从一道题看奥赛所涉及的解题方法和技巧

从一道题看奥赛所涉及的解题方法和技巧

题：设湖岸MN 是一条直线，有一小船自岸边的A 点沿与湖岸成α＝15°角的方向匀速向湖中驶去，有一个人自A 点同时出发，，他先沿岸走一段再入水中游泳去追小船.已知人在岸上走的速度为v1 =4m/s ，在水中游泳的速度为v2＝2m/s ，试求小船的速度至多为多大时，这人才能追上小船？

方法1：微元法 如图，设人在D 点入水并在B 点刚好能追上小船，这表明：此时人追上小船所用时间最少，对应的小船速度最大.

D 点两侧各有入水点C 和

E ，使得在该处入水追船所用时间相等.

现设C 、E 是D 点两侧附近无限靠近D 点的两点，并设分别从C 、E 点入水追小船所用总时间相等.

现在BC 段截取BF=BE ，那么∠BFE ＝90°.

由于从C 、E 点入水追小船所用总时间相等，所以，人在CE 段走与在CF 段游泳所用时间相等.

于是

因为C 、E 两点无限靠近D 点，所以∠BDN ＝θ＝60°，作BK ⊥BD 交MN 于K ，于是DK=2BD. 又因为v1=2v2,则人游DK 段与走DK 段所用时间相等.所以人自出发经D 点再到B 点与人由A 点一直走到K 点所用时间相同，并都等于小船从A 到B 所用的最少时间.

即有

在⊿ABK 中，用正弦定理可得：

那么

方法2：类比法

设想MN 为甲和乙两种介质的分界面，光在甲中的速度为v1，在乙中的速度为v2，据费马原理可知，B →D →A 是光从B 传到A 费时最少的路径，而β是临界角. 这可类比本题人从A 经D 到B 的追船情况.

由此得： 下面解法与方法1相同.最后可得：

方法3：图解法

如图，设人开始运动就一直游泳，那么他能到达的区域是以A 为圆心、以v2t 为半径的半圆中的任何一点，若他一直沿湖岸走，那么他在t 时间内可以到达AK ＝v1t 中的任何一点，若他先沿岸走一段再入水追船，那么 他可以在t 时间内到达图中⊿AEF 中的任何一点.所以，他若能追上船，船也必须在t 时间内到达这区域.由于题设小船沿α角的方向运动，所以沿此方向的直线与EK 线的交点B 是船以最大速度运动且又能被人追上的地点.

在Rt ⊿AEK 中，因为AK=2AE ，所以∠AKE ＝30°， 于是，∠ABK ＝180 °－15 °－ 30°＝135°

在⊿ABK 中,据正弦定理得：

而

所以：

方法4：矢量图解法 设人先沿岸走一段，再入水追船，以船为参考系，由于人和船是同时由A 点出发的，则人在沿岸走时，

船看到人正在由船所在位置逐渐“离去”，离去的相对速度u 1为： 要人能追上船，即人能回到船上，则其返回的相对速度u 2必须沿u 1的反方向，返回的相对速度u 2为： 作图：（1）以MN 线上的A 点为起点作矢量v 1得K 点； （2）以A 点为圆心，以v2的大小为半径作圆;

（3）作直线AC ，使它与MN 线的夹角为α＝15°； 设K 点与圆上的任一点E 的连线与AC 线的交点为B ，则AB 表示船速，BK 表示人相对船的“离开”速度u 1，而BE 表示人相对船的“返回”速度u 2.

显然，当KE 与圆相切时，AB 线最长，表示船速最大，由此有作图步骤: （4）作KE 与圆相切于E 点，并与AC 相交于B 点.

由于AK=AE ，所以，∠AKF ＝30°， ∠ABE ＝45°. 因而⊿ABE 为等腰直角三角形，那么

21v CF v CE =2

1

cos ==CE CF θ︒

=60θ1

max v AK

v AB =21

135sin 30sin =︒︒=AK AB )/(2222211max

s m v v v ===︒

==30arcsin 1

2v v β)/(22max s m v =21

135sin 30sin =︒︒=AK AB 1

max

1max v v t v t v AK AB ==)/(2222

2

11max

s m v v v ===v

v u

-=11v v u -=22)/(2222max s m v v ==

方法5：等效法

设人在B 点追上船，则人到达B 点可能有很多途径，如A →C →B ，A →D →B,A →E →B 等,这些途径中耗时最少的途径对应着允许的最大船速，作∠NAP ＝30°，并分别作CK,DH,EF 垂直AP ，其中设BDH 为直线，又设想MN 线下方也变成湖水区域，则因为AC=2CK,所以人由K 点游泳到C 点所用时间与人在岸上走由A 点到C 点所用时间是相等的. 故人按题设情况经路径A →C →B 所用时间与假想人全部在水中游泳游过路径K →C →B 所用时间相等，同理，人按题设情况经路径A →D →B 所用时间与假想人全部在水中游泳游过路径H →D →B 所用时间相等，人按题设情况经路径A →E →B 所用时间与假想人全部在水中游泳游过路径F →E →B 所用时间相等，显然，在这些途径中，因为HDB 是直线，因此所用时间最少.

由以上分析可知，人沿等效途径HDB 游泳就费时最少地刚好追上船，这对应着最大船速，设为vmax ，

则有

因为⊿AHB 是等腰直角三角形，所以

故得

方法6：极值法（利用三角函数）

如图，设人沿岸走到D 点时，船航行到C 点，此时人入水游泳就刚好能在B 点追上船.

在⊿ACD 中应用正弦定理得

又设此时船速为v ，人由A 点走到D 点耗时为t ，则

由以上两式得

又在⊿CDB 中应用正弦定理得

设人游过DB 段所用时间为t ’,则

由以上两式得

由（1）、（2）式，并注意v 1=2v 2，可得

又由于 ， 要v 尽可能大，即需AC/AD 尽可能大，而θ越大，则AC 越大，由于α为恒量，则θ

越大，则θ－α也越大，且（θ－α）为锐角，则sin （θ－α）随（θ－α）增大而增大，故得sin （θ－α）最大时，θ最大，由（3）式可见，当sin （θ＋β）＝1时，sin （θ－α）有最大值为1/2，此时

对应的θ值为450，此时得β=450，于是⊿CDB 是等腰直角三角形，则有

所以：

方法7：极值法（利用一元二次函数判别式） 如图，设船出发后经时间t 被人追上.则船的位移为s=v t ，又设人在岸上走用时为kt （0

那么，据余弦定理有：

把s 、s1、s2的表达式及v 1、v 2的值代入并整理可得 于是有

要这方程有实数解，其判别式⊿应满足：

由此可解得： 或

由本题的物理情景可知只能取： 方法8：极值法（利用一元二次函数判别式）

如图，设人在岸上D 处入水追船，运动方向与湖岸成θ角,并在B 点处追上船，这人由A →D →B 用时为t .则

上式表明：t 与θ有关，且在d 、L 、v 1、v 2一定时，由θ决定,研究函数 两边平方得：

整理后得：

此方程有实数解的条件是：判别式⊿≧0，即有 由此解得： 所以：

由（3）、（4）式得：

这表明当θ＝60°时，函数y 有最小值，由（1）式知此时t 有最小值,对应的船速有最大值.

2max v BH v AB =

BH AB 2=)/(2222max s m v v ==AC

AD

=--)sin()sin(αθθπvt AC t v AD ==,1BC

BD

=--)sin(sin βθπθt v CB t v BD '='=,2)2()sin(sin 2v

v

=+βθθ)1()sin(sin 1v

v

=-αθθ)3()

sin(2)sin(αθβθ-=+1

v v

AD AC =22max

==BD

BC

v v )/(2222max s m v v ==αcos 212122

2ss s s s -+=︒-+=-15cos 816)1(4222kv v k k 2

213432230cos 115cos +=+=︒+=︒0)4(]8)26(2[1222=-+-+-v k v k 0)4(48]8)26(2[2

2≥---+=∆v v 22≤v )13(22+≥v )/(22max s m v =θ

θsin cot 21v d

v d L t +-=)1()sin cos sin 1(121d v v v L θθθ-+=)2(sin cos sin 11

2θ

θ

θv v y -=θθθ2222122221212

sin cos cos 2v v v v v v y +-=)3()

cos 1(cos cos 222

22122

22121θθθ-+-=v v v v v v 0)1(cos 2cos )(2

22212122222212=-+-+v y v v v v v v y θθ0)1()(442

222122222122221≥-+-v y v v v v y v v 222122212v v v v y -≥)4(22212

2212min v v v v y -=2

1cos 12==

v v θ︒=60θ)315(cot )3132(15cot 1

1

2

1

min +︒=-+︒=v d v

v v d t )315(cot 15sin sin 1min min max +︒︒=

==v t d t AB v θ