北师大版高中数学必修3《三章 概率 2 古典概型 2.2建立概率模型》优质课教案_6
3.2.2 建立概率模型 课件 (北师大必修3) (2)
【规范解答】任取一个正整数，则该数的平方的末位数字
就是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9的平方的末位数字，
所有的结果为0、1、4、9、6、5，共有6种情况，故任取一
个正整数，该数的平方的末位数字是1的概率为 1 .
6
构建不同的概率模型解决问题
古典概率模型问题的解决方法 古典概率模型具有很强的实用性，同现实生活的联系也很 紧密，是近几年高考的热点内容，考查的形式灵活多样.解 决这类问题，首先要判定它是否属于古典概型，其关键仍 然是通过列举法去分析每个基本事件发生的个数，以及事 件A所包含的基本事件的个数，最后应用公式求解.
数，列表如下：
由表可知共有6×6=36种结果.
(2)若用(a,b)来表示两枚骰子向上的面的点数，则点数之
和是3的倍数的结果有：
（1,2），（2,1），（1,5），（5,1），（2,4）， （4,2），（3,3），（4,5），（5,4），（3,6）， （6,3），（6,6）共12种. （3）两枚骰子点数之和是3的倍数的概率： P=
事件A包含事件：（1，2），（1，3）；
（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）； （3，2），（3，3），（3，4），（3，5）共10个
由古典概型得P(A)=
10 5 = . 12 6
【审题指导】弄懂“传了三次”是怎么一回事及不重不漏列
出所有的基本事件是解答本题的关键，本题的基本事件可用 树状图全部列出，再观察所求事件包含的基本事件即可 .
【规范解答】依据题意画出树状图如图所示：
………………………………………………………………8分 由上图可知，共有27种结果，其中经过三次传球球仍传回 到甲的手中有6种结果，故所求概率为 6 2 . ………12分
(北师大版)数学必修三：3.2.2《建立概率模型》ppt课件
1.古典概型的特点
（1）试验的所有可能结果(即
基本事件)只有有限个,每次试验只出现其中的一 个结果.（2）每一个结果出现的可能性相同. 2.古典概型的概率公式
事件A包含的可能结果数 m P ( A) 试验的所有可能结果数 n .
3.列表法和树状图
1. 从集合 {1,2,3,4,5} 的所有子集中任取一个, 这个集合恰是集合 {1,2,3}
所有可能的结果如下:
2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2
1
2 2 1 2 2 1
2 2 2 1 1 2
1 2 1
1 2 1 1
2 1 1 1
1
2 2
2 1
1 2
2
12 1 P(A) 24 2
模型2：只考虑前两个人摸球的情况
1 2 1 2
1
2
1 2
1 2 1 2
1 2 1
2
1
2 1
2
6 1 P( A) 12 2
模型3：只考虑球的颜色
3 1 P(A) 6 2
模型4：只考虑第二个人摸出的球的情况
2 1 P(A) 4 2
评析:
模型1 利用树状图列出了试验的所有可能结果(共24种),
可以计算出4个人依次摸球的任何一个事件的概率.
模型2 利用试验结果的对称性,只考虑前两个人摸球的 情况,所有可能结果减少为12种. 模型3 只考虑球的颜色,对2个白球不加区分,所有可能 结果减少为6种. 模型4 只考虑第二个人摸出的球的情况,所有可能的结
【解析】按照上面的第四种方法：
1 P 4
1.甲、乙、丙、丁四位同学排队,其中甲站在排
北师大版必修三 建立概率模型 课件(35张)
(1)注意放回与不放回的区别． (2)在古典概型下，当基本事件总数为 n 时，每个基本事件发生的概率均为n1，要求事 件 A 的概率，关键是求出基本事件总数 n 和事件 A 所包含的基本事件数 m，再由古 典概型概率公式 P(A)＝mn 求事件 A 的概率．
3．编号分别为 A1，A2，…，A16 的 16 名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如 下：
丙)，(乙，丙)共 3 种；甲被选中的可能结果是(甲，乙)，(甲，丙)，共 2 种，所以 P(“甲
被选中”)＝23. 答案：C
3．从集合 A＝{2，3，－4}中随机选取一个数记为 k，从集合 B＝{－2，－3，4}中随 机选取一个数记为 b，则直线 y＝kx＋b 不经过第二象限的概率为________． 解析：依题意 k 和 b 的所有可能的取法有(2，－2)，(2，－3)，(2，4)，(3，－2)，(3， －3)，(3，4)，(－4，－2)，(－4，－3)，(－4，4)，共 9 种，当直线 y＝kx＋b 不经过 第二象限时，应有 k>0，b<0，满足条件的取法有(2，－2)，(2，－3)，(3，－2)，(3， －3)，共 4 种，所以所求概率为49. 答案：4
上”包含的基本事件的个数共有( )
A．7 个
B．8 个
C．9 个
D．10 个
解析：符合要求的基本事件是(－9，0)，(－7，0)，(－5，0)，(－3，0)，(－1，0)，
(2，0)，(4，0)，(6，0)，(8，0)．
答案：C
3．下列概率模型： ①在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点； ②某射手射击一次，可能命中 0 环，1 环，2 环，…，10 环； ③某小组有男生 5 人，女生 3 人，从中任选 1 人做演讲； ④一只使用中的灯泡的寿命长短； ⑤中秋节前夕，某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量，给该品牌月饼评“优” 或“差”． 其中属于古典概型的是________．
高中数学(北师大版)必修3 第三章 概 率 §2 2.1 古典概型的特征和概率计算公式 2.2 建立概率模型
栏目 导引
第三章
概ห้องสมุดไป่ตู้
率
2．古典概型的概率计算公式
几个基本事件 对于古典概型，通常试验中的某一事件 A 是由______________ 所有可能结果 (基本事件)数为 n，随机事 组成，如果试验的______________ 基本事件数 为 m， 件 A 包含的____________ 那么事件 A 的概率规定为 P(A) m 事件A包含的可能结果数 n ． ＝ ＝_____ 试验的所有可能结果数
解析：选 C.根据古典概型的两个特征进行判断．A 中两个基本 事件不是等可能的，B 中基本事件的个数是无限的，D 中“中 靶”与“不中靶”不是等可能的， C 符合古典概型的两个特征， 故选 C.
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第三章
概
率
从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率 为( 1 A. 2 2 C. 3 ) 1 B. 3 D.1
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第三章
概
率
基本事件的三种探求方法 (1)列举法：把试验的全部结果一一列举出来．此方法适合于较 为简单的试验问题． (2)列表法：将基本事件用表格的方式表示出来，通过表格可以 弄清基本事件的总数， 以及要求的事件所包含的基本事件数． 列 表法适用于较简单的试验的题目，基本事件较多的试验不适合 用列表法．
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第三章
概
率
基本事件的计数问题 做投掷 2 颗骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中 x 表 示第一颗骰子出现的点数，y 表示第 2 颗骰子出现的点数．写 出： (1)试验的基本事件； (2)事件“出现点数之和大于 8”包含的基本事件．
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第三章
概
率
解：(1)这个试验的基本事件共有 36 个，如下：(1，1)，(1，2)， (1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2， 4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)， (3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5， 1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)， (6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)． (2)事件“出现点数之和大于 8”包含以下 10 个基本事件：(3， 6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)， (6，5)，(6，6)．
《建立概率模型》课件(北师大版必修3)
问题导入：
1.单选题是标准化考试中常用的题型. 如果考生不会做,他从4个备选答案中 随机地选择一个作答,他答对的概率 1/4 是____.
2. 从集合 {1,2,3,4,5} 的所有子集 中任取一个, 这个集合恰是集合 ８/32 {1,2,3} 的子集的概率是____.
3.抛掷两枚均匀的骰子,出现数字之积 为偶数与出现数字之积为奇数的概率 27/36 9/36 分别是_____、______.
2 1
模型2 利用试验结果的对称性,因为是计算“第二个人摸 到红球”的概率，我们可以只考虑前两个人摸球的情 况,
2 1 1 2 2
1
1 2 1
1 2 2 2
2 1 1
这个模型的所有可能结果数为12，第二个摸到红球的结果有6种：
P(A)=6/12=0.5
模型3 只考虑球的颜色，4个人按顺序摸出一个 球所有可能结果
(2)100个人依次抓阄决定1件奖品的归属,求最 后一个人中奖的概率.
分析:只考虑最后一个抓阄的情况,他可能抓到 100个阄中的任何一个,而他抓到有奖的阄的结 果只有一种,因此,最后一个人中奖的概率为 1/100.
小结： 一般来说,在建立概率模型时把什么 看作是基本事件,即试验结果是人为规定 的,也就是说,对于同一个随机试验,可以根 据需要,建立满足我们要求的概率模型。
3.2.2 建立概率模型
温故知新：
1.古典概型的概念 1)试验的所有可能结果(即基本事件)只有有限个,每次 试验只出现其中的一个结果; 2)每一个结果出现的可能 性相同。 2.古典概型的概率公式
m( A包 含 的 基 本 事 件 数 ) P( A) n( 基 本 事 件 总 数 )
3.列表法．
一般来说,在建立概率模型时把什么看作是 基本事件,即试验结果是人为规定的,也就是说,对 于同一个随机试验,可以根据需要,建立满足我们 要求的概率模型
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2.从含有两件正品a1，a2和一件次品b的3件产品中每次任取一件，每次
取出后不放回，连续取两次. （1）求取出的两件产品中恰有一件次品的概率； （2）若将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”， 则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是多少？
解：（1）每次取一件，取出后不放回地连续取两次，所有的基本事 件共有6个，分别是（a1，a2），（a1，b），（a2，a1），（a2，b）， （b，a1），（b，a2），其中小括号内第一个字母表示第1次取出 的产品，第二个字母表示第2次取出的产品，可以确定这些基本事件 的出现是等可能的. 用A表示“取出的两件产品中恰有一件次品”这一事件，则A包含的 基本事件是（a1，b），（a2，b），（b，a1），（b，a2）. 事件A由4个基本事件组成，所以P（A）＝ 4 2 .
（1）一共可能出现多少种结果？ （2）出现“2枚正面朝上，1枚反面朝上”的结果有多少种？ （3）出现“2枚正面朝上，1枚反面朝上”的概率是多少？
【解题提示】 分析基本事件→按照先“壹分”，再“贰分”，最后 “伍分”的顺序分类→列举出此试验的所有可能结果. 【解】 （1）先后抛掷壹分、贰分、伍分硬币时，可能出现的结果 共有8种，即（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正）， （反，正，正），（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正）， （反，反，反）. （2）用A表示事件“2枚正面朝上，1枚反面朝上”，所有结果有3种， 即（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）.
钟）作为样本分成5组，如下表所示：
组别
候车时间
人数
一
［0，5）
2
二
［5，10）
6
三
［10，15）
4
2021学年高中数学第三章概率3.2.2建立概率模型学案含解析北师大版必修3.doc
2．2 建立概率模型知识点建立不同的古典概型[填一填]一般地，在解决实际问题中的古典概型时，对同一个古典概型，把什么看作一个基本事件(即一次试验的结果)是人为规定的，也就是从不同的角度去考虑，只要满足以下两点：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果；②每个试验结果出现的可能性相同．就可以将问题转化为不同的古典概型来解决，所得可能结果越少，那么问题的解决就变得越简单．[答一答]应该从哪个角度来建立古典概型？提示：一次试验中，常常不会确定基本事件，即对于把什么看作是古典概型中的基本事件会感到困难，其突破方法是结合实例积累经验，循序渐进地掌握．例如，一枚均匀的硬币连续抛掷2次，向上的面有(正，正)、(正，反)、(反，正)、(反，反)4种等可能结果，这是一个古典概型；如果只考虑两次抛掷向上的面是否相同，那么可以认为试验只有两个结果：“向上的面相同”“向上的面一正一反”，这两个结果也是等可能的，也是古典概型；而把出现“2次正面”“2次反面”“1次正面、1次反面”当作基本事件时，就不是古典概型．由此可见，无论从什么角度来建立古典概型，都要满足古典概型的两个特征：①试验的所有可能结果只有有限个；②每一个试验结果出现的可能性相同．否则，建立的概率模型不是古典概型．1．古典概型是一种最基本的概型，在应用公式P (A )＝m n时，关键是正确理解基本事件与事件A 的关系，从而求出m 、n .2．求某个随机事件A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数常用的方法是列举法(画树状图和列表)，注意做到不重不漏． 3．对于用直接方法难以解决的问题，可以求其对立事件的概率，进而求得其概率，以降低难度.类型一 随机事件中基本事件数的计算【例1】 同室4人各写一张贺卡，先集中起来，则每人从中拿一张别人送出的贺卡的分配方法有多少种？【思路探究】 将四张卡片分别编号，再利用树状图列举出来．【解】 将4张贺卡编号为1,2,3,4，将4个人编号为1,2,3,4，进行不对号排列，画出如图所示的树状图，则共有9种分配方式．规律方法 这是一个不对号入座问题，可以计算得3个人不对号入座的方法有2种；4个人不对号入座的方法有9种．一个袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球，从中先后取出2个球，共有多少种不同的结果？解：解法一：从袋中先后取出2个球，如记(红，白)表示从袋中先取出红球，再取出白球，则所有可能的结果为共有12种不同的结果．解法二：画树状图如图．共有12种不同的结果．类型二概率模型的建立【例2】抛掷两枚质地均匀的骰子，求：(1)点数之和是7的概率；(2)出现两个4点的概率．【思路探究】首先找出所有基本事件，然后利用古典概型的概率公式进行计算．【解】作图如下，从图中容易看出，所有基本事件与点集S＝{(x，y)|x∈N*，y∈N*,1≤x≤6,1≤y≤6}中的元素一一对应．因为S中点的总数是6×6＝36个，所以基本事件总数n＝36.。
高中数学北师大版必修3第三章概率第二节古典概型《古典概型的概率建模》ppt课件
评析:法(一) 利用树状图列出了试验的所 有可能结果(共24种),可以计算4个人依次摸 球的任何一个事件的概率;
法(二) 利用试验结果的对称性,只考虑前两 个人摸球的情况,所有可能结果减少为12种
法(三)只考虑球的颜色,对2个红球不加区分, 所有可能结果减少6种
法(四)只考虑第二个人摸出的球的情况,所 有可能结果变为4种,该模型最简单！
10 5
2.从由1，2，3三个数字组成的无重复数字的两位数中任取一
个数，恰为奇数的概率是( )
（A）1
（B）1
（C）1
（D）2
6
3
2
3
【解析】选D.只考虑个位的数字即可，因为个位数所有可
能的结果有3个，而是奇数的结果有2个，故所求概率为 2 .
3
3.盒中有1个黑球和9个白球，它们除颜色不同外，其他方面
1 思1情和况路212用一，树：将1222 状视2个图每2212黑直个球2观球编表均11号不示1同。和1122 个2；体12号
1
2
2
2
1
1
1
2
1
1
1
2
2
2
1
2 21
1
1
1
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
所 事有件基24本个；P(
A)
12 24
1 2
例：口袋中装有2个白球和2个黑球，它们除颜色外 完全相同，4个人按顺序依次从中摸出一球。 试计算第二个人摸到白球的概率。
回顾
古典概型的概率求法，解题时要注意两点： （1）古典概型的使用条件：试验结果的 有限性和所有结果的等可能性。 （2）古典概型的解题步骤； ①判断是否为古典概型； ②求出总的基本事件数； ③求出事件A所包含的基本事件数， 然后利用公式P(A)= 事件A包含的可能结果数
高中数学北师大版必修三课件：第3章 2.2 建立概率模型
【解析】 (1)√，由古典概型的特征知(1)正确． (2)√，用树状图进行列举直观形象． (3)×，结果越多问题就越复杂． (4)√，由古典概型的概率公式易知正确．
【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)√
[ 质疑· 手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问 2：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问 3：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________
阶 段 一
阶 段 三
§ 2 2.2
阶 段 二
古典概型 建立概率模型
学 业 分 层 测 评
1．进一步掌握古典概型的概率计算公式．(重点) 2．对于一个实际问题，尝试建立不同的概率模型来解决．(重点、难点)
[ 基础· 初探] 教材整理 概率模型
阅读教材 P134～P137“思考交流”以上部分，完成下列问题． 由概率模型认识古典概型 (1) 一般来说，在建立概率模型时，把什么看作是一个基本事件是人为规定 的．如果每次试验有一个并且只有一个基本事件出现，只要基本事件的个数是
北师大版必修三 古典概型的特征和概率计算公式 建立概率模型 课件(45张)
①将得分在对应区间内的人数填入相应的空格： 区间 10～20 20～30 30～40 人数
②从得分在 20～30 内的运动员中随机抽取 2 人， a．用运动员编号列出所有可能的抽取结果； b．求这 2 人得分之和大于 50 的概率．
[变式训练]
2．(1)一个不透明的盒子里有质地、大小完全相同的 5 个球，编号分别为
1,2,3,4,5，甲、乙两人玩一种游戏：甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸
一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢．那么甲赢的
概率是( )
13
12
A.25
B.25
1 C.2
D．以上均不对
(2)用红、黄、蓝三种不同颜色给图中 3 个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种 颜色．
[自主练习] 1．一个家庭有两个小孩，则所有可能的基本事件有( ) A．(男，女)，(男，男)，(女，女) B．(男，女)，(女，男) C．(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女) D．(男，男)，(女，女) 解析： 两个孩子有先后出生之分． 答案： C
2．下列试验中是古典概型的是( ) A．在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽 B．口袋里有 2 个白球和 2 个黑球，这 4 个球除颜色外完全相同，从中任取 一球 C．向一个圆面内随机地投一个点，该点落在圆内任意一点都是等可能的 D．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中 10 环，命中 9 环，…， 命中 0 环
题型三 与古典概型有关的综合问题 把一枚骰子抛 2 次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为 a， 第二次出现的点数为 b.试就方程组ax＋x＋2by＝y＝23 ，解答下列各题： (1)求方程组只有一个解的概率； (2)求方程组只有正数解的概率．
高中数学 第三章 概率 2.2 建立概率模型教案 北师大版必修3-北师大版高一必修3数学教案
2.2 建立概率模型整体设计教学分析本节教材通过例2的四种模型的所有可能结果数越来越少，调动起学生思考探究的兴趣；教师在教学中要注意通过引导学生体会不同模型的特点以及对各种方法进行比较，提高学生分析和解决问题的能力.三维目标1.使学生能建立概率模型来解决简单的实际问题，提高学生分析问题和解决问题的能力.2.通过学习建立概率模型，培养学生的应用能力.重点难点教学重点：建立古典概型.教学难点：建立古典概型.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.计算事件发生概率的大小时，要建立概率模型，把什么看成一个基本事件是人为规定的.今天我们学习如何建立概率模型，教师点出课题.思路2.解决实际应用问题时，要转化为数学问题来解决，即建立数学模型，这是高中数学的重点内容之一，也是高考的必考内容，同样解决概率问题也要建立概率模型，教师点出课题.推进新课新知探究提出问题1.回顾解应用题的步骤？2.什么样的概率属于古典概型？讨论结果：1.解应用题的一般程序：①读：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一关是基础.②建：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型.熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键的一关.③解：求解数学模型，得到数学结论.一要充分注意数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过程.④答：将数学结论还原给实际问题的结果.2.同时满足以下两个条件的概率属于古典概型：①试验的所有基本事件只有有限个，每次试验只出现其中一个基本事件；②每一次试验中，每个基本事件出现的可能性相等.应用示例思路1例1 口袋里装有2个白球和2个黑球,这4个球除颜色外完全相同,4个人按顺序依次从中摸出一球.试计算第二个人摸到白球的概率.分析：我们只需找出4个人按顺序依次摸球的所有可能结果数和第二个人摸到白球的可能结果数.为此考虑用列举法列出所有可能结果.解法一：用A 表示事件“第二个人摸到白球”.把2个白球编上序号1,2;2个黑球也编上序号1,2.于是,4个人按顺序依次从袋中摸出一球的所有可能结果,可用树状图直观地表示出来(如图1).图1树状图是进行列举的一种常用方法.从上面的树状图可以看出,试验的所有可能结果数为24.由于口袋内的4个球除颜色外完全相同,因此,这24种结果的出现是等可能的,试验属于古典概型.在这24种结果中,第二个人摸到白球的结果有12种,因此“第二个人摸到白球”的概率P(A)=2412=21, 这与第一节的模拟结果是一致的.还可以建立另外的模型来计算“第二个人摸到白球”的概率.如果建立的模型能使得试验的所有可能结果数变少,那么我们计算起来就更简便.解法二：因为是计算“第二个人摸到白球”的概率,所以我们可以只考虑前两人摸球的情况.前两人依次从袋中摸出一球的所有可能结果可用树状图列举出来(如图2).图2从上面的树状图可以看出,这个模型的所有可能结果数为12,因为口袋里的4个球除颜色外完全相同,因此,这12种结果的出现是等可能的,这个模型也是古典概型.在上面12种结果中,第二个人摸到白球的结果有6种,因此“第二个人摸到白球”的概率P(A)=126=21. 这里,我们是根据事件“第二个人摸到白球”的特点,利用试验结果的对称性,只考虑前两人摸球的情况,从而简化了模型.还可以从另外一个角度来考虑这个问题.因为口袋里的4个球除颜色外完全相同,因此,可以对2个白球不加区别,对2个黑球也不加区别,这样建立的模型的所有可能结果数就会更少,由此得到例2的另一种解法.解法三：只考虑球的颜色,4个人按顺序依次从袋中摸出一球的所有可能结果可用树状图列举出来(如图3).图3试验的所有可能结果数为6,并且这6种结果的出现是等可能的,这个模型是古典概型.在这6种结果中,第二个人摸到白球的结果有3种,因此“第二个人摸到白球”的概率P(A)=63=21. 下面再给出一种更为简单的解法.解法四：只考虑第二个人摸出的球的情况,他可能摸到这4个球中的任何一个,这4种结果出现的可能性是相同的.第二个人摸到白球的结果有2种,因此“第二个人摸到白球”的概率P(A)=42=21. 点评：画树状图进行列举是计算结果个数的基本方法之一.解法一利用树状图列出了4个人依次从袋中摸出一球的所有可能结果，共有24种，其中第二个人摸到白球的结果有12种，因此算得“第二个人摸到白球”的概率为21. 解法二利用试验结果的对称性，只考虑前两人摸球的情况，所有可能结果减少为12种，简化了模型.解法三只考虑球的颜色，对2个白球不加区别，对2个黑球也不加区别，所有可能结果只有6种.解法四只考虑第二个人摸出的球的情况，所有可能结果变为4种，这个模型最简单.尽管解法二,三,四建立的模型在解决该问题时比解法一简便，但解法一也有它的优势，利用解法一可以计算出4个人顺次摸球的任何一个事件的概率，而解法二,三,四却不能做到.教师要提醒学生，本章古典概率的计算，解法一是最基本的方法.对于一个实际问题，有时从不同的角度考虑，可以建立不同的古典概型来解决.变式训练小明和小刚正在做掷骰子游戏，两人各掷一枚骰子，当两枚骰子点数之和为奇数时，小刚得1分，否则小明得1分.这个游戏公平吗？分析：计算双方获胜的概率，来判断游戏是否公平.解：设(x,y)表示小明抛掷骰子点数是x ，小刚抛掷骰子点数是y ，则该概率属于古典概型.所有的基本事件是：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3), (4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3), (6,4),(6,5),(6,6),即有36种基本事件.其中点数之和为奇数的基本事件有：(1,2),(1,4),(1,6),(2,1),(2,3),(2,5),(3,2),(3,4),(3,6),(4,1),(4,3),(4,5),(5,2),(5,4),(5,6),(6,1),(6,3),(6,5).即有18种.所以小刚得1分的概率是3618=21. 则小明得1分的概率是1-21=21. 则小明获胜的概率与小刚获胜的概率相同，游戏公平.思路2例1 （2007广东高考,文8）在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同.现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是( ) A.103 B.51 C.101 D.121 分析：用(x,y)(x≠y)表示从这5个球中随机取出2个小球上数字的结果，其结果有： (1，2)、(1，3)、(1，4)、(1，5)、(2，3)、(2，4)、(2，5)、(3，4)、(3，5)、(4，5)，即共有10种，取出的小球标注的数字之和为3或6的结果有：(1，2)、(1，5)、(2，4)，共有3种，所以取出的小球标注的数字之和为3或6的概率为P(A)= 103. 答案：A点评：求古典概型的概率的步骤：①利用枚举法计算基本事件的总数;②利用枚举法计算所求事件所含基本事件的个数;③代入古典概型的概率计算公式求得.变式训练1.（2007全国高考卷Ⅰ,文13）从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为(单位：g)：该自动包装机包装的食盐质量在497.5 g —501.5 g 之间的概率约为___________.分析：观察表格可得在497.5 g —501.5 g 之间的食盐有：498，501，500，501，499共5袋，则食盐质量在497.5 g —501.5 g 之间的概率P(A)=205=0.25. 答案：0.252.某校要从高一、高二、高三共2 007名学生中选取50名组成访问团，若采用下面的方法选取：先用分层抽样的方法从2 007人中剔除7人，剩下的2 000人再按简单随机抽样的方法进行，则每人入选的概率( ) A.不全相等 B.均不相等C.都相等且为200750D.都相等且为401 分析：按分层抽样抽取样本时，每个个体被抽到的概率是相等的，都等于200750. 答案：C知能训练1.袋中有4个红球，5个白球，2个黑球，从里面任意摸2个小球，不是基本事件.( )A.｛正好2个红球｝B.｛正好2个黑球｝C.｛正好2个白球｝D.｛至少一个红球｝分析：至少一个红球包含：一红一白或一红一黑或2个红球，所以｛至少一个红球｝不是基本事件，其他事件都是基本事件.答案：D2.抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷10 000次，那么第9 999次出现正面朝上的概率是( )A.99991B.100001C.100009999D.21 答案：D3.有4条线段,长度分别为1、3、5、7,从这四条线段中任取三条,则所取三条线段能够成一个三角形的概率是( )A.41B.31C.21D.52 答案：A4.（2007全国高考卷Ⅱ,文13）一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为____________.分析：按简单随机抽样抽取样本时，每个个体被抽到的概率是相等的，都等于1005,即201. 答案：201 5.某小组有5名女生，3名男生，现从这个小组中任意选出一名组长，则其中一名女生小丽当选为组长的概率是__________.答案：81 6.袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率：(1)事件A ：取出的两球都是白球；(2)事件B ：取出1个是白球，另1个是红球.分析：首先应求出任取两球的基本事件的总数，然后需分别求出事件A 的个数和事件B 的个数，运用公式求解即可.解：设4个白球的编号为1，2，3，4，两个红球的编号为5，6.从袋中的6个小球中任取两个的基本事件有：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)共15个.(1)取出的全是白球的基本事件，共有6个，即为(1，2)，(1，3)，(1，4)， (2，3)，(2，4)，(3，4)，∴取出的两个球都是白球的概率为P(A)=156. (2)取出一个红球，而另一个为白球的基本事件，共有8个，即为(1，5)，(1，6)， (2，5)，(2，6)， (3，5)，(3，6)， (4，5)，(4，6),∴取出的两个球一个是白球，另一个是红球的概率为P(B)=158. 拓展提升1.连续掷两次骰子，以先后得到的点数m,n 为点P(m,n)的坐标，设圆Q 的方程为x 2+y 2=17.(1)求点P 在圆Q 上的概率；(2)求点P 在圆Q 外部的概率.解：m 的值的所有可能是1，2，3，4，5，6，n 的值的所有可能是1，2，3，4，5，6，所以,点P(m ，n)的所有可能情况有6×6=36种，且每一种可能出现的可能性相等，本问题属古典概型问题.(1)点P 在圆Q 上只有P(1,4)，P(4,1)两种情况，根据古典概型公式，点P 在圆Q 上的概率为181362=. (2)点P 在圆Q 内的坐标是：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2),共有8点，所以点P 在圆Q 外部的概率为1-18133682=+. 2.将一枚质地均匀的硬币连续投掷3次，求以下事件的概率：(1)3次正面向上;(2)2次正面向上,1次反面向上.解：(1)将一枚质地均匀的硬币连续投掷3次的基本事件总数为8,又事件“3次正面向上”共有基本事件数为1,设事件“3次正面向上”为A, ∴P(A)=81. ∴事件“3次正面向上”发生的概率为81. (2)又事件“2次正面向上，1次反面向上”共有基本事件数为3,设事件“2次正面向上，1次反面向上”为B,∴P(B)=83. ∴事件“2次正面向上，一次反面向上”发生的概率为83. 课堂小结本节课学习了同一个古典概型的概率计算问题，可以建立不同的概率模型来解决. 作业习题3－2 A 组 7、8.设计感想本节教学设计过程中，注重培养学生的应用能力，以及古典概型的计算方法.在实际教学过程中，教师要根据学生的实际，重点指导学生如何建立古典概型.。
高中数学第三章概率3.2古典概型3.2.2建立概率模型课件北师大版必修3
1 6
1 3
1 2
2 3
解析:只考虑B的情况,B可能第一个、第二个、第三个通过主席台, 1 而B先于A,C通过的情况只有一种,故所求概率为 . 3 答案:B
1
2
3
4
5
4.20名高一学生,25名高二学生和30名高三学生在一起座谈,如果任 意抽其中一名学生讲话,抽到高一学生的概率是 ,抽到高 二学生的概率是 ,抽到高三学生的概率是 .
2
题型一
题型二
易错辨析 易错点:因建模错误而致错 【例2】 把一枚质地均匀的硬币连续抛掷2次,求出现两次正面 朝上的概率. 错解:把一枚质地均匀的硬币连续抛掷2次,面朝上的结果有“2次 正面”“2次反面”“1次正面,1次反面”3种,即有3个基本事件.所以出 1 现两次正面朝上的概率为 . 3 错因分析:因为“1次正面,1次反面”包含“一正一反”和“一反一正” 两种情况.所以出现“2次正面”“2次反面”“1次正面,1次反面”的可能 性是不相同的,因此,把这3个事件看成基本事件建立的模型不是古 典概型.
由古典概型的概率计算公式得所求概率 P(A)=
2 6
=
1 . 3
反思可以用传统解法,但是基本事件较多;还可以从另一角度巧 妙建立古典概率模型,使基本事件个数较少,理解、运算都较简便.
题型一
题型二
【变式训练1】 求一次投掷两粒颜色不同但质地均匀的骰子,出 现的点数之和为奇数的概率. 解法一:设A表示“出现的点数之和为奇数”,用(i,j)表示“第一粒骰 子出现i点,第二粒骰子出现j点”.显然共有36种可能结果.其中事件A 包括的(i,j)只能为(奇,偶)或(偶,奇),所以包含的基本事件个数为 1 3×3+3×3=18, 故 P(A)= . 2 解法二:设A表示“出现的点数之和为奇数”,若把一次试验的所有 可能结果取为:(奇,奇),(奇,偶),(偶,奇),(偶,偶),则它们也组成等概率 1 总体.基本事件总数为4,A包含的基本事件个数为2, 故 P(A)= .
北师大版高中数学必修三3.2.2建立概率模型.docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作2．2 建立概率模型[读教材·填要点]建立不同的古典概型在建立概率模型时，把什么看作是一个基本事件(即一个试验结果)是人为规定的．我们只要求：每次试验有一个并且只有一个基本事件出现．只要基本事件的个数是有限的，并且它们的发生是等可能的，就是一个古典概型．[小问题·大思维]甲、乙、丙三人站队，求甲站在最左边的概率．问题1，若只考虑甲的站法，基本事件的总数是多少？甲站在最左边的概率是多少？ 提示：3种；P ＝13.问题2，若只考虑最左边位置的站法，基本事件总数是多少？甲站在最左边的概率是多少？提示：3种；P ＝13.问题3，若考虑所有人的站法，基本事件的总数是多少？甲站在最左边的概率是多少？ 提示：6种；P ＝13.[研一题][例1] 从含有两件正品a 1，a 2和一件次品b 1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．[自主解答] 每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)．其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．总的事件个数为6，而且可以认为这些基本事件是等可能的．用A 表示“取出的两件中恰有一件次品”，这一事件，所以A ＝{(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)}．因为事件A 由4个基本事件组成，所以P (A )＝46＝23.[悟一法]“有放回”与“不放回”问题的区别在于：对于某一试验，若采用“有放回”抽样，则同一个个体可能被重复抽取，而采用“不放回”抽样，则同一个个体不可能被重复抽取．[通一类]1．一个盒子里装有完全相同的十个小球，分别标上1,2,3，…，10这10个数字，今随机地抽取两个小球，如果：(1)小球是不放回的； (2)小球是有放回的．求两个小球上的数字为相邻整数的概率． 解：设事件A ：两个小球上的数字为相邻整数．则事件A 包括的基本事件有：(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)，(6,7)，(7,8)，(8,9)，(9,10)，(10,9)，(9,8)，(8,7)，(7,6)，(6,5)，(5,4)，(4,3)，(3,2)，(2,1)共18个．(1)不放回取球时，总的基本事件数为90， 故P (A )＝1890＝945＝15.(2)有放回取球时，总的基本事件数为100， 故P (A )＝18100＝950.[研一题][例2] 某乒乓球队有男乒乓球运动员4名、女乒乓球运动员3名，现要选一男一女两名运动员组成混合双打组合参加某项比赛，试列出全部可能的结果；若某女乒乓球运动员为国家一级运动员，则她参赛的概率是多少？[自主解答] 由于男运动员从4人中任意选取，女运动员从3人中任意选取，为了得到试验的全部结果，我们设男运动员为A ，B ，C ，D ，女运动员为1,2,3，我们可以用一个“有序数对”来表示随机选取的结果．如(A,1)表示：第一次随机选取从男运动员中选取的是男运动员A ，从女运动员中选取的是女运动员1，可用列表法列出所有可能的结果．如下表所示，设“国家一级运动员参赛”为事件E .女结果 男12 3A (A,1) (A,2) (A,3)B (B,1) (B,2) (B,3)C (C,1) (C,2) (C,3) D(D,1) (D,2) (D,3)由上表可知，可能的结果总数是12个．设女运动员1为国家一级运动员，她参赛的可能事件有4个，故她参赛的概率为P (E )＝412＝13.[悟一法]本题列出全部可能的结果用的是列表法．列表法的优点是准确、全面、不易漏掉，对于试验的结果不是太多的情况，都可以采用此法，当然也可以用列举法． [通一类]2．在一次数学研究性实践活动中，兴趣小组做了两个均匀的正方体玩具，组长同时抛掷2个均匀的正方体玩具(各个面上分别标上数字1、2、3、4、5、6)后，让小组成员求：(1)两个正方体朝上一面数字相同的概率是多少？(2)两个正方体朝上一面数字之积为偶数的概率是多少？解：两个玩具正面向上的情况如下表： 1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)(1)事件“两个正方体朝上一面数字相同的情况”只有6种，故它的概率是636＝16.(2)事件“两个正方体朝上一面数字之积为偶数的情况”有27种，如表中有下划线的情况，即两个正方体朝上一面数字之积为偶数的概率为2736＝34.[研一题][例3] 口袋里装有两个白球和两个黑球，这四个球除颜色外完全相同，甲、乙、丙、丁四个人按顺序依次从中摸出一球，试求乙摸到白球，且丙摸到黑球的概率．[自主解答] 把两白球编上序号1、2，把两黑球也编上序号1、2，于是甲、乙、丙、丁四个人按顺序依次从袋内摸出一个球的所有可能结果，可用树形图直观地表示出来如下：从上面的树状图可以看出，试验的所有可能结果数为24，乙摸到白球，且丙摸到黑球的结果有8种，则P ＝824＝13.[悟一法]当基本事件较多、较为复杂时采用树状图，可以很直观的对事件进行分类、枚举，准确地找出所有的基本事件．[通一类]3．甲、乙两同学下棋，胜一盘得2分，和一盘各得1分，负一盘得0分．连下三盘，得分多者为胜，求甲获胜的概率．解：甲同学的胜负情况画树状图如下：每盘棋都有胜、和、负三种情况，三盘棋共有3×3×3＝27种情况．设“甲获胜”为事件A ，甲获胜的情况有：三盘都胜，得6分有1种情况，两胜一和得5分有3种情况，两胜一负得4分有3种情况，一胜两和得4分有3种情况，共10种情况．故甲获胜的概率为P (A )＝1027.任意抛掷两枚质地均匀的骰子，计算： (1)出现点数相同的概率； (2)出现点数之和为奇数的概率；[错解] (1)点数相同，是指同为1点，2点，…，6点，其中之一的概率是16.(2)点数和为奇数，可取3,5,7,9,11，共5种；点数之和为偶数，可取2,4,6,8,10,12，共6种．于是出现点数之和为奇数的概率为55＋6＝511. [错因] (1)原事件是要求在抛掷的所有结果中出现点数同为1,2,3,4,5,6的概率，而不是点数相同时，其中之一的概率；(2)点数之和为奇数和偶数的11种情况不是等可能事件，如点数之和为2只出现一次，为(1,1)；点数之和为3出现2次，为(2,1)，(1,2)．[正解] (1)任意抛掷两枚骰子，由于骰子质地均匀，故可以看成等可能事件，其结果可表示为数组(i ，j )(i ，j ＝1,2，…，6)，其中两个数i ，j 分别表示两枚骰子出现的点数，共有36种结果．其中点数相同的数组为(i ，j )(i ＝j ，i ，j ＝1,2，…，6)，共有6个结果，故出现点数相同的概率为636＝16.(2)出现的点数之和为奇数，从而由数组(奇，偶)和(偶，奇)组成(如1,2)，(2,1)．又由于每枚骰子上有3个偶数，3个奇数，3×3＋3×3＝18，从而所求概率为1836＝12.1．若书架上放的数学、物理、化学书分别是5本、3本、2本，则随机抽出一本是物理书的概率为( )A.15 B.310 C.35D.12解析：任意抽取一本得到任何一本书的可能性是相同的，故为古典概型，其中总基本事件数n ＝10，事件A “抽得物理书”包含的基本事件数m ＝3，所以依据古典概型概率的计算公式得P (A )＝m n ＝310.答案：B2．甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是( )A.12B.13C.14D.15解析：该试验共4个基本事件，所求事件包含2个基本事件，其概率为12.答案：A3．(2013·日照高一检测)一枚硬币连掷3次，有且仅有2次出现正面向上的概率为( ) A.38 B.23 C.13D.14解析：所有的基本事件是(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)，共有8个，仅有2次出现正面向上的有：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，共3个．则所求概率为38.答案：A4．在五个数字1,2,3,4,5中，若随机取出三个数字，则剩下的两个数字都是奇数的概率是________．(结果用数值表示)解析：在五个数字1,2,3,4,5中，若随机取出三个数字，则剩下的两个数字有10种可能的结果：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{3,4}，{3,5}，{4,5}，其中两个数字都是奇数包含3个结果：{1,3}，{1,5}，{3,5}，故所求的概率为310.答案：3105．(2011·福建高考)盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于________．解析：红色球分别用A 、B 、C 表示，黄色球分别用D 、E 表示，取出两球的所有可能结果为：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(C ，D )，(C ，E )，(D ，E )共10种．从中取两球颜色不同的结果有：(A ，D )，(A ，E )，(B ，D )，(B ，E )，(C ，D )，(C ，E )共6种，取出两球颜色不同的概率P ＝610＝35.答案：356．一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4. (1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求n ≥m ＋2的概率．解：(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个，从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有1和2,1和3两个．因此所求事件的概率P ＝26＝13.(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m ，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n ，其一切可能的结果(m ，n )有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．又满足条件n ≥m ＋2的事件为(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个，所以满足条件n ≥m ＋2的事件的概率为P 1＝316.一、选择题1．从100台电脑中任取5台进行质量检测，每台电脑被抽到的概率是( ) A.1100 B.15 C.16D.120解析：把抽到每一台电脑看成一个基本事件，试验的所有基本事件数是100，任取5台这一事件含5个基本事件，所求概率为5100＝120. 答案：D2．从分别写有A ，B ，C ，D ，E 的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字母恰好按字母顺序相邻的概率是( )A.15B.25C.310D.710 解析：从5张卡片中任取2张有AB 、AC 、AD 、AE 、BC 、BD 、BE 、CD 、CE 、DE 共10种结果，而恰好按字母顺序相邻的有AB 、BC 、CD 、DE 4种结果，故此事件的概率为410＝25. 答案：B3．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于( )A.110B.18C.16D.15解析：假设正六边形的6个顶点分别为A 、B 、C 、D 、E 、F ，则从6个顶点中任取4个顶点共有15种结果，以所取4个点作为顶点的四边形是矩形有3种结果，故所求概率为15.答案：D4．在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是( )A.310 B.15 C.110D.112解析：随机取出2个小球有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)共10种情况，和为3只有1种情况(1,2)，和为6有(1,5)，(2,4)两种情况．∴P ＝310.答案：A5．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则b >a 的概率是( )A.45B.35C.25D.15解析：设Ω＝{(a ，b )|a ∈{1,2,3,4,5}，b ∈{1,2,3}}，包含的基本事件总数n ＝15，事件“b >a ”为{(1,2)，(1,3)，(2,3)}，包含的基本事件数m ＝3.其概率P ＝315＝15.答案：D 二、填空题6．现有5根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为2.5，2.6，2.7，2.8,2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3 m 的概率为________．解析：从5根竹竿中任取2根有：(2.5,2.6)、(2.5，2.7)、(2.5,2.8)、(2.5,2.9)、(2.6,2.7)、(2.6,2.8)、(2.6,2.9)、(2.7,2.8)、(2.7,2.9)、(2.8,2.9)共10种取法，其中长度恰好相差0.3 m 的情况有：(2.5，2.8)、(2.6,2.9)，共2种．故所求概率为P ＝210＝15.答案：157．第1,2,5,7路公共汽车都在一个车站停靠，有一位乘客等候着1路或5路公共汽车，假定各路公共汽车首先到站的可能性相等，那么首先到站的正好为这位乘客所要乘的车的概率是________．解析：∵4种公共汽车先到站共有4个结果，且每种结果出现的可能性相等，所以“首先到站的车正好是所乘车”的结果有2个，∴P ＝24＝12.答案：128．将一个各个面上均涂有颜色的正方体锯成27个同样大小的小正方体，从这些小正方体中任取1个，其中恰有三个面涂有颜色的概率是________．解析：如图每层分成9个小正方体，共分成了三层，其中8个顶点处的小正方体三个面涂有颜色，概率为827.答案：827三、解答题9．假设有5个条件很类似的女孩，把她们分别记为A 、C 、J 、K 、S ，她们应聘秘书工作，但只有3个秘书职位，因此5人中仅有3人被录用，如果5个人被录用的机会相等，分别计算下列事件的概率：(1)女孩K 得到一个职位； (2)女孩K 和S 各得到一个职位； (3)女孩K 或S 得到一个职位．解：5个人仅有3人被录用，结果共有10种，如图所示，由于5个人被录用的机会相等，所以这10种结果出现的可能性相同．(1)女孩K 被录用的结果有6种，所以她得到一个职位的概率为35.(2)女孩K 和S 各得到一个职位的结果有3种，所以K 和S 各自得到一个职位的概率为310.(3)女孩K 或S 得到一个职位的结果有9种，所以K 或S 得到一个职位的概率为910. 10．编号分别为A 1，A 2，…，A 16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：运动员编号A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 A 8 得分 15 35 21 28 25 36 18 34 运动员编号A 9 A 10 A 11 A 12 A 13 A 14 A 15 A 16 得分1726253322123138(1)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格：区间 [10,20) [20,30) [30,40] 人数(2)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人， ①用运动员编号列出所有可能的抽取结果； ②求这2人得分之和大于50的概率． 解：(1)4,6,6.(2)①得分在区间[20,30)内的运动员编号为A 3，A 4，A 5，A 10，A 11，A 13，从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 10}，{A 3，A 11}，{A 3，A 13}，{A 4，A 5}，{A 4，A 10}，{A 4，A 11}，{A 4，A 13}，{A 5，A 10}，{A 5，A 11}，{A 5，A 13}，{A 10，A 11}，{A 10，A 13}，{A 11，A 13}，共15种．②“从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”(记为事件B )的所有可能结果有：{A 4，A 5}，{A 4，A 10}，{A 4，A 11}，{A 5，A 10}，{A 10，A 11}，共5种．所以P (B )＝515＝13.。
2020-2021学年北师大版数学必修三课件：3.2.2 建立概率模型
【解题策略】 1.“有放回”与“不放回”问题的区别在于:对于某一试验,若采用“有放回” 抽样,则同一个个体可能被重复抽取,而采用“不放回”抽样,则同一个个体不 可能被重复抽取. 2.无论是“有放回”还是“不放回”抽取,每一件产品被取出的机会都是相等 的.
【跟踪训练】袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄 球, (1)从中一次随机摸出2只球,求这2只球颜色不同的概率; (2)若有放回地取球,取两次,求两次取得球的颜色相同的概率.
【解题策略】 1.建立不同概率模型解决问题时的注意点 (1)当所选取的观察试验可能出现的结果的角度不同时,基本事件的个数也将不 同,但最终所求概率的值是确定的. (2)建立古典概率模型时要做到 ①试验所有结果个数尽可能少; ②每个结果出现的可能性一定相同; ③所要研究的事件都能轻易地表示成若干个基本事件的和.
A. 1
B. 2
C. 1
D. 4
5
5
2
5
【思路导引】结合古典概型特征分析题意,计算古典概型的概率计算公式中m,n 的值,进而计算概率.
角度2 古典概型的综合应用 【典例】长春市的“名师云课”活动自开展以来获得广大家长和学子的高度赞 誉,在第二季“名师云课”中,数学学科共计推出36节云课,为了更好地将课程 内容呈现给学生,现对某一时段云课的点击量进行统计如下:
2.2 建立概率模型
必备知识·自主学习
在摸球问题中,放回、不放回有何区别? 导思
在古典概型中,有序、无序对事件概率有何影响?
由概率模型认识古典概型 (1)一般来说,在建立概率模型时,把什么看作是一个基本事件是人为规定的.如 果每次试验有一个并且只有一个基本事件出现,只要基本事件的个数是_有__限__的__, 并且它们的发生是_等__可__能__的__,就是一个古典概型. (2)从不同的_角__度__去考虑一个实际问题,可以将问题转化为不同的_古__典__概__型__来解 决,而所得到的_古__典__概__型__的所有可能的结果数越少,问题的解决就变得越简单. (3)树状图是进行_列__举__的一种常用方法.
2020学年高中数学第3章概率3_2_2建立概率模型课件北师大版必修3
树状图与图表是解古典概型多元素问题的常用方法．
(1)据人口普查统计，育龄妇女生男生女是等可能的，如果 允许生育二胎，则某一育龄妇女两胎均是女孩的概率是( )
1111 A.2 B.3 C.4 D.5 (2)甲、乙两同学下棋，胜一盘得 2 分，和一盘各得 1 分，负 一盘得 0 分．连下三盘，得分多者为胜，求甲获胜的概率．
(3)当试验的所有可能结果数不是很大时，为了计算试验的所 有可能结果数和随机事件 A 包含的基本事件数，我们一般用列举 法列出所有可能结果．列举的基本方法是画树状图和列表，分步 完成的结果可以用树状图进行列举．列表法一般只适用于分两步 完成的结果的列举．
某种饮料每箱装有 6 听，如果其中有 2 听不合格，质检人 员从某箱中随机抽出 2 听检查，问：抽到不合格产品的概率有多 大？
(1)小球是不放回的； (2)小球是有放回的． 求两个小球上的数字为相邻整数的概率．
【错因分析】 容易忽视放回和不放回的区别，或造成两个 问号同样的解法，或由于找不到二者的区别而无法弄清各自的基 本事件．
【思路启迪】 (1)这是否为古典概型？ (2)用什么方法求基本事件的个数？ (3)如何求概率？
【解】 解法一：用 A 表示事件“第二个人摸到白球”，把 两个白球编上序号：白 1，白 2,2 个黑球也编上序号：黑 1，黑 2.于是，4 个人按顺序依次从袋中摸出一球的所有可能结果可以 用树状图直观地表示出来，如图．
解：解法一：我们把每听饮料标上号码，合格的 4 听分别 记作 1、2、3、4，不合格的 2 听分别记作 a、b，只要检测的 2 听中有一听不合格，就表示查出了不合格产品．
依次不放回从箱中取出 2 听饮料，得到两个标号，分别为 x 和 y，则(x，y)表示一次抽取的结果，即基本事件，由于是随 机抽取，所以抽取到基本事件的概率相等．
【优化方案】高中数学 第3章§2.2建立概率模型课件 北师大版必修3
那么事件 A 的概率规定为 P(A)＝ m 事件A包含的可能结果数 n 试验的所有可能结果数 ＝___. _____________________
列举 的一种常用方法． 3．树状图：是进行_____
问题探究 1．什么是基本事件？其具有什么特点？ 提示：(1)基本事件的定义 一次试验中，可能出现的每一个基本结果称为一 个基本事件．例如：投掷硬币出现2种结果叫2个 基本事件，通常试验中的某一事件A由n个基本事 件组成． (2)基本事件的特点 ①任何两个基本事件是不可能同时发生的； ②任何事件都可表示成基本事件的和．
(1)共有27个基本事件．
(2)第三次球传回到甲的手中包含6个基本事件．
古典概型的判定
判断一个事件是否为古典概型，关键看它是否具
备古典概型的两个特征：(1)在一次试验中，可能
出现的结果只有有限个，即有限性；(2)试验中每
个基本事件发生的可能性是均等的，即等可能性.
例2
袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个
列表如下：
a
a b c d e (b，a) (c，a) (d，a) (e，a) (c，b) (d，b) (e，b) (d，c) (e，c) (e，d)
b
(a，b)
c
(a，c) (b，c)
d
(a，d) (b，d) (c，d)
e
(a，e) (b，e) (c，e) (d，e)
由于每次取两个球，每次所取两个球不相同，而摸
(b，a)与(a，b)是相同的事件，故共有10个基本事件.
(2)法一中“两只都是白球”包括(1,2)(1,3)(2,3)三种. 法二中，包括(a，b)，(b，c)，(c，a)三种． 【名师点评】 求基本事件个数常用列举法、列表 法、树图法来解决，并且注意以下几个方面：①用
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§2.2建立概率模型教学设计一、教材的地位和作用本节课是高中数学必修三第三章概率的第二节古典概率模型的第二课时，是在随机事件的概率之后，几何概率模型之前，学生对古典概率模型的特点有了初步的认识，对于同一个实验，建立不同的概率模型，培养学生发散思维能力，让学生体会数学文化价值，进一步深入的理解古典概率模型，为其它概率的学习奠定基础，加深对概率和随机事件的理解，体会随机事件和确定事件的不同，有利于解释生活中的一些问题。
二、学情分析：高一文科班学生，数学基础整体偏弱，其中有二十多名学生数学基础较差，优点在于学生听讲还比较认真，学习态度比较端正，因此在教学设计中，必须抓好基本概念，帮助学生理清概念内涵脉络，低起点，小步走，异步达标，对于培养优秀学生要通过课后训练来逐步实现，因此在课后配备古典概率模型核心素养检测试题。
三、教学目标1.知识与技能（1）进一步正确理解古典概率模型的两大特点，能从实际问题中识别和抽象出古典概率模型。
（2）会用列举法计算一些随机事件的基本事件及其发生的概率，进一步掌握古典概率模型的概率公式（3）会根据实际问题建立适当的概率模型解决简单的实际问题。
2.过程与方法（1）通过掷骰子问题的分析以及例2的学习，经历对同一个问题从不同的角度分析，建立不同的古典概率模型，感知应用数学解决问题的方法，发展学生提出问题，分析问题和解决问题的能力。
（2）通过模拟实验解决摸奖公平问题的过程，转化为例2用古典概率模型来解决问题，探究数学解决问题的方法。
（3）对于同一个实际问题，通过不同角度的思考，建立不同的概率模型，使问题的解决不断地简化，发展学生的发散思维能力，体验求简意识，发展学生批判性思维的能力。
3.情感态度价值观：通过本节课的学习，增强学生数学建模意识，树立学生数学应用意识，体会数学的应用价值与社会价值。
4.本节课程内容涉及的核心素养和数学文化：本节课的引入以生活中的抓阄摸奖为素材让学生体会数学源于生活，数学文化根植于我们的生活，本节课涉及到了数学建模意识（古典概率模型），数学应用、数学抽象和数学逻辑推理等。
5.教学重点：针对同一个问题，从不同的角度考虑，建立不同的古典概率模型【确立的依据】根据本节课教材的内容安排和设计而确立的。
四、教学难点：对于同一个实际问题，建立不同的概率模型【确立的依据】建立概率模型，本身就是学生的一个难点，对于同一个实际问题，如何引导学生从不同的角度思考，建立不同的古典概率模型，树立求简意识和批判性思维，就更加困难了，因此确立上述难点。
五、教学方法：探究式教学法【确立的依据】学生对于古典概率模型已经有了初步的认识，具备了探究的基础，通过师生互动，提高学生课堂的参与度，激发学生的学习兴趣，提高课堂教学效率。
六、教学用具，多媒体教学设施，PPT，和一枚骰子。
七、教学过程（以下老师用T表示，学生用S表示）（一）温故知新、引入课题T:同学们，前面我们学习了随机事件的概率，古典概率模型的两个特点和古典概率模型的概率计算公式，哪位同学给大家复述一下古典概率模型的两个特点和概率计算公式？S：古典概率模型的两个特点(1)试验的所有可能结果只有有限个，每次实验只出现其中的一个结果；(2)每个实验结果出现的可能性相等。
S:在古典概率模型中,基本事件出现的概率…….随机事件A出现的概率……T:回答的很好。
【设计的目的】做好前后知识的衔接，起到温故知新的目的T：同学们还记得生活中的概率这节课抓四个阄确定两件奖品的问题吗？先抓的人中奖率一定大吗？我们是用什么方法来研究这个问题的？S:还记得，采用了完全相同的两个白球和两个黑球进行分组模拟实验得到的，其中两个白球代表奖品，通过模拟实验得出结论中奖率与抓阄先后无关。
T：回答的非常到位。
我们采用了分组模拟实验，试验次数越多，得到的结论越准确。
但试验得到的结论有时有随机性，数学在解决问题时总是希望能得到理论的支持，本节课我们将采用完全相同的两个白球和两个黑球通过建立不同的概率模型来研究这个问题。
在研究问题之前，大家先讨论一下这个问题。
【设计意图】埋下伏笔，激发学生的求知欲，承上启下，将概率统计解决问题的两种方法呈现给了学生，模拟实验和理论分析，引导学生的思路转入新课（二）激发兴趣、探究新知T：老师手中拿一枚骰子，任意撒出去，出现的可能结果有哪些？S：考虑向上的点数，出现的可能结果有1,2,3,4,5,6等6种结果，其中任意一种结果的可能性都是……T：我们还能不能换一个角度思考这个问题呢？【设计意图】以问题驱动，激发学生的学习兴趣，打开学生的思路S：如果考虑点数为奇数还是偶数的话，那只有两种结果，向上的点数为奇数或者偶数，这两个结果出现的可能性相等，它们出现的概率都是……T：回答的非常棒。
下面以小组为单位讨论：如果我还需要结果为，同学们还有那些创意呢？（引导学生互动思考讨论，小组合作学习。
）【设计意图】以问题驱动，穷追不舍，继续引导学生从多角度思考问题S：我们可以考虑点数“点数不超过3”和“点数不小于3”这两种情况，它们出现的几率也是均等的，所以两个事件的概率都是……T:选取的角度很好，我们为你点个赞。
谁还有不同的想法呢？【设计意图】继续以问题驱动，穷追不舍，打开学生思路S:因为每一个点数向上的概率都是，所以我们可以把任意三个点数组合为一个基本事件A，余下的三个点数作为一个基本事件B，这样事件A、B出现的可能性相等，概率都是……T: 同学们如果我想要撒一次骰子，出现三个基本事件，它们的概率都是，那有将如何构造基本事件呢？（引导学生互动思考讨论，小组合作学习。
）【设计意图】以问题驱动，引导学生进行发散性思维思考问题，激发学生的探究能力和意识。
（三）例题精讲、建立概率模型、融会贯通T:同学们，接下来我们思考探究前面的问题。
课本135页例2：口袋里装有两个白球和两个黑球，这四个球除颜色外形状完全相同，4个人按顺序依次从中摸出一个球，试计算第二个人摸到白球的概率。
【分析一】：我们需要找出4个人按顺序依次摸球的所有可能结果数和第二个人摸出白球的可能结果数，为此考虑用列举法列出所有可能结果（也叫树形图）（学生板书，老师点评）解法1 用A表示事件“第二个人摸到白球”。
我们把2个白球编号为1,2，,2个黑球也编号为1,2。
于是，4个人按顺序依次从袋中摸出一球的所有可能结果，用下面的树形图直观地表示出来。
从图可以看出来，所有结果共计24种，第二个人摸到白球的结果有12种，由于球除颜色外完全相同，所以24种结果出现的可能性是完全相同的，因此属于古典概率模型。
【设计意图】利用树形图列举所有的实验结果，是学生必学掌握的基本方法，也是一种常用方法，它体现了数学的直观性，是数学的基本核心素养之一，要求学生板书树形图。
同时对于试验要判定是否为古典概率模型，规范学生的书面表达。
【反思总结】同学们，两个白球和两个黑球，从数学的角度可以看作两类元素，分别有若干个，进行一个排队，可以求出某个元素在某个位置的概率。
（此处体现数学抽象性的核心素养）T:同学们能否据此设计出一个试题呢？（引导学生互动思考讨论，小组合作学习，进行发散性数学思维，培养学生的创新意识。
）这里会出现课堂生成性素材…。
T：同学们思考讨论一下共享单车中小黄车密码锁的问题，经常有一些小孩随机的按密码，有时意外的打开了，我们考虑一下开锁的几率有多大？能否随意的打开共享单车的密码锁？S：打开锁的几率为……我认为不能随意打开锁，这里面有法律和道德方面的问题T:回答的到位，我们以后不能随机的打开共享单车的锁。
【设计意图】，把数学中的问题和现实生虎结合起来，可以让学生体会数学的应用价值，通过讨论，能否随意打开共享小黄车的锁，教育学生遵规守法，起到数学育人的目的，把教学和育人有机的结合起来。
【分析二】我们要计算第二个人摸到白球的概率，通过解法1的启示，后面两个人摸球对于第二个人摸球没有影响，因此我们可以建立新的概率模型，只考虑前两个人的摸球情况，使得实验的结果变得少一些，使问题处理变得简便些。
（据此，大家思考如何处理？把学生的思路引向深入。
）解法2 因为是计算“第二个人摸到白球”的概率，所以我们只考虑前两个人摸球的情况。
前两个人依次从袋中摸出一球的所有可能结果可以用树形图列举出来。
这个模型的结果只有12种，由于球除颜色外形状完全相同，所以12种结果出现的可能性是完全相同的，这个模型属于古典概率模型。
在上面12种结果中，第二个人摸到白球的结果有6种，因此“第二个人摸到白球”的概率【设计意图】利用试验结果的对称性,只考虑前两个人摸球的情况,所有可能结果减少为12种简化了问题，有助于培养学生发散性思维和批判性思维能力。
【分析三】我们再换一个角度分析问题，因为口袋里的4个球除颜色外形状完全相同，因此对2个白球不加区分，对2个黑球也不加区分，这样建立的概率模型的所有结果数也会减少。
利用树形图列举出所有的结果只有6种，而且这6种结果出现的可能性都相等，这个模型属于古典概率模型，其中底2个人摸到白球的结果有3种。
因此“第二个人摸到白球”的概率【设计意图】由于两个白球和两个黑球没有区别，所以摸球时只考虑球的颜色，使得问题极大的简化，树形图结果由24种较少到了6种，高度的体现了数学建模和数学抽象性的核心素养。
【分析四】由于是求第2个人摸到白球的概率，因此我们可以只考虑第2个人摸球的情况，他可能摸到4个球中的任何一个，这4个球出现的可能性是相同的，因此这个模型是古典概率模型，其中第2个人摸到白球的情况有2种。
解法4：只考虑第2个人摸球的情况，他可能摸到4个球中的任何一个，这4个球出现的可能性是相同的，因此这个模型是古典概率模型，其中第2个人摸到白球的情况有2种。
因此“第二个人摸到白球”的概率小结提高：（1）从上面的4种解法我们可看到，对同一个问题，从不同的角度去考虑，可以将问题转化为不同的古典概率模型来解决，而所得到的古典概率模型的所有可能结果越来越少，问题的解决变得越来越简单。
（2）每一种解法有各自的特点.解法1列出了实验的所有结果，利用这个模型可以计算出4个人依次模球的任何一个事件的概率，如“第一个人和第四个人摸到2号白球”的概率,它的缺点在于有5个球或6个球时基本事件数马上变为120种或者720种太复杂了(有兴趣的同学可以自己学习排列组合知识去解决问题，也简单一些)；而解法4可以推广到一般化：现有除颜色外形状完全相同的a个白球，b个黑球，求第k个人摸到白球的概率。
【设计意图】通过四种解法，建立四种古典概率模型，培养学生发散思维的能力和数学建模的核心素养；及时归纳总结和反思，渗透数学抽象思维的核心素养，树立学生批判性数学思维的能力。
【思考交流，拨云见日】T:请同学们思考一下，计算第k（k=1,2,3,4）个人摸到白球的概率，得到的结果说明了什么问题？S:老师，根据解法四，我们可以得到这样一个基本事实，四个人无论摸奖次序如何，中奖概率是一样的，从理论上解决了摸奖又先后，概率都一样的问题。