2020年高考全国1卷数学(文科)模拟试卷(含答案)

2020年高考全国1卷数学（文科）模拟试卷考试时间：120分钟 满分150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设复数z 满足(1+i)z =2i ，则∣z ∣= A ．12B 2C 2D ．22、已知集合{}|12A x x =-<，12|log 1B x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭，则AB =A ．{}|04x x <<B ．{}|22x x -<<C ．{}|02x x <<D ．{}|13x x << 3、以下判断正确的个数是（ ）①相关系数r r ,值越小，变量之间的相关性越强；②命题“存在01,2<-+∈x x R x ”的否定是“不存在01,2≥-+∈x x R x ”； ③“q p ∨”为真是“p ”为假的必要不充分条件；④若回归直线的斜率估计值是1.23，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程是08.023.1ˆ+=x y. A ．4 B ．2 C.3 D ．14、设,a b 是非零向量，则“存在实数λ，使得=λa b ”是“||||||+=+a b a b ”的A ．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5、 已知正三角形ABC 的顶点()()3,1,1,1B A ，顶点C 在第一象限，若点()y x ,在ABC ∆的内部，则y x z +-=的取值范围是 A.()2,31- B.()2,0 C.()2,13- D.()31,0+6、使函数)2cos()2sin(3)(θθ+++=x x x f 是偶函数，且在]4,0[π上是减函数的θ的一个值是 A ．6π B ．3π C ．34π D ．67π7、在如图的程序框图中，()i f x '为()i f x 的导函数，若0()sin f x x =，则输出的结果是8、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足121a a ==，21n n S a +=-，则下列命题错误的是( ) A.21n n n a a a ++=+B.13599100a a a a a ++++=…C.2469899a a a a a ++++=…D.12398100100S S S S S ++++=-…9、某三棱锥的三视图如图所示，则下列说法中：① 三棱锥的体积为16② 三棱锥的四个面全是直角三角形,③ 三棱锥四个面的面积中最大的值是32所有正确的说法 A 、①B 、①②C 、②③D 、①③10、已知双曲线)0,(12222＞b a by a x =-的左、右顶点分别为B A ,,右焦点为F ,过点F 且垂直于x 轴的直线l 交双曲线于N M ,两点,P 为直线l 上的一点，当APB ∆的外接圆面积达到最小值时,点P 恰好在M (或N )处,则双曲线的离心率为 A.2 B.3 C.2 D.511、珠算被誉为中国的第五大发明，最早见于汉朝徐岳撰写的《数术记遗》•2013年联合国教科文组织正式将中国珠算项目列入教科文组织人类非物质文化遗产．如图，我国传统算盘每一档为两粒上珠，五粒下珠，也称为“七珠算盘”．未记数（或表示零）时，每档的各珠位置均与图中最左档一样；记数时，要拨珠靠梁，一个上珠表示“5”，一个下珠表示“1”，例如：当千位档一个上珠、百位档一个上珠、十位档一个下珠、个位档一个上珠分别靠梁时，所表示的数是5515．现选定“个位档”、“十位档”、“百位档”和“千位档”，若规定每档拨动一珠靠梁（其它各珠不动），则在其可能表示的所有四位数中随机取一个数，这个数能被3整除的概率为（ ） A ．12B ．25C ．38D ．1312、已知函数()21ln (1)(0)2x ax a f a x x a =-+-+>的值域与函数()()f f x 的值域相同，则a 的取值范围为（ ） A. (]0,1B. ()1,+∞C. 40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、已知23log 3a =，2log 12b =，则a +b 的值为__________．14、已知数列{}n a 满足*21()n n n a a a n N +++=∈，且11a =，22a =，则2018a =__________．15、已知,,A F P 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的左顶点、右焦点以及右支上的动点,若2PFA PAF ∠=∠恒成立，则双曲线的离心率为 。

16、如图，在平面直角坐标系xOy 中，边长为2的正方形ABCD 沿x 轴滚动（无滑动滚动），点D 恰好经过坐标原点，设顶点(),B x y 的轨迹方程是()y f x =，则()19f =_____________三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17、（12分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知12=c ，64=b ，O 为ABC ∆的外接圆圆心.（1）若54cos =A ，求ABC ∆的面积S ；（2）若点D 为BC 边上的任意一点，1134DO DA AB AC -=+，求B sin 的值.18、（12分）某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量()y g 与尺寸x （mm ）之间近似满足关系式by c x =⋅（b 、c 为大于0的常数）．按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间,97e e ⎛⎫⎪⎝⎭内时为优等品．现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如下表：(ⅰ)根据所给统计量，求y 关于x 的回归方程;（ⅱ）已知优等品的收益z （单位：千元）与,x y 的关系为20.32z y x =-，则当优等品的尺寸x 为何值时，收益z 的预报值最大？（精确到0.1） 附：对于样本(,)i i v u (1,2,,)i n =，其回归直线u b v a =⋅+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1122211()()()nniii ii i nni i i i v v u u v u nvub v v v nv∧====---==--∑∑∑∑，a u bv ∧∧=-， 2.7182e ≈.19、（12分）如图，三棱柱111ABC A B C - 中，侧棱垂直于底面，1111A B B C ⊥ ，12AA AB == ，1BC = ，E 为11A C 中点. （I ） 求证：1A B ⊥平面11AB C ；(II) 求三棱锥1B ECC - 的体积；（III ） 设平面EAB 与直线11B C 交于点H ，求线段1B H 的长.20、（12分）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，且2F 为抛物线22:2(0)C y px p =>的焦点，2C 的准线被椭圆1C 和圆222x y a +=截得的弦长分别为和4.（Ⅰ）求1C 和2C 的方程；（Ⅱ）已知动直线l 与抛物线2C 相切（切点异于原点），且l 与椭圆1C 相交于N M ,两点，若椭圆1C 上存在点Q ，使得)0(≠=+λλOQ ON OM ，求实数λ的取值范围.21、（12分）已知函数31()4f x x ax =-+．（Ⅰ）若x 轴为曲线()y f x =的切线，求a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 在[0,1]上的最大值和最小值．（二）选考题：共10分。

请考生在22、23两题中任选一题作答，注意：只能做选定的题目，若多做，则按所做的第1题记分. 22、(选修4-4坐标系与参数方程) 以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为22cos 2a ρθ=（a R ∈,a 为常数），过点(2,1)P 、倾斜角为30︒的直线l 的参数方程满足2x =+（t 为参数）.（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的参数方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点（点P 在A 、B 之间），且||||2PA PB ⋅=，求a 和||||||PA PB -的值．23、(选修4-5 不等式选讲) 已知函数()212()f x x mx m R =-++∈。

（1）若1m =，解不等式()6f x <；（2）若()f x 有最小值，且关于x 的方程()21f x x x =-++有两个不等实根，求实数m 的取值范围。

答案解析一、选择题 1-6题C C B B A B 7-12题 C C D A C D 二、填空题 13、3 14、16 15、4 16、3 部分（选填题）压轴题解析11. 解析：基本事件总数n ＝24＝16，利用列举法求出这个数能被3整除包含的基本事件有6个，由此能求出这个数能被3整除的概率．选定“个位档”、“十位档”、“百位档”和“千位档”，规定每档拨动一珠靠梁（其它各珠不动）， 则在其可能表示的所有四位数中随机取一个数，基本事件总数n ＝24＝16，这个数能被3整除包含的基本事件有：5511，5115，5151，1155，1515，1551，共6个， 这个数能被3整除的概率为P ．故选：C ．12解析：()1(1)(1)1'ax a xf x x a x x +--+-==，1x >时，()'0f x <；01x <<时，()'0f x >， ∴()f x 在()0,1上递增，在()1,+∞上递减，()()max 3112f x f a ==-，即()f x 的值域为3,12a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.令()f x t =，则()()312y f f x f t t a ⎛⎫==≤-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，∵()f t 在()0,1上递增，在()1,+∞上递减，要使()y f t =的值域为3,12a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，则3112a -≥，43a ≥， ∴a 的取值范围是4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，故选D.16解：由题意，当42x -≤<-时，顶点(),B x y 的轨迹是以点()2,0A -为圆心，以2为半径的14圆； 当22x -≤<时，顶点(),B x y 的轨迹是以点()0,0D 为圆心，以22为半径的14圆； 当24x ≤<时，顶点(),B x y 的轨迹是以点()2,0C 为圆心，以2为半径的14圆； 当46x ≤<，顶点(),B x y 的轨迹是以点()4,0A 为圆心，以2为半径的14圆，因此函数()(y f x =的图像在[]4,4-恰好为一个周期的图像； 所以函数()y f x =的周期是8；∴(19)(3)3f f ==，其图像如下：三．解答题17解析：(1)由54cos =A 得53sin =A ， ∴5214453122821sin 21=⨯⨯⨯==∆A bc S ABC ．……………………………3分 (2)由AC AB DA DO 4131+=-， 可得AC AB AO 4131+=，于是AO AC AO AB AO AO ⋅+⋅=⋅4131， ……………………………………5分即OAC AO AC OAB AO AB AO ∠∠=41312，①又O 为△ABC AB OAB AO 21=∠OAC AO ∠AC 21，②7分将①代入②得到28161AC AB AO +=1288114461⨯+⨯=401624=+=解得102=AO ．10分由正弦定理得10422sin ===AO R B b ， 可解得552sin =B ．…………12分 18.解：对by c x =⋅（,0b c >）两边取自然对数得ln ln ln y c b x =+，令ln ,ln i i i i v x u y ==，得u b v a =⋅+，且ln a c =， -------------6分 （ⅰ）根据所给统计量及最小二乘估计公式有，1222175.324.618.360.271101.424.660.542ni i i ni i v u nvub v nv∧==--⨯÷====-÷-∑∑--7分 118.324.6612a u b v ∧∧⎛⎫=-=-⨯÷= ⎪⎝⎭，得ˆˆln 1ac ==，故ˆc e = -----8分 所求y 关于x 的回归方程为12y e x =⋅ --------------9分由优等品质量与尺寸的比()12ˆ,7,997y ex e ex x⎛⎫==⇒⎪⎝⎭，即()49,81x∈令()7,9t=，222ˆ()0.3220.32()0.320.32e ez t t et t=-+=--+当()8.57,90.32et==≈∈时，ˆz取最大值-----------12分即优等品的尺寸72.3x≈（mm），收益ˆz的预报值最大.19、解：（Ⅰ）因为三棱柱111ABC A B C-中，侧棱垂直于底面，所以1BB⊥平面111A B C.因为11B C⊂平面111A B C，所以111BB B C⊥.又因为1111B C A B⊥，1111A B BB B=，所以11B C⊥平面11AA B B.因为1A B⊂平面11AA B B，所以111A B B C⊥.因为12AA AB==，所以四边形11AA B B为菱形.所以11A B AB⊥.因为1111B C AB B=，所以1A B⊥平面11AB C. ……..5分（Ⅱ）由已知，1BB⊥平面111A B C，11A B⊂平面111A B C，所以111BB A B⊥.因为1111A B B C⊥，1111B C BB B=，所以11A B⊥平面11BB C C.又112A B AB==，故1A到平面11BB C C的距离为2.因为E为11A C中点，所以E点到平面11BB C C距离为1.所以11111211323B ECC E BCCV V--==⨯⨯⨯⨯=．……..9分（Ⅲ）在三棱柱111ABC A B C-中，因为E，H为平面EAB与平面111A B C的公共点，所以平面EAB平面111A B C EH=.因为平面ABC//平面111A B C，AB⊂平面ABC，所以//AB平面111A B C.又平面111A B C平面EAB EH=, 所以//EH AB.又11//AB A B，所以11//EH A B.因为E为11A C中点, 所以H为11B C中点.所以1111122B H B C==．.14分20、（1）由题得2224bab⎧=⎪⇒⎨⎪=⎩2,=24a b p c===，故22212:1,:884x yC C y x+==…4分（2）由题知l存在斜率且不为0，设),(:≠+=mnmyxl),(),,(),,(2211yxQyxNyxM……5分联立⇒⎩⎨⎧=+=xy nmy x 820882=--n my y ，因为l 与2C 相切，故02021=+⇒=∆n m ………6分联立⇒⎩⎨⎧=++=8222y x nmy x 082)2(222=-+++n mny y m ，两根为21,y y ，所以28,222221221+-=+-=+m n y y m mn y y …………………………………………7分)2,4(82840222-∈⇒+-=+<⇒>∆n n m n ，又022>-=n m ，因此)0,4(-∈n ………8分 由⇒=+OQ ON OM λ⎩⎨⎧=+=+021021y y y x x x λλ，由韦达定理，代入计算得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=)2(2)2(42020m mn y m n x λλ……9分而点),(00y x Q 在椭圆上，即822020=+y x ，代入得)0,4(,4228)2(8)2(162222222222222-∈-=+=⇒=+++n n n m n m n m m n λλλ………………………10分 令)8,4(4∈-=n t ，则)2,0()0,2()4,0()816(22 -∈⇒∈-+=λλtt …………………12分 21、解：（Ⅰ）由于x 轴为()y f x =的切线，设切点坐标为0(,0)x ， ……1分 则300104x ax -+=，……① 又0()0f x '=，即2030x a -=， ……② ②代入①，解得012x =，所以34a =． ……4分（Ⅱ）2()3f x x a '=-，（1）当0≤a 时，()0≥f x '，()f x 在[0,1]单调递增， ……1分 所以0x =时，()f x 取得最小值14．1x =时，()f x 取得最大值54a -． ……3分 （2）当3a ≥时，()0f x '<，()f x 在[0,1]单调递减， ……4分 所以，1x =时，()f x 取得最小值54a -．0x =时，()f x 取得最大值14． （3）当03a <<时，令()0f x '=，解得x = ……5分x ，()f x '，()f x 在区间[0,1]的变化情况如下：由上表可知，当x =()f x取得最小值147分 由于1(0)4f =，5(1)4f a =-，当01a <<时，()f x 在1x =处取得最大值54a -， ……8分 当13a <≤时，()f x 在0x =处取得最大值14． ……9分 22、解：（1）由22cos 2a ρθ=得2222(cos sin )a ρθθ-=， --------------------------------------1分又cos x ρθ=，sin y ρθ=，得222x y a -=，∴C 的普通方程为222x y a -=，-------------------------------------------------------------------2分∵过点(2,1)P 、倾斜角为30︒的直线l的普通方程为2)13y x =-+，--------------3分由2x =+得112y t =+ ∴直线l的参数方程为2212x ty ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ （t 为参数）；-----------------------------5分 （2）将212x ty ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入222x y a -=，得221)2(3)0t t a ++-=， --------------------------6分依题意知221)]8(3)0a ∆=-->则上方程的根1t 、2t 就是交点A 、B 对应的参数，∵2122(3)t t a ⋅=-，由参数t 的几何意义知1212||||||||||PA PB t t t t ⋅=⋅=⋅，得12||2t t ⋅=，∵点P 在A 、B 之间，∴120t t ⋅<，∴122t t ⋅=-，即22(3)2a -=-，解得24a =（满足0∆>），∴2a =±，-------------8分∵1212||||||||||||||PA PB t t t t -=-=+，又121)t t +=-，∴||||||2PA PB -=．-------------------------------------------------------------------------10分23．解：(Ⅰ) m =1，212)(++-=x x x f当x ≤21时，f (x )=3-x ，由f (x )<6解得x >-3，综合得-3<x ≤21， 当x >21时，f (x )=3x +1，由f (x )<6解得x <35，综合得21<x <35， 所以f (x )<6的解集是)353(，-． ………………………………………………5分（Ⅱ）当x >21时，f (x )=(2+m )x +1． 当x ≤21时，f (x )=(m -2)x +3，要使得f (x )有最小值，则⎩⎨⎧≤-≥+，，0202m m 解得-2≤m ≤2，且由图像可得，f (x )在x =21时取得最小值21m +2． y =-x 2+x +1在x =v 时取得最大值45，方程f (x )=-x 2+x +1有两个不等实根，则21m +2<45，解得m <-23．综上所述，m 的取值范围为-2≤m <-23．……………………………………10分。