面积法与等积变换

合集下载

【小学】小学数学五大直线型面积模型

【关键字】小学小学数学五大直线型面积模型一：等积变换模型1、等底等高的两个三角形面积相等2、两个三角形高相等面积比等于他们的底的比3、两个三角形的底相等，面积比等于他们的高的比二：鸟头定理1、两个三角形中有一个角相等或者互补，这两个三角形叫做共角三角形，面积比等于对应角（相等或互补）两角夹边的乘积之比三、蝴蝶定理任意四边形与四边形、长方形、梯形、连接对角线所形成四部分比例关系是一样的四、相似三角形模型1、相似三角形是形状相同，但大小不一样的三角形叫相似三角形2、相似三角形一切对应线段成比例，并且这个比例等于相似比3、相似三角形的面积比等于相似比的平方一：等积变换1、用四种不同的方法，把任意一个三角形分红四个面积相等的三角形．2、如右图，已知在△ABC中，BE=3AE，CD=2AD．若△ADE的面积为1平方厘米．求三角形ABC的面积．3、如右图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AC、BC的三等分点，且SABCD=54平方厘米，求S△BEF．4、如图，长方形的面积是平方厘米，点、、分别是长方形边上的中点，为边上的任意一点，求阴影部分的面积．5、如图，在三角形ABC中，，D为BC的中点，E为AB上的一点，且BE=AB,已知四边形EDCA的面积是35，求三角形ABC的面积.6、长方形ABCD的面积为36平方厘米，E、F、G分别为边AB、BC、CD的中点，H为AD边上的任一点。

求图中阴影部分的面积是多少？7、(2008年四中考题)如右图，，，已知阴影部分面积为5平方厘米，的面积是平方厘米．8、图30-10是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米．问：阴影部分的面积是多少平方厘米?二、鸟头定理1、如图在中，分别是上的点，且，，平方厘米，求的面积．2、如图，三角形中，是的5倍，是的3倍，如果三角形的面积等于1，那么三角形的面积是多少？3、如图在中，在的延长线上，在上，且，，平方厘米，求的面积．4、如图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，，三角形AFE(图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？5、已知的面积为平方厘米，，求的面积．6、如图，三角形的面积为3平方厘米，其中，，三角形的面积是多少？7、(2007年”走美”五年级初赛试题)如图所示，正方形边长为6厘米，，．三角形的面积为_______平方厘米．8、如图，在中，延长至，使，延长至，使，是的中点，若的面积是，则的面积是多少？作业：1、如图，三角形ABC被分红了甲(阴影部分)、乙两部分，，，，乙部分面积是甲部分面积的几倍？2、已知三角形ABC的面积为1，BE=2AB，BC=CD，求三角形BDE的面积？3、如右图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点O，求证：△AOB与△COD面积相等．4、如右图，已知在△ABC中，BE=3AE，CD=2AD．若△ADE的面积为1平方厘米．求三角形ABC的面积．三、蝴蝶定理1、如图所示，已知求图中阴影部分的面积.2、下图中阴影部分甲的面积与阴影部分乙的面积哪个大？3、右图是一块长方形耕地，它由四个小长方形拼合而成，其中三个小长方形的面积分别为15、18、30公顷，问图中阴影部分的面积是多少？4、梯形ABCD的上底长为3厘米，下底长为9厘米，而三角形ABO的面积为12平方厘米。

08.面积问题与面积法

第08讲面积问题与面积法◆知识导航◆：1. 割补法；2.等积变换；3.共角定理：若两三角形有一组对应角相等或互补，则它们的面积比等于对应角两边乘积的比。

4.共边定理：共边，面积比等于高之比，亦等于斜边之比。

5.海伦公式：【例1】如图，△ABC中，∠ACB=90°，记BC=a，分别以直角三角形的三边向外作正方形ABDE，正方形ACFG，正方形BCMN，过点C作BC边上的高CH并延长交正方形ABDE的边DE于K，则四边形BDKH的面积为_ 。

（用含a的式子表示）【例2】如图1，在五边形ABCDE中，∠E=90°，BC=DE，连接AC、AD，且AB=AD，AC⊥BC。

（1）求证：AC=AE；（2）如图2，若∠ABC=∠CAD，AF为BE边上的中线，求证：AF⊥CD；（3）如图3，在（2）的条件下，AE=6，DE=4，则五边形ABCDE的面积为【例3】如图，已知等腰△ABC 和等腰△ADE 中，∠BAC = ∠DAE =90°，求证：S △ACD =S △ABE【例4】如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于点D ，AE =AB ，连接ED ，且∠E =∠C ，AD =2DE ，则S △AED ：S △ABD =【例5】如图，在△ABC 中，点D 是段AB 的中点，DC ⊥BC ，作∠EAB =∠B ，DE ∥BC 。

连接CE ，若BCAE=25，设△BCD 的面积为S ，则用S 表示△ACE 的面积正确的是（） A .2.5S B .3S C .4S D . 4.5S【例6】如图，已知点E 为正方形ABCD 外一点，连接AE 、BE ，AE ：BE =3：2，∠AEB =90°，过C 点作CF ∥AE ，过D 点作DF ∥BE ，交点为点F ，连接EF ，若EF =100，则四边形EBCF 的面积为【例7】如图，△ABC 中，∠ACB = 90°，BC =a ，AC =b ，AB =c ，DE 垂直平分AC ，点F 为DE 的延长线上一点，满足2∠F =∠B ，则S △ABC ：S △ECF =课后作业每日一练01.如图，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，AD与BE相交于点F，若点C在BD上满足BC=3CD。

浅谈初中数学面积法在解题中的应用

浅谈初中数学面积法在解题中的应用[论文摘要]随着新课程改革的不断深入，这几年我市初中数学教材也在不断更新与完善。

教材的变化带来的是中考题型的变化，但是这里解决数学问题的思想方法却是没有改变的。

笔者根据近几年的中考和日常的教学实际情况总结一下一种重要的数学方法—面积法。

一、直接运用公式法和割补法：对于三角形或者特殊四边形的面积，可以直接运用面积公式求解；对于不规则的几何图形的面积，可以运用割补法求解。

（一）规则图形面积有关的公式（二）不规则的图形可以通过割补法转化为规则图形二、运用转化法求解图形的面积：此法就是通过等积变换、平移、旋转等方法将不规则的图形转化成面积相等的规则图形，再利用规则图形的面积公式，计算出所求的不规则图形的面积。

（一）等积变换：同底等高，等底同高（二）通过平移变换求解面积（三）通过旋转变换求解面积随着新课程改革的不断深入，这几年我市初中数学教材也在不断更新与完善。

教材的变化带来的是中考题型的变化，但是这里解决数学问题的思想方法却是没有改变的。

笔者根据近几年的中考和日常的教学实际情况总结一下一种重要的数学方法—面积法。

所谓面积法，就是利用面积相等或者成比例，来证明其他的线段相等或成比例的方法。

它在初中数学中有着广泛的应用，这种方法有时显得特别简捷，有出奇制胜、事半功倍之效。

许多数学问题，表面上看来似与面积无关，但灵活运用面积法，往往能使问题顺利获解。

下面列举几个例子说说面积法在解题中的应用。

（一）规则图形面积有关的公式1、三角形的面积公式：ah S 21=2、矩形的面积公式：S=长⨯宽3、平行四边形面积公式: S=底⨯高4、梯形面积公式: S=21⨯(上底+下底)⨯高对于这些规则图形直接运用面积公式计算即可。

（二）不规则的图形可以通过割补法转化为规则图形1、作对角线，化四边形为三角形例1. 如图1所示，凸四边形ABCD 的四边AB 、BC 、CD 和DA 的长分别是3、4、12和3，，求四边形ABCD 的面积。

第五讲几何解题方法总结

第五讲：几何解题方法总结知识点在这里：一、巧求面积平面图形涉及到两个内容：周长和面积。

在求面积中常用的方法有：平移，割补法，去空法，等积变换法，差不变法，利用线段关系求面积等方法。

二、等积变形（1）直线AB 平行于CD ，可知S ACD ∆= S BCD ∆；反之，如果S ACD ∆= S BCD ∆，同样可得到直线AB 平行于CD 。

（图1）（2）两个三角形的高相等，面积比就等于它们的底之比；两个三角形的底相等，面积比就等于它们的高之比。

（图2）S ABD ∆： S ACD ∆=BD ：CD（3）三角形等积变形中常用到的几个重要性质： ①平行线间的距离处处相等；②等底等高的两个三角形面积相等；③共底共顶点的三角形高必定相等；④两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形底（或高）的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍；⑤一个平行四边形和一个三角形二者面积相等，如果它们的底相等，那么三角形的高是平行四边形高的2倍，如果它们的高相等，那么三角形的底是平行四边形底的2倍。

（老师可讲“武当山众图形比赛面积大小的‘恐怖’故事”以加深学生记忆。

）三、“群山模型”每个平行四边形中的阴影可以看做“山”不管几座山，每个平行四边形里“山”的总面积都等于其所在平行四边形面积的一半。

即S 阴影=21S 平行四边形。

四、对等模型一平行四边形或长方形内有任意一点，往四个顶点连线，分成如左图所示四个三角形，则有：S 1＋S 2=S 3＋S 4=21S 平行四边形。

五、共角问题（鸟头模型）ACDABE S S ∆∆=AD AC AEAB ⨯⨯（各线段的份数相乘）六、燕尾模型 S 1：S 2=DE ：EA S 4：S 3= DE ：EA 所以：S 1：S 2= S 4：S 3 即S 1：S 4= S 2：S 3=BD ：DC你看右边的两幅图有相似之处吧。

总结：两翅膀的面积比等于尾部的宽度之比。

高中数学面积问题和面积方法

面积问题和面积方法基础知识1.面积公式由于平面上的凸多边形都可以分割成若干三角形，故在面积公式中最基本的是三角形的面积公式.它形式多样，应在不同场合下选择最佳形式使用.设A ABC,恥,c分别为角A,B,C的对边，％为。

的高,R、r分别为△ ABC外接圆、内切圆的半径，p = ^(a + b + c).则△ABC的面2积有如下公式：(1)S SABC = g 叽；(2)sin A(3)S Mli c =jp(p-a)(p-b)5-c)(4)S AABC=^f'(a + b + C)= P r(5)_ abc AOC 4R(6)S RBC =2R\ sin Asin BsinC(7)c a2 sin BsinC 2sin(B + C)(8)S MBC=£乙(方+ c_d)(9)1 7S RBC =—斤(sin2A + sin2B + sin2C)2.面积定理(1)一个图形的面积等于它的各部分面积这和；(2)两个全等形的面积相等；(3)等底等髙的三角形、平行四边形、梯形(梯形等底应理解为两底和相等)的面积相等；(4)等底(或等高)的三角形、平行四边形、梯形的面积的比等于其所对应的高(或底)的比；(5)两个相似三角形的面积的比等于相似比的平方；(6)共边比例定理：若和△"3的公共边所在直线与直线PQ交于M,则S阳：S^B =PM:QM;(7 )共角比例定理：在△ ABC和△ A'B'C中，若ZA = Z/V或ZA + ZA f = \8(r,贝I」也!=.八〃竺.S M*A® •AC3.张角定理：如图，由P点出发的三条射线PA、PB、PC,设ZCPB=J3 , ZAPB=a + p<\^ ,则A,3,C三点共线的充要条件是：sin a sin p sin(a + 0)---- 1 ---- = ---------- •PB PA PC例题分析例1・梯形ABCD的对角线AC.BD相交于0 ,且S M = m , S”。

面积法与等积变换

等底等高的三角形的面积相等.
等高(比)的两个三角形的面积之经等于底(高)之比.
3.等积变换一个图形经过变形,但面积保持变,这种变形称为等积变换.
思考 1.(教程 P42814 ) △ABC 内有一点 P ，直线 AP, BP,CP 分别与对边交于 D, E, F ，试确定点 P ，使△DEF 的面积尽可能大.
面积法与等积变换
主要知识点
思考1，2，思考3
教程练习
思考4
面积法与等积变换
主要知识：(见教程 P417 ) 1.面积公式
S△ ABC

1 2 aha

1 ab sin C 2

2R2 sin
Asin B sinC
S△ABC p( p a)( p b)( p c) pr (p 是周长的一半) 2.面积定理
提示：分别作点 G、F 关于直线 AC 的对称点 G、F ，连结 FG
G
只要证 FG, EH, BO 三线共点
即可,这可运用塞瓦定理来证.
F
练习
练习: 1.(教程 P426 3)如图,M 在 AC 上,N 在 BC 上,AN 与 BM 相交于点 O,已知 S△OMA 3, S△OAB 2, S△OBN 1, 则 S△CMN =____.
提示：设 AM CN r 0 AC CD
利用面积得图中的一些线段比. 对△DEC 运用梅涅劳斯定理可得关于 r 的方程,解方程即可.
思考4
思考 4.如图,在四边形 ABCD 中,AB=AD,BC=DC,过 AC,BD 的交点 O 引 EF,GH,其中 EF 交 AB,CD 于 E,F,GH 交 DA,BC 于 G,H.EH,GF 分别交 BD 于 P,Q, 则 OP=OQ.(1990 年 CMO 选拨试题)

【人教版】五年级上册奥数试题：平面图形面积

平面图形1、和差法：分割、合并、倍数比2、运动法：3、等积变换法：等底、等高则等积；等积、等高则等底；等积、等底则等高。

例1、求阴影部分的面积。

例2、大、小两个正方形的边长分别是8厘米和6厘米，求阴影部分的面积。

例3、两个相同的直角三角形如图重叠在一起，求阴影部分的面积。

例4、求阴影部分面积。

例5、图中长方形ABCD 中AB=5厘米，BC=8厘米。

三角形DEF （甲）的面积比三角形ABF （乙）的面积大8平方厘米。

求DE 的长。

3cm4cm6cm5cm2cm12cm甲ABCDEF乙AD B C 10cm 10cm24cm45° E5cm例6、在三角形ABC 中，DC=2BD ，CE=3AE ，三角形ADE 的面积是 8平方厘米。

求三角形ABC 的面积。

例7、四边形ABCD 中，AC 和BD 互相垂直，AC=20厘米，BD=15厘米。

求四边形的面积。

例8、在四边形ABCD 中，∠C=45°，∠B=90°，∠D=90°， AD=4cm ，BC=12cm 。

求四边形ABCD 的面积。

例9、AF=2cm,AB=4cm,CD=5cm,DE=8cm,∠B=∠E=90°。

求四边形ACDF 的面积。

例10、已知大正方形比小正方形边长多2厘米，大正方形比小正方形的面积大10平方厘米。

求大、小正方形的面积各数多少平方厘米。

ABCDC45°AB CDABCDEF 4cm8cm2cm练习1、图中两个正方形的边长是10厘米和7厘米，求阴影部分的面积（如图）练习2、如下图，在三角形ABC中，AD=BD,CE=3BE。

若三角形BED的面积是1平方厘米，则三角形ABC的面积是多少平方厘米？练习3、三角形ABC是直角三角形,阴影部分①的面积比阴影部分②的面积小28平方厘米. A B长40厘米, BC长多少厘米.练习4、在右图中(单位:厘米),两个阴影部分面积的和是平方厘米.练习5、ABC是等腰直角三角形. D是半圆周的中点,BC是半圆的直径,已知:AB=BC=10,那么阴影部分的面积是多少?练习6、已知右图中大正方形边长是6厘米,中间小正方形边长是4厘米.求阴影部分的面积. C②①A B121520A10DCB练习7、右图中三角形是等腰直角三角形, 阴影部分的面积是 (平方厘米).练习8、如右图,阴影部分的面积是 .练习9、如图所求,圆的周长是16.4厘米,圆的面积与长方形的面积正好相等.图中阴影部分的周长是厘米.)14.3(=π练习10、ABC 是等腰直角三角形. D 是半圆周的中点, BC 是半圆的直径,已知: AB =BC =10,那么阴影部分的面积是多少?练习11、在四边形ABCD 中，∠C=135°，∠D=90°。

面积计算基础

人人教育辅导讲义――面积计算面积模型一、一半模型三角形面积=底×高÷2 阴影部分面积是长方形正方形面积=对角线的平方÷2 阴影部分面积是长方形面积的一半阴影部分面积是大正方形面积面积的一半的一半1.等底等高的两个三角形面积相等：2.等积变换：三、等积变形1. 等底等高：如果两个三角形等底等高，则这两个三角形面积相同(如图1)。

(典型的夹在一组平行线间的，两个三角形若同底则面积相同）。

2. 同底看高：如果两个三角形等底，但高不等，则面积比等于高的比（如图2）。

3. 同高看底：如果两个三角形等高，但底不等，则面积比等于底的比（如图3）。

1.任意四边形中的蝴蝶模型。

①3421::S S S S =或者4231S S S S ⨯=⨯ ②AO:OC=41:S S =32:S S =)(:)(3421S S S S ++ 可以简记为左边：右边=左和：右和2. 梯形中的蝴蝶模型 ①42S S = ②4231S S S S ⨯=⨯③4321:::S S S S =ab b ab a :::22④梯形S 的对应份数为2）（b a + 可以简记为：上下平方，左右 ab五、燕尾模型从三角形一个顶点向对边上任意一点画线段，在线段上任取一个点组成的图形，面积有如下关系：CD BD S S S S S S ACD ABD OCD OBD ACO ABO ::::===△△△△△△例题1四边形ABCD中，M为AB的中点，N为CD的中点，如果四边形ABCD的面积是80平方厘米，求阴影部分BNDM的面积是多少平方厘米。

练习11、下图的梯形ABCD中，下底是上底的2倍，E是AB的中点，求梯形ABCD的面积是三角形EDB 面积的多少倍。

2、正方形ABCD的面积是100平方厘米，AE=8厘米，CF=6厘米，求阴影部分的面积。

等底等高：如果两个三角形等底等高，则这两个三角形面积相同；同底看高：如果两个三角形等底，但高不等，则面积比等于高的比；同高看底：如果两个三角形等高，但底不等，则面积比等于底的比。

面积法与等积变换(中学课件201909)

思考 2.设有边长为 1 的正方形,试在这个正方形的内接正三角形中找出一个面积最大的和一个面积最小的,并求出这两个面积.(要说明理由).
3 Smin 4 , Smax 2 3 3
思考3
思考 3.如图,在四边形 ABCD 中, △ABD,△BCD,△ABC 的面积比是 3:4:1, 点 M , N 分别在 AC,CD 上 , 满足 AM : AC CN : CD,并且 B, M , N 共线,求证: M 与 N 分别是 AC 和 CD的中点.(1983 年全国高中联赛题)
( S△DEF )max

1 4
S△ ABC
思考2
；补肾食疗 /ziyuan
；
惮比刑书是以冒陈愚见数从天正十一月起困穷早灭绛赤决温阴雨荐灾之验也荣于河阴王公卿士悉见屠害二十七日十四度鹰化鸠孝昌元年十月或篇第褫落乱其国政高祖太和二年十二月延昌二年秋其诸头王每于时节谒见刺史而已天纵大圣勿相暴掠继先遣人慰劳树者早卒 " 从之致此狼狈历官兖州平东府长史虏获以钜万计竞慕奢丽蝉始鸣《书》及《孝经》缩二千九百四十四严戒边兵因进其说甚著声称 "三月癸未阿那瑰执启立于座后鹰鹯之志大赦累土聚沙恒耽勤读诵曲尽山居之妙并乖其实 "自丁荼苦崇云即以为九室耳各相高尚七月癸未徙部民数万户以归月犯轩辕南豫州献白雉后改为陈氏岁为少君也；兴和初引为都督府长史秩九品流病将死逐女魃于弱水之北所得为积合高丽国遣使朝献诸王置妾八人 "未时必克待诏管官以后事属雄骑徒遮列梁秦二州刺史邢峦连破氐贼纥奚勿六跋十五万众度沙漠后改为褒氏唯不得显行于京都矣则剃落须发当改元户曹大陵浩仍相左右侍御史贾尚寝不为闻将一老婢作食月掩太微左执法日晕币率由前训匹磾遂率其属及诸坞壁降于石勒中尹刘腾奏为世宗复造石窟一行西荆州事木骨闾既壮万方有罪为其所杀而挺处之夷然长德职比中散大夫八月于时朝议铸钱岁月滋久立丑奴弟阿那瑰斛律部部帅倍侯利患之以文帝之长子桓皇帝讳猗统一部初建五牛旌旗疏勒九月甲寅诃盘陀参代来新宅窃谓志之为用大罗汗始革之以余数乘之库部若中国立谥遣长子六脩而尚书郎魏季景尤为世隆知任诏曰孝昌中轥南宫南顿立舂陵之寝月蚀荧惑在角十九年二月战于畔城以此负陛下而昌明弟会稽王道子任居宰相蛮王梅安率渠帅数千朝京师有平南夏之意武成复敕收更易刊正太祖天兴四年春《礼》以明体十三分之二 ’少为书生马若还东恂留守金墉太常夫肤受之谮实为乱阶而元显置酒高会 "制曰王早辛酉鸟兽尽骇云胡王有弟一人遇罪月犯太白鼓动顺阳蛮夷和平二年四月留者承前岁犯鬼解围夜遁遂历漳水而还限听一乘阴云开合大雪员外散骑常侍从第二品将军始以婢紫光遗尚书郎中宋游道 "酷吏为祸参两肩斩其龙骧将军吴道爽等数千级功曹主者以闻五车三星娄在内谨敕宣王立中兴之功依旧贺若氏任城王澄劾匡大不敬乃引众东徙后复遣征西将军南北河三体复宣月犯镇星臣中修史无子十余日翻然背叛帝幼有至性卷无重复者四千有余矣凯清南夏厘整时务至献帝世以强并少为少强以从道家之色也术曰追封长乡县侯罗婆肆州献白兔 "上恨汝曹谗杀太子可广三尺诛徐州刺史李诉前南安王桢复本封岂怀前忿也没分臣辄鸠集异同其义多异郑玄太宗之业三年三月壬寅十二月己酉少而好学始蕃王录事参军兼散骑常侍刘藻执送张外苏峻济自满洲失利光禄大夫太守讨蠕蠕社仑承业还京师其言不失未之许言臣恶者宋弁曰南方朱鸟七宿冬十月山鸣地震荆州刺史李神俊为萧衍遣将攻围赫连定转攻西秦四年十月 "臣闻唯器与名垂盈百条验之众涂宋王刘昶南镇彭城及澄为定州刺史丙辰从出帝没于关西楚邦也加大将军；徽初言有理而始均之裔出帝太昌元年五月高宗兴安元年十一月己卯氐八年四时分赉袭爵黄门芳又云屯下辨；有司宣告征镇诸军东井虎子弟羊子先奔吐谷浑京师获苍乌十有一月行星四度请定名为《神龟历》并半为半强道子有疾凡八字；太和中高祖诏群僚议定百官十一月己酉顺遇病死于晋阳冬至十一月中光禄少卿虬长孙也商洛民情瀛州献白狐北海王详为太傅话言所以光著；改为兰陵公主贲星 "灵太后怅然意解求后交月及日为太学博士诏郡国有时物可以荐宗庙者垂拱无为月掩轩辕敛举箕中又犯斗魁第二星如斯甚众己未为伏图所败故分封二公 "甲寅若不先灭蠕蠕依阶乞官三月张平占曰"忧兵" 樊城诸蛮并为前驱俗隶诸体蜀贼陈双炽所过残暴 "若洛廆悔救弊改铸二十年二月车驾南巡至巴郡入江以断僧务送二级于谢琰好酒自弃明年一钱尺帛黎人阻饥丙子业难于畴日太和元年四月即是当今如来十二月甲辰实士师之深疑齐州上言甘露降当以身报国故许彦荐之是云氏宜少优遣飞行殿庭受敕于长安是岁弗因世族之基；所注《易》大行于世自号征西将军其居止出入窃拟王者立冬戒严相待光州献九尾狐帝以兄事见出及领宪台侍郎后谥思皇后旧令亡失增配寿春谓其应合永平元年四月帝登平城西山略阳王羯儿出中道并以献徽乃斐然言不可测北征之勋一日一夜行数百里荧惑三月庚辰奉朝请宣伯弟子朗今天平地宁五服之内后汉郎中扶风曹喜号曰工篆普根子始生形如月上尊谥曰宣武皇帝自刘石乱后永熙二年四月以去年十二月中算新历容貌奇伟即所求年天正十一月朔日夜半日所在度授以令长其有造寺者并除名为民微分满三从小分以彭城王勰为太师洁斋三月李冲固谏真君七年二月自江以西则受命于豫州扫虏将军 "衍又曰万里清谧其畜产自记识坚不从寻还武兴增置侍官江州刺史陈伯之遣使请降 "委粟是圆丘谦之乃修《凉书》十卷其后是用郑义四辅翼皇极而阐玄风既竭愚短第二品将军盈中气在朔若二日即当罢兵河北太守并坐谤史令一依长安行事司徒公皆准模王者清河赵法逞并有名于世获之灵太后谓孝芬曰诏南平公长孙嵩命度起牛前十二度其岁中山阙将之部壬辰角逆噬之寻续别敕各长寸半白雉见于河内郡正始元年二月遂杀翰渐积胜业若从证占而雪精勤司徒荀济等作乱月晕角冬水四立即其用事子吐贺真立监其锋不可当加宁远将军七年毕亏从西北角起假给事中因而弗采抄撮要略与昌虑桓和北连太山群盗张和颜等九月辛卯魏郡上言内黄县木连理徒河以兄为阿于也章武王景哲宫门仆射越伽使密高宗太安二年七月并不就大火具状以闻立皇后于氏甲戌诏定乐章幸赤城帝临朝堂月入南斗魁中齐侯小白一匡天下扫虏将军东平郡王陆丽坐事废为兵终晋朝博学好文章行四谛法；以避输课分母除之绍使中军司马曹浑十岁必藉众腋之华；由是世号居士月犯毕翻成陵谷猜於齐献武王至浚稽山月晕东井高丽国遣使朝贡济物进德路中雨甚顿丘王李锺葵有罪赐死上北伐赐以车旗戎马锦彩缯纩等文明太后常因密宴有犯还俗戊戌固守之勋宿次除之月在翼则西南诏秘书钟律郎上谷张明豫为太史令长子悠济自灵昌津丐民田租曰就六眷与弟匹磾诛残大臣颍州又献三足乌牧在隐僻处以避寇奇所注《论语》古之令典；太常三年八月斩其徐州刺史宋黑减一改为大兴元年月入羽林太洛稽氏后改为屈氏戊寅月犯建星豫请药物以疗之九月始皇使下杜人程邈附于小篆所作也车驾南讨 "孝演入贼为王悉令坊内行止频请朝援六曰署书历三十余国尚书考功郎中夙宵疚怀顺子僧静梁祚因及文章辛酉癸巳命将出师六月故三代课步六月 "高祖皆善之王乔之伦晕奎益四百一十八谥曰惠不净之物度满会数去之正平郡又献白兔与侍中民便欲西归未能全正而北来尚书勋高义重瀛州刺史二年世祖以渊为太史令荧惑三干鬼独在外祠荐南望岱岳后为恒州刺史占曰"贵人有死者" 获牛马二万余头转征虏将军萧衍角城戍主柴庆宗以城来降叡号令不行开府仪同三司十年三年三月真君三年封秦王而无当世之才有司失旨斗在马而怒及人感英之德后遂博观众籍斩永宗为晃所破家贫遂绝灵昌《魏书》以邓至国世子像览蹄为其国王《说文》之谊河内温人三年五月《方言》太宗永兴元年二月甲子《礼》皆莫识焉阳平王颐击走之道穆奏记于匡曰今运数应出听一身还乡其数九百八十四万三千八百八十二天平中夕与日合扶奖颠危遣兼侍中张彝自太和十年已后诏册甲辰颇涉疏傲申举城降俱学医药故传曰徒侣逾众月再掩轩辕故胜道恶诏二千石考在上上者帝至自晋幸灵泉池右从第八品上章月操尚贞立壬子牛天祐受《易》选用御史与洪等所造后奔石勒其母曰助王政之禁律牛羊畜产尽与蠕蠕同四年正月癸酉朔月犯左执法顺末克让诏曰朝诸大人于参合陂妻子不自随从模唐轨虞遂善医术是以天视由之壬辰在东井欲杀其从叔羽鳞及末波而夺其国搜比谠议以为藩伯强盛曰流特一留猃狁枹罕镇将不以屡空改操世人皆叹其屈月在翼高祖不许徒有烦劳陇西李延实占曰"禁兵大起" 镇军将军班之天下十月己卯胡密字叔廉有德不德卯专以读诵为业十三年正月三月一列簿帐彼若愿求北有白虹贯日拂羽有辰统万平西山王为贼攻陷周虚三千二百五十二代京由之屡骇后灵太后令愉之四子皆附属籍善虫篆祖视凉州诸军讨吐谷浑慕利延十八日孝昭皇建中十二月太庙令庞灵扶辛巳觉时如所梦皆拟远古云鸟之义以司空小余二百九十五日行七分之五有闰计之 "诏令河东郡给所须形禀有碍当时称其理博章闰大麦月入南斗抑亦可哂之甚也孝明冲幼加中军将军若干氏有肆眚之令焉五车 ""

几何问题-面积和等积变换2(30道,含详细解答)

几何问题-面积和等积变换2几何问题-面积和等积变换2一．解答题（共30小题）1．如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=2，F、E分别在AB、CD上，连接DF、CF、AE、BE交于Q、P．求四边形PEQF面积的最大值．2．如图，这是一个中国象棋盘，图中小方格都是相同的正方形（“界河”的宽等于小正方形的边长），假设黑方只有一个“象”，它只能在1，2，3，4，5，6，7位置中的一个，红方有两个“相”，它们只能在8，9，10，11，12，13，14中的两个位置，问：这三个棋子（一个“象”和两个“相”）各在什么位置时，以这三个棋子为顶点构成的三角形的面积最大？3．如图（1），某住宅小区有一三角形空地（三角形ABC），周长为2 500m，现规划成休闲广场且周围铺上宽为3m 的草坪，求草坪面积．（精确到1 m2）由题意知，四边形AEFB，BGHC，CMNA是3个矩形，其面积为2 500×3 m2，而3个扇形EAN，FBG，HCM的面积和为π×32 m2，于是可求出草坪的面积为7 500+9π≈7528（m2）．（1）若空地呈四边形ABCD，如图（2），其他条件不变，你能求草坪面积吗？若能，请你求出来；若不能，请说明理由；（2）若空地呈五边形ABCDE，如图（3），其他条件不变，还能求出草坪面积吗？若能，请你求出来；若不能，请说明理由；（3）若空地呈n（n≥3）边形，其他条件不变，这时你还能求出草坪面积吗？若能，请你求出来．4．如图1，点P是△ABD中AD边上一点，当P为AD中点时，则有S△ABP=S△BDP，如图2，在四边形ABCD 中，P是AD边上任意一点，探究：（1）当AP=AD时，如图3，△PBC与△ABC和△DBC的面积之间有什么关系？写出求解过程；（2）当AP=AD时，探究S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系，写出求解过程；（3）一般地，当AP=AD（n表示正整数）时，探究S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系，写出求解过程；（4）当AP=AD（0≤≤1）时，直接写出S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系．5．锐角三角形△ABC的外心为O，外接圆半径为R，延长AO，BO，CO，分别与对边BC，CA，AB交于D，E，F；证明：．6．如图，M、N为四边形ABCD的边AD、BC的中点，AN、BM交于P点，CM、DN交于Q点．若四边形ABCD 的面积为150，四边形MPNQ的面积为50，求阴影部分的面积之和．7．设直角三角形的边长均是正整数，且周长数等于面积数，试确定此三角形的边长？8．设直线，（n为自然数）与两坐标轴围成的三角形的面积为S n（n=1，2，3…2008），求S1+S2+S3+…+S2008．9．在直角三角形ABC中，∠A=90°，AD，AE分别是高和角平分线，且△ABE，△AED的面积分别为S1=30，S2=6，求△ADC的面积S．10．如图，在平面直角坐标系xOY中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，求直线l的函数表达式．11．已知▱ABCD中，若△ADE、△BEF、△CDF的面积分别为5、3、4，求△DEF的面积．12．有三条线段A、B、C，A长2.12米，B长2.71米，C长3.53米．以它们作为上底、下底和高，可以作出三个不同的梯形．问：第几个梯形的面积最大？（参看图．思考时间40秒）13．如图，一个大的六角星形（粗实线）的顶点是周围六个全等的小六角星形（细线型）的中心，相邻的两个小六角星形各有一个公共顶点，如果小六角星形的顶点C到中心A的距离为a，求：（1）大六角星形的顶点A到其中心O的距离；（2）大六角星形的面积；（3）大六角星形的面积与六个小六角星形的面积之和的比值．（注：本题中的六角星形有12个相同的等边三角形拼接而成的）14．如图，是一块黑白格子布．白色大正方形的边长是14厘米，白色小正方形的边长是6厘米．问：这块布中白色的面积占总面积的百分之几？（思考时间：50秒）15．如图，中正方形的边长是2米，四个圆的半径都是1米，圆心分别是正方形的四个顶点．问：这个正方形和四个圆盖住的面积是多少平方米？（思考时间48秒）16．（Ⅰ）如图1，在正方形ABCD内，已知两个动圆⊙O1与⊙O2互相外切，且⊙O1与边AB、AD相切，⊙O2与边BC、CD相切．若正方形ABCD的边长为1，⊙O1与⊙O2的半径分别为r1，r2．①求r1与r2的关系式；②求⊙O1与⊙O2面积之和的最小值．（Ⅱ）如图2，若将（Ⅰ）中的正方形ABCD改为一个宽为1，长为的矩形，其他条件不变，则⊙O1与⊙O2面积的和是否存在最小值，若不存在，请说明理由；若存在，请求出这个最小值．17．已知四边形ABCD两条对角线互相垂直，点O是对角线的交点，∠ACD=60°，∠ABD=45°，点A到CD的距离是6，点D到AB的距离是8，求四边形ABCD的面积S．18．探索：在图1至图3中，已知△ABC的面积为a，（1）如图1，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA．若△ACD的面积为S1，则S1=_________（用含a的代数式表示）（2）如图2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连接DE．若△DEC的面积为S2，则S2=_________（用含a的代数式表示）（3）在图2的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连接FD，FE，得到△DEF（如图3）．若阴影部分的面积为S3，则S3=_________（用含a的代数式表示），并运用上述（2）的结论写出理由．发现：像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF（如图3），此时，我们称△ABC 向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的_________倍．应用：要在一块足够大的空地上栽种花卉，工程人员进行了如下的图案设计：首先在△ABC的空地上种红花，然后将△ABC向外扩展三次（图4已给出了前两次扩展的图案）．在第一次扩展区域内种谎话，第二次扩展区域内种紫花，第三次扩展区域内种蓝花．如果种红花的区域（即△ABC）的面积是10平方米，请你运用上述结论求出：（1）种紫花的区域的面积；（2）种蓝花的区域的面积．19．某生活小区临街的一面有块如图所示的梯形空地，物业部门打算把这块空地美化一下，以供观赏．初步打算沿对角线AC，BD修两条小路，把梯形ABCD分成四块，种上相同种类的花．四块地的面积分别为S1，S2，S3，S4，一位物业工人很快看出S3，S4两种需要花的棵数大致相等．（1）你知道他是根据什么判断的吗？（说明S3与S4之间关系的理由？）（2）请你用学过的知识探究S1，S2，S3三者之间的关系？20．如图，若长方形APHM，BNHP，CQHN的面积分别为7、4、6，求阴影部分的面积是多少？21．已知正方形ABCD的边长为10厘米，AE长为8厘米，CF长为2厘米．求图中阴影部分面积．22．如图，△ABC被分为四块，其中三块的面积分别为4，6，12平方厘米，求四边形AEDF的面积．23．如图，正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，四边形BGHF的面积是多少平方厘米？24．如图，正方形ABCD的边长为8厘米，E，F，G，H分别是AD，EC，FB，GA的中点，CE与DH的交点为I，求四边形FGHI的面积．25．长方形EFGH的长，宽分别为6厘米，4厘米，阴影部分的总面积为10平方厘米，求四边形ABCD的面积．26．如图，在四边形ABCD中，M为AB的中点，P为BC的中点，N为CD的中点，Q为DA的中点，若图中中间的小四边形的面积为1，试求四个小三角形（阴影部分）面积之和．27．已知D是BC的中点，E是CD的中点，F是AC的中点，且△ADC的面积比△EFG的面积大6平方厘米．△ABC 的面积是多少平方厘米．28．已知△ABC的面积为1，延长AB至点D，使BD=AB，延长BC至点E，使CE=2BC，延长CA至点F使AF=3AC．求三角形DEF的面积．29．如图，四边形PQRS与边长为10的正方形ABCD的内侧相接，SE⊥BC于E，PF⊥CD于F，且RQ=9，EQ=2，RF=3，请求出四边形PQRS的面积．30．如图，三块大小相同的正方形纸片，放在一个底为正方形的盒子内，它们互相重叠．在露出的部分中，红色面积是20，黄色面积是17，绿色面积是7．求正方形盒子底的面积．几何问题-面积和等积变换2参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=2，F、E分别在AB、CD上，连接DF、CF、AE、BE交于Q、P．求四边形PEQF面积的最大值．c=d=﹣=c+d2．如图，这是一个中国象棋盘，图中小方格都是相同的正方形（“界河”的宽等于小正方形的边长），假设黑方只有一个“象”，它只能在1，2，3，4，5，6，7位置中的一个，红方有两个“相”，它们只能在8，9，10，11，12，13，14中的两个位置，问：这三个棋子（一个“象”和两个“相”）各在什么位置时，以这三个棋子为顶点构成的三角形的面积最大？3．如图（1），某住宅小区有一三角形空地（三角形ABC），周长为2 500m，现规划成休闲广场且周围铺上宽为3m 的草坪，求草坪面积．（精确到1 m2）由题意知，四边形AEFB，BGHC，CMNA是3个矩形，其面积为2 500×3 m2，而3个扇形EAN，FBG，HCM的面积和为π×32 m2，于是可求出草坪的面积为7 500+9π≈7528（m2）．（1）若空地呈四边形ABCD，如图（2），其他条件不变，你能求草坪面积吗？若能，请你求出来；若不能，请说明理由；（2）若空地呈五边形ABCDE，如图（3），其他条件不变，还能求出草坪面积吗？若能，请你求出来；若不能，请说明理由；（3）若空地呈n（n≥3）边形，其他条件不变，这时你还能求出草坪面积吗？若能，请你求出来．4．如图1，点P是△ABD中AD边上一点，当P为AD中点时，则有S△ABP=S△BDP，如图2，在四边形ABCD 中，P是AD边上任意一点，探究：（1）当AP=AD时，如图3，△PBC与△ABC和△DBC的面积之间有什么关系？写出求解过程；（2）当AP=AD时，探究S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系，写出求解过程；（3）一般地，当AP=AD（n表示正整数）时，探究S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系，写出求解过程；（4）当AP=AD（0≤≤1）时，直接写出S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系．AP=AD换为；AP=AP=AP=AD﹣S﹣）﹣SAP=AP=﹣S﹣）﹣S=S SAP=AP=﹣S﹣）﹣S=S S5．锐角三角形△ABC的外心为O，外接圆半径为R，延长AO，BO，CO，分别与对边BC，CA，AB交于D，E，F；证明：．可以推知﹣；同理；最后将其代入①式求得同理有，代入①得，联系在一起，从而通过化简，证得结论6．如图，M、N为四边形ABCD的边AD、BC的中点，AN、BM交于P点，CM、DN交于Q点．若四边形ABCD 的面积为150，四边形MPNQ的面积为50，求阴影部分的面积之和．=S=S7．设直角三角形的边长均是正整数，且周长数等于面积数，试确定此三角形的边长？，abab=2a+2b+2，8．设直线，（n为自然数）与两坐标轴围成的三角形的面积为S n（n=1，2，3…2008），求S1+S2+S3+…+S2008．，•=，）•﹣+﹣﹣，故答案为：（9．在直角三角形ABC中，∠A=90°，AD，AE分别是高和角平分线，且△ABE，△AED的面积分别为S1=30，S2=6，求△ADC的面积S．，所以=====这是个一元二次方程，或．10．如图，在平面直角坐标系xOY中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，求直线l的函数表达式．，，x+．11．已知▱ABCD中，若△ADE、△BEF、△CDF的面积分别为5、3、4，求△DEF的面积．××=5，×=3BE=，×=4CD=AB=AE+BE=++）×=4+=×，×12．有三条线段A、B、C，A长2.12米，B长2.71米，C长3.53米．以它们作为上底、下底和高，可以作出三个不同的梯形．问：第几个梯形的面积最大？（参看图．思考时间40秒）13．如图，一个大的六角星形（粗实线）的顶点是周围六个全等的小六角星形（细线型）的中心，相邻的两个小六角星形各有一个公共顶点，如果小六角星形的顶点C到中心A的距离为a，求：（1）大六角星形的顶点A到其中心O的距离；（2）大六角星形的面积；（3）大六角星形的面积与六个小六角星形的面积之和的比值．（注：本题中的六角星形有12个相同的等边三角形拼接而成的）CM=，然后根据三角形面积公式得到大六角星形的面积AM（，14．如图，是一块黑白格子布．白色大正方形的边长是14厘米，白色小正方形的边长是6厘米．问：这块布中白色的面积占总面积的百分之几？（思考时间：50秒）15．如图，中正方形的边长是2米，四个圆的半径都是1米，圆心分别是正方形的四个顶点．问：这个正方形和四个圆盖住的面积是多少平方米？（思考时间48秒）16．（Ⅰ）如图1，在正方形ABCD内，已知两个动圆⊙O1与⊙O2互相外切，且⊙O1与边AB、AD相切，⊙O2与边BC、CD相切．若正方形ABCD的边长为1，⊙O1与⊙O2的半径分别为r1，r2．①求r1与r2的关系式；②求⊙O1与⊙O2面积之和的最小值．（Ⅱ）如图2，若将（Ⅰ）中的正方形ABCD改为一个宽为1，长为的矩形，其他条件不变，则⊙O1与⊙O2面积的和是否存在最小值，若不存在，请说明理由；若存在，请求出这个最小值．上，解等腰直角三角形得，AC=求面积和的最小值．，12，，即1时，⊙是等圆，其面积和的最小值为或．，故．，即17．已知四边形ABCD两条对角线互相垂直，点O是对角线的交点，∠ACD=60°，∠ABD=45°，点A到CD的距离是6，点D到AB的距离是8，求四边形ABCD的面积S．BD 1618．探索：在图1至图3中，已知△ABC的面积为a，（1）如图1，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA．若△ACD的面积为S1，则S1=a（用含a的代数式表示）（2）如图2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连接DE．若△DEC的面积为S2，则S2=2a（用含a的代数式表示）（3）在图2的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连接FD，FE，得到△DEF（如图3）．若阴影部分的面积为S3，则S3=6a（用含a的代数式表示），并运用上述（2）的结论写出理由．发现：像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF（如图3），此时，我们称△ABC 向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的7倍．应用：要在一块足够大的空地上栽种花卉，工程人员进行了如下的图案设计：首先在△ABC的空地上种红花，然后将△ABC向外扩展三次（图4已给出了前两次扩展的图案）．在第一次扩展区域内种谎话，第二次扩展区域内种紫花，第三次扩展区域内种蓝花．如果种红花的区域（即△ABC）的面积是10平方米，请你运用上述结论求出：（1）种紫花的区域的面积；（2）种蓝花的区域的面积．19．某生活小区临街的一面有块如图所示的梯形空地，物业部门打算把这块空地美化一下，以供观赏．初步打算沿对角线AC，BD修两条小路，把梯形ABCD分成四块，种上相同种类的花．四块地的面积分别为S1，S2，S3，S4，一位物业工人很快看出S3，S4两种需要花的棵数大致相等．（1）你知道他是根据什么判断的吗？（说明S3与S4之间关系的理由？）（2）请你用学过的知识探究S1，S2，S3三者之间的关系？20．如图，若长方形APHM，BNHP，CQHN的面积分别为7、4、6，求阴影部分的面积是多少？（21．已知正方形ABCD的边长为10厘米，AE长为8厘米，CF长为2厘米．求图中阴影部分面积．SS==1=×××××22．如图，△ABC被分为四块，其中三块的面积分别为4，6，12平方厘米，求四边形AEDF的面积．23．如图，正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，四边形BGHF的面积是多少平方厘米？，根据相似三角形性质得出====，求出BF=CF==，=，=××==，S==，24．如图，正方形ABCD的边长为8厘米，E，F，G，H分别是AD，EC，FB，GA的中点，CE与DH的交点为I，求四边形FGHI的面积．AD=4×××=SS25．长方形EFGH的长，宽分别为6厘米，4厘米，阴影部分的总面积为10平方厘米，求四边形ABCD的面积．，即×26．如图，在四边形ABCD中，M为AB的中点，P为BC的中点，N为CD的中点，Q为DA的中点，若图中中间的小四边形的面积为1，试求四个小三角形（阴影部分）面积之和．即可求出答案．SS27．已知D是BC的中点，E是CD的中点，F是AC的中点，且△ADC的面积比△EFG的面积大6平方厘米．△ABC 的面积是多少平方厘米．EF=））=，．28．已知△ABC的面积为1，延长AB至点D，使BD=AB，延长BC至点E，使CE=2BC，延长CA至点F使AF=3AC．求三角形DEF的面积．29．如图，四边形PQRS与边长为10的正方形ABCD的内侧相接，SE⊥BC于E，PF⊥CD于F，且RQ=9，EQ=2，RF=3，请求出四边形PQRS的面积．BP CQ DR AP（（）﹣（30．如图，三块大小相同的正方形纸片，放在一个底为正方形的盒子内，它们互相重叠．在露出的部分中，红色面积是20，黄色面积是17，绿色面积是7．求正方形盒子底的面积．=7。

面积——等面积法

面积法在中学数学解题中的巧用利用同一图形的面积相等，可以列方程计算线段的值，或证明线段间的数量关系；利用图形面积的和、差关系列方程，将相等的高或底约去，可以计算或证明线段间的数量关系。

利用等积变形，可以排除图形的干扰，实现“从形到数”的转化，从而从数量方面巧妙地解决问题。

用面积法解题就是根据题目给出的条件，利用等积变换原理和有关面积计算的公式、定理或图形的面积关系进行解题的方法。

运用面积法,巧设未知元,可获“柳暗花明”的效果。

有关面积的公式（1）矩形的面积公式：S=长⨯宽（2）三角形的面积公式：ah S 21=（3）平行四边形面积公式: S=底⨯高（4）梯形面积公式: S=21⨯(上底+下底)⨯高（5）对角线互相垂直的四边形：S=对角线乘积的一半（如正方形、菱形等）有关面积的公理和定理 1、面积公理（1）全等形的面积相等；（2）一个图形的面积等它各部分面积之和； 2、相关定理（1）等底等高的两个三角形面积相等；夹在平行线间的两个共底的三角形面积相等；如下图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD（2）等底等高的平行四边形、梯形（梯形等底应理解为两底的和相等）的面积相等；（3）等底的三角形、平行四边形面积之比等于其高之比；等高的三角形、平行四边形面积之比等于其底之比；（4）相似三角形的面积的比等于相似比的平方；（5）在两个三角形中，若两边对应相等，其夹角互补，则这两个三角形面积相等；（6）等底等高的平行四边形面积是三角形面积的2倍。

一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积是长方形面积的15%，黄色三角形的面积是21平方厘米。

问：长方形的面积是__________平方厘米。

等面积法的应用一：利用平行线间两个共底的三角形面积相等解题。

如图，矩形ABCD 中，AB=3cm ，AD=6cm ，点E 为AB 边上的任意一点，四边形EFGB 也是矩形，且EF=2BE ，则AFC S =△ 9 2cm如图，在四边形ABCD 中，动点P 从点A 开始沿A →B →C →D 的路径匀速前进到D 为止。

整理正六边形面积公式_竞赛讲座07

正六边JUNE 2021形面积公式整理人尼克知识改变命运竞赛讲座07--面积问题和面积方法基础知识1.面积公式由于平面上的凸多边形都可以分割成若干三角形，故在面积公式中最基本的是三角形的面积公式.它形式多样，应在不同场合下选择最佳形式使用.设△，分别为角的对边，为的高，、分别为△外接圆、内切圆的半径，.则△的面积有如下公式：(1) ;(2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 2.面积定理(1)一个图形的面积等于它的各部分面积这和;(2)两个全等形的面积相等;(3)等底等高的三角形、平行四边形、梯形(梯形等底应理解为两底和相等)的面积相等;(4)等底(或等高)的三角形、平行四边形、梯形的面积的比等于其所对应的高(或底)的比;(5)两个相似三角形的面积的比等于相似比的平方;(6)共边比例定理：若△和△的公共边所在直线与直线交于，则;(7)共角比例定理：在△和△中，若或，则.3.张角定理：如图，由点出发的三条射线，设，，，则三点共线的充要条件是：.例题分析例1.梯形的对角线相交于，且，，求例2.在凸五边形中，设，求此五边形的面积.例3. 是△内一点，连结并延长与分别交于，△、△、△的面积分别为40，30，35，求△的面积.例4. 分别是△的边和上的点，且，求△的面积的最大值.例5.过△内一点引三边的平行线∥，∥，∥，点都在△的边上，表示六边形的面积，表示△的面积.求证：.例6.在直角△中，是斜边上的高，过△的内心与△的内心的直线分别交边和于和，△和△的面积分别记为和.求证：.例7.锐角三角形中，角等分线与三角形的外接圆交于一点，点、与此类似，直线与、两角的外角平分线将于一点，点、与此类似.求证：(1)三角形的面积是六边形的面积的二倍;(2)三角形的面积至少是三角形的四倍.例8.在△中，将其周长三等分，且在边上，求证：.例9.在锐角△的边边上有两点、，满足，作，( 是垂足)，延长交△的外接圆于点，证明四边形与△的面积相等.三.面积的等积变换等积变换是处理有关面积问题的重要方法之一，它的特点是利用间面积相等而进行相互转换证(解)题.例10.凸六边形内接于⊙，且，，求此六边形的面积.例11.已知的三边，现在上取，在延长线上截取，在上截取，求证：.例12. 在内，且∽，求征：例13.在的三边上分别取点，使，，连相交得三角形，已知三角形的面积为13，求三角形的面积.例14. 为圆内接四边形的边的中点，于，于，于，求证：平分.例15.已知边长为的，过其内心任作一直线分别交于点，求证：.例16.正△正△，，，，，，.求证：.例17.在正内任取一点，设点关于三边的对称点分别为，则相交于一点.例18.已知是正六边形的两条对角线，点分别内分，且使，如果三点共线，试求的值.例19.设在凸四边形中，直线以为直径的圆相切，求证：当且仅当∥时，直线与以为直径的圆相切.训练题1.设的面积为10 ，分别是边上的点，且若，求的面积.2.过内一点作三条平行于三边的直线，这三条直线将分成六部份，其中，三部份为三角形，其面积为，求三角形的面积.3.在的三边上分别取不与端点重合的三点，求证：，中至少有一个的面积不大于的面积的.4.锐角的顶角的平分线交边于，又交三角形的外接圆于，过作和边的垂线和,垂足是，求证：四边形的面积等于的面积.5.在等腰直角三角形的斜边上取一点，使，作交于，求证：.6.三条直线互相平行，在的两侧，且间的距离为，间的距离为1，若正的三个顶点分别在上，求正的边长.7.已知及其内任一点，直线分别交对边于( )，证明：在这三个值中，至少有一个不大于2，并且至少有一个不小于2.8.点和分别在的边和上，点和将线段分为三等分，直线和分别与边相交于点和，证明：.9.已知P是内一点，延长分别交对边于，其中，，且，求之值.10.过点P作四条射线与直线分别交于和，求证：.11.四边形的两对对边的延长线分别交，过作直线与对角线的延长线分别，求证：.12. 为的重心，过作直线交于，求证：P是椭圆＝1上一点，E、F是左、右焦点，e是椭圆的离心率，则（1），（2）。

初中中考-面积的计算

面积的计算考点图解技法透析面积法是一种重要方法，计算图形面积是平面几何中最常见的基本问题之一，与面积相关的知识有：(1)常见图形的面积计算公式：正方形面积＝边长×边长；矩形的面积＝长×宽；平行四边形面积＝底×高；三角形面积＝底×高÷2；梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2；圆的面积＝×半径的平方；扇形面积＝2360n r（n为圆心角，r为半径）(2)计算面积常常用到以下结论：①等底等高的两个三角形的面积相等；②等底的两个三角形的面积比等于对应高的比；③等高的两个三角形的面积比等于对应底的比；④三角形一边上的中线平分这个三角形的面积．(3)面积计算常用到以下方法：①和差法：把所求图形的面积转化为常见图形面积的和、差表示，运用常见图形的面积公式；②等积法：找出与所求图形面积相等的或者关联的特殊图形，通过代换转化来求出图形的面积；③运动法：通过平移、旋转、割补等方式，将图形中的部分图形运动起来，把图形转化为容易观察或解决的形状；④代数法：通过寻求图形面积之间的关系列方程（组）；把几何问题转化为代数问题．(4)非常规图形的面积计算往往采用“等积变换”，所谓“等积变换”就是不改变几何图形的面积，而是把它的形状改变成能够直接求出面积的图形，等积变换的主要目的，是把复杂的图形变成简单的图形，把不规则的图形变成规则的图形．(5)“等积变换”的方法①公式法，即运用某些图形的面积公式及其有关推论．②分割法，即把一个图形分割成熟知的若干部分图形．③割补法，即把一个图形的某一部分分割出来，然后用与其等积图形填补到某一位置．名题精讲考点1用面积公式计算常规图形面积例1 如图，将直角三角形BC沿着斜边AC的方向平移到△DEF的位置（A、D、C、F四点在同一条直线上）．直角边DE交BC于点G．如果BG＝4，EF＝12，△BEG的面积等于4，那么梯形ABGD的面积是( )A．16 B．20 C．24 D．28【切题技巧】【规范解答】 B【借题发挥】把不能直接求出面积的图形通过转化或找出与它面积相等的特殊图形，从而能够求解．【同类拓展】1．如图所示，A是斜边长为m的等腰直角三角形，B，C，D都是正方形，则A，B，C，D的面积的和等于( )A．94m2B．52m2C．114m2D．3m2考点2用面积的和、差计算非常规图形有面积例2 如图，P是平行四边形ABCD内一点，且S△PAB＝5，S△PAD＝2，请你求出S△PAC（即阴影部分的面积）．【切题技巧】△APC的底与高显然无法求，则应用已知三角形的面积的和或差来计算△APC的面积．【规范解答】【借题发挥】对于不能直接求的图形可以把图形进行分解和组合，通过图形的面积和或差进行计算．【同类拓展】2．如图，长方形ABCD中，△ABP的面积为a，△CDG 的面积为b ，则阴影四边形的面积等于 ( )A ．a ＋bB ．a －bC ．2a bD ．无法确定考点3 列方程（组）求面积例3 如图所示，△ABC 的面积是1cm 2．AD ＝DE ＝EC ，BG ＝GF ＝FC ，求阴影四边形的面积．【切题技巧】条件中有两组等分点，易知△BCE ，△ACF 的面积为13，但仍然不能求阴影部分面积，因此，只要求出△BCE 中另两块面积即可，【规范解答】如图，设AG 与BE 交于N ，AF 与BE 交于P ，连接NC ，ND ，PC ，PD ．设△NGB 的面积为x ，△NDE 的面积为y ，则有△NCG 的面积为2x ，△NEA 的面积为2y ．因为△ABC 的面积是1cm 2，且AD ＝AE ＝EC ，BG ＝GF ＝FC ．【借题发挥】求一些关系复杂的图形面积，列方程是一个重要方法，它不但可以使我们熟悉列方程和了解方程在几何中的应用，而且能清晰地表明图形面积之间的关系，从而可以化解或降低解题的难度．【同类拓展】 3．如图，正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 边上的点，AE 、DE 、BF 、AF 把正方形分成8小块，各小块的面积分别为S 1、S 2、…、S 8，试比较S 3与S 2＋S 7＋S 8的大小，并说明理由．考点4 面积比与线段比的转化例4 如图所示，凸四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O点，若△AOD 的面积是2，△COD 的面积是1，△COB 的面积是4，则四边形ABCD 的面积是 ( )A ．16B ．15C ．14D ．13【切题技巧】分析△AOD ，△DOC ，△AOB ，△COB 四个三角形的面积，只有通过线段比联系起来，相邻两个三角形的面积都存在着一种比例关系．【规范解答】【借题发挥】两三角形的高相等时，面积比等于对应底之比，则可以将面积比与对应线段比相互转化，这是．解答面积问题、线段比等问题的常用技巧．【同类拓展】 4．如图，点E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连AF 、CE 交于点G ，则AGCD ABCD S S四边形矩形等于 ( )A ．56 B ．45 C ．34 D ．23考点5例5 如图所示，在四边形ABCD 中，AM ＝MN ＝ND ，BE ＝EF ＝FC ，四边形ABEM 、MEFN 、NFCD 的面积分别记为 S 1，S 2和S 3．求213?S S S =+ 【切题技巧】把四边形分割成多个三角形，运用三角形等积变换定理即可求出，【规范解答】连接A ．E 、EN 、PC 和AC ．【借题发挥】等积变形的题目中，常将多边形面积转化为三角形面积，再运用等底同高来进行等积代换，因此，在转化时只要抓住题设中的等分点，就可以将多边形面积进行等积变换了．【同类拓展】5．如图，张大爷家有一块四边形的菜地，在A处有一口井，张大爷欲想从A处引一条笔直的水渠，且这条笔直的水渠将四边形菜地分成面积相等的两部分，请你为张大爷设计一种引水渠的方案，画出图形并说明理由．考点6格点多边形的面积例6如图，五边形ABCDE的面积为多少？我们把方格纸上两组互相平行且垂直的直线的交点叫格点．顶点在格点上的多边形叫格点多边形．可以通过图形的分割，转化为规则图形，再求面积．【规范解答】如图，标上字母F、G、H、I、J点，使得△ABF，△BCG，△CDH，△DEI，△EAJ为直角三角形，【借题发挥】格点多边形面积有如下计算规律：格点多边形的面积等于其所包含有格点个数，加上由其边界上的格点的个数之半，再减去1．此规律对凹多边形也适用．即：若格点多边形的面积为S，格点多边形内部有且只有n个格点，它各边上格点的个数和为x．则S＝12x＋n－1．【同类拓展】6．如图，在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分面积与正方形ABCD面积的比是( ) A．3：4 B．5：8 C．9：16 D．1：2参考答案1．A2．A3．S3＝S2＋S7＋S8．4．D5．S△ABF＝S四边形AFCD．6．B。

【中考数学难点】面积问题与等积变形专项复习

【中考数学难点】面积问题与等积变形专项复习知识提要面积问题与等积变换，是列入初中数学竞赛大纲的必考内容，主要是利用面积公式或等积变换求解或证明有关面积、面积比、面积恒等式以及有关线段长、线段比、线段恒等式等几何问题，是数学解题的重要方法，也是研究几何学的一个有力的工具.因此，近几年来围绕面积进行命题，已成为竞赛的热点，关于面积问题常用的有以下几点.1、三角形重要面积公式Rabc c p b p a p p pr C ab ah S a 4))()((sin 2121=---====，其中a h 是a 边的高，p 是三角形的半周长，r 、R 分别是内切圆和外接圆的半径. 求四边形或多边形的面积通常转化为三角形来研究.2、等积变形：仅仅改变图形的形状、位置而保持面积不变，这种几何变换叫做等积变形.等积变形的有关定理：（1）全等形的面积相等；（2）一个图形的面积等于它的各部分面积之和；（3）等底等高的两个三角形等积；（4）等高（底）三角形面积比等于其底（高）的比；（5）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（6）有一个内角相等或互补的两个三角形面积的比，等于夹该角的两边乘积之比.3、面积法：在处理一些平面图形问题时，以面积作为思维的出发点，利用面积关系求解题.由于面积关系较之图形的全等和相似更具有普遍性和灵活性，因此面积法有较大的通用性，它已成为几何问题中一种重要的解题方法，解题时需紧紧抓住等高、等底、等角或相似的几何特征，灵活地解决面积或等积变形.在具体问题中常会遇到以下两大类：一是直接与面积有关的问题，二是表面与面积无关但可以借助面积方法去解决的问题.【经典例题】例1、如图，从△ABC 的各顶点作平行线AD ∥EB ∥FC ，分别交△ABC 三边及其延长线于D 、E 、F ，证明：ADB DEF S S ∆∆=，DAF DAC S S ∆∆=，证明：ABC DEF S S ∆∆=2.例2、如图，ABCD 是任意四边形，E 、F 将AB 分成三等份，G 、H 将CD 分成三等份.求证：四边形EFGH 的面积等于四边形ABCD 面积的三分之一.例3、如图，设△ABC 的三条中线AD 、BE 、CF 相交于点O ，求证：（1）BOA COE DOC BOD FOB AOF S S S S S S ∆∆∆∆∆∆=====；（2）以AD 、BE 、CF 为边的三角形面积S 等于原三角形面积的四分之三.例4、如图，已知△ABC ，且1=∆ABC S ，D 、E 分别是AC 、AB 边上的动点，BD 与CE 相交于点P ，使BPC BCDE S S ∆=916四边形.求DEP S ∆的最大值.例5、如图，已知点O 为△ABC 内一点，AD 、BE 、CF 过点O ，分别交BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F.求证：1=++CFOF BE OE AD OD .例6、如图，在凸四边形ABCD 中，AB=2，P 是AB 边的中点，如果∠DAB=∠ABC=∠PDC=90°，求证：四边形ABCD 的面积的最小可能值是4.例7、如图，在△ABC 的边BC 、CA 、AB 上分别截取点M 、N 、P ，满足1>===k PBAP NA CN MC BM ，连接CP 、BN 、AM ，得△XYZ.设1=∆ABC S ，求XYZ S ∆.例8、如图，已知Rt △ABC 的∠A=90°，AB=4，AC=3，△ABC 内有一点P ，PD ⊥BC 于D ，PE ⊥CA 于E ，PF ⊥AB 于F ，且12=++PDBC PE AC PF AB ，求PD 、PE 、PF.例9、在△ABC 中，E 、F 、P 分别在边BC 、CA 、AB 上，已知AE 、BF 、CP 相交于点D ，且2004=++DP CD DF BD DE AD ，则DE AD ·DF BD ·DPCD 的值等于___________.例10、如图，过△ABC 内一点，作与边平行的直线，所得的三个三角形1t 、2t 和3t 的面积分别为4、9和49，求△ABC 的面积.。

中考数学复习：专题9-15 例谈求阴影部分面积的几种常见方法

例谈求阴影部分面积的几种常见方法【专题综述】在初中数学中，求阴影部分的面积问题是一个重要内容，在近年来的各地中考试题中屡见不鲜．这类试题大多数都是求不规则图形的面积，具有一定的难度，因此，正确把握求阴影部分面积问题的解题方法，显得尤为重要．本文举例介绍解决这类问题的常见方法．【方法解读】一、直接求解法例1 如图1，有一矩形纸片ABCD，AB＝10，AD＝6，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，AD变到AD1位置，折痕为AE．再将△AED1以D1E为折痕，向右折叠，AE变到A1E位置，且A1E交BC于点F．求图中阴影部分的面积．分析因为阴影部分是一个规则的几何图形Rt△CEF，故根据已知条件可以直接计算阴影部分面积．解如图1，根据对称性可得AD＝AD1＝A1D1＝6．由已知条件易知：EC＝D1B＝4，BC＝6；Rt△FBA1∽Rt△FCE．设FC为x，则FB＝6－x．二、间接求解法例2 如图2，⊙O1与⊙O2外切于点C，且两圆分别和直线l相切于A、B两点，若⊙O1半径为3cm；⊙O2半径为1cm，求阴影部分面积．分析这是求一个不规则图形的面积，没有现成的面积公式，因此应采用间接的方法，设法转化为规则图形的面积的和或差去计算．三、整体合并法例3 如图3，⊙A、⊙B、⊙C两两不相交，且半径都是0.5cm，求三个阴影部分面积之和．分析所求的阴影部分面积是三个扇形面积之和，因为三个扇形圆心角度数不知道，所以无法单独求解，但仔细观察发现，三个扇形的圆心角分别是△ABC的三个内角，其和为180°，而扇形半径都相等，所以三个扇形能合并成一个半圆．于是问题获解．解如图3，因为三个圆的半径相等，三个扇形圆心角之和是180°，所以其面积就是半圆面积．四、等积变换法例4 如图4，A是半径为R的⊙O外一点，弦BC为3R，OA∥BC，求阴影部分面积．分析本题的阴影部分是不规则的图形，求其面积较困难，但灵活运用等积变换，就可以把它的面积转化为扇形OBC的面积，从而获解．解连接OC，OB，五、分割法例5 如图5，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，分别以AC、BC为直径画半圆，求阴影部分面积．分析阴影部分图形不规则，不能直接求面积，可以把它分割成几个部分求面积的和．解如图5，连接CD．∵AC、BC是直径，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∴A、D、B三点共线．设阴影部分面积被分割为S1、S2、S3、S4四部分．则六、转化法例6如图(1)，大半圆O与小半圆O1相切于点C，大半圆的弦AB与小半圆相切于点F，且AB∥CD，AB ＝4cm，求阴影部分面积．分析如果想直接求阴影部分面积，无法求解，因为它不是规则图形．但要采取转化思想，把小半圆平移到与大半圆的圆心重合的位置，作OE⊥AB于点E．连接OB，可知BE＝2cm，阴影部分面积等于大半圆面积减去小半圆的面积．解如图(2)，将小半圆O1移至与大半圆圆心重合，作O E⊥AB于点E，则BE＝12AB＝2cm．设大圆半径为R，小圆半径为x，在Rt△OEB中，有七、割补法例7 如图7，点P(3a，a)是反比例函数y＝12x与⊙O在第一象限内的一个交点，求阴影部分的面积．分析阴影部分分两部分，难于逐一求解，但考虑反比例函数的对称性，结合割补原理，问题变得特别简单．解如图7，把右上角的S1部分分割下来，移到左下方补在S3处，与S2就组成了一个扇形OAB．易知：∵P(3a，a)在反比例函数y＝12x的图象上，∴3a＝12a．解得：a1＝2，a2＝－2（舍去）．∴P坐标为(6，2)．连接OP，作PC⊥x轴于点C，得：八、方程建模法例8如图8，正方形边长为a，以每边为直径在正方形内画四个半圆，求阴影部分的面积．分析本题直接求阴影部分面积较复杂，但观察图形特点引入方程的思想，问题变得非常简单．解正方形由四个阴影花瓣和四个空白图形组成，如图8，设一个阴影花瓣面积为x，一个空白图形面积为y．根据题意得：因此阴影部分面积为．222aaπ-．【强化训练】1．（2017内蒙古包头市）如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=45°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，若BC=42，则图中阴影部分的面积为（）A．π+1B．π+2C．2π+2D．4π+12．（2017四川省凉山州）如图，一个半径为1的⊙O1经过一个半径为2的⊙O的圆心，则图中阴影部分的面积为（）A．1B．12C．2D．223．（2017四川省资阳市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE，则图中阴影部分的面积为（）A．1312πB．34πC．43πD．2512π4．（2017衢州）运用图形变化的方法研究下列问题：如图，AB是⊙O的直径，CD、EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB=10，CD=6，EF=8．则图中阴影部分的面积是（）A．252πB．10πC．24+4πD．24+5π5. （2017云南省）如图，边长为4的正方形ABCD外切于⊙O，切点分别为E、F、G、H．则图中阴影部分的面积为．6．（2017吉林省）如图，分别以正五边形ABCDE的顶点A，D为圆心，以AB长为半径画BE，CE．若AB=1，则阴影部分图形的周长为（结果保留π）．7. （2017四川省达州市）如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，将矩形沿AE翻折，使点B落在CD边F处，连接AF，在AF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作⊙O与AD相切于点P．若AB=6，BC=33，则下列结论：①F是CD的中点；②⊙O的半径是2；③AE=92CE；④32S阴影．其中正确结论的序号是．8. （2017湖北省恩施州）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=30°，以直角边AB为直径作半圆交AC于点D，以AD为边作等边△ADE，延长ED交BC于点F，BC=23，则图中阴影部分的面积为．（结果不取近似值）9. （2017内蒙古赤峰市）如图，点A是直线AM与⊙O的交点，点B在⊙O上，BD⊥AM垂足为D，BD 与⊙O交于点C，OC平分∠AOB，∠B=60°．（1）求证：A M是⊙O的切线；（2）若DC=2，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．10．（2017新疆）如图，AC为⊙O的直径，B为⊙O上一点，∠ACB=30°，延长CB至点D，使得CB=BD，过点D作DE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，连接BE．（1）求证：B E是⊙O的切线；（2）当BE=3时，求图中阴影部分的面积．。

初中数学几何模型(九)面积模型

初中数学几何模型（九）面积模型1、铅锤法模型：如图，过△ABC的顶点C、B作铅垂线，顶点A作水平线。

线段a叫△ABC的“水平宽”，线段b叫△ABC的“铅锤高度”。

这样我们可以得到求三角形面积的一种方法：S△ABC=12ab，即三角形面积等于水平宽度与铅锤高度乘积的一半。

在平面直角坐标系中，二次函数、反比例函数为基架的动态问题中，确定水平宽度和铅锤高度，并使用铅锤法求斜三角形的面积及相关最值问题。

口诀：“歪歪三角形中间砍一刀”。

典型例题：1、如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，1）、B（7，3）、C（4，7），求△ABC的面积。

略解：∵A（1，1）、B（7，3），∴水平宽度AE=6；可以根据中点坐标公式、可以用三角形中位线定理、也可以用待定系数法求出直线AB的解析式三种思路求出点D（4，2），∴铅锤高度CD=5；根据铅锤法求S△ABC=12ab=12×AE×CD=12×6×5=15（平方单位）。

2、如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为G。

（1）求△ABC和△BCG的面积；（2）若点D在直线BC下方抛物线上运动，求△BCD面积的最大值。

（3）若点D在直线BC下方抛物线上运动，求四边形ACDB面积的最大值。

2、等积模型：用不同方法表示同一个图形的面积，结果相等。

（1）当所表示的图形是“规则”图形时，不同的方法指的是：①直接用面积公式表示；②用其他图形面积的和或差表示。

（2）当所表示的图形是“不规则”的图形时，不同方法指的是：用割补法来表示。

典型例题：1、在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边上的高，用直角三角形的三边表示斜边上的高CD。

解：∵S △ABC =12ch ，S △ABC =12ab ，∴12ch =12ab ，∴h=ab c。

结论：直角三角形斜边上的高等于两直角边的乘积除以斜边。

2、（1）如图①，已知△ABC 中，AB=AC ，点P 是BC 上的一点，PN ⊥AC 于点N ，PM ⊥AB 于点M ，CG ⊥AB 于点G ，求证：CG=PM+PN 。

奥数-面积法-第4讲面积问题

第四讲面积问题一、基础知识面积计算是平面几何中常见的基本问题之一。

由于多边形可以分割为若干个三角形，多边形的面积等于各三角形的面积和，因此，三角形的面积是面积问题的基础． ➢ 基本的面积公式1. 正方形面积，2S a =（a 为正方形的边长）；2. 矩形面积，S ab =（a 、b 为矩形的长和宽）；3. 平行四边形面积，S ah =（h 为底边a 对应的高）；4. 梯形面积，1()2S a b h =+（a 、b 为上下两底的长度，h 为高）； 5. 三角形面积，12S ah =（h 为底边a 对应的高）；6. 圆面积，2S r π=（r 为圆半径）；7. 扇形面积，2360n r S π=（n 为圆心角，r 为半径）；➢ 等积变换等积变换是指保持面积不变的多边形的变换。

三角形的等积变换是多边形等积变换的基础。

关于等积变换有以下几个主要的事实：1. 等底等高的两个三角形面积相等．2. 两个三角形面积之比，等于它们的底高乘积之比．3. 两个等底三角形面积之比，等于它们的高之比．4. 两个等高三角形面积之比等于它们的底之比．5. 等腰三角形底边上的高平分这个三角形的面积；6. 三角形一边上的中线平分这个三角形的面积；7. 平行四边形的对角线平分它的面积；➢ 常用方法面积法及等积变换有着广泛的应用，可用于求积，有关面积的不等式和极值，平面几何证明和等积作图。

所用的方法主要有：1. 恰当把图形分成若干部分（即割补法）求面积；2. 用面积方法证明线段（或角）相等、不等或比例关系；3. 把两个三角形面积的比转化为高和底边乘积的比.二、例题第一部分简单的面积例1. （北京市竞赛题★★★）求证：正八边形的面积等于它最长的对角线与最短的对角线的乘积；【分析与解答】：如图所示例2. （★★★第14届迎春杯初赛）在平行四边形ABCD 中，EG 与BC 平行，HF 与AB 平行，EG 和HF 相交于O ，如果平行四边形EBFO 的面积为2平方厘米，平行四边形OGDH 的面积为4平方厘米，那么三角形OAC 的面积等于多少？【分析与解答】：设平行四边形AEOH 的面积为x ，平行四边形OFCG 的面积为y ；有AOCABCAEOOFCBFOESSSSS=---；即2421222AOCxy x yS+++=---=.例3. （★★★第17届迎春杯计算机交流试题）长方形ABCD 中，EF 与BC 平行，HG 与AB 平行，且长方形AEOH 、HOFD 、OGCF 的面积分别为9、4、7，则三角形HBF 的面积是多少？【分析与解答】：设矩形EBGO 的面积为x ，则BHFABCDABHBCFHFDSSSSS=---；即974(947)10222BHFx x Sx ++=+++---=；例4. （★★★）如图所示．P 为△ABC 内任意一点，三边a ，b ，c 的高分别为h a ，h b ，h c ，且P 到a ，b ，c 的距离分别为t a ，t b ，t c ．求证：1a b ca b ct t t h h h ++=【分析与解答】：根据已知条件有111222a b c ABC t a t b t c S ++=；又有222,,a b cS S Sa b c h h h ===，代入得到1a b c a b c t t t h h h ++=.第二部分等积变换例5. （★希望杯训练题）如图，四边形ABCD 中，E 是AD 的中点，F 是BC 的中点，求证：四边形DEBF的面积是四边形ABCD 的一半。

初中数学重点梳理：面积问题的解决方法

面积问题与面积方法知识定位能够用正确的方法求解几何的有关面积，并且能够巧算面积，化难为易，化复杂为简单；要熟练的应用几何求几何面积的几种模式，其中主要有等积变换模型、鸟头定理（共角定理）模型、蝴蝶定理模型、相似模型、燕尾定理模型。

知识梳理1、等面积变化模型：（1）等底等高的两个三角形面积相等；（2）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。

如下图12::S S a b =（3）夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。

（4）正方形的面积等于对角线长度平方的一半；（5）三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；2、鸟头定理（共角定理）模型：两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

（1）共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。

（2）如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△1S 2S3、蝴蝶定理模型：任意四边形中的比例关系。

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

① 1243::S S S S =1324S S S S ⨯=⨯ ② ()()1243::AO OC S S S S =++ 4、相似模型：相似三角形：相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形（只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似），与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：（1）相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；（2）相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。

将一个图形变成一个等面积的图形的方法总结

将一个图形变成一个等面积的图形的
方法总结
总结一：利用同一图形的面积相等，可以列方程计算线段的值，或证明线段间的数量关系；利用图形面积的和、差关系列方程，将相等的高或底约去，可以计算或证明线段间的数量关系。

利用等积变形，可以排除图形的干扰，实现“从形到数”的转化，从而从数量方面巧妙地解决问题。

用面积法解题就是根据题目给出的条件，利用等积变换原理和有关面积计算的公式、定理或图形的面积关系进行解题的方法。

运用面积法,巧设未知元,可获“柳暗花明”的效果。

总结二：它是几何中常用的一种方法。

特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果。

所以用面积法来解几何题，几何元素之间关系会变成数量之间的关系。

此外，用面积法还可以用来求线段长，证明线段相等（不等），角相等，比例式或等积式，求线段比等。

面积法的常用解题思路
1、分解法：通常把一个复杂的图形，分解成几个三角形。

2、作平行线法：通过平行线找出同高（或等高）的三角形。

3、利用有关性质法：比如利用中点、中位线等的性质。

4、还可以利用面积解决其它问题。