第八章-弯曲剪应力与强度校核
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许用应力［σ］时，称为等强度梁。
P
l
l
2
2
§8-6 非对称截面梁平面弯曲的条件 开口薄壁截面梁的弯曲中心
一、非对称截面梁平面弯曲的条件
前面讨论的平面弯曲，仅限于梁至少有一 个纵向对称面，外力均作用在该对称面内且垂 直于轴线。
对于非对称截面梁。横截面上有一对形心 主惯性轴y、z，形心主惯性轴y、z与轴线x组 成两个形心主惯性平面xOy、xOz
M Iz
S
* z
N I I A *d A A * ( M I d z M ) y d A M I z d M A * y d A M I z d M S z *
NI
N II
N IIN Ibdx
M IzdMSz*M IzSz*bdx
S
* z
dM
Q
S
* z
Izb dx I zb
NI
段所组成，则此交点就是截面的弯曲中心。
•
试画出下列各薄壁截面弯曲中心的大致位
置。若剪力Ｑ的方向垂直向下，试画出剪应力
流的方向。
CL8TU27，28
作业（P131-134）
• 2、3、4、5、13、14、20、21
B
maxmin Q 1(0 .95~0 .97)Q
Q bh
CL8TU17
在翼缘上，有平行于Q的剪应力分量，分 布情况较复杂，但数量很小，并无实际意义， 可忽略不计。
在翼缘上，还有垂直于Q方向的剪应力分 量，它与腹板上的剪应力比较，一般来说也是 次要的。
腹板负担了截面上的绝大部分剪力，翼缘 负担了截面上的大部分弯矩。
§8-4 弯曲剪应力和强度校核
一、矩形截面梁的剪应力
q(x)
P
h
x dx
b
q(x)
M(x)
M (x)dM (x)
z
My
Iz
CyL8TU16
假 设 ： 1 )的 方 向 都 与 Q 平 行 ;
2 )沿 宽 度 均 布 。
y
NI
N II
NI
dA
A*
A*
My Iz
dA
M y dA I z A*
N II
Q
S
* Z
IZ b
式中
bh3 IZ 12 ,
SZ*
b h2
2 4
y2
6Q h2
bh3
4
y2
h
max
3 Q3Q 2bh 2 A
b
z
max
二、工字形截面梁的剪应力
在腹板上：
Q
S
* Z
IZ b
翼缘
b
maxIZ QbBH 82(Bb)h82腹板
y
hH
min IZQbBH 82 Bh82
• 以槽钢为例说明截面弯曲中心的确定方法。
CL8TU26
剪应力合力的作用点就是截面弯曲中心的位置
• 薄壁截面的弯曲中心位置，符合下列规则: • (1)具有两个对称轴或反对称轴的截面，其弯
曲中心与形心重合。 • (2)具有一个对称轴的截面，其弯曲中心一定
在这个对称轴上。 • (3)若截面的中线是由若干相交于一点的直线
4
4m
所 以 dm in137m m
§8-5 提高梁强度的主要措施
控制梁弯曲强度的主要因素是弯曲正应力，即
以
max
Mmax WZ
[]
作为梁设计的主要依据。因此应使Mmax尽可 能地小，使WZ尽可能地大。
一、梁的合理截面 • 合理的截面形状应使截面积较小而抗弯截面
模量较大。
P h
zb b
z
h
CL8TU20
对于标准工字钢梁：
max
Q SZ* max IZ b
Q
b
IZ SZ* max
三、圆截面梁的剪应力
y
Q
S
* Z
IZ b
Q
下面求最大剪应力：
z
max
4Q 3A
y
CL8TU18
弯曲剪应力强度条件
max
Qmax
S* Z max
IZ b
[]
例：圆形截面梁受力如图所示。已知材料的 许用应力［σ］=160MPa，［τ］=100MPa，试 求最小直径dmin。
CL8TU21
P
y1 y2
y1 [ t ] y 2 [ c ]
Cz
CL8TU9
二、合理安排梁的受力情况
q
q
l
ql2 M
8
x
x
l
x0.207l M 0.0214ql2
CL8TU22
P
l
l
2
2
M Pl / 4
a Pa
22
l
l
2
2
M
a l 2
Pl / 8
CL8TU23
三、采用变截面梁 • 梁的各横截面上的最大正应力都等于材料的
形心主惯性平面
y、z轴为形心主惯性轴
CL8TU24
• 对于非对称截面梁，由实验和弹性理论分析 可以得到它发生平面弯曲的条件是:
• (1)当外力偶作用在平行于形心主惯性平面的 任一平面内时,梁产生平面弯曲。
• (2)当横向外力作用在平行于形心主惯性平面 的平面内，并且通过特定点时，梁发生平面 弯曲。否则将会伴随着扭转变形。但由于实 体构件抗扭刚度很大，扭转变形很小，其带 来的影响可以忽略不计。
q20kN/m
A
Bd
4m
CL8TU19
解：
Q m ax40kN,
Mmax
ql2 8
Biblioteka Baidu
40kNm
由正应力强度条件：
max
Mmax Wz
[]
即
40103
d3
160106
得d137mm
32
由剪应力强度条件：
max A
43qQm Aax20[kN ] /即 m434B0d1203
100106
d
得d26.1mm
二、开口薄壁截面的弯曲中心
• 对于开口薄壁截面梁，即使横向力作用于形 心主惯性平面内(非对称平面)，则梁除发生 弯曲变形外，还将发生扭转变形。
• 只有当横向力的作用线平行于形心主惯性平 面并通过某个特定点时，梁才只发生平面弯 曲，而无扭转变形。这个特定点称为横截面 的弯曲中心，用A表示。
A
CL8TU25
P
l
l
2
2
§8-6 非对称截面梁平面弯曲的条件 开口薄壁截面梁的弯曲中心
一、非对称截面梁平面弯曲的条件
前面讨论的平面弯曲，仅限于梁至少有一 个纵向对称面，外力均作用在该对称面内且垂 直于轴线。
对于非对称截面梁。横截面上有一对形心 主惯性轴y、z，形心主惯性轴y、z与轴线x组 成两个形心主惯性平面xOy、xOz
M Iz
S
* z
N I I A *d A A * ( M I d z M ) y d A M I z d M A * y d A M I z d M S z *
NI
N II
N IIN Ibdx
M IzdMSz*M IzSz*bdx
S
* z
dM
Q
S
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NI
段所组成，则此交点就是截面的弯曲中心。
•
试画出下列各薄壁截面弯曲中心的大致位
置。若剪力Ｑ的方向垂直向下，试画出剪应力
流的方向。
CL8TU27，28
作业（P131-134）
• 2、3、4、5、13、14、20、21
B
maxmin Q 1(0 .95~0 .97)Q
Q bh
CL8TU17
在翼缘上，有平行于Q的剪应力分量，分 布情况较复杂，但数量很小，并无实际意义， 可忽略不计。
在翼缘上，还有垂直于Q方向的剪应力分 量，它与腹板上的剪应力比较，一般来说也是 次要的。
腹板负担了截面上的绝大部分剪力，翼缘 负担了截面上的大部分弯矩。
§8-4 弯曲剪应力和强度校核
一、矩形截面梁的剪应力
q(x)
P
h
x dx
b
q(x)
M(x)
M (x)dM (x)
z
My
Iz
CyL8TU16
假 设 ： 1 )的 方 向 都 与 Q 平 行 ;
2 )沿 宽 度 均 布 。
y
NI
N II
NI
dA
A*
A*
My Iz
dA
M y dA I z A*
N II
Q
S
* Z
IZ b
式中
bh3 IZ 12 ,
SZ*
b h2
2 4
y2
6Q h2
bh3
4
y2
h
max
3 Q3Q 2bh 2 A
b
z
max
二、工字形截面梁的剪应力
在腹板上：
Q
S
* Z
IZ b
翼缘
b
maxIZ QbBH 82(Bb)h82腹板
y
hH
min IZQbBH 82 Bh82
• 以槽钢为例说明截面弯曲中心的确定方法。
CL8TU26
剪应力合力的作用点就是截面弯曲中心的位置
• 薄壁截面的弯曲中心位置，符合下列规则: • (1)具有两个对称轴或反对称轴的截面，其弯
曲中心与形心重合。 • (2)具有一个对称轴的截面，其弯曲中心一定
在这个对称轴上。 • (3)若截面的中线是由若干相交于一点的直线
4
4m
所 以 dm in137m m
§8-5 提高梁强度的主要措施
控制梁弯曲强度的主要因素是弯曲正应力，即
以
max
Mmax WZ
[]
作为梁设计的主要依据。因此应使Mmax尽可 能地小，使WZ尽可能地大。
一、梁的合理截面 • 合理的截面形状应使截面积较小而抗弯截面
模量较大。
P h
zb b
z
h
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对于标准工字钢梁：
max
Q SZ* max IZ b
Q
b
IZ SZ* max
三、圆截面梁的剪应力
y
Q
S
* Z
IZ b
Q
下面求最大剪应力：
z
max
4Q 3A
y
CL8TU18
弯曲剪应力强度条件
max
Qmax
S* Z max
IZ b
[]
例：圆形截面梁受力如图所示。已知材料的 许用应力［σ］=160MPa，［τ］=100MPa，试 求最小直径dmin。
CL8TU21
P
y1 y2
y1 [ t ] y 2 [ c ]
Cz
CL8TU9
二、合理安排梁的受力情况
q
q
l
ql2 M
8
x
x
l
x0.207l M 0.0214ql2
CL8TU22
P
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2
2
M Pl / 4
a Pa
22
l
l
2
2
M
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Pl / 8
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三、采用变截面梁 • 梁的各横截面上的最大正应力都等于材料的
形心主惯性平面
y、z轴为形心主惯性轴
CL8TU24
• 对于非对称截面梁，由实验和弹性理论分析 可以得到它发生平面弯曲的条件是:
• (1)当外力偶作用在平行于形心主惯性平面的 任一平面内时,梁产生平面弯曲。
• (2)当横向外力作用在平行于形心主惯性平面 的平面内，并且通过特定点时，梁发生平面 弯曲。否则将会伴随着扭转变形。但由于实 体构件抗扭刚度很大，扭转变形很小，其带 来的影响可以忽略不计。
q20kN/m
A
Bd
4m
CL8TU19
解：
Q m ax40kN,
Mmax
ql2 8
Biblioteka Baidu
40kNm
由正应力强度条件：
max
Mmax Wz
[]
即
40103
d3
160106
得d137mm
32
由剪应力强度条件：
max A
43qQm Aax20[kN ] /即 m434B0d1203
100106
d
得d26.1mm
二、开口薄壁截面的弯曲中心
• 对于开口薄壁截面梁，即使横向力作用于形 心主惯性平面内(非对称平面)，则梁除发生 弯曲变形外，还将发生扭转变形。
• 只有当横向力的作用线平行于形心主惯性平 面并通过某个特定点时，梁才只发生平面弯 曲，而无扭转变形。这个特定点称为横截面 的弯曲中心，用A表示。
A
CL8TU25