3.7 卷积特性

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卷积定理证明

卷积定理证明

卷积定理证明卷积定理是数字信号处理中的重要定理,它表明了时域卷积可以转换为频域乘积。

具体的定理表述如下:设x(n)、y(n)为有限长离散时间信号,它们的长度为N,Z为离散时间复频率单位周期,那么它们的离散卷积为:x(n)*y(n)=∑(k=0~N-1)x(k)y(n-k) (1)其离散傅里叶变换为:DFT[x(n)*y(n)]=X(k)Y(k)(2)其中X(k)和Y(k)分别为x(n)和y(n)的DFT系数。

证明:为了证明卷积定理,我们需要用到离散傅里叶变换(DFT)的性质:DFT[∑(n=0~N-1)x(n)y(n)]=X(k)Y(k)也就是说,如果我们将时域中的卷积转换为频域中的乘积,那么对于一个周期N 的离散序列,在频域中的DFT变换结果是两个序列的DFT系数的乘积。

这一性质是离散傅里叶变换的基本理论之一,在这里不再做深入的讨论。

我们现在考虑两个序列x(n)和y(n)的卷积,它的离散傅里叶变换为:DFT[x(n)*y(n)]=∑(k=0~N-1)DFT[x(k)y(n-k)]根据DFT的性质,我们可以将上面的式子改写为:DFT[x(n)*y(n)]=∑(k=0~N-1)X(k)Y(n-k)进行下面的变换:∑(k=0~n)X(k)Y(n-k)+∑(k=n+1~N-1)X(k)Y(n-k)根据卷积的定义,式子左侧的第一项实际上就是x(n)和y(n)的卷积,因此可以将它改写为:∑(k=0~n)x(k)y(n-k)同样,式子左侧的第二项可以改写为:∑(k=0~N-1)x(k)y(n-k)-∑(k=0~n)x(k)y(n-k)因此,前一项等式右侧就是DFT[x(n)*y(n)],后一项可以继续变换为:∑(k=n+1~N-1)x(k)y(n-k)这样就得出了卷积定理的证明:∑(k=0~N-1)X(k)Y(n-k)=DFT[x(n)*y(n)]。

卷积的物理意义与最简单解释

卷积的物理意义与最简单解释

卷积的物理意义与最简单解释卷积是一个在信号处理、图像处理、机器学习等领域广泛应用的数学概念。

它描述了两个函数在某个特定空间(如时间、频率等)上的相互作用。

下面从多个方面解释卷积的物理意义和最简单的理解。

1. 信号处理应用:在信号处理中,卷积常被用于描述一个信号通过一个线性时不变系统后的输出。

这个输出是输入信号与系统响应函数的卷积结果。

2. 线性时不变系统:对于线性时不变系统,其输出信号是输入信号与系统冲激响应的卷积。

卷积的交换性和分配性使系统具有“叠加性”,即多个信号输入或系统多个冲激响应输出的总和可表示为单一卷积操作。

3. 滤波与平滑操作:卷积可以用于实现滤波操作,例如,卷积一个图像与一个平均滤波器可以平滑图像中的噪声。

这里,滤波器函数描述了如何将邻近像素值结合来产生一个新的像素值。

4. 积分与加权求和:从离散角度理解,卷积操作可以看作是对输入序列与权重序列进行加权求和。

这些权重通常由系统冲激响应或滤波器函数定义,并通过平移与输入序列的对应元素相乘来实现。

5. 反转与平移操作:在进行卷积操作时,通常将其中一个函数反转并沿时间或空间轴平移,这与滑动平均的概念类似,但它是一个更加一般的操作。

6. 响应叠加效应:卷积可以理解为多个响应的叠加。

例如,在图像处理中,一个像素的输出值可能是其周围像素值的加权和,这种加权和是通过卷积操作实现的。

7. 关联与相似性:卷积也被用于测量两个信号之间的关联或相似性。

例如,在卷积神经网络中,卷积操作被用于提取输入数据的局部特征,这些特征通过训练过程与特定任务关联。

8. 简化理解为“叠加”:在最简单的理解下,卷积可以被看作是一种“叠加”操作。

它描述了如何将一个函数(如输入信号或图像)通过另一个函数(如系统冲激响应或滤波器)进行转换。

这个转换是通过将后者在前者的每一个位置上进行加权并求和来实现的。

总之,卷积的物理意义非常广泛,涉及到信号处理、图像处理、机器学习等多个领域。

信号与系统王明泉第三章习题解答

信号与系统王明泉第三章习题解答
(3)周期信号的傅里叶变换;
(4)频域分析法分析系统;
(5)系统的无失真传输;
(6)理想低通滤波器;
(7)系统的物理可实现性;
3.3本章的内容摘要
3.3.1信号的正交分解
两个矢量 和 正交的条件是这两个矢量的点乘为零,即:
如果 和 为相互正交的单位矢量,则 和 就构成了一个二维矢量集,而且是二维空间的完备正交矢量集。也就是说,再也找不到另一个矢量 能满足 。在二维矢量空间中的任一矢量 可以精确地用两个正交矢量 和 的线性组合来表示,有
条件1:在一周期内,如果有间断点存在,则间断点的数目应是有限个。
条件2:在一周期内,极大值和极小值的数目应是有限个。
条件3:在一周期内,信号绝对可积,即
(5)周期信号频谱的特点
第一:离散性,此频谱由不连续的谱线组成,每一条谱线代表一个正弦分量,所以此谱称为不连续谱或离散谱。
第二:谐波性,此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率 的整数倍频率上。
(a)周期、连续频谱; (b)周期、离散频谱;
(c)连续、非周期频谱; (d)离散、非周期频谱。
答案:(d)
题7、 的傅里叶变换为
答案:
分析:该题为典型信号的调制形式
题8、 的傅里叶变换为
答案:
分析:根据时移和频移性质即可获得
题9、已知信号 如图所示,且其傅里叶变换为
试确定:
(1)
(2)
(3)
解:
(1)将 向左平移一个单位得到
对于奇谐函数,满足 ,当 为偶数时, , ;当 为奇数时, , ,即半波像对称函数的傅里叶级数展开式中只含奇次谐波而不含偶次谐波项。
(4)周期信号傅里叶级数的近似与傅里叶级数的收敛性
一般来说,任意周期函数表示为傅里叶级数时需要无限多项才能完全逼近原函数。但在实际应用中,经常采用有限项级数来代替无限项级数。无穷项与有限项误差平方的平均值定义为均方误差,即 。式中, , 。研究表明, 越大, 越小,当 时, 。

卷积核的基本情况

卷积核的基本情况

卷积核的基本情况卷积核(Convolutional Kernel)是一种在卷积神经网络(CNN)中广泛使用的核心组件,它负责在输入数据上执行卷积操作,以提取特征。

卷积核的基本情况如下:1.形状:卷积核的形状通常为方形或矩形,其中边长为奇数。

卷积核的尺寸可以根据输入数据的分辨率进行调整。

例如,当处理图像时,卷积核的尺寸可以是3x3、5x5或7x7等。

2.参数:卷积核中包含一组可学习的参数,这些参数在训练过程中通过优化算法进行调整,以提高模型在验证集上的性能。

卷积核的参数数量等于卷积核的尺寸的平方。

例如,一个3x3的卷积核共有9个参数。

3.步长(Stride):卷积核在执行卷积操作时,可以按照指定的步长进行滑动。

步长的大小决定了卷积核在每个位置上的采样率。

较小的步长可以提高模型的表达能力,但可能导致计算量增加。

4.零填充(Zero Padding):为了保持输入数据和卷积核在维度上的匹配,可以在输入数据的边界上进行零填充。

零填充可以提高模型的对称性,有助于提取更复杂的特征。

5.权重初始化:卷积核的权重通常使用随机初始化方法进行设置,如高斯分布、均匀分布等。

较常见的权重初始化方法是使用均值为0、标准差为1的高斯分布。

6.激活函数(Activation Function):卷积操作之后,可以使用激活函数对输出结果进行非线性变换,以增强模型的表达能力。

常见的激活函数有ReLU、sigmoid、tanh等。

7.批量归一化(Batch Normalization):为了缓解梯度消失问题,可以在卷积层之后引入批量归一化层。

批量归一化可以将每个样本的输入数据标准化,使得不同样本之间的梯度更新更加稳定。

8.池化(Pooling):卷积层之后通常会跟随池化层,用于降低特征图的分辨率,以减少计算量。

常见的池化方法有最大池化和平均池化。

9.输出尺寸:卷积核的输出尺寸取决于输入数据的尺寸以及卷积核的尺寸。

输出尺寸可以通过计算输入尺寸与卷积核尺寸的乘积再加上步长和零填充的参数得到。

卷积的概念和公式

卷积的概念和公式

卷积示例
示 例 1: f(t)与 1的 卷 积
f(t)∗1=∫t0f(u)du(4)
示 例 2: t2与 t的 卷 积
t2∗t=∫t0u2(t−u)du=[13u3t−14u4]|t0=11ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱt4(5) 此外,t2与t的拉式变换为: {F(s)=L(t2)=2!s3G(s)=L(t)=1!s2(6) 所以: {F(s)G(s)=2s5L−1(F(s)G(s))=112t4(7) 示例2验证了公式(3)的正确性。
卷积的概念和公式 卷积公式
卷积概念
卷积(Convolution)是通过两个函数f(t)和g(t)生成第三个函数的一种数学算子,表征函数f(t)与g(t)经过翻转和平移的重叠部分的面积。 在卷积神经网络中会用卷积函数表示重叠部分,这个重叠部分的面积就是特征 f(t)与g(t)的卷积公式为: f(t)∗g(t)=∫t0f(u)g(t−u)du(1) f(t)与g(t)的拉普拉斯变换结果为: {F(s)=∫∞0e−stf(t)dtG(s)=∫∞0e−stg(t)dt(2) 卷积公式与拉普拉斯变换结果的关系为: F(s)G(s)=∫∞0e−st(f(t)∗g(t))dt(3) 公式(3)对卷积的傅里叶变换同样适用。

卷积公式

卷积公式

卷积公式卷积的物理意义是将输入信号用时移加权的单位冲激信号和(积分)表示,然后输出就是各个冲激信号作用系统后再求和,而时移量u(f(t-u)),再对u积分,就产生了反转。

卷积的物理意义(2009-11-30 09:25:54)卷积这个东东是“信号与系统”中论述系统对输入信号的响应而提出的。

因为是对模拟信号论述的,所以常常带有繁琐的算术推倒,很简单的问题的本质常常就被一大堆公式淹没了,那么卷积究竟物理意义怎么样呢?卷积表示为y(n) = x(n)*h(n)假设0时刻系统响应为y(0),若其在1时刻时,此种响应未改变,则1时刻的响应就变成了y(0)+y(1),叫序列的累加和(与序列的和不一样)。

但常常系统中不是这样的,因为0时刻的响应不太可能在1时刻仍旧未变化,那么怎么表述这种变化呢,就通过h(t)这个响应函数与x(0)相乘来表述,表述为x(m)×h(m-n),具体表达式不用多管,只要记着有大概这种关系,引入这个函数h(t)就能够表述y(0)在1时刻究竟削弱了多少,然后削弱后的值才是y(0)在1时刻的真实值,再通过累加和运算,才得到真实的系统响应。

再拓展点,某时刻的系统响应往往不一定是由当前时刻和前一时刻这两个响应决定的,也可能是再加上前前时刻,前前前时刻,前前前前时刻,等等,那么怎么约束这个范围呢,就是通过对h(n)这个函数在表达式中变化后的h(m-n)中的m 的范围来约束的。

即说白了,就是当前时刻的系统响应与多少个之前时刻的响应的“残留影响”有关。

当考虑这些因素后,就可以描述成一个系统响应了,而这些因素通过一个表达式(卷积)即描述出来不得不说是数学的巧妙和迷人之处了。

对于非数学系学生来说,只要懂怎么用卷积就可以了,研究什么是卷积其实意义不大,它就是一种微元相乘累加的极限形式。

卷积本身不过就是一种数学运算而已。

就跟“蝶形运算”一样,怎么证明,这是数学系的人的工作。

在信号与系统里,f(t)的零状态响应y(t)可用f(t)与其单位冲激响应h(t) 的卷积积分求解得,即y(t)=f(t)*h(t)。

3.8 卷积特性(卷积定理)

3.8 卷积特性(卷积定理)
23
一、时域抽样
FT [ f s (t )] = Fs (ω ) FT [ f (t )] = F (ω ) FT [ p (t )] = P(ω )
f s (t ) = f (t ) p ((ω ) P(ω ) 2π
P(ω) = 2π ∑Pδ (ω nωs ) n
π π πt FT [cos( )] = π [δ (ω + ) + δ (ω )] τ τ τ
2
2
1 πt F (ω ) = G (ω ) FT [cos( )] 2π τ
G (ω ) = Eτ Sa (
ωτ
2
)
πt π π FT [cos( )] = π [δ (ω + ) + δ (ω )] τ τ τ
1
ω1 ω 0
0 ω2 ω0
ω0
2ω 0 ω 0 + ω1 ω 0 + ω 2
ω
10
ω2 ω0
ω1
ω1
ω0
ω2
1 FT[ f (t) cosω1t] = [F(ω +ω1) + F(ω ω1)] 2
1 2
ω1 ω 2 2 ω 1 ω 1 ω1 ω 2
0
ω 2 ω1 ω 1
2 ω 1 ω1 + ω 2
6



F (ω )
2 sin ω
ω
e
j 2ω
dω = ?
F (ω) = F(ω) 1
2sin ω
ω
e j 2ω
f1(t) = f (t) FT 1[2Sa(ω)e j 2ω ]



F(ω)
1
2sin ω

卷积和的性质

卷积和的性质
解:先求h[n]
n
1 y[n] y[n 1] x[n] 2 x[n 1] 3 x[n 2] 5 1 1

9 1 n h( n) 1 66( 5 ) 5 n 2 n 0

稳定系统
第3章 离散时间系统的时域分析
3.8 反卷积及其应用(自学)
h1[n]
h[n]
h[n] k [n]
可逆性:由y[n]可确定x[n].
条件
x[n]
h[n] h1[n] [n]
y[n]
h1[n]
x[n]
第3章 离散时间系统的时域分析
•LTI离散系统的互联
对于级联系统:
x[n] h1[n] h2 [n] y[n]
h[n] h1[n] h2 [n]
1 x1[k ] n[n 1]u[n] 2 k
n
x2 (n) [u(n 6) u(n 1)] (n 6) (n 1)
y( n) x1[n] x2 [n]
k
x [k ] x [n]
1 2
n
1 n( n 1)u[n] { [n 6] [n 1]} 2
三.卷积和的性质
2.分配律:
第3章 离散时间系统的时域分析
1.交换律: x1[n]* x2 [n] x2 [n]* x1[n]
x1[n] x2[n]* x[n] x1[n] x[n] x2[n]* x[n]
3.结合 律: { x1[n] * x2 [n]}* x3 [n] x1[n] * { x2 [n] * x3 [n]}
第3章 离散时间系统的时域分析
例:试用系统模拟图来表示下列方程所描述的LTI系统

§3.7 用单位抽样响应表示系统的性质

§3.7 用单位抽样响应表示系统的性质
目 录 29
2)、可否由已知的三个初始条件确定系数? 不行!
由于输入 2 (n) 在n=0时加入系统,
必然 y(0) 1已经含有输入引起的初始 条件,必须剔除它。而 y0(3)是在n=0 之前就有的初始条件,我们设法求解它
目 录 30
对原方程设n=0,则
2 y(0) 12 y(1) 24 y(2) 16 y(3) 2
2 y(n) 12 y(n 1) 24 y(n 2) 16 y(n 3) x(n) 2 (n)
y(0) 1, y(1) 1, y(2) 11 8
解:1)根据特征方程 2 p3 12 p2 24 p 16 2( p 2)3 0 y0(n) (C1 C2n C3n2 )(2)n
的零输入响应?
y0[1] 1 y0[2] 11/ 8 y0[3] 21/16
解: 其特征方程为 ( 2)3 0 2 为方程的三重特征根
y[n] (c1n2 c2n c3 )(2)n
代入初始条件,得 c1 0,c2 5/ 4,c3 3/ 4, y0[n] 5 / 4n[2]n 3 / 4[2]n
目 录 27
3、在用经典法求全响应时,可以用以上
y(k )求得全响应的待定系数。因为它
同时反映了系统初态及输入信号作用 共同引起的初态的变化;但是不能用 Y(k)确定零输入响应的待定系数 4、为了确定零输入响应的系数,必须求 得信号没有加入之前的系统的初始状 态引起的初始条件
目 录 28
例:已知系统的差分方程,求零输入响应
目 录 26
有关初始条件的讨论 1、以上两个例题所给的初始条件 y0(1)
y0(2) y0(k) 等都是系统在未加入输入 信号时的起始状态,可以用来求解零 输入响应的未知系数 2、但是当微分方程有x(n)作用时,它同样 对系统的初态有影响,记为 yx (k)。它 们共同引起的初始条件记为y(k) y0(k) yx (k)

卷积的性质

卷积的性质

第 17 页
阶跃响应的定义
(t )
初始状态为0 LTI
阶跃响应g(t)
第 18 页
冲激与阶跃响应之间的关系
线性时不变系统满足微、积分特性
(t ) (t ) d t
t
g (t ) h( ) d

t
d g (t ) , h(t ) dt
第 19 页
冲激响应举例
LTI系统分析概述
系统分析研究的主要问题:对给定的具体系统,求出它对给定激励的响 应。具体地说:系统分析就是建立表征系统的数学方程并求出解答。
输入输出法(外部法) 系统的分析方法:
状态变量法(内部法)(chp.8)
时域分析(chp.2,chp.3) 外部法 变换域法 离散系统—频域法(4)和z域法(6) 系统特性:系统函数(chp.7)

h ' ( 0 ) h ' ( 0 ) a 1
代入h(t),确定系数C1,C2,得
h(t ) (e e ) (t )
2t 3t
第 21 页
四、卷积积分
1
2 3
卷积概念
卷积图解法 Matlab求卷积
第 22 页
1.卷积概念
卷积概念视频
第 23 页
已知定义在区间( – ∞,∞)上的两个函数f1(t)和f2(t), 则定义积分
第 1页
连续系统—频域法(4)和复频域法(5)
求解的基本思路:
把零输入响应和零状态响应分开求。 把复杂信号分解为众多基本信号之和,根据线性系统的可加性:多个基本 信号作用于线性系统所引起的响应等于各个基本信号所引起的响应之和。
采用的数学工具: • 时 域: 卷积积分与卷积和 • 频 域: 傅里叶变换 • 复频域:拉普拉斯变换与Z变换

卷积

卷积
卷积应用(1张)介绍一个实际的概率学应用例子。假设需求到位时间的到达率为poisson(λ)分布,需求的 大小的分布函数为D(.),则单位时间的需求量的分布函数为 F(x):
其中 D(k)(x)为k阶卷积。
卷积是一种线性运算,图像处理中常见的mask运算都是卷积,广泛应用于图像滤波。castlman的书对卷积讲 得很详细。
如果将参加卷积的一个函数看作区间的指示函数,卷积还可以被看作是“滑动平均”的推广。
简介
简介
卷积(又名褶积)和反卷积(又名反褶积)是一种积分变换的数学方法,在许多方面得到了广泛应用。用卷 积解决试井解释中的问题,早就取得了很好成果;而反卷积,直到最近,Schroeter、Hollaender和Gringarten 等人解决了其计算方法上的稳定性问题,使反卷积方法很快引起了数学界的广泛注意。有专家认为,反卷积的应 用是试井解释方法发展史上的又一次重大飞跃。他们预言,随着测试新工具和新技术的增加和应用,以及与其它 专业研究成果的更紧密结合,试井在油气藏描述中的作用和重要性必将不断增大 。
对于这些群上定义的卷积同样可以给出诸如卷积定理等性质,但是这需要对这些群的表示理论以及调和分析 的Peter-Weyl定理。
应用
应用
卷积在工程和数学上都有很多应用:
统计学中,加权的滑动平均是一种卷积。概率论中,两个统计独立变量X与Y的和的概率密度函数是X与Y的概 率密度函数的卷积。光学中,反射光可以用光源与一个反映各种反射效应的函数的卷积表示。电子工程与信号处 理中,任一个线性系统的输出都可以通过将输入信号与系统函数(系统的冲激响应)做卷积获得。物理学中,任 何一个线性系统(符合叠加原理)都存在卷积。
卷积
数学算子
01 简介
目录

信号与系统第3章傅里叶变换

信号与系统第3章傅里叶变换

*本章要点
1.利用傅立叶级数的定义式分析周期信号的离散谱。 2.利用傅立叶积分分析非周期信号的连续谱。 3.理解信号的时域与频域间的关系。 4.用傅立叶变换的性质进行正逆变换。 5.掌握抽样信号频谱的计算及抽样定理
将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合意义
1.从信号分析的角度 将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合,为不同信号之 间进行比较提供了途径。
发展历史
•1822年,法国数学家傅里叶(J.Fourier,1768-1830)在研究热传导 理论时发表了“热的分析理论”,提出并证明了将周期函数展 开为正弦级数的原理,奠定了傅里叶级数的理论基础。 •泊松(Poisson)、高斯(Guass)等人把这一成果应用到电学中去, 得到广泛应用。 •19世纪末,人们制造出用于工程实际的电容器。 •进入20世纪以后,谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具 体问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广 阔的前景。 •在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中,傅里叶变换 法具有很多的优点。 •“FFT”快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。
一.三角函数形式的傅里叶级数
1.正交三角函数集
三角函数系1, cos x,sin x, cos 2x,sin 2x,..., cos nx,sin nx,...
在区间[-π,π]上正交,是指在三角函数系中任何不同的两个函 数的乘积在区间的积分等于零,即
cosnxdx 0(n 1,2,3,...)
傅里叶生平
1768年生于法国 1807年提出“任何周期信号
都可用正弦函数级数表示” 1829年狄里赫利第一个给出
收敛条件 拉格朗日反对发表 1822年首次发表“热的分析
理论”中

信号、系统与数字电路

信号、系统与数字电路

《信号与系统》大纲注:(Δ)表示重点内容。

参考书目:[1] 徐天成,谷亚林,钱玲. 信号与系统(第二版). 哈尔滨:哈尔滨工程大学出版社,2005[2] 郑君里,应启珩,杨为理. 信号与系统(第二版). 北京:高等教育出版社,20002.2 零输入响应与零状态响应(Δ)2.2.1 零输入响应与零状态响应2.2.2 系统响应的线性特性分析2.3 冲激响应与阶跃响应(Δ)2.3.1 定义2.3.2 h(t)的求解2.3.3 阶跃响应g(t)的求法2.4 系统的卷积积分分析(Δ)2.4.1 卷积积分2.4.2 借助于冲激响应和叠加原理求系统的零状态响应2.4.3 卷积积分的图解法2.5 卷积积分的性质2.5.1 卷积积分的代数性质2.5.2 卷积积分的微分与积分2.5.3 与冲激函数或阶跃函数的卷积第3章傅里叶变换分析3.1 周期信号的频谱分析—傅里叶级数3.1.1 三角形式的傅里叶级数3.1.2 指数形式的傅里叶级数3.7.3 取样定理3.8 调制信号的傅里叶变换(△)3.8.1 调制的概念及调制的分类3.8.2 几种调幅信号的傅里叶变换(常规调幅与双边带抑制载波调幅)3.8.3 解调概念3.9 系统的频域分析3.9.1 系统响应的频域表示3.9.2 系统的频率模型——系统频率响应特性3.10 信号的传输与滤波3.10.1 无失真传输3.10.2 理想低通滤波器3.10.3 理想带通滤波器第4章拉普拉斯变换分析4.1 拉普拉斯变换的定义4.2 常用函数的拉氏变换4.3 拉氏变换的基本性质5.2.3 自由响应与强迫响应、暂态响应与稳态响应 5.3 零、极点分布与系统频率响应特性的关系(△)5.3.1 频率响应特性的定义5.3.2 频响特性的矢量作图法5.4 典型系统的频响特性(△)5.5 全通系统和最小相移系统5.5.1 全通系统5.7 系统模拟及信号流图(△)5.7.1 系统的框图5.7.2 信号流图5.7.3 系统模拟5.8 系统的稳定性(△)5.8.1 稳定系统的定义5.8.2 系统稳定的条件第6章离散时间系统的时域分析6.1 离散信号基础6.1.1 离散信号概念6.1.2 典型离散信号6.1.3 序列的运算7.3.2 时移性质7.3.3 z域微分7.3.4 序列指数加权7.3.5 初值定理7.3.6 终值定理7.3.7 时域卷积定理7.4 差分方程的Z变换求解7.5 离散时间系统的系统函数7.5.1 系统函数与单位样值响应(Δ)7.5.2 系统函数的零极点分布对系统特性的影响(其中,2. 离散系统的稳定性域因果性为重点)7.6 序列的傅里叶变换7.6.1 序列的傅里叶变换的定义7.6.2 序列的傅里叶变换与z变换之间的关系 7.7 离散系统的频率响应(Δ)7.7.1 频率响应的意义7.7.2 频率响应的几何确定7.8 数字滤波器的一般概念7.8.1 数字滤波器原理7.8.2 数字滤波器的结构(△)1.8 系统分析方法第二章连续时间系统的时域分析2.1 引言2.2 微分方程式的建立与求解2.3 起始点的跳变——从0-到0+状态的转换2.4 零输入响应与零状态响应(Δ) 2.5 冲激响应与阶跃响应(Δ)2.6 卷积(Δ)2.7 卷积的性质第三章傅里叶变换3.1 引言3.2 周期信号的傅里叶级数分析(△)(一)三角傅里叶级数(二)指数傅里叶级数(三)函数的对称性与傅里叶系数的关系3.3 典型周期信号的傅里叶级数3.4 傅里叶变换第五章傅里叶变换应用于通信系统——滤波、调制与抽样5.1 引言5.2 利用系统函数)H求响应( j5.3 无失真传输5.4 理想低通滤波器5.7 调制与解调(△)第七章离散时间系统的时域分析7.1 引言7.2 离散时间信号——序列7.3 离散时间系统的数学模型(△)7.4 常系数线性差分方程的求解7.5 离散时间系统的单位样值(单位冲激)响应7.6 卷积(卷积和)(△)第八章 z变换、离散时间系统的z域分析8.1 引言8.2 z变换的定义、典型序列的z变换(△)12.2 连续时间系统状态方程的建立(△)12.3 连续时间系统状态方程的求解(△)(一)用拉普拉斯变换法求解状态方程(三)由状态方程求系统函数12.4 离散时间系统状态方程的建立(△)12.5 离散时间系统状态方程的求解(变换域求解)(△)(三)离散系统状态方程的z变换解(四)用状态变量法分析离散系统举例南京理工大学研究生入学考试大纲科目名:《数字电路》一. 考试内容1.数字逻辑基础(3)其他类型的TTL门OC门、三态输出门电路结构、工作特性。

卷积的介绍——精选推荐

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卷积的介绍先看到卷积运算,知道了卷积就是把模版与图像对应点相乘再相加,把最后的结果代替模版中⼼点的值的⼀种运算。

但是,近来⼜看到了积分图像的定义,⽴马晕菜,于是整理⼀番,追根溯源⼀下吧。

1 卷积图像1.1 源头⾸先找到了⼀篇讲解特别好的博⽂,原⽂为:贴过正⽂来看:---------------------------------------------------------------------------------------------------------------信号处理中的⼀个重要运算是卷积.初学卷积的时候,往往是在连续的情形, 两个函数f(x),g(x)的卷积,是∫f(u)g(x-u)du 当然,证明卷积的⼀些性质并不困难,⽐如交换,结合等等,但是对于卷积运算的来处,初学者就不甚了了。

其实,从离散的情形看卷积,或许更加清楚, 对于两个序列f[n],g[n],⼀般可以将其卷积定义为s[x]= ∑f[k]g[x-k] 卷积的⼀个典型例⼦,其实就是初中就学过的多项式相乘的运算, ⽐如(x*x+3*x+2)(2*x+5) ⼀般计算顺序是这样, (x*x+3*x+2)(2*x+5) = (x*x+3*x+2)*2*x+(x*x+3*x+2)*5 = 2*x*x*x+3*2*x*x+2*2*x+ 5*x*x+3*5*x+10 然后合并同类项的系数, 2 x*x*x 3*2+1*5 x*x 2*2+3*5 x 2*5 ---------- 2*x*x*x+11*x*x+19*x+10 实际上,从线性代数可以知道,多项式构成⼀个向量空间,其基底可选为 {1,x,x*x,x*x*x,...} 如此,则任何多项式均可与⽆穷维空间中的⼀个坐标向量相对应, 如,(x*x+3*x+2)对应于 (1 3 2), (2*x+5)对应于 (2,5). 线性空间中没有定义两个向量间的卷积运算,⽽只有加法,数乘两种运算,⽽实际上,多项式的乘法,就⽆法在线性空间中说明.可见线性空间的理论多么局限了. 但如果按照我们上⾯对向量卷积的定义来处理坐标向量, (1 3 2)*(2 5) 则有 2 3 1 _ _ 2 5 -------- 2 2 3 1 _ 2 5 ----- 6+5=11 2 3 1 2 5 ----- 4+15 =19 _ 2 3 1 2 5 ------- 10 或者说, (1 3 2)*(2 5)=(2 11 19 10) 回到多项式的表⽰上来, (x*x+3*x+2)(2*x+5)= 2*x*x*x+11*x*x+19*x+10 似乎很神奇,结果跟我们⽤传统办法得到的是完全⼀样的. 换句话,多项式相乘,相当于系数向量的卷积. 其实,琢磨⼀下,道理也很简单, 卷积运算实际上是分别求 x*x*x ,x*x,x,1的系数,也就是说,他把加法和求和杂合在⼀起做了。

第3章-3.7抽样定理

第3章-3.7抽样定理


X 1 ( )
IFT
0 0 0
1
0
x1 (t )
TM T0

0
t
3.7 抽样定理
频域抽样小结
时域抽样:x(t)是带宽 s 2M ;
频域抽样: ( ) 是时限 T0 2π 2TM 。 X 带限信号x(t)可利用矩形窗实现。 时域理想周期抽样对应频域离散、周期, 反之亦然。
3.7 抽样定理
已知这些样本值,信号重建方法:让抽样后
的信号通过一个增益为Ts, 截止频率大于M,而小于
( s M)的理想滤波器,该滤波器的输出就是 x (t ) .
(0 )
P ( )
0
O
0
3.7 抽样定理
将抽样定理进一步分解,则要将连续时间信号离散化必
须满足三个条件:
0
3.7 抽样定理
作业
习题3 3-29 3-30 3-31 3-32
3.7 抽样定理
解 (1)
1 f (2t ) F1 ( ) F ( ) 2 2
频带宽度为
2M 2 8 16 rad/s
奈奎斯特频率 N 2 2M 32 rad/s 奈奎斯特间隔 T 2 s N N 16
f (t / 2) F2 ( ) 2 F (2 )
3.7 抽样定理
理想抽样
理想抽样就是以周期性冲激串来对连续时间信号 进行抽样。其原理图如下:
x (t )

p (t )
xs (t ) x(t ) p(t )
n
(t nT )
s

Ts--采样间隔,s=2/Ts为抽样频率。
3.7 抽样定理
时域分析:

卷积的原理

卷积的原理

卷积的原理
卷积是一种数学运算,主要用于信号处理和图像处理中。

卷积的原理是通过对两个函数进行积分操作,得到它们之间的积分结果。

对于离散信号,卷积可以看作是用一个窗口或者核函数在信号上滑动,并在每个位置上将窗口中的信号与核函数进行乘积操作,然后将所有乘积的结果相加。

在图像处理中,卷积操作主要用于图像的平滑、锐化、边缘检测等。

例如,平滑操作可以通过使用一个平均权重的核函数,在图像上滑动并计算窗口中像素的平均值来实现。

锐化操作可以通过使用一个锐化滤波器,在图像上滑动并计算窗口中像素与锐化核函数的卷积结果来增强图像的边缘和细节。

边缘检测操作可以通过使用一些特定的边缘检测算子,如Sobel算子或Laplacian算子,在图像上滑动并计算窗口中像素与算子的卷
积结果来检测图像中的边缘。

卷积操作的结果可以看作是对原始信号或图像进行特征提取的过程。

通过选择不同的核函数,可以实现不同的特征提取效果。

常见的核函数有高斯核、均值核、波尔兹曼核等。

总之,卷积是一种基本的数学运算,它在信号处理和图像处理中有广泛的应用,可以用于平滑、锐化、边缘检测等操作,对于提取信号或图像的特征非常有用。

常见的卷积公式

常见的卷积公式

常见的卷积公式一、卷积公式的基本概念与原理在数字信号处理中,卷积公式是一种常见且重要的数学工具,用于描述信号之间的运算关系。

它可以用于图像处理、音频处理、信号滤波等多个领域。

本文将介绍常见的卷积公式及其应用。

卷积的定义是一种数学运算符,表示两个函数之间的运算。

在离散领域中,常用的卷积公式可以表示为:\[y[n]=\sum_{m=-\infty}^{\infty} x[m]h[n-m]\]其中,\(x[n]\)是输入信号,\(h[n]\)是卷积核或滤波器,\(y[n]\)是输出信号。

该公式实质上是对输入信号和卷积核进行长度为无穷的求和运算,得到输出信号的每个采样值。

二、一维离散卷积常见的一维离散卷积公式可以简化为:\[y[n]=\sum_{m=-\infty}^{\infty} x[m]h[n-m]\]其中,\(x[n]\)和\(h[n]\)都是长度为N的一维离散信号。

对于每个输出采样点,需要将输入信号和卷积核进行相应位置的乘积运算,然后再将乘积结果相加得到输出值。

三、二维离散卷积对于二维离散信号,卷积公式可以表示为:\[y[m,n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\sum_{l=-\infty}^{\infty} x[k,l]h[m-k,n-l]\]其中,\(x[k,l]\)和\(h[k,l]\)分别表示输入信号和卷积核的二维离散采样值。

在计算输出信号的每个采样点时,需要将输入信号和卷积核进行逐点乘积运算,再将所有乘积结果相加得到输出值。

四、卷积核的选择与应用在实际应用中,卷积核的选择对于信号处理结果具有重要影响。

不同的卷积核可以实现不同的信号处理效果,如平滑、锐化、边缘检测等。

常见的卷积核包括高斯核、均值核、边缘检测核等。

高斯核常用于图像平滑操作,能够减小图像中的噪声。

均值核可以实现简单的平均滤波,用于去除图像中的噪声。

边缘检测核常用于图像边缘提取,可以突出图像中的边缘部分。

实验三 信号卷积的MATLAB实现

实验三 信号卷积的MATLAB实现

实验三信号卷积的MATLAB实现一、实验名称:信号卷积的MATLAB实现二、实验目的:1.增加学生对卷积的认识2.了解MATLAB这个软件的一些基础知识3.利用MATLAB计算信号卷积4.验证卷积的一些性质三、实验原理:用MATLAB实现卷积我们先必须从信号下手,先把信号用MATLAB语句描述出来,然后再将这些信号带入到我们写好的求卷积的函数当中来计算卷积。

在本章中我们将信号分为连续信号和离散序列两种来实现卷积并验证卷积的一些性质。

MATLAB强大的图形处理功能及符号运算功能,为我们实现信号的可视化提供了强有力的工具。

在MATLAB中通常有两种方法来表示信号,一种是用向量来表示信号,另一种则是用符号运算的方法来表示信号。

用适当的MATLAB 语句表示出信号后,我们就可以利用MATLAB的绘图命令绘制出直观的信号波形。

连续时间信号,是指自变量的取值范围是连续的,且对于一切自变量的取值,除了有若干不连续点以外,信号都有确定的值与之对应的信号。

从严格意义上来讲,MATLAB并不能处理连续信号,在MATLAB中,是用连续信号在等时间间隔点的样值来近似地表示连续信号的,当取样时间间隔足够小时,这些离散的样值就能较好地近似出连续信号。

在MATLAB中连续信号可用向量或符号运算功能来表示。

1.向量表示法对于连续时间信号f(t),我们可以用两个行向量f和t来表示,其中向量t是行如t=t1:p:t2的MATLAB命令定义的时间范围向量,t1为信号起始时间,t2为中止时间,p为时间间隔。

向量f为连续信号f(t)在向量t所定义的时间点上的样值。

例如对于连续信号f(t)=sin(t),我们可以用如下两个向量来表示:t=-10:1.5:10;f=sin(t)用上述向量对连续信号表示后,就可以用plot命令来绘出该信号的时域波形。

Plot命令可将点与点间用直线连接,当点与点间的距离很小时,绘出的图形就成了光滑的曲线。

命令如下:plot(t,f)title(‘f(t)=sint’)xlabel(‘t’)axis([-10,10,-1.1,1.1])绘制的信号波形如图3.1所示,当把时间间隔p取得更小(如0.01)时,就可得到sint较好的近似波形,如图3.2所示。

卷积的性质

卷积的性质

f (t) h1(t)
f (t) h1(t ) h2 (t )
f (t)
h(t )
g(t)
ht h1(t) h2(t)
结论:时域中,子系统级联时,总的冲激响应等 于子系统冲激响应的卷积。
第3页/共6页
二.微分积分性质
g(t) f (t) h(t) f (t) h(t) 推广: g(t)的积分
g(1)(t) f (t) h(1)(t) f (1)(t) h(t)
g(n)(t) f (t) h(n)(t) f (n)(t) h(t)
微分性质积分性质联合实用
g(nm) (t ) f (n) (t ) h(m) (t ) f (m) (t ) h(n) (t )
微分n次, 积分m次
m=n, 微分次数=
g(t) f (n)(t) h(n)(t) 积分次数
对于卷积很方便。
第4页/共6页
三.与冲激函数或阶跃函数的卷积
f t t f td来自f t df t
推广:
f (t) (t t0) f (t t0)
f (t t1) (t t2) f (t t1 t2)
一.代数性质
1.交换律 f1(t) f2(t) f2(t) f1(t)
2.分配律 f1(t)[ f2(t) f3(t)] f1(t) f2(t) f1(t) f3(t)
系统并联运算
3.结合律
f (t) f1(t) f2(t) f (t)[ f1(t) f2(t)]
系统级联运算
第1页/共6页
f (t) h(t )
g(t) ht h1 t h2 t
结论:子系统并联时,总系统的冲激响应等于 各子系统冲激响应第2之页/共和6页。
系统级联
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共分二个定理: 共分二个定理: 时域卷积定理 频域卷积定理
一、时域卷积定理
给定两个时间函数 f1(t)、f 2 (t) 已知: 已知:
f1(t) →F1(w)
FT
f2(t) →F2(w)
FT
则:
f1(t)∗f2(t) →F1(w)⋅ F2(w)
FT
时域卷积 频域相乘。 频域相乘。
即:两个时间函数卷积的频谱等于各个时间函数频谱的乘积。 两个时间函数卷积的频谱等于各个时间函数频谱的乘积。
证明: 证明:
根据卷积定义 f1(t) * f2 (t) = ∫−∞ f1(τ )* f2 (t −τ )dτ 则:f (t) * f (t) → 1 2
FT

f (τ ) * f (t −τ )dτ e− jwt dt ∫−∞ ∫−∞ 1 2 ∞ ∞ f (t −τ )e− jwt dtdτ = ∫ f1(τ ) ∫ 2 −∞ −∞ = ∫ f1(τ )F2 (w)e
§ 3.7 卷积特性
• 主要内容
•时域卷积定理 时域卷积定理 •频域卷积定理 频域卷积定理 •卷积定理的应用 卷积定理的应用
• 重点:时域卷积定理和频域卷积定理 重点: • 难点:卷积定理的应用 难点:
卷积特性是傅里叶变换性质之一,由于它 卷积特性是傅里叶变换性质之一, 在通信系统和信号处理中的重要地位-- --应 在通信系统和信号处理中的重要地位--应 用最广。所以单独以一节来讲。 用最广。所以单独以一节来讲。
(t ≤ (t >
τ τ
f (t)
) 2 ) 2

E
τ 0
2
τ
2
t
解:把余弦脉冲信号看成是矩形脉冲信号G(t) 与周期余弦 把余弦脉冲信号看成是矩形脉冲信号G 信号相乘。 信号相乘。
1

πt cos τ
τ
2
τ
2
(π )
πt Fcos τ
0
t
思考题
• 1.时域卷积公式? 1.时域卷积公式? 时域卷积公式 • 2.频域卷积公式? 2.频域卷积公式? 频域卷积公式
IFT
频域卷积
时域相乘。 时域相乘。
即:两个时间函数频谱的卷积等效于各个时间函数的乘积(乘 两个时间函数频谱的卷积等效于各个时间函数的乘积( 1 以系数 )。 2π
例 3-8
已知余弦脉冲信号
πt E cos( τ ) f (t) = 0
利用卷积定理求其的频谱。 利用卷积定理求其的频谱。
2E
G(t)
2E
τ
G(t)
τ
E
等于
τ
2
f (t)

τ 0
4
τ
4
t
卷积

τ 0
4
τ
4
t

0
τ
2
t
时域卷积等于频域相乘。 时域卷积等于频域相乘。
Eτ 2

G(w)
乘以
4π 8π
Eτ 2

G(w)

τ
0
τ
τ
w
等于

τ
0

τ

τ
w
F(w)
2
π

2E τ wτ G(w) = ⋅ Sa( ) 4 τ 2
τ wτ G(w) = EτSa( ) 2
例 3-9
已知三角脉冲信号
τ 2 E(1− τ t ) ( t < 2) f (t) = τ 0 (t > ) 2
利用卷积定理求其频谱F(w). 利用卷积定理求其频谱F(w). 解:两个同样矩形脉冲的卷积即为三角脉冲。如下: 两个同样矩形脉冲的卷积即为三角脉冲。如下:
F(w) = G2 (w)


3 π
τ
0
3 π
τ
τ
w
即求出三角脉冲的频谱F(w). 即求出三角脉冲的频谱F(w).
2E τ wτ = τ ⋅ 2 Sa( 4 ) Eτ 2 wτ Sa ( ) = 2 4
2
补充例子: 补充例子:
求 示 号f (t)的 ω) 图 信 F(
f(t) 2
-2
-1 0
1
2
t
解 () : 1 法 按 义 傅 叶 换 定 求 里 变 1 1< t < 2 f (t) = 2 −1< t <1 0 其它
F( jω) = ∫ f (t) e
−∞

− jωt
dt
1
=∫
−1
−2
e
− jωt
dt + ∫
−1
e
− jωt
dt + ∫
2
1
e
−∞ ∞ − jwτ
+∞

dτ dτ= F2 (w)∫ f1来自τ )e−∞∞
− jwτ
= F (w)F2 (w) 1
二、频域卷积定理 给定两个时间函数 f1(t)、f 2 (t)
已知: 已知:
f1(t) →F1(w)
FT
f2(t) →F2(w)
FT
1 则: (w) F (w) F1 ∗ 2 → f1(t) f2(t) ⋅ 2π

(π )
π 0 τ
π τ
w
卷 积
乘 以
时域: 时域:

E G(t)
τ 0
2
频域: 频域:
t



G(w)
τ
2
τ
0

τ

τ
w
等 于
等 于
f (t)
F(w)
2
E
τ 0
2
π


τ
2
t

3 π
τ
0
3 π
τ

τ
w
已知: 已知: f (t) = G(t) cos(πt )
πt π π FT cos( ) →πδ(w+ ) + πδ(w− ) τ τ τ πt FT 1 π π G(t) cos( ) → G(w) *π[δ (w+ ) + δ (w− )] τ 2π τ τ Eτ π τ Eτ π τ Sa(w+ ) + Sa(w− ) = τ 2 2 τ 2 2 wτ cos( ) 2Eτ 2 化简得: 化简得: F(w) = π wτ 2 1− ( π )
f (t) = g2 (t) + g4 (t)
ωτ QEgτ (t) ↔ EτSa 2 即 g2 (t) ↔ 2Sa(ω), g4 (t) ↔ 4Sa(2ω)
∴F(ω) = Γ[g2 (t)] + Γ[g2 (t)] = 4Sa(2ω) + 2Sa(ω)
用MATLAB画出频谱图: MATLAB画出频谱图: 画出频谱图 F (ω) = 4Sa( 2ω) + 2Sa(ω)
− jωt
dt
1 − jωt −1 1 − jωt 1 1 − jωt 2 =− e −2 − jω e −1 − jω e 1 jω 1 = jω
[e
j 2ω
−e
− j 2ω
+ e −e

− jω
]
= 4Sa(2ω) + 2Sa(ω)
解 () : 2 法 利 傅 叶 换 性 质 用 里 变 线 性 求
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