， . . . , 7
精选整数规划试题
整数规划试题
精选整数规划试题
一、选择题（在下列各题中，从备选答案中选出1个或多个正确答案）1. maxZ?3x1?2x2,2x1?3x2?14,x1?0.5x2?4.5,x1,x2?0且为整数，对应线性规划的最优解是（3.25，2.5），它的整数规划的最优解是( )
A.(4，1)
B.(4，3)
C.(3，2)
D.(2，4)
2. 下列说法正确的是 ( )
A.整数规划问题最优值优于其相应的线性规划问题的最优值
B.用分枝定界法求解一个极大化的'整数规划时，当得到多于一个可行解时，通常可任取其中一个作为下界，再进行比较剪枝
C.分枝定界法在处理整数规划问题时，借用线性规划单纯形法的基本思想，在求相应的线性模型解的同时，逐步加入对各变量的整数要求限制，从而把原整数规划问题通过分枝迭代求出最优解。
D.以上说法都不对
3. 分枝定界法中( )
A. 最大值问题的目标值是各分枝的下界
B. 最大值问题的目标值是各分枝的上界
C. 最小值问题的目标值是各分枝的上界
D. 以上结论都不对
二、填空题
1．求解纯整数规划的两种方法是（）
2. 已知基变量x1=
3.25，x1要求取整数，则添加分枝约束（）和（）。
三、判断题
1. 整数规划的最优解是先求相应的线性规划的最优解然后取整得到；
2. 部分变量要求是整数的规划问题称为纯整数规划；
3. 求最大值问题的目标函数值是各分枝函数值的上界；
4. 求最小值问题的目标函数值是各分枝函数值的下界；
5. 变量取0或1的规划是整数规划；
6. 整数规划的可行解集合是离散型集合；。
整数规划案例
整数规划案例目录例1固定费用问题 (1)例2选择性约束条件 (1)例3可行域描述问题 (2)例4 最优分配问题 (2)例5 选址问题 (2)例6 排序问题 (3)例7利润分段线性问题 (5)例8可靠性问题 (5)例9装配线平衡问题 (6)例10货物列车编组计划问题 (7)例1固定费用问题工厂准备生产Al、A2、A3三种产品。
若Aj产品投产，无论产量大与小，都需要一笔固定费用dj（例如装夹具的设计制作费用）。
而每生产一件产品，其利润为cj,试问固定费用这个因素如何体现在模型中而使总利润最大?（其它约束条件暂不列入）解设产品Aj的产量为xj,又设0—1变量yi=l （当xj>0）, 0 （否则）于是，目标函数为max 仁clxl+c2x2+c3x3・dlyl-d2y2・d3y3例2选择性约束条件某工厂生产第j种产品的数量为Xj,j=l, 2, 3。
其使用的材料在材料甲及乙中选择一种。
材料消耗的约束条件分别为2x1+5x24-6x3 W180 及4x1+3x2+7x3^240（其它资源约束未列出），试问这类选择性约束条件如何体现在模型中？解引进0—1变量y： y=0 （选择材料甲），0 （否则）。
这样，“或此或彼”相互排斥的约束条件就可化成下列两个约束条件：2xl+5x2+6x3W180+My,4x1+3 x2+7x3 W240+M（ 1-y）,其中M是充分大的正数。
可以看出，当y=0时，第二个约束变成4xl+3x2+7x3W240+M,由于M是充分大的正数，所以这个约束条件自动满足而不起作用，而第一个约束为2xl+5x2+6x3 W180,这意味着选择材料甲；反之，当y=l时，第二个约束起作用，第一个约束变为2xl+5x2+6x3W180+M不起作用，这意味着选择材料乙。
因此，借助0—1变量，材料选择的两种可能性就同时包括在一个模型中了。
一般地，假定在某种情况下要在P个约束条件中至少要选择q个约束条件得到满足，那么，我们引进P个0-1变量yi,则选择性的约束条件问题就化为.……例3可行域描述问题如何把图中的阴影部分所表示的可行域用联立的线性约束条件来描述?例4最优分配问题现有四部车床Ai（I=l,…，4）和四个零件Bj（j=l,…，4）,车床Ai加工零件Bj 所需时间tij（小时）由下表给出。
数学建模-整数规划
整数规划
Integer Programming
数信学院 任俊峰
2012-4-15
数学建模之整数规划
整数规划模型（IP）
如果一个数学规划的某些决策变量或全部决策 变量要求必须取整数，则称这样的问题为整数规 划问题，其模型称为整数规划模型。 如果整数规划的目标函数和约束条件都是线性 的，则称此问题为整数线性规划问题.
松弛问题最优解满足整数要求，则该最优解为整数 规划最优解；
数学建模之整数规划
整数线性规划的求解方法
从数学模型上看整数规划似乎是线性规划的 一种特殊形式，求解只需在线性规划的基础上，通 过舍入取整，寻求满足整数要求的解即可。 但实际上两者却有很大的不同，通过舍入得到
的解（整数）也不一定就是最优解，有时甚至不能
1 xj 0
选中第j个项目投资 不 选中第j个项目投资
max Z 160 x 1 210 x 2 60 x 3 80 x 4 180 x 5 210 x 1 300 x 2 150 x 3 130 x 4 260 x 5 600 x x2 x3 1 1 x3 x4 1 x x 1 5 x1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 0 或 1
1 2
14 x1 9 x 2 51 6 x1 3 x 2 1 x1 , x 2 0
数学建模之整数规划
用图解法求出最优解 x1＝3/2, x2 = 10/3 且有 z = 29/6 现求整数解（最优解）： 如用“舍入取整法”可得到4 个点即(1，3) (2，3) (1，4) (2，4)。显然，它们都不可能 是整数规划的最优解。
数学建模之整数规划
例5 固定费用问题
整数规划-案例2-汽车厂生产计划
利润（万元）
2
中型 3
250 3
大型 现有量 5 600
400 60000 4
汽车厂的生产数据
2
（2）模型建立与求解:设每月生产小、中、大型
汽车的数量分别为 x1, x2 , x3 ，工厂的利润为z，在
题目所给参数均不随生产数量变化的假设下，可 得整数规划模型如下：
3
max z 2x1 3x2 4x3
6
对于（*）式的处理有下面3种方法：
（a）将（*）式分解为8种情况，对每一种情况求
解，比较目标函数值。
（b）引入0-1变量，设y1 只取0，1两个值，则
x1 0或等 8价0于
x1 My1, x1 80 y1, y1 {0,1}
其中M为相当大的数，本例可取1000，类似的有
x2 My2 , x2 80 y2 , y2 {0,1} x3 My3, x3 80 y3, y3 {0,1}
8
评注：式子左端是决策变量的非线性函数，所 以就构成了非线性规划模型，虽然也可以用现成 的数学软件求解，但是其结果往往依赖于初值的 选择，所以尽量不用非线性规划，对于（*）式这 样的条件，通常是引入0-1变量。
9
一汽车厂生产小中大三种类型的汽车已知各类型每辆车对钢材劳动时间的需求利润以及每月工厂钢材劳动时间的现有量如下表所示试制定月生产计划使工一汽车厂生产小中大三种类型的汽车已知各类型每辆车对钢材劳动时间的需求利润以及每月工厂钢材劳动时间的现有量如下表所示试制定月生产计划使工1厂的利润最大
2.汽车厂生产计划 (1)问题的提出：一汽车厂生产小、中、大三
改为：x1, x2 , x3 0或 80
相应的模型化为：
5
《运筹学》实验二整数规划问题（学生版）
《运筹学》实验二整数规划问题（学生版）
运筹学实验二——整数规划
1、求以下整数规划问题的最优解（1）
（2）
≥≥+≤++=为整数
212121
2121,0,205462..x x x x x x x x t s x x MaxZ 2、求以下0，1规划问题的最优解
=≤+≤
+≤++≤-++-=1
0,,6
43
4422..5233
213
22
13213
21321或x x x x
x x x x x x x x x t s x x x MaxZ
3、某校组织4人篮球队，要从6人名单中选择总身高最高的首发阵容。
队员名单如表2-1所示。
表2-1
出场阵容必须满足下列约束条件：（1）至少有一个后卫；
（2）2号与5号队员中必须保留一个不出场；（3）中锋只能出一个；
（4）如果2号与4号两个人都出场，则6号不能出场。
≥≤+≤++=且取整数0,702075679..90402
1212121x x x x x x t s x x MaxZ
要求：（1）写出这个问题的整数规划模型；
（2）用WinQSB软件求出最优阵容。
4、有4个工人。
要指派他们分别完成4项工作。
每人做各项工作所消耗的时间(h) 如下表，问如何分派工作，使总的消耗时间最少？。
整数规划作业
整数规划作业
1、某企业在A1地已经有一个工厂，其产品生产能力为30千箱，为了扩大生产，打算在A
2、 A
3、 A
4、 A5地中再选几个地方建厂。
已知在A2地建厂的固定成本175千元，在A3地建厂的固定成本300千元，在A4地建厂的固定成本375千元，在A5地建厂的固定成本500千元，另外， A1的产量，A2 、 A3、 A4、 A5建成厂的产量，那时销地的销量以及产地到销地的单位运价（每千箱运费）如表。
（1）问在哪建厂，在满足销量的前提下，使得总的固定成本和总的运费之和最小；
（2）如果由于政策要求必须在A2、 A3两地建一个厂，应在哪几个地方建？
2、某公司在今后5年内考虑给以下项目投资，已知：
项目A ：从第一年到第四年每年年初需要投资，并于次年回收本利115%，但要求第一年投资最低金额为4万元，第二、三、四年不限；
项目B ：从第三年初需要投资，到第五年末能回收本利128%，但规定最低投资额为3万元，最高为5万元；
项目C ：第二年年初需要投资，到第五年末能回收本利140%，但规定其投资额或为2万元或为4万元，或为6万元或为8万元。
项目D ：五年内每年初可购买公债，于当年归还，并加利息6%，此项投资额不限。
该部门现有资金10万元，问：应如何确定给这些项目的每年投资额，使到第五年拥有的资金本利总额最大？
20
20
30
销量（千箱）
40
2 4 10 A5
30 5 7 9 A4 20 4 3 4 A3 10 3 2 5 A2 30 3 4 8 A1 产量（千箱） B3 B2 B1。
整数规划习题
1. 用分枝定界法求解整数规划模型：
且为整数
0,3/1+2-14
/51)14/9(+..+=max 2121212
1≥≤≤x x x x x x t s x x Z
2. 某水电开发公司计划在某一流域的干、支流上投资建设若干座水电站。
共有7个技术可行的站点可供选择，其中干流的两个站点A 1，A 2中至少选择1个，支流1的3个站点A 3，A 4，A 5中至多选择两个，支流2的两个站点A 6，A 7中至少选择1个。
站点A i 的投资c i 及年利润b i 如表1所示，在投资总额不超过1亿元的情况下，应选择哪几个电站投资建设才能使得公司的年利润最大？
3. 有4人（A 1，A 2，A 3，A 4）被指派完成4项任务（B 1，B 2，B 3，B 4），各人完成任务所需时间如表所示。
如何指派才能使得完成任务的总时间最小？列出数学模型并求解。
4. 用割平面法求解：
为整数
212212121,0≥,25+46≤+2+=max x x x x x x x x x Z 1x 0≤
5. 某地区有5个考虑的投资项目，其期望收益与需投资额见表3。
由于各工程项目之间有一定联系，Ⅰ、Ⅲ和Ⅴ 之间必须选择一种更，而且也仅需要选择一项；同样Ⅱ和Ⅵ 之间也只能选择一项，并且必须选择一项；Ⅲ和Ⅳ 两个项目是密切相连的，项目Ⅲ的实施必须以项目Ⅳ的实施为前提条件。
该地区共筹集到资金15万元，究竟应该选择哪些项目，其期望纯收益才能最大呢？
表3 各工程项目的收益及投资。
动态规划例1-求解下列整数规划的最优解
例1 求解下列整数规划得最优解:()123123max 45634510..01,2,3,j j Z x x x x x x s t x j x =++++⎧⎪⎨=⎪⎩≤≥为整数.解 （1）建立动态规划模型:阶段变量: 将给每一个变量 赋值瞧成一个阶段, 划分为3个阶段, 且阶段变量k=1,2,3. 设状态变量 表示从第 阶段到第3阶段约束右端最大值, 则 设决策变量k x 表示第k 阶段赋给变量k x 得值(1,2,3)k =、 状态转移方程: 阶段指标: 基本方程；()(){}()3113,2,1044()max ,()0.s k k k k k k k k k k x a f s u s x f s f s ++⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎧=+⎪⎨⎪=⎩≤≤ 其中1233,4, 5.a a a === 用逆序法求解: 当3k =时，()(){}{}33333443330055max 6max 6,ssx x f s x f s x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=+=≤≤≤而 表示不超过 得最大整数。
因此, 当 时, ；当 时, 可取0或1；当 时, 可取0, 1, 2,由此确定 现将有关数据列入表4.1中当 时, 有()(){}(){}22222332322220044max 5max 54,ssx x f s xf s xf s x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=+=+-≤≤≤≤而 。
所以当 时, ；当 时, ；当 时 。
由此确定 。
现将有关数据列入表4.2中、当时,有()(){}(){}11111221211110033max 4max 43,ssx x f s x f s x f s x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=+=+-≤≤≤≤例5 用动态规划方法解下列非线性规划问题⎩⎨⎧=≥≤++⋅⋅=3,2,1 0 max 3213221i x c x x x x x x z i 解: 解决这一类静态规划问题, 需要人为地赋予时间概念, 从而将该问题转化为多阶段决策过程。
3.4整数规划应用案例分析
四、分布系统设计
例5．（P73练习4.8）某企业在 A1 地已有一个工厂，其产品的生产 能力为 30 千箱，为了扩大生产，打算在 A2，A3，A4，A5地中 再选择几个地方建厂。已知在 A2 ， A3，A4，A5地建厂的固定 成本分别为175千元、300千元、375千元、500千元，另外， A1 产量及A2，A3，A4，A5建成厂的产量，那时销地的销量以及产 地到销地的单位运价(每千箱运费)如下表所示。
三、指派问题（分配问题）(Assignment Problem) 有 n 项不同的任务，恰好 n 个人可分别承担这些任务，但由 于每人特长不同，完成各项任务的效率等情况也不同。现假设必须 指派每个人去完成一项任务，怎样把 n 项任务指派给 n 个人，使 得完成 n 项任务的总的效率最高，这就是指派问题。 例3(P65例4.6)某游泳队拟选用A、B、C、D四名运动员组成一个 4×100混合游泳接力队，参加运动会，他们的100m自由泳，蛙泳，蝶 泳，仰泳的成绩如下表，如何安排游泳才能最大可能得取得好成绩？
二、固定成本问题 例2．高压容器公司制造小、中、大三种尺寸的金属容器， 所用资源为金属板、劳动力和机器设备，制造一个容器所需 的各种资源的数量如表所示。不考虑固定费用，每种容器 售出一只所得的利润分别为 4万元、5万元、6万元，可使用的 金属板有500吨，劳动力有300人/月，机器有100台/月，此外 不管每种容器制造的数量是多少，都要支付一笔固定的费用： 小号是l00万元，中号为 150 万元，大号为200万元。现在要制 定一个生产计划，使获得的利润为最大。
1.06x1.06x4D，于是 x5D = 1.15x3A+ 1.06x4D。 关于项目A的投资额规定: x1A ≥ 40000y1A ，x1A ≤ 200000y1A ， 200000是足够大的数；保证当 y1A = 0时， x1A = 0 ；当y1A = 1时，
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
〈运筹学〉补充例题例题 1.1 某工厂可以生产产品A和产品B两种产品。
生产单位产品A和B所需要的机时、人工工时的数量以及可利用资源总量由下表给出。
这两种产品在市场上是畅销产品。
该工厂经理要制订季度的生产计划，其目标是使工厂的销售额最大。
产品A 产品B 资源总量机器（时） 6 8 120人工（时） 10 5 100产品售价（元） 800 300MAX 800X1 +300X2ST6X1 +8X2 <= 12010X1 +5X2 <= 100X1, X2 >=0例题 1.2该工厂根据产品A和产品B的销售和竞争对手的策略，调整了两种产品的售价。
产品A和B的价格调整为600元和400元。
假设其它条件不变，请你帮助该工厂经理制订季度的生产计划，其目标仍然是使工厂的销售额最大。
X 600X1 +400X2ST6X1 +8X2 <= 12010X1 +5X2 <= 100X1, X2 >=0例题 1.3由于某些原因，该工厂面临产品原料供应的问题。
因此，工厂要全面考虑各种产品所需要的机时、人工工时、原材料的资源数量及可用资源的总量、产品的售价等因素。
有关信息在下表中给出。
产品A 产品B 资源总量机器（时） 6 8 120人工（时） 10 5 100原材料(公斤) 11 8 130产品售价（元） 600 400MAX 600X1 +400X2ST6X1 +8X2 <= 12010X1 +5X2 <= 10011X1 +8X2 <= 130X1, X2 >=0例题 1.４随着企业改革的不断深化，该企业的经理的管理思想产生了变化，由原来的追求销售额变为注重销售利润，因此，要考虑资源的成本。
工厂的各种产品所需要的机时、人工工时、原材料的资源数量及可用资源的总量、产品的售价和各种资源的价格等因素。
有关信息在下表中给出。
产品A 产品B 资源总量资源价格（元／单位）机器（时） 6 8 120 ５人工（时） 10 5 100 20原材料(公斤) 11 8 130 1产品售价（元） 600 400设： J为所用机器资源数量（小时）；R为所用人力资源数量（小时）；L为所用原材料数量（公斤）MAX 600X1 +400X2 -CST6X1 +8X2 - J = 010X1 +5X2 - R = 011X1 +8X2 - L = 0J <= 120R <= 100L <= 1305J +20R +1L - C = 0x1, x2, J,R,L>=0例题 1.5 学习了管理课程后，该企业的经理明白了产品的成本包括变动成本和固定成本。
如果生产产品A，工厂要花费1000元的固定成本，如果生产产品B，工厂要花费800元的固定成本。
假设其它情况不变，请你为该工厂设计一个使利润最大化的生产方案。
!在例1_4的基础上改进.!设:Y1,Y2是0,1变量。
若Y1=1,表示生产A,若Y1=0,表示不生产A;! 若Y2=1,表示生产B,若Y2=0,表示不生产B.!分析:如果X1>0,应该让Y1=1。
为此，选一个充分大的数（此处选1000），! 加约束 X1<=1000Y1。
! 如果X1=2，Y1必须为1，不能为零。
! 若X1=0，Y1既可以为零,又可以等于1；由于目标函数越大越好，! Y1的系数为负数，所以Y1选择等于零。
!约束 X1<=1000Y1, 变形为 1000Y1-X1>=0；同理，有1000Y2-X2>=0。
MAX 600X1 +400X2 -C -1000Y1 -800Y2ST6X1 +8X2 - J = 010X1 +5X2 - R = 011X1 +8X2 - L = 0J <= 120R <= 100L <= 1305J +20R +1L - C = 01000Y1-X1>=01000Y2-X2>=0ENDINT Y1INT Y2见LINDO《IP例1_5.LTX》例题 1.6 通过求解例1.4和1.5中的线性规划模型，从结果分析可知原材料已经用尽,是稀缺资源。
假设，该原材料在总量100公斤以内，按正常价1元/公斤供应；若超过100公斤，超过部分按1.2元/公斤供应。
假设其它情况不变，请你为该工厂设计一个使利润最大化的生产方案。
!在例1_5的基础上改进.!将使用的原材料分为两部分L1和L2。
L1表示100公斤以内使用的原材料数量，L2表示超过100公斤使用的原材料数量。
MAX 600X1 +400X2 -C -1000Y1 -800Y2ST6X1 +8X2 - J = 010X1 +5X2 - R = 011X1 +8X2 - L1 -L2 = 0J <= 120R <= 100L1 <= 1005J +20R +1L1 +1.2L2- C = 01000Y1-X1>=01000Y2-X2>=0ENDINT Y1INT Y2见LINDO《IP例1_6.LTX》例题 1.7 假设，该原材料在市场上容易买到，是买方市场。
原料生产厂家实行如下的销售策略：如果购买100公斤以下，按正常价1元/公斤供应；若超过100公斤，超过部分按0.8元/公斤供应。
假设其它情况不变，请你为该工厂设计一个使利润最大化的生产方案。
!此题看似与例1.6相同，但是，如果将例1_6中的1.2改为0.8，! 求解后会出现出乎意料的结果：L1=0, L2=120，! 即不使用100公斤以内的，专使用超过100公斤的原材料。
!为了解决此问题，增加一个0-1变量Y.! Y=0，L1没有达到100公斤(L1 <= 100)；Y=1, L1已经达到100公斤。
!若L1<100, 必须有Y=0。
添约束：L1>=100Y,! 只有L1=100时Y才可以等于1。
! （变换后为：100Y-L1<=0）!若Y=1, L2可以取正数，添约束：L2<=10000Y,! 其中10000是考虑到其它资源，L2不可能超过的数。
! （变换后为：L2-10000Y<=0）MAX 600X1 +400X2 -C -1000Y1 -800Y2ST6X1 +8X2 - J = 010X1 +5X2 - R = 011X1 +8X2 - L1 -L2 = 0J <= 120R <= 100L1 <= 1005J +20R +L1 +0.8L2- C = 01000Y1-X1>=01000Y2-X2>=0100Y-L1<=0L2-10000Y<=0ENDINT Y1INT Y2INT Y见LINDO《IP例1_7.LTX》是否可以直接写 L1>=100？例题 1.8 假设，该原材料是买方市场。
原料生产厂家实行如下的销售策略：如果购买100公斤以下，按正常价1元/公斤供应；若超过100公斤，则全部按0.8元/公斤供应。
假设其它情况不变，请你为该工厂设计一个使利润最大化的生产方案。
!在例1.7的基础上解此题。
考虑0-1变量Y. Y=0，L1没有达到100公斤；Y=1, L1已经达到100公斤。
! 若L1达到了100公斤（Y=1），L1应该退回100公斤的差价，共计20元；若没有达到100公斤（Y=0），不退。
MAX 600X1 +400X2 -C -1000Y1 -800Y2 +20YST6X1 +8X2 - J = 010X1 +5X2 - R = 011X1 +8X2 - L1 -L2 = 0J <= 120R <= 100L1 <= 1005J +20R +L1 +0.8L2- C = 01000Y1-X1>=01000Y2-X2>=0100Y-L1<=0L2-10000Y<=0ENDINT Y1INT Y2INT Y见LINDO《IP例1_8.LTX》!在例1.7的基础上解此题。
考虑0-1变量Y. Y=0，L1没有达到100公斤；Y=1, L1已经达到100公斤。
!改变IP例1_8.ltx中的模型，只用原始数据，不用人工计算退回的钱。
!设C1是机器、人工的费用，C2是100公斤以内的材料费用，100公斤以上的材料费是0.8L2，在目标函数中。
!问题的难点是计算C2。
!用相互排斥的约束：! 约束1： 1L1 <= C2 +MY! 约束2： 0.8L1 <= C2 +M(1-Y)! 若Y=1，买够了前100公斤，约束1自然满足，从约束2看，C2至少是 0.8L1 !若Y=0，没有买够了前100公斤，约束2自然满足，从约束1看，C2至少是 1L1 !达到了约束的目的，又用原始数据。
变换后得下列模型。
求解后与原来得解相同。
MAX 600X1 +400X2 -C1 -C2 -0.8L2-1000Y1 -800Y2ST6X1 +8X2 - J = 010X1 +5X2 - R = 011X1 +8X2 - L1 -L2 = 0J <= 120R <= 100L1 <= 1005J +20R - C1 = 0L1 - C2 -10000Y<= 00.8L1 - C2 +10000Y<= 100001000Y1-X1>=01000Y2-X2>=0100Y-L1<=0L2-10000Y<=0ENDINT Y1INT Y2INT Y见LINDO《IP例1_8B.LTX》例题 4：生产布局问题某公司考虑在北京、上海、广州、武汉四个城市中选择1-2个城市建设销售集散库房，负责向华北、华中、华南三个地区供货。
每个库房每月可以处理货物1500件。
有关的发货费用、建库成本和需求量见下表：! 在满足需求的前提下，请设计一个成本（发货成本+仓库成本）最省的建库方案。
!!设Y1，Y2，Y3，Y4 = 0 或 1，分别表示是否在北京、上海、广州、武汉建立库房。
!设X12是从北京给华北的发货量，......,X44是武汉给东北的供货量。
MIN 45000Y1+50000Y2+70000Y3+40000Y4+CST!供货费用200X11+400X12+500X13+300X14+300X21+250X22+400X23+500X24+600X31+350X32+300X33+750X34+350X41+150X42+350X43+650X44-C=0!满足需求的约束X11+X21+X31+X41>=500X12+X22+X32+X42>=800X13+X23+X33+X43>=750X14+X24+X34+X44>=400!供给的约束!对北京有 X11+X12+X13+X14<=1500Y1，变形为X11+X12+X13+X14-1500Y1 <= 0X21+X22+X23+X24-1500Y2 <= 0X31+X32+X33+X34-1500Y3 <= 0X41+X42+X43+X44-1500Y4 <= 0! 在北京、上海、广州、武汉四个城市中选择1-2个城市Y1+Y2+Y3+y4<=2ENDINT Y1INT Y2INT Y3INT Y4例题 5：相互排斥的约束（在前面例题4的基础上，增加新的选择）某公司考虑在北京、上海、广州、武汉四个城市中选择1-2个城市建设销售集散库房，负责向华北、华中、华南三个地区供货。