初中数学算数平方根
2022年初中数学同步 7年级下册 第07课 算数平方根与平方根(教师版含解析)-
第07课 算数平方根与平方根课程标准1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．知识点01 平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数x 叫做的算术平方根(规定0的算术平方根还是0)；的算术平方根记作a ，读作“a 的算术平方根”，叫做被开方数. 注意：(1)当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. (2)负数没有算数平方根；(3)算数平方根等于本身的数有：0和1； (4)算数平方根平方等于原来的数； (5)注意a 运算结果的非负性； 2.平方根的定义如果，那么x 叫做a 的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算.(≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根.注意：(1)非负数才有平方根； (2)负数没有平方根；(3)平方根等于本身的数是：0；(4)一个正数有2个平方根，他们互为相反数； (5)平方根平方等于原来的数；x a 2x a =a a a a a a a 2x a =a a a (0)a a ±≥a a 目标导航知识精讲知识点02 平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：(1)定义不同；(2)结果不同：和 2．联系：(1)平方根包含算术平方根；(2)被开方数都是非负数；(3)0的平方根和算术平方根均为0． 注意：算术平方根平方根定义若正数x ，2x a =，正数x 叫做a 的算术平方根，x a =若数x ，2x a =，数x 叫做a 的平方根，x a =±a 的范围 0a ≥0a ≥表示aa ±正数有一个算术平方根，是正数正数有两个平方根，它们互为相反数0的算术平方根是0 0的平方根是0 负数没有算术平方根负数没有平方根知识点03 平方根的性质(1)2a =,0||0,0,0a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩(2)2()a =,(0)a a ≥知识点04 平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右(左)每移动两位，算术平方根的小数点向右(左)移动一位。
复习初中数学算术平方根与立方根的计算
复习初中数学算术平方根与立方根的计算在初中数学学习中，算术平方根和立方根是重要的概念。
它们在解决实际问题时起着重要作用。
本文将详细介绍算术平方根和立方根的计算方法。
一、算术平方根的计算算术平方根是指一个数的平方等于该数的非负平方根。
下面我们来介绍一种常见的计算算术平方根的方法，即牛顿迭代法。
1. 假设要计算数a的算术平方根，首先先猜测一个近似值x。
2. 接下来，我们使用公式x = (x + a/x)/2来不断迭代计算，直到满足精度要求。
2.1 首先，将猜测的近似值x代入公式中，计算出x1 = (x + a/x)/2。
2.2 然后，将x1代入公式中，计算出x2 = (x1 + a/x1)/2。
2.3 以此类推，直到满足所需的精度。
通过不断迭代，我们可以得到越来越接近真实平方根的近似值。
二、立方根的计算立方根是指一个数的三次方等于该数的非负立方根。
计算立方根的方法有多种，下面我们介绍一种常用的二分法。
1. 对于一个正数a，我们可以将立方根x的范围限定在0到a之间。
2. 首先，我们猜测一个近似值x，并将其平方与a进行比较。
2.1 如果x的立方小于a，则将x的范围缩小到x到a之间。
2.2 如果x的立方大于a，则将x的范围缩小到0到x之间。
3. 通过不断缩小x的范围，我们最终可以得到一个足够接近的近似值。
三、练习题为了帮助大家更好地理解算术平方根和立方根的计算，以下是一些练习题：1. 计算√25的值。
2. 计算∛8的值。
3. 尝试使用不同的计算方法，比较它们的优缺点。
通过解决这些练习题，我们可以加深对算术平方根和立方根的计算方法的理解。
结语通过本文的介绍，我们了解了算术平方根和立方根的计算方法。
算术平方根可以使用牛顿迭代法来逐步逼近真实值，而立方根可以使用二分法来逼近。
这些方法在解决实际问题中有着重要的应用，希望本文对你的数学学习有所帮助。
初中数学《平方根》课件1
9
3
3
思考：开平方与平方是什么关系？ 开平方与平方是互为逆运算
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。
例：求下列各数的平方根： 你能写出一个
（1）100； （2） 9 16
数，让你的同伴 ； （3求）出0.它25的平方根
吗？
解:（1）∵(±10)2＝100，
∴100的平方根是±10 ；
（2）∵ ( 3)2 9 ，
（3）0 （4）0.04
解：
1
81 9
2
25 5 49 7
3 0 0 4 0.04 0.2
检测目标
5. 求下列各式中的 x： 即
．
开平方与平方是互为逆运算
（2）(－2)2；
﹢3是前面学习过的9的算术平方根，
（1） 25 x ＝36； 2 ﹢3是前面学习过的9的算术平方根，
∴100的平方根是±10 ；
﹢3是前面学习过的9的算术平方根， （2）4x2－49=0.
2
2
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。
算术平方根的性质是什么？
则有2a＋1＋a－4＝0，即3a－3＝0，
方法归纳：一个正数有两个平方根，它们互为
相反数.
目标导学二：开平方的概念
填空： 求平方
求平方根
1 1
1
2 2
4
3
9
3
1
1 1
4
2 2
检测目标
3.填空
（1）（-5）2的平方根是 ±5 ，算术平方根 是5 ；
（2） 16 的平方根是 ±2，算术平方 根是2
（3）若x2=3，则 x= ±3 ，若 x2 =3，则 x= ±3 ；
（4）若（x-1）2=2，则x= 3或－1 ，
初中数学平方根的计算公式
初中数学平方根的计算公式如果一个非负数x的平方等于a，即x2=a(a≥0)，那么这个非负数x叫做a的算术平方根。
a的算术平方根记为√a，读作“根号a”，a叫做被开方数。
求一个非负数a的平方根的运算叫做开平方。
平方根计算公式假设要求a的平方根,先假设为x,然后计算(a/x+x)/2,把得到的数当成x,同样计算(a/x+x)/2,直到两个数差不多相等就可以了。
比如计算√3,我假设是1.5,代入上面公式 (3/1.5+1.5)/2=1.75,我再计算一遍 (3/1.75+1.75)/2=1.732,我继续计算 (3/1.732+1.732)/2=1.732,两个一样了,那保留三位小数就是1.732,按计算器得到的是1.。
什么是平方根平方根，又叫二次方根，表示为〔±√￣〕，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根。
一个正数有两个实平方根，它们互为相反数，负数没有平方根。
算术平方根：如果一个非负数x的平方等于a，那么这个非负数x叫做a的算术平方根，记作x=√a。
其中，a叫做被开方数。
算术平方根只有一个！例如：因为2和-2的平方都是4，且只有2是正数，所以2就是4的算术平方根。
平方根口诀（1）11-19的平方：原数加尾数，尾平方；逢10进位例如：132=? 13+3=16 32=9 132=169（2）41-49的平方：尾加15，10减尾再平方，占2位例如：432=？ 3+15=18 10-3=7 72=49 432=1849（3）51-59的平方：尾加二十五，尾平方占2位例如：542=？ 4+25=29 42=16 542=2916（4）91-99的平方：尾数乘2加80；10减尾数再平方，占2位例如：952=? 5×2+80=90 10-5=5 52=25 952=9025。
初中数学七年级上册： 平方根 课件
平方根的定义
一般地，如果一个数x的平方等于a， 即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根（ 也叫做二次方根）. 例如：6²等于36，（-6）²也等于36，
所以，6和-6都是36的平方根。讨论来自一个正数有几个平方根？
一个正数a有两个平方根，并且它们互为 相反数，一个是正数，另一个是负数。
其中正的平方根又叫做a的算术平方根，
记作： a ，另一个是 a ，这两个平方根
合起来可以记作 a ，读作：“
”
思考：0有几个平方根？负数呢？
0只有一个平方根，就是0本身。 （特别地，0的算术平方根是0）
负数没有平方根。
平方根的性质
1、一个正数有两个平方根，它们互 为相反数。
2、0只有一个平方根，它是0本身。 3、负数没有平方根。
想一想
（1）（ 64）2等于多少？ （2）（ 49）2等于多少？ （3）（ 7.2）2等于多少？ （4）对于正数 a，（ a）2等于多少？
由此可见，对于正数 a，（ a）2 a
1.填空 （1）25的平方根是__±__5___。
（2）（ 5）2 ___5______。
（3） （ 5）2 ____5_____。
1、什么是算术平方根？ 2、16的算术平方根是_______。 3、9的算术平方根是_______。
1、理解并掌握平方根的定义、性质；
2、会求一个非负数的平方根；
3、了解平方根和算术平方根的区别与联 系。
想一想
我们知道，36的算术平方根是6，也就 是说6的平方等于36，那么平方等于36的数 还有哪些呢？
例3 求下列各数的平方根：
（1）64
（2）
49 121
（3）0.0004
初一数学平方根的计算
初一数学平方根的计算平方根是数学中的一个重要概念，它在初中数学学习中经常出现，并且在实际生活中也有广泛的应用。
在本文中，我们将讨论初一数学中平方根的计算方法，帮助同学们更好地理解和应用它。
1. 平方根的定义数学中，平方根是指一个数的平方等于它自身的非负实数。
可以用符号√来表示平方根，例如√4=2，表示2是4的平方根。
2. 平方根的计算方法初一数学中，求解平方根可以通过以下几种方法进行。
2.1 估算法当我们需要大致计算一个数的平方根时，可以通过估算来得到近似值。
例如，计算√40，我们可以估算它的值在6和7之间，然后通过试算法来逼近准确答案。
2.2 开方法在初一数学学习中，我们通常会使用开方法来计算平方根。
具体步骤如下：(1) 将给定的数进行因数分解；(2) 将因数分解后的每个因数进行一半的次数相乘；(3) 如果存在无法进行完全相乘的因数，则该因数提出纯数的形式；(4) 将上述所得结果相乘。
举个例子，计算√16：(1) 16可以进行因数分解，得到4乘以4；(2) 因数分解后的每个因数为4，因此我们将4乘以4；(3) 由于4没有无法进行完全相乘的因数，所以我们可以直接将结果相乘；(4) 最后得到的结果为4。
2.3 算术平方根法在一些特殊情况下，我们需要计算无理数的平方根，这时可以使用算术平方根法来计算。
算术平方根法基于牛顿迭代法，可以逐步逼近准确答案。
3. 平方根的应用平方根在生活中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景。
3.1 几何学中的平方根在几何学中，平方根经常出现在计算图形的面积和周长中。
例如，正方形边长的平方根就是正方形对角线的长度，而三角形斜边的平方根则可以帮助我们计算三角形的面积。
3.2 物理学中的平方根在物理学中，平方根被广泛应用于计算速度、加速度等物理量。
例如，质点的运动速度可以通过速度的平方根来计算。
4. 结语通过本文的探讨，我们了解了初一数学中平方根的计算方法和应用场景，希望对同学们在数学学习中有所帮助。
人教初中数学七下 6.1 平方根(第1课时)算术平方根课件 【经典初中数学课件】
选择身高在哪个范围内的学生参加呢？
为了使选取的参赛选手身高比较整齐， 需要知道数据的分布情况，即在哪些身高范 围的学生比较多，哪些身高范围内的学生人 数比较少．为此可以通过对这些数据适当分 组来进行整理．
1．计算最大值和最小值的差
在上面的数据中，最小值是149， 最大值是172，它们的差是23，说明身 高的变化范围是23 cm．
身高/㎝
2.易于显示各组之间频数之间的差别
等距分组的频数分布直方图
小长方形面积＝ 组 频组距 数距 ＝频数
频数 （学生人数）
20
15
身高/㎝
2.易于显示各组之间频数之间的差别
等距分组的频数分布直方图
小长方形面积＝ 组 频组距 数距 ＝频数
频数 （学生人数）
20
15
10
5
0 149 152 155 158 161 164 167 170 173 身高/㎝
等距分组的频数分布直方图 如上
•
频数分布直方图是以小长方形的面
积来反映数据落在各个小组内的频数的大
计，
评估数学考试情况，经过整
理得到如下频数分布直方图， 60 学生人数
60
请回答下列问题：
50
（1）此次抽样调查 的样本容量是_____
40
30
28
28
20
15 10 10
14
5
0
分
0~35 36~47 48~59 60~71 72~83 84~95 96~107 108~120
小结
通过本节学习，我们了解了频数分布的意义及 获得一组数据的频数分布的一般步骤: (1)计算极差； (2) 决定组距和组数； (3) 决定分点； (4) 列出频数分布表； (5)画出频数分布直方图和频数折线图。
初中数学人教版 平方根与算术平方根 人教版
0的平方根只有一个，即 0 0
三、平方根与算术平方根的联系与区别
1) 平方根包含算术平方根，算术平方
联
根是平方根中的一个；
系： 2) 平方根和算术平方根都只有非负数才有
3) 0的平方根、算术平方根都是0
1）定义不同： 平方根为 a
区 2）表示方法不同 别： 3）个数不同
儒家的最高境界是“拿得起”，佛家的最高境界是“放得下”，道家的最高境界是“想得开”；所以说，儒释道的最高境界，就是这三句话、九个字。中国历史上还曾有过其他一些“人生境界”说，其中三个最著名的，正好可以与儒释道这三大最高境界对照参悟。 跟儒家学拿得起。儒家是追求入世、讲究做事的，要求奋发进取、勇于担当、意志坚定。概括为三个字，就是“拿得起”。什么是“拿得起”？且看这个“儒”字——左边一个“人”，右边一个“需”，合起来就是“人之所需”。人活世上，有各种精神或生存的需要，满足这些需要就需要去获取。去拿，并且拿到了、拿对了，就是拿得起。
平方根与算术平方根
一、平方根与算术平方根定义
如果一个数的平方等于a，那么这个数 就叫做a的平方根；其中 a称为被开方数 正数a 的正平方根是数a 的算术平方根
表示为 a 读作“根号 a” 正数a 的负平方根表示为 a 读作“负根号a”
a 因此，正数a的平方根可记做
二、性质： 一个正数有两个平方根；它们互为相反数；
2. 求使 x1 x1有意义x
的取值范围. 解：要使式子有意义，必须满足：
x 1 0
x
1
0
解得xx
Байду номын сангаас
1 1
所以，x 的取值范围是. x1
初中八年级数学课件 3.1 第1课时 平方根和算术平方根
（1）若正方形的面积如下，请填表：
正方形 的面积 1
4 9 16 36 25
/dm2
13
正方形
462
5
的边长 （/2d）m你2 能指出它们的共同特点吗？
都是已知一个正 数的平方，求这 个正数.
讲授新 课
一 平方根
问题引 导
问题 如果一个数的平方等于9，这个数是多 少？
由于同号两数相乘得正数，且 02=0，即在迄今为止我们所认识的数 中，任何一个数的平方都不会是负数， 因此负数没有平方根. 小结：正数平方根有两个，它们互为相 反数；零的平方根是0；负数没有平方 根
求一个非负数的平方根的运算，叫 作开开平平方方. 与平方互为逆运算，根据这
种关系，可以求一个数的平方根.
即±
25 9
=±
5 3
.
（3）1.21 有两个平 方根
解: 由于1.12=1.21，
因此1.21的平方根是1.1与-1.1.
即± 1.21=± 1.1.
三 算术平方根的概念及性质
我们把正数a的正平a 方根 叫作a的
算术平方根. 思考：正数、负数、0的算术平方 各有几个？ 正数的算术平方根是一个正数，0
的算术平方根还是0，负数没有算
术例平如方，根16.的平方根是4和-4，其中4是 16的算术 平方根.
练一 练 判断下列说法是否正确.
①25的算术平方根是5 ②25的平方根是5
√（
（
③5是25的平方根
√（
注意区分“平方根”与“算术平 方根”意义
）； ）； ）.
算术平方根的性质：
非负数
a 0 (a≥0)
把r叫作a的一个平方根，也叫作二次方根.
平方根计算初中数学知识点之平方根的计算方法
平方根计算初中数学知识点之平方根的计算方法平方根是初中数学中重要的概念之一，在解决实际问题和进行数学运算中都起到重要作用。
平方根的计算方法有多种，接下来将介绍几种常见的计算平方根的方法。
一、试算法试算法是最常见的计算平方根的方法之一，适用于小数的平方根计算。
下面以√13为例，介绍试算法的步骤：步骤一：找到最大的整数m，使得m的平方≤13，这里m=3。
步骤二：假设所求平方根为x，即x的平方≈13。
步骤三：将13除以3得到商4和余数1。
步骤四：将余数1放在商的右侧，得到41。
步骤五：在4的右侧添上一位，假设为a，即使（4*10+a）与平方的结果接近13，所以（4*10+a）的平方≈13，解这个方程：(4*10+a)^2=130+a^2+8a≈130。
步骤六：解得a=5。
所以所求平方根为3.5，即√13≈3.5。
二、图解法图解法是通过坐标系上的几何方法来计算平方根，适用于大数的平方根计算。
步骤一：首先，在坐标系上画出一个正方形。
假设我们要计算√170的平方根，则坐标系中的正方形边长为170。
步骤二：从原点开始，用直线将正方形一分为二，形成两个矩形。
步骤三：在这两个矩形中，通过调整，使得其中一个矩形的面积尽量接近170。
步骤四：再次将这个近似的正方形一分为二，在这两个矩形中，再次通过调整，使得一个矩形的面积尽量接近170。
步骤五：重复步骤四，直到无法再次分割为止。
步骤六：最后，通过测量近似正方形的边长，即可得到所求平方根的近似值。
三、借位法借位法是一种通过不断借位的方式来计算平方根的方法。
下面以√31为例，介绍借位法的步骤：步骤一：将所求平方根按十分位为界，分为两个数，个位数和十位数，即3和1。
步骤二：先计算十位数的候选值，从1开始，假设为x，即10x。
步骤三：判断10x与√31的乘积是否小于等于当前的被开方数，若小于等于，则将其作为十位数。
步骤四：再计算个位数的候选值，假设为y，即y^2。
步骤五：判断（10x+x）的平方与（当前被开方数-（10x））之差，是否小于等于y。
初中数学平方根ppt课件
5cm
正方形 的面积
1
9
16 25 36
边长 1 3 4 5 6
3
如果一个数的平方等于a ，2还即5有的x2没平= 有方a那别根么的只这数有个的一数平个叫方吗也？
做a 的平方根。
等于25？
例如：5的平方等于25，所以5叫做 25 的平方根。
4
由于-5的平方也等于25， 所以-5也叫做25的平方根。
是找出它的算术平方根。
平方与开平方有 什么关系？
可以看的出,平方与开平方互为逆运算,根据这种关 系可以求出一个数的平方根.
利用平方运算可以检验一个数是不是另一个数的平方根。
18
合作探究
平方与开平方互为逆运算
X
x2
x2
X
+1 1
-1
Байду номын сангаас
+1 1
-1
+2 4
-2
+2 4
-2
+3 9
-3
+3 9
-3
平方运算
求下列各式的值：
(1) 144
(2)
0.81 （3）±
121 196
解: (1)因为12 2 144， 所以 144 12
(2)因为0.92 0.81， 所以 0.81 0.9
(3)因为
11 2
121，
所以
121 11
14 196
196 14
26
27
被开方数
12
想一想:
算术平方根等 因为任何于实它数本的平身方的都为数非负数， 所以负数没有是平方0,根1 ，也没有算术
平方根。
13
快乐套 餐
人教版初中数学第六章实数知识点
第六章实数6.1 平方根1、平方根如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）.一个数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根.正数a的平方根记做“”.2、算术平方根正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“a”.正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零.()()a aaa a⎧≥⎪==⎨-<⎪⎩；注意a的双重非负性：0a≥⎪⎩例：求下列各数的算术平方根（1）64；（2）2)3(-；（3）49151.例：若数m的平方根是32+a和12-a，求m的值.解：∵负数没有平方根，故m必为非负数.（1）当m为正数时，其平方根互为相反数，故（32+a）+（12-a）=0，解得3=a，故32+a=9332=+⨯，912312-=-=-a，从而8192==a.（2）当m为0时，其平方根仍是0，故032=+a且0433=-a，此时两方程联立无解.GAGGAGAGGAFFFFAFAFGAGGAGAGGAFFFFAFAF例：估计10＋1的值是（ ）（A ）在2和3之间 （B ）在3和4之间 （C ）在4和5之间（D ）在5和6之间6.2 立方根如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）.其中3是根指数.一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零. 注意：33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面.例：已知：M a a b =++-82是a +8的算术数平方根，N b a b =--+324是b -3立方根，求M N +的平方根.分析：由算术平方根及立方根的意义可知a +≥8022243a b a b +-=⎧⎨-+=⎩，解方程组，得：a b ==13，GAGGAGAGGAFFFFAFAF代入已知条件得：M N ==903，，∴M N +=+=+=903033故M ＋N 的平方根是±3.6.3 实数 1、实数的分类正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数无理数 无限不循环小数 负无理数整数包括正整数、零、负整数. 正整数又叫自然数.正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数.2、无理数：无限不循环小数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等；GAGGAGAGGAFFFFAFAF（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数，如sin60o等 例：在所给的数据:，13，π，0.57， 0.585885888588885…(相邻两个5之间8的个数逐次增加1个)其中无理数个数( B ).(A)2个 (B)3 (C)4个 (D)5个3、相反数实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=-b ，反之亦成立. 4、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，0a ≥.零的绝对值是它本身，若a a =，则0a ≥；若a a =-，则0a ≤.正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小. 5、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立.倒数等于本身的数是1和-1.零没有倒数. 例：比较a aa 、、1的大小.GAGGAGAGGAFFFFAFAF①当01<<a 时，取a =001.，则110001aa ==、.，显然有1aa a >>GAGGAGAGGAFFFFAFAF②当a =1时，a aa ==1，③当a >1时，仿①取特殊值可得a a a>>1 例：解方程()2136x +=.解：∵()2136x +=∴x+1看着是36的平方根. 16x +=±. ∴15x=， 27x =-.例：已知一个数的平方根是2a －1和a －11，求这个数．解：由2a －1+a －11=0，得a =4，∴2a －1=2×4－1=7．∴这个数为72=49．例：已知2a －1和a －11是一个数的平方根，求这个数．解：根据平方根的定义，可知2a －1和a －11相等或互为相反数． 当2a －1=a －11时，a =－10，∴2a －1=－21，这时所求得数为(－21)2=441;当2a －1+a －11=0时，a =4，∴2a －1=7，这时所求得数为72=49. 综上可知所求的数为49或441.实数大小进行比较的常用方法方法一：差值比较法差值比较法的基本思路是设a ，b 为任意两个实数，先求出a 与b 的差，再GAGGAGAGGAFFFFAFAF根据当a －b ﹥0时，得到a ﹥b.当a －b ﹤0时，得到a ﹤b.当a －b ＝0，得到a=b.例1：（1）比较513-与51的大小. （2）比较1－2与1－3的大小.解 ∵513-－51＝523-＜0 ， ∴513-＜51. 解 ∵（1－2）－（1－3）=23-＞0 ， ∴1－2＞1－3.方法二：商值比较法商值比较法的基本思路是设a ，b 为任意两个正实数，先求出a 与b 得商.当ba ＜1时，a ＜b ；当ba ＞1时，a ＞b ；当ba =1时，a=b.来比较a 与b 的大小.例2：比较513-与51的大小.GAGGAGAGGAFFFFAFAF解：∵513-÷51=13-＜1 ∴513-＜51 方法三：倒数法倒数法的基本思路是设a ，b 为任意两个正实数，先分别求出a 与b 的倒数，再根据当a1＞b1时，a ＜b.来比较a 与b 的大小.例3：比较2004－2003与2005－2004的大小.解∵200320041-=2004+2003，200420051-=2005+2004又∵2004+2003＜2005+2004 ∴2004－2003＞2005－2004（超纲，不作要求）方法四：平方法平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平方，再根据a ＞0，b ＞0时，可由2a ＞2b 得到a ＞b 来比较大小，这种方法常用于比较无理数的大小. 例5：比较62+与53+的大小解：1228)62(2+=+， 2)53(+=8+215.又∵8+212＜8+215 ∴62+＜53+.方法五：估算法估算法的基本是思路是设a ，b 为任意两个正实数，先估算出a ，b 两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较.例4：比较8313-与81的大小解：∵3＜13＜4 ∴13－3＜1 ∴8313-＜81方法六：移动因式法（穿墙术）移动因式法的基本是思路是，当a＞0，b＞0，若要比较形如a db c与的大小，可先把根号外的因数a与c平方后移入根号内，再根据被开方数的大小进行比较.例6：比较27与33的大小GAGGAGAGGAFFFFAFAFGAGGAGAGGAFFFFAFAF解：∵27=722•=28，33=332•=27.又∵28＞27， ∴27＞33.方法七：取特值验证法比较两个实数的大小，有时取特殊值会更简单.例7：当10 x 时，2x ，x ，x1的大小顺序是______________.解：（特殊值法）取x =21，则：2x =41，x1=2.∵41＜21＜2，∴2x ＜x ＜x1.例：设a ＝20，b ＝(－3)2，cd ＝112-⎛⎫⎪⎝⎭，则a 、b 、c 、d 按由小到大的顺序排列正确的是（ ）A.c ＜a ＜d ＜bB.b ＜d ＜a ＜cC.a ＜c ＜d ＜bD.b ＜c ＜a ＜d 分析 可以分别求出a 、b 、c 、d 的具体值，从而可以比较大小. 解：∵a ＝20＝1，b ＝(－3)2＝9，cd ＝112-⎛⎫⎪⎝⎭＝2＜1＜2＜9，∴c ＜a ＜d ＜b .故应选A .除以上七种方法外，还有利用数轴上的点，右边的数总比左边的数大；以及绝对值比较法等比较实数大小的方法.对于不同的问题要灵活用简便合理的方法来解题.能快速地取得令人满意的结果.精品文档如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！22721 58C1 壁< Q28079 6DAF 涯r37902 940E 鐎*[25846 64F6 擶35585 8B01 謁kiU27717 6C45 汅GAGGAGAGGAFFFFAFAF。
人教初中数学 平方根
实数章平方根知识要点：一、1.算术平方根的定义如果一个正数x 的平方等于a ，即2x a = ,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）； a a ，读作“a 的算术平方根”， a 叫做被开方数.2.平方根的定义如果 2x a =，那么x 叫做a 的平方根.求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算.a (a ≥0)的平方根的符号表达为 )0a a ±≥ ， 其中a 是a 的算术平方根.二、平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：a a 2．联系：（1）包含关系；（2）被开方数非负；（3）0的平方根和算术平方 根均为0．说明：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的 算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根 可以立即写出 它的另一个平方根. 因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.三、算术平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或向左移动2位，其算术平方根的小数点就相应地向右或向左移动1位.例题分析1、 若2m －4与3m －1是同一个正数的两个平方根，求m 的值．2、x 为何值时，下列各式有意义？（12x 2x -11x x +-(4)12x x --3、求下列各式的值．（12222252434-+（2111200.369004354、求下列各式中的x.（1）23610x -=（2）()21289x +=（3）9()232640x +-=5、已知a 、b 2620a b +-=解关于x 的方程：()221a x b a ++=-6、小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面 积为300cm2 的长方形纸片，使它长宽之比为3:2，请你说明小丽能否用 这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.巩固练习1．下列说法中正确的有（ ）．①只有正数才有平方根．②-2是4的平方根．③ 16 的平方根是4± ． ④2a 的算术平方根是a ．⑤（-2）²的平方根是-2． ⑥ 93=± ．A ．1个B ．2个C ．3 个D ．4个2．若m ＝404-，则估计m 的值所在的范围是（ ）A ．1＜m ＜2 B. 2＜m ＜3C. 3＜m ＜4D. 4＜m ＜53.有一个数值转换器，原理如下：当输入的x ＝64时，输出的y 等于（ ）A.2B.8C.2232。
初中数学人教七年级上册第一章 有理数算术平方根PPT
实战演练 运用新知
• 例1 分别求下列各数的算术平方根： • 例2 计算： • 练一练
探究二：算术平方根的非负性
• 例3 ： 几个非负数的和为0，则每个数均为0，现阶段学过的非负数有绝
对值、一个数的平方及算术平方根.
巩固新知 深化理解
• 1.填空： • 2.求下列各数的算术平方根 • 3.下列式子表示什么意义？你能求出它们的值吗？
x2=a,那么这个正数x叫做 a的算术平方根.
实战演练 运用新知
1.因为22=4 ，所以4的算术平方根是（
)
2.下列说法正确的是( )
①5是25的算术平方根
Hale Waihona Puke ② 0.01是0.1的算术平方根
合作探究 获取新知:算术平方根的性质
• 1.一个正数的算术平方根有几个？ • 2.0的算术平方有几个？ • 3.-1有算术平方根吗？负数有算术平方根
教学目标：
1.了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平根;
2.掌握算术平方根的非负性，会求非负数的算术平方根．
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教学重点：
• 了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平 方根;
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教学重点：
• 掌握算术平方根的非负性，会求非负数的算术平方根．
一、新课引入：
1、阅读教材引入。 2、填表。 3、二次根式的概念： 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即
• 思维方法：求一个正数的算术平方根运算和开 平方求一个正数的二次幂运算互为逆运算.
• 探究策略：由特殊到一般，再由一般到特殊， 是发现问题和解决 问题的基本方法和途径.
回顾与反思
• 通过今天的学习, • 能说说你的收获和体会吗? • 你有什么经验与收获让同学们共享呢？
初中数学如何计算平方根
初中数学如何计算平方根平方根是数学中一个重要的概念，它在初中数学中被广泛应用。
计算平方根有多种方法，包括手算和使用计算器等方式。
在本文中，我们将介绍几种常用的计算平方根的方法。
一、开平方法第一种常用的方法是开平方法。
对于一个非负数a，它的平方根记作√a。
开平方法的基本思想是寻找一个数x，使得x²=a成立。
例如，要计算√16，我们可以寻找一个数x，使得x²=16。
通过试探，我们可以发现x=4是一个满足条件的解，因为4²=16。
因此，√16=4。
对于较大的数，可以先找出它的约数，然后再进行试探。
比如要计算√64，我们可以先找出64的约数，如1、2、4、8、16、32等。
通过试探，我们可以发现8是一个满足条件的解，因为8²=64。
因此，√64=8。
二、长除法开平方法第二种常用的方法是长除法开平方法。
这种方法适用于无法直接找到平方根的情况，例如非完全平方数。
想要使用长除法开平方法，首先要将被开方数写成因数的乘积形式。
例如，要计算√12，我们可以将12分解为2²×3。
接下来，我们可以使用长除法的步骤来计算：1. 将平方根符号放在开方数的左上方，这里是√12；2. 将12的因数分成两个部分，2和3；3. 在√12下方，可以分别写出2和3；4. 计算2的平方根，我们得到2；5. 将2写在√12下面，并进行乘法运算，得到4；6. 将4与12进行减法运算，得到8；7. 再次寻找8的因数分解，我们可以得到2×2×2；8. 将2×2写在√8下方，并进行乘法运算，得到8；9. 由于8与8相等，长除法结束，我们可以得到√12=2√2。
三、使用计算器对于较复杂的平方根，使用计算器是一种方便快捷的方法。
现代计算器通常都配备有计算平方根的功能，只需输入被开方数，即可获得准确的平方根结果。
使用计算器计算平方根时，我们需要将计算器设置为求平方根的模式，然后输入被开方数，按下相应的按钮，即可得到平方根的结果。
初中数学《平方根》教案
平方根，又叫二次方根，表示为〔±√￣〕，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根。
一个正数有两个实平方根，它们互为相反数，负数没有平方根。
下面就是小编给大家带来的初中数学《平方根》教案，希望能帮助到大家!数学《平方根》教案一一、教学目标1.理解一个数平方根和算术平方根的意义;2.理解根号的意义，会用根号表示一个数的平方根和算术平方根;3.通过本节的训练，提高学生的逻辑思维能力;4.通过学习乘方和开方运算是互为逆运算，体验各事物间的对立统一的辩证关系，激发学生探索数学奥秘的兴趣.二、教学重点和难点教学重点：平方根和算术平方根的概念及求法.教学难点：平方根与算术平方根联系与区别.三、教学方法讲练结合.四、教学手段幻灯片.五、教学过程(一)提问1.已知一正方形面积为50平方米，那么它的边长应为多少?2.已知一个数的平方等于1000，那么这个数是多少?3.一只容积为立方米的正方体容器，它的棱长应为多少?这些问题的共同特点是：已知乘方的结果，求底数的值，如何解决这些问题呢?这就是本节内容所要学习的.下面作一个小练习：填空1.( )2=9;2.( )2 =;3.5.( )2=学生在完成此练习时，最容易出现的错误是丢掉负数解，在教学时应注意纠正.由练习引出平方根的概念.(二)平方根概念如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根(二次方根).用数学语言表达即为：若x2=a，则x叫做a的平方根.由练习知：±3是9的平方根;±是的平方根;0的平方根是0;±是的平方根.由此我们看到+3与-3均为9的平方根，0的平方根是0，下面看这样一道题，填空：( )2=-4学生思考后，得到结论此题无答案.反问学生为什么?因为正数、0、负数的平方为非负数.由此我们可以得到结论，负数是没有平方根的.下面总结一下平方根的性质(可由学生总结，教师整理).(三)平方根性质1.一个正数有两个平方根，它们互为相反数.有一个平方根，它是0本身.3.负数没有平方根.(四)开平方求一个数a的平方根的运算，叫做开平方的运算.由练习我们看到+3与-3的平方是9，9的平方根是+3和-3，可见平方运算与开平方运算互为逆运算.根据这种关系，我们可以通过平方运算来求一个数的平方根.与其他运算法则不同之处在于只能对非负数进行运算，而且正数的运算结果是两个。
初中数学如何快速计算平方根
初中数学如何快速计算平方根在初中数学中，计算平方根是一个基础而重要的技能。
掌握快速计算平方根的方法可以帮助我们更高效地解决数学问题，并提高解题速度。
本文将介绍几种常用的快速计算平方根的方法。
一、完全平方数的平方根首先，我们要了解完全平方数。
完全平方数是能通过一个整数乘以自身得到的数，例如1、4、9、16等。
对于一个完全平方数的平方根，我们可以直接求得其值。
例如，平方根为9的完全平方数是3，平方根为16的完全平方数是4。
因此，对于完全平方数的平方根，我们可以快速得到结果。
二、近似估算法对于非完全平方数的平方根，我们可以使用近似估算法来计算。
其中最常用的方法是牛顿迭代法。
1. 首先，我们假设一个初始近似值，记为a。
2. 然后，我们使用迭代公式来逐步改进这个近似值。
迭代公式为：a = (a + n/a) / 2，其中n为我们要计算平方根的数。
3. 重复步骤2，直到我们得到足够精确的结果。
这个方法的优点是计算速度较快，对于中小型数值的平方根计算尤为有效。
但是要注意，这个方法并不总能得到完全准确的结果，因此在解题时需要注意结果的合理性。
三、分数展开法分数展开法是另一种近似计算平方根的方法，也适用于初中数学的应用。
这种方法可以将一个数的平方根表示为一个无限连分数的形式。
例如，对于数值√3，我们可以将其展开为：√3 = 1 + 1/(1 + √3) = 1 + 1/(1 + 1/(1 + √3)) = ...通过不断迭代计算，我们可以得到越来越精确的结果。
这种方法的适用范围较广，可以用于计算非完全平方数的平方根。
四、近似公式除了以上方法，我们还可以借助一些近似公式来快速计算平方根。
其中最常用的是平方根的二分法。
1. 首先，我们在合适的范围内设定两个数，将目标数的平方与这两个数进行比较。
2. 根据比较结果，我们可以确定目标数位于这两个数的哪一侧，并继续在该侧的范围内继续二分查找。
3. 通过多次二分查找，我们可以逐步缩小目标数所在的范围，直到得到一个足够精确的结果。
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§
问
题 情
52 25,
境 那么5是25的什么呢？
算术平方根的定义：
如果一个正数x的平方等于a,即x2 a,那么这个 正数x叫做a的算术平方根.a的算术平方根记为 a，
如果一个正数x的平方等于a,即x2
读作“根号a”，a叫做被开方数. 规定：0的算术平方根是0.
x
注：
1.算术平方根是正数。 2. 读作二次根号，简称
P75 1、2题
1 2 3
. 平方
. . 9 10
1
1
4
2
9 算术平方 3
.
根
.
.
.
.
.
81
9
100
10
例1 求下列各数的算术
平方根： 1100
2 49
64
3 0.0001
提示：算术平方根的定义是什么？ 应用定义做题。
(1)解：
因为102 =100
所以100的算术平方根是10，即 100=10;
练结合的方式完成对算术平方根 概念的理解，算术平方根的表 示和算术平方根的解法等三个
部分的学习。
期间穿插着活动游戏，让学生 加深对算术平方根概念的理解 和感知平方与算术平方根互为 逆运算的关系。
（2） 最后用约1—2分钟时 间进行尾声部分，主要是小结 以及布置作业。
以上就是我对本节 课的设计和说明，恳 请大家批评和指正！ 谢谢！
二、目标分析
知识目标：
（1）从问题情境带领学生 认识理解算术平方根的概念，并会 用根号表示数的算术平方根。
（2）通过教学设计让学生 感知求正数的算术平方根与平方运 算的互逆关系。
能力目标：
（1）通过讲练结合，培养学 生处理概念形成和解决问题的能 力。
（2）训练学生动脑，动口， 动手的能力。
情感目标：
（1）让学生积极参与教学活 动，培养他们对数学的好奇心和 求知欲。
（2）分组学习方式，培养 学生与他人沟通交流，分工合作 的能力。
三、教学重难点
重点：正确理解算术平方
根的概念，会用根号表示一个 正数的算术平方根。
难点：算术平方根的概念
的理解与应用。
四、过程分析
（1）用约10分钟时间进行课题 导入和新课讲授。主要是通过讲
Байду номын сангаас
（2）解：
因为
7 8
2
=
49 64
所以 49的算术平方根是 7 ，即 49 = 7 ；
64
8
64 8
（3）解：
因为0.012 =0.0001
所以0.0001的算术平方根是0.01， 即 0.0001=0.01；
这节课我们学了什么？？？
本节课我们学会了算术 平方根的概念、用根号 表示一个正数的算术平 方根、算术平方根的求 法。
数学与统计学院 1001班
义务教育课程标注实验教科书八年级上册
第十三章第一节
说课
说课
教
目
教
过
材
标
学
程
分
分
重
分
析
析
难
析
点
一 、教材分析
1.本节课分2个部分，分别是： 算术平方根的概念，算术平方根 的解法。
2.本节课紧密的衔接以前的乘 方运算，通过这一节的引导，我 们将逐步学习平方根，立方根， 无理数以及实数。算术平方根是 学生进一步顺利，快捷操作开平 方的基础，也是形成学生合理知 识链接的重要环节。
根号。
游戏规则：
卡片分为AB两面，在A面上写着110这十个数字，B面写着他们的平方。
要求：1.两人一组，共同合作。
2.一个同学任意抽出一张卡片， 另一个同学回答卡片上数字的平方或者 算术平方根。（若一方抽出是A面，则 对方回答出它的平方。若是B面则回答 它的算术平方根）。
注：正数的平方与算术平方根互为逆运 算