可化为对勾函数的一类分式最值的求法
对勾函数讲解与例题解析
对勾函数对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。
如图一、对勾函数f(x)=ax+错误！未找到引用源。
的图象与性质对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。
它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。
(一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+错误！未找到引用源。
（接下来写作f(x)=ax+b/x ）。
当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。
这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。
当a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。
故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。
如下图所示：当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。
但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。
（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。
）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。
a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像（ab 同号）对勾函数的图像（ab 异号）接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。
之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。
(二) 对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式可以得到：当x>0时，错误！未找到引用源。
当x<0时，错误！未找到引用源。
即对勾函数的定点坐标：(三) 对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
(四) 对勾函数的单调性(五) 对勾函数的渐进线 由图像我们不难得到： (六)对勾函数的奇偶性 ：对勾函数在定义域内是奇函数， 二、均值不等式(基本不等式） 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
分式最值的一类解法
分式最值的一类解法1求解最大值与最小值求解最大值和最小值是数学模型解决问题的重要步骤。
函数最大值和最小值决定了它未来的走向，因此求解最大值和最小值具有重要的现实意义。
比如有这样一个优化问题，求函数f(x)在给定区间内的最大值：opt max f(x)有两种常用的方法来求解最值问题。
2寻优法寻优法是一种可以求解最大值和最小值的解法，也叫做离散搜索法，它是从问题的解空间中取样进行搜索，比较搜索的结果，从而选取最优的解。
这样，就可以在搜索中发现最优解，达到优化目的。
这种方法实现起来非常容易，可以用来求解大部分优化问题。
但不同问题搜索空间大小不同，求解效率也不一样，所以需要更多的计算资源。
此外，考虑解的质量，这种方法的求解精度有其局限性。
3梯度优化法梯度优化法又称为数值梯度，它是以梯度（。
即函数在某点的一阶偏导数）作为优化的参考系。
从某一点出发，以函数的梯度为指导方向，根据梯度值来更新变量，迭代求解直至梯度为0,即求得函数的极值点。
该方法可以求解函数的极值，灵敏度高，运算量少，但收敛速度受数值精度的制约。
4数值分析法数值分析法也叫做最优化技术，是利用数学建模和计算机仿真技术来求解最优化问题的方法。
它是用给定的函数将一组变量加以规约，使其约束在一定范围，同时使总函数具有最优值，从而达到优化解的目标。
若在未知函数的条件下求最值，可以利用数值计算，通常是根据函数性质求取极限，从而得到最值。
数值计算更加精细，在准确性方面更胜一筹，但计算量更大，速度慢，对于大规模成百上千的问题，无法解决。
以上就是求解最大值与最小值的几种解法，每种方法都有各自的优劣，需要根据实际情况进行取舍，以达到最优解，满足问题需求。
对勾函数讲解与例题解析
对勾函数对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。
如图一、对勾函数f(x)=ax+错误！未找到引用源。
的图象与性质对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。
它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。
(一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+错误！未找到引用源。
（接下来写作f(x)=ax+b/x ）。
当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。
这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。
当a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。
故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。
如下图所示：当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。
但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。
（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。
）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。
a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像（ab 同号）对勾函数的图像（ab 异号）接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。
之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。
(二) 对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式可以得到：当x>0时，错误！未找到引用源。
当x<0时，错误！未找到引用源。
即对勾函数的定点坐标：(三) 对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
(四) 对勾函数的单调性(五) 对勾函数的渐进线 由图像我们不难得到： (六)对勾函数的奇偶性 ：对勾函数在定义域内是奇函数， 二、均值不等式(基本不等式） 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
对勾函数
对勾函数图象性质对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。
如图一、对勾函数f(x)=ax+的图象与性质对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。
它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。
(一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x ）。
当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。
这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。
当a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。
故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。
如下图所示：当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。
但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。
（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。
）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。
接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。
之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。
a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像（ab 同号） 对勾函数的图像（ab 异号）(二) 对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式可以得到： 当x>0时，。
当x<0时，。
即对勾函数的定点坐标：(三) 对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
(四) 对勾函数的单调性(五) 对勾函数的渐进线由图像我们不难得到：(六) 对勾函数的奇偶性 ：对勾函数在定义域内是奇函数， 二、类耐克函数性质探讨 函数xbax y +=，在时或00==b a 为简单的单调函数，不予讨论。
换元法之对勾函数(双飘函数)模型
再次换元 （注意范围）
t
x
4
1
,
S
3 2
( x2
2x x
1)
3 2
(x
1 x
2)
Hale Waihona Puke 8y= x 1 在（3，+∞)为增函数，
x
头重脚轻分式，
S 8
对勾模型
三、高考真题
3 1
三、高考真题
43
四、课堂小结与作业布置
（一）课堂小结
1.对勾函数和飘带函数模型是高考的热门考点，一般这种题型用换元法来处理，再进一步转化用对勾函数图像性 质或基本不等式处理.
复合型
y
ax
1 ax
(
y
ax
ax
)
为偶函数）
③单调区间：当a>0,b>0时单调递增区间： ,
b a
，
b a
,
，单调递减区间：
ba，0
，
0，
b a
；
当a<0,b<0时单调递增区间： ba，0
④值域：, 2 ab 2 ab,
，当且仅当
ax
b x
，即
，0，ba
x b a
，单调递减区间： ,
微专题：
双飘函数
一、对勾函数的性质与图像
对 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，又被称为“双勾函数”、“对勾函数”、“耐克函数”；
对勾函数是形如
f (x) ax b x
（ ab 0 ）的函数，常见
y
x
4 x
，
y 2x 3 x
；
对勾函数考点：①定义域： ，0，0， ； ②奇偶性：奇函数；（
对勾函数绝对经典
对勾函数f(x)=ax+的图象与性质繁华分享对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。
它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。
(一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x）。
当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x“叠加”而成的函数。
这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。
当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y= b/x构成，形状酷似双勾。
故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。
如下图所示：a>0 b>0 a<0 b<0对勾函数的图像（ab同号）当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。
但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。
（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。
）对勾函数的图像（ab异号）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。
接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。
之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。
(二) 对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式可以得到：当x>0时，。
当x<0时，。
即对勾函数的定点坐标：(三) 对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
(四) 对勾函数的单调性(五) 对勾函数的渐进线由图像我们不难得到：(六) 对勾函数的奇偶性对勾函数在定义域内是奇函数，利用对号函数以上性质，在解某些数学题时很简便，下面举例说明：1、求函数324222++++=x x x x y 的最小值。
yXOy=ax解：令322++=x x t ，则22)1(2≥++=x ttt t t y 112+=+= 根据对号函数tt y 1+=在（1，+∞）上是增函数及t 的取值范围，当2=t 时y 有最小值223。
对勾函数详细分析
对勾函数的性质及应用一.对勾函数的图像与性质：1.定义域：（-∞，0）∪（0，+∞）2.值域：(-∞,-√ab]U[√ab,+∞)3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称，即4.图像在一、三象限, 当时，2√ab（当且仅当取等号），即在x=时，取最小值由奇函数性质知：当x<0时，在x=时，取最大值5.单调性：增区间为（），（）,减区间是（0，），（,0）1、对勾函数的变形形式类型一：函数的图像与性质1.定义域：2.值域：(-∞,-√ab]U[√ab,+∞)3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状.4.图像在二、四象限, 当x<0时，在x=时，取最小值；当时，在x=时，取最大值5.单调性：增区间为（0，），（,0）减区间是（），（）,类型二：斜勾函数①作图如下1.定义域：2.值域：R3.奇偶性：奇函数4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值.5.单调性：增区间为（-，0），（0，+）.②作图如下：1.定义域：2.值域：R3.奇偶性：奇函数4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值.5.单调性：减区间为（-，0），（0，+）.类型三：函数。
此类函数可变形为，可由对勾函数上下平移得到练习1.函数的对称中心为类型四：函数此类函数可变形为，则可由对勾函数左右平移，上下平移得到练习 1.作函数与的草图2.求函数在上的最低点坐标3. 求函数的单调区间及对称中心类型五：函数。
此类函数定义域为，且可变形为a.若，图像如下：1．定义域： 2. 值域：3. 奇偶性：奇函数.4. 图像在一、三象限.当时，在时，取最大值，当x<0时，在x=时，取最小值5. 单调性：减区间为（），（）；增区间是练习1.函数的在区间上的值域为b. 若，作出函数图像：1．定义域： 2. 值域：3. 奇偶性：奇函数.4. 图像在一、三象限.当时，在时，取最小值，当x<0时，在x=时，取最大值5. 单调性：增区间为（），（）；减区间是练习1.如，则的取值范围是类型六：函数.可变形为，则可由对勾函数左右平移，上下平移得到练习1.函数由对勾函数向（填“左”、“右”）平移单位，向（填“上”、“下”）平移单位.2.已知，求函数的最小值；3.已知，求函数的最大值类型七：函数练习1.求函数在区间上的最大值；若区间改为则的最大值为2.求函数在区间上的最大值类型八：函数.此类函数可变形为标准形式：练习1.求函数的最小值；2．求函数的值域；3.求函数的值域类型九：函数。
对勾函数
对勾函数
其实对勾函数的一般形式是：
f(x)=ax+b/x(a>0)
定义域为（-∞，0）∪（0,+∞）
值域为（-∞，-2√ab]∪[2√ab,+∞）
当x>0，有x=根号a，有最小值是2根号a
当x<0，有x=-根号a，有最大值是：－2根号a
对勾函数的解析式为y=x+a/x（其中a>0），它的单调性讨论如下：
设x1
下面分情况讨论
⑴当x1<-根号a时，x1-x2<0,x1x2-a>0,x1x2>0，所以f(x1）-f(x2）<0，即f(x1）
⑵当-根号a<0时，x1-x2<0,x1x2-a<0,x1x2>0，所以f(x1）-f(x2）>0，即f(x1）>f(x2），所以函数在（-根号a,0）上是减函数
⑶当0<根号a时x1-x2="x1-x2"><0,x1x2-a<0,x1x2>0，所以f(x1）
-f(x2）>0，即f(x1）>f(x2），所以函数在（0，根号a）上是减函数
⑷当根号a<0,x1x2-a>0,x1x2>0，所以f(x1）-f(x2）<0，即f(x1）
解题时常利用此函数的单调性求最大值与最小值。
正切
指数函数
对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x）。
当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。
这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。
对勾函数讲解与例题解析
对勾函数对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。
如图一、对勾函数f(x)=ax+错误！未找到引用源。
的图象与性质对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。
它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。
(一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+错误！未找到引用源。
（接下来写作f(x)=ax+b/x ）。
当a ≠0，b ≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。
这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。
当a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。
故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。
如下图所示：当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。
但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。
（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。
）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。
a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像（ab 同号）对勾函数的图像（ab 异号）接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。
之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。
(二) 对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式可以得到：当x>0时，错误！未找到引用源。
当x<0时，错误！未找到引用源。
即对勾函数的定点坐标：(三) 对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
(四) 对勾函数的单调性(五) 对勾函数的渐进线 由图像我们不难得到： (六) 对勾函数的奇偶性 ：对勾函数在定义域内是奇函数，二、均值不等式(基本不等式） 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
对勾函数讲解与例题解析
对勾函数对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。
如图一、对勾函数f(x)=ax+ 的图象与性质(一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x）。
当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。
这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。
当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y= b/x构成，形状酷似双勾。
故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。
如下图所示：a>0 b>0 a<0 b<0对勾函数的图像（ab同号）当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。
对勾函数的图像（ab异号）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。
接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。
之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。
(二)对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式能够得到：当x>0时，。
当x<0时，。
即对勾函数的定点坐标：(三) 对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
(四) 对勾函数的单调性(五) 对勾函数的渐进线 由图像我们不难得到： (六)对勾函数的奇偶性 ：对勾函数在定义域内是奇函数，二、关于求函数()01>+=x xx y 最小值的解法1. 均值不等式 0>x ，∴21≥+=xx y ，当且仅当x x 1=，即1=x 的时候不等式取到“=”。
∴当1=x 的时候，2min =y 2. ∆法 0112=+-⇒+=yx x xx y 若y 的最小值存有，则042≥-=∆y 必需存有，即2≥y 或2-≤y （舍）找到使2=y 时，存有相对应的x 即可。
对勾函数讲解与例题解析
对勾函数对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。
如图一、对勾函数f(x)=ax+ 的图象与性质对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。
它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它与了解它。
(一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x ）。
当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。
这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。
当a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。
故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。
如下图所示：当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。
但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。
（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。
）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点与渐进线的位置有所改变罢了。
接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。
之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。
a>0 b>0对勾函数的图像（ab(二) 对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式可以得到： 当x>0时，。
当x<0时，。
即对勾函数的定点坐标：(三) 对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
(四) 对勾函数的单调性 (五) 对勾函数的渐进线由图像我们不难得到：(六) 对勾函数的奇偶性 ：对勾函数在定义域内是奇函数，二、均值不等式(基本不等式）对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
说到均值不等式，其实也是根据二次函数得来的。
我们都知道，（a-b)^2≥0，展开就是a^2-2ab+b^2≥0，有a^2+b^2≥2ab，两边同时加上2ab ，整理得到（a+b)^2≥4ab，同时开根号，就得到了均值定理的公式：a+b≥2sqrt(ab）。
对勾函数
对勾函数图象性质对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。
如图一、对勾函数f(x)=ax+的图象与性质对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。
它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。
(一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x ）。
当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。
这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。
当a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。
故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。
如下图所示：当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。
但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。
（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。
）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。
接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。
之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。
a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像（ab 同号） 对勾函数的图像（ab 异号）(二) 对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式可以得到： 当x>0时，。
当x<0时，。
即对勾函数的定点坐标：(三) 对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
(四) 对勾函数的单调性(五) 对勾函数的渐进线由图像我们不难得到：(六) 对勾函数的奇偶性 ：对勾函数在定义域内是奇函数， 二、类耐克函数性质探讨 函数xbax y +=，在时或00==b a 为简单的单调函数，不予讨论。
求函数最值问题常用的10种方法
1 最大值与最小值之差为2，则 a＝________.
分析 先判断函数在指定区间上的单调性，再求出函 数的最值，然后利用条件求得参数a的值．
解析 ∵a>1，∴函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上是增 函数，∴函数在区间[a,2a]上的最大值与最小值分别为
又两边平方，得y2＝4＋2 1－x· x＋3
＝4＋2 (1－x)(x＋3).
所以当x＝－1时，y取得最大值M ＝2 2；当x＝－3或
1时，y取得最小值m
m ＝2，∴
M
＝
22.故选C.
分析 对于形如y＝ a－cx＋ cx＋b的无理函数的最 值问题，可以利用平方法将问题化为函数y2＝(a＋b) ＋2 (a－cx)(cx＋b)的最值问题，这只需利用二次函 数的最值即可求得．
七、判别式法
把函数转化为 x 的二次方程 F (x，y)＝0，通过方程
有实根，判别式 Δ≥0，从而求得函数的最值．判
ax2＋bx＋c
别式法多用于求形如 y＝
(a，d 不同时为 0)
dx2＋ex＋f
的分式函数的最值．
x2－3x＋4
【例 7】求函数 y＝
的最大值和最小值．
x2＋3x＋4
分析 本题是分式函数的最值问题，因为分式函数的分
解析 y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2 ＝(ex＋e－x)2－2a(ex＋e－x)＋2a2－2. 令t＝ex＋e－x，f(t)＝t2－2at＋2a2－2. ∵t≥2，∴f(t)＝t2－2at＋2a2－2＝(t－a)2＋a2－2的定 义域为[2，＋∞)． ∵抛物线y＝f(t)的对称轴为t＝a， ∴当a≤2且a≠0时，ymin＝f(2)＝2(a－1)2； 当a>2时，ymin＝f(a)＝a2－2. 点评 利用二次函数的性质求最值，要特别注意自变量 的取值范围，同时还要注意对称轴与区间的相对位置 关系．如本题化为含参数的二次函数后，求解最值时 要细心区分：对称轴与区间的位置关系，然后再根据 不同情况分类解决．
对勾函数讲解与例题解析
对勾函数对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。
如图一、对勾函数f(x)=ax+ 的图象与性质对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。
它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。
(一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x ）。
当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。
这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。
当a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。
故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。
如下图所示：当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。
但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。
（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。
）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像（ab 同号）对勾函数的图像（ab 异号）渐进线的位置有所改变罢了。
接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。
之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。
(二) 对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式可以得到：当x>0时，。
当x<0时，。
即对勾函数的定点坐标：(三) 对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
(四) 对勾函数的单调性(五) 对勾函数的渐进线 由图像我们不难得到： (六)对勾函数的奇偶性 ：对勾函数在定义域内是奇函数， 二、均值不等式(基本不等式） 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
对勾函数讲解与例题解析
对勾函数讲解与例题解析对勾函数对勾函数:数学中⼀种常见⽽⼜特殊的函数。
如图⼀、对勾函数f(x)=ax+ 的图象与性质对勾函数是数学中⼀种常见⽽⼜特殊的函数。
它在⾼中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。
(⼀) 对勾函数的图像对勾函数是⼀种类似于反⽐例函数的⼀般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x ）。
当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x 是正⽐例函数f(x)=ax 与反⽐例函数f(x)= b/x “叠加”⽽成的函数。
这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，⾮常重要。
当a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。
故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。
如下图所⽰：当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发⽣了质的变化。
但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”⽽成。
（请⾃⼰在图上完成：他是如何叠加⽽成的。
）⼀般地，我们认为对勾函数是反⽐例函数的⼀个延伸，即对勾函数也是双曲线的⼀种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。
a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像（ab 同号）对勾函数的图像（ab 异号）接下来，为了研究⽅便，我们规定a>0，b>0。
之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。
(⼆) 对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利⽤均值不等式可以得到：当x>0时，。
当x<0时，。
即对勾函数的定点坐标：(三) 对勾函数的定义域、值域由（⼆）得到了对勾函数的顶点坐标，从⽽我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
(四) 对勾函数的单调性(五) 对勾函数的渐进线由图像我们不难得到： (六)对勾函数的奇偶性：对勾函数在定义域内是奇函数，⼆、均值不等式(基本不等式）对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
对勾函数最值的十种求法
对勾函数最值的十种求法 Prepared on 22 November 2020关于求函数()01>+=x x x y 最小值的十种解法 一、 均值不等式0>x ，∴21≥+=x x y ，当且仅当x x 1=，即1=x 的时候不等式取到“=”。
∴当1=x 的时候，2min =y二、∆法若y 的最小值存在，则042≥-=∆y 必需存在，即2≥y 或2-≤y （舍） 找到使2=y 时，存在相应的x 即可。
通过观察当1=x 的时候，2min =y三、单调性定义设210x x <<当对于任意的21,x x ，只有21,x x (]1,0∈时，()()21x f x f -0>，∴此时()x f 单调递增； 当对于任意的21,x x ，只有21,x x ()+∞∈,1时，()()21x f x f -0<，∴此时()x f 单调递减。
∴当1=x 取到最小值，()21min ==f y四、复合函数的单调性x x t 1-=在()+∞,0单调递增，22+=t y 在()0,∞-单调递减；在[)+∞,0单调递增又 ∈x ()1,0()0,∞-∈⇒t ∈x [)+∞,1[)+∞∈⇒,0t ∴原函数在()1,0上单调递减；在[)+∞,1上单调递增 即当1=x 取到最小值，()21min ==f y五、求一阶导当()1,0∈x 时，0'<y ，函数单调递减；当[)+∞∈,1x 时，0'>y ，函数单调递增。
∴当1=x 取到最小值，()21min ==f y六、三角代换 令αtan =x ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πα，则αcot 1=x∴当4πα=，即22πα=时，()12sin max =α，2min =y ，显然此时1=x七、向量()1,1,1,=⎪⎭⎫ ⎝⎛=b x x ab a x x x x y ⋅=⋅+⋅=+=1111，根据图象，a 为起点在原点，终点在x y 1=()0>x 图象上的一个向量，θcos a 的几何意义为a 在b 上的投影，显然当b a =时，θcos a 取得最小值。
对勾函数讲解与例题解析
对勾函数对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。
如图一、对勾函数f(x)=ax+错误！未找到引用源。
的图象与性质对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。
它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。
(一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+错误！未找到引用源。
（接下来写作f(x)=ax+b/x ）。
当a ≠0，b ≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。
这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。
当a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。
故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。
如下图所示：当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。
但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。
（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。
）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。
a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像（ab 同号）对勾函数的图像（ab 异号）接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。
之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。
(二) 对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式可以得到：当x>0时，错误！未找到引用源。
当x<0时，错误！未找到引用源。
即对勾函数的定点坐标：(三) 对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
(四) 对勾函数的单调性(五) 对勾函数的渐进线 由图像我们不难得到： (六) 对勾函数的奇偶性 ：对勾函数在定义域内是奇函数，二、均值不等式(基本不等式） 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
求y=“根号下f(x)”±“根号下g(x)”型函数最值
龙源期刊网
求y=“根号下f（x）”±“根号下g（x）”型函数最值
作者：唐泽生
来源：《新课程·上旬》2013年第12期
在教学中常会遇到求形如型函数的最值问题，思考这类题型时都会想到两边同时平方来去掉根号，若用这些方法解答则要进行两次平方才能将根号去掉，问题会变得更复杂，这种自然的解法显然不可取.
解决求型函数最值问题一般可应用：（1）函数的单调性；（2）均值不等式；（3）三角代换；（4）向量不等式；（5）两点间的距离公式及对称；（6）导数，下面通过举例加以阐述.
小结：解答求的最值问题，要根据函数的结构特点，应用不同的知识点，才能快速地解答，从而使解题能力得到提高.
（作者单位贵州省兴义市第八中学）
编辑代跃先。