初中数学几何直观培养

初中生几何直观能力培养的有效途径

在教学活动中，一些教师懒得画图、不想演示、 不愿操作等等，教师认识不到该能力培养的重 要性，缺乏运用几何直观分析问题的意识，便 捕捉不到教学中培养学生几何直观能力的机会， 更谈不上对学生几何直观能力的培养.因此， 提升教师这些方面的意识是培养初中生几何直 观能力最有效的途径.
培养和发展学生几何直观能力的实践

要注意观察与思考并重 直观洞察力的产生要依赖于对几何图形全面及 本质的把握．没有观察就没有发现，更不会有 创造．但观察必须与思考相结合，没有思考的 观察就不是真正意义的观察．
培养和发展学生几何直观能力的实践


用“图”说话，培养学生用“图形语言”来 思考问题的能力 希尔伯特在《直观几何》中曾谈到：“图形 可以帮助刻画和描述问题，一旦用图形把一 个问题描述清楚，就有可能使这个问题变得 直观、简单．”用图形“说话”，用图形描 述问题，用图形讨论问题，这是一种基本的 数学素质．
初中生几何直观能力培养的有效途径

提升教师意识，注入动力 例如：一位教师评讲北师大版七年级上册第一 章丰富的图形世界习题1.6中的一道题.问题是： 一个小正方体的六面分别标有字母A、B、C、 D、E、F.如图1是从不同方向看到的情形，你 能说出A、B、E对面分别是什么字母吗？你是 怎样判断的？ B C D
几何直观的含义及表现形式
整式的乘除 一元二次方程的基本概念 直角坐标系与点的位置 已知变量的值求函数值 基本函数的概念与性质 特殊三角函数 圆 点的坐标等等
几何直观的含义及表现形式

实物直观
符号直观


图形直观
和替代物直观
几何直观和其他概念的比较
几何直观与数形结合
几何直观与直观几何 几何直观与空间观念


利用图形来记忆基础知识 几何的很多定理、公理、定义等学生很难记 清楚，通过指导学生利用图形来记忆就比较容 易解决问题，同时也培养了学生用图形的意识。 函数中的性质对于学生来说，也相当难以记 住，而且也相当容易混淆它们之间的关系。利 用指数函数与对数函数的图象比较形象直观理 解与记忆了它们的性质。



几何直观和其他概念的比较

几何直观与数形结合
几何直观的内涵最重要之处是“直接感知” 数形结合是“以形助数”，


几何直观和其他概念的比较


几何直观与直观几何 直观几何是几何学的形态之一，也是一种几何 学习的方法 几何直观则是一种解决数学问题的思维方式， 是一种能力.
几何直观和其他概念的比较
培养和发展学生几何直观能力的实践
例 4 [2012·十堰 ] 阅读材料：例：说明代数式 x2＋1 ＋
x－32＋4的几何意义，并求它的最小值． 解 ：
x2＋1 ＋
x－3 ＋4 ＝
2
x－0 ＋1 ＋
2
2
x－32＋22，如图 X9－4，建立平面直角坐标系，点 P(x,0) 是 x 轴上一点，则 x－02＋12可以看成点 P 与点 A(0,1)的距 离， x－3 ＋2 可以看成点 P 与点 B(3,2)的距离，所以原代 数式的值可以看成线段 PA 与 PB 长度之和，它的最小值就是 PA＋ PB 的最小值．
培养和发展学生几何直观能力的实践

打扎实学生的知识基础尤其是图形知识这一块。 扎实的基础是产生直觉的源泉，若没有深 厚的功底，是不会迸发出直觉思维的火花，也 就提高不了学生的直观洞察能力。
培养和发展学生几何直观能力的实践

重视直观图形与数学符号的合情转换。如在学 生学习正比例函数图像时，先引导学生用“描 点法”画出一幅表示正比例函数的图像，
初中数学教学中几何直观能力的培养
初中部 刘彩艳 2014年8月28日
序

《义务教育数学课程标准(2011年版)》中指出：
“在数学课程中,应当注重发展学生的数感、 符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观 念、运算能力、推理能力和模型思想．”
序

几何直观正成为数学教学研究中生动的、不断
增长的而且迷人的课题.
培养和发展学生几何直观能力的实践

重视图感训练，培养学生的读图、作图能力 几何直观在本质上是一种通过图形所展开想 象的能力，它与许多重要的数学内容紧密相 连．因此，我们在教学中应重视学生“图感” 的训练．在日常的教学中，要帮助学生从小 养成良好的画图习惯．如直线公理的理解， 探索平面内的n个点，可以画多少条线段，通 过点的位置不断变化，发现重要的结论：平 面内有n个点，可以画条线段，与点的位置无 关，只与点的数量有关。
培养和发展学生几何直观能力的实践


培养和发展学生几何直观能力的误区 为了直观而直观 要注意误差的干扰 要注意直观背后的的数学理性
培养和发展学生几何直观能力的实践

美国魔术师保罗· 卡瑞曾经提出这样的一个问 题：如图 5是正文形可以按图中标出名字的数 据分割成五块几何图形，剪开后重新拼接成图 6，奇怪，怎么又多出了一个洞！这次斜线处 并无重合，少掉的一个单位面积哪里去了呢？
几何直观的含义及表现形式

“几何直观是借助于见到的或想到的几何图形
的形象关系，产生对数量关系的直接感知.”
-------徐利治
几何直观的含义及表现形式

也有学者这么描述：“几何直观是一种思维活
动，是人脑对客观事物及其关系的一种直接的 识别或猜想的心理状态.”
几何直观的含义及表现形式



几何直观是一种运用图形认识事物的能力，或 者说是一种解决数学问题的思维方式. 这种能力可外化为一种在解决某些数学问题时 的方法，这种方法区别于其他方法的典型特征 在于它是以几何图形为工具的——即“几何” 两字的意义. 用这种方法解决问题，不是运用几何中常用的 论证方法，而是通过经验、观察、想象等途径， 直观地感知问题的结果或方向——即“直观” 两字的意义.
培养和发展学生几何直观能力的实践

重视数与形的结合。比如不等式组的解法，借 助数轴可以很直观的得出结论。二次不等式问 题，没有坐标系也很难掌握其解法。在认真的 审题的基础上，通过出示直观图，巧妙借助几 何直观，
培养和发展学生几何直观能力的实践

重视解题教学。教学中选择适当的题目类型， 有利于培养、考察学生的直观洞察力。例如选 择题，由于只要求从四个选择支中挑选出来， 省略解题过程，容许合理的猜想，有利于直观 思维的发展，实施开放性问题教学，也是培养 直观洞察力的有效方法。
几何直观与空间观念
空间观念是几何教学领域中的一个专用名词， 是几何教学的一个重要目标. 几何直观却并非是限于几何领域内的一个名词， 它尽管是借助了几何，但却跳出了几何，适用 到了更宽广的领域.


培养和发展学生几何直观能力的实践

我国著名的数学家华罗庚说：“形缺数时难入 微，数缺形时少直观” ．几何直观是揭示现 代数学本质的有力工具，要培养和发展学生的 几何直观，需要依托具体的数学课程教学内容， 需要具体落实在课程内容、课堂教学细节之 中．
培养和发展学生几何直观能力的实践


重视三种几何语言的转化，培养学生用图形 说话的能力 几何语言的基本形式有：图形语言、文字语 言、符号语言．这三种语言在几何中是并存 的，通常又是相互渗透和转化的．
培养和发展学生几何直观能力的实践
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重视数形结合，培养学生用“图形”思考问 题 数形结合是研究数学和数学教学中的重要思 维原则之一．几何直观与数学的内容紧密相 连．一些重要的数学内容、概念，
序

正如荷兰数学家弗莱登塔尔所说：“几何直观
能告诉我们什么是可能重要、可能有意义和可
接近的，并使我们在课题、概念与方法的荒漠
之中免于陷入歧途之苦．”
序

在初中数学课堂教学中，充分利用几何直观来 揭示研究对象的性质和关系，使学生认识几何 直观在数学学习中的意义和作用，创造出属于 自己的学习方式，这是初中数学几何直观教学 的核心所在．那么，如何理解几何直观？特别 是在初中数学教学中，如何渗透几何直观的意 识和能力呢？
培养和发展学生几何直观能力的实践

重视图景体验，培养学生的空间想象能力 观察与思考并重，培养学生的直观洞察能力 用“图”说话，培养学生用“图形语言”来 思考问题的能力
培养和发展学生几何直观能力的实践

重视图景体验，培养学生的空间想象能力 中学数学中的空间想象能力主要是指：学生对 客观事物的空间形式进行观察、分析、抽象思 考和创新的能力．初中学生往往缺乏生活经验， 因而对几何图形缺少直观，缺少体验．
培养和发展学生几何直观能力的实践



图5中的斜线并不是严格在交叉点上，在分隔 点上依次是2、12/7、10/7、8/7、6/7、4/7、 2/7 所以图6的正方形的长度应该是2+(66/7)=2+36/7=7+1/7，而不是7 所以图6的面积就是7×(7+1/7)=50，多出来的 面积就是这样出来的。
培养和发展学生几何直观能力的实践

要重视学生基础知识的训练 扎实的基础知识是产生直觉的源泉，没有深 厚的功底，是不会迸发出直觉的思维，也就 无法提高学生的直观洞察力．
培养和发展学生几何直观能力的实践

要注重事实引导学生进行合理猜想 真正的科学探究应是建立在思维的逻辑性和科 学基础上的有效探究．而有效探究的实施前提 是必须建立在提出符合逻辑性和科学性的合理 猜想的基础之上．
培养和发展学生几何直观能力的实践

重视图景体验，培养学生的空间想象能力 进行表象积累，增强感性认识、 比如：关于投影的教学．中心投影、平行投 影这些概念和学生的生活实际
培养和发展学生几何直观能力的实践

构建操作实验，获得感官经验 要注重引导学生参与到课堂学习中，在活动 中探究，在探究中获得认知、感受和体 会．老师还必须引导学生自己进行独立的操 作实验活动，让他们去比一比、折一折、剪 一剪、拼一拼、画一画．通过视觉、触觉、 听觉等多种分析器官共同参与的操作活动， 验证一些原有的猜想或者产生一些新的发 现．这种“直观”比老师的说教有效得多．
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培养和发展学生几何直观能力的实践
培养和发展学生几何直观能力的实践


分析：这道题如果用代数方法解决相当思想困 难，但我们可以用几何的方法把这道题直观表 示出来． 点评：这样我们就将数学语言与直观的几何图 形结合了起来．在应用转化策略解决问题的同 时，巧妙借用几何直观，把复杂的问题转化成 简单的问题，可以培养学生初步的几何直观能 力．
a
b
图5


几何直观的含义及表现形式
几何直观和其他概念的比较


培养和发展学生几何直观能力的实践
初中生几何直观能力培养的有效途径
几何直观的含义及表现形式

《标准》指出：“几何直观主要是指利用图形
描述和分析问题.借助几何直观可以把复杂的 数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问 题的思路，预测结果.几何直观可以帮助学生 直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发 挥着重要作用.”
培养和发展学生几何直观能力的实践

适当运用多媒体演示，拓展空间想象能力 多媒体演示形象具体，声色兼备，动静结合， 恰当地运用，可能变抽象为具体，调动学生 各种感官协同作用，拓展学生的空间想象能 力．
培养和发展学生几何直观能力的实践

观察与思考并重，培养学生的直观洞察能力 几何学习中，学生的直观洞察能力非常重要， 这种能力实质上是对几何图形及其结构、关 系的想象和判断．类似于猜想，主要表现为 灵感和顿悟．
A E E B A F 图1
初中生几何直观能力培养的有效途径

该教师是这样处理的，先找出与A相邻的四个 字母B、D、E、F，剩下的C就是与A相对的面 的字母，再找另外两个答案，结束后又让学生 练习了一道相关的习题.但是学生理解得不好， 原因是他们的空间想像能力还比较差，不易接 受.其实，教师可以随手把讲桌上的粉笔盒当 作正方体，让学生按照图中的标注在各个面上 写上相应的字母，问题便迎刃而解. 这充分说 明学情的了解对培养学生几何直观能力的重要 性.
培养和发展学生几何直观能力的实践


例如图是某蓄水池的横断面示意图，分为深水 池和浅水池，如果这个蓄水池以固定的流量注 水，下面能大致表示水的最大深度h与时间t之 间的关系的图象是（ ） 根据题意和图形的形状，可知水的最大深度h 与时间t之间的关系分为两段，先快后慢． 故选C．
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