导数题型总结
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导数题型总结
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导数题型总结
一、基础题型:函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立此类问题提倡按以下步骤进行解决: 第一步：令'
'
()0()0f x f x ><或者求出函数的单调区间; 第二步：根据第一步求出函数的极大值,极小值和最大值；
至于不等式恒成立,则要分离变量或者变更主元。
例１:设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x ',()f x '在区间D 上的导数为()g x ,若在区间Ｄ上，
()0g x <恒成立,则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数,432
3()1262
x mx x f x =-- (1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求ｍ的取值范围;
(2)若对满足2m ≤的任何一个实数m ,函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”,求b a -的最大值．
解:
由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32
()332
x mx f x x '=-- 2()3g x x mx ∴=-- （1)
()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”,则 2()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立
解法一：从二次函数的区间最值入手:等价于max ()0g x <
(0)0302(3)09330g m g m <-<⎧⎧⇒⇒>⎨
⎨<--<⎩⎩
解法二:分离变量法：
∵ 当0x =时, 2
()330g x x mx ∴=--=-<恒成立, 当03x <≤时， 2
()30g x x mx =--<恒成立
等价于233
x m x x x
->=-的最大值（03x <≤)恒成立, 而3
()h x x x
=-
(03x <≤)是增函数,则max ()(3)2h x h == 2m ∴> (2)∵当2m ≤时()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数” 则等价于当2m ≤时2
()30g x x mx =--< 恒成立 等价于2
()30F m mx x =-+>在2m ≤恒成立(视为关于m 的一次函数最值问题）
2
2
(2)0230
11(2)0230F x x x F x x ⎧->--+>⎧⎪⇒⇒⇒-<<⎨⎨>-+>⎪⎩⎩
2b a ∴-=
例２：设函数),10(323
1)(223
R b a b x a ax x x f ∈<<+-+-
= (Ⅰ)求函数ｆ（ｘ）的单调区间和极值;
（Ⅱ)若对任意的],2,1[++∈a a x 不等式()f x a '≤恒成立,求ａ的取值范围. 解:（Ⅰ)
01a <<
令,0)(>'x f 得)(x f 的单调递增区间()()22()433f x x ax a x a x a '=-+-=---为(ａ，3a ） 令,0)(<'x f 得)(x f 的单调递减区间为（-∞，a )和(3a ，＋∞）
∴当x ＝a 时，)(x f 极小值=;4
33
b a +-
当ｘ＝3ａ时,)(x f 极大值＝b. ﻩ （Ⅱ)由|)(x f '｜≤a ，得:对任意的],2,1[++∈a a x 2
2
43a x ax a a -≤-+≤恒成立①
则等价于()g x 这个二次函数max min ()()g x a g x a
≤⎧⎨
≥-⎩ 22
()43g x x ax a =-+的对称轴2x a =
01,a << 12a a a a +>+=(放缩法)
即定义域在对称轴的右边，()g x 这个二次函数的最值问题:单调增函数的最值问题。
22()43[1,2]g x x ax a a a =-+++在上是增函数．
max min ()(2)2 1.()(1)4 4.
g x g a a g x g a a =+=-+=+=-+
∴
于是,对任意]2,1[++∈a a x ,不等式①恒成立，等价
于
(2)44,4
1.(1)215g a a a a g a a a
+=-+≤⎧≤≤⎨