三次函数切线问题

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三次函数图象上点的切线条数

三次函数图象上点的切线条数
三次函数图象上点的切线条数是数学中一个很重要的概念，它在许多应用领域中被广泛使用。

本文将简要介绍三次函数图象上点的切线条数的概念，并讨论它在实际中的应用。

三次函数图象上点的切线条数，也称为切线的度数，是指在三次函数图象上的某点处，其切线的条数。

由于三次函数图象的复杂性和细微差别，它的切线条数通常由切线的性质来确定，它的切线条数和图象的凹凸性有关。

如果给定的三次函数图象是凸的，则其上的每一点都有切线；如果给定的三次函数图象是凹的，则有些点不存在切线。

三次函数图象上点的切线条数在微积分中有着重要的应用。

因为它可以直接决定函数在某点的变化趋势，从而可以用来判断函数的单调性。

从函数的变化趋势可以得到函数在极值点处的增减性，进而可以求出函数的极值点。

另外，三次函数图象上点的切线条数也可以用来解决微积分中有关曲线定积分及极限的问题。

三次函数图象上点的切线条数还有其他应用，比如机械制造、工程设计、数字信号处理等。

在机械制造中，三次函数图象上点的切线条数可以应用于设计曲面夹具和曲线管路；在工程设计中，它可以用来计算结构物的载荷分布；在数字信号处理中，它可以用来求解信号的频率范围和时间响应。

因此，三次函数图象上点的切线条数的确是一个重要的概念，它在数学及其应用领域中都有着广泛的应用。

如果想要研究切线条数的相关知识，推荐大家学习计算机图形学、微积分、机械设计等课程。

三次函数的对称中心与切线条数

三次函数的对称中心与切线条数问题证明：三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠一定有对称中心。

提示：可根据奇函数图像的平移得到。

分析：我们知道奇函数的图像关于原点对称，所以要证结论成立，只需证任意一个三次函数都可以由关于原点对称的三次函数（奇函数）平移得来，也即任意的三次函数都可以写成3()()y a x m k x m n =-+-+的形式，因为上述函数图像可以看成奇函数3y ax kx =+按向量(,)m n 平移之后的结果，一定是中心对称图形展开得：32233(3)()y ax amx am k x n km am =-+++--与32y ax bx cx d =+++比较系数得：2333am b am k c n km am d-=⎧⎪+=⎨⎪--=⎩容易发现，上述方程组一定是有解的，解得：3b m a=- 故三次函数一定是中心对称图形，且对称中心为(,())33b b f a a-- 问题：过三次函数图像上一点00(,)P x y 能作三次函数图像多少条切线？分析：由于三次函数有对称中心，可假设其对称中心在原点，设3()f x ax bx =+，则2()3f x ax b '=+ 设11(,)Q x y 为函数图像上任意一点，则以Q 为切点的切线为21111(3)()y y ax bx x x -=+-将点00(,)P x y 代入得：201101(3)()y y ax b x x -=+-，即3320011101()(3)()ax bx ax bx ax b x x +-+=+- 整理得：3231010230x x x x -+=，问题转化为关于1x 的方程3231010230x x x x -+=有几个实根的问题为了看起来习惯，我们将上述方程中的1x 换成x ，即32300230x x x x -+= ① 显然当00x =时，方程①即为30x =，解得：0x =，故过(0,0)能作函数图像的一条切线当00x ≠时，由方程①解得：0x x =或02x -，故过00(,)x y 能作函数图像的两条切线问题：过三次函数图像外任意一点能作三次函数图像多少条切线？分析：根据三次函数中心对称的特征，我们知道一定可以将函数图像平移至关于原点对称，而本问题的结论显然只与点P 与三次函数图像的相对位置有关，故可简单地考虑三次函数对称中心在坐标原点的情形，设三次函数的解析式为3()f x ax bx =+，并且不妨设0a >，这两个假设并不会影响本结论的一般性。

三次函数图象切线问题的探究

三次函数图象切线问题的探究作者：杜春晓来源：《文理导航》2011年第04期三次函数是在学习导数时候开始重点接触的一类函数，他的性质很多，也是我们用导数研究函数性质经常遇到的一类函数，对于用这种函数为例分析问题和解决问题学生是很好接受的，对于曲线的切线问题，考查了导数的几何意义，用三次函数的切线性质来引导学生解决复杂曲线问题可以作为这部分教学的切入，高考中三次函数的切线问题也频频出现，下面三次函数切线问题做如下探究。

一、当直线斜率为时的相切情况三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）1.a＞0,斜率k= 时，有且只有一条切线；k＞时，有两条不同的切线；k＜时，没有切线；2.a＜0,斜率k= 时，有且只有一条切线；k＜时，有两条不同的切线；k＞时，没有切线；证明f'（x）3ax2+2bx+c1.a＞0当当k= 时，方程3ax2+2bx+c= 有两个相同解，所以斜率为k的切线有且只有一条；其方程为：当k＞时，方程3ax2+2bx+c=k，有两个不同的解x1，x2，且x1+x2=-，即存在两个不同的切点（x1，f(x1)），（x2，f（x2）），且两个切点关于三次函数图象对称中心对称。

所以斜率为k的切线有两条。

当k＜时，方程3ax2+2bx+c=k无实根，所以斜率为k的切线不存在。

2.a＜0时，读者自己证明。

二、过三次函数图象上一点的切线设点P为三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）图象上任一点，则过点P一定有直线与y=f（x）的图象相切。

若点P为三次函数图象的对称中心，则过点P有且只有一条切线；若点P不是三次函数图象的对称中心，则过点P有两条不同的切线。

证明设p（x1，y1）过点P的切线可以分为两类。

1 P为切点k1=f'（x1）=3ax12+2bx1+c切线方程为：y-y1=（3ax12+2bx1+c）（x-x1）2 P不是切点，过P点作y=f（x）图象的切线，切于另一点Q（x2，y2）∴，也就是说，∴当时，两切线重合，所以过点P有且只有一条切线。

09：三次函数图像的切线

高考总复习09：三次函数图像的切线1.(1)求平行于直线910x y -+=,且与曲线3231y x x =+-相切的直线方程.(2)求垂直于直线320x y -+=,且与曲线3231y x x =+-相切的直线方程.2.(1)求函数3()2f x x =的图像在点(1,2)P 处的切线l 方程；(2)设函数3()2f x x =的图像为C ,求曲线C 与其在点(1,2)P 处的切线l 的所有交点坐标. 3.(1)求函数3()2f x x =的图像经过点(1,2)P 的切线方程.(2)求函数3()2f x x =的图像经过点(1,10)P 的切线方程.4.已知直线y x =是函数32()31f x x x ax =-+-图像的一条切线,求实数a 的值.5.已知0a >,且过点(,)P a b 可作函数3()f x x x =-图像的三条切线,证明:()a b f a -<<.6.设函数3211()32f x x ax bx c =-++(0)a >的图像C 在点(0,(0))P f 处的切线为1y =. (1)确定,b c 的值；(2)设曲线C 在1122(,()),(,())A x f x B x f x 处的切线都过(0,2)Q ,证明:若12x x ≠,则12'()'()f x f x ≠；(3)若过点(0,2)Q 可作曲线C 的三条不同切线,求a 的取值范围.7.已知函数3211()32f x x ax bx =++在区间[11)-，,(13]，内各有一个极值点． (1)求24a b -的最大值；(2)当248a b -=时,设曲线C :()y f x =在点(1(1))A f ，处的切线l 穿过曲线C (穿过是指:动点在点A 附近沿曲线C 运动,当经过点A 时,从l 的一侧进入另一侧),求()f x 的表达式．8.由坐标原点(0,0)O 向曲线x x x y +-=233引切线,切于不同于点O 的点111(, )P x y ,再由1P 引切线切于不同于1P 的点222(,)P x y ,如此继续下去……,得到点(,)n n n P x y ,求1n x +与n x 的关系,及n x 的表达式.。

江苏省南通市2020届高三数学专题复习课程资源——三次型函数切线问题的求解策略(教师版)

三次型函数切线问题的求解策略三次函数频频出现在高考试卷中,成为高考试卷的一大亮点.其中三次函数的切线问题是高频考点，通常结合三次函数的零点问题考查.三次型函数最值问题是竞赛和自主招生的难点，有一定的思考力.三次型函数的切线问题（一）一、三次函数的概念：形如()320y ax bx cx d a =+++≠的函数，称之为三次函数. 二、三次函数的图象特征和零点分布：对于三次函数()32()0f x ax bx cx d a =+++≠，其导函数为二次函数()2()320f x ax bx c a '=++≠，()f x '的判别式()243b ac ∆=-.现以0a >为例，（1）若032≤-ac b ，则)(x f 在),(+∞-∞上为增函数，)(x f 在R 上无极值；（2）若032>-ac b ，则)(x f 在),(1x -∞和),(2+∞x 上为增函数，)(x f 在),(21x x 上为减函数，其中aacb b x a ac b b x 33,332221-+-=---=.)(x f 在R 上有两个极值，且)(x f 在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值.综上可得，当三次函数存在极值时，其图象、零点、极值的关系：问题一：过三次函数极值点的切线例1（2016年天津卷）设函数3()(1)f x x ax b =---,R x ∈，其中,.a b R ∈ 若)(x f 存在极值点0x ，且)()(01x f x f =，其中01x x ≠，求证：1023x x +=. 策略一：验证1032x x =-，即验证()()1032f x f x =-.()32200000001(32)(22)3(1)(32)(1)21()()f x x x x b x x b f x f x -=-----=----== 根据函数()f x 的单调性直接推出结论.本策略不具有一般性，能否寻求解决这类问题的一般性思路呢？策略二：直接求零点33010011()()[(1)][(1)]f x f x x ax b x ax b -=------- 330101(1)(1)()x x a x x =-----22010011()[(1)(1)(1)(1)]x x x x x x a =--+--+--2220100110()[(1)(1)(1)(1)3(1)]x x x x x x x =--+--+--- 22010011()[2(1)(1)(1)(1)]x x x x x x =---+--+- 20101()[2(1)(1)]x x x x =-----20101()(23)0x x x x =---+=（*）又01x x ≠，故1023x x +=.我们可以关注到策略二可以推广到一般情形，利用三次函数在极值点处的切线列出等式，（*）式的一般形式含有因式()20x x -，从而迅速求出另外一个交点横坐标.其一般形式如下：若0x 为三次函数32()f x ax bx cx d =+++的极值点，过00(,())x f x 的直线y k =与三次函数()f x 交于点11(,())x f x ，则研究函数()()g x f x k =-的零点问题可以利用201()()()g x a x x x x =--.例2（2012年江苏卷）若函数()y f x =在0x x =处取得极大值或极小值，则称0x 为函数()y f x =的极值点.已知,a b 是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点.设()(())h x f f x c =-，其中[]2,2c ∈-，求函数()y h x =的零点个数.思路分析：本题本质上是研究由三次函数复合的函数零点问题，可先从“形”入手，直接将c 的取值分为2c =和2c <两类.我们以2c =为例，直线2y =为过极值点1x =的切线，则32()232(1)(2)y f t t t t t =-=--=--，迅速求得另一交点横坐标为2.为零点的讨论带来极大的方便.解：易得==3a b -0，.令()=f x t ，则()()h x f t c =-. 先讨论关于x 的方程()=f x d 根的情况：[]2, 2d ∈- 当=2d 时，由（2 ）可知，()=2f x -的两个不同的根为1和一2 ，注意到()f x 是奇函数，∴()=2f x 的两个不同的根为一和 2.当2d <时，∵(1)=(2)=20f d f d d >----，(1)=(2)=20f d f d d <----- ，∴一2 , －1，1 ，2 都不是()=f x d 的根.由（1）知()()()=311f'x x x +-.① 当()2x ∈+∞，时，()0f'x > ，于是()f x 是单调增函数，从而()(2)=2f x >f . 此时()=f x d 在()2+∞，无实根. ② 当()12x ∈，时．()0f'x >，于是()f x 是单调增函数.又∵(1)0f d <-，(2)0f d >-，=()y f x d -的图象不间断，∴()=f x d 在（1 , 2 ）内有唯一实根.同理，()=f x d 在（一2 ，一1）内有唯一实根. ③ 当()11x ∈-，时，()0f'x <，于是()f x 是单调减两数.又∵(1)0f d >--， (1)0f d <-，=()y f x d -的图象不间断，∴()=f x d 在（一1，1 ）内有唯一实根.因此，当=2d 时，()=f x d 有两个不同的根12x x ，满足12=1 =2x x ，；当2d < 时，()=f x d 有三个不同的根315x x x ，，，满足2 =3, 4, 5i x <i ，. 现考虑函数()y h x =的零点：（i ）当=2c 时，()=f t c 有两个根12t t ，，满足12==2t t 1，. 而1()=f x t 有三个不同的根，2()=f x t 有两个不同的根，故()y h x =有5 个零点.（ⅱ）当2c <时，()=f t c 有三个不同的根345t t t ，，，满足2 =3, 4, 5i t <i ，. 而() =3,() 4, = 5i f x t i 有三个不同的根，故()y h x =有9 个零点.综上所述，当=2c 时，函数()y h x =有5 个零点；当2c <时，函数()y h x =有9个零点. 拓展研究：当2c <-或2c >时，函数()y h x =的零点个数情形如下：当2(1)c f >=-时，方程()f t c =有且仅有一个大于2的实根，故()y h x =有且仅有一个零点；同理，当2c <-时，()y h x =有且仅有一个零点.提示：解决复合函数零点问题需要强化数形结合基本数学思想. 练习：设函数32()3f x x x bx c =-++的图象如图所示，且与直线y =0在原点处相切.（1）求函数()y f x =的解析式；（2）设1m >，如果过点(,)m n 可作函数()y f x =的图象的三条切线，求证：13()m n f m -<<.解：（1）由图可知，函数的图象经过（0，0）点，∴0c =，又图象与x 轴相切于（0，0）点，2'()36f x x x b =-+，由'(0)0f =得b =0，32()3f x x x ∴=-.（2）由（1）可知2()36f x x x '=-，设函数在点(,())t f t 处的切线方程为232(36)()(3)y t t x t t t =--+-. 若切线过点(,)m n ，则存在实数t ，使232(36)()(3)n t t m t t t =--+-，即322(33)60t m t mt n -+++=.令()g t =322(33)6t m t mt n -+++，则2()66(1)66()(1)g t t m t m t m t '=-++=--.1,m >∴Q 当1t <或t m >时，()0g t '>；当1t m <<时，()0g t '<.()g t ∴在1t =时取得极大值(1)31g m n =+-，在t m =时取得极小值()()g m n f m =-.如果过点(,)m n 可作函数()y f x =的图象的三条切线，则方程322(33)60t m t mt n -+++=有三个相异的实数根， (1)310()()0g m n g m n f m =+->⎧∴⎨=-<⎩， ∴13()m n f m -<<. 三次型函数的切线问题（二）问题二：过三次函数图象上任一点的切线设点P 为三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 图象上任一点，则过点P 一定有直线与)(x f y =的图象相切.若点P 为三次函数图象的对称中心，则过点P 有且只有一条切线；若点P 不是三次函数图象的对称中心，则过点P 有两条不同的切线. 证明：设),(11y x P ，过点P 的切线可以分为两类：①若P 为切点，则21111'()32k f x ax bx c ==++，切线方程为：))(23(11211x x c bx ax y y -++=-②若P 不是切点，则过P 点作)(x f y =图象的切线，切于另一点22(,)Q x y ，12122122313212122x x cx cx bx bx ax ax x x y y k --+-+-=--=()()22212112a x x x x b x x c =+++++xyO又22222'()32k f x ax bx c ==++ (1)∴c bx bx ax x ax ax +++++21212122c bx ax ++=22223即0)2)((1212=++-ab x x x x ∴a bx x 22112--=代入（1）式得 c ab bx ax k +-+=4214321212，当21k k =时，=++c bx ax 12123c ab bx ax +-+421432121 ， ∴当a bx 31-=时，两切线重合，所以过点P 有且只有一条切线；当abx 31-≠时，21k k ≠，所以过点P 有两条不同的切线，其切线方程为：))(23(11211x x c bx ax y y -++=-，))(42143(121211x x c ab bx ax y y -+-+=- 综上可得：过三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 上异于对称中心的任一点),(111y x P 作)(x f y =图象的切线，切于另一点),(222y x P ，过),(222y x P 作)(x f y =图象的切线切于),(333y x P ，如此继续，得到点列),(444y x P ，…，),(n n n y x P ，…，则abx x n n 2211--=+，且当+∞→n 时，点n P 趋近三次函数图象的对称中心，即三次函数图象上的拐点.特别地，过三次函数图象上拐点的切线只有一条.例3(2012北京卷)已知函数23()1(0),()f x ax a g x x bx =+>=+.（1）若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值；（2）当a 2＝4b 时，求函数f (x )＋g (x )的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值．思路分析：本题容易忽视“在它们的交点(1,)c 处具有公切线”的双重性而造成条件缺失，不能列出关于,a b 的方程组，从而使题目无法求解. 简析：（1）f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝3x 2＋b ，因为曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公切线，所以(1)(1)'(1)'(1)f g f g =⎧⎨=⎩，容易求得3a b ==.（2）设h (x )＝f (x )＋g (x )，∵a 2＝4b ，∴h (x )＝f (x )＋g (x )＝x 3＋ax 2＋14a 2x ＋1.则h ′(x )＝3x 2＋2ax ＋14a 2，令h ′(x )＝0，解得x 1＝－a 2，x 2＝－a6.(5分)由a >0，得h (x )与h ′(x )的变化情况如下：x ⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2 －a 2 ⎝⎛⎭⎫－a 2，－a 6 －a 6⎝⎛⎭⎫－a 6，＋∞ h ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋h (x )∴函数h (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2和⎝⎛⎭⎫－a 6，＋∞，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－a 2，－a6. ①当－1≤－a2，即0<a ≤2时，函数h (x )在区间(－∞，－1]上单调递增，h (x )在区间(－∞，－1]上的最大值为h (－1)＝a －a 24；②当－a 2<－1<－a6，即2<a <6时，函数h (x )在区间⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎤－a 2，－1上单调递减，在区间(－∞，－1]上的最大值为h ⎝⎛⎭⎫－a 2＝1； ③当－1≥－a 6，即a ≥6时，函数h (x )在区间⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2上单调递增，在区间⎝⎛⎭⎫－a 2，－a 6上单调递减，在区间⎝⎛⎦⎤－a 6，－1上单调递增，又因为h ⎝⎛⎭⎫－a 2－h (－1)＝1－a ＋14a 2＝14(a －2)2>0，所以h (x )在区间(－∞，－1]上的最大值为h ⎝⎛⎭⎫－a2＝1. 综上所述，当a ∈(0,2]时，最大值为h (－1)＝a －a 24；当a ∈(2，＋∞)时，最大值为h ⎝⎛⎭⎫－a2＝1. 问题三：过三次函数图象外一点的切线设点),(00y x P 为三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 图象外则过点P 一定有直线与)(x f y =图象相切. 令00()()'()()g x y f x f x x x =-+-，则（1）若,30a bx -=则过点P 恰有一条切线；（2）若,30a b x -≠且)3()(0a bg x g -0>，则过点P 恰有一条切线；（3）若,30a b x -≠且)3()(0a bg x g -=0，则过点P 有两条不同的切线；（4）若,30a b x -≠且)3()(0abg x g -0<，则过点P 有三条不同的切线.证明：设过点P 作直线与)(x f y =图象相切于点),,(11y x Q 则切线方程为),)(23(11211x x c bx ax y y -++=-把点),(00y x P 代入得：02)3(2001021031=--+--+cx d y x bx x ax b ax ，设.2)3(2)(000203cx d y x bx x ax b ax x g --+--+=200'()62(3)2,g x ax b ax x bx =+-- ,)3(448)3(420020b ax abx ax b +=+-=∆令'()0,g x =则.3,0ab x x x -== ①0)(=x g 恰有一个实根的充要条件是曲线)(x g y =与x 轴只有一个交点，即)(x g y =在R 上为单调函数或两极值同号，所以03b x a=-或,30a b x -≠且)3()(0abg x g -0>时，过点P 恰有一条切线. ②0)(=x g 有两个不同实根的充要条件是曲线)(x g y =与x 轴有两个公共点且其中之一为切点，所以,30a b x -≠且)3()(0abg x g -=0时，过点P 有两条不同的切线. ③0)(=x g 有三个不同实根的充要条件是曲线)(x g y =与x 轴有三个公共点，即)(x g y =有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以,30a b x -≠且)3()(0abg x g -0<时，过点P 有三条不同的切线. 例4（2014·北京卷）已知函数f (x )＝2x 3－3x .(1)求f (x )在区间[－2，1]上的最大值；(2)若过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切，求t 的取值范围；(3)问过点A (－1，2)，B (2，10)，C (0，2)分别存在几条直线与曲线y ＝f (x )相切？(只需写出结论) 解：(1)略(2)设过点P (1，t )的直线与曲线y ＝f (x )相切于点(x 0，y 0)，则y 0＝2x 30－3x 0，且切线斜率为k ＝6x 20－3，所以切线方程为y －y 0＝(6x 20－3)(x －x 0)，因此t －y 0＝(6x 20－3)(1－x 0)，整理得4x 30－6x 20＋t ＋3＝0，设g (x )＝4x 3－6x 2＋t ＋3，则“过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切”等价于“g (x )有3个不同零点”．g ′(x )＝12x 2－12x ＝12x (x －1)．当x 变化时，g (x )与g ′(x )的变化情况如下：所以，g (0)＝t ＋3是g (x )的极大值，g (1)＝t ＋1是g (x )的极小值．结合图象知，当g (x )有3个不同零点时，有⎩⎪⎨⎪⎧g （0）＝t ＋3>0，g （1）＝t ＋1－0，解得－3<t <－1.故当过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切时，t 的取值范围是(－3，－1)．(3)过点A (－1，2)存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切；过点B (2，10)存在2条直线与曲线y ＝f (x )相切；过点C (0，2)存在1条直线与曲线y ＝f (x )相切．练习1：已知函数),(3)(23R b a x bx ax x f ∈-+=,在点))1(,1(f 处的切线方程为02=+y .若过点)2)(,2(≠m m M ,可作曲线)(x f y =的三条切线,求实数m 的取值范围.解析：设切点坐标为()00,x y ，则30003y x x =-，200()33f x x '=-Q ,∴切线的斜率为203 3.x -则()()3200003332x x m x x --=--，即32002660x x m -++=.又过(2,)(2)M m m ≠可作三条切线，故关于0x 的方程32002660x x m -++=有三个不同的实数解.即函数32()266x x x m ϕ=-++有三个不同的零点. 令2'()6120x x x ϕ=-=，解得或.20m ⎧⎨-<⎩，解得62m -<<. ∴实数m 的取值范围为(6,2).-练习2：（07全国II 理22）已知函数3()f x x x =-．设0a >，若过点()a b ，可作曲线．．．．()y f x =的三条切线．．．．．，证明：()a b f a -<<. 解：（1）()f x 的导数2()31x x f '=-．曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程为：()()()y f t f t x t '-=-，即23(31)2y t x t =--．（2）如果有一条切线过点()a b ，，则存在t ，使23(31)2b t a t =--．若过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，则方程32230t at a b -++=有三个相异的实数根．记32()23g t t at a b =-++，则2()66g t t at '=-6()0t t a =-=，解得0t =或t a =．()0g t =最多有一个实数根；当0a b +=时，解方程()0g t =得302at t ==，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根；当()0b f a -=时，解方程()0g t =得2a t t a =-=，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根．综上所述，如果过()a b ，可作曲线()y f x =三条切线，即()0g t =有三个相异的实数根，则0()0.a b b f a +>⎧⎨-<⎩，即()a b f a -<<．点评：（1）本题是前一个问题的延伸，其以导数几何意义为载体；（2）本题最终将问题转化为研究三次函数根的分布，采用极值（最值）控制法；（3）在这里应结合上面例题进一步揭示研究二次方程与三次方程实根分布问题在方法上的本质关系，以便进一步加深对函数极值（最值）的认识和对利用导数研究函数性质. 小结：三次函数图象切线条数的研究：三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f ，设其切线的斜率为.k 与系数的关系0a >0<aa b ac k 332-=一条一条 a b ac k 332->两条零条 ab ac k 332-<零条两条证明：2()32f x ax bx c '=++，若0>a ，则当abx 3-=时，min 3().3ac b f x a -'=∴当a b ac k 332-= 时，方程ab ac c bx ax 332322-=++有两个相同解，所以此时切线有且只有一条；其方程为).3(33)3(2abx a b ac a b f y +-=-- 当a b ac k 332->时，方程k c bx ax =++232，有两个不同的解21,x x ，且21x x +=ab 32-，即存在两个不同的切点))(,()),(,(2211x f x x f x ，且两个切点关于三次函数图象对称中心对称，所以斜率为k 的切线有两条.当ab ac k 332-<时，方程k c bx ax =++232无实根，所以斜率为k 的切线不存在.同理可证，0<a 时结论成立.例5（2015天津卷）已知函数(),n f x nx x x R =-∈，其中*,2n N n ∈≥. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =，求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；（3）若关于x 的方程()=f x a （a 为实数）有两个正实根12x x ，，求证：21|-|21ax x n<+-.【解析】（1）由()nf x nx x =-，可得，其中*n N ∈且2n ≥，下面分两种情况讨论： ①当n 为奇数时：令()0f x '=，解得1x =或1x =-，当x 变化时， ()f x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-内单调递增. ②当n 为偶数时，当()0f x '>，即1x <时，函数()f x 单调递增；当()0f x '<，即1x >时，函数()f x 单调递减.所以，()f x 在(,1)-∞-上单调递增，()f x 在(1,)+∞上单调递减. （2）证明：设点P 的坐标为0(,0)x ，则110n x n-=，20()f x n n '=-，曲线()y f x =在点P 处的切线方程为()00()y f x x x '=-，即()00()()g x f x x x '=-，令()()()F x f x g x =-，即()00()()()F x f x f x x x '=--，则0()()()F x f x f x '''=-由于1()n f x nxn -'=-+在()0,+∞上单调递减，故()F x '在()0,+∞上单调递减，又因为0()0F x '=，所以当0(0,)x x ∈时，0()0F x '>，当0(,)x x ∈+∞时，0()0F x '<，所以()F x 在0(0,)x 内单调递增，在0(,)x +∞内单调递减，所以对任意的正实数x 都有0()()0F x F x ≤=，即对任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤.（3）证明：不妨设12x x ≤，由（2）知()()2()g x n n x x =--，设方程()g x a =的根为2x '，可得202ax x n n'=+-，当2n ≥时，()g x 在(),-∞+∞上单调递减，又由（2）)知222()()(),g x f x a g x '≥==可得22x x '≤.类似的，设曲线()y f x =在原点处的切线方程为()y h x =，可得()h x nx =，当(0,)x ∈+∞，()()0n f x h x x -=-<，即对任意(0,)x ∈+∞，()().f x h x <设方程()h x a =的根为1x '，可得1ax n'=，因为()h x nx =在(),-∞+∞上单调递增，且111121210(')(),',''1a h x a f x x x x x x x x n==<-<-=+-，12n -=1(11)n -+≥1+11n C n -=，故2≥11n n-=0x ，原结论成立.三次函数通常围绕以下四个点进行命题：第一个点是围绕导数的几何意义展开，设计求曲线的切线方程，根据切线方程求参数值等问题，这类试题在考查导数的几何意义的同时也考查导数的运算、函数等知识，试题的难度不大；第二个点是围绕利用导数研究函数的单调性、极值(最值)展开，设计求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数或者参数范围等问题，在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、化归与转化思想等数学思想方法；第三个点是围绕导数研究不等式、方程展开，涉及不等式的证明、不等式的恒成立、讨论方程根等问题，主要考查通过转化使用导数研究函数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用；第四个点是利用函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用．。

一元三次函数图像的中心切线及切线问题

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其心。的线。做的心线其程Ｙ＾）／麦（麦＋（麦．中ｚ切￡Ｃ中切，是一（一（）＋）厂）处叫方ｚ一一
・收稿日期：０７０ｚ２０ — ６一７
维普资讯
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高等数学研究
抄录２００７年高考全国数学卷 Ⅱ 第２２题于下：已知函数／ｚ（）一－一．Ｉ）曲线Ｙ一，）在点Ｍ（，（）处的切线方程； Ⅱ） “＞ｚ。（求（ｔ厂￡）（设
０如果过点（，）可作曲线一厂）的三条切线，明：口＜ｂ＜厂口．．口６（证一（）
（麦）中对．测成的证如一）心称推是立，明呈
设Ｍ（厂）是三次函数Ｙ— ｆ）ｚ，（）（图像上任一点，关于点ｚ（，（Ｍ。一ｆ－））的对称点是
Ｍ一ｂ２
２一）厂）（）ｎ）６麦。（）一＋ｆ麦（．一一（。（）＋誊一（一厂一＋～＋一厂一）￣銎ｚ＋一一）ｃ－）＝一一－ｘ）（－（一）６婺ｚ＋一Ｘ（等２２￣一。（（ｂ＋筹－－ｔ２ｂ一十等十ｚ妇一ｃｄ２。ｃｄ（。如＋＋）２一）（等十一＋一．ｂ）ａ＋。凹一ｆ一）ｘ。－ｘ２＋ｂ３。（
一
３ｔ十 “ ｂ一０求得ｇ（）一６。６ｔ６（一口．ａ。＋．ｔ一ａ＝ｔｔ）
过点（，）可作曲线Ｙ一（。厶）的三条切线铮方程ｇ（）一０有三个不等实根 ∞ 函数ｇ￡ｔ（）的两个极值异号㈢ｇ（）（）＜Ｏ（＋６（Ｏｇ口甘 “ ） “十ｂ。＜０又因 “＞０则口＋ｂ —ｎ）．，一“ ＜口十ｂ必。，有ｎ＋ｂ “ ＜０ “＋ｂ＞０进而一 “＜ｂ＜厂 “ ．一。，，（）这是一道典型的承大学之上启中学之下的问题，此启发，出下面的问题并探索解决．受提问题：曲线Ｃ是一元三次函数，（）一。ｂ＋十ｄａ≠ Ｏ＋ｘ。（）的图像，曲线Ｃ的过已知点Ｐ（。ｙ）的切线有几条？ｘ，。能找到决定切线条数的充要条件吗？

三次函数图象切线问题归类分析

三次函数图象切线问题归类分析作者：郑金来源：《理科考试研究·高中》2014年第02期有关三次函数图象的切线问题，涉及到切线的斜率、函数的导数、图象、极值、单调性以及三次方程的根的个数判断等知识.下面从六个方面进行分析.一、利用切线斜率和导数的几何意义求取值范围曲线上某点切线倾斜角的正切值表示该点处切线的斜率.函数的导函数表示曲线切线斜率的变化，导函数在某点的数值表示该点处切线的斜率.若已知函数图象或关系式，则可求满足一定条件的区间或切线截距的变化范围.例1 如图1所示为函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象，f ′（x）为f（x）的导函数，则不等式xf ′（x）.解f ′（x）表示切线的斜率，当f ′（x）>0时，f（x）为增函数；当f ′（x）0.已知图象的极值点，结合图象的单调区间可知满足条件的区间即不等式的解集为（-∞，-3）∪（0，3）.例2 已知曲线y=x3-6x2+11x-6，求切点在x∈[0，2]弧段上的切线在y轴上的截距b的取值范围.解法1 函数f（x）的导函数为y′=3x2-12x+11，切线在切点M（x，y）处的切线方程为Y-y=y′（X-x），变形为截距式方程，由此可知切线在y轴上的截距为b=y-y′x=-2x3+6x2-6.该式在x∈[0，2]上的值域即为所求. 可利用函数图象和极值点来求某一区间上的值域.其导函数为b′=-6x2+12x=-6x（x-2）.大致画出函数b的图象形状如图2所示，由b′=0可知极值点为x1=0，x2=2，可见在区间[0，2]上是增函数，所以b∈[-6，2].解法2 由于函数y=x3-6x2+11x-6的高次项系数大于零，可大致画出f（x）的图象形状如图3所示. 由y′=3x2-12x+11可知极值点为x1=2-233，x2=2+233.由于233>1，则03.因此三次函数的极大值点x1在区间[0，2]上，可知这段凸起的曲线上的切线倾斜角（切线与x轴正方向所成的角）逐渐减小，由0只要求出区间[0，2]的两个端点处切线的方程，即可求得截距.由导函数y′=3x2-12x+11求得区间[0，2]的两个端点处切线的斜率分别为k1=11，k2=-1.由y=x3-6x2+11x-6求得区间[0，2]的两个端点的坐标即切点坐标为（0，-6），（2，0）.因此写出点斜式切线方程分别为y+6=11x，y=-（x-2），可知截距分别为b1=-6，b2=2.所以b∈[-6，2].二、利用切线斜率和导数的几何意义求切线方程例3 求曲线y=3x-x3过点A（2，-2）的切线方程.解设切点为m（x0，y0），则过切点的切线的斜率为k=f ′（x0）=3-3x20，又由斜率公式得k=y0+2x0-2，因切点在曲线上，则y0=3x0-3x30.联立得x30-3x20+4=0，解得x0=2，x0=-1，因此有两个切点A（2，-2）与B（-1，-2），则斜率分别为-9和0.所以切线方程分别为9x+y-16=0与y=-2.三、利用切线斜率和导数的几何意义求切点坐标例4 在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y=x3-10x+3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线斜率为2，则点P的坐标为 .解析曲线C的导数为y′=3x2-10，表示切线的斜率，已知斜率为2，则有3x2-10=2，解得x=2或x=-2.再由第二象限的条件知x=-2，因此f（-2）=15，所以点P的坐标为（-2，15）.四、利用切线方程和切点坐标求三次函数的解析式例5 已知函数f（x）=x3-3ax2+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点（1，-11），求a、b 的值.解由于切点（1，-11）在曲线上，因此f（1）=-11，即1-3a+3b=-11.由切线方程可知斜率为k=-12，则f ′（1）=-12，而导函数为f ′（x）=3x2-6ax+3b，表示斜率，则3-6a+3b=-12.联立解得a=1，b=-3.五、利用函数图象和极值判断切线的条数例6 已知函数f（x）=x3-x.（1）求曲线y=f（x）在点M（t，f（t））处的切线方程；（2）设a>0，如果过点（a，b）可作曲线的三条切线，证明：-a（3）问过点（1，0）可以向曲线y=f（x）作多少条切线？说明理由.解（1）由于导函数f ′（x）=3x2-1，则曲线在点M（t，f（t））处的切线方程为y-f（t）=f ′（t）（x-t），即y=（3t2-1）x-2t3.（2）如果有一条切线过点（a，b），则存在t，使b=（3t2-1）a-2t3.于是，若过点（a，b）可作曲线的三条切线，则方程2t3-3at2+a+b=0有三个不同的实数根.对于三次方程根的个数问题，可利用三次函数的图象来分析.令g（t）=2t3-3at2+a+b，可画出大致图象如图3所示.导函数为g′（t）=6t2-6at=6t（t-a），则极值点为t1=0，t2=a.可知极大值为a+b，极小值为g（t）=-a3+a+b=b-f（a）.若a+b0，即x轴在极大值点的上方或极小值点的下方，图象与x轴有一个交点；若a+b=0或b-f（a）=0，即x轴在极值点处相切，图象与x轴有两个交点；若a+b>0且b-f（a）所以如果过点（a，b）可作曲线的三条切线，必有-a（3）如果有一条切线过点（1，a），则存在t，使a=（3t2-1）-2t3.令g（t）=2t3-3t2+a+1，可画出大致图象如图3所示.只要判断方程2t3-3t2+a+1=0有多少个不同的实数根，即可判断过点（1，a）能作多少条切线.对于三次方程根的个数问题，可利用三次函数的图象来分析.导函数为g′（t）=6t2-6t，由此可知原函数的极值点为t1=0，t2=1.因此极大值为g（0）=1+a，极小值为g（1）=a.对a的取值可由-1和0分为三个区间进行讨论：若-10，极小值f（1）若a>0或a。

第18讲三次函数的切线条数(解析版)

第十八讲三次函数的切线条数知识与方法研究过点(),P a b 可以作出三次函数()32f x ax bx cx d =+++()0a ≠图象的几条切线，本质上是研究方程根的个数，可以设切点为()()00,x f x ，则切线方程为()()()000y f x f x x x '-=-，将点P 的坐标代入切线方程可得()()()000b f x f x a x '-=-，这一关于0x 的方程有几个实数解，过点P 就可以作出函数()y f x =图象的几条切线，这一问题的结论如下图所示：典型例题【例题】已知函数322()27,R f x x ax a x a =-+-∈．（1）若1x =是()f x 的极大值点，求a 的值；（2）若过点(0,1)A 可以作曲线()f x 的三条切线，求a 的取值范围．【解析】（1）22()34f x x ax a '=-+，由2(1)340f a a =-+='解得1a =或3a =，当1a =时，2()341(31)(1)f x x x x x '=-+=--，由()0f x '>得13x <或1x >，由()0f x '<得113x <<，即()f x 在1,3∞⎛⎫- ⎪⎝⎭，(1,)+∞上单调递增，在1,13⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则函数()f x 在1x =处取得极小值，不符合题意，舍去，当3a =时，2()31293(1)(3)f x x x x x =-+=--'，由()0f x '>得1x <或3x >，由()0f x '<得13x <<，即函数()f x 在(,1),(3,)-∞+∞上单调递增，在(1,3)上单调递减，()f x 在1x =处取得极大值，所以3a =.（2）设过点(0,1)A 作曲线()f x 的切线的切点为00(,)P x y ，则切线方程为()()()322220000002734y x ax a x x ax a x x --+-=-+-，将点(0,1)A 的坐标代入，整理得320040x ax -+=，令32()4h x x ax =-+，依题意，()h x 有三个零点，22()3233a h x x ax x x ⎛⎫=-=- ⎝'⎪⎭，当0a =时，()0,()h x h x '≥在(,)-∞+∞上单调递增，则()h x 只有一个零点，当0a <时，由()0f x '>得23ax <或0x >，由()0f x '<得203a x <<，即()h x 在2,,(0,)3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭上递增，在2,03a ⎛⎫⎪⎝⎭上递减，函数()h x 在23a x =处取极大值，在0x =处取极小值，而(0)40h =>，则()h x 只有一个零点，当0a >时，由()0f x '>得0x <或23a x >，由()0f x '<得203ax <<，即()h x 在2(,0),,3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭上递增，在20,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，函数()h x 在0x =处取极大值，在23ax =处取极小值，而(0)40h =>，要使()h x 有三个零点，当且仅当32440327a a h ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，解得3a >，所以a 的取值范围是(3,)+∞．强化训练1．已知函数()3f x x ax =-，若过点()1,0A 可作函数()y f x =图象的两条切线，则实数a =________.【解析】解法1：由题意，()23f x x a '=-，设()3000,P x x ax -为函数()y f x =图象上的任意一点，则()f x 在点P 处的切线方程为()()()3200003y x ax x a x x --=--，将点()1,0A 代入整理得：320230x x a -+=①，过点A 可作函数()y f x =图象的两条切线等价于关于x 的方程①有两个实数解，设()3223g x x x a =-+()x ∈R ，则()g x 有两个零点，易求得()()61g x x x '=-，所以()0 0g x x '>⇔<或1x >，()001g x x '<⇔<<，从而()g x 在(),0-∞上，在()0,1上，在()1,+∞上，故()g x 有极大值()0g a =，极小值()11g a =-，所以()g x 有两个零点的充要条件是()()()01 10g g a a =-=，解得：0a =或1.解法2：显然()f x 图象的对称中心是原点，易求得()23f x x a '=-，所以()f x 在原点处的切线为y ax =-，要使若过点()1,0A 可作函数()y f x =图象的两条切线，则点A 在切线y ax =-或()y f x =的图象上，所以0a -=或10a -=，解得：0a =或1.【答案】0或12．已知函数()33f x x x =-，若过点()2,A m 可作出函数()y f x =的图象的3条切线，则实数m 的取值范围是________.【解析】解法1：由题意，()233f x x '=-，设过点A 的直线与()f x 的图象相切于点()3000,3P x x x -，则该切线的方程为()()()320000333y x x x x x --=--，将点()2,A m 代入整理得：32002660x x m -++=①，过点A 可作函数()y f x =图象的三条切线等价于关于0x 的方程①有三个实数解，设()32266g x x x m =-++()x ∈R ，则()g x 有三个零点，易求得()()62g x x x '=-，所以()00g x x '>⇔<或2x >，()002g x x '<⇔<<，从而()g x 在(),0-∞上，在()0,2上，在()2,+∞上，故()g x 有极大值()06g m =+，极小值()22g m =-，所以()g x 有三个零点的充要条件是()()()()02620g g m m =+-<，解得：62m -<<.解法2：显然()f x 图象的对称中心是原点，易求得()233f x x '=-，所以()f x 在原点处的切线为3y x =-,要使过点()2,A m 可作出函数()y f x =的图象的3条切线，则点A 应夹在切线和()f x 的图象之间，如图，点A 应在直线2x =上的B 、C 两点之间，将2x =分别代入3y x =-和33y x x =-可求得6y =-，2，所以B 、C 两点的纵坐标分别为6-和2，故m 的取值范围是()6,2-.【答案】()6,2-3.设函数()32132a f x x x bx c =-++()0a >，曲线()y f x =在点()()0,0P f 处的切线方程为1y =.（1）确定b 、c 的值；（2）设曲线()y f x =在()()11,x f x 及()()22,x f x 处的切线都过点()0,2，证明：当12x x ≠时，()()12f x f x ''≠（3）若过点()0,2可作曲线()y f x =三条不同的切线，求a 的取值范围.【解析】（1）由题意，()2f x x ax b '=-+，且()00f b '==，()01f c ==.（2）由（1）可得()321132a f x x x =-+，()2f x x ax '=-，所以曲线()y f x =在()()11,x f x 处的切线方程为()()()21111y f x x ax x x -=--，将点()0,2代入整理得：321121032a x x -+=①，同理可得：322221032a x x -+=②，下面用反证法证明当12x x ≠时，()()12f x f x ''≠，假设()()12f x f x ''=，则221122x ax x ax -=-，整理得：()()12120x x x x a -+-=，所以12x x a +=③，由①－②整理可得：()()2121212220332a x x x x x x +--+=，将式③代入得：2124a x x =④，联立③④解得：122ax x ==，这与12x x ≠矛盾，所以当12x x ≠时，()()12f x f x ''=（3）由（2）可得问题等价于关于x 的方程3221032a x x -+=有三个不同的实数解，令()322132a h x x x =-+()x ∈R ，则()h x 有三个零点，且()()2h x x x a '=-所以()00h x x '>⇔<或2a x >，()002ah x x '<⇔<<，从而()h x 在(),0-∞上单调递增，在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，故()h x 有极大值()01h =，极小值3232112322224a a a a a h ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()h x 有三个零点的充要条件是()3010224a a h h ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，解得：a >，故a 的取值范围为()+∞.4.已知函数()3f x x x =-.（1）求曲线()y f x =在点()(),M t f t 处的切线方程；（2）设0a >，如果过点(),a b 可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<.【解析】（1）由题意，()231f x x '=-，所以()231f t t '=-故曲线()y f x =在点M 处的切线方程为()()()3231y t t t x t --=--，整理得：()23312y t x t =--.（2）将点(),a b 代入()23312y t x t =--整理得：32230t at a b -++=①，过点(),a b 可作曲线()y f x =的三条切线等价于关于t 的方程①有三个实数根，设()()3223g t t at a b t =-++∈R ，则()g t 有三个零点，易求得()()2666g t t at t t a '=-=-，因为0a >，所以()00g t t '>⇔<或t a >，()00g t t a '<⇔<<，从而()g t 在(),0-∞上单调递增，在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增，故()g t 有极大值()0g a b =+，极小值()32323g a a a a a b a a b=-⋅++=-++所以()g t 有三个零点的充要条件是()()()()300g g a a b a a b =+-++<，故3a b a a -<<-，即()a b f a -<<.5.已知函数()323f x x x =-.（1）求()f x 在区间[]2,1-上的最大值；（2）若过点()1,P t 存在三条直线与曲线()y f x =相切，求实数t 的取值范围；（3）过点()1,2A -、()2,10B 、()0,2C 分别存在几条直线与曲线()y f x =相切?（只需写出结论）【解析】（1）由题意，()2216366222f x x x x x ⎛⎛⎫'=-=-=+- ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭当[]2,1x ∈-时，()2022f x x '>⇔-≤<-或212x <≤，()22022f x x '<⇔-<<，所以()f x 在2,2⎡--⎢⎣⎭上单调递增，在22⎛ ⎝⎭上单调递减，在2⎛⎤ ⎥ ⎝⎦上单调递增，又323222f ⎛⎫⎛⎛-=⨯--⨯-= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()11f =-，所以()12f f ⎛> ⎝⎭，故()f x 在[]2,1-.（2）设过点()1,P t 的直线与曲线()y f x =相切于点()3,23Q a a a -则该切线的方程为()()()322363y a a a x a --=--，将点()1,P t 代入整理可得：324630a a t -++=①，因为过点P 存在三条直线与曲线()y f x =相切，所以关于a 的方程①有三个不同的实数解，设()32463x x x t ϕ=-++()x ∈R ，则函数()x ϕ有三个零点，易求得()()21212121x x x x x ϕ'=-=-，所以()00x x ϕ'>⇔<或1x >，()001x x ϕ'<⇔<<，从而()x ϕ在(),0-∞上单调递增，在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，故()x ϕ有极大值()03t ϕ=+，极小值()11t ϕ=+，所以()x ϕ有三个零点的充要条件是()()()()01310t t ϕϕ=++<，解得：31t -<<-，故实数t 的取值范围是()3,1--.（3）显然函数()y f x =的对称中心是原点，且函数()f x 在原点处的切线方程为3y x =-，如图，A 、B 、C 三点与函数()y f x =的图象的位置关系如图所示，由图可知过点A 、B 、C 分别可作曲线()y f x =的3条、2条、1条切线.。

一道高考压轴题引发的对三次函数切线条数的探究

一道高考压轴题引发的对三次函数切线条数的探究
本文针对的是高考压轴题，一道关于三次函数切线条数的探究，文章字数在
500字左右，不低于三百字，可超出，不高于一千五百字。

三次函数，又名系数多项式函数，是一类广义上常出现的数学函数，它可以完
美地描述各类数据及图形变化，因此在日常工作中经常用到。

同时，把三次函数的切线与一般函数的切线不同一般视为一种特殊情况，也吸引了人们的眼球。

那么，关于三次函数切线条数的探究，该如何来回答呢？首先我们要知道，切
线是三次函数图像的简化版。

把切线条数可以分为三种情况：第一，一次函数和锥形函数有三条切线。

而三次函数，从多次剖分角度看，切线条数至少有三条。

其次，从控制函数角度看，三次函数的切线条数也可以多于三条。

最后，从泰勒级数的点的连接角度看，三次函数的切线条数也可以无限多条，取决于点的连接情况。

综上，把三次函数的切线条数进行总结，可分为三种情况：第一，至少三条切线；第二，控制函数可以多于三条；第三，最多无数条。

这三类情况可以通过相应的实例来加以说明，对三次函数切线条数有一定的了解。

总之，三次函数切线条数的多少，取决于多种情况。

只有在清楚了解三次函数
的特性和表达式的计算关系时，才能够确定三次函数的切线条数。

三次函数的区的切线情况

三次函数的区的切线情况我们平时说起三次函数，听起来就有点高深莫测，仿佛是数学界的“高富帅”，有点让人又爱又怕。

但是，别急，今天咱们就轻松聊聊三次函数的切线问题，保证让你一下子就能明白，不用背那些公式，也能看懂其中的奥妙。

三次函数长啥样呢？好像比起一条笔直的直线或者那种优雅的抛物线，三次函数显得有些“调皮”。

它可不是像二次函数那样安静的开口向上的抛物线，也不是像直线那样一成不变。

三次函数就像一个有点“浪”的小波浪，像是在画个S型曲线。

有的地方上升，有的地方下降，它走起路来有点“跳”，每走一步，都会给你不一样的感觉。

比如，你看着图像，有的地方它上去，突然又掉下来，好像在走过山路一样。

而切线，就是那条和函数曲线“刚好亲密接触”的直线，像是站在山顶旁边，随时准备帮你导航。

好了，说到这里，你可能会问，这切线到底是怎么回事儿？就想象你在开车，路上有个急转弯。

你要想知道你车的速度和方向，最直观的方式就是看你的车和路面接触的地方。

在那个瞬间，你的车速和方向才是最准确的，别看车走得快不快，但瞬间的切线才最能告诉你路的走向。

三次函数的切线，就是函数在某一点上的瞬时斜率，简单点说，就是函数在那个点的“趋势”。

它能告诉你，函数在某一点附近是向上走还是向下走，抑或是保持平稳，怎么走得又稳又准。

不过，切线可不是随便画的。

你得用微积分那一套，求得切点的导数，才知道切线的斜率。

是不是有点复杂？不用怕，我们可以把它拆解开来。

咱们先找到这个点，接着求出斜率。

斜率一出来，切线的方程自然就有了。

其实这就像是在测量山坡的陡峭度。

咱们知道坡度是几，接下来画出平行于这个坡度的直线，就能知道那一瞬间的“切线”了。

想象一下，三次函数的图像就像一个山坡，在某个地方它可能是上坡，在另一个地方可能是下坡。

而切线就好比山顶上的一条小路，它恰好和曲线接触，瞬间吻合。

这个小路上，你走得多快多稳，都会告诉你那个点的趋势。

就像站在山顶，你知道自己可以顺着切线快速下坡，或者上坡，或者稍微歇一歇，不用担心会走错方向。

过哪些点能够作三次函数图象的三条切线

过哪些点能够作三次函数图象的三条切线中图分类号：文献标识码：文章编号：2007年高考全国卷理22题为已知函数3()f x x x =-．（I ）求曲线()y f x =在点(,())M t f t 处的切线方程；（II ）设0a >，如果过点(,)a b 可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f x -<<．此题第（II ）小题的结论颇赖人寻味。

通过研读相关资料上所提供的“参考答案”能够发现：当0a >时，()a b f x -<<也是过点(,)a b 可作曲线()y f x =的三条切线的充分条件．并且易知y x =-为()y f x =在其对称中心(0,0)处的切线．于是，我们有如下更直观的结果：设函数3()f x x x =-，则过点(,)M a b ' （0a >）可作曲线C ：()y f x =的三条切线当且仅当点M '位于曲线C 与C 在其对称中心处的切线l 所夹的右侧区域内（边界除外）．（如图１）．我们更感兴趣的是，对于一般的三次函数，是否仍有类似结论？通过探索可知，答案是肯定的．定理过点M 可作三次函数图象C的三条切线，当且仅当点M 位于图象C 与C 在其对称中心处的切线l 所夹的左、右两个区域内（边界除外）．为方便读者形象直观的理解，我们根据三次函数首项系数的正（如图1）负（如图2）画出相对应的示意图如下：____________________收稿日期：2007-08-图1　三次函数图2 三次函数证设三次函数为 32()f x ax bx cx d =+++ （0a ≠），点M 的坐标为00(,)x y ，点(,())A t f t 为三次函数()y f x =图象C 上的一点．则点A 处的切线方程为 ()()()y f t f t x t '-=-．于是，切线过点M ，等价于存有实数t ，使00()()()y f t f t x t '-=- (1) 注意到（1）是关于t 的三次方程（易知3t 的系数不为0），则过点M 可作C 的三条切线，当且仅当关于t 的方程（1）有三个相异的实数根．记 00()()()()g t y f t f t x t '=---，则 0()()()()()g t f t f t x t f t '''''=---+0()()t x f t ''=-02()(3)t x at b =-+．若03b x a=-，则20()6()g t a t x '=-，()g t 为R 上的单调函数，方程()0g t =有且仅有一个实数根．若03b x a ≠-，则()g t '在点0x 附近的函数值异号，在点3b a-附近的函图3 三次函数数值也异号，故0x 和3b a-都是()g t 的极值点．于是结合函数()g t 的单调性知，方程()0g t =有三个相异的实数根，当且仅当003()()03b x a b g x g a ⎧≠-⎪⎪⎨⎪⋅-<⎪⎩即 000003[()][()()()]0333b x a b b b y f x y f f x a a a ⎧≠-⎪⎪⎨⎪'-⋅----+<⎪⎩（2）由文[1]、[2]知，三次函数()y f x =的图象有唯一对称中心(,())33b b N f a a--．而C 在点N 处的切线l 的方程为 ()()()333b b b y f f x a a a'--=-+ 故直线0x x =与C 及l 的交点纵坐标分别为0()f x 及 0()()()333b b b f f x a a a '-+-+．因为03b x a≠-，故上述两纵坐标不相等。

高考中三次函数图像的切线问题

当－一时Байду номын сангаас，：以点有条同麦，所过Ｐ２不 ≠ ， ≠
的切线．其切线方程为
Ｙ— Ｉ３＋ｂｌｃ（Ｉ，Ｙ＝（２ｘ＋） — ）
（若。一且（ｇ一＞则Ｐ２，ｇ。（０过） ≠ ），）
点恰有１条切线０
次函数图像中ｉ对称．所以斜率为ｋ的切线有２条．
维普资讯
・
３６・
中学教研（数学）
（）若＝一ｂ１
，
２０年第８０６期
合，以过点Ｐ有且只有１切线．所条
则过点Ｐ恰有一条切线；
０图像上任一点，）则过点Ｐ定有直线与Ｙ，的一＝（）图像相切．若点Ｐ为三次函数图像的对称中心，过则点Ｐ有且只有一条切线；若点Ｐ不是三次函数图像的对称中心，则过点Ｐ有２条不同的切线．
证明设Ｐ（，。，。Ｙ）过点Ｐ的切线可以分为两
・
高考与中考
ｒｂ
擘
教研
山
高考中三次函数图像的切线问题
●罗永高程雪飞（奉化浙江奉港中３５０学１０）５
・
学
救研
山
生
生
教
研
救
研
高考与中考
高考与中考・・高考与中考・・高考与中考・・考与中考・・考与中考・・考与中考・・高高高高考与中考・・高考与中考

过三次函数图象上一点能作几条切线

Ｂ口Ｙ＝（３ａｘ；＋２ｂｘ。＋ｃ）ｘ一２一ｂｘ＋ｄ．
・．
・
‘ ．．
ｃ宦作２条或３条切线
Ｄ．能作１条或２条或３条切线
且口ａｍ。＋ｂｍ＋ｃｍ＋ｄ＝（３＋２ｂｘ０＋ｃ）ｍ一２ｎ一＋ｄ，
— — — 一
４ｄ
．
’ ｙ’ ＝３ａｘ＋２ｂｘ＋ｃ，
．
下面的问题供同学们练习．
・．
切线斜率ｋ＝３锻＋２ｂｘ０＋ｃ，
１．过曲线Ｙ＝一３ｘ上一点（１，＿２舴切线，求切线方程．２．过曲线Ｙ＝Ｘ一３ｘ＋＋ｌ上一点Ａ（１，１）作切线，求切线
用综合除法分解因式得
解
设切点为Ｐ（ｘ。，Ｙ。），因为Ｙ ’ ＝３ｘ，所以，以Ｐ为切点的
（一［２ａｘｏ＋（ａｍ＋６）］＝０．
ａｍ＋ｂ
切线的斜率＝３，切线方程为Ｙ— Ｙ。＝ｋ（ｘ — 。），即
方程．
切线方程为Ｙ — Ｙ。＝（３ａｘ＋２撕。＋ｃ）一Ｘｏ），
‘
．
‘ ｙ０＝
＋ｈ＋“ ０＋ｄ，
’ ．
Ｙ＝（３．４＋２ｂｘ０＋ｃ）ｘ一（３＋２ｂｘ０＋ｃ）ｘｏ＋Ｙ０
３．过曲线Ｙ＝一９ｘ＋２上一点（３，２）作切线，求切线方程．４．（选择题）过三次函数Ｙ＝上任一点作曲线的切线，则

三次函数切线条数结论

三次函数切线条数结论1. 三次函数的基本概念说到三次函数，大家一定不会感到陌生吧？就是那种形状好像大波浪的数学函数，通常写成 (f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d)。

你可以想象它在平面上画出一道美丽的曲线，就像一条自由自在的河流，时而蜿蜒，时而飞腾。

这个函数的特点就是，它能有最多三个根，也就是说，它能和x轴相交最多三次，哇，想想都觉得很酷呢！而且，三次函数的图像往往有个山头和个山谷，简直像一场精彩的冒险，随时都有惊喜。

2. 切线的含义好了，咱们再来说说切线。

切线就是那条与曲线在某一点上"亲密接触"的直线，直截了当地说，就是在那一点的斜率与曲线的斜率一模一样。

想象一下，你在海边玩耍，突然来了个朋友，他跑得飞快，想要跟你肩并肩，你们就这样一瞬间保持一致，那种感觉就是切线的美妙之处！对于三次函数来说，切线的数量可是个挺有意思的话题。

2.1 三次函数的切线数量要知道，三次函数的切线条数可不是一成不变的。

根据它的根的个数和性质，切线的数量也是千变万化！如果你有一个三次函数的图像，假设它有三个不同的根，那么它与x轴的交点多得很，切线的数量也就可以达到最多三条。

这就像你在朋友聚会上，三个人同时想要跟你聊天，你当然是热闹非凡了！2.2 重根与切线的关系不过，话说回来，如果这三根中有重根，那情况就不同了。

比如说，如果有一个重根，那么在那一点上，切线就会出现重叠的现象。

简单来说，就是你和那个朋友“并肩跑”的时候，他可能跟你说：“哎呀，我这次不想跟你并排了，我就贴着你走吧！”这样的话，切线的数量就会减少。

3. 结论与应用最后，我们来总结一下：三次函数的切线条数跟根的情况密切相关。

如果根都是不同的，最多可以有三条切线；如果有重根，那就少了一条，甚至可能只有一条。

这个规律简直就像生活中的一些道理：有时候，朋友之间的相处就是这样，有的人来了又走，有的人却会一直陪在身边，温暖而坚定。

3.1 日常生活中的应用那么，这个结论在生活中有什么用呢？比如说，当我们在做一些数据分析时，可能会用到三次函数来拟合一些复杂的现象。

(甘志国)谈谈三次函数图象的切线的求法

谈谈三次函数图象的切线的求法见甘志国著《极限与导数、数学归纳法》(哈工大出版社，2014)第50-52页因为三次函数的导数是数学高考考查的重点内容，所以本文将谈谈三次函数图象的切线的求法.例已知曲线x x x f C 3)(:3-=，点⎪⎭⎫⎝⎛---25,1),3,1(),34,2(),2,1(),2,1(),0,0(T S R Q P O ，求：(1)曲线C 在点Q 处的切线方程； (2)曲线C 过点R P O ,,的切线方程； (3)曲线C 过点S Q ,的切线方程； (4)曲线C 过点T 的切线方程. 解 33)(2-='x x f .(1)因为0)1(='f ，所以曲线C 在点Q 处的切线方程为)1(02-=+x y即 2-=y(2)先求曲线C 过点O 的切线方程.因为点O 在曲线C 上，所以点O 可能是切点，也可能不是切点. 若O 为切点，同(1)可求得切线方程为x y 3-=.若O 不为切点，可设切点为)0)(3,(3≠-'O O O O x x x x O ，得曲线C 在该点O '处的切线O O '斜率为33,33)(232-=-=-='O OO O OO x x x x k x x f所以 )0(33322≠-=-O O O x x x但此方程无解，所以曲线C 过点O 的切线方程为x y 3-=.再求曲线C 过点P 的切线方程.因为点P 不在曲线C 上，所以点P 不可能是切点.可设切点为)1)(3,(3≠-'P P P P x x x x P ，得曲线C 在点P '处的切线P P '斜率为123,33)(32---=-='P P PPP x x x k x x f 所以 1233332---=-P P P P x x x x053223=+-P P x x 0)552)(1(2=+-+P P P x x x1-=P x得切点为)2,1(-'P ，斜率为0)1(=-'f ，所以曲线C 过点P 的切线方程是2=y . 还需求曲线C 过点R 的切线方程.因为R 不会是切点，所以可设切点为)2)(3,(3≠-'R R R R x x x x R ，得曲线C 在点R '处的切线R R '斜率为2343,33)(32---=-='R R RRR x x x k x x f 所以 23433332---=-R R R R x x x x020323=+-R R x x 0)105)(2(2=+-+R R R x x x2-=R x得切点为)2,2(--'R ，斜率为9)2(=-'f ，所以曲线C 过点R 的切线方程是0169=+-y x .(3)先求曲线C 过点Q 的切线方程.当Q 是切点时，(1)中已求出切线方程是2-=y .当Q 不是切点时，可设切点为)1)(3,(3≠-'Q Q Q Q x x x x Q ，得曲线C 在点Q '处的切线O O '斜率为21231)1()(,33)(232-+=-+-=--=-='Q Q Q Q Q Q Q Q O x x x x x x f x f k x x f所以 23322-+=-Q Q Q x x x)1(0122≠=--Q Q Q x x x21-=Q x得切点为⎪⎭⎫ ⎝⎛-'811,21Q ，斜率为4921-=⎪⎭⎫⎝⎛-'f ，所以曲线C 过点Q 的切线方程是0149=-+y x .即曲线C 过点Q 的切线方程有两条：2-=y 和0149=-+y x .(注：在以上解法中，分式1)1()(--Q Q x f x f 一定能约成整式，这是解答本题的一点技巧，若不约分，去分母后将变成三次方程，难度加大.)再求曲线C 过点S 的切线方程.因为S 不会是切点，所以可设切点为)1)(3,(3≠-'S S S S x x x x S ，得曲线C 在点S '处的切线S S '斜率为133,33)(32-+-=-=''S S SSx x x k x S f 所以 1333332-+-=-S S S S x x x x03223=-S S x x0=S x 或23进而可求得曲线C 过点S 的切线方程有两条：x y 3-=和027415=--y x . (4)因为T 不会是切点，所以可设切点为)1)(3,(3≠-'T T T T x x x x T ，得曲线C 在点T '处的切线T T '斜率为1253,33)(32-+-=-='T T T T T x x x k x x f所以 12533332-+-=-T T T T x x x x016423=+-T T x x21=S x 或231 进而可求得曲线C 过点T 的切线方程有三条：0149=++y x 和0533233=±-±y x .练习 1.(由2007年全国卷(II)理科压轴题改编)已知函数x x x f -=3)(. (1)求曲线)(x f 在点))(,(t f t M 处的切线方程；(2)证明：设0>a ，则过点),(b a 可作曲线)(x f y =的三条切线)(a f b a <<-⇔. 2.(2010·湖北·文·21)设函数c bx x a x x f ++-=23231)(，其中0>a ，曲线)(x f y =在点))0(,0(f P 处的切线方程为1=y .(1)确定c b ,的值；(2)设曲线)(x f y =在点))(,(11x f x 及))(,(22x f x 处的切线都过点(0,2)，证明：当21x x ≠时，)()(21x f x f '≠'；(3)若过点)2,0(可作曲线)(x f y =的三条不同切线，求a 的取值范围.(答案：1.(1)23(31)2y t x t =--；(2)略.2.(1)1,0==c b ；(2)略；(3)),32(3+∞⋅.)。

过任一定点的三次函数切线的条数问题

过任一定点的三次函数切线的条数问题山石过任一定点的三次函数切线的条数问题在2007年全国（II ）卷高考题中出现。

题目：已知函数3)(x x f =-x （I ）求曲线)(x f y =在点M ))(,(t f t 处的切线方程；（II ）设a ＞0，如果过点(b a ,)可作曲线)(x f y =的三条切线，证明：-a <b <)(a f题中提到过点作曲线)(x f y =的三条切线问题，那么点在什么区域内作曲线y 3x =-x 的切线能有三条呢? 点在什么区域内切线能有一条，最多能有几条切线呢？下面我们研究过任一点N(b a ,)作曲线x x x f -=3)(切线的条数问题。

解:设过点N(b a ,)作曲线3x y =-x 的切线为l ,切点为M ))(,(t f t 则切线l 的方程为b y -=(32t -1)(a x -) ∵l 过点M ))(,(t f t ∴有))(13(23a t t b t t --=-- 整理得23t -3a b a t ++2=0 ……① 方程①有多少个解,切线l 就有多少个.下面解决方程①解的个数问题。

设)(t g = 23t -3a b a t ++2 )('t g =ta t 662- 令)('t g =0 得t =0 t =a 1．当a ＞0，易知：当t =0时，)(t g 有极大值b a +；当a t =)(t g 有极小值b a a ++-3(1)当b a +=0或b a a ++-3=0时，方程①有两根,即当点N(b a ,)在曲线x y -= (x >0)或x x y -=3 (x >0)上时,过点N 作曲线3x y =-x 的切线只有两条.(如图1点N (2)当b a +<0或b a a ++-3>0时，方程①有一根,即当点N(b a ,)满足y <x - (x >0)或y >x x -3 (x >0)时, 过点N 作曲线3x y =-x (如图2点N 在阴影部分)(3)当b a +>0且b a a ++-3<0时，方程①有三根,xx -即当点N(b a ,)满足y >-x (x >0)且y <3x -x (x >0)时, 过点N 作曲线3x y =-x的切线有三条.(如图3点N 在阴影部分.) 2．当a <0, 即点N(b a ,)在y 轴左侧，方法同前可得, 过点N 作曲线3x y =-x 的切线条数如图4。

三次函数切线问题)

三次函数切线问题一、过三次函数上一点的切线问题。

设点P 为三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 图象上任一点，则过点P 一定有直线与)(x f y =的图象相切。

若点P 为三次函数图象的对称中心，则过点P 有且只有一条切线；若点P 不是三次函数图象的对称中心，则过点P 有两条不同的切线。

证明设),(11y x P 过点P 的切线可以分为两类。

1、 P 为切点 c bx ax x f k ++==1211/123)(，切线方程为：))(23(11211x x c bx ax y y -++=-P 不是切点，过P 点作)(x f y =图象的切线，切于另一点Q （22,y x ）12122122313212122x x cx cx bx bx ax ax x x y y k --+-+-=--= c bx bx ax x ax ax +++++=21212122又 c bx ax x f k ++==2222/223)( （1）∴ c bx bx ax x ax ax +++++21212122c bx ax ++=22223 即0)2)((1212=++-a b x x x x ∴ ab x x 22112--=代入（1）式得c ab bx ax k +-+=4214321212 讨论：当21k k =时，=++c bx ax 12123c a b bx ax +-+421432121，得a b x 31-=， ∴ 当ab x 31-=时，两切线重合，所以过点P 有且只有一条切线。

当ab x 31-≠时，21k k ≠，所以过点P 有两条不同的切线。

其切线方程为：))(23(11211x x c bx ax y y -++=- ))(42143(121211x x c ab bx ax y y -+-+=- 由上可得下面结论：过三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 上异于对称中心的任一点),(111y x P 作)(x f y =图象的切线，切于另一点),(222y x P ，过),(222y x P 作)(x f y =图象的切线切于),(333y x P ，如此继续，得到点列),(444y x P ----),(n n n y x P ----，则ab x x n n 2211--=+，且当+∞→n 时，点趋近三次函数图象的对称中心。

过三次函数图象上一点能作几条切线

过三次函数图象上一点能作几条切线作者：雷元明来源：《神州·下旬刊》2013年第02期例1 过原点作三次函数■的图象的切线，能作几条？写出其方程.解设切点为■，因为■，所以，以■为切点的切线的斜率■，切线方程为■，即■，由于切线过原点，所以，■，∴■，从而■，■，∴只能作一条切线，其方程为■.例2 过曲线■上一点■作曲线的切线，能作几条？写出其方程.解设切点为■，则■.∵ ■，∴切线斜率■，切线方程为■，整理得■，∵切线过■，∴ ■，■，■，当■时切线方程为■，切点为■，当■时切线方程为■，切点为■.做完这两题，自然想到下面的问题：过三次函数■的图象上一点■作切线，究竟能作几条？下面进行探索.设切点为■，则■.∴切线斜率■，切线方程为■，■即■.∵切线过点■，∴ ■，即■，整理得■.因为■可以是切点，所以猜测上述方程有根■，用综合除法分解因式得■.此方程有解■或■又■，于是有定理设■是三次函数■的图象上一点，则（1）当■时，过■仅能作一条切线，这时切点为■，切线方程为■；注因为■，所以，■，这正是三次函数的拐点，因此，上述结论也可如下记忆：三次函数图象上，只有过拐点才能作唯一切线.（2）当■时，过■恰能作两条切线：以为切点的切线方程为■，不以■为切点的切线方程为即■.下面的问题供同学们练习.1. 过曲线■上一点■作切线，求切线方程.2. 过曲线■上一点■作切线，求切线方程.3. 过曲线■上一点■作切线，求切线方程.4.（选择题）过三次函数■上任一点作曲线的切线，则下列说法正确的是（）.A.只能作一条切线B.能作1条或2条切线C.能作2条或3条切线D.能作1条或2条或3条切线。

三次函数切线问题

三次函数图象上点的切线条数

三次函数的对称中心与切线条数

三次函数图象切线问题的探究

09：三次函数图像的切线

江苏省南通市2020届高三数学专题复习课程资源——三次型函数切线问题的求解策略(教师版)

一元三次函数图像的中心切线及切线问题

三次函数图象切线问题归类分析

第18讲 三次函数的切线条数(解析版)

一道高考压轴题引发的对三次函数切线条数的探究

三次函数的区的切线情况

过哪些点能够作三次函数图象的三条切线

高考中三次函数图像的切线问题

过三次函数图象上一点能作几条切线

三次函数切线条数结论

(甘志国)谈谈三次函数图象的切线的求法

过任一定点的三次函数切线的条数问题

三次函数切线问题)

过三次函数图象上一点能作几条切线

第18讲三次函数的切线条数(解析版)