交会法和小三角测量

tan
前方交会计算公 式
P
B
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1）计算公式是根据A、B、P为 逆时针组成的图形导出的，实际计 算时必须按这样的顺序编号；
2）为了检核计算，以求出的P 点坐标和A点计算B点，与B点已知 值相比较。这种检核只能检核计算 是否正确，不能发现角度测错、用 错，已知点坐标用错，也不能提高 计算精度。
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直接计算待定点坐标的公式：
余切公式
xP
xA
cot
xB cot ( yB cot cot
yA)
yP
yA cot
yB cot (xA cot cot
xB )
A
正切公式
xP
xA
tan
xB
tan ( yB yA) tan tan tan
tan
yP
yA
tan
yB
tan (xA xB ) tan tan tan
• 对上两式求极值，分析点位误差与交会点 位置的关系。
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1．交会点P位于A、B、P三点的圆周上 此时，交会角不变，即上两式的分母不变， 变量只有α和β。令
上式对α、β求偏导，在α=β条件下对U求二阶
导数，
可见：γ＜90°，U“＜0，U有极大值； γ＝90°，U“＝0，U无极值；（中误差处处 相等）
数
Ⅱ组
α2=53°48′45″
据
β2=57°33′33″
计
算 (1)由I组计算得： XP′=398.151m YP′=413.249m
结 果
(2)由Ⅱ组计算得：XP″= 398．127m YP″=413.215m
(3)两组坐标较差：
x
2 p
y
2 p
0.042m≤限差
(4)P点最后坐标为：XP= 398.139m YP=413.232m
• 1．交会角γ：在测角交会图 形中，由未知点至相邻两起始 点间方向的夹角。
• 交会角太小或太大，相同的测 角误差将使待定点的点位误差 增大，如右图所示。
• 2．要求：30°≤γ≤150°
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四、变形图形
为了满足交 会角的要求， 有时需要改 变前方交会 的基本图形。
四点前方交会
m p m 2 xp m 2 yp
(9 -11)
下面只简要介绍前方交会的几个结论。
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一、两点前方交会
mp
s
m
sin 2 sin 2 sin 2 ( )
或 m a2 b2
sin ( )
(9 -13) (9 -14)
• 若s、m不变，则与α、β有关，即与交会点 相对于A点位置有关。
g S AB
Sa2
S AB 2 Sb2 2S 2 AB
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(9 - 31) （9 32）
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三、限差 1．三边交会：ΔSC≤2×0.1M(mm) 2．四边交会：ΔS ≤2×0.1M(mm)
四、精度分析 当测边精度相同时，交会角P=90°，
待定点的精度最高。
作业：14
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Δε允 = 0.2M
S pc
(9 - 6)
Spc不能太短，否则Δε允可以允许很大。 四、图形要求：同前方交会
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五、变形图形
A与B不通视，但可以观测到另 一个已知点D，如何求出α角？
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§9.4 后wenku.baidu.com交会
一、适应条件 适应已知点不能安置仪器
或不易到达的情况。 二、基本图形及计算公式 1．余切公式
图形中的∠CAB、∠ABC、 ∠BCA。α、β、γ为后方 交会基本图形中∠A、 ∠B、∠C所对的角。
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三、后方交会的危险圆
1．定义：过三个已知点构 成的外接圆称为危险圆。
2．影响：当待定点位于危 险圆上任一位置时，α、 β角不变，无法求解。
3．注意：待定点不要在危 险圆附近，否则误差很 大。
§9.8 测边交会
一、图形布设
三边交会
四边交会
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二、计算公式 1．推导思路 求坐标不但要知道边
长，还要知道方位角，要 设法用边长来表示角度。 如图，过P点作已知边的
垂线，得辅助边h、l、g， 用h、l、g表示ctgA、
ctgB，然后通过前方交会 的余切公式来计算。
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1）求 ctgQ
I ( yC yB )ctg ( y A yC )ctg (xA xB ) II (xC xB )ctg (xA xC )ctg ( yC y A )
ctgQ I II
(9 - 7)
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2）求N
N ( yC yB )(ctg ctgQ) (xC xB )(1 ctgctgQ) N ( yA yC )(ctg ctgQ) (xA xC )(1 ctgctgQ)
PB
1
cot B cot
tan tan B tan tan B
Ra P Rc
A
∠A、∠B、∠C为三个
C
1
tan tan C
PC
cotC cot
tan
tan C
已知点构成的三角形的三 个内角。即后方交会基本
xP
PA xA PB xB PC xC PA PB PC
yP
PA yA PB yB PC yC PA PB PC
出P点坐标。
2
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3）后方交会 如图，A、B、C为已 知点，P为待定点， 在待定点P上安置仪 器，观测水平角，求
出P点坐标。
3
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4）其它交会
旁点交会图形
双点后方交会图形
4
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2．测边交会 如图，A、B为已知点， P为待定点，测量两 待定边的距离，求出 P点坐标。
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2．计算公式
x p xA L(xB xA) H ( yB yA)
y p yA L( yB yA) H (xB xA) 式中
L
l S AB
Sb2
S AB 2 2S 2 AB
Sa2
H h S AB
Sb2 S 2 AB
L2
Sa2 S 2 AB
G2
G
检查手簿、抄录起算数据（核 对）、坐标反算、归心投影计算、 求各点坐标、评定精度。
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§9.2 前方交会
一.前方交会的 计算
一. 计算公式（余切公式、戎格公式） P
已知点： A(XA,YA)、B(XB,YB) 待定点： P 观测数据：、,( =180--)
A
8
B
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四、后方交会的检核
1．观测检查角ε（同侧方交会） 2．分两组计算
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§9.5 交会点的精度
概述
待定点坐标XP、YP是已知点坐标和观测角的函数。 XP =f（XA，YA，…，α，β，…） YP =φ（XA，YA，…，α，β，…）
对上面两式求全微分，忽略已知点坐标的误差， 应用误差传播定律，得，则交会点的点位中误差 为：
两个N值可互为计算的检核。
3）求坐标
(9 - 8)
xp
xC
N 1 ctg 2Q
N
yp
yC
ctgQ • 1 ctg 2Q
(9 - 9)
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2．仿权公式（安谢麦特公式） ： B
Rc Rb
Ra Rc
Rb
Rb Ra
PA
1
cot A cot
tan tan A tan tan A
第九章 交会法和小三角测量
§9.1 概 述 一、控制点的布设形式 1．测角交会
1）前方交会 如图，A、B为已知
点，P为待定点，在两 个已知点上安置仪器， 观测水平角，求出P点 坐标。
1
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2）侧方交会 如图，A、B为已知 点，P为待定点，B点不 能安置仪器，所以在已 知点A及待定点P上安置 仪器，观测水平角，求
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二、检核 1．两组前方交会 双点前方交会，不能发现观测错误及用
错起算数据的错误。为了检核，通常是布 设成两组前方交会，比较两组计算结果， 其差异是否在允许范围之内。
2．限差规定
s
x
2 p
y
2 p
20.1M (mm)
(9 -3)
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三、图形要求
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§9.3 侧方交会
一、适应条件 一个已知点不能设站，而未知点上可以设站。
二、计算公式 把侧方交会转化为前方交会，
β=180°- α –γ
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三、检核
在待定点观测另一个已知点C得检查角ε， 计算出P点坐标后，反算PC、PB的方位角，其差
值为ε计，两者的差异Δε应满足下式规定：
由测角交会和测边交会知道： 确定一个点的平面位置，需要两个
观测量。
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3、小三角网的布设形式
D
D
B
E
F C
A
A
C
E
单三角锁
B
C
B
F
中点多边形
B A
D F
A
D
大地四边形
6
C
E
线型锁
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二、作业步骤
1．外业 选点（图上选点、实地勘察）、
造标、埋石、观测（测角、测边） 2．内业
三、精度分析
1．点位中误差
mp
sm
sin 2
1 (sin 2 sin 2 sin 2 )
3
或 m 1 (b2 a2 s2 )
sin 3
(9 - 25) (9 - 26)
式中，s以km为单位，m以秒为单位，mp以mm为单位。
2．点位中误差与图形的关系
1）因为有一个多余观测，对观测角进行了改正， 所以精度比前方交会更高。
注意图形编号顺序，对地形控制点，坐标取
至cm，三角函数要取6位小数。
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前方交会计算实例
野外点位略图
已
点号
x/m
y/m
知
数
D6
116.942 683.295
据
D7
522.909 794.647
D8
781.305 435.018
观
Ⅰ组
α1=59°10′42″
测
β1=56°32′54″
折迭图形
基线边不通视的情况
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基线边不通视的情况的计算
可以把它转换成典型的两点前方交会， 另外，也可以按下式计算：
xP
xAtg AP xBtgBP yA tg AP tgBP
yB
YP
yActg AP yBctgBP xA ctg AP ctgBP
xB
它省去了坐标反算的步骤。
观测三角形的三个内角。 2．适应于控制点少或不通视，而且已知点
和待定点都能设站的情况。
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二、计算 1．计算并分配三角形内角和闭合差。 2．用改正后的角度按前方交会公式计算点 的坐标。 3．已知点坐标抄错或角度搞反，计算时发
现不了，要特别注意。
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γ＞90°，U“＞0，U有极小值；
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结论： 1）当交会角γ＞90°时，前方交 会点宜选在与已知点构成等腰三
角形的位置，最佳位置为 γ=109°28′16″；
2）当交会角γ＜90°时，则以靠 近已知点的位置为好。
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§9.6 单三角形
一、特点及适应条件 1．由两个已知点和一个待定点组成三角形，
2）当α=β= 39°38′10.7″，
γ=100°43′38.6″时精度最高。
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§9.7 其它交会方法
这里在就只介绍双点后方交会的几种图形 布设。适应于测区控制点较少的情况
待定点在已知点两侧 待定点在已知点同侧
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检核图形
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