水力学液体运动的流束理论
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第二章流束理论(1)【VIP专享】
一. 恒定流、非恒定流
• 若流场中各空间点上的
任何运动要素均不随时间 变化，称流动为恒定流。 否则，为非恒定流。
• 恒定流中，所有物
理量的欧拉表达式中 将不显含时间，它们 只是空间位置坐标的 函数，时变导数为零。
例如，恒定流的
流速场： u u(x, y, z)
u 0 t
• 恒定流的时变加速
度为零，但位变加速
度可以不为零。
•流动是
否恒定与所 选取的参考 坐标系有关, 因此是相对 的概念。
二. 迹线和流线
• 迹线是流体
质点运动的轨 迹，是与拉格 朗日观点相对 应的概念。
• 拉格朗日法中位移
表达式
r r(a,b,c,t)
即为迹线的参数方 程。
t 是变数，a,b,c 是
参数。
• 在欧拉观点下求迹线，因须跟定流体质点，此时欧拉变数
u y t
ux
u y x
uy
u y y
uz
u y z
az
duz dt
uz t
ux
uz x
uy
uz y
uz
uz z
• 时间因素与空间因素对加速度贡献的分解
t
z
M0
y
t+Δt
z
M M0’
y
x
x
a d u lim uM uM0 lim (uM0 uM0 ) (uM uM0 )
d t t0 t
三. 欧拉法
• 欧拉法是流场法，
它定义流体质点的速
度矢量场为： u u(x, y, z,t)
(x,y,z) 是 空 间 点 （ 场 点）。流速 u 是在 t 时 刻占据(x,y,z) 的那个流
水力学课件液体运动的流束理论考研
渠道与管道的基本概念
渠道和管道是液体运动的常见载体，它们有着不同的特点和适用范围，在工程设计中需要予 以考虑。
流束理论基础
1 流束的概念和特性
流束是流体流动的基本特 征之一，通过研究流束的 性质和行为，我们可以深 入理解流体运动的规律。
2 流速、流量、截面积
的关系
流速、流量和截面积之间 存在着密切的关系，它们 相互影响并呈现特定的数 学关系，这对水力学计算 至关重要。
3
Hagen-Poiseuille定律和管道摩阻系数的计算
Hagen-Poiseuille定律和管道摩阻系数的计算为导管流动的分析和设计提供了重要 的工具和方法。
开水沟道流动
1
开水沟道的基本形状和特点
了解开水沟道的基本形状和特点有助于我们理解沟道流动的规律，并进行相关工 程设计和优化。
2
定常流和非定常流的概念和区别
水力学课件液体运动的流 束理论考研
本课件将带你深入学习水力学中液体运动的流束理论，揭开水的奥秘并探讨 其实际应用。让我们开始这段令人着迷的旅程吧！
水力学概述
水力学的定义与基本概念
水力学研究水在不同条件下的运动规律，涵盖了许多基本概念和理论，是水利工程中不可或 缺的一部分。
液体运动的基本特征和分类
了解液体运动的特征和分类有助于我们理解水的行为和应用在实际工程中的限制。
数值模拟和试验研究的比 较与分析
比较数值模拟和试验研究的优缺 点，选择合适的方法对特定问题 进行研究和解决，以提高水力学 分析的准确性和效率。
水利工程中的实际应用和 发展趋势
水利工程是计算水力学的重要应 用领域之一，了解实际应用和发 展趋势有助于我们把理论知识转 化为实际工程实践的能力。
3 连续方程和能量方程
渠道和管道是液体运动的常见载体，它们有着不同的特点和适用范围，在工程设计中需要予 以考虑。
流束理论基础
1 流束的概念和特性
流束是流体流动的基本特 征之一，通过研究流束的 性质和行为，我们可以深 入理解流体运动的规律。
2 流速、流量、截面积
的关系
流速、流量和截面积之间 存在着密切的关系，它们 相互影响并呈现特定的数 学关系，这对水力学计算 至关重要。
3
Hagen-Poiseuille定律和管道摩阻系数的计算
Hagen-Poiseuille定律和管道摩阻系数的计算为导管流动的分析和设计提供了重要 的工具和方法。
开水沟道流动
1
开水沟道的基本形状和特点
了解开水沟道的基本形状和特点有助于我们理解沟道流动的规律，并进行相关工 程设计和优化。
2
定常流和非定常流的概念和区别
水力学课件液体运动的流 束理论考研
本课件将带你深入学习水力学中液体运动的流束理论，揭开水的奥秘并探讨 其实际应用。让我们开始这段令人着迷的旅程吧！
水力学概述
水力学的定义与基本概念
水力学研究水在不同条件下的运动规律，涵盖了许多基本概念和理论，是水利工程中不可或 缺的一部分。
液体运动的基本特征和分类
了解液体运动的特征和分类有助于我们理解水的行为和应用在实际工程中的限制。
数值模拟和试验研究的比 较与分析
比较数值模拟和试验研究的优缺 点，选择合适的方法对特定问题 进行研究和解决，以提高水力学 分析的准确性和效率。
水利工程中的实际应用和 发展趋势
水利工程是计算水力学的重要应 用领域之一，了解实际应用和发 展趋势有助于我们把理论知识转 化为实际工程实践的能力。
3 连续方程和能量方程
液体运动的流束理论(土木)讲解
x
y
空间坐标
x x(a,b,c,t) y y(a,b,c,t) z z(a,b,c,t)
（a,b,c）为t=t0起始时刻质点
所在的空间位置坐标，称为拉
格朗日数。所以，任何质点在
空间的位置（x,y,z）都可看作 是（a,b,c）和时间t的函数
(1)(a,b,c)=const，t为变数，可以得出某个指定
流体力学最常用的解析方法
3.2 液体运动的基本概念
一、 恒定流与非恒定流
1、恒定流（steady flow）定义
指流场中的流体流动，空间点上各运动要素均
不随时间而变化。
即： u 0，u ux, y, z
t
p 0, p px, y, z
t
ux 0 t u y 0 t uz 0 t
注意：这里要满足两个条件，即流线既要相互平行， 又必须是直线，其中有一个条件不能满足，这个流 动就是非均匀流。均匀流的概念也可以表述为液体 的流速大小和方向沿空间流程不变。
均匀流特性： 流线是相互平行的直线，过水断面是平面，沿程 各过水断面的形状和大小都保持一样。 过水断面上的流速分布沿程不变，断面平均流速 沿程不变。 过水断面上的动水压强分布规律与静水压强分布 规律相同。
流场运动要素是时空(x,y,z,t)的连续函数：
速度
ux ux x, y, z,t uy uy x, y, z,t
（x,y,z,t）—欧拉变量
uz
u z
x,
y, z,t
因欧拉法较简便，是常用的方法。
由于研究对象为某一流体质点通过某一空间 点的速度随时间的变化，在微小时段dt内，这一 流体质点将运动到新的位置，即运动着的流体质 点本身的坐标又是时间t的函数，所以不能将 x,y,z视为常数，因此不能只取速度对时间的偏 导数，要取全导数。
y
空间坐标
x x(a,b,c,t) y y(a,b,c,t) z z(a,b,c,t)
（a,b,c）为t=t0起始时刻质点
所在的空间位置坐标，称为拉
格朗日数。所以，任何质点在
空间的位置（x,y,z）都可看作 是（a,b,c）和时间t的函数
(1)(a,b,c)=const，t为变数，可以得出某个指定
流体力学最常用的解析方法
3.2 液体运动的基本概念
一、 恒定流与非恒定流
1、恒定流（steady flow）定义
指流场中的流体流动，空间点上各运动要素均
不随时间而变化。
即： u 0，u ux, y, z
t
p 0, p px, y, z
t
ux 0 t u y 0 t uz 0 t
注意：这里要满足两个条件，即流线既要相互平行， 又必须是直线，其中有一个条件不能满足，这个流 动就是非均匀流。均匀流的概念也可以表述为液体 的流速大小和方向沿空间流程不变。
均匀流特性： 流线是相互平行的直线，过水断面是平面，沿程 各过水断面的形状和大小都保持一样。 过水断面上的流速分布沿程不变，断面平均流速 沿程不变。 过水断面上的动水压强分布规律与静水压强分布 规律相同。
流场运动要素是时空(x,y,z,t)的连续函数：
速度
ux ux x, y, z,t uy uy x, y, z,t
（x,y,z,t）—欧拉变量
uz
u z
x,
y, z,t
因欧拉法较简便，是常用的方法。
由于研究对象为某一流体质点通过某一空间 点的速度随时间的变化，在微小时段dt内，这一 流体质点将运动到新的位置，即运动着的流体质 点本身的坐标又是时间t的函数，所以不能将 x,y,z视为常数，因此不能只取速度对时间的偏 导数，要取全导数。
《水力学》第二章 液体运动的流束理论
v2 A1 v1 A2
变形可得
2-7 理想液体及实际液体恒定 流微小流束的能量方程式
连续性方程说明了流速与过水断面的关系，是运动学 方程；水流能量方程则是从动力学的观点讨论水流各运动 要素之间的关系，是能量守恒在水流运动中的具体表现。
一、理想液体恒定流微小流束的能量方程式
今在理想液体恒 定流中取一微小流 束，并截取1-1和22 断 面 间 的 ds 微 分 流段来研究。
28
2 p1 u12 p2 u 2 z1 z2 g 2 g g 2 g
不可压理想液体恒定流微小流束的能量方程
ｚ：单位重量液体的位能；
p g
： 单位重量液体的压能； ：单位重量液体的动能。
u2 2g
该式表明：在不可压缩理想液体在重力场中恒定流情 况下，微小流束内不同的过水断面上，单位重量液体所具 有机械能保持相等（守恒）。该式是由瑞士科学家伯努利 （Bernoulli）于1738年首先推导出来的。
第二章 液体运动的流束理论
实际工程中经常遇到运动状态的液体。液体的运动
特性可用流速、加速度等一些物理量，也即运动要素来表
征。水动力学研究运动要素随时空的变化情况，建立它们 之间的关系式，并用这些关系式解决工程上的问题。 液体做机械运动遵循物理学及力学中的质量守恒定律 、能量守恒定律及动量守恒定律。
本章先建立液体运动的基本概念，然后依据流束理论
24
2-6 恒定一元流的连续性方程
不可压缩液体恒定一元流微小流束的连续性方程为
dQ u1dA1 u 2 dA2
对总流过水断面积分得
dQ
Q
A1
u1dA u2dA2 1
A2
Q A11 A2 2
变形可得
2-7 理想液体及实际液体恒定 流微小流束的能量方程式
连续性方程说明了流速与过水断面的关系，是运动学 方程；水流能量方程则是从动力学的观点讨论水流各运动 要素之间的关系，是能量守恒在水流运动中的具体表现。
一、理想液体恒定流微小流束的能量方程式
今在理想液体恒 定流中取一微小流 束，并截取1-1和22 断 面 间 的 ds 微 分 流段来研究。
28
2 p1 u12 p2 u 2 z1 z2 g 2 g g 2 g
不可压理想液体恒定流微小流束的能量方程
ｚ：单位重量液体的位能；
p g
： 单位重量液体的压能； ：单位重量液体的动能。
u2 2g
该式表明：在不可压缩理想液体在重力场中恒定流情 况下，微小流束内不同的过水断面上，单位重量液体所具 有机械能保持相等（守恒）。该式是由瑞士科学家伯努利 （Bernoulli）于1738年首先推导出来的。
第二章 液体运动的流束理论
实际工程中经常遇到运动状态的液体。液体的运动
特性可用流速、加速度等一些物理量，也即运动要素来表
征。水动力学研究运动要素随时空的变化情况，建立它们 之间的关系式，并用这些关系式解决工程上的问题。 液体做机械运动遵循物理学及力学中的质量守恒定律 、能量守恒定律及动量守恒定律。
本章先建立液体运动的基本概念，然后依据流束理论
24
2-6 恒定一元流的连续性方程
不可压缩液体恒定一元流微小流束的连续性方程为
dQ u1dA1 u 2 dA2
对总流过水断面积分得
dQ
Q
A1
u1dA u2dA2 1
A2
Q A11 A2 2
水力学 第二章液体运动的流束理论
1 总压力 F1 gLH 2 3430 KN 2 1 FC gbhC 2 8.575 KN 2
沿x方向取动量方程
2 v 0.8 （v为水管中断面平均 2g
1
2 0 1 2 0
v2 v2 H 0 0 0 0 0.8 2g 2g 2gH v 7.38 1.8 流量Q v A 7.38
d 2
4
0.058m3 / s
2-9 为将水库中水引至堤外灌溉，安装了一根直径d为15cm
2)取水面为基准面，写 1 1和3 3能量方程： ps v 2 000 2 0, g 2g p s 5m H 2 O g p s 49kP a Psv 49kP a
1 3 1 2 2
2-10 从一水面保持恒定不变的水池中引出一管路，该管
路末端流入大气，管路有三段直径不等的管道组成，其过 水面积分别是A1为0.05m ，A2为0.03m ，A3位0.04m ，若 水池容积很大，行进流速可以忽略（v0≈0），当不计管路 的水头损失时，试求：
15 2 由流量公式得Q udA (15 r )2 rdr A A 9 211.95cm3 / s
Q 断面平均流速 v 7.5cm / s A
2-2 今有一水管，管中A和B两点高差Δ z为1m（如图），A
点处管径dA为0.25m，B点处管径dB为0.5m，A点压强pA为
p2 1 0.364 0.636m g
以2－2断面为基准面，列1－1断面和2－2断面 的能量方程，
2 p1 1v12 p2 2v2 z1 z2 hw 令1＝ 2＝ 1 g 2g g 2g
p1 6.78m g p1K 66.4KN / m
(完整版)第二章液体运动的流束理论
pdA p dpdA dG cos dm a
其中， dm dAds
cos dz
ds
a du du ds du u dt ds dt ds
z p u2 C
2g
28
z p u2 C
2g
或
z1
p1
u12 2g
z2
p2 u22
2g
理想液体恒定元流的能量方程
29
二、实际液体恒定元流的能量方程
恒定流的运动要素仅随空间位置变化，不随时间 变化。 例子：库水位不变时，引水隧洞中的水流。
5
2、非恒定流 流场中空间点的运动要素随时间变化的水流。 非恒定流的运动要素是时间和空间的函数。 实际水流严格上讲均为非恒定流。
6
二、流线、迹线 1、迹线 单个液体质点在空间的运动轨迹。 2、流线 某时刻在流场中绘制的一条光滑曲线。曲线上各 点切线的方向代表了同一时刻处于该点处的液体 质点的运动方向。
1、均匀流
流速的大小、方向沿流动方向（空间）都不变 的流动。
明渠均匀流
管道均匀流
31
均匀流特性 ①所有流线为相互平行的直线。
推论：过水断面为平面。 ②同一流线上各点流速相同。
推论：过水断面平均流速沿程不变。 注：不同流线上流速不一定相同。
7
3、流线的基本特性 对恒定流，流线形状不随时间变化，流线与 迹线重合；对非恒定流，流线只具有瞬时性， 流线与迹线不重合。 同一时刻，流场中的各条流线不相交。 流线为光滑的曲线。
8
流线分布的疏密程度反映流速的大小。流线 密的地方则流速大，流线疏的地方流速小。
1
2
9
溢流坝流线
10
三、 微小流束、总流 1、流管 在流场中，通过一个封闭线的周边上所有流线 围成的一个管状曲面。
水力学第四章液体运动的流场理论.
2、线变形。 3、边线偏转： (a)角变形；(b) 旋转运动。
13
2、线变形
u x dx ， 因为角点P沿 x 方向的速度比角点A快（或慢） x 所以经过 dt 时段后，PQ边在 x 方向的伸长（或缩短）量为
u x dx dt 。单位时间单位长度的线变形称为线变形速度， x
5
x、y、z 也是 t 的函数，因此
dux u x u x u x u x ax ux uy uz dt t x y z duy u y u y u y u y ay ux uy uz dt t x y z duz u z u z u z u z az ux uy uz dt t x y z
ds dx u ux ds dy u uy ds dz u uz
可得流线方程：
dx dy dz ds ux u y uz u
10
某一液体质点在不同时刻所流经的路线叫迹线。
dx u x dt 根据定义有 dy u y dt ， dz u z dt
如果流场中液体质点通过任一空间点时至少有一 个运动要素是随时间而改变的这种流动叫非恒定流。
8
4-2 流线、迹线及其微分方程
拉格朗日法研究液体中各个质点在不同时刻运动的 变化情况；欧拉法则是在同一时刻研究不同质点的运 动情况。前者引出了迹线的概念，后者建立了流线的 概念。 在右图流线AB上取微分 段ds，其方向余弦为
dp p p p p ux uy uz dt t x y z
7
流场中液体质点通过任
一空间点时，所有运动要
素都不随时间而改变叫恒
水力学讲义第二章液体运动的流束理论.ppt
水 力 学 讲 义
（1）恒定流和非恒定流 流场中液体质点通过空间点时所有 的运动要素都不随时间而变化的流动称 为恒定流；反之，只要有一个运动要素 随时间而变化，就是非恒定流。本课程 主要讨论恒定流运动。
（2）迹线和流线 迹线是液体质点运动的轨迹，它是某 一个质点不同时刻在空间位置的连线。 流线是某一瞬间在流场中画出的一条 曲线，这个时刻位于曲线上各点的质点的 流速方向与该曲线相切。对于恒定流，流 线的形状不随时间而变化，这时流线与迹 线互相重合；对于非恒定流，流线形状随 时间而改变，这时流线与迹线一般不重合。
实际液体恒定总流的能量方程式
将构成总流的所有微小流束的能量方程式叠加起来， 2 2 即为总流的能量方程式。
1 2 1 2 2 2 1 2 w Q Q
p V p V 1 11 2 2 2 Z Z h p u p u 1 2 w ( Z ) g d Q ( Z h ) g d Q g2 g g 2 g 2 g 2 g g g u V u V pp pp h g gQ d gQ Q g Q ( Z ) g d Q g d Q ( Z ) g d Q g h d Q (Z ) gQ ( Z ) gQ 2g g 2g g 2 2 gg gg
1 1 Q 1 1
2 2 11 1
Q
22 Q
22
2 2 22 2
Q
w w Q
p ( Z ) gdQ g Q
均匀流或渐变 流过水断面上 p (Z )C g
(Z
p p ) g dQ (Z ) gQ g g Q
Q
dQ udA u2 gdQ 2g
液体运动的流束理论
随时间变化而引起的加
速度 由流速不恒定性引起
随位臵变化而引起的加
速度 由流速不均匀性引起
在恒定流中，流场中任意空间点的运动要素不随 时间变化，所以时变加速度等于零 在均匀流中，质点运动速度不随空间位臵变化， 所以位变加速度等于零
2.比较
拉格朗日法 分别描述有限质点的轨迹 表达式复杂 欧拉法 同时描述所有质点的瞬时参数
表达式简单
不能直接反映参数的空间分布 不适合描述流体元的运动 变形特性 拉格朗日观点是重要的
直接反映参数的空间分布 适合描述流体元的运动变 形特性 流体力学最常用的解析方法
2.2 液体运动的基本概念
一、 恒定流与非恒定流
1、恒定流（steady flow）定义
指流场中的流体流动，空间点上各运动要素
本次课的主要内容： 拉格朗日法 描述液体运动的方法 欧拉法
恒定流与非恒定流 液体运动的若 干基本概念 流线与迹线 流管、流束、总流、过水断面 流量、断面平均流速 一元流、二元流、三元流 均匀流与非均匀流
恒定总流的连续性方程
2.1 描述流体运动的两种方法
一、描述流体运动的困难
二、拉格朗日法---将液体质点作为研究对象
跟踪并研究每一个液体质点的运动情况， 它以流体个别质点随时间的运动为基础，通过 综合足够多的质点（即质点系）运动求得整个 流动。——质点系法
z t
（x，y，z）
（t0） O M （a，b，c） x y
空间坐标
x x(a, b, c, t ) y y ( a , b, c , t ) z z ( a , b, c , t )
流场：液体流动所占据的空间
本章是水动力学的基础，先建立液体运动的基
本概念，然后从物理学基本定律出发建立流体运动
第十二章 液体运动的流场理论
第26讲（2课时）第十二章 液体运动的流场理论流束理论：一元流；流场理论：三元流。
★12-1 流速、加速度水力学中常采用欧拉法。
流速场：),,,(t z y x f u x x =；),,,(t z y x f u y y =；),,,(t z y x f u z z =若x ，y ，z 为常数，t 为变数，则可得到不同时刻通过某一空间定点时液体质点的流速变化； 若t 为常数，x ，y ，z 为变数，则可求得同一瞬时不同空间点的液体质点的流速分布（流速场）。
加速度：z uu y u u x u u t u dt du a x z x y x x x x x ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂==； zu u yu u xu u t u dtdu a y zy yy xy y y ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂==；zu u y u u x u u t u dt du a z z z y z x z z z ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂==上式中，等号右边第一项为时变加速度（即当地加速度）；第二至四项之和为位变加速度（位移加速度）。
例水库由坝身的泄水孔泄水。
上述概念同样实用于液体的密度与压强：z u y u x u t dt d z y x ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=ρρρρρ；zp u y p u x p u t p dt dp z y x ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂= 恒定流：满足：0=∂∂=∂∂=∂∂x u t u t u z y x ；0=∂∂t p ；0=∂∂tρ。
即：),,(z y x f u x x =；),,(z y x f u y y =；),,(z y x f u z z =★12-2 流线、迹线及其微分方程拉格朗日法对应于迹线；欧拉法对应于流线。
流线方程：u u ds dx x ==αcos ；u u ds dy y ==βcos ；uu ds dz z==γcos即：uds u dz u dy u dx z y x ===，式中x u 、y u 、z u 都是变量x, y, z 和t 的函数。
2 液体运动的流束理论
us u s 0 s
u1 同一时刻，沿射流抛射轨迹， 不同位置处的流速不同，因此，沿 抛射轨迹，有位变加速度 u2
对于一维流动，加速度可简化
u (s,t) s
dus ( s, t ) us u us s dt t s
as
返回
拉格朗日法
欧拉法
(a, b, c) t (x, y, z)
不同时刻液体质点通过给定空间点的流速变化
用欧拉法研究液体运动的例子：
地面卫星观测站
河流上的水文站
流场中任一物理量, 如压强、密度，用欧拉法表示为
p p( x , y , z , t )
( x, y, z, t )
一维流动， 则
u u( s , t ) p p( s , t )
（a，b，c，t）= 拉格朗日变数
x
图2.1 拉格朗日法 给定（a，b，c），
（a，b，c） 对应液体微团或液体质点
x x ( a , b, c , t ) 该质点的轨迹方程。 y y ( a , b, c , t ) 不同（a，b，c）， 不同质点的轨迹方程。 z z ( a , b, c , t )
u2
时刻t A点流速为 ux 时刻t+dt
ux Aˊ点的流速为 ux dx x
u x dt A点的流速为 t ux ux Aˊ点的流速为 (ux dx) (ux dx)dt x t x u x ux ux dx dt x t ux
该液体质点通过A点时的加速度为
2 液 体 运 动 的 流 束 理 论
2.1
2.2 2.3 2.4 2.5
描述液体运动的两种方法
液体运动的一些基本概念 恒定总流的连续性方程 恒定总流的能量方程式 恒定总流的动量方程式
u1 同一时刻，沿射流抛射轨迹， 不同位置处的流速不同，因此，沿 抛射轨迹，有位变加速度 u2
对于一维流动，加速度可简化
u (s,t) s
dus ( s, t ) us u us s dt t s
as
返回
拉格朗日法
欧拉法
(a, b, c) t (x, y, z)
不同时刻液体质点通过给定空间点的流速变化
用欧拉法研究液体运动的例子：
地面卫星观测站
河流上的水文站
流场中任一物理量, 如压强、密度，用欧拉法表示为
p p( x , y , z , t )
( x, y, z, t )
一维流动， 则
u u( s , t ) p p( s , t )
（a，b，c，t）= 拉格朗日变数
x
图2.1 拉格朗日法 给定（a，b，c），
（a，b，c） 对应液体微团或液体质点
x x ( a , b, c , t ) 该质点的轨迹方程。 y y ( a , b, c , t ) 不同（a，b，c）， 不同质点的轨迹方程。 z z ( a , b, c , t )
u2
时刻t A点流速为 ux 时刻t+dt
ux Aˊ点的流速为 ux dx x
u x dt A点的流速为 t ux ux Aˊ点的流速为 (ux dx) (ux dx)dt x t x u x ux ux dx dt x t ux
该液体质点通过A点时的加速度为
2 液 体 运 动 的 流 束 理 论
2.1
2.2 2.3 2.4 2.5
描述液体运动的两种方法
液体运动的一些基本概念 恒定总流的连续性方程 恒定总流的能量方程式 恒定总流的动量方程式
水力学第四章液体运动的流场理论.
化简之，得 同理
1 p dux fx x dt 1 p duy fy y dt 1 p duz fz z dt
2、理想液体运动微分方程式－欧拉方程式 液体平衡微分方程式是表征液体处于平衡状态时作 用于液体上各种力之间的关系式。 在理想液体中任取一微分平行六面体，作用于六面 体的力有表面力与质量力。 左表面动水压力
p dx p x 2
右表面动水压力
p dx p x 2
26
假设单位质量的质量力在各坐标轴方向的投影为
自右面流出的液体质量为
u x dx dx u dydzdt x x 2 x 2
dt 时段内流进与流出六面体的液体质量之差：
在x方向为 ( ux ) dxdydxdt y
在y方向为 在z方向为
y ( uz ) dxdydxdt yz 22
1 e c
n
称为沿封闭周线C的速度环量。 速度环量也可写成：
(u x dx u y dy u z dz )
c
21
4-5
液体运动的连续性方程式
设想在流场中取一空间微分平 行六面体取如图示。经一微小时 段dt自左面流入的液体质量为：
u x dx dx dydzdt u x x 2 x 2
dx u x ds u dy u y cos ds u dz u z cos ds u cos
9
dx u x ds u dy u y cos ds u dz u z cos ds u cos
( u x ) ( u y ) ( u z ) dxdydzdt dxdydzdt t y z x
水力学2 液体运动的流束理论
2 液体运动的流束理论2.1 描述液体运动的两种方法拉格朗日法，以研究个别液体质点的运动为基础，来研究获得整个液体运动的规律性，又叫做质点法。
欧拉法，是以考察不同液体质点通过固定的空间点的运动情况来了解整个流动空间内的流动情况，又叫作流场法。
2.2 液体运动的一些基本概念2.2.1 恒定流与非恒定流如果在流场中任何空间点上所有的运动要素都不随时间而变化，这种水流称为恒定流。
如果在流场中任何空间点上有任何一个运动要素随时间而变化，这种水流称为非恒定流。
2.2.2 流线与迹线迹线是指某一液体质点在运动过程中，不同时刻所流经的空间点所连成的线。
由拉格朗日法引出。
流线是指某一瞬时在流场中绘出的一条曲线，在该曲线上所有各点的速度向量都与该曲线相切。
所以流线表示出了瞬间的流动方向。
流线一般不相交，是光滑曲线或直线，流线的形状与固体边界的形状有关。
2.2.3 微小流速与总流（1）过水断面是指与微小流束或总流的流线成正交的横断面。
（2）流量是指单位时间内通过某一过水断面的液体体积。
常用Q表示，单位：m3/s （3）断面平均流速：如果过水断面A上各点的流速都相等并等于v，此时所通过的流量与实际上流速为不均匀分布时所通过的流量相等，则流速v就称为断面A的平均流速。
总流过水断面上的平均流速，是一个想象的流速。
2.3 恒定总流的连续性方程（水力学三大基本方程之一）★式中v1及v2分别为总流过水断面A1及A2的断面平均流速。
2.4 恒定总流的能量方程（1）理想恒定流微小束的能量方程上式是计算不可压缩理想液体恒定流微小流束的能量方程。
是单位重量液体具有的动能，。
液体中某一点的几何高度z代表单位重量液体的未能，代表单位重量液体的压能。
（2）实际液体恒定总流的能量方程（水力学三大基本方程之一）：★式中为动能修正系数，与过水断面上的流速分布情况有关，流速分布越均匀其值越接近1。
而则代表总流单位重量的液体由一个断面流至另一断面的平均能量损失。
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试判断A和B两点间水流方向，并求出其间水头损失hw。
解：1）
vb
AB vB AA
4.8m / s
断面A的总能量为：
HA
z
pA
g
vA 2g
9.33m
断面B的总能量为：
HB
z
pB
g
vB 2g
6.17m
2） HA HB 水由A流向B 水头损失h w HA HB 3.16m
2-3 在一管路上测得过水断面1-1的测压管高度为1.5m， 过水面积A1为0.05m2，2-2断面的过水断面积A2为0.02 m2，两断面间水头损失hw为0.5，管中流量Q为20 ls，试 求2-2断面的测压管高度，已知z1为2.5m，z2为1.6m。
/s
4
3
2)取水面为基准面，写11和3 3能量方程： 1
0 0 0 2 ps v2 0 ,
g 2g
ps
g
5m
H 2O
3
1
2
2
ps 49kPa Psv 49kPa
2-10 从一水面保持恒定不变的水池中引出一管路，该管 路末端流入大气，管路有三段直径不等的管道组成，其过 水面积分别是A1为0.05m2，A2为0.03m2，A3位0.04m2，若 水池容积很大，行进流速可以忽略（v0≈0），当不计管路 的水头损失时，试求： （1）出口流速v3及流量Q； （2）绘出管路的测压管水头线及总水头线。
r2
由流量公式得Q udA (15 15 r2 )2 rdr
A
A
9
211.95cm3 / s
断面平均流速 v Q 7.5cm / s A
2-2 今有一水管，管中A和B两点高差Δz为1m（如图），A
点处管径dA为0.25m，B点处管径dB为0.5m，A点压强pA为
80kPa,B点压强pB为50kPa，B点断面平均流速vB为1.2m/s，
第二章习题解答
2-1 圆管中流速为轴对称分布（如图），其分布 函数为，u为距管轴中心为r处流速。若已知r0为 3cm，umax为0.15m/s，求通过水管流量Q及断 面平均流速v。
u
umax r02
(r02
r2)
2－1 解：根据已知条件得流速分布函数为
u
umax r02
(r02
r2)
15 15 9
0.6 19.6 3.05
3.86
v1 3.86 1.965m / s 流量Q v1A1 1.965 0.002 0.00393m2 / s
2-6 在水平安装的文丘里流量计上，直接用水银差压计 测出水管与喉部压差Δh为20cm，已知水管直径d1为 15cm，喉道直径d2为10cm，当不计水头损失时，求通 过流量Q。
2－4解：由连续原理得2－2端面得平均流速
v2
（ d1 d2
)2 v1
2.67m
/
s
以液面为基准面，列2－2断面和3－3断面的能
量方程（不计出口水头断面的损失）
h
p2
g
2v22
2g
z3
p3
g
3v32
2g
hj
1 p2 2.672 0 0 0 0
g 19.6
p2 1 0.364 0.636m
径D为6.4CM，试求该文丘里流量计的流量系数Μ。
解：根据文丘里流量公式Q K h
Q
K h
K D 2
4
2g ( D)4 1
d
K 3.14 1.4 4
2 980 (10.4 )4 1
6.4
K 0.785108.16 1960 1535 6
Q5
Q 5000 5000 0.98
水头损失HW为0.05，求通过流量Q。
解： 由连续原理得：
v2
A1 A2
v1
以管轴中心线为基准面，对1-1，2-2 断面取能量 方程：
z1
p1
1v12
2g
z2
p2
2v2
2g
hw
0 1 v12 0 0.4 (2v1 )2 0.05 v12
2 9.8
2 9.8
2 9.8
v12
g
以2－2断面为基准面，列1－1断面和2－2断面 的能量方程，
z1
p1
g
1v12
2g
z2
p2
g
2v22
2g
hw
令1＝ 2＝1
p1 6.78m
g
p1K 66.4KN / m2
2-5 有一水平安装的文丘里流量计，已测得为LM，为0.4M， 水管横截面积A1为0.002M2，喉道的横截面积A2为0.001M2，
K h 1535 11 5100
Q 5.7
Q 5700 5700 0.99
K h 1535 14 5750
取平均 0.985
2-8 从水池引出一直径d为10cm的水管（如图），已知从进口
至管道出口之间水头损失hw为 流速），求通过管道的流量Q。
0.8 （v2 v为水管中断面平均
2g
1
2－6
解：根据文丘里流量计流量公式 Q K 12.6h
K d12
4
2g 3860 ( d1 )4 1 d2
h h 20cm
流量 Q＝K 12.6h 0.0611m3 / s
2－6
2-7 一文丘里流量计若测得当Q为5 L/S时水管与喉部之间 测压管高差ΔH为11CM，当Q为5.7 L /S时ΔH为14CM，喉道直
2－3 解：由连续原理求得
v1
Q A1
0.02 0.05
0.4m /
s
v2
Q A2
0.02 0.02
1m / s
列1－1，2－2断面得能量方程
z1
p1
g
1v12
2g
z2
p2
g
2v22
2g
hw
取1＝2＝1
p2 2.35m
g
2-4 在水轮机的垂直锥形尾水管中（如图），已 知1-1断面的直径为0.6m，断面平均流速v1为 6m/s，出口断面2-2的直径为0.9m，两断面间的 水头损失hw为0.03，试求当z为5m时1-1断面处 的真空度。
的虹吸管（如图），当不计水头损失时，问通过虹吸管的
ห้องสมุดไป่ตู้
流量Q为多少？在虹吸管顶部s点处的压强为多少？
解：1)取出口为基准面，写11和2 2能量方程：
3 0 0 0 0 v2 , v 3 2g 7.67m/ s 2g
通过管道的流量: Q
vA
3.14 0.152 7.67
0.135m3
解：以管轴中心线为基准面写1 1
和2 2能量方程：
2
z1
p1
g
1v12
2g
z2
p2
g
2
v
2 2
2g
hw
0 1
0
H 0 0 0 0 v2 0.8 v2
2
2g 2g
v 2gH 7.38 1.8
流量Q v A 7.38 d2 0.058m3 / s
4
2-9 为将水库中水引至堤外灌溉，安装了一根直径d为15cm