第二章(2)冲激响应和阶跃响应

( n) ( n1)
如果特征根均为单根, 如果特征根均为单根,则其冲激响应为
h( t ) = ( ∑ C i e λ i t ) ε ( t )
i =1 n
C i由初始值确定. 由初始值确定.
2,若微分方程为 , y ( n ) ( t ) + a n 1 y ( n 1) ( t ) + + a 0 y ( t )
'' y1 ( t
y1(t )
它满足方程: 它满足方程:
)+
' 5 y1 ( t
) + 6 y1 ( t ) = f ( t )
设其冲激响应为 h1 (t ) 则:
h( t ) = h ( t ) + 2h ( t ) + 3h1 ( t )
'' 1 ' 1
求 h1 (t )
' ' h1' ( t ) + 5h1 ( t ) + 6h1 ( t ) = δ ( t ) ∵ ' h1 (0 ) = h1 (0 ) = 0 由上例得, 由上例得,
y1 ( t ) + a n 1 y1
(n)
( n 1)
( t ) + + a 0 y1 ( t ) = f ( t )
(2)设其冲激响应为 h1 (t ) 根据系统零状态响 ) 应的线性性质和微分性质 线性性质和微分性质, 应的线性性质和微分性质,可得冲激响应
h(t ) = b h (t ) + b h
( m) m 1
( m1) m1 1
(t ) + + b0h1 (t )
例2.2-2:描述系统的微分方程为: :描述系统的微分方程为:
y ( t ) + 5 y ( t ) + 6 y( t ) = f ( t ) + 2 f ( t ) + 3 f ( t )
'' ' '' '
求其冲激响应 h(t ) . 解:设新变量
由于等号右端只含有 ε (t ),故 g(t) 及其直到 n-1 阶导数均连续, 阶导数均连续,即有
g (0+) = g (0) =0, j =0,1, 2,n1 ,
( j) ( j)
若方程的特征根均为单根, 若方程的特征根均为单根,则 n 1 λi t g( t ) = ( ∑ C i e + ) ε ( t ) a0 i =1 式中1/a0为特解,待定系数 i由0+初始值确定. 为特解,待定系数C 初始值确定. 式中 2. 若n阶微分方程的等号右端含有激励 及 阶微分方程的等号右端含有激励f(t)及 阶微分方程的等号右端含有激励 其各阶导数,根据系统零状态响应的线性性质 其各阶导数,根据系统零状态响应的线性性质 和微分性质, 和微分性质,可求得阶跃响应 .
(2)求阶跃响应 ) y '' ( t ) + 3 y ' ( t ) + 2 y( t ) = f ' ( t ) + 2 f ( t ) 它满足方程: 设新变量 y1(t ) 它满足方程:
'' 1 ' 1
y ( t ) + 3 y ( t ) + 2 y1 ( t ) = f ( t ) ' 设其阶跃响应为 g1 (t ) 则: g( t ) = g1( t ) + 2g1( t )
1 + 2
t 1 2t 1 ∴ g1 (t ) = e + e + ε (t ) 2 2
∵ g (t ) = (e e ) ε (t )
' 1 t ' 1 2t
∴ g(t ) = g (t ) + 2g1 (t ) 1 2t 1 t 2t = 2(e + e + ) ε (t ) (e e ) ε (t ) 2 2 t 2t = (3e + 2e + 1) ε (t )
' ' g1' ( t ) + 3 g1 ( t ) + 2 g1 ( t ) = ε (t ) ∵ ' g1 (0 ) = g1 (0 ) = 0
∴ g1 (t ) = C1e + C 2 e
t
' ∵ g1 (0 + ) = g1 (0 + ) = 0
2t
C 1 = 1 ∴ 1 C 2 = 2
δ (t ) δ (t ) 0 t 图 2.2 -1 冲激响应示意图 {x( 0 )} = {0}
线性非时 变系统 h (t )
h (t )
0 t
例2.2-1:设描述二阶 :设描述二阶LTI系统的微分方程为 系统的微分方程为
y '' ( t ) + 5 y ' ( t ) + 6 y( t ) = f ( t ) 求其冲激响应 h ( t ) .
∴h( t ) = e
(
2t
e
3t
)ε ( t )
一般而言, , 一般而言,1,若n阶微分方程的等号右端只含激 阶微分方程的等号右端只含激 励 f (t ) ,即若 y ( n ) ( t ) + a n 1 y ( n 1) ( t ) + + a0 y ( t ) = f ( t )
h (t ) + an1h (t ) + + a0h(t ) = δ (t ) 则有 h( j ) (0 ) = 0 j = 0,1,, n 1 h( j ) (0+ ) = 0 j = 0,1,, n 2 ( n1) h (0+ ) = 1
'' 1 ' 1 2 t
二,阶跃响应 一个LTI系统,当其初始状态为零,输入为单位 系统,当其初始状态为零, 一个 系统 阶跃函数时所引起的响应,称为单位阶跃响应, 阶跃函数时所引起的响应,称为单位阶跃响应, 简称阶跃响应 阶跃响应. 表示. 简称阶跃响应.用g(t)表示.阶跃响应是 表示 时,系统的零状态响应. 系统的零状态响应.
例2.2-3:如图所示系统,求其阶跃响应. :如图所示系统,求其阶跃响应.
1
f (t ) +
x (t )
"
∑
∫
3
x (t )
'
∫
2
x (t ) 2+
∑
y (t )
解:(1)先列系统的微分方程 )
x '' ( t ) + 3 x ' ( t ) + 2 x ( t ) = f ( t ) ' y( t ) = x ( t ) + 2 x( t ) '' ' ' ∴ y ( t ) + 3 y ( t ) + 2 y( t ) = f ( t ) + 2 f ( t )
1.若n阶微分方程等号右端只含激励 若 阶微分方程等号右端只含激励 阶微分方程等号右端只含激励f(t),当 当
f (t ) = ε (t )时,系统的零状态响应 系统的零状态响应g(t)满足方程: 满足方程: 满足方程
g ( n ) ( t ) + a n 1 g ( n 1) ( t ) + + a 0 g ( t ) = ε ( t ) ( j) g (0 ) = 0 j = 0,1, 2, , n 1
解: 当f ( t ) = δ ( t )时,h( t )满足
h'' ( t ) + 5 h' ( t ) + 6 h ( t ) = δ ( t ) ' h ( 0 ) = h( 0 ) = 0
可见 h(0+ ) = h(0 ) = 0 而 h (t Fra Baidu bibliotek在
'
t = 0有跃变. 有跃变.
逐项积分, 对 h(t ) 的微分方程从 0 到 0+逐项积分,得
h (0+ ) h (0 ) = 1
' '
∴h (0+ ) = 1
'
h(0+ ) = 0 ' h (0+ ) = 1
微分方程的特征根为 λ 1 = 2,λ 2 = 3 故
h( t ) = C 1e 2 t + C 2 e 3 t
确定系数: 确定系数: h(0+ ) = C1 + C2 = 0
C 1 = 1 ' C 2 = 1 h (0+ ) = 2C1 3C2 = 1
复习
1,微分方程的经典求解法 2,初始值的计算 3,零输入响应和零状态响应的求解
2.2
冲激响应和阶跃响应
一,冲激响应 初始状态为零, 一个LTI系统,当其初始状态为零,输入为单 系统,当其初始状态为零 一个 系统 位冲激函数 δ (t )时所引起的响应,简称为冲激响应 时所引起的响应,简称为冲激响应 表示, 时的零状 .用 h(t )表示,即冲激响应为激励为 δ (t ) 时的零状 态响应. 态响应.
h1 ( t ) = ( e
' h1 ( t
2t
e
2t
3t
)ε ( t )
3t
) = ( 2 e
+ 3e
)ε ( t )
' h1' ( t ) = δ ( t ) + ( 4 e 2 t 9 e 3t )ε ( t )
∴ h( t ) = h ( t ) + 2h ( t ) + 3h1 ( t ) 3 t = δ (t ) + (3e 6e ) ε (t )
冲激响应 h(t ) 与阶跃响应 g (t ) 的关系
dε ( t ) δ ( t ) = dt ∵ ε ( t ) = t δ ( x )dx ∫ ∞
同一系统的阶跃响应和 冲激响应的关系为 : dg ( t ) h( t ) = dt g ( t ) = t h( x )dx ∫ ∞
t
本节小结
1,冲激响应的求解 , 零状态响应 2,阶跃响应的求解 ,
�
= bm f ( m ) ( t ) + bm 1 f ( m 1 ) ( t ) + + b0 f ( t )
求冲激响应可分两步( ) 求冲激响应可分两步(1)选新变量 y1 ( t ) 使它 , 满足的微分方程为左端与上式相同, 满足的微分方程为左端与上式相同 , 而右端只 含 f (t ), 即满足方程