三次函数切线问题

三次函数切线问题

【探究拓展】

探究1：切线的辩证定义

设Q 为曲线C 上不同于P 的一点，这时，直线PQ 称为曲线的割线。随着点Q 沿着曲线C 向点P 运动，割线PQ 在点P 附近越来越逼近曲线C 。当点Q 无限逼近点P 时，直线PQ 最终就成为在点P 处最逼近曲线的直线l ，这条直线也称为曲线在P 点处的切线。

探究2：填表：曲线在P 点附近的局部图像反映出如下特点

在运动中：

探究3：切线问题的辩证策略

T

n

A 1

A

例1：若直线y x =是曲线3

23y x

x ax =-+的切线，则a ＝ ．

（零点法）

↑

y x =是曲线323y x x ax =-+相切

x a x x y )1(323-+-=与x 轴相

切

↓ ↑ 联立()323

2

3103y x

x x a x y x x ax

=⎧⇒-+-=⎨

=-+⎩有重根→新联立⎩⎨

⎧

-+-==x

a x x y y )1(30

2

3

↓ （重根法）

变式1：（2020年）曲线px x y +=3

与q y -=相切，求证32

032p q ⎛⎫⎛⎫

+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

变式2：方程3

0x

px q ++=有几个实根？

探究4：切线问题的辩证思考：

联系——数形结合、函数与方程、转化与化归 发展——量变与质变、运动观点

探究5：辩证思维的强化延伸

由原点向曲线x x x y +-=233引切线，切于不同于点O 的点()1

1

1

, P x y ，

再由1

P 引切线切于不同于1

P 的点()2

2

2

, P x y ，如此继续下去……，得点到

(){}, n

n

n

P x y ．

（1）求1

x ；

（2）求1与n

n x

x +的关系；

（3）点列{}n

P 有何特点？

拓展1：若直线y x =是曲线3

231y x

x ax =-+-的切线，则

a ＝

拓展2：直线y kx m =+对一切m ∈R 与曲线3

26910y x

x x =-+-有且只有一个交

点，求k 的取值范围，并尝试一下，将结论推广到任意三次曲线的情形，此外能否从运动变化的观点阐述上述结论的几何意义．

【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？