高三文科数学一轮复习之平面向量

数学讲义之平面向量

【主干内容】

1．⑴ 平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使得 ． ⑵ 设1e 、2e 是一组基底，a ＝2111e y e x +，b ＝2212e y e x +，则a 与b 共线的充要条件是 ．

2．平面向量的坐标表示：分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底，对于一个向量a ，有且只有一对实数x 、y ，使得a ＝x i ＋y j ．我们把(x 、y)叫做向量a 的直角坐标，记作 ．并且|a |＝ ． 3．平面向量的坐标运算：

若a ＝(x 1、y 1)，b ＝(x 2、y 2)，λ∈R，则：

a ＋

b ＝ a －b ＝ λa ＝ 4. 向量的数量积的几何意义：

|b |cosθ叫做向量b 在a 方向上的投影 (θ是向量a 与b 的夹角)．

a ·

b 的几何意义是，数量a ·b 等于 ．

5．向量数量积的运算律：

a ·

b ＝ ； (λa )·b ＝ ＝a ·(λb )；(a ＋b )·

c ＝

总结：

在近几年的高考中，每年都有涉及向量的题目。其中小题以填空题或选择题形式出现，考查了向量的性质和运算法则，数乘、数量积、共线问题与轨迹问题。大题则以向量形式为条件，综合考查了函数、三角、数列、曲线等问题。

【题型分类】

题型一：向量的概念与几何运算

〖例1=，则b a =； ②若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则DC AB =是四边形为平行四边形的充要条件； ③若

c b b a ==,，则c a =； ④b a ==且a ∥b ； ⑤若

a ∥

b ，b ∥

c ，则a ∥c 。 其中，正确命题的序号是____________

答案：②③。

〖例2〗（2011四川）如图1－2，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →

＝( )

图1－2

A ．0

B ． BE →

C ．.A

D → D ．CF →

【解析】 BA →＋CD →＋EF →＝BA →＋AF →－BC →＝BF →－BC →＝CF →

，所以选D.

〖例3〗（2011届杭二模）已知非零向量a ，b 满足|a + b | =|a –b |a |，则a + b 与a –b 的夹角为（ ）

A ．30︒

B ．60︒

C ．120︒

D ．150︒ 答案：B

〖例4〗已知,,,,OA a OB b OC c OD d OE e =====，设t R ∈，如果

3,2,a c b d ==()e t a b =+，那么t 为何值时，,,C D E 三点在一条直线上？

解：由题设知，23,(3)CD d c b a CE e c t a tb =-=-=-=-+，,,C D E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE kCD =，即

(3)32t a tb ka kb -+=-+，

整理得(33)(2)t k a k t b -+=-. ①若,a b 共线，则t 可为任意实数； ②若,a b 不共线，则有33020

t k t k -+=⎧⎨

-=⎩，解之得，6

5t =.

综上，,a b 共线时，则t 可为任意实数；,a b 不共线时，6

5

t =. 【小结】：

1．认识向量的几何特性．对于向量问题一定要结合图形进行研究．向量方法可以解决几何中的证明．

2．注意O 与O 的区别．零向量与任一向量平行．

3．注意平行向量与平行线段的区别．用向量方法证明AB∥CD，需证AB ∥CD ，且AB 与CD 不共线．要证A 、B 、C 三点共线，则证AB ∥AC 即可．

4．向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，特点：首尾相接首尾连；向量减法的三角形法则特点：首首相接连终点．

题型二：平面向量的坐标运算

〖例1〗设a ＝(ksinθ, 1)，b ＝(2－cosθ, 1) (0 <θ<π)，a ∥b ，求证：k≥3．

证明: k ＝θ

θ

sin cos 2- ∴k－3＝

θ

π

θsin )

3cos(22-

-≥0 ∴k≥3

〖例2〗（2011稽阳联考）已知向量b a ,均为单位向量，它们的夹角为︒45，

实数x 、y 满足1||=+b y a x ，则y 的取值范围是 ．

解：由已知，0121||22=-++⇒=+y xy x b y a x ．因关于x 的方程有解，

故⇒≥+-=∆0422

y 22≤

≤-y ．

〖例3〗已知向量a ＝(cos 2α，sin 2α)，b ＝(cos 2β，sin 2β)，|a －b |＝5

5

2，求cos(α－β)的值． 解:|a －b |＝

55222552=--⇒)cos(βα2

cos 2

2552βα--⇒＝55

222552=--⇒)cos(βα ⇒

cos

2

βα-＝53⇒cos(α－β)＝257-

〖例4〗（2011湖南）在边长为1的正三角形ABC 中，设BC →＝2BD →，CA →＝3CE →

，则AD →·BE →

＝________.

【解析】 由题知，D 为BC 中点，E 为CE 三等分点，以BC 所在的直线为x 轴，

以AD 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，可得A ⎝

⎛

⎭⎪⎫0，32，D(0,0)，

B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1

3，36，故AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－32，BE →＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫56，36， 所以AD →·BE →

＝－32×36＝－14

.

〖例5〗在平行四边形ABCD 中，A(1，1)，AB ＝(6，0)，点M 是线段AB 的中

点，线段CM 与BD 交于点P ．

(1) 若AD ＝(3，5)，求点C 的坐标； (2) 当|AB |＝|AD |时，求点P 的轨迹． 解：(1)设点C 的坐标为(x 0，y 0)，

)5,1()5,9()0,6()5,3(00--==+=+=y x DB AD AC

得x 0＝10 y 0＝6 即点C(10，6)

(2) ∵AD AB = ∴点D 的轨迹为(x －1)2

＋(y －1)2

＝

36 (y ≠1) ∵M 为AB 的中点 ∴P 分BD 的比为2

1

设P(x ，y)，由B(7，1) 则D(3x －14，3y －2) ∴点P 的轨迹方程为)1(4)1()5(22≠=-+-y y x