第11章 质点系动能定理——【理论力学课件】
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11第11章质点动力学的基本方程PPT课件
略摩擦及AB质量;λ=r/l 较小时,以O为坐标原点,滑块B的运动方
程近似为
x l( 1 24 ) r [ct o (s 4 )c,试2 o 求t]s
t0和 时2,AB所受的力。
解:以滑块B为研究对象
mxaFcos
yA
O
F
FN
x
由滑块B的运动方程得
a x x r 2 (c to c s2 o t)s
§11-2 动力学的基本定律
牛顿三定律
第一定律(惯性定律) 不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。
包括受平衡力系作用的质点
不受力作用的质点处于静止状态，或保持其原有的 速度(包括大小和方向)不变的性质称为惯性。
第一定律阐述了物体作惯性运动的条件，故称为惯 性定律。
§11-2 动力学的基本定律
从这种意义上说，动力学是理论力学中最具普遍意义 的部分，静力学、运动学则是动力学的特殊情况。
动力学的研究对象：低速、宏观物体的机械运动的普 遍规律。
动力学的力学模型
质点：质点是具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以 忽略不计的物体。 地球绕太阳的公转——质点 刚体的平动——质点
质点系：系统内包含有限或无限个质点，这些质点都具有惯性， 并占据一定的空间；质点之间以不同的方式连接或者 附加以不同的约束。 地球的自转——质点系
刚体：质点系的一种特殊情形——不变形的质点系 其中任意两个质点间的距离保持不变。
工程实际中的动力学问题
v1
F
v2
棒球在被球棒击 打后，其速度的大 小和方向发生了变 化。如果已知这种 变化即可确定球与 棒的相互作用力。
工程实际中的动力学问题 载人飞船的交会与对接
v2 v1
B A
理论力学 第11章 质点运动微分方程
必须指出，牛顿定律中涉及到物体的运动与作用在 物体上的力。显然，物体及其所受的力不因参考系的选 择而改变，但同一物体的运动在不同的参考系中的描述 可能是完全不同的，这就存在着根本性的矛盾。这决定 了牛顿定律不可能适用于一切参考系，而只能适用于某 些参考系。凡牛顿定律成立的参考系，称为惯性参考系。 凡牛顿定律成立的参考系，称为惯性参考系 凡牛顿定律成立的参考系
2 d 2ρ dϕ m 2 −ρ = Fρ dt dt 2 d ρ dϕ d ϕ m 2 + ρ 2 = Fϕ dt dt dt
（11.6）
这就是极坐标形式的质点运动微分方程。
11.3 质点动力学的两类基本问题
应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两 类基本问题。 第一类基本问题 已知质点的运动规律，即已知质点 的运动方程或质点在任意瞬时的速度或加速度，求作用 在质点上的未知力。这一类问题可归结为数学中的微分 问题。 求解该问题比较简单。若已知质点的运动方程，则 只须将它对时间求两次导数即可得到质点的加速度，代 入适当形式的质点运动微分方程，得到一个代数方程组， 求解这个方程组即可得到所求的未知力。
11.1 动力学基本定律
质点动力学的基本定律是牛顿在总结前人特别是伽 利略的研究成果的基础上，1687年在其著作《自然哲学 的数学原理》中提出来的，通常称为牛顿三定律 牛顿三定律。这些 牛顿三定律 定律是动力学的基础。
11.1 动力学基本定律
第一定律 任何质点都保持其静止的或作匀速直线运 动的状态， 动的状态，直到它受到其他物体的作用而被迫改变这 种状态为止。 种状态为止 质点保持静止或匀速直线运动状态的属性称为惯性 惯性， 惯性 质点作匀速直线运动称为惯性运动，因此第一定律又称 惯性运动， 惯性运动 惯性定律。此定律表明：质点必须受到其他物体的作用 惯性定律 时，也就是受到外力的作用时，才会改变其运动状态， 即外力是改变质点运动状态的原因 外力是改变质点运动状态的原因。 外力是改变质点运动状态的原因
2 d 2ρ dϕ m 2 −ρ = Fρ dt dt 2 d ρ dϕ d ϕ m 2 + ρ 2 = Fϕ dt dt dt
（11.6）
这就是极坐标形式的质点运动微分方程。
11.3 质点动力学的两类基本问题
应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两 类基本问题。 第一类基本问题 已知质点的运动规律，即已知质点 的运动方程或质点在任意瞬时的速度或加速度，求作用 在质点上的未知力。这一类问题可归结为数学中的微分 问题。 求解该问题比较简单。若已知质点的运动方程，则 只须将它对时间求两次导数即可得到质点的加速度，代 入适当形式的质点运动微分方程，得到一个代数方程组， 求解这个方程组即可得到所求的未知力。
11.1 动力学基本定律
质点动力学的基本定律是牛顿在总结前人特别是伽 利略的研究成果的基础上，1687年在其著作《自然哲学 的数学原理》中提出来的，通常称为牛顿三定律 牛顿三定律。这些 牛顿三定律 定律是动力学的基础。
11.1 动力学基本定律
第一定律 任何质点都保持其静止的或作匀速直线运 动的状态， 动的状态，直到它受到其他物体的作用而被迫改变这 种状态为止。 种状态为止 质点保持静止或匀速直线运动状态的属性称为惯性 惯性， 惯性 质点作匀速直线运动称为惯性运动，因此第一定律又称 惯性运动， 惯性运动 惯性定律。此定律表明：质点必须受到其他物体的作用 惯性定律 时，也就是受到外力的作用时，才会改变其运动状态， 即外力是改变质点运动状态的原因 外力是改变质点运动状态的原因。 外力是改变质点运动状态的原因
质点和质点系的动能定理.ppt
对于给定两个时刻t1和t2：
△Ek随惯性系的不同而不同
关
系：
Ek p /(2m)
2
4 – 3
质点和质点系的动能定理
例: 一质量为1.0kg 的小球系在长为1.0m 细绳下端 , 绳 的上端固定在天花板上 . 起初把绳子放在与竖直线成 30 角处, 然后放手使小球沿圆弧下落 . 试求绳与竖直线成 10 角时小球的速率 . 解：
（2）由于力和质点间的相对距离不因参照系的改变而改变，
故一对内力做功之和与参考系的选择无关。即成对力的总功具 有与参考系选择无关的不变性质。 为方便起见，计算时可认为其中一个质点静止，将参照 系固定在该质点上：并以该质点所在位置为原点，再计算另 一质点受力所做的功。
4 – 3
（3 ）
质点和质点系的动能定理
—— 有限的过程的动能定理.
即，合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。
Note:
若质点速度接近光速，则动能定理的叙述 不变，但动能表达式改变!
4 – 3
质点和质点系的动能定理
一 质点的动能定理
dv Ft m A F dr Ft dr Ft ds dt v2 v2 dv 1 1 2 2 A m ds mvdv mv2 mv1 v1 v1 dt 2 2
a m
b x
由动能定理有： ( v0= 0 )
a 1 2 mv mgb k ( x a )dx b 2 1 k (b a ) 2 mgb
2 1 k 2 2 v （b a） 2 gb m
4 – 3
质点和质点系的动能定理
例：m=1kg的物体,在坐标原点处从静止出 发沿x 轴运动,合力 F (3 2 x)i (SI), 则在x=0～3m内,合力作功A = ; x=3m处，物体速率v = . 解：
△Ek随惯性系的不同而不同
关
系：
Ek p /(2m)
2
4 – 3
质点和质点系的动能定理
例: 一质量为1.0kg 的小球系在长为1.0m 细绳下端 , 绳 的上端固定在天花板上 . 起初把绳子放在与竖直线成 30 角处, 然后放手使小球沿圆弧下落 . 试求绳与竖直线成 10 角时小球的速率 . 解：
（2）由于力和质点间的相对距离不因参照系的改变而改变，
故一对内力做功之和与参考系的选择无关。即成对力的总功具 有与参考系选择无关的不变性质。 为方便起见，计算时可认为其中一个质点静止，将参照 系固定在该质点上：并以该质点所在位置为原点，再计算另 一质点受力所做的功。
4 – 3
（3 ）
质点和质点系的动能定理
—— 有限的过程的动能定理.
即，合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。
Note:
若质点速度接近光速，则动能定理的叙述 不变，但动能表达式改变!
4 – 3
质点和质点系的动能定理
一 质点的动能定理
dv Ft m A F dr Ft dr Ft ds dt v2 v2 dv 1 1 2 2 A m ds mvdv mv2 mv1 v1 v1 dt 2 2
a m
b x
由动能定理有： ( v0= 0 )
a 1 2 mv mgb k ( x a )dx b 2 1 k (b a ) 2 mgb
2 1 k 2 2 v （b a） 2 gb m
4 – 3
质点和质点系的动能定理
例：m=1kg的物体,在坐标原点处从静止出 发沿x 轴运动,合力 F (3 2 x)i (SI), 则在x=0～3m内,合力作功A = ; x=3m处，物体速率v = . 解：
理论力学质点力学课件
7
五、理论力学的适用范围 1.物体运动的速度远少于光速 2.宏观物体（天体---原子） 作用量=能量x时间>>h=6.602X10^(-34)（JS）
8
参考书
❖ 郭士堃：《理论力学》上、下册 ❖ H.戈德斯坦（美）：经典力学 ❖ 费恩曼 （Feynman)：《物理学讲义.第一卷） ❖ 汪家訸：分析力学 ❖ 理论力学习题集
18
加速a 度 表 x 示i ： y j z k a x i a y j a z k
加速度分量为：
a x x a y y
a z z
加速率表示：
a ax2 a2y az2
19
20
21
y
径向单位矢量：i
横向单位矢量：j （指向极角的 增加方向） rri
v dr drir irdiO
求 v,a, 。
35
例 求平抛物体任一时刻t的轨道曲率半径。
解：如图,平抛物体的运动方程为：
x v0t
y 1 gt2 2
O
v0
则，速率 v x 2y 2v0 2g2t2
•( x, y)
x
切向加速度
dv
g2t
a
dt
v02 g2t2
y
加速度大小 a x2y2 g
由法向加速度
an a2a2 v2
v2an
自然坐标系
s f (t)
从运动方程中消去时间 t，就得到轨迹方程
f(x,y,z)=0。
14
(Displacement, velocity and acceleration)
z
位移 (displacement)：
B
r
r r C
O rA
五、理论力学的适用范围 1.物体运动的速度远少于光速 2.宏观物体（天体---原子） 作用量=能量x时间>>h=6.602X10^(-34)（JS）
8
参考书
❖ 郭士堃：《理论力学》上、下册 ❖ H.戈德斯坦（美）：经典力学 ❖ 费恩曼 （Feynman)：《物理学讲义.第一卷） ❖ 汪家訸：分析力学 ❖ 理论力学习题集
18
加速a 度 表 x 示i ： y j z k a x i a y j a z k
加速度分量为：
a x x a y y
a z z
加速率表示：
a ax2 a2y az2
19
20
21
y
径向单位矢量：i
横向单位矢量：j （指向极角的 增加方向） rri
v dr drir irdiO
求 v,a, 。
35
例 求平抛物体任一时刻t的轨道曲率半径。
解：如图,平抛物体的运动方程为：
x v0t
y 1 gt2 2
O
v0
则，速率 v x 2y 2v0 2g2t2
•( x, y)
x
切向加速度
dv
g2t
a
dt
v02 g2t2
y
加速度大小 a x2y2 g
由法向加速度
an a2a2 v2
v2an
自然坐标系
s f (t)
从运动方程中消去时间 t，就得到轨迹方程
f(x,y,z)=0。
14
(Displacement, velocity and acceleration)
z
位移 (displacement)：
B
r
r r C
O rA
《理论力学》课件 第十一章
第十一章动量定理动量定理、动量矩定理和动能定理统称为动力学普遍定理.§11--1 动量与冲量1、动量的概念：产生的相互作用力⑴定义：质点的质量与速度的乘积称为质点的动量，-----记为mv。
质点的动量是矢量，它的方向与质点速度的方向一致。
kgms/单位)i p v 质点系的动量()i i i i c im r m r r m m ∑∑==∑质心公式：⑵、质点系内各质点动量的矢量和称为质点系的动量。
)idr p v dt ()i i dm r dt∑注意：质量m i是不变的如何进一步简化？参考重心、形心公式。
李禄昌()i i i i c im r m r r m m ∑∑==∑) p r r cm v =质点系的动量等于质心速度与其全部质量的乘积。
求质点系的动量问题转化为求刚体质心问题。
cωv C =0v Ccωcov C2．冲量的概念：tF IF I d d IF d 物体在力的作用下引起的运动变化，不仅与力的大小和方向有关，还与力作用时间的长短有关。
用力与作用时间的乘积来衡量力在这段时间内积累的作用。
冲量是矢量，方向与常力的方向一致。
冲量的单位是N.S 。
§11-2 动量定理—-确定动量与冲量的关系由牛顿第二定律：F v m )F v m d )称为质点动量定理的微分形式，即质点动量的增量v v ~ ⎰==-21d 12t t It F v m v m称为质点动量定理的积分形式，即在某一时间间隔⎰==-21d 12t t It F v m v m 2、质点系的动量定理(F (F外力：，内力：(F (F M FF F v tF F v i i d )(∑+)()(d d d e ie i It F p ∑=∑=)(d d e i F tp ∑=称为质点系动量定理的微分形式，即质点系动量的质点系动量对时间的导数等于作用于质点系的外力的矢量和（主矢）动力学与静力学联系。
)(112e ini Ip p =∑=-p p ~ 称为质点系动量定理的积分形式，即在某一时间)(d d e xx F tp ∑=)(d d e yy Ftp ∑=)(d d e z z F tp ∑=动量定理微分形式的投影式：动量定理积分形式的投影式：)(12e xx x Ip p ∑=-)(12e yy y Ip p ∑=-)(12e zz z Ip p ∑=-动量定理是矢量式，在应用时应取投影形式。
理论力学课件 第十一章动能定理,质点的,以及力的功
∑ ∑ T =
i
1 2
mi
vi2
=
i
1 2
mi
(riω
)2
∑ = 1 ω2 2
i
mi ri 2
=
1 2
JOω 2
11.2 质点和质点系的动能
(3) 平面运动刚体的动能
T
=
1 2
J Pω 2
因为JP＝JC + md 2
d
Cω
P
所以
T
=
1 2
(JC
+
md 2 )ω 2
=
1 2
JCω 2
+
1 2
m(d
⋅ω)2
z2
)
z1 O
x
mg M2 y z2
重力的功等于质点系的总重量与其重心高度差之乘积,重心 降低为正,重心升高为负。
重力的功仅与重心的始末位置有关，而与重心走过的 路径无关。
常见力的功
2) 弹力的功
弹性力的大小与其变
形量δ 成正比。设弹 A1
簧原长为l0 , 则弹力 δ
的功为
1
W12
=
1 2
k (δ12
T = 1 mv2 2
动能是标量，在国际单位制中动能的单位是焦耳(J)。
2. 质点系的动能
质点系内各质点动能的算术和称为质点系的动 能，即
T
=
∑
1 2
mi vi2
11.2 质点和质点系的动能
3、刚体的动能 (1) 平动刚体的动能
T
=
∑
1 2
mi vi2
=
1 2
v2
∑
mi
=
1 2
理论力学课件 动能定理
z m2 m3 C rC O x' x 而
i
mi m1 y
ri
y'
mn
1 2 1 2 T＝ mvC mi vri 2 2
d m v m i ri dt i i 0
质点系的动能，等于系统随质心平移的动能与相 对于质心平移参考系运动的动能之和。
2012年5月3日 Thursday 理论力学CAI 4
第13章
动 能 定 理
动量定理和动量矩定理是用矢量法研究动力学问 题，而动能定理用能量法研究动力学问题。能量法不 仅在机械运动的研究中有重要的应用，而且是沟通机 械运动和其它形式运动的桥梁。动能定理建立了与运 动有关的物理量—动能和作用力的物理量—功之间的 联系，这是一种能量传递的规律。
2012年5月3日 Thursday
Fx =0， Fy =0， Fz =-mg
F mgk
W mgdz mg ( z1 z 2 )
z1 z2
对于质点系
2012年5月3日 Thursday
W mg ( z C 1 z C 2 )
理论力学CAI 11
重力的功与重心运动的高度差成正比，与路径无关。
② 弹性力的功
Jz——刚体对轴的转动惯量
2012年5月3日 Thursday 理论力学CAI 3
z'
柯尼希（Koenig） 定理
质点系动能计算
1 1 T mi vi2 mi (vC vri ) 2 2 2 1 1 2 2 mi vC mi vri mi (vC vri ) 2 2 1 2 1 2 mvC mi vri vC mi vri 2 2 1 2 1 2 mvC mi vri 2 2
质点系的动能定理
故质点系重力的功，等于质点系的重量与其在始末位置 重心的高度差的乘积，而与各质点的运动路径无关。
2．弹性力的功 设弹簧原长为l0，在弹性极限内，弹簧的刚度系数为k（使弹簧 发生单位变形所需的力，单位：N/m），变形后长为r，沿矢径
的单位矢量为
er r / r 则 F k(r l0 )er
M2
d
1 2
mivi
2
δ Wi
d
1 2mivi
2
δWi
即
dT δWi
此即质点系动能定理的微分形式。
将上式沿路径 M1M 2 积分，可得
T2 T1 (Wi )12
此即质点系动能定理的积分形式。即质点系在某段运动过程 中动能的增量，等于作用于质点系的全部力在这段过程中所 作功的和。
3．理想约束及内力作功 理想约束：约束力作功为零的约束。
1．光滑固定面 δW N dr 0 (N dr ) 2．固定铰支座、活动铰支座和向心轴承、固定端
3．刚体沿固定面作纯滚动 4．光滑铰链（中间铰）
δW N dr N 'dr N dr N dr 0
5．不可伸长的绳索、刚性二力杆（不计质量） 绳拉紧时，内部拉力的元功之和恒等于零。
下面考察质点系内力的功 δW F drA F ' drB
解：取系统为研究对象。T1 0
T2
1 2
Q g
v2
1 2
J
2
OA
1 2
J C B2
1 2
Q g
v2
1 2
P 2g
R2
2 A
1 2
3 2
P g
R2B2
v2 (8Q 7P) 16g
(v RA 2RB )
2．弹性力的功 设弹簧原长为l0，在弹性极限内，弹簧的刚度系数为k（使弹簧 发生单位变形所需的力，单位：N/m），变形后长为r，沿矢径
的单位矢量为
er r / r 则 F k(r l0 )er
M2
d
1 2
mivi
2
δ Wi
d
1 2mivi
2
δWi
即
dT δWi
此即质点系动能定理的微分形式。
将上式沿路径 M1M 2 积分，可得
T2 T1 (Wi )12
此即质点系动能定理的积分形式。即质点系在某段运动过程 中动能的增量，等于作用于质点系的全部力在这段过程中所 作功的和。
3．理想约束及内力作功 理想约束：约束力作功为零的约束。
1．光滑固定面 δW N dr 0 (N dr ) 2．固定铰支座、活动铰支座和向心轴承、固定端
3．刚体沿固定面作纯滚动 4．光滑铰链（中间铰）
δW N dr N 'dr N dr N dr 0
5．不可伸长的绳索、刚性二力杆（不计质量） 绳拉紧时，内部拉力的元功之和恒等于零。
下面考察质点系内力的功 δW F drA F ' drB
解：取系统为研究对象。T1 0
T2
1 2
Q g
v2
1 2
J
2
OA
1 2
J C B2
1 2
Q g
v2
1 2
P 2g
R2
2 A
1 2
3 2
P g
R2B2
v2 (8Q 7P) 16g
(v RA 2RB )
质点系的动能定理
图11-15
3．刚体平面运动时的动能
设刚体做平面运动时的角速度为 ，某瞬时刚体的瞬间速度中心为 P，C 为其
质心，如图 11-16 所示。刚体上有一质量为 m 的质点，其速度为 v r ，r 为
质点至瞬时速度中心 P 的距离。刚体的动能可写为
T 1 mv2 1 m(r)2 2 mr2
δWiF
δWiN
或
dT WF WN
（11-30）
式（11-30）就是质点系动能定理的微分形式，即质点系动能的微分等于 作用于系上所有主动力和约束力元功的总和。
若 质 点 系 的 约 束 属 于 约 束 力 的 功 为 零 的 理 想 约 束 ， 则 在 式 （ 11-30 ） 中 WN 0 ，于是有
刚体平动时，同一瞬时刚体上各点的速度都相同，都等于刚体质心C的速
度vC 。因此，刚体平动时的动能可写为
T
1 mv2 2
1 2
mvC2
vC2 2
m
T
1 2
MvC2
（11-24）
式中，M为刚体的质量，即刚体平动时的动能等于刚体的质量与其质心速
度平方乘积的一半。
2．刚体绕定轴转动时的动能
设刚体绕固定轴 Oz 转动，其角速度为 （见图 11-15），则在刚体上任取一 质量为 m 的质点，其动能为 mv2 /2 ，则整个刚体的动能为
JP JC Ma2
式中，a 是刚体质心C至瞬时速度中心P的距离。将上式代入式（11-28），
有
T
1 2
J P 2
1 2
(JC
Ma2 )2
1 2
JC2
1 2
M (a)2
由于 a vC，于是上式可写为
T
理论力学-11-动能定理及其应用ppt课件
M k
其中k为扭簧的刚度系数。当杆从角度θ1转到角度θ 2时所 作的功为 12 12 2 W k dk k 1 2 1 2 1 2 2
11.1 力的功 3、内力的功
内力作功的情形 日常生活中，人的行走和奔跑是腿的肌肉内力作功； 弹簧力作功等等；摩擦力做功损耗能量。 刚体的内力不作功 刚体内任何两点间的距离始终保持不变，所以刚体 的内力所作功之和恒等于零。
11.1 力的功
W F d r F dx + F dy + F dz 12 i i x y z W
M 2 M 2 M 2 M 1 M 1 M 1
由此得到了两个常用的功的表达式: 重力的功 对于质点：
z
M1 z1
F F 0 x y
重力的元功为
F P mg z=
r = k ( r l ) d r 0 r
r0——沿位矢方向的单位矢量 A k 2 2 2 W W r l r l 12 1 0 2 0 A 1 2
1 、 2 ——弹簧在初始位置和最终位置的变形量 。
k 2 2 W （ ） 12 1 2 2
vO O
C*
FN
W F d r F v d t 0 F C C
约束力为无功力的约束称为理想约束
11.1 力的功
总结： 内力不能改变质点系的动量和动量矩，但 它可能改变质点系的能量； 外力能改变质点系的动量和动量矩，但不 一定能改变其能量。
第11章 动能定理及其应用
11.2 质点与质点系的动能
弹性力作的功只与弹簧在初始和终止位置的变形量有关。
称作质点系的动能定理56页PPT
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
1、不要轻言放弃，否则对不起自己。
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯久久不会退去的余香。
称作质点系的动能定理 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。
理论力学课件：动能定理
指标之一,一般机械效率η可由机械设计手册查得。
动能定理
【例12-8】 C618车床的主轴转速n=42r/min时,其切削力
P=14.3kN,若工件直径d=115mm,电动机到主轴的机械效率
η=0.76。求此时电动机的功率为多少?
解 由式(12-12)得切削力P 的功率:
动能定理
12.5 势力场 势能及机械能守恒定理
动能定理
动能定理
12.4 功率 功率方程
1.功率
在单位时间内力所做的功称为功率。它是衡量机器工作
能力的一个重要指标。
δW 是dt时间内力的元功,则功率为
动能定理
由于元功为δW =Ft·ds,因此
即,力的功率等于切向力与力作用点速度的乘积
力矩的元功为δW =M·dφ,则
即,力矩的功率等于力矩与物体转动角速度的乘积。
动能定理
动能定理
12.1 力的功
12.2 质点 质点系的动能
12.3 质点与质点系的动能定理
12.4 功率 功率方程
12.5 势力场 势能及机械能守恒定理
12.6 动力学普遍定理及综合应用
思考题
动能定理
12.1 力 的 功
工程实际中,一物体受力的作用所引起运动状态的变化,
不仅取决于力的大小和方向,而且与物体在力的作用下经过
的功。
动能定理
图12-15
动能定理பைடு நூலகம்
【例12-4】 在图12-16中,为测定摩擦系数f,把矿车置于
斜坡上的A 点处,让其无初速下滑。当它达到B 点时,靠惯性
又往前滑行一段路程,在C 点处停止。求摩擦系数f0,已知S1、
S2 和h。
图12-16
动能定理
动能定理
【例12-8】 C618车床的主轴转速n=42r/min时,其切削力
P=14.3kN,若工件直径d=115mm,电动机到主轴的机械效率
η=0.76。求此时电动机的功率为多少?
解 由式(12-12)得切削力P 的功率:
动能定理
12.5 势力场 势能及机械能守恒定理
动能定理
动能定理
12.4 功率 功率方程
1.功率
在单位时间内力所做的功称为功率。它是衡量机器工作
能力的一个重要指标。
δW 是dt时间内力的元功,则功率为
动能定理
由于元功为δW =Ft·ds,因此
即,力的功率等于切向力与力作用点速度的乘积
力矩的元功为δW =M·dφ,则
即,力矩的功率等于力矩与物体转动角速度的乘积。
动能定理
动能定理
12.1 力的功
12.2 质点 质点系的动能
12.3 质点与质点系的动能定理
12.4 功率 功率方程
12.5 势力场 势能及机械能守恒定理
12.6 动力学普遍定理及综合应用
思考题
动能定理
12.1 力 的 功
工程实际中,一物体受力的作用所引起运动状态的变化,
不仅取决于力的大小和方向,而且与物体在力的作用下经过
的功。
动能定理
图12-15
动能定理பைடு நூலகம்
【例12-4】 在图12-16中,为测定摩擦系数f,把矿车置于
斜坡上的A 点处,让其无初速下滑。当它达到B 点时,靠惯性
又往前滑行一段路程,在C 点处停止。求摩擦系数f0,已知S1、
S2 和h。
图12-16
动能定理
大学物理之质点系的动能定理.ppt
注意
内力可以改变质点系的动能
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
3 – 5 保守力与非保守力 势能
物理学教程 （第二版）
二 质点系的功能原理
质点系动能定理 W ex W in Ek Ek0
W in Wiin Wcin Wnicn
i
非保守 力的功
Wcin ( Epi Epi0 ) Ep Ep0
物理学教程 （第二版）
的相互碰作撞用两. 物体互F相ex接触 时F 间in 极短而互p作i 用C力 较大
i
完全弹性碰撞 两物体碰撞之后， 它们的动能之
和不变 .
Ek Ek1 Ek2 C
非弹性碰撞 由于非保守力的作用 ，两物体碰撞
后，使机械能转换为热能、声能，化学能等其他形式
的能量 .
完全非弹性碰撞 两物体碰撞后,以同一速度运动 .
向相同. 若碰撞是完全弹性的, 求碰撞后的速度 v1和v2.
解 取速度方向为正向，由动
量守恒定律得
m1v10 m2v20 m1v1 m2v2
m1(v10 v1) m2 (v2 v20 )
由机械能守恒定律得
1 2
m1v120
1 2
m2 v220
1 2
m1v12
1 2
m2 v22
碰前
m1
v10
质点系的动量定理：系统所受合外力的冲量等
于系统动量的t增2 F量e
。
xdt
t1
n i 1
mi vi
n mi vi0
i 1
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
3 – 5 保守力与非保守力 势能
物理学教程 （第二版）
二. 质点系动量守恒定律
质点系所受合外力为零，系统总动量守恒。即
理论力学动能定理
作用在平移刚体上的力系的功等于力系向质心简化
的等效力（其力矢为力系的主矢）在质心的位移上所作
的功。
③ 作用在定轴转动刚体上的力的功
作用在定轴转动刚体上的力系的元功为
dW dWi ω M z (Fi )dt M z (Fi )d M z d
作用在定轴转动刚体上的力系的功等于力系向转轴 简化的等效力偶（其力偶矩为力系对转轴的主矩）在刚 体的角位移上所作的功。
drAB
B
drAB // FB
y
drAB可以分解为平行于FB与垂直于FB的两部分，即
drAB drAB // drAB
内力元功之和
dW i FB drAB FB (drAB// drAB ) FBdrAB //
当A、B的距离变化时，内力的元功之和不等于零。
工程中常用的弹簧力的功就是内力的功。设弹簧的
② 作用在平移刚体上的力的功
设力F在质点系上的作用点的速度为v，则在时间dt
内，力F的元功为
dW F dr F vdt
刚体平移时，在任一瞬时刚体上的各点的速度相同， 则作用在刚体上的力系的元功为
dW Fi dri Fi vdt Fi drC FR drC
例如质点系在重力场中各质点的z坐标为 时为零势能点位置，则各质点z坐标为 时的势能为
z10 , z20 ,, zn0
z1 , z2 , , zn
V mi g ( zi zi 0 )
质点系的重力势能可写为
V mg ( zC zC 0 )
(4) 有势力的功
设某个有势力的作用点在质点系的运动过程中，从 点M1到点M2，该力所作的功为W12。若取M0为零势能点， 则从M1到M0和从M2到M0有势力所作的功分别为M1和M2 位置的势能V1和V2。因有势力的功与轨迹形状无关，而 由M1经过M2到达M0时，有势力的功为
的等效力（其力矢为力系的主矢）在质心的位移上所作
的功。
③ 作用在定轴转动刚体上的力的功
作用在定轴转动刚体上的力系的元功为
dW dWi ω M z (Fi )dt M z (Fi )d M z d
作用在定轴转动刚体上的力系的功等于力系向转轴 简化的等效力偶（其力偶矩为力系对转轴的主矩）在刚 体的角位移上所作的功。
drAB
B
drAB // FB
y
drAB可以分解为平行于FB与垂直于FB的两部分，即
drAB drAB // drAB
内力元功之和
dW i FB drAB FB (drAB// drAB ) FBdrAB //
当A、B的距离变化时，内力的元功之和不等于零。
工程中常用的弹簧力的功就是内力的功。设弹簧的
② 作用在平移刚体上的力的功
设力F在质点系上的作用点的速度为v，则在时间dt
内，力F的元功为
dW F dr F vdt
刚体平移时，在任一瞬时刚体上的各点的速度相同， 则作用在刚体上的力系的元功为
dW Fi dri Fi vdt Fi drC FR drC
例如质点系在重力场中各质点的z坐标为 时为零势能点位置，则各质点z坐标为 时的势能为
z10 , z20 ,, zn0
z1 , z2 , , zn
V mi g ( zi zi 0 )
质点系的重力势能可写为
V mg ( zC zC 0 )
(4) 有势力的功
设某个有势力的作用点在质点系的运动过程中，从 点M1到点M2，该力所作的功为W12。若取M0为零势能点， 则从M1到M0和从M2到M0有势力所作的功分别为M1和M2 位置的势能V1和V2。因有势力的功与轨迹形状无关，而 由M1经过M2到达M0时，有势力的功为
质点和质点系的动能定理
由动能定理，有
M
m2 g
sin
r
m2 g
cos
r
1 4
m1
2m2
r 22
得
2 M m2gr(sin f cos )
r
m1 2m2
将上式两边对时间t求导，并注意d/dt=ω，得鼓轮的角加速度为
2[M m2gr(sin f cos )]
r 2 (m1 2m2 )
目录
动能定理\质点和质点系的动能定理 【例8.6】 物块A质量为m1，挂在不可伸长的绳索上,绳索跨过定
T1=0
设物块下滑s=2m时的速度为v，其动能为
T2
1 2
mv2
51v2
在物块由静止到下滑2m 的过程中，
作用于物块上的重力的功为
W1 mg sin s 1000 N
2 2 m 1414 J 2
摩擦力的功为
W2 mg cos f s 1000 N
2 0.1 2 m -141.4 J 2
目录
动能定理\质点和质点系的动能定理
【解】 取鼓轮和重物组成的
质点系为研究对象，其上作用的 外力有：重物的重力m2g，斜面 的法向反力FN，摩擦力Ff，鼓轮 上的力矩M，以及鼓轮的重力和 轴承处的约束反力（图中未画 出）。
开始时，系统处于静止，其动能为
T1=0
设当鼓轮转过角时的角速度为，则重物的速度为 v=r
目录
动能定理\质点和质点系的动能定理 【例8.5】 一不变的力矩M作用在铰车的鼓轮上，轮的半径为r，
质量为m1。缠绕在鼓轮上的绳子系一质量为m2的重物，使其沿倾角
为的斜面上升（如图）。已知重物与斜面间的动摩擦因数为f，绳
子质量不计，鼓轮可视为均质圆柱。在开始时，此系统处于静止。
3.3质点系的动能定理
3.2 3.3质点系的动能定理和机械能守恒 质点系的动能定理和机械能守恒 质点系的动能定理和机械能守恒
3.3.2 一对内力的功 系统内任意二质点1 系统内任意二质点1、2
r int r int 位移d 一对内力 F21 F12 位移dr1
z
dr1
1 •
• • •
dr2
O x
Fint Fint dr2 12
*例3.3-2滑块A置于光滑的水平面上，物体B 3.3- 滑块A置于光滑的水平面上，物体B 放在滑块A 假设滑块A足够长． 放在滑块A上，假设滑块A足够长．现用外力 F拉动A由静止开始运动，则B在A上滑动，A、 拉动A由静止开始运动， 上滑动， 间的滑动摩擦因数为µ． B间的滑动摩擦因数为 ．若B在A上向后相对 滑动的距离为． 的质量分别为m 滑动的距离为．设A、B的质量分别为 A、 mB．求在此过程中A、B间的一对摩擦力所做 求在此过程中A 的功之和为多少？ 的功之和为多少
S-l l F
解：以地面为参考系 设A滑动的距离为S
B A f
3.2 3.3质点系的动能定理和机械能守恒 质点系的动能定理和机械能守恒 质点系的动能定理和机械能守恒
r r A1 = f ⋅ S = fS cos π = − fS
S-l B A
l F
B滑块对地 移动S-l 摩擦力f´做功
f r r (f '= −f) r r r A2 = f ′ ⋅ ( S − l ) = f ( S − l ) cos 0 = f ( S − l )
21 •
2
r1 r2
一对内力的功
r int r r int r r int r r F21 ⋅ d r2 + F12 ⋅ d r1 = F21 ⋅ d(r2 − r1 )
3.3.2 一对内力的功 系统内任意二质点1 系统内任意二质点1、2
r int r int 位移d 一对内力 F21 F12 位移dr1
z
dr1
1 •
• • •
dr2
O x
Fint Fint dr2 12
*例3.3-2滑块A置于光滑的水平面上，物体B 3.3- 滑块A置于光滑的水平面上，物体B 放在滑块A 假设滑块A足够长． 放在滑块A上，假设滑块A足够长．现用外力 F拉动A由静止开始运动，则B在A上滑动，A、 拉动A由静止开始运动， 上滑动， 间的滑动摩擦因数为µ． B间的滑动摩擦因数为 ．若B在A上向后相对 滑动的距离为． 的质量分别为m 滑动的距离为．设A、B的质量分别为 A、 mB．求在此过程中A、B间的一对摩擦力所做 求在此过程中A 的功之和为多少？ 的功之和为多少
S-l l F
解：以地面为参考系 设A滑动的距离为S
B A f
3.2 3.3质点系的动能定理和机械能守恒 质点系的动能定理和机械能守恒 质点系的动能定理和机械能守恒
r r A1 = f ⋅ S = fS cos π = − fS
S-l B A
l F
B滑块对地 移动S-l 摩擦力f´做功
f r r (f '= −f) r r r A2 = f ′ ⋅ ( S − l ) = f ( S − l ) cos 0 = f ( S − l )
21 •
2
r1 r2
一对内力的功
r int r r int r r int r r F21 ⋅ d r2 + F12 ⋅ d r1 = F21 ⋅ d(r2 − r1 )
理论力学11动能定理
F dr Xdx Ydy Zdz)
力 F 在曲线路程 M1M 2 中作功为
M2
M2
W F cosds F ds （自然形式表达式）
M1
M1
M2
F dr
（矢量式）
M1
M2
Xdx Ydy Zdz （直角坐标表达式）
9
M1
三．合力的功
质点M 受n个力 F1,F2 ,,Fn 作用合力为 R Fi 则合力 R
F d (rA rB ) F d (BA)
只要A、B两点间距离保持不变,内力的元功和就等于零。
不变质点系的内力功之和等于零。刚体的内力功之和等于零。
不可伸长的绳索内力功之和等于零。
功的计算公式中力作用点的含义应包括三方面： （1）受力点：受力物体（分析对象）上直接受到力的那个点； （2）加力点：施力物体上加力的那个点，该瞬时与受力点的接触点； （3）力点：力作用点的空间位置。 任何瞬时这三个点都是重合的，但在很多情况下，这三个点具有不同的运 动和轨迹。 功的正确计算： dr 和 v应当为受力点的位移和速度。
即 dT Wi 质点系动能定理的微分形式 将上式沿路径 M1M 2 积分，可得
T2 T1 W 质点系动能定理的积分形式
在理想约束的条件下，质点系的动能定理可写成以下的形式
dT W (F) ; T2 T1 W (F)
5
若将质点系中的受力分为外力、内力，则有外力功和内力功
T2 T1 W12
W12 i
ri 2 ri1
F (e)
i
dri
i
ri 2 ri1
F (i)
i
dri
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⋅
(
mvr )
T
=
1 2
MvC 2
+ TC r
——柯尼希定理
注意：这一结论仅以质心为基点时正确。 12
质点系动能定理
三、刚体的动能
1. 平移刚体
∑ T =
1 2
mv2
=
1 2
MvC2
2. 定轴转动刚体
∑ ∑ T =
1 mv2 = 2
1 m(ωr)2
2
=
1 2
J
zω
2
3. 平面运动刚体T=Fra bibliotek1 2
MvC 2 +
(Fx
d
x
+
Fy
d
y
+
Fz
d z（) 直角坐标形式）
——解析表达式 4
质点系动能定理
三、几种常见力作的功
1. 重力的功 质点
W12 = mg ( z1 − z2 )
质点系
∑ W12 = mg(z1 − z2 )
Fx = 0, Fy = 0, Fz = −mg
= Mg (zC1 − zC 2 )
二、质点系的动能
z
z′
？ ∑ T =
1mv 2 2
=
1 2
Mv
2 C
C y′
rC x′ r′
v m
r
v2 = v ⋅ v = vC2 + vr2 + 2vC ⋅ vr x
O
y
∑ T =
1 2
m(vC2
+
vr2
+
2vC
⋅vr )
v = vC + vr
∑ ∑ =
1 2
Mv
2 C
+
(1 2
mv
2 r
)
+
vC
2
质点系动能定理
§11-1 力的功
——力沿运动路程累积效应的度量
一、常力的功
W = FS cosθ
F
M1 M θ
M2
= F ⋅S
S
• 代数量
θ <π 2 θ =π 2 θ >π 2
W > 0 正功 W =0 W < 0 负功
• 单位：焦耳（J） 1J = 1N⋅1m 3
质点系动能定理
二、变力的功
质点系动能定理
3. 定轴转动刚体上作用力的功
力F 的元功为
dW = F ⋅dr = Ft d s = Ft R dϕ
Q Ft R = M z (F ) = M z
∴ dW = Mz dϕ
当刚体从 ϕ1到ϕ2的转动过程
中力F 所作的功为
∫ W12 =
ϕ2 ϕ1
M
z
dϕ
上式也适用于力偶。 7
质点系动能定理
1 2
JCzω 2
=
1 2
J Pzω 2
13
质点系动能定理
[例11-1] 质量为m1的均质细杆OA绕水平轴O转动，其 另一端有一均质圆盘，可绕A轴转动。已知：OA= l，圆
盘质量为m2 ，半径为 R。初始时两者静止，下落至图示
位置时杆的角速度为ω0 ，求系统的总动能。
解：杆OA作定轴转动，故有
T杆
+
m2lvAθ&cosθ
+
1 2
m2l 2θ&2
可见：质点系重力作功仅与质心运动始、末位置的高度 差有关，而与质心运动路径无关。
5
质点系动能定理
2. 弹性力的功
直线弹簧
FF = k−δk (=rk−(rl0−)lr00)
W12
=
k 2
(δ12
−
δ
2 2
)
——δ1和δ2为弹簧变形量
扭转弹簧
W12
=
k 2
(θ12
−θ22)
可见：弹簧力的功也与运动路径无关。 6
W =0
10
质点系动能定理
§11-2 质点系的动能
一、质点的动能 1 mv 2
2
• 正标量，与速度方向无关； • 量纲与功相同，单位也是焦耳（J）； • 与动量的比较
同： 均是机械运动强弱程度的一种度量； 异： 动能与质点速度平方成正比，为标量；
动量与质点速度一次方成正比，为矢量。
11
质点系动能定理
4. 平面运动刚体上力系的功 刚体上任一力Fi作用点Mi
的无限小位移为
d ri = d rC + d riC
d riC θ Fi
dϕ
Mi
d rC C
式中： d riC = M iC ⋅ dϕ
力Fi 作的元功为
d rC —质心无限小位移
dϕ —刚体无限小转角
dWi = Fi ⋅ d ri = Fi ⋅ d rC + Fi ⋅ d riC
d riC
Fi
dϕ
Mi
d rC C
= FR ⋅ d rC + M C ⋅ d ϕ
作用于刚体上力系作功为
FR —力系主矢 M C—力系对质心主矩
∫ ∫ W12 =
C2 C1
FR
d rC
+
ϕ2 ϕ1
MC
dϕ
力系主矢的功
力系对质心主矩的功
9
质点系动能定理
[思考题]
水平常力FT 作的功?
W = 2FTs
摩擦力Fs作的功?
其中： Fi ⋅ d riC = Fi cosθ ⋅ d riC = Fi cosθ ⋅ MiC ⋅dϕ = M C (Fi ) ⋅ dϕ
8
质点系动能定理
dWi = Fi ⋅ d rC + M C (Fi ) ⋅ dϕ
∑ 力系元功：dW = dWi ∑ ∑ = Fi ⋅ d rC + M C (Fi ) ⋅ dϕ
=
1 2
(
1 3
m1l
2
)ω02
由盘相对于质心的动量矩
O
ω0
A A
定理，可知盘作平移，故有 ωA = ?
T盘
=
1 2
m2vA2
=
1 2
m2
(ω
0l
)
2
T系统 = T杆 + T盘
14
质点系动能定理
[例11-2] 已知滑块A的质量为 m1，质点B的质量为m2 ， 杆AB长度为 l ，质量不计，可绕A点转动，且与铅垂线
TA
=
1 2
m1vA2
vBx = vA + lθ& cosθ
vBy = vBA sinθ = lθ& sinθ
A
vA
θ
l
v BA
TB
=
1 2
m2vB 2
=
1 2
m2
(vBx
2
+ vBy2 )
B vA
[ ] =
1 2
m2
(vA
+
lθ&cosθ
)2
+
(lθ&sinθ
)2
T杆 = ?
=
1 2
m2 v A 2
夹角为θ ，滑块A速度为vA。
求：系统的动能。
A
vA
解： 滑块 A作直线平移，有
TA
=
1 2
m1vA2
杆AB作平面运动，以 A
为基点，则B点速度为
vB = v A + vBA vBA = lω = lθ&
θ
l
v BA
B vA
vBx = vA + vBA cosθ
= vA + lθ& cosθ
15
质点系动能定理
元功：dW = F cosθ d s = Ft d s
= F ⋅dr
= Fx d x + Fy d y + Fz d z
变力的功：（在曲线路程M1M2上）
∫ ∫ ∫ W =
dW =
s2 F cosθ d s =
s1
s2 s1
Ft
d
s（自然形式）
∫= M 2 F ⋅ d r （矢量形式） M1
∫=
M2 M1
质点系动能定理
基 础 部 分 —— 动 力 学
第 11 章 质点系动能定理
2015年12月9日
1
质点系动能定理
第11章 质点系动能定理
§11-1 力的功 §11-2 质点系的动能 §11-3 质点系动能定理 §11-4 势能 · 机械能守恒定律 §11-5 动力学普遍定理综合应用 §11-6 本章讨论与小结