导数中的参数问题

导数中的参数问题

【方法综述】

导数中的参数问题主要指的是形如“已知不等式成立/存在性/方程的根/零点等条件,求解参数的取值或取值范围”.这类型题目在近几年的高考全国卷还是地方卷中，每一年或多或少都有在压轴选填题或解答题中出现，属于压轴常见题型.学生要想解决这类型的题目，关键的突破口在于如何处理参数，本专题主要介绍分类讨论法和分离参数法.

【解答策略】 一．分离参数法 分离参数法是处理参数问题中最常见的一种手段，是把参数和自变量进行分离，分离到等式或不等式的两边（当然部分题目半分离也是可以的，如下面的第2种情形），从而消除参数的影响，把含参问题转化为不含参数的最值、单调性、零点等问题，当然使用这种方法的前提是可以进行自变量和参数的分离.

1．形如()()af x g x =或()()af x g x <(其中()f x 符号确定)

该类题型，我们可以把参数和自变量进行完全分离，从而把含参数问题转化为不含参数的最值、单调性或图像问题.

例1．直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围是_____．

【举一反三】若存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

2．形如()(),f x a g x =或()()af x g x <（其中(),f x a 是关于x 一次函数）

该类题型中，参数与自变量可以半分离，等式或不等式一边是含有参数的一次函数，参数对一次函数图像的影响是比较容易分析的，故而再利用数形结合思想就很容易解决该类题目了.

例2．定义在上的函数满足，且，不等式

有解，则正实数的取值范围是（ ）

A．B．C．D．

【举一反三】已知当时，关于的方程有唯一实数解，则所在的区间是( )

A．(3，4) B．(4，5) C．(5，6) D．(6．7)

二．分类讨论法

分类讨论法是指通过分析参数对函数相应性质的影响，然后划分情况进行相应分析，解决问题的方法，该类方法的关键是找到讨论的依据或分类的情况，该方法一般在分离参数法无法解决问题的情况下，才考虑采用，常见的有二次型和指对数型讨论.

1.二次型根的分布或不等式解集讨论

该类题型在进行求解过程，关键步骤出现求解含参数二次不等式或二次方程，可以依次考虑依次根据对应定性（若二次项系数含参），开口，判别式，两根的大小（或跟固定区间的端点比较）为讨论的依据，进行分类讨论，然后做出简图即可解决.

例3．已知函数有两个不同的极值点，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是_______．

【指点迷津】

1.本题考查导数在研究函数中的应用，体现了导数的工具性，解题的关键是得到

的表达式．解答恒成立问题的常用方法是转化为求函数的最值的问题解决，当函数的最值不存在时可利用函数值域的端点值来代替.

2. 由是函数的两个不同的极值点可得，进而得到

，然后构造函数，求出函数的值域后可得所求范围．

【举一反三】若函数有个零点，则实数取值的集合是________．

2．指数对数型解集或根的讨论 该类题型在进行求解过程，关键步骤出现求解含参指对数型不等式或方程， 可以依次考虑依次根据对应指对数方程的根大小(或与固定区间端点的大小)为讨论的依据,进行分类讨论.

即可解决.

例4．函数()()211,12x f x x e kx k ⎛

⎫⎛⎤=--∈ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭

,则()f x 在[]0,k 的最大值()h k =（ ） A . ()32ln22ln2-- B . 1- C . ()22ln22ln2k -- D . ()31k k e k --

【指点迷津】该题为含参数的最值问题,关键是确定单调性和区间,即含参数的导函数在区间上的符号,该导数含f ’′(x )=x x e −2kx =x (x e −2k )含有指数，且()'0f x =有两个根，故而要根据两个根的大小和两根与固定区间端点的大小进行相应的讨论，确定单调性，再确定最值.

【举一反三】已知函数，，若关于的方程在区间内有两个实数解，则实数的取值范围是( )

A ．

B ．

C ．

D ．

【强化训练】

1．已知函数()ln a f x x x

=-，若()2f x x <在()1,+∞上恒成立，则a 的取值范围是（ ） A . [)1,-+∞ B . [)1,1- C . ()1,-+∞ D . ()1,1-

2．已知函数，若关于的方程恰有三个不相等的实数解,则的取值范围是

A ．

B ．

C ．

D ．

3．当0x ≥时， ()ln 11x

xe a x x ≥++恒成立，则a 的取值范围为（ ） A . (],1-∞ B . (],e -∞ C . 1,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D . (],0-∞

4.已知函数 恰好有两个极值点，则的取值范围是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

5.若函数恰有三个零点，则的取值范围为( ) A ．

B ．（）

C ．

D ．（）

6．若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ．

7.已知函数，对任意，，都有，则实数a 的取值范围是

A ．

B ．

C ．

D ．

8．已知函数

，若的解集为，且中恰有两

个整数，则实数的取值范围为（ ）

A．B．C．D．

9．已知函数，若不等式对任意上恒成立，则实数的取值范围为（）

A．B．C．D．

10．已知函数，，函数的最小值，则实数的最小值是（）

A．B．C．D．

11.已知函数有三个极值点，则a的取值范围是（）A．B．C．D．

12．设，已知函数，对于任意，都有

，则实数的取值范围为（）

A．B．C．D．