(完整版)正比例函数知识点及经典例题,推荐文档

反比例函数

一、基础知识

1.定义：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数。x

k

y =

k o k ≠(自变量的取值: )x o x ≠2.反比例函数的等价形式：

① （ ） ②() ③xy=k()

x

k

y =o k ≠kx y =1-o k ≠o k ≠3.反比例函数的图像⑴图像的画法：描点法

①列表（应以O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数）②描点（有小到大的顺序）③连线（从左到右光滑的曲线）⑵反比例函数的图像:

①反比例函数的图像是双曲线，由两条曲线组成。②双曲线永远不与坐标轴相交，但无限靠近坐标轴。

③反比例函数的图像是轴对称图形（对称轴是或），也是中心对x y =x y -=称图形（原点）。

4．反比例函数性质如下表：

的取值k 图像所在象限

函数的增减性o

k >一、三象限在每个象限内，值随的增大而减小y x o k <二、四象限在每个象限内，值随的增大而增大

y x 5. 反比例函数解析式的确定：①利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一

个点的坐标即可求出）②的几何意义。

k k 6．反比例函数（）中比例系数的几何意义是：过双曲线

x k y =0≠k k x k

y =（）上任意引轴轴的垂线，所得矩形面积为。

0≠k x y k

7. 反比例函数的应用

二、例题

【例1】如果函数的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的

2

22

-+=k k kx y 值是多少？

【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数，（）即x

k y =

0≠k kx y =（）又在第二，四象限内，则可以求出的值1

-0≠k 0

解得⎩⎨⎧<-=-+01222k k k ⎪⎩⎪⎨⎧<=

-=02

11k k k 或1

-=∴k 时函数为1-=∴k 222-+=k k kx y x

y 1

-

=【例2】在反比例函数的图像上有三点，，，，，

x y 1

-=(1x )1y (2x )2y (3x )3y 。若则下列各式正确的是（ ）

3210x x x >>>A ． B ． C ． D ． 213y y y >>123y y y >>321y y y >>231y y y >>【解析】可直接以数的角度比较大小，也可用图像法，还可取特殊值法。解法一：由题意得，，111x y -

=221x y -=3

31x y -=，所以选A

3210x x x >>> 213y y y >>∴解法二：用图像法，在直角坐标系中作出的图像

x

y 1

-=描出三个点，满足观察图像直接得到选A

3210x x x >>>213y y y >>

解法三：用特殊值法

2

133********,1,1,2

1

1,1,2,0y y y y y y x x x x x x >>∴=-=-=∴-===∴>>>令 【例3】如果一次函数相交于点()

与反比例函数x

m

n y m n mx y -=≠+=30（），那么该直线与双曲线的另一个交点为（ ）22

1

【解析】

⎩⎨

⎧==⎪⎩⎪⎨⎧=-=+∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=12132

212213n m m n n m x x m n y n mx y 解得，，相交于与双曲线直线 ⎪⎩⎪⎨⎧==⎩⎨⎧-=-=⎪⎩

⎪

⎨⎧=+==+=∴2

21111121,122211

y x y x x y x y x y x y 得解方程组双曲线为直线为()

11--∴，另一个点为【例4】 如图，在中，点是直线与双曲线在第一象AOB Rt ∆A m x y +=x

m

y =

限的交点，且，则的值是_____.

2=∆AOB S m 图

解:因为直线与双曲线过点,设点的坐标为.m x y +=x

m

y =A A ()A A y x , 则有.所以.A

A A A x m

y m x y =

+=,A A y x m = 又点在第一象限,所以.A A A A A y y AB x x OB ====, 所以.而已知.m y x AB OB S A A AOB 2

1

2121==∙=∆2=∆AOB S 所以.

4=m 三、练习题

A

B

C

D

1.反比例函数的图像位于（ ）

x

y 2

-=A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第二、三象限 D ．第二、四象限

2.若与成反比例，与成正比例，则是的（ ）

y x x z y z A 、正比例函数 B 、反比例函数 C 、一次函数 D 、不能确定

3.如果矩形的面积为6cm 2，那么它的长cm 与宽cm 之间的函数图象大致为（ y x ）

4.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P ( kPa ) 是气体体积V ( m 3 ) 的反比例函数，其图象如图所示．当气球内气压大于120 kPa 时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（ ）

A 、不小于m 3

B 、小于m 3

C 、不小于m 3

D 、小于

m 3

545445

45

5．如图 ，A 、C 是函数的图象上的任意两点，过A 作x

y 1

=

轴的垂线，垂足为B ，过C 作y 轴的垂线，垂足为D ，记

x RtΔAOB 的面积为S 1，RtΔCOD 的面积为S 2则 （ ）A ．S 1 ＞S 2 B ． S 1

C ． S 1=S 2

D ． S 1与S 2的大小关系不能确定

6．关于x 的一次函数y=-2x+m 和反比例函数y=

的图象都经过点A （-1

n x

+2，

1）.

求：（1）一次函数和反比例函数的解析式；（2）两函数图象的另一个交点B 的坐标；

（3

）△AOB 的面积．