高中数学必修2立体几何专题-线面垂直专题典型例题精选精讲

线面垂直的证明中的找线技巧

◆

通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直

１ 如图1，在正方体1111ABCD A B C D -

中，M 为1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：1A O ⊥平面M ＢＤ．

证明:连结MO ,1A M

，∵DB ⊥

1A A ，ＤB ⊥AC ，1A A

AC A =,

∴DB ⊥平面

11A ACC ，而1

AO ⊂平面11A ACC ∴ＤB ⊥1A O . 设正方体棱长为a ,则22132A O a =，2

234MO a =.

在Ｒt △11A C M 中，2

21

94

A M a =．∵22211A O MO A M +=,∴1

AO OM ⊥． ∵OM ∩DB =Ｏ，∴ 1A O ⊥平面MBD ． 评注:在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明．

◆

利用面面垂直寻求线面垂直

2 如图2,P 是△ABC 所在平面外的一点，且PA ⊥平面ABC ，平面PAC ⊥平面PBC .求证:ＢC ⊥平面PAC .

证明:在平面ＰAC 内作AD ⊥ＰＣ交ＰC 于Ｄ.

因为平面ＰＡC ⊥平面PB Ｃ，且两平面交于P Ｃ,

AD ⊂平面P ＡC ,且AD ⊥PC , 由面面垂直的性质，得AD ⊥平面PB Ｃ. 又∵

BC ⊂平面ＰBC ，∴AD ⊥B Ｃ.

∵PA ⊥平面AB Ｃ，BC ⊂平面AB Ｃ,∴P Ａ⊥ＢC .

∵AD ∩PA =A ,∴BC ⊥平面ＰA Ｃ.

(另外还可证BC 分别与相交直线AD ，AC 垂直，从而得到BC ⊥平面PA Ｃ）．

评注：已知条件是线面垂直和面面垂直,要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一

条纳入一个平面中,使另一条直线与该平面垂直,即从线面垂直得到线线垂直．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系,通过本题可以看到，面面垂直⇒线面垂直⇒线线垂直．

一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决,其关系为:线线垂直−−−→←−−−判定性质

线面垂直−−−→←−−−

判定

性质

面面垂直．这三者之间的关系非常密切,可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当

学会灵活应用这些定理证明问题.下面举例说明．

3 如图1所示，ABCD 为正方形，SA ⊥平面AB ＣD ,过A 且垂直于SC 的平面分别交SB SC SD ，，于E F G ，，.

求证:AE SB ⊥，AG SD ⊥.

证明：∵SA ⊥平面A ＢC Ｄ， ∴SA BC ⊥.∵AB BC ⊥，∴BC

⊥平面ＳＡB .又∵AE ⊂平面S ＡB ,∴

BC AE ⊥．∵SC ⊥平面ＡＥFG ，∴SC AE ⊥．∴AE ⊥平面SB Ｃ.∴AE SB ⊥.同理可证AG SD ⊥.

评注：本题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直,在线线垂直与线面垂直的转化中,平面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化．

4 如图２,在三棱锥Ａ－ＢＣD 中,BC ＝AC ,AD =ＢD ,作B Ｅ⊥CD ,E 为垂足,作A Ｈ⊥BE 于H .求证:A Ｈ⊥平面B ＣD ．

证明:取A Ｂ的中点F ，连结CF ,DF . ∵AC

BC =，∴CF AB ⊥.

∵AD BD =,∴DF AB ⊥.

又CF DF F =,∴AB ⊥平面CD Ｆ. ∵CD ⊂平面CDF ,∴CD AB ⊥. 又CD BE ⊥,BE AB B =， ∴CD ⊥平面ＡBE ，CD AH ⊥.

∵AH CD ⊥,AH BE ⊥，CD BE E =，

∴ AH ⊥平面ＢC Ｄ.

评注:本题在运用判定定理证明线面垂直时，将问题转化为证明线线垂直；而证明线线垂直时，又转化为证明线面垂直．如此反复,直到证得结论．

５ 如图３，AB 是圆O 的直径,C 是圆周上一点,PA ⊥平面ＡB Ｃ．若AE ⊥PC ，Ｅ为垂足，F 是PB 上任意一点, 求证:平面AEF ⊥平面PBC ．

证明:∵ＡB 是圆Ｏ的直径,∴AC BC ⊥．

∵PA ⊥平面ABC ，BC

⊂平面ＡB Ｃ，

∴PA BC ⊥．∴BC ⊥平面ＡP Ｃ. ∵BC ⊂平面PBC ,

∴平面APC ⊥平面PBC ．

∵A Ｅ⊥P Ｃ，平面APC ∩平面P ＢＣ=P Ｃ, ∴AE ⊥平面P ＢC ．

∵AE ⊂平面A ＥF ，∴平面AEF ⊥平面PB Ｃ. 评注：证明两个平面垂直时,一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线，即证线面垂直，而证线面垂直则需从已知条件出

发寻找线线垂直的关系．

6. 空间四边形AB ＣD 中,若AB ⊥CD,B Ｃ⊥A Ｄ，求证：A Ｃ⊥B Ｄ

A

D B O C

证明：过A 作AO ⊥平面BCD 于O 。

AB CD CD BO ⊥∴⊥， 同理BC ⊥DO ∴O 为△A ＢＣ的垂心

7. 证明：在正方体AB ＣD －Ａ1Ｂ１C 1D １中,A １C ⊥平面BC 1Ｄ

A

C

证明：连结AC

BD AC ⊥

AC 为Ａ1C 在平面A Ｃ上的射影

∴⊥⊥⎫

⎬⎭⇒⊥BD A C

A C BC A C BC D

11111同理可证平面

8． 如图,PA ⊥平面ABCD ，AB ＣＤ是矩形,M 、N 分别是ＡＢ、PC 的中点,求证：MN AB ⊥

C

.

证：取PD 中点E,则

EN DC //

12

C

⇒EN AM //

∴AE MN //

又平面平面平面 CD AD PA AC CD PAD AE PAD ⊥⊥⎫

⎬⎭⇒⊥⊂⎫

⎬

⎭

⇒⊥⎫

⎬⎪

⎭⎪⇒⊥CD AE CD AB AE MN MN AB ////

9如图在ΔＡBC 中， AD ⊥ＢＣ， ED ＝2AE, 过E 作FG ∥BC ， 且将ΔＡＦＧ沿FG 折起，使∠A ＇ED=60°，求证:A 'Ｅ⊥平面A 'BC