导数题型总结
高考：导数题型归类,分类解题方法举例,如极值点偏移、隐零点运用
高考：导数题型归类,分类解题方法举例,如极值点偏移、隐零点运用高考压轴题：导数题型及解题方法一、切线问题题型1：求曲线y=f(x)在x=x处的切线方程。
方法：f'(x)为在x=x处的切线的斜率。
题型2：过点(a,b)的直线与曲线y=f(x)的相切问题。
方法：设曲线y=f(x)的切点(x,f(x))，由(x-a)f'(x)=f(x)-b求出x，进而解决相关问题。
注意：曲线在某点处的切线若有则只有一条，曲线过某点的切线往往不止一条。
例题：已知函数f(x)=x-3x。
1）求曲线y=f(x)在点x=2处的切线方程；（答案：9x-y-16=0）2）若过点A(1,m)(m≠-2)可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围。
提示：设曲线y=f(x)上的切点(x,f(x))，建立x,f(x)的等式关系。
将问题转化为关于x,m的方程有三个不同实数根问题。
答案：m的范围是(-3,-2)）练1：已知曲线y=x-3x。
1）求过点(1,-3)与曲线y=x-3x相切的直线方程。
（答案：3x+y=0或15x-4y-27=0）2）证明：过点(-2,5)与曲线y=x-3x相切的直线有三条。
题型3：求两个曲线y=f(x)、y=g(x)的公切线。
方法：设曲线y=f(x)、y=g(x)的切点分别为(x1,f(x1))、(x2,g(x2))，建立x1,x2的等式关系，(x2-x1)f'(x1)=g(x2)-f(x1)，(x2-x1)f'(x2)=g(x2)-f(x1)；求出x1,x2，进而求出切线方程。
解决问题的方法是设切点，用导数求斜率，建立等式关系。
例题：求曲线y=x与曲线y=2elnx的公切线方程。
（答案：2ex-y-e=0）练1：求曲线y=x与曲线y=-(x-1)的公切线方程。
（答案：2x-y-1=0或y=0）2.设函数f(x)=p(x-2)-2lnx，g(x)=x，直线l与函数f(x),g(x)的图象都相切，且与函数f(x)的图象相切于(1,0)，求实数p的值。
导数大题20 种主要题型讲解
答案详解：本题主要考查导数在研究函数中的应用。
（1）求出比较其与的大小，得到的单调性表，于是得到的极值。
（2）将代入到中，并求得当时，此时恒成立，即在单调递增，同理可以得到在上为增函数，则原不等式可化为在上恒成立，令，对其求导得知若为减函数时其导数恒小于，便可得到的取值范围。
（3）若存在，使得假设成立，也即在上不是单调增或单调减，故，对求导得到其极小值点为，由于解得此时，此时需证明当，使得即可，此时可取，发现成立，故的取值范围为。
答案详解（Ⅰ），由是的极值点得，所以。
于是，定义域为，，函数在上单调递增，且。
因此，当时，；当时，。
所以，在上单调递减，在上单调递增。
（Ⅱ）当，时，，故只需要证明当时，。
当时，函数在单调递增，又，，故在有唯一实根，且。
当时，；当时，；从而当时，取得最小值。
由得：，，故。
综上：当时，。
解析:本题主要考查函数的求导和函数的单调性的判断。
（Ⅰ）先对函数求导，得导函数，由题，则可得的值，当时，单调递增，求得的的取值范围即为单调增区间；当时，单调递减，求得的的取值范围即为单调减区间。
（Ⅱ）由分析知，只需证明当时，，此时通过分析函数单调性，求得即可得证。
例题5：函数。
（Ⅰ）讨论的导函数零点的个数；（Ⅱ）证明：当时，。
答案详解（Ⅰ）的定义域为，（）。
当时，，没有零点；当时，因为单调递增，单调递增，所以在单调递增。
又，当满足且时，，故当时，存在唯一零点。
（Ⅱ）由（Ⅰ），可设在的唯一零点为，当时，；当时，。
故在单调递减，在单调递增，所以当时，取得最小值，最小值为。
由于，所以。
故当时，。
解析:本题主要考查导数的概念及其几何意义以及导数在函数研究中的应用。
（Ⅰ）求导得出的表达式，根据其表达式，对进行分类讨论。
当时，可知没有零点；当时，可知单调递增，且存在使得而，因此存在唯一零点。
（Ⅱ）由（Ⅰ），可设的最小值在时取到，最小值为。
写出的表达式，再运用均值不等式即可得出。
题型3：先构造，再赋值，证明和式或积式不等式例题：已知函数。
导数题型总结(12种题型)
导数题型总结1.导数的几何意义2.导数四则运算构造新函数3.利用导数研究函数单调性4.利用导数研究函数极值和最值5.①知零点个数求参数范围②含参数讨论零点个数6.函数极值点偏移问题7.导函数零点不可求问题8.双变量的处理策略9.不等式恒成立求参数范围10.不等式证明策略11.双量词的处理策略12.绝对值与导数结合问题导数专题一导数几何意义一.知识点睛导数的几何意义：函数y=f（x）在点x=x0 处的导数f’（x0）的几何意义是曲线在点x=x0 处切线的斜率。
二.方法点拨：1.求切线①若点是切点：(1)切点横坐标x0 代入曲线方程求出y0(2)求出导数f′(x)，把x0代入导数求得函数y ＝f(x)在点x=x 0处的导数f ′(x 0)(3)根据直线点斜式方程，得切线方程：y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．②点（x 0，y 0）不是切点求切线：（1）设曲线上的切点为(x 1，y 1)； (2)根据切点写出切线方程y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1) (3)利用点（x 0，y 0）在切线上求出（x 1，y 1）； (4)把（x 1，y 1）代入切线方程求得切线。
2.求参数，需要根据切线斜率，切线方程，切点的关系列方程：①切线斜率k=f ′(x 0) ②切点在曲线上③切点在切线上三．常考题型：(1)求切线(2)求切点(3)求参数⑷求曲线上的点到直线的最大距离或最小距离(5)利用切线放缩法证不等式 四．跟踪练习1.（2016全国卷Ⅲ）已知f(x)为偶函数，当x ＜0时，f(x)=f （-x ）+3x ，则曲线y=f （x ）在点（1，-3）处的切线方程是2.（2014新课标全国Ⅱ）设曲线y=ax-ln （x+1）在点（0,0）处的切线方程为y=2x ，则a= A. 0 B.1 C.2 D.33.（2016全国卷Ⅱ）若直线y=kx+b 是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln （x+1）的切线，则b=4.（2014江西）若曲线y=e -x上点P 处的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P 的坐标是5.（2014江苏）在平面直角坐标系中，若曲线y=ax 2+xb（a ，b 为常数）过点P （2，-5），且该曲线在点P 处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b= 6.（2012新课标全国）设点P 在曲线y=21e x上，点Q 在曲线y=ln （2x ）上，则▕PQ ▏的最小值为 A.1-ln2 B.2（1-ln2） C.1+ln2 D.2(1+ln2)7.若存在过点（1,0）的直线与曲线y=x 3和y=ax 2+415x-9都相切，则a 等于 8.抛物线y=x 2上的点到直线x-y-2=0的最短距离为 A.2B.827C. 22D. 19.已知点P 在曲线y=14+x e 上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 10.已知函数f （x ）=2x 3-3x.（1）求f （x ）在区间[-2，1]上的最大值；（2） 若过点P （1，t ）存在3条直线与曲线y=f （x ）相切，求t 的取值范围. 11. 已知函数f （x ）=4x-x 4，x ∈R. (1) 求f （x ）的单调区间(2) 设曲线y=f （x ）与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为y=g （x ），求证： 对于任意的实数x ，都有f （x ）≤g （x ）(3) 若方程f （x ）=a （a 为实数）有两个实数根x 1，x 2，且x 1＜x 2，求证：x 2-x 1≤-3a+431.导数专题二 利用导数四则运算构造新函数 一．知识点睛 导数四则运算法则：[f(x)±g （x ）]’=f ′(x)±g ′(x) [f(x)·g （x ）]’=f ′(x)·g(x) +f(x)·g ′(x)[ )()(x g x f ]′=2[g(x)](x)f(x)g'(x)g(x)f'- 二．方法点拨在解抽象不等式或比较大小时原函数的单调性对解题没有任何帮助，此时我们就要构造新函数，研究新函数的单调性来解抽象不等式或比较大小。
导数各类题型方法总结（含答案）
导数各类题型⽅法总结（含答案）导数各种题型⽅法总结⼀、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成⽴; 1此类问题提倡按以下三个步骤进⾏解决：第⼀步：令f '(x)0得到两个根；第⼆步：画两图或列表；第三步：由图表可知；其中不等式恒成⽴问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理⽅法有三种：第⼀种：分离变量求最值 -----⽤分离变量时要特别注意是否需分类讨论( >0,=0,<0)第⼆种：变更主元 (即关于某字母的⼀次函数)-----(已知谁的范围就把谁作为主元)；例1：设函数y f (x)在区间D 上的导数为f (x)， f (x)在区间D 上的导数为g(x)，若在区间D4…、 x3mx 3x 2f (x)126 2(1 )若y f (x)在区间0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围;(2)若对满⾜ m 2的任何⼀个实数 m ,函数f (x)在区间a,b 上都为“凸函数”，求b值?4 3^23 2x mx 3xx mx o解：由函数f (x)得f (x)3x12 6 23 2g (x) x 2 mx 3(1) Q y f (x)在区间0,3上为“凸函数”，贝V g(x) x 2 mx 30在区间［0,3］上恒成⽴解法⼀：从⼆次函数的区间最值⼊⼿：等价于g max (x)2x x 3 0 2 1 x 12x x 3 0上，g(x) 0恒成⽴，则称函数y f (x)在区间D 上为“凸函数”，已知实数 m 是常数， a 的最⼤g(0) g(3)3 0 9 3m 3 0解法⼆：分离变量法：0 时,g(x)x 3时,g(x) x 2 3 2x2 x mx mx3 0恒成⽴, 0恒成⽴等价于m -—3x由 3门⽽ h(x) x ( 0 xm 23的最⼤值x(0x3 )恒成⽴, 3 )是增函数，贝 y h max (x) h(3) 2(2) v 当 m 2时f (x)在区间a,b 上都为“凸函数”则等价于当m 2时g(x)2x mx 3 0恒成⽴变更主元法2再等价于F(m) mx x 32恒成⽴ (视为关于 m 的⼀次函数最值问题)F( 2) 0 F(2)例2:设函数f(x) 〔x3 2ax2 3a2x b(0 a 1,b R)3(I)求函数f (x)的单调区间和极值；(⼆次函数区间最值的例⼦)g(x) x2 4ax 3a2在[a 1,a 2]上是增函数.g(x)max g(a 2) 2a 1.g(x)min g(a 1) 4a 4.于是，对任意x [a 1,a 2]，不等式①恒成⽴，等价于a 1.4⼜0 a 1, a 1.5点评：重视⼆次函数区间最值求法：对称轴(重视单调区间)与定义域的关系第三种：构造函数求最值题型特征：f(x) g(x)恒成⽴h(x) f (x) g(x) 0恒成⽴；从⽽转化为第⼀、⼆种题型(n)若对任意的x [a 1,a 2],不等式f (x) a恒成⽴，求a的取值范围.x 3a x a3 3x=a 时，f(x)4b；由| f (x) |< a,得：对任意的[a 1,a 2], x2 4 ax 3a2 a恒成⽴①则等价于g(x)这个⼆次函数gmax(x) ag min(x) a2g(x) x24ax 3a的对称轴x 2a Q 0 a 1, a 1 2a (放缩法)g(x)这个⼆次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。
导数常见题型归纳
导数常见题型归纳1.高考命题回顾例1.（2013全国1）已知函数()f x ＝2x ax b ++，()g x ＝()xe cx d +，若曲线()yf x =和曲线()yg x =都过点P(0，2)，且在点P 处有相同的切线42y x =+（Ⅰ）求a ，b ，c ，d 的值；（Ⅱ）若x ≥－2时，()f x ≤()kg x ，求k 的取值范围。
分析：⑴2d c b 4,a ==== ⑵由⑴知()24x f 2++=x x ，()()12+=x ex g x设()()()()24122---+=-=x x x ke x f x kg x F x，则()()()122-+='xke x x F 由已知()100≥⇒≥k F ，令()k x x x F ln ,20-==⇒='①若21e k <≤则021≤<-x ，从而当()1,2x x -∈时，()0<'x F ，()x F 递减()+∞∈,1x x 时，()>'x F 0，()x F 递增。
()()()02x 111≥+-=≥x x x F F故当2-≥x 时()0≥x F 即()()x kg x f ≤恒成立。
②若2e k = 则()()()02222>-+='-ee x e x F x 。
()2->x 。
所以()x F 在()+∞-,2上单调递增，而()02=-F .所以-2x ≥时，()0≥x F 恒成立。
③若2e k >，则()()02222222<--=+-=---e k e ke F ，从而()0≥x F 不可能恒成立即()()x kg x f ≤不恒成立。
综上所述。
k 的取值范围[]2,1e例2．（2013全国2）已知函数)ln()(m x e x f x+-=．（Ⅰ）设0x =是()f x 的极值点，求m ，并讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当2m ≤时，证明()0f x >． 分析：（Ⅰ）1m =。
导数题型总结
导数题型总结导数题型总结导数及其应用题型总结题型一：切线问题①求曲线在点（xo，yo）处的切线方程②求过曲线外一点的切线方程③求已知斜率的切线方程④切线条数问题例题1：已知函数f（x）=x+x-16，求：（1）曲线y=f（x）在点（2，-6）处的切线方程（2）过原点的直线L是曲线y=f（x）的切线，求它的方程及切点坐标（3）如果曲线y=f（x）的某一切线与直线y=-(1/4)x+3垂直，求切线方程及切点坐标例题2：已知函数f（x）=ax+2bx+cx在xo处去的极小值-4.使其导数f”(x)>0的x的取值范围为（1,3），求：（1）f(x)的解析式；（2）若过点P （-1，m）的曲线y=f(x)有三条切线，求实数m的取值范围。
题型二：复合函数与导数的运算法则的综合问题例题3：求函数y=xcos （x+x-1）sin（x+x-1）的导数题型三：利用导数研究函数的单调区间①求函数的单调区间（定义域优先法则）②求已知单调性的含参函数的参数的取值范围③证明或判断函数的单调性例题4：设函数f(x)=x+bx+cx，已知g（x）=f(x)-f”(x)是奇函数，求y=g （x）的单调区间例题5：已知函数f(x)=x3-ax-1，（1）若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围（2）是否存在实数a，使f(x)在（-1,1）上单调递减？若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由。
例题6：证明函数f(x)=lnx/x2在区间（0,2）上是减函数。
题型四：导数与函数图像问题例1：若函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数，则函数y=f(x)在[a,b]上的图象可能是y题型五：利用导数研究函数的极值和最值例题7：已知函数f(x)=-x3+ax2+bx在区间（-2,1）上x=-1时取得极小值，x=2/3时取得极yy32323oaoobxoabxbxabxaA．B．C．D．大值。
求（1）函数y=f(x)在x=-2时的对应点的切线方程（2）函数y=f(x)在[-2,1]上的最大值和最小值。
导数的基本题型归纳
导数基础题型题型一 导数与切线利用两个等量关系解题：①切点处的导数=切线斜率,即()k x f o ='；②切点()o o y x ,代入曲线方程或者代入切线方程.切点坐标或切点横坐标是关键例1：曲线y ＝错误!在点－1,－1处的切线方程为A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －2 例2：已知函数的图象在点1,f 1处的切线方程是x －2y ＋1＝0,则f 1＋2f ′1的值是B ．1 D ．2例3 求曲线132+=x y 过点1,1的切线方程练习题：1.已知函数y ＝ax 2＋1的图象与直线y ＝x 相切,则a ＝D ．12.曲线y ＝x 3＋11在点P 1,12处的切线与y 轴交点的纵坐标是A ．－9B ．－3C ．9D ．153.设曲线y ＝错误!在点3,2处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直,则a 等于A ．2B ．－2C ．－错误!4.设曲线y ＝ax 2在点1,a 处的切线与直线2x －y －6＝0平行,则a ＝________.5.已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点1,0处的切线,l 2为该曲线的另一条切线,且l 1⊥l 2.求直线l 2的方程；题型二 用导数求函数的单调区间①求定义域；②求导；③令0)(='x f 求出x 的值；④划分区间注意：定义域参与区间的划分；⑤判断导数在各个区间的正负.例1：求函数c x x x y +-+=33123的单调区间.例2 求函数x a x a x x f )1(ln 21)(2+-+=的单调区间其中a ＞0例3：已知函数ax x y +=2在),1[+∞上为增函数,求a 的取值范围.练习题：1.求函数x x x f ln 2)(2-=的单调增区间.2.已知331)(23-++=x ax x x f 在]3,1[上单调递减,求a 的取值范围.题型三 求函数极值和最值①求定义域；②求导；③令0)(='x f 求出x 的值；④列表注意：定义域参与区间的划分；⑤确定极值点.；5,求出极值,区间端点的函数值,比较后得出最值例：求函数x x y ln 2-=的极值.例：求函数y ＝x ＋2cos x 在区间错误!上的最大值.例：已知函数fx ＝2x 3－6x 2＋mm 为常数在－2,2上有最大值3,那么此函数在－2,2上的最小值为A ．－37B ．－29C ．－5D ．－11例：若函数b bx x x f 36)(3+-=在)1,0(内有极小值,则实数b 的取值范围是A ．)1,0(B ．)1,(-∞C ．),0(∞+D ．)21,0(练习题：1.设函数x xx f ln 2)(+=则 =21为fx 的极大值点 =21为fx 的极小值点 =2为fx 的极大值点 =2为fx 的极小值点2. 已知函数xbx a x x f +-=ln )(在1=x 处取得极值,则a 与b 满足 .,题型四、函数与导数图象的关系▲函数看增减,导数看正负例：若函数c=2)(的图象的顶点在第四象限,则函数f′x的图象是+bxxxf+练习题：1.下图是函数y=fx的导函数y=f′x的图象,则下面判断正确的是A.在区间-2,1内fx是增函数B.在1,3内fx是减函数C.在4,5内fx是增函数D.在x=2时fx取到极小值2. f′x是fx的导函数,f′x的图象如右图所示,则fx的图象只可能是A B C D。
导数八大题型汇总
导数八大题型汇总
以下是导数的八大题型汇总：
1. 基本函数的导数：包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本函数的导数。
2. 和、差、积的导数：给定两个或多个函数，求其和、差、积的导数。
3. 商的导数：给定两个函数，求其商的导数。
4. 复合函数的导数：给定一个函数和另一个函数的复合，求复合函数的导数。
5. 反函数的导数：给定一个函数和其反函数，求反函数的导数。
6. 参数方程的导数：给定一个参数方程，求其对应的函数的导数。
7. 隐函数的导数：给定一个隐函数关系式，求导数。
8. 极限的导数：给定一个函数的极限，求其导数。
这些题型涵盖了导数的常见应用场景，掌握这些题型可以更好地理解和运用导数的概念和计算方法。
高中数学导数大题八类题型总结
导数-大题导数在大题中一般作为压轴题出现，其复杂的原因就在于对函数的综合运用：1.求导，特别是复杂函数的求导2.二次函数（求根公式的运用）3.不等式：基本不等式、均值不等式等4.基本初等函数的性质：周期函数、对数函数、三角函数、指数函数5.常用不等式的巧妙技巧：1/2<ln2<1，5/2<e<3导数大题最基本的注意点：自变量的定义域1.存在性问题2.韦达定理的运用3.隐藏零点4.已有结论的运用5.分段讨论6.分类讨论7.常见不等式的应用8.导数与三次函数的利用1. 存在性问题第(1)问有两个未知数，一般来说，双未知数问题要想办法合并成一个未知数来处理合并成一个未知数后利用不等式1.存在性问题(2)问将有且仅有一个交点分成两部分证明，分别证至多存在一个交点与必然存在交点：证明必然存在交点是单纯的找“特殊点”问题高考导数大题中的存在性问题，最后几乎都会变成零点的存在性问题要点由于只关注零点的存在性，因此就没有必要对t(x)求导讨论其单调性，直接使用零点定即可。
(2)问先对要证明的结论进行简单变形：证毕韦达定理的使用(1)问是常规的分类讨论问题隐零点设而不求，代换整体证明对称轴已经在-1右侧，保证有零点且-1处二次函数值大于0两道例题都是比较简单的含参“隐零点”问题，总之就是用零点(极值点)反过来表示参数再进行计算一些比较难的题目，一般问题就会进行一定提示，如利用(2)问提示(3)问，其难点就在于知道要利用已有结论，但无从下手第(1)问分类讨论问题，分离变量做容易导致解题过于复杂(2)问将不等式两边取对数之后思路就很清晰了(1)(2)分别证明两个不等号即可化到已知的结论上()()()()()()()()()()()()''''1101,0,1,0;1,,00,11,110f x x xx f x x f x x f x f x x x x f x f =->=∈>∈+∞<∈∈+∞==为的零点于是在上单调递增，在上单调递减是的极大值点，(3)问需要利用(2)问结论才能比较顺利的证明利用(2)中结论第(1)问是一个比较简单的存在型问题分段)高考导数大题除求导外，隐藏零点、韦达定理、极值点偏移、二，三阶导等技巧，都是附加的技巧，导数的核心，是分类讨论的考察，高考题多数绕不开分类讨论。
导数题型归纳总结
1．导数的概念(1)函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的导数称函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx →0f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝lim Δx →0 ΔyΔx 为函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的导数，记作f′(x 0)或y′|x ＝x 0，即f′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx. (2)导数的几何意义函数f(x)在点x 0处的导数f′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f(x)上点P(x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f′(x 0)(x －x 0)．(3)函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝limΔx →0f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx 为f(x)的导函数．2．注：ln e a =．注意()x x e e '=．3.导数的运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；知识内容考查点一.导数的概念 与几何意义(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）](g (x )≠0)．4．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．考点一：极限与导数例、设()f x 在0x 可导，则()()0003lim x f x x f x x x∆→+∆--∆∆等于（ ）A ．()02f x ' B ．()0f x ' C ．()03f x ' D ．()04f x '举一反三：1.若0()lim1x f x x →=，则0(2)lim x f x x →=________．2.若1(1)lim11x f x x →-=-，则1(22)lim 1x f x x →-=-_______．3.若000(2)()lim13x f x x f x x ∆→+∆-=∆，则0()f x '等于（ ）A ．23B ．32C ．3D ．2作业：1.设()f x 在x 处可导，a b ，为非零常数，则0()()lim x f x a x f x b x x∆→+∆--∆=∆（ ）． A ．()f x ' B ．()()a b f x '+ C ．()()a b f x '- D ．()f x '2.若()2f a '=，则当h 无限趋近于0时，()()2f a h f a h--=______．3.已知函数2()8f x x x =+，则0(12)(1)lim x f x f x∆→-∆-∆的值为 ．4.已知1()f x x =，则0(2)(2)lim x f x f x ∆→+∆-∆的值是（ ）A ．14-B ．2C ．14D ．2-5、已知函数()f x 在0x x =处可导，则22000[()][()]lim x f x x f x x∆→+∆-=∆（ ）A ．0()f x 'B ．0()f xC ．20[()]f x 'D ．002()()f x f x '例、计算32lim 43n n n →∞-=+________．变式、222lim 23n n n n →∞+=-_______． 典例分析例、已知某物体的运动方程是3199s t t =+，则当3t =s 时的瞬时速度是_______．举一反三：1.下列哪个图象表示的函数在1x =点处是可导的（ ）2.已知某物体的运动方程是22232t s t t-=+，则3t =时的瞬时速度是_______．考点二、导数的几何意义之切线问题例1、求曲线1y x=在点(11)，的切线1l 方程，与过点(20)-，的切线2l 的方程．例2、已知曲线1y x x =+上一点522A ⎛⎫⎪⎝⎭，，求：⑴ 在点A 处的切线的斜率；⑵ 过点A 的切线方程．变式1、曲线321y x x =+-在点(11)P --，处的切线方程是（ ）A ．1y x =-B ．2y x =-C ．y x =D ．1y x =+2、已知曲线214y x =的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为_______．3、曲线324y x x =-+在点(13)，处的切线的倾斜角为（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．120︒ 4、过点(11)，作曲线3y x =的切线，则切线方程为__________．5、过点(1,1)-的直线l 与曲线3221y x x x =--+相切，且(1,1)-不是切点，则直线l 的斜率是（ ） A ．2 B ．1 C ．1- D ．2-6、已知直线1y x =+与曲线()ln y x a =+相切，则a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．1-D ．2-7、求函数()af x ax x=+(0)a ≠的图象上过点A 2(1)a a +，的切线方程．B.A.8、若曲线21y x =-与31y x =-在0x x =处的切线互相垂直，则0x 等于（ ）AB． C ．23 D ．23或09、函数()f x 的图象如图所示，下列数值排序正确的是（ ）A ．0(2)(3)(3)(2)f f f f ''<<<-B ．0(3)(3)(2)(2)f f f f ''<<-<C ．0(3)(2)(3)(2)f f f f ''<<<-D ．0(3)(2)(2)(3)f f f f ''<-<<例、曲线ln(21)y x =-上的点到直线230x y -+=的最短距离是（ ）AB． C． D ．0变式 1、抛物线2y x bx c =++在点(1,2)处的切线与其平行线0bx y c ++=间的距离为________．2、求曲线12y x =+上的点到直线10x y ++=的距离的最小值．例、若曲线12y x-=在点12a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭，处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a =（ ）A ．64B ．32C ．16D ．8变式 1、曲线1y x=和2y x =在它们的交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积是______．2、曲线12e x y =在+点2(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）A ．29e 2B ．24eC ．22eD ．2e3、曲线3y x =在点3()(0)a a a ≠，处的切线与x 轴、直线x a =所围成的三角形的面积为16，则a = ．例、函数2(0)y x x =>的图像在点()2k k a a ，处的切线与x 轴交点的横坐标为1k a +，其中*k ∈N ，若116a =，则135a a a ++的值是 ．变式 1、设曲线()1*n y x n +=∈N 在点(11)，处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，则12n x x x ⋅等于（ ）A ．1nB ．11n + C ．1n n + D ．1例、设P 为曲线C ：21y x x =-+上一点，曲线C 在点P 处的切线的斜率的范围是[13]，，则点P 纵坐标的取值范围是_______．变式 1、已知点P 在曲线4e 1x y =+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（ ）A ．π04⎡⎫⎪⎢⎣⎭，B ．ππ42⎡⎫⎪⎢⎣⎭，C ．π3π24⎛⎤⎥⎝⎦，D ．3ππ4⎡⎫⎪⎢⎣⎭，2、设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则点P 横坐标的取值范围为（ ）A ．112⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，B ．[]10-，C ．[]01，D ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，例、若存在过点(10)，的直线与曲线3y x =和21594y ax x =+-都相切，则a 等于（ ） A ．1-或2564- B ．1-或214 C ．74-或2564- D ．74-或7变式 1、已知抛物线1C ：22y x x =+和2C ：2y x a =-+，如果直线l 同时是1C 和2C 的切线，称l 是1C 和2C 的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段．⑴则a 取什么值时，1C 和2C 有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程． ⑵若1C 和2C 有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分．3、设0t ≠，点(0)P t ，是函数3()f x x ax =+与2()g x bx c =+的图象的一个公共点，两函数的图象在点P 处有相同的切线．试用t 表示a b c ，，．课后练习巩固1、曲线2xy x =-在点(11)-，处的切线方程为__ ．2、设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ ）A ．2B ．12C ．12- D ．2-3、设曲线2y ax =在点(1)a ，处的切线与直线260x y --=平行，则a =（ ）A ．1B ．12C ．12- D ．1-4、设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1(1))g ，处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1(1))f ，处切线的斜率为（ ）A ．4B ．14-C ．2D ．12-5、设()f x 是偶函数．若曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线的斜率为1，则该曲线在点()()11f --，处的切线的斜率为 ．6、若0y =是曲线3y x bx c =++的一条切线，则32()()32b c+=（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．27、直线1y kx =-与曲线ln y x =相切，则k =（ ）A ．0B ．1-C ．1D ．1±8、已知函数21()()5g x f x x =+的图象在P 点处的切线方程为8y x =-+，又P 点的横坐标为5，则(5)(5)f f '+=________．9.若2(1)(1)2f x f x x +-=+，则(1)f '=_______．10、⑴曲线32242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是____．⑵曲线32242y x x x =--+过点(13)-，的切线方程是_________．11、已知曲线s ：33y x x =-及点(22)P -，，则过点P 可向s 引切线的条数为_____．12、曲线313y x x =+在点413⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ）A ．19B ． 29C ．13D ．2313、若曲线存在垂直于轴的切线，则实数取值范围是_____________． 14、已知函数()f x 在R 上满足()()22288f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线方程是（ ） A ．21y x =- B ．y x = C ．32y x =- D ．23y x =-+15、已知函数x x e a e x f -⋅+=)(（a ∈R ）的导函数是)(x f '，且)(x f '是奇函数，若曲线)(x f y =的一条切线的斜率是23，则切点的横坐标为（ ） A ．ln 2 B ．2ln - C ．22ln D ．22ln -16、设函数()bf x ax x=-，曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为74120x y --=．⑴求()y f x =的解析式；3()ln f x ax x =+y a⑵证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值，并求此定值．17、已知曲线1C ：2y x =与2C ：2(2)y x =--，直线l 与12C C ，都相切，求直线l 的方程．考查点二、函数的单调性函数的单调性在(a ，b )内可导函数f (x )，f ′(x )在(a ，b )任意子区间内都不恒等于0. f ′(x )≥0⇔f (x )在(a ，b )上为增函数． f ′(x )≤0⇔f (x )在(a ，b )上为减函数．单调性一、例1、函数()21x f x x =-（ ）A ．在()02，上单调递减B ．在()0-∞，和()2+∞，上单调递增 C ．在()02，上单调递增D ．在()0-∞，和()2+∞，上单调递减例2、设函数32()91(0)f x x ax x a =+--<，若曲线()y f x =的斜率最小的切线与直线126x y +=平行，求：⑴a 的值；⑵函数()f x 的单调区间．小结：变式练习：1、函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是 ．2、求函数3227()154()32f x x x x x R =+-+∈的单调区间.3、已知函数26()ax f x x b-=+的图象在点(1(1))M f --，处的切线方程为250x y ++=． ⑴求函数()y f x =的解析式；⑵求函数()y f x =的单调区间．4、函数()()()321483f x ax a x b x b =+-+-+的图象关于原点中心对称，则()f x （ ）A ．在⎡-⎣上为增函数B ．在⎡-⎣上为减函数C ．在)⎡+∞⎣上为增函数，在(-∞-，上为减函数D ．在(-∞-，上为增函数，在)⎡+∞⎣上为减函数单调性二、含参讨论单调性例1、已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )，求函数f (x )的单调区间例2、设函数2()ln(1)f x x b x =++，其中12b >，判断函数()f x 在定义域上的单调性．例3、已知常数a ＞0，函数f (x )＝ln(1＋ax )－2xx ＋2.讨论f (x )在区间(0，＋∞)上的单调性．例4、已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋ax 2＋bx ，其中函数g (x )的图象在点(1，g (1))处的切线平行于x 轴．(1)确定a 与b 的关系；(2)若a ≥0，试讨论函数g (x )的单调性．例5、已知函数()()()22e 1x f x x a x =-+-． (I)讨论()f x 的单调性；小结：变式 1、已知函数2()ln(1)2kf x x x x =+-+（0k ≥）．⑴当2k =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；⑵求()f x 的单调区间．2、设a ∈R ，函数()()()()2121ln 1f x x a x =--+-+．⑴若函数()f x 在点()()00f ，处的切线方程为41y x =-，求a 的值； ⑵当1a <时，讨论函数()f x 的单调性．3、已知函数321()32a a f x x x xb +=-++，其中a ，b ∈R ． ⑴若曲线()y f x =在点(2(2))P f ，处的切线方程为54y x =-，求函数()f x 的解析式；⑵当0a >时，讨论函数()f x 的单调性．4、已知函数22()(1)x bf x x -=-，求导函数()f x '，并确定()f x 的单调区间．5、函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋3x (a ≠0)．讨论f (x )的单调性6、已知函数g (x )＝2a ln(x ＋1)＋x 2－2x ，当a ≠0时，讨论函数g (x )的单调性；7、设函数(I)讨论的单调性； 1()ln ().f x x a x a R x=--∈()f x8、9、 设,讨论函数的单调性10、已知函数．（I ）讨论的单调性；考查点三、根据单调情况求参数范围例1、三次函数3()1y f x ax ==-在()-∞+∞，内是减函数，则（ ）A ．1a =B ．2a =C ．0a ≤D ．0a <例2、已知函数321()53f x x x ax =++-，若()f x 的单调递减区间是(31)-，，则a 的值是 ．例3、已知函数． ⑴当3a =时，求函数()f x 的单调递增区间；⑵若在区间10,2⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，求实数的取值范围．例4、已知函数()21()ln 202f x x ax x a =--≠存在单调递减区间，求a 的取值范围．例5、已知函数f (x )＝2x 2－ax ＋ln x 在其定义域上不单调，求实数a 的取值范围． 变式1、若32()(0)f x ax bx cx d a =+++>在R 上是增函数，则（ ）A ．240b ac -≥B ．240b ac -≤C ．230b ac -≥D ．230b ac -≤0>a x a x a a x x f )1(2)1(ln )(2---+=x a ax x x f )2(ln )(2-+-=)(x f x ax x x f ln 1)(2-++-=)(x f a2、321()53f x x x ax =++-，若()f x 在[1)+∞，上是单调增函数，则a 的取值范围是 ．3、函数()23k kh x x x =-+，()()ln g x h x x =+①h(x)在(1,)+∞上是增函数，则实数k 的取值范围是______． ②()g x 在(1,)+∞上是增函数，则实数k 的取值范围是______．4、若y ax =与by x=-在()0+∞，上都是减函数，对函数3y ax bx =+描述正确的是（ ） A ．在()-∞+∞，上是增函数 B ．在()0+∞，上是增函数 C ．在()-∞+∞，上是减函数 D ．在()0-∞，上是增函数，在()0+∞，上是减函数5、若21()ln(2)2f x x b x =-++在(1)-+∞，上是减函数，则b 的取值范围是（ ）A ．[1)-+∞，B ．(1)-+∞，C ．(1]-∞-，D ．(1)-∞-，6、设函数()()e 0kx f x x k =≠．⑴ 求曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程； ⑵ 求函数()f x 的单调区间；⑶ 若函数()f x 在区间()11-，内单调递增，求k 的取值范围．7、设f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax .若f (x )在⎝⎛⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围．8、若函数32()1f x x ax =-+的单调递减区间为(02)，，则实数a 的取值范围是（ ）A ．3a ≥B ．3a =C ．3a ≤D ．03a <<9、已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R )．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1，2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎡⎦⎤f ′（x ）＋m2在区间(t ，3)内总不是单调函数，求m 的取值范围．10、已知函数32()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++()a b ∈R ，．若函数()f x 在区间(11)-，上不单调．．．，求a 的取值范围．11、已知函数f (x )＝x 2＋b sin x －2(b ∈R )，F (x )＝f (x )＋2，且对于任意实数x ，恒有F (x )－F (－x )＝0.(1)求函数f (x )的解析式；(2)已知函数g (x )＝f (x )＋2(x ＋1)＋a ln x 在区间(0，1)上单调递减，求实数a 的取值范围．12、已知函数()ln xf x x=．⑴判断函数()f x 的单调性；⑵若()1y xf x x=+的图像总在直线y a =的上方，求实数的取值范围；⑶若函数()f x 与()1263m g x x x =-+的图像有公共点，且在公共点处的切线相同，求实数m 的值．例、)(x f 是定义在(0,)+∞上的非负可导函数，且满足()()0xf x f x '+≤，对任意正数,a b ，若a b <，则必有（ ）A ．()()af a bf b ≤B ．()()bf b af a ≤C ．()()af b bf a ≤D ．()()bf a af b ≤变式、设()f x 、()g x 是R 上的可导函数，()f x '、()g x '分别是()f x 、()g x 的导函数，且()()()()0f x g x f x g x ''+<，则当a x b <<时，有（ ）aA ．()()()()f x g x f b g b >B ．()()()()f x g a f a g x >C ．()()()()f x g b f b g x >D ．()()()()f x g x f a g a >例、对于R 上可导的函数()f x ，若满足(1)()0x f x '-≥，则必有（ ）A ．(0)(2)2(1)f f f +<B ．(0)(2)2(1)f f f +≤C ．(0)(2)2(1)f f f +≥D ．(0)(2)2(1)f f f +>变式1、已知函数()f x 是偶函数，在()0,+∞上导数()f x '0>恒成立，则下列不等式成立的是（ ）A ．()()()312f f f -<-<B ．()()()123f f f -<<-C ．()()()231f f f <-<-D ．()()()213f f f <-<-2、已知对任意实数x 有()()f x f x -=-，()()g x g x -=，且0x >时，()0f x '>，()0g x '>，则0x <时（ ） A ．()0f x '>，()0g x '> B ．()0f x '>，()0g x '< C ．()0f x '<，()0g x '> D ．()0f x '<，()0g x '<考查点三、函数的极值1．函数的极值函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝0；而且在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0，则点a 叫做函数y ＝f (x )的极小值点，f (a )叫做函数y ＝f (x )的极小值．函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝0；而且在点x ＝b 附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，则点b 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫做函数y ＝f (x )的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值． 2．函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．例1、设函数()xf x xe =，则（ ）A ．1x =为()f x 的极大值点B ．1x =为()f x 的极小值点C ．1x =-为()f x 极大值点D ．1x =-为()f x 的极小值点变式1、曲线3223y x x =-共有____个极值．变式2、求函数43()4f x x x =-的单调区间与极值点．变式3、若函数f (x )＝x －2e x 在x ＝x 0处取得极值，则x 0＝________.变式4、已知函数()6ln (0)f x x x =>和2()8g x ax x =+（a 为常数）的图象在3x =处有平行切线．⑴求a 的值；⑵求函数()()()F x f x g x =-的极大值和极小值．例2、函数32()39f x x ax x =++-，已知()f x 在3x =-时取得极值，则a =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5变式1、若函数322y x x mx =-+，当13x =时，函数取得极大值，则m 的值为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．23变式2、函数3()4f x ax bx =++在12x =-有极大值283，在22x =有极小值是43-，则a = ；b = ．变式3、函数3()3(0)f x x ax b a =-+>的极大值为6，极小值为2，则()f x 的单调递减区间是 ．例3、设a ∈R ，若函数xy e ax x =+∈R ，有大于零的极值点，则a 的取值范围（ ） A ．1a <- B ．10a -<< C ．10a e -<< D ．ea 1-<变式1、若函数3()63f x x bx b =-+在(01)，内有极小值，则实数b 的取值范围是（ ）A ．(01)，B ．(1)-∞，C ．(0)+∞，D ．102⎛⎫ ⎪⎝⎭，变式2、函数31()43f x x ax =++有极大值又有极小值，则a 的取值范围是 ．变式3、若函数[]32()33(2)1f x x ax a x =++++有极大值又有极小值，则a 的取值范围是______．例4、已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5，其导函数()y f x '=的图象经过点(10)，，(20)，，如图所示，求⑴0x 的值；⑵a b c ，，的值．变式1、已知函数32()f x x px qx =++的图象与x 轴切于非原点的一点，且()4f x =-极小，那么p = ，q = ．变式2、设函数32y x ax bx c =+++的图象如图所示，且与0y =在原点相切，若函数的极小值为4-，⑴求a b c ，，的值；⑵求函数的递减区间．变式3、已知函数32()22f x x bx cx =++-的图象在与x 轴交点处的切线方程是510y x =-．⑴ 求函数()f x 的解析式；⑵ 设函数1()()3g x f x mx =+，若()g x 的极值存在，求实数m 的取值范围以及函数()g x 取得极值时对应的自变量x 的值．例5、已知函数()2()2e ,(,)x f x x ax x a =++∈R ．⑴ 当0a =时，求函数()f x 的图象在点()()1,1A f 处的切线方程； ⑵ 若()f x 在R 上单调，求a 的取值范围；⑶ 当52a =-时，求函数()f x 的极小值．变式1、已知函数2()(2)e ax f x ax x =-，其中a 为常数，且0a ≥．⑴若1a =，求函数()f x 的极值点；⑵若函数()f x 在区间2)上单调递减，求实数a 的取值范围．变式2、已知函数()(1)e x f x ax =-，a ∈R ，⑴当1a =时，求函数()f x 的极值；⑵若函数()f x 在区间(0,1)上是单调增函数，求实数a 的取值范围．变式3、设()323()1312f x x a x ax =-+++． ⑴若函数()f x 在区间()1,4内单调递减，求a 的取值范围；⑵若函数()f x 在x a =处取得极小值是1，求a 的值，并说明在区间()1,4内函数()f x 的单调性．例6、已知函数2221()()1ax a f x x x -+=∈+R ，其中a ∈R ．⑴当1a =时，求曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程；⑵当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值．变式1、设函数3()3(0)f x x ax b a =-+≠．⑴ 若曲线()y f x =在点()()22f ，处与直线8y =相切，求a b ，的值； ⑵ 求函数()f x 的单调区间与极值点．变式2、设函数32()23(1)1f x x a x =--+，其中1a ≥．⑴求()f x 的单调区间；⑵讨论()f x 的极值．变式3、已知函数()()2223x f x x ax a a e =+-+（x ∈R ），其中a ∈R ．⑴当0a =时，求曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线的斜率； ⑵当23a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值．4、已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －a 2－7a 在x ＝1处取得极大值10，则ab 的值为( )A ．－23B ．－2C ．－2或－23D ．2或－235、函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a >0)的极大值为6，极小值为2，则f (x )的单调递减区间是__________．6、设函数f (x )＝ln x －12ax 2－bx ，若x ＝1是f (x )的极大值点，则a 的取值范围为________．7、已知函数f (x )＝e xx.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)设g (x )＝xf (x )－ax ＋1，若g (x )在(0，＋∞)上存在极值点，求实数a 的取值范围例7：函数()f x 的导函数图象如下图所示，则函数()f x 在图示区间上（ ）B ．有三个极大值点，两个极小值点C ．有两个极大值点，两个极小值点D ．有四个极大值点，无极小值点变式 1、函数()f x 的定义域为开区间()a b ，，导函数()f x '在()a b ，内的图象如图所示，则函数()f x 在开区间()a b ，内有极小值点（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2、设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如下左图所示，则()y f x =的图象可能是（ ）3、已知函数()y xf x '=的图象如下左图所示（其中()f x '是函数()f x 的导函数），下面四个图象中()y f x =的图象大致是（ ）课后作业 1、有下列命题：①0x =是函数3y x =的极值点；②三次函数32()f x ax bx cx d =+++有极值点的充要条件是230b ac ->； ③奇函数32()(1)48(2)f x mx m x m x n =+-+-+在区间(4,4)-上是单调减函数． 其中假命题的序号是 ．2、已知函数()()1ln 1x f x x x a-=+++，其中实数1a ≠． ⑴若2a =-，求曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程；⑵若()f x 在1x =处取得极值，试讨论()f x 的单调性．3、已知2a <，函数2()()e x f x x ax a =++．⑴当1a =时，求()f x 的单调递增区间；A.D.C.B.A.⑵若()f x 的极大值是26e -⋅，求a 的值．4、已知函数32()f x x bx cx =++的导函数的图象关于直线2x =对称．⑴ 求b 的值；⑵ 若()f x 在x t =处取得极小值，记此极小值为()g t ，求()g t 的定义域和值域．5、已知函数32()31(0)f x kx x k =-+≥．⑴求函数()f x 的单调区间；⑵若函数()f x 的极小值大于0，求k 的取值范围．6、已知函数3221()23(0)3f x x ax a x b a =-++>，⑴当()y f x =的极小值为1时，求b 的值；⑵若()f x 在区间[12]，上是减函数，求a 的范围．7、已知函数321()33f x ax bx x =+++，其中0a ≠．⑴当a ，b 满足什么条件时，()f x 取得极值?⑵已知0a >，且()f x 在区间(01]，上单调递增，试用a 表示出b 的取值范围．8、设函数322()31(,)f x ax bx a x a b =+-+∈R 在1x x =，2x x =处取得极值，且122x x -=．⑴若1a =，求b 的值，并求()f x 的单调区间；⑵若0a >，求b 的取值范围．9、求函数22()(0100)1a b f x x a b x x=+<<>>-，，的单调区间与极小值．10、设函数1()(2)ln()2f x a x ax x=--++（a ∈R ）．⑴当0a =时，求()f x 的极值； ⑵当0a ≠时，求()f x 的单调区间．11、已知函数2()1f x x =-与函数()ln (0)g x a x a =≠．⑴若()f x ，()g x 的图象在点()1,0处有公共的切线，求实数a 的值； ⑵设()()2()F x f x g x =-，求函数()F x 的极值．12、()f x '是()f x 的导函数，()f x '的图象如图所示，则()f x 的图象只可能是（ ）13、如果函数()y f x =的图象如图，那么导函数()y f x '=的图象可能是（ ）14、设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）15、如图所示是函数()y f x =的导函数()y f x '=图象，则下列哪一个判断可能是正确的（ ） A.在区间(20)-，内()y f x =为增函数B ．在区间(03)，内()y f x =为减函数C ．在区间(4)+∞，内()y f x =为增函数D ．当2x =时()y f x =有极小值16、如果函数()y f x =的导函数的图象如图所示，给出下列判断：D.C.B.A.y D①函数()y f x =在区间13,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭内单调递增；②函数()y f x =在区间1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭内单调递减；③函数()y f x =在区间(4,5)内单调递增；④当2x =时，函数()y f x =有极小值；⑤当12x =-时，函数()y f x =有极大值；则上述判断中正确的是___________．17、已知R 上可导函数)(x f 的图象如图所示，则不等式0)()32(2>'--x f x x 的解集为（ ）A ．(,2)(1,)-∞-+∞B ．(,2)(1,2)-∞-C ．(,1)(1,0)(2,)-∞--+∞D ．(,1)(1,1)(3,)-∞--+∞18、已知函数2()axf x x b=+，在1x =处取得极值2． ⑴求函数()f x 的解析式；⑵若函数()f x 在区间(21)m m +，上为增函数，求实数m 的取值范围；⑶若00()P x y ，为2()ax f x x b =+图象上的任意一点，直线l 与2()axf x x b=+的图象相切于点P ， 求直线l 的斜率的取值范围．19、设函数2()ln()f x x a x =++，⑴若当1x =-时，()f x 取得极值，求a 的值，并讨论()f x 的单调性； ⑵证明：当a 时，()f x 没有极值．⑶若()f x 存在极值，求a 的取值范围，并证明所有极值之和大于eln 2．题型四：函数的最值例1、函数3()31f x x x =-+在闭区间[30]-，上的最大值和最小值分别是（ ）A ．11-，B ．117-，C ．317-，D ．919-，变式1、函数3()34([01])f x x x x =-∈，的最大值是（ ）A ．1B ．12C ．0D ．1-变式2、下列说法正确的是（ ）A ．函数在闭区间上的极大值一定比极小值大B ．函数在闭区间上的最大值一定是极大值C ．满足()0f x '=的点可能不是函数的极值点D ．函数()f x 在区间()a b ，上一定存在最值变式3、设函数1()20)f x x x x=+< 则()f x 的最大值为 ．例2、已知函数321()23f x ax x =+，其中0a >．若()f x 在区间[11]-，上的最小值为2-，求a 的值．变式1、已知函数32()6([12])f x ax ax b x =-+∈-，的最大值为3，最小值为29-，求a 、b 的值．变式2、已知32()26f x x x a =-+（a 是常数）在[22]-，上有最大值3，那么在[22]-，上的最小值是（ ） A ．5- B ．11- C ．29- D ．37-变式3、设a ∈R ，函数32()3f x ax x =-．⑴若2x =是函数()y f x =的极值点，求a 的值； ⑵若函数()()()[02]g x f x f x x '=+∈，，在0x =处取得最大值，求a 的取值范围． ⑶若函数()()()g x f x f x '=+在[02]x ∈，时的最大值为1，求a 的值．4、已知函数f (x )＝(4x 2＋4ax ＋a 2)x ，其中a ＜0.(1)当a ＝－4时，求f (x )的单调递增区间；(2)若f (x )在区间[1，4]上的最小值为8，求a 的值.已知函数f (x )＝(4x 2＋4ax ＋a 2)x ，其中a ＜0.例3、已知0a ≥，函数2()(2)x f x x ax e =-，()f x 是否存在最小值？若存在，当x 为何值时，()f x 取得最小值？变式1、已知函数()1e x a f x x⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中0a >．⑴求函数()f x 的零点；⑵讨论()y f x =在区间(,0)-∞上的单调性；⑶在区间,2a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上，()f x 是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．变式2、已知函数2()()e x f x x mx m =-+，其中m ∈R ．⑴若函数()f x 存在零点，求实数m 的取值范围；⑵当0m <时，求函数()f x 的单调区间，并确定此时()f x 是否存在最小值，如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由．变式3、已知()ln()[0)f x ax x x e =--∈-，，．⑴ 当1a =-时，讨论()f x 的单调性、极值； ⑵ 是否存在实数a ，使()f x 的最小值是3，如果存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．例4、已知函数()ln f x ax x =+，(1)x e ∈，，且()f x 有极值．⑴求实数a 的取值范围； ⑵求函数()f x 的值域；⑶函数3()2g x x x =--，证明：1(1)x e ∀∈，，0(1)x e ∃∈，，使得01()()g x f x =成立．变式1、已知函数247()2x f x x-=-，[01]x ∈，．⑴求()f x 的单调区间和值域；⑵设1a ≥，函数32()32g x x a x a =--，[01]x ∈，．若对于任意1[01]x ∈，，总存在0[01]x ∈，，使得01()()g x f x =成立，求a 的取值范围．变式2、已知函数()()1ln 1af x x ax a x-=-+-∈R ．⑴ 当12a ≤时，讨论()f x 的单调性；⑵ 设()224g x x bx =-+．当14a =时，若对任意()102x ∈，，存在[]212x ∈，，使()()12f x g x ≥，求实数b 取值范围．变式3、设3x =是函数23()()e ()x f x x ax b x -=++∈R 的一个极值点．⑴求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求()f x 的单调区间；⑵设0a >，225()e 4xg x a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．若存在12[04]ξξ∈，，使得12()()1f g ξξ-<成立， 求a 的取值范围．例5、对于函数()f x ，在使()f x M ≥恒成立的所有常数M 中，我们把M 中的最大值称为函数()f x 的“下确界”，则函数221()(1)x f x x +=+的下确界为 ．课后作业1、对于函数22e ,0()12,02x x x f x x x x ⎧⋅⎪=⎨-+>⎪⎩≤，有下列命题： ①过该函数图象上一点()()2,2f --的切线的斜率为22e -； ②函数()f x 的最小值为2e-；③该函数图象与x 轴有4个交点；④函数()f x 在(,1]-∞-上为减函数，在(0,1]上也为减函数． 其中正确命题的序号是 ．2、已知函数()e ln x f x a x =+的定义域是D ，关于函数()f x 给出下列命题：① 对于任意()0,a ∈+∞，函数()f x 是D 上的减函数；② 对于任意(),0a ∈-∞，函数()f x 存在最小值；③ 存在()0,a ∈+∞，使得对于任意的x D ∈，都有()0f x >成立； ④ 存在(),0a ∈-∞，使得函数()f x 有两个零点．其中正确命题的序号是_____．（写出所有正确命题的序号）．3、已知32()21f x x bx cx =+++在区间[]12-，上是减函数，那么2b c +（ ） A ．有最大值152- B ．有最大值152C ．有最小值152-D ．有最小值1524、设函数()()()ln ln 20f x x x ax a =+-+>⑴当1a =时，求()f x 的单调区间；⑵若()f x 在(]01，上的最大值为12，求a 的值．5、已知函数()ln a f x x x=+． ⑴当0a <时，求函数()f x 的单调区间；⑵若函数()f x 在[]1,e 上的最小值是3,2求a 的值．6、已知函数()2()ln 12ax f x x a x =+-+，a ∈R ，且0a ≥．⑴若(2)1f '=，求a 的值；⑵当0a =时，求函数()f x 的最大值； ⑶求函数()f x 的单调递增区间．7、在实数集R 上定义运算(1)x y x a y ⊗⊗=+-：（），若()2f x x =，()g x x =，若()()()F x f x g x =⊗．⑴求()F x 的解析式；⑵若()F x 在R 上是减函数，求实数a 的取值范围；⑶若53a =，()F x 的曲线上是否存在两点，使得过这两点的切线互相垂直，若存在，求出切线方程；若不存在，说明理由．8、已知a 是实数，函数()()2f x x x a =-．⑴若(1)3f '=，求a 的值及曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线方程； ⑵求()f x 的极值．⑶求()f x 在区间[]02，上的最大值．9、设函数()y f x =在()-∞+∞，内有定义．对于给定的正数K ，定义函数()()()()K f x f x Kf x K f x K ⎧=⎨>⎩≤，取函数()2x f x x e -=--，若对任意的()x ∈-∞+∞，，恒有()()K f x f x =，则（ ）A ．K 的最大值为2B ．K 的最小值为2C ．K 的最大值为1D ．K 的最小值为1。
导数----常见题型
练习:若函数f(x)=x3+bx2+cx在(-∞,0]及[2,+∞)上都是增 函数,而在(0,2)上是减函数,求此函数在[-1,4]上的值域.
例5: 如图,在二次函数f(x)=4x-x2的图 y 象与x轴所围成的图形中有一个内接 矩形ABCD,求这个矩形的最大面积.
导数 ---常见题型
一、导数的几何意义：——切线的斜率
例1、 1
（1）求过点（1，1）且与曲线 y= x 相切的直线方程。 （2）求过点（2，0）且与曲线 y= 1 相切的直线方程。
x
注： 所给点是否在曲线上。
例2、已知P为抛物线 y=x2上任意一点，则当点P 到直线 x+y+2=0的距离最小时，求点P到抛物线准 线的距离 。
解:设B(x,0)(0<x<2), 则 A(x, 4x-x2).
调递减区间;
注： 单调区间不 以“并集”出现。 练习：求函数 f (x)=ln(x2-6x-7) 的单调增区间 注： 单调区间应在“定义域”内。
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。言为政而宜於民者，功成事立，则受天禄而永年命，所谓“一人有庆，万民赖之”者也。[标签:标题] 《洪范》八政，一曰食，二曰货。食谓农殖嘉谷可食之物，货谓布帛可衣，及金、刀、龟贝，所以分财布利通有无者也。二者，生民之本，兴自神农之世。“斫木为耜煣木为耒，耒耨之利以教天下”，而食足。“日中为市，致天下之民，聚天下之货，交易而退，各得其所”，而货通。食 足货通，然后国实民富，而教化成。黄帝以下“通其变，使民不倦”。尧命四子以“敬授民时”，舜命后稷以“黎民祖饑”，是为政首。禹平洪水，定九州，制土田，各因所生远近，赋入贡棐，茂迁有无，万国作乂。殷周之盛，《诗》、《书》所述，要在安民，富
导数的常考题型
导数及其应用题型一：求解导数中的切线问题题型二：利用导数研究函数的单调性1、求不含任何参数的函数的单调区间2、求含参函数的单调区间3、根据函数的单调性求参数的取值范围 常考题型 题型三：利用导数研究函数的极值1、求函数的极值（含参与不含参）；2、已知函数的极值求参数题型四：导数与零点题型五：导数中的恒成立问题题型六：利用导数证明不等式题型七：有关隐零点的导数题题型一：求解导数中的切线问题1、已知曲线C ：y ＝ln x x. (1)求曲线C 在点(1,0)处的切线l 1的方程；(2)求过原点与曲线C 相切的直线l 2的方程．2、若直线1y x =+与函数()ln f x ax x =-的图像相切，则a 的值为 ．题型二：利用导数研究函数的单调性：1、求不含任何参数的函数的单调区间2、求含参函数的单调区间3、根据函数的单调性求参数的取值范围1、求函数3()4ln f x x x x=--的单调区间2、设函数()(1)ln(1)f x ax a x =-++其中1a ≥-，求()f x 的单调区间。
3、若函数21()ln 2f x x x x tx =+++在定义域内递增，求实数t 的范围。
题型三：利用导数研究函数的极值：1、求函数的极值（含参与不含参）；2、已知函数的极值求参数例1、求函数2()ln 1f x x x x =--+的极值例2、求函数23212()=33f x a x ax -+，0a >在[1,1]-上的极值例3、已知函数322()3f x x ax bx a =+++在1x =-时有极值0，求,a b思路点拨：求定义域→求导→令'(1)0(1)0f f -=⎧⎨-=⎩→求得,a b →检验变式1：已知f (x )＝x 3＋12mx 2－2m 2x －4(m 为常数，且m >0)有极大值－52，求m 的值．变式2：已知函数32()132x a f x x x =-++在区间1(,3)2上有极值点，求实数a 的取值范围。
导数常见题型与解题方法总结
导数常见题型与解题方法总结导数题型总结：1.分离变量：在使用分离变量时，需要特别注意是否需要分类讨论（大于0，等于0，小于0）。
2.变更主元：已知谁的范围就把谁作为主元。
3.根分布。
4.判别式法：结合图像分析。
5.二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系；（2）端点处和顶点是最值所在。
基础题型：此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：1.令f'(x)=0，得到两个根。
2.画两图或列表。
3.由图表可知。
另外，变更主元（即关于某字母的一次函数）时，已知谁的范围就把谁作为主元。
例1：设函数y=f(x)在区间D上的导数为f'(x)，f'(x)在区间D上的导数为g(x)，若在区间D上，g(x)<___成立，则称函数y=f(x)在区间D上为“凸函数”。
已知实数m是常数，f(x)=(-x^4+mx^3+3x^2)/62.1.若y=f(x)在区间[0,3]上为“凸函数”，求m的取值范围。
解法一：从二次函数的区间最值入手，等价于g(x)<0在[0,3]上恒成立，即g(0)<0且g(3)<0.因此，得到不等式组-3<m<2.解法二：分离变量法。
当x=0或x=3时，g(x)=-3<0.因此，对于0≤x≤3，g(x)<___成立。
根据分离变量法，得到不等式组-3<m<2.2.若对满足m≤2的任何一个实数m，函数f(x)在区间(a,b)上都为“凸函数”，求b-a的最大值。
由f(x)=(-x^4+mx^3+3x^2)/62得到f'(x)=(-4x^3+3mx^2+6x)/62，f''(x)=(-12x^2+6mx+6)/62.因为f(x)在区间(a,b)上为“凸函数”，所以f''(x)>0在(a,b)___成立。
因此，得到不等式组a≤x≤b和-12a^2+6ma+6>0，即a≤x≤b且m≤2或a≤x≤b且m≥1/2.由于m≤2，所以a≤x≤b且m≤2.根据变更主元法，将F(m)=mx-x^2+3视为关于m的一次函数最值问题，得到不等式组F(-2)>0和F(2)>0，即-2x-x^2+3>0且2x-x^2+3>0.解得-1<x<1.因此，b-a=2.Ⅲ）由题意可得，对任意x∈[1,4]，有f(x)≤g(x)代入g(x)得：x3+(t-6)x2-(t+1)x+3≥x3+(t-6)x2/2化___：x2(t-7/2)-x(t+1/2)+3≥0由于对于任意x∈[1,4]，不等式都成立，所以判别式≤0：t+1/2)2-4×3×(t-7/2)≤0化___：t2-10t+19≤0解得：1≤___≤9综上所述，a=-3，b=1/2，f(x)的值域为[-4,16]，t的取值范围为1≤t≤9.单调增区间为：$(-\infty,-1),(a-1,+\infty)$和$(-1,a-1)$。
导数专题的题型总结
导数专题的题型总结一、导数的概念与运算题型1. 求函数的导数- 题目：求函数y = x^3+2x - 1的导数。
- 解析：- 根据求导公式(x^n)^′=nx^n - 1，对于y = x^3+2x - 1。
- 对于y = x^3，其导数y^′=(x^3)^′ = 3x^2；对于y = 2x，其导数y^′=(2x)^′=2；对于y=-1，因为常数的导数为0，所以y^′ = 0。
- 综上，函数y = x^3+2x - 1的导数y^′=3x^2+2。
2. 复合函数求导- 题目：求函数y=(2x + 1)^5的导数。
- 解析：- 设u = 2x+1，则y = u^5。
- 根据复合函数求导公式y^′_x=y^′_u· u^′_x。
- 先对y = u^5求导，y^′_u = 5u^4；再对u = 2x + 1求导，u^′_x=2。
- 所以y^′ = 5u^4·2=10(2x + 1)^4。
二、导数的几何意义题型1. 求切线方程- 题目：求曲线y = x^2在点(1,1)处的切线方程。
- 解析：- 对y = x^2求导，根据求导公式(x^n)^′=nx^n - 1，可得y^′ = 2x。
- 把x = 1代入导数y^′中，得到切线的斜率k = 2×1=2。
- 由点斜式方程y - y_0=k(x - x_0)（其中(x_0,y_0)=(1,1)，k = 2），可得切线方程为y - 1=2(x - 1)，即y = 2x-1。
2. 已知切线方程求参数- 题目：已知曲线y = ax^2+3x - 1在点(1,a + 2)处的切线方程为y = 7x + b，求a和b的值。
- 解析：- 先对y = ax^2+3x - 1求导，y^′=2ax + 3。
- 把x = 1代入导数y^′中，得到切线的斜率k = 2a+3。
- 因为切线方程为y = 7x + b，所以切线斜率为7，即2a + 3=7，解得a = 2。
导数各类题型方法总结(绝对经典)
第一章 导数及其应用一， 导数的概念 1..已知xf x f xx f x ∆-∆+=→∆)2()2(lim,1)(0则的值是（ ）A. 41- B. 2 C. 41D. －2变式1：()()()为则设hf h f f h 233lim ,430--='→（ ）A ．－１Ｂ．－2 C ．－3D ．1 变式2：()()()00003,lim x f x x f x x f x x x ∆→+∆--∆∆设在可导则等于（ ）A ．()02x f 'B ．()0x f 'C ．()03x f 'D ．()04x f '导数各种题型方法总结请同学们高度重视：首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法 5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。
最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令0)('=x f 得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知；其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种：第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0）第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）；（请同学们参看2010省统测2）例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上，()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数，4323()1262x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围；（2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值.解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32()332x mx f x x '=-- 2()3g x x mx ∴=--（1） ()y f x =Q 在区间[]0,3上为“凸函数”，则 2()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x <(0)0302(3)09330g m g m <-<⎧⎧⇒⇒>⎨⎨<--<⎩⎩解法二：分离变量法：∵ 当0x =时, 2()330g x x mx ∴=--=-<恒成立, 当03x <≤时, 2()30g x x mx =--<恒成立等价于233x m x x x ->=-的最大值（03x <≤）恒成立， 而3()h x x x=-（03x <≤）是增函数，则max ()(3)2h x h ==2m ∴>(2)∵当2m ≤时()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”则等价于当2m ≤时2()30g x x mx =--< 恒成立变更主元法再等价于2()30F m mx x =-+>在2m ≤恒成立（视为关于m 的一次函数最值问题）22(2)023011(2)0230F x x x F x x ⎧->--+>⎧⎪⇒⇒⇒-<<⎨⎨>-+>⎪⎩⎩ 2b a ∴-=例2),10(32R b a b x a ∈<<+-（Ⅱ）若对任意的],2,1[++∈a a x 不等式()f x a '≤恒成立，求a 的取值范围.（二次函数区间最值的例子）解：（Ⅰ）()()22()433f x x ax a x a x a '=-+-=---01a <<Q令,0)(>'x f 得)(x f 的单调递增区间为（a ,3a ）令,0)(<'x f 得)(x f 的单调递减区间为（－∞，a ）和（3a ，+∞）∴当x=a 时，)(x f 极小值=;433b a +-当x=3a 时，)(x f 极大值=b.（Ⅱ）由|)(x f '|≤a ，得：对任意的],2,1[++∈a a x 2243a x ax a a -≤-+≤恒成立①则等价于()g x 这个二次函数max min ()()g x a g x a≤⎧⎨≥-⎩ 22()43g x x ax a =-+的对称轴2x a = 01,a <<Q12a a a a +>+=（放缩法）即定义域在对称轴的右边，()g x 这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。
导数题型总结
导数题型总结题型一：利用导函数解析式求原函数解析式例1：已知多项式函数()f x 的导数/2()34f x x x =-，且(1)4f =，求()f x例2：已知多项式函数()f x 为奇函数，/2()31()f x x ax a R =++∈，求()f x例3：已知函数432()f x ax bx cx dx e =++++为偶函数，它的图象过点(0,1)A -，且在1x =处的切线方程为210x y +-=，求()f x题型二：求切线问题例1：已知曲线方程为2122x -y=，则在点3(1,)2P -处切线的斜率为 ，切线的倾斜角为例2：求曲线13y x=在原点处的切线方程切线斜率不存在所以切线方程为0x =例3：求曲线3y x =在点(1,1)出的切线与X 轴，直线2x =所围成的三角形的面积切线方程为320x y --= 三角形面积83S =例4：求曲线2y x =分别满足下列条件的切线方程（1）平行于直线45y x =- （2）垂直于直线2650x y -+= （3）与X 轴成0135的倾斜角 （4）过点(1,3)P -，且与曲线相切的直线 例5：已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是例6：已知函数()f x 在R 上满足3()3()8f x f x x =--+，则曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程是题型三：求倾斜角例1：P 在曲线323+-=x x y 上移动，在点P 处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是______例2：．曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________；题型四：导数与函数图像问题例1：若函数()y f x =的导函数．．．在区间[,]a b 上是增函数，则函数()y f x =在[,]a b 上的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．.例2函数y=ax 2+ bx 与y= ||log b ax (ab ≠0，| a |≠| b |)在同一直角坐标系中的图像可能是（ ）ab a例3函数22x y x =-的图像大致是（ ）例4设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）例5设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如下图（1）所示，则()y f x =的图象最有可能的是例6．设函数f(x)y=f '(x)可能为 （ ）A ．B ．C ．D ．AB C D题型五：结合单调性求参数的取值范围例1：若函数32()f x x ax bx c =+++为R 上的增函数，则实数,,a b c 满足的条件是 例2：已知函数32()1f x x ax x =-+--在R 是单调函数，则实数a 的取值范围是例3：已知函数32()321f x x x =+-在区间(,)m o 上是减函数，则m 的取值范围是例4：已知向量2(1)a x x =+ ，，(1,)b x t =- ，若函数()f x a b = 在区间(1,1)-上是增函数，求t 的取值范围例5：已知函数32()33(2)1f x x ax a x =++++既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是例6：若函数34()3f x x bx =-+有三个单调区间，则b 的取值范围是 0b >例7：设函数3()65f x x x =-+ （1）求()f x 的单调区间和极值（2）若关于x 的方程()f x a =有三个不同实根，求a 的取值范围 （3）已知当(1,)x ∈+∞时，()(1)f x k x ≥-恒成立，求实数k 的取值范围例8：已知32()f x x ax bx c =+++在213x x =-=与时取得极值（1）求,a b 的值（2）若对[1,2]x ∈-，2()f x c <恒成立，求c 的取值范围 例9：已知函数()f x 的图象与函数1()2g x x x=++的图象关于点(0,1)A 对称 （1）求函数()f x 的解析式 （2）若()()ah x f x x=+，且()h x 在区间(0,2]上是减函数求实数a 的取值范围 题型六：求单调区间例1：(1) 432()3861f x x x x =-++ (2)3()f x x ax =- (3) 2()x f x x e -= 例2：已知函数32()f x ax bx cx d =+++的两个极值点是1-和3 ，且(0)7f =-，/(0)18f =-，求函数()f x 的解析式例3：已知()f x 是三次函数，()g x 是一次函数，321()()2372f xg x x x x -=-+++，()f x 在1x =处有极值2 ，求()f x 的解析式和单调区间题型七：求极值问题例1．（本小题满分12分）设函数32()63(2)2f x x a x ax =+++.（1）若()f x 的两个极值点为12,x x ，且121x x =，求实数a 的值；（2）是否存在实数a ，使得()f x 是(,)-∞+∞上的单调函数？若存在,求出a 的值；若不存在，说明理由. 例2设函数()sin cos 1 , 02f x x x x x π=-++<<，求()f x 的单调区间与极值. 例3已知函数42()32(31)4f x ax a x x =-++ （I ）当16a =时，求()f x 的极值; （II ）若()f x 在()1,1-上是增函数，求a 的取值范围 例4设定函数32()(0)3a f x x bx cx d a =+++>，且方程'()90f x x -=的两个根分别为1，4。
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导数题型总结————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期：导数题型总结一、基础题型:函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立此类问题提倡按以下步骤进行解决: 第一步：令''()0()0f x f x ><或者求出函数的单调区间; 第二步：根据第一步求出函数的极大值,极小值和最大值；至于不等式恒成立,则要分离变量或者变更主元。
例１:设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x ',()f x '在区间D 上的导数为()g x ,若在区间Ｄ上，()0g x <恒成立,则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数,4323()1262x mx x f x =-- (1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求ｍ的取值范围;(2)若对满足2m ≤的任何一个实数m ,函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”,求b a -的最大值．解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32()332x mx f x x '=-- 2()3g x x mx ∴=-- （1)()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”,则 2()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立解法一：从二次函数的区间最值入手:等价于max ()0g x <(0)0302(3)09330g m g m <-<⎧⎧⇒⇒>⎨⎨<--<⎩⎩解法二:分离变量法：∵ 当0x =时, 2()330g x x mx ∴=--=-<恒成立, 当03x <≤时， 2()30g x x mx =--<恒成立等价于233x m x x x->=-的最大值（03x <≤)恒成立, 而3()h x x x=-(03x <≤)是增函数,则max ()(3)2h x h == 2m ∴> (2)∵当2m ≤时()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数” 则等价于当2m ≤时2()30g x x mx =--< 恒成立 等价于2()30F m mx x =-+>在2m ≤恒成立(视为关于m 的一次函数最值问题）22(2)023011(2)0230F x x x F x x ⎧->--+>⎧⎪⇒⇒⇒-<<⎨⎨>-+>⎪⎩⎩2b a ∴-=例２：设函数),10(3231)(223R b a b x a ax x x f ∈<<+-+-= (Ⅰ)求函数ｆ（ｘ）的单调区间和极值;（Ⅱ)若对任意的],2,1[++∈a a x 不等式()f x a '≤恒成立,求ａ的取值范围. 解:（Ⅰ)01a <<令,0)(>'x f 得)(x f 的单调递增区间()()22()433f x x ax a x a x a '=-+-=---为(ａ，3a ） 令,0)(<'x f 得)(x f 的单调递减区间为（-∞，a )和(3a ，＋∞）∴当x ＝a 时，)(x f 极小值=;433b a +-当ｘ＝3ａ时,)(x f 极大值＝b. ﻩ （Ⅱ)由|)(x f '｜≤a ，得:对任意的],2,1[++∈a a x 2243a x ax a a -≤-+≤恒成立①则等价于()g x 这个二次函数max min ()()g x a g x a≤⎧⎨≥-⎩ 22()43g x x ax a =-+的对称轴2x a =01,a << 12a a a a +>+=(放缩法)即定义域在对称轴的右边，()g x 这个二次函数的最值问题:单调增函数的最值问题。
22()43[1,2]g x x ax a a a =-+++在上是增函数．max min ()(2)2 1.()(1)4 4.g x g a a g x g a a =+=-+=+=-+∴于是,对任意]2,1[++∈a a x ,不等式①恒成立，等价于(2)44,41.(1)215g a a a a g a a a+=-+≤⎧≤≤⎨+=-+≥-⎩解得 又,10<<a ∴.154<≤a 点评:重视二次函数区间最值求法：对称轴(重视单调区间）与定义域的关系例3：已知函数32()f x x ax =+图象上一点(1,)P b 处的切线斜率为3-，326()(1)3(0)2t g x x x t x t -=+-++> (Ⅰ)求,a b 的值； （Ⅱ）当[1,4]x ∈-时，求()f x 的值域； （Ⅲ）当[1,4]x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数t 的取值范围。
2x a=[]1,2a a ++解:（Ⅰ)/2()32f x x ax =+∴/(1)31f b a ⎧=-⎨=+⎩, 解得32a b =-⎧⎨=-⎩（Ⅱ）由(Ⅰ）知,()f x 在[1,0]-上单调递增,在[0,2]上单调递减,在[2,4]上单调递减 又(1)4,(0)0,(2)4,(4)16f f f f -=-==-= ∴()f x 的值域是[4,16]- (Ⅲ)令2()()()(1)3[1,4]2t h x f x g x x t x x =-=-++-∈思路1:要使()()f x g x ≤恒成立，只需()0h x ≤，即2(2)26t x x x -≥- 分离变量 思路2:二次函数区间最值二、参数问题1、题型一:已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围解法1:转化为0)(0)(''≤≥x f x f 或在给定区间上恒成立， 回归基础题型解法2:利用子区间(即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间,然后让所给区间是求的增或减区间的子集；例４：已知R a ∈，函数x a x a x x f )14(21121)(23++++=． (Ⅰ）如果函数)()(x f x g '=是偶函数,求)(x f 的极大值和极小值； (Ⅱ)如果函数)(x f 是),(∞+-∞上的单调函数,求a 的取值范围.解：)14()1(41)(2++++='a x a x x f . （Ⅰ)∵ ()f x '是偶函数,∴ 1-=a . 此时x x x f 3121)(3-=,341)(2-='x x f ， 令0)(='x f ，解得：32±=x ． 列表如下：x(－∞,-23)-23 (-２3,23)23 (２3,+∞))(x f ' + ０ - 0 + )(x f递增极大值递减极小值递增可知：()f x 的极大值为34)32(=-f ， ()f x 的极小值为34)32(-=f . (Ⅱ）∵函数)(x f 是),(∞+-∞上的单调函数,∴21()(1)(41)04f x x a x a '=++++≥,在给定区间Ｒ上恒成立 判别式法 则221(1)4(41)204a a a a ∆=+-⋅⋅+=-≤， 解得:02a ≤≤．综上，a 的取值范围是}20{≤≤a a . 例5、已知函数3211()(2)(1)(0).32f x x a x a x a =+-+-≥ （I ）求()f x 的单调区间;（II ）若()f x 在［0，1]上单调递增,求a 的取值范围。
子集思想解:（I ）2()(2)1(1)(1).f x x a x a x x a '=+-+-=++-1、20,()(1)0,a f x x '==+≥当时恒成立当且仅当1x =-时取“＝”号，()(,)f x -∞+∞在单调递增。
2、12120,()0,1,1,,a f x x x a x x '>==-=-<当时由得且 单调增区间：(,1),(1,)a -∞--+∞ 单调增区间：(1,1)a --(I Ｉ）当()[0,1],f x 在上单调递增 则[]0,1是上述增区间的子集：1、0a =时，()(,)f x -∞+∞在单调递增 符合题意2、[]()0,11,a ⊆-+∞，10a ∴-≤ 1a ∴≤ 综上,a 的取值范围是[0，1]。
2、题型二:根的个数问题题1 函数f(x ）与g(x ）（或与x 轴）的交点，即方程根的个数问题 解题步骤第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式)和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组);主要看极大值和极小值与０的关系； 第三步:解不等式（组)即可。
例6、已知函数232)1(31)(x k x x f +-=，kx x g -=31)(,且)(x f 在区间),2(+∞上为增函数．（1） 求实数k 的取值范围；（2） 若函数)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点,求实数k 的取值范围.解:(１)由题意x k x x f )1()(2+-=' ∵)(x f 在区间),2(+∞上为增函数,∴0)1()(2>+-='x k x x f 在区间),2(+∞上恒成立(分离变量法)即x k <+1恒成立,又2>x ，∴21≤+k ，故1≤k ∴k 的取值范围为1≤k(2)设312)1(3)()()(23-++-=-=kx x k x x g x f x h ， )1)(()1()(2--=++-='x k x k x k x x h令0)(='x h 得k x =或1=x 由（1)知1≤k ,①当1=k 时，0)1()(2≥-='x x h ,)(x h 在Ｒ上递增,显然不合题意… ②当1<k 时，)(x h ,)(x h '随x 的变化情况如下表:x),(k -∞k )1,(k1),1(+∞)(x h ' +— 0+)(x h↗极大值312623-+-k k ↘极小值21-k ↗由于021<-k ，欲使)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点，即方程0)(=x h 有三个不同的实根,故需0312623>-+-k k ,即0)22)(1(2<---k k k ∴⎩⎨⎧>--<02212k k k ,解得31-<k 综上，所求k 的取值范围为31-<k。