安徽省2020年高考数学试题分析 人教版

安徽省2020年高考数学试题分析
2020年安徽高考改革，已经进入了一个崭新的阶段，整体发生了前所未有的变化，首次自行编制并颁布《考试说明》。

继2020年英语自主命题后，2020年语文、数学、英语自主命题，首次计算机网上阅卷。

这些变化，曾经使2020年参加高考的46万考生和家长、广大高三教师、以及社会方方面面关心高考的各界人士高度关注。

现在2020年安徽高考已经尘埃落定。

就高考而言，全省各地几家欢乐几家愁。

语文、数学、英语自主命题，成功得失众说纷纭。

下面我将通过对安徽数学试卷的数据分析，分析安徽高考数学试题的特点。

通过回顾备考2020年高考的风雨历程，审视2020年高三复习备考策略的成败得失，为2020年高三复习、高考备考积累经验。

一、统计数据分析
(一)题型结构
2020年安徽高考数学卷从题型结构来看，基本上保持了《高考说明》和《考试大纲》的要求。

即选择题、填空题、解答题三种题型结构与2020年全国卷相同。

题量、分值也保持不变。

其难度和区分度的要求达到或基本达到2020年全国卷的程度。

2020年高考全国卷的题型结构（表一）
2020年高考安徽数学卷统计数据（表二）
(二)理科成绩呈正态分布
2020年安徽理科考生的成绩呈正态分布，峰值在65~95之间，而且不高。

说明考生的分布比较均匀，考试对考生的区分度较好，中等难度（p=平均得分
满分
）
值在0.4~0.7之间）的试卷比例合适。

但是容易题（p值为0.7以上）比例较低，难度题（p值为0.3以下）比例较高。

2020安徽数学试题有较强的区分度。

现在我们还没有看见2020年全省数学成绩的有关统计数据，现以安庆市为例进行分析：理科考生的成绩仍然呈正态分布，从考生分布的直方图可以看出，考分峰值73.71~103.71，容易题比例较2020年全国数学试卷有较大比例的提高（即p值为0.7以上的题目）。

选择题1~10题都不难，给后面综合题的解答赢得了宝贵的时间，这是2020年数学考分有较大提高的一个重要原因。

(三)文科试卷的难度大幅度降低
文科考生2020年数学得分较低（全省49.96），其中主要原因是难题的比例过高，容易题的比例偏低。

从考生分数统计直方图可以看出，考生成绩呈比较严重的正偏态分布，峰值集中在65分以下的分数段，如此低的数学成绩严重地影响大学录取中数学应有的影响和地位。

2020年文科安徽考卷难度比去年全国卷的难度下降了许多，其中就是增加了容易题和中档题的比例，我个人认为这是明智之举。

理由有二：首先，提高了数学成绩在高考录取中的权重（即说话的分量）。

其次，体现了让不同水平层次的考生都有施展才能的空间；让不同的人学不同的数学；让不同的人得到不同的发展；让不同层次的考生都能享受成功。

这正是目前新课程改革的理念和精神。

从安庆市数学高考成绩统计数据可以看出，试卷的信度较好，说明高考测试分数偏离真分数的幅度较小，测量误差得到较好的控制，分数与考生的数学能力接近，成绩真实可信。

安庆市示范高中文理科数学平均分（表三）
安徽六所实验班高考数学平均成绩（表四）
试卷的标准差较大，测验分数分布较广，试卷区分功能较好，符合数学学科的性质和特点。

安庆市2020年理科37952人报考，三本以上16246人。

文科25654人报考，三本以上7251人。

二、总体评价
高考作为选拔性考试，它的职能就是要为各级各类学校选拔新生，就是把具有各种潜质的学生通过试题的解答、量化的方式把它们加以区分开来，便于各级各类学校选拔。

2020年12月16日省教育厅召集编写《考试说明》工作会议上，胡平平厅长、虞志芳厅长和招生办的祗建伟主任对2020年安徽自主命题提出了具体要求，为了保证让2020年安徽高考从全国卷到安徽卷的平稳过渡，2020年安徽自主命题的指导思想是：有助于高等院校选拔新生；有助于中学实施素质教育；有助于学生创新意识和实践能力的培养。

同时也要求试题必须体现安徽基础教育的实际，必须处理好如下几个关
系：
高校选拔新生与中学教学的关系
考试大纲与中学教学大纲的关系
保证考试范围与能力要求科学准确
现在我们评价2020年安徽高考数学试题，必须在这样的一个背景进行评价，即
1）2020年安徽首次自主命题，平稳过渡是核心。

2）试题必须体现它的选拔功能，必须有助于各级各类学校招生。

3）试题必须体现安徽基础教育的实际，必须有助于中学实施素质教育，有助于学生创新意识和实践能力的培养。

4）必须在某种程度上体现课程改革的思想和要求。

（一）平稳过渡，成功实现从全国卷到安徽卷的软着陆2020年是安徽省数学自主命题的第一年，考前高三教师和广大的考生对06安徽版数学试题心有疑虑，主要体现在如下五个方面：
1）试卷是否符合考试大纲和教材要求，是否体现安徽基础教育的实际。

2）试卷如何体现以能力立意，适当的难度和必要的区分度如何把握。

3）题型结构、题量和分值在《考试大纲》的框架下，是否有变通，数学思想如何考查。

4）应用问题和实践能力如何考，是否有以安徽地域背景的题型出现。

（特别是应用题）
5）文理科试卷难易程度如何控制，特别是文科试卷的难度控制在怎样的一个范围内。

正因为有了这些疑虑，有了这些担心，考前探听高考命题信息之风悄然兴起，各种高考研讨会遍布大江南北。

260元一套的高考押题卷，在省城热卖，这种浮躁的心态，都体现在这样一个问题上，06高考安徽能否实现真正意义上的软着陆，是否真正地实现严格意义上的从全国卷到安徽卷的平稳过渡。

从这个意义上实事求是地说，06安徽版高考数学试卷已经基本上做到了这一点。

无论是考生的感觉，高等院校的录取，还是事后的数据分析，都表明高考已经成功地实现了软着陆。

“高考考前无信息”成为今年安徽省自主命题的一大亮点。

一切的一切，都
是在平常和平静的氛围中进行，这体现了教育行政主管部门的自信，也体现了安徽教育工作者的成熟。

（二）试卷起点低，注意考查基础知识
试卷延续多年来高考的一贯作法起点较低，容易入手，文理科从第一题到第十题，虽然只有四个题目相同，但都是着重考查基本概念、基本运算、基本方法和简单的应用。

考查的内容都是中学数学的基本知识。

以理科为例，如：集合与不等式、充要条件、反函数、三角函数图象平移、复数、切线和圆锥曲线等，都是常见的题型。

2020年高考安徽卷文理科各单元知识分值分布表(表五)
试卷不刻意追求知识点覆盖面的大小，经统计文科高中教材中132个知识点，只考了78个（理科也类似），注意知识点间的综合，特别是单题的综合。

对基础知识的考查作为试卷的起点，体现了既全面又突出重点的原则，重点内容重点考查。

在整个试卷的布局上考虑了高中重点内容的排位，如：函数、数列、概率、导数、圆锥曲线等。

首先设定考查的重点和要求层次，展开考查网络，拓展考查空间。

如：函数，这是高中数学的重点内容，又是考生后续深造必备的数学知识。

试卷函数部分（理科）涉及的题目有（反函数）、、（三角函数）、、（三角函数）、共计43分，占总分的28.6%，又如圆锥曲线，涉及的题目有（抛物线和椭
圆）、（双曲线），而在考查过程中又自然的结合了其它次要的和非重要的内容，对重点知识的考查力求深入综合。

在选择题的设计中多用学生易犯错误的内容为素材，设计问题背景和选项，以此考查学生对知识理解掌握与应用的准确度和确切性，如理科的第5题、第6题、第9题、第12题、第16题等。

（三）重视对数学思想方法的考查，突出能力立意
从“知识立意”向能力立意的转变是高考试题改革的重点之一。

知识与能力并举，在知识的交汇上命题，着重考察思维能力、空间想象能力、实践和创新能力。

特别是运用所学知识分析问题和解决问题的能力，其中数学思维能力是考查的核心。

具体表现为： 1)、注重考查能力的多样性。

06高考安徽卷除了继续保持常规性问题和题型对考生进行数学能力的考查外，还有意采取适当的形式和方法对考生的多种能力进行全面考查。

如：理科、
用抽象函数符号11
2f x g x f x f x f x +==+（
），（）（）（）（）
考查函数的性质。

又如理科的第6题、文科的第9题，用向量的形式包装传统的正弦函数图像平移问题，以考查学生思维的多样性和变通性。

2)、注意考查能力的综合性。

06高考安徽卷注重学科知识的内在联系，在知识网络的交汇处作为命题的切入点。

注重考查分类讨论的思想，等价转换的思想和数形结合的思想。

如文科第2题：画出y x =图像，即可看出纵坐标小于
1
2
时，横坐标x 的取值范围。

又如理科第5题作出22(0)
(0)x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩的图像，作它关于y=x 的对称图像，根据图像所
在象限及互为反函数的对称性，即可找到答案。

3)、注重考查能力的层次性
06安徽卷突出对学生能力考查的层次性。

也就是通常所说的注意试题的区分度，给各层次的学生提供充分发挥的空间。

一方面通过设计解法多样但过程运算繁简有别的典型问题，拉开不同能力水平层次。

如理科、，虽然这两题的解法很多，但它们之间运算量和推导过程的繁简程度差别很大。

若考生思维敏捷，解
题手段运用恰当，则既可节省时间又可保证计算的准确性。

也为解决后面的题目赢得了大量的时间。

另一反面，通过增加问题设问的层次，拉大不同能力水平考生之间得分差距，如：理科第20题、文科第21题和第22题等。

（四）保持新增内容的考查力度，推进课程改革的深入发展2020年高考是安徽使用新教材后的第四年高考，试卷仍继续保持新增内容的考查力度，较大限度地压缩对传统知识内容的考查，最大可能地让新增内容去占据相应的地位。

对新增内容的考查体现出基础性、工具性和应用性，考查时使新老内容的结合。

如：文理科19题体现了向量在几何中的应用。

理科、，，考查导数在函数中的应用。

，概率统计在实际问题中的应用。

其余如：线性规划等，06安徽考卷都有涉及，经统计06安徽考试卷中，新增知识理科有8题，即、、、、、、、，共计分值47分。

文科试卷占7题即、、、、、共计分值48分。

若考虑立体几何用空间向量的解法因素，新增内容在06安徽试卷中所占分值文理科分别60分和59分，占总分的40%，远远高于相应的课时比例。

正是由于高考试题的导向性，给现行的高中数学教学极大的启示。

这样的命题设计，如果不是偶然因素所致，各地必然要加大对新增内容的教学和投入，进一步推动课程改革的深化。

2020年在新的课程改革下，高一新生已经入学，2020年的高考方案正在孕育之中，2020年、2020年的高考如何考，2020年高考的改革方案以何种面目出现，人们正拭目以待。

（五）应用问题的考查
06安徽卷延续了全国卷近几年来的考试风格，题量、题型、分值基本上是克隆了全国卷。

2020年3月1日，我在合肥一六八中学的高考研讨会上，对此曾做过探讨和预测（见图表）。

但是没想到是，06安徽卷在应用问题的考查上完全是复制2020年全国数学卷，第10题（选择题）线性规划问题、第18题概率统计问题，分值共计17分。

仔细想想，这也是情理之中的事。

应用题的设计体现了背景公平的原则，对牙膏来说，不管是城市或是乡村，生活的必需品，学生都熟悉，以牙膏的芳香度为背景，考查概率统计方面的知识，做到背景公平。

但是在考查学生能力的意义上来说，题目的设计又反映了文理科的差异，理科主要考查概率与统计的基本思想、基本方法和基本应用。

因为概率与统计都是实用性较强的数学知识，另一方面在高中增设的概率与统计的教学内容知识这一学科中最基本的知识和方法。

因此在难度的定位上属于中档题。

05年全国卷在顺序上是20题，06年安徽卷为18题，就难度而言，较去年的全国卷还要容易一些。

线性规划题的难度也降低了许多。

由于文科的统计内容较理科少，所以考查的重点放在概率部分，以求芳香度
之和的概率为背景，考查对立事件、互相独立事件、互斥事件的意义及其概率的求法。

应用试题情景的设置贴近考生的生活实际，对数学建模的要求适当，难度与运算量的控制较好。

现在的问题是概率与统计这一类型的应用题，已考过多年，各地应考已经有了一套成熟的做法，中学数学界已出现了改变这一题型的呼声。

（六）妥善处理文理分卷，平衡文理难度差异
2020年全省文科高考数学平均成绩49.96分，大大降低了数学在高考录取中的权重，同时也不利于中学文科数学的教学。

从而调整文科数学试卷难度的要求很高。

2020年高考安徽卷，妥善地处理了文理分卷，平衡了文理试卷的难度，高考数学平均成绩达到70分，确实是明智之举。

在题目的设置上降低文科试题的难度，充分考虑文理科不同考生的差异和个性化要求。

如： ① 文科的不等式与理科的不等式。

② 文科充要条件和理科的充要条件。

③ 文科求反函数与理科求反函数。

④ 理科文科判断最值与理科判断最值问题。

⑤ 文科与理科。

⑥ 文科与理科。

文科试题的要求难度比理科要降低了许多。

至于解答题那更是如此。

降低文科数学试卷的难度，提高文科学生高考的数学成绩的难度是06安徽卷的一个亮点。

三、典型试题评析
例1:文理科第11题.
如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则：
(A) 111A B C ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 (B) 111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形
(C) 111A B C ∆是钝角三角形，2 2 2A B C ∆是锐角三角形
(D) 111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形
解:本题用特殊值不行。

12121211112121222cos sin 0cos sin 0cos sin 0
222
322222
A A
B B
C C A B C A B B C C A B C A B C ππππππ=>=>=>∴∆±=±=±-++=∴∆2；222；；为锐角三角形
且A =；；（1）显然（1）中至多有一个"+"号，如果没有"+"则A +B +C =（A1+B1+C1）=与矛盾。

为钝角三角形
即答案(D)
例2:文理科第12题
在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰．．三角形的概率为( )
A ．
17 B ．27 C ．37 D ．47 答案(C)
解：任选三点作三角形共3856C =个三角形，不妨设正方体的棱
长为1，在这56个三角形中，形状只有三种：
（1）等腰直角三角形，如1B AB ∆
（2）等边三角形，如11AB D ∆
（3）直角非等腰三角形，如1DBD ∆
在正方体1111ABCD A B C D -中，由两个顶点所连成的线段以长
度分有三种情形：
（1） 棱，如11AA =
（2）
各面对角线，如：1AB =（3）
体对角线，如1D B =因此，所得的三角形是直角非等腰三角形，“当且仅当”它的三条边长分别为1
现取一条体对角线，如BD 1。

共6个顶点中的任何一个都与顶点BD 1一起形B
A
成直角非等腰三角形，如1BDB ∆。

线段BD 1是斜边，这表明以线段BD 1为斜边的直角非等腰三角形有6个。

由于正方体一共只有4条体对角线，所以一共有4×6=24个直角非等腰三角形，虽然它们都是互不相同的。

因此所求的概率为3824c =2456=37
点评：本题在以正方体顶点为顶点56个三角形中，关键是要数清楚其中有多少直角非等腰三角形，这就需要有合理的思维方式，进行分类讨论，分析问题，认识问题，从中发现规律，找到解决问题的方法。

例3：（文理科第15题）
函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()
12f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f =__________。

分析：本题中，唯一可用的条件是：()()12f x f x +=
R χ∈，于是11(4)()1
(2)()
f x f x x R f x f x +====∈+即()f x 是以4为周期的周期函数，从而有：(5)(1)5f f ==- 11((5))(5)(3)(12)(1)5f f f f f f =-==+=
=- 例4：（理科16题）
多面体上位于同一条棱两端的顶点称为相邻的。

如图正方体的一个顶点A 在a 平面内。

其余顶点在a 的同侧，正方体与顶点相邻的顶点到的距离分别是非曲直1、2、和4。

P 是正方体其余四个顶点中的一个，则
P 到平面a 的距离可能是：
① 3；②4；③5；④6；⑤7.
以上结论正确的为 .
（写出所有正确结论的编号．．
） 例5：（文科16题）
平行四边形的一个顶点A 在平面α内，其余顶点在α的同侧，已知其中有两
个顶点到α的距离分别为1和2 ，那么剩下的一个顶点到平面α的距离可能是：
① 1； ②2； ③3； ④4；
以上结论正确的为______________。

（写出所有正确结论的编号．．
） 分析：本题关键把平行四边形相对两个顶点到任意一个平面
的距离相等。

本题中梯形BB 1DD 1的中位线与1ACC ∆的直角边AC 1中位
线（也是中垂线）重合利用这个结果。

（1） 若BB 1=2，DD 1=1，CC 1=3
（2） 若DD 1=1 ，CC 1=2 ，BB 1=1
利用这个结果，即可得到理科16题的答案：即答案为①③
（1） 在ABCD 中，A 、B 、D 到平面α的距离分别是0，1，2，则C 到平面α
的距离C 。

（2） 在11AA BB 中，A 、A 1到平面α的距离分别为0、4、1则B1到平面α的
距离为5。

（3） 同理D1到平面α距离为6，C1到平面α的距离为7。

点评：文科和理科16题都有是一个多选的填空题，考查考生在新情景下抽象概括能力，是一道有新意的考题，考查考生潜在的数学素质。

例6：（文科18题）
在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较。

在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂。

现有芳香度分别为0，1，2，3，4，5的六种添加剂可供选用。

根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验。

（Ⅰ）求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4的概率；
（Ⅱ）求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3的概率；
解：设“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4”的事件为A ，“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3”的事件为B
（Ⅰ）芳香度之和等于4的取法有2种：(0,4)、(1,3)，故2()15
P A =。

（Ⅱ）芳香度之和等于1的取法有1种：(0,1)；芳香度之和等于2的取法有
1种：(0,2)，故22661113()1()15
P B C C =-+=。

点评：①应用题题型对于涉世不深的学生来说，一定要做到背景公平，06安徽可以说基本上做到了。

因牙膏不管是城市还是乡村，学生都熟悉。

②本题难度不大，其程度设计小于前面的填空选择题。

从应试的角度这是得分题，延续了近几年来全国卷的做法。

例7：（理科20题）
已知函数f(x)在R 上有定义，对任意实数a ＞0和任意实数x,都有f (ax )=af (x ). (Ⅰ)证明f (0)=0;
(Ⅱ)证明f (x )=(kx,x ≥0,hx,x ＜0其中k 和h 均为常数;
(Ⅲ)当(Ⅱ)中的k ＞0时，设()()
1()(0)g x f x x f x =
+>,讨论g(x)在(0,+∞)内的单调性求极值.
有人说本题是由下题改造而来的
设函数:f R R →适合条件
3322()()((()()()(()),f x y x y f x f x f y f y x y r +=+-+∈ 试证：对一切x R ∈都有 (1996)1996()f x f x =。

这是1996年中国数学奥林匹克试题，即第11届全国中学生数学冬令营竞赛题。

我不知道这是否真实，但有一点可以肯定，对函数概念的灵活应用和解答策略是雷同的。

点评：这是一个关于抽象函数的题目，考查考生函数的概念，导数应、函数的单调区间和极值等知识，考查考生运用数学知识解决问题及推理能量。

这是06安徽卷得分较低的一道题，据一位阅卷老师统计，其中第二小题，即证明(0)()(0)kx x f x hx x ≥⎧=⎨<⎩
其中k 和h 均为常数；在他统计的8000多份试卷中只有30余人做对，得分率为0.0037。

如此低的得分率，反映出考生对这种题型的生疏，也说明在高三复习备考中没有涉及到或虽涉及到，但没有训练到位。

也使广大中学教师普遍感到困惑。

事实上对抽象函数的考核，主要是反映出高等院校对考生的要求，也反映了学生继续深造的需要。

本题的关键是对函数概率的理解，在通常的情况下 中x做为变量，这个概念在学生中根深蒂固，但是在本题中，恰恰把a ()
y f x
看成变元，这种思想众多考生不适应，反映出考生对函数的理解和对函数本质的认识不够全面，这也是今后我们高中数学教学，特别是高考备考过程中必须注意和重视的。

四、06安徽卷给我们的启示
经过06高考，安徽数学试卷给我们中学数学带来哪些启示，对正在准备07高考的教师和学生有哪些潜在的价值指向。

这是大家都关心的问题。

本人认为：
1、日常教学中着重抓基础，切实牢固打好基础，充分发挥教材中知识形成过程中和典型例题的作用。

如理科，主要考查等差、等比数列的基本知识，考查分析问题和归纳推理能力。

它涉及到数列这部分几乎所有的知识和主要方法，普遍认为这是06安徽卷的一个亮点之一。

它给我们的启示为：教学中对基本概念、基本方法的教学必须高度重视。

2、着眼于创新意识和实践能力的培养。

现在的高考已从知识立意转变成能力立意，对考生创新意识和创新能力的考查，是对考生高层次理性思维的考查。

这在06安徽卷中已有大量体现，如在前面评析的典型试题，如理科20题。

其中考查的就是对于数概念的深刻理解，考查的就是对创新意识和实践能力。

这就需要我们在今后教学中，积累解题的思维方法，教会学生多角度、多层次的考虑问题，全面、细致、周密的分析问题，提高分析问题和解决问题的能力。

3、06高考安徽试卷运算量大，违背了“多考一点想，少考一点算”思想，在可预见的将来。

这种情形还会依然存在下去。

所以在平时教学中注意对数学运算训练真真切切、踏踏实实地做好每一题，要特别注重运算的合理性、正确性、简捷性和时效性。

4、高考不仅是智力的考察，也是对我们精力，自我调控心理能力全方位考查，在高三备考和复习中，要强化心理素质的培养，现在的试题设计，分题把关，在整份试卷中或在一个题目中，未必是先易后难。

这就需要我们有良好的心理素质。

2020高考复习思路透视
我们追寻高考改革的足迹，盘点2020年全国高考各省市数学试题，剖析2020年高考《考试大纲》的重点、热点，对分省命题进行多角度、多层面的观察和审视，在认真回顾的基础上进行理性的思考，一个重要的目的：就是要更好地把握2020年安徽自主命题的方向，分析2020高考数学命题趋势，更高效，有针对性的指导高三年级的复习备考工作。

一、07安徽数学试题的指导思想
2020年高考安徽34.5万人报考，本科招生91000人，升学率26.38%。

2020年高考安徽41万人报考，本科招生97700人，升学率28.3%。

2020年高考安徽46.7万人报考，本科招生近10万人，升学率21.4% 。

2020高考预计安徽有50我报考，本科招生增加无几。

高考做为选拔性考试，它的职能就是要为各级各类学校选拔新生，就是把具有各种潜质的学生通过试题的解答，量化的方式把它区分开来，便于各级各类学校选拔。

无论是谁来命制2020年安徽数学试题，那他面对的问题就是必须通过这套试题很清晰的，把9万多人从50万人中选拔出来，这是安徽省政府、教育行政主管部门、社会各界和广大考生所要求的，谁都无法回避。

因此，数学试卷应有较高的信度和效度，必要的区分度和适当的难度。

2020年已经成功地实现了从全国卷到安徽卷的平稳过渡，社会各界对06安徽自主命题反应平静，2020年安徽将继续实行自主命题。

在2020年成功经验的基础上，继续推进命题改革的力度。

考试试题必须体现安徽基础教育的实际情况，建立安徽自行的高考评价体系。