曲线与方程的教学反思

“曲线与方程”的教学反思

上海曹杨二中桂思铭（200062）

一、对教学设计的再思考

本内容包含“曲线与方程”和“求曲线的方程”。前一小节引入“曲线的方程”和“方程的曲线”概念,并通过概念的简单应用，使学生初步理解概念；后一小节给出求轨迹方程的一般步骤和方法，通过求轨迹方程帮助学生进一步理解、掌握曲线方程的概念.

在先前的教学设计中，主要考虑贯彻教材编写意图问题，注重利用学生在学习“直线的方程”“圆的方程”中建立的已有经验，通过适当的问题引导学生学习，这样的安排充分注意了学生已有的认知基础，有利于学生主动构建概念。我认为这样的设计对学生理解概念、发展能力都有积极意义，但做好这一点必须有充足的时间让学生进行归纳、思考、总结. 从实际的教学情况来看,在概念的引入上是比较成功的,学生在课堂中的表现和教学设计的预设比较一致,这是设计中值得肯定的一面.

先前的设计的不足主要是没有充分重视轨迹方程的求解过程.要完整地体现教材的编写意图,在重视概念形成发展过程的同时还需要重视习题内容的处理.我们来看教材中的一个习题(37页练习3):

如图,已知点的坐标是,过点的直线与轴交于点,过点与直线垂直的直

线与轴交于点.设点是线段的中点，求点的轨迹方程.

这个问题的解答途径主要有两种:

（1）用和有公共的斜边这一特性,得出点到定点及的距离相同,得出所求的轨迹就是线段的垂直平分线,因此可以利用例2的方法来求解;

（2）引入一个参数,设直线的斜率为,然后根据已有的知识将点的坐标用来表示,最后消去参数.

这两种方法学生都比较陌生,前一种解法的“平面几何味道”很浓,有一个转化的过程;后一种解法主要是用参数方程的思想,学生没有接触过,没有可以模仿的例题,独立解决有困难,需要教师的铺垫与归纳.

同样，学生独立完成教科书上的习题也有一定的难度。因此，课堂教学中，通过例题有效地帮助学生体会到“曲线与方程”中蕴含的数学思想和方法是非常重要的任务.

鉴于上述分析,应将求轨迹方程的方法列入教学的重点和难点,但一个课时无法完成教学任务，需要增加一个课时.

二、对教学设计的调整

基于上面的思考，现将教学设计作一个调整，将本节内容改成两节课完成，两节课的内容安排如下：

第一课 2.1.1曲线与方程的全部内容加上2.1.1求曲线的方程例2;

第二课 例3结合作业分析,归纳几种主要的求轨迹方程的方法.

下面是修改后的教学设计:

(1) 课前预习

在上课前一天布置学生复习回顾下列内容，并思考：从中可以归结出哪些观点？

片断1 数学2第三章中直线与方程的章头语：

……通过代数运算研究几何图形性质的方法，它是解析几何中最基本的研究方法。

……建立直线方程.然后通过方程,研究直线的有关性质…….

片断2 第四章 圆与方程的章头语

……建立圆的方程.通过圆的方程,研究直线与圆、圆与圆的位置关系.

片断3 数学2中第97页的思考栏目

（1）平面直角系中的每一条直线都可以用一个关于、的二元一次方程来表示吗？

（2）每一个关于、的二元一次方程都能表示一条直线吗？

(二)概念导入

1．通过投影呈现上述片断，让学生回答从中可以得出哪些主要信息?

(从上述片断中可以提炼出观点:①解析几何主要是通过方程来研究几何问题;②二元一次方程和直线间具有一一对应关系;③片断3也提供了建立方程和曲线联系的途径;④更一般的,可以先建立曲线的方程，通

过方程来研究曲线的几何性质.)

2.指出今天我们要学习的内容,板书标题 “曲线与方程”。

3.为了帮助学生给曲线的方程下定义,进一步提供以下问题:

(1)写出表示下列图形(实线部分)的方程：

(i) (ii)

(2)作下列方程所表示的图形：

(i); (ii).

(通过具体问题体会“纯粹性”和“完备性”。教学中可根据学生的回答情况，通过追问的方式，在上述两点上帮助学生深入理解。)

4.结合对前面问题的观察分析,请学生给曲线的方程下个定义：

一般地,在直角坐标系中,如果某曲线(看作点的集合或某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系:

(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解;

(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.

5.证明与两条坐标轴的距离的积是常数的点的轨迹方程是.

(1)先用信息技术展示“与两条坐标轴的距离的积是常数的点的轨迹”，再引导学生分析，明确解题任务——要证明轨迹方程为，就是要证明两个命题：轨迹上的点的坐标满足方程，并且方程的解为坐标的点都在轨迹上;

(2)教师展示证明过程,帮助学生规范证明的书写,体会解题过程.

(三)求曲线的方程

1.对什么是求曲线的方程作简单讲解(结合前面的问题来讲解,明确求曲线的方程是要做什么工作，要注意哪些问题)。

2.通过投影显示例2的内容,请学生阅读例2,学习解题的方法(这里将直线看作点的轨迹), 并对照例2的解题步骤,写出求曲线方程的一般步骤.

(四)巩固练习

1.完成教科书第37页上的练习1.2,请学生谈谈这两个题主要帮助自己加深了对哪些问题的认识?

2.阅读37页上的练习3,教师用几何软件作轨迹图形(线段的垂直平分线)然后帮助学生形成解题的方法.

(设计说明：前面已分析了学生解这个问题的困难所在,先用软件作图的目的在于启发学生的思维,帮助学生形成解题策略,有了轨迹可以启发学生用平面几何的知识将问题进行转化,同时也可以对解题中为什么要引入参数,如何引入参数作一些必要的说明,让学生掌握解题的方法。)

目标检测还是延用原来的内容.

家庭作业 习题2.1 的A组习题,再补充一个习题：

已知在长为线段上有一个动点,以、为边在的同一侧作等边三角形、,建立适当的坐标系,求线段的中点的轨迹方程.

(这个习题的目的是要求学生体会解析法的思想,体会运用参数求轨迹方程的方法。)

三、对教学设计中“问题串”的思考

本课题在前期研究中确定，教学设计以问题串的形式进行，这种做法的实际意义在于：便于课题组成员之间相互借鉴,同时能促进设计者更好地思考、把握好教学的细节，在课后也便于总结回顾和修改.经过较长时间的对“问题串”设计的思考，我认为“问题串”可以有“串联”和“并联”两种模式：