正圆锥台展开计算公式
展开放样基础知识
2.取a’b’ 为另一直角边;
所得直角三角形的斜边即实长AB 。
O b
解题完毕
直角三角形求实长的作图要领
1）做一个直角 2）令直角的一边等于线段在某一投影面上的投影 长， 直角的另一边等于线段两端点相对于该投影 面的距离差（此距离差可由线段的另一面投影图量 取）； 3）连接直角两端点成一直角三角形，则其斜边即 为线 段的实长。
线段实长的判断
正平线（平行于Ｖ面）
投影面平行线 侧平线（平行于Ｗ面）
1、特殊 位置 直线
投影面垂直线
水平线（平行于Ｈ面）
正垂线（垂直于Ｖ面） 侧垂线（垂直于Ｗ面） 铅垂线（垂直于Ｈ面）
2、一般位置直线（倾斜于各投影面）
3、曲线（略）
1.平行线
水平线AB//H
V a ′ b′
Aβ γ
a″ b″W
B
5.1 平行线法展开
展开时将工件的表面看作由无数条相互平行的素线组成 ，取两 条相邻素线及其两端线所围成的小面积作为平面 ，将每个小平面的真实大小依次画在平面上，即得到构件 的展开图。该展开方法为平行线展开法，此法适用于素线 相互平行的构件展开（如：上斜口圆管、上斜口四棱管、 圆柱面等）。
届数学一轮复习第八章立体几何与空间向量第2节空间几何体的表面积和体积教学案含解析
第2节空间几何体的表面积和体积考试要求了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式。
知识梳理1。
多面体的表(侧）面积多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和。
2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π（r1＋r2）l3.空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体S表面积＝S侧＋V＝S底h(棱柱和圆柱)2S底锥体（棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝错误!S底h台体（棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝错误!（S上＋S下＋错误!)h球S＝4πR2V＝错误!πR3［常用结论与微点提醒］1。
正方体与球的切、接常用结论正方体的棱长为a,球的半径为R，(1)若球为正方体的外接球，则2R＝错误!a；（2)若球为正方体的内切球，则2R＝a；(3）若球与正方体的各棱相切，则2R＝错误!a。
2。
长方体的共顶点的三条棱长分别为a,b，c，外接球的半径为R,则2R＝错误!。
3。
正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1。
诊断自测1。
判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×")(1)锥体的体积等于底面面积与高之积。
（)（2)两个球的体积之比等于它们的半径比的平方。
（)(3）台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.（)(4）已知球O的半径为R,其内接正方体的边长为a，则R＝错误!a。
(）解析(1)锥体的体积等于底面面积与高之积的三分之一，故不正确.（2)球的体积之比等于半径比的立方，故不正确.答案（1）×（2）×（3)√(4)√2。
(新教材必修第二册P120T5改编)一个正方体的顶点都在球面上，若球的表面积为4π，则正方体的棱长为（)A。
33 B.错误! C.错误!D。
错误!解析由S＝4πR2＝4π，得R＝1，故2×1＝3a，得a＝错误!。
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2、放样的一般步骤：
读图——准备放样工量 具——选择放样基准——放 样操作
放样工具：
钢尺、中心冲、划线平板、直 角尺、划针、锤子、划针盘、圆 规
5
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（3）选择放样基准：
基准一般应选在构件的对称平面、底面、重要端面以及回转 体轴线上。
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（4）、放样划线的基 本操作： （5）、放样划线时的 注意事项 ： （6）、放样操作的步 骤：
t 2
t 2
＝（ d - ） 180 L 2
图2.40 圆锥管放样展开时的板厚度处理
48
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2.7
简单几何形体的展开计算
2.7.1 正圆柱管的展开计算
以中心层作为计算依据。正圆柱管展开后为一矩形。 正圆柱中心展开圆周长
L D t d t d1
展开后表面积（mm2）；
32
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1.求形体表面上点的投影 （1）用素线法求形体表面点的投影
原理： 设想圆锥面是由许多 素线所组成的，圆锥面上 任一点必然在过该点的素 线上。只要求出该点的素 线投影，即可求出该点的 投影。
图2.27 用素线法求圆柱、圆锥表面点的投影 33
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1.求形体表面上点的投影 （2）用纬线法求形体表面点的投影
30
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2.4.4 基本知识：
相贯体的展开
由两个或两个以上形体组合而成的构件称为相贯 体。其表面的交线称为相贯线。对于相贯体构件的展 开而言，关键就是相贯线的求法。常见的相贯线求法 有直线型相贯线法、素线法、纬线法、辅助平面法等。
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2.4.4
相贯体的展开
1.求形体表面上点的投影 （1）用素线法求形体表面点的投影 （2）用纬线法求形体表面点的投影 （3）用辅助平面法求形体表面点的投影 2. 求形体相贯线 （1）直线型相贯线 （2）用素线法求圆锥面直交圆柱面的相贯线及展开图 （3）用纬线法求圆柱面侧面直交正圆锥面的相贯线及其展开图 （4）用辅助平面法求两圆柱正交的相贯线并作其表面展开图
圆锥展开计算公式
圆锥面积公式及体积公式
圆锥面积公式及体积公式圆锥是一种常见的几何体，其形状独特，具有很多特殊的性质。
在数学中，我们常常需要计算圆锥的面积和体积，这些计算公式对于求解各种数学问题都非常重要。
本文将介绍圆锥面积公式及体积公式的推导过程和应用，希望对读者有所帮助。
一、圆锥面积公式圆锥的面积指的是其侧面积和底面积之和。
首先我们来推导圆锥的侧面积公式。
假设圆锥的高为h，底面半径为r，侧面母线长为l，则圆锥的侧面积可以表示为：S = πrl其中，π是圆周率，r是底面半径，l是侧面母线长。
这个公式的推导过程比较简单，可以通过圆锥的投影图来理解。
我们知道，圆锥的侧面可以展开成一个扇形，其弧长为侧面母线长l，半径为圆锥的斜高s。
根据圆的面积公式，扇形的面积为πrs/360°，因此圆锥的侧面积可以表示为πrs/2。
又因为s^2 = r^2 + h^2，所以r = (s^2 - h^2)^0.5，代入公式中得到S = πrl。
接下来我们来推导圆锥的底面积公式。
圆锥的底面是一个圆形，其面积可以表示为πr^2，其中r是底面半径。
因此，圆锥的总面积可以表示为S = πrl + πr^2。
二、圆锥体积公式圆锥的体积指的是其内部空间的容积，也就是可以装下多少物体。
圆锥的体积公式可以通过圆锥的底面积和高来计算。
假设圆锥的高为h，底面半径为r，则圆锥的体积可以表示为：V = 1/3 ×πr^2h这个公式的推导过程比较简单，可以通过圆锥的几何性质来理解。
我们知道，圆锥可以看作是一个由无数个薄圆盘叠加而成的立体图形。
每个薄圆盘的面积可以表示为πr^2，厚度为dx，则其体积可以表示为πr^2dx。
将所有薄圆盘的体积叠加起来，并对x从0到h积分，即可得到圆锥的体积公式。
三、圆锥面积公式和体积公式的应用圆锥面积公式和体积公式在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
下面我们来介绍一些常见的应用场景。
1. 计算圆锥容器的容积圆锥容器是一种常见的工业容器，用于存放液体或气体。
高中数学 必修2(北师大)6.6.1柱、锥、台的侧面展开与面积
易错警示
易错原因
纠错心得
解本题易出现的错误有：(1)错误判 断几何体的形状，如绕 x 轴旋转时 漏掉了线段 OB 所产生的圆面，这 样计算时就少了这个圆的面积；(2) 用错旋转体的面积计算公式，特别 是圆台的侧面积公式，导致运算错 误.
确定平面图形旋转形成的几何体 的形状时，要根据旋转体的定义， 将平面图形分成一些矩形、直角三 角形、直角梯形、半圆等，要注意 形成的旋转体之间的关系，尤其是 几何体的挖空或重叠，防止求解几 何体的表面积时造成遗漏或重复 计算.
2．已知长方体同一顶点上的三条棱长分别为 1,2,3，则该长方体 的表面积为( )
A．22 B．20 C．10 D．11
解析：长方体的表面积为 S 表＝2×(1×2)＋2×(1×3)＋2×(2×3)＝22. 答案：A
3．若圆柱的轴截面为边长为 2 的正方形，求圆柱的侧面积( ) A．2π B．4π C．6π D．8π
解析：设正三棱锥底面边长为 a，斜高为 h′，
如图所示，过 O 作 OE⊥AB，连接 SE，则 SE⊥AB，且 SE＝h′. 因为 S 侧＝2S 底，
所以21×3a×h′＝ 43a2×2， 所以 a＝ 3h′. 因为 SO⊥OE，所以 SO2＋OE2＝SE2，
所以
32＋
63×
3h′2＝h′2，
所以 h′＝2 3，所以 a＝ 3h′＝6，
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)把柱、锥、台的侧面无论沿哪一条侧棱或母线剪开，所得到的 展开图形状都相同，面积都相等．( √ ) (2)无论是哪种几何体，它们的侧面展开图都是极为规则的平面图 形．( × ) (3)空间几何体的侧面积即是表面积．( × ) (4)圆台的侧面展开图是一个扇环．( √ )
钣金展开放样
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2.4.4 相贯体的展开
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基本知识：
由两个或两个以上形体组合而成的构件称为相贯 体。其表面的交线称为相贯线。对于相贯体构件的展 开而言，关键就是相贯线的求法。常见的相贯线求法 有直线型相贯线法、素线法、纬线法、辅助平面法等。
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2.4.4 相贯体的展开
原理： 用过形体表面任一点
所作的平面截切形体，可 得到一条纬线（面与形体 的交线），那么该点必定 在该纬线上，只要把该纬 线投影到另一视图上，就 可求出该点在另一视图上 的投影。
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图2.28 用纬线法求作圆锥表面点的投影 35
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1.求形体表面上点的投影 （3）用辅助平面法求形体表面点的投影
原理： 若沿着纬线的方向 划分球面，相邻两 纬线之间的球面被 近似地看成以相邻 两纬线为上、下底 边的正圆锥面或圆 柱面。
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2. 用经线法作半球面的展开图
。
原理： 若顺着球体经线方 向把球面划分为若 干等份，把其中两 相邻经线之间的不 可展曲面近似地看 做沿经线方向的单 向弯曲的可展圆柱 面，然后再用平行 线法展开这一近似 圆柱面
作图步骤： （1）在直线AB上任取1、 2两个点； （2）分别以1、2两点为 圆心，以a为半径画两段 圆弧； （3）作与两圆弧外切的 公切直线CD。CD即所求 平行线。
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2.1.3、圆的等分：
（1）计算法： 根据多边形边数查表计算
出多边形的边长。 （2）作图法：
① 引出相互垂直的两直线 段AB, CD，并交于O点，以O 点为圆心，R为半径画圆。
有关圆锥展开图计算的两个重要公式
有关圆锥展开图计算的两个重要公式⼤家在解决有关圆锥侧⾯展开图的计算问题时，通常利⽤了两个等量关系，第⼀个是=×底⾯圆周长(或侧⾯的弧长)×母线长，第⼆个就是侧⾯的弧长等于底⾯的周长，但每次都直接利⽤这两个等量关系来计算还是很⿇烦，特别是同学们往往容易忘记乘以系数，基于此我们不妨把这两个等量关系进⼀步推导，得出实质性的乘积、⽐例公式。
我相信同学们在理解并运⽤这两个公式后，解题的思路可以变得清晰，速度和准确度也可以得到很⼤的提⾼。
⼀、推导公式：1.乘积式：侧⾯积：全⾯积：2.⽐例式：弧长等于⊙O1的周长∵∴⼜∵即：这两组公式的优点是避开了求底⾯圆周长，⽽直接建⽴了S侧与R、r的乘积关系，以及圆⼼⾓n与R、r的⽐例关系，减少了许多中间过程，特别是⽐例式给我们的计算带来了极⼤的便利。
⼆、运⽤乘积式：类型⼀：顺向使⽤公式【问题】（2009济南）在综合实践活动课上，⼩明同学⽤纸板制作了⼀个圆锥形漏⽃模型．如图所⽰，它的底⾯半径⾼则这个圆锥漏⽃的侧⾯积是（）A． B． C． D．分析：从刚才推导出的可以看出，只与圆锥的母线长度以及底⾯圆半径有关，若题⽬没有直接给出母线长度以及底⾯圆半径，往往还可以利⽤R、r和h组成的直⾓三⾓形，求出未知的R 或r来，从⽽计算出侧⾯积。
结论：要求,就求R、r。
解答：此题由底⾯半径⾼可以求出母线BC为10cm，即R=10cm，r=6cm，再由，选C。
【练习】1. （2009铁岭）⼩丽想⽤⼀张半径为5cm的扇形纸⽚围成⼀个底⾯半径为4cm的圆锥，接缝忽略不计，则扇形纸⽚的⾯积是cm2．（结果⽤表⽰）202.（2009南昌）⼀个圆锥的底⾯直径是80cm,母线长是90cm,则它的侧⾯积是____ 。
3600cm23. （2008成都）⼩红同学要⽤纸板制作⼀个⾼4cm，底⾯周长是6πcm的圆锥形漏⽃模型，若不计接缝和损耗，则她所需纸板的⾯积是（）BA．12πcm2 B．15πcm2 C．18πcm2 D．24πcm2类型⼆：逆向使⽤公式【问题】（2009义乌）如图，圆锥的侧⾯积为，底⾯半径为3，则圆锥的⾼AO为 .分析：从刚才推导出的可以看出，已知、R、r中任意两个量可以求出余下未知的量，若题⽬要求求出圆锥的⾼h，往往还可以利⽤R、r和h组成的直⾓三⾓形，从⽽求出。
锥台的表面积计算公式
锥台的表面积计算公式
锥台，也称为截头圆锥，是一个几何体，其形状是由两个平行的圆面和一个侧面围成的。
要计算锥台的表面积，我们需要计算两个底面的面积和一个侧面的面积，然后将它们相加。
假设锥台的上底面半径为 r1，下底面半径为 r2，高为 h。
1.上底面的面积公式是：A1 = π × r1^2
2.下底面的面积公式是：A2 = π × r2^2
3.侧面的面积公式稍微复杂一些。
侧面的母线长度 l 可以通过
勾股定理计算：l = √[(r2 - r1)^2 + h^2]。
侧面的面积公式是：A_side = π × (r1 + r2) × l
因此，锥台的表面积 A_total 是上底面面积、下底面面积和侧面面积的和：
A_total = A1 + A2 + A_side
A_total = π × r1^2 + π × r2^2 + π × (r1 + r2) ×
√[(r2 - r1)^2 + h^2]
这个公式可以用来计算锥台的表面积。
注意，π 是圆周率，通常取值为 3.14159 或其他近似值。
高中数学 1.7.1 柱、锥、台的侧面展开与面积课件 北师大版必修2
• 圆锥与圆台(yuántái)的侧面积
圆锥的中截面把圆锥侧面分成两部分，这两部分
侧面积的比为( )
A．1∶1
B．1∶2
C．1∶3
D．1∶4
• [思路分析(fēnxī)] 本题主要考查圆锥的侧面 积和圆台的侧面积，关键是利用比例的关系 求解．
• [答案] C
第二十六页，共40页。
• [规B1F范＝(hg′u，īfBàFn＝)解12(8答－4])＝解2，法1：如图，在 RBt1△B＝B81，FB中，
∴B1F＝ 82－22＝2 15， ∴h′＝B1F＝2 15， ∴S 正棱台侧＝12(4×8＋4×4)·2 15 ＝48 15(cm2)．
第二十页，共40页。
解法 2：正四棱台的侧棱延长后交于一点 P，设 PB1＝x， 则x＋x 8＝24，得 x＝8， ∴PB1＝B1B＝8. ∴E1 为 PE 的中点， ∴PE1＝ 82－22＝2 15， PE＝2PE1＝4 15.
母线长．)
第六页，共40页。
• 2．直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积 • S直棱柱侧C＝h ________ • (其中C为底面周长(zhōu chánɡ)，h为高) • S正棱锥侧12＝Ch_′_______________. • (其中C为底面周长(zhōu chánɡ)，h′为斜高，
即侧面等腰三角形的高．) • S正棱台侧＝12(C_＋_C_′_)_h_′__________. • (其中C′，C分别为上、下底面周长(zhōu
第三十八页，共40页。
[错解二] 3 10 因为正四棱台的上、下底面面积分别为 4、16，所以上、下底面的边长分别为 2,4.
根据高、斜高和底面边心距得到的直角三角形，可求得斜 高 h′＝ 32＋4－2 22＝ 10.
如何区分正圆锥与斜圆锥的几何性质
如何区分正圆锥与斜圆锥的几何性质在我们的几何世界中，圆锥是一种常见且重要的几何体。
其中，正圆锥和斜圆锥是圆锥的两种主要类型。
要清晰地区分它们的几何性质，需要从多个方面进行深入的了解和比较。
首先，让我们来明确一下什么是正圆锥和斜圆锥。
正圆锥是指圆锥的顶点与底面圆心的连线垂直于底面的圆锥；而斜圆锥则是顶点与底面圆心的连线不垂直于底面的圆锥。
从外观上来看，正圆锥给人的感觉是比较规整和对称的。
它的母线长度都相等，整个形状显得较为均匀。
而斜圆锥则会有一种“倾斜”的视觉效果，母线长度不相等，形状相对不太规则。
从底面的角度来看，正圆锥的底面是一个标准的圆形，圆心和圆锥顶点的连线垂直于底面。
这意味着底面的任意一条直径所对应的圆周角都是直角。
而斜圆锥的底面虽然也是圆形，但由于顶点位置的倾斜，底面圆心和顶点的连线与底面不垂直，所以底面直径对应的圆周角不再都是直角。
在侧面展开图方面，正圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长度，弧长等于底面圆的周长。
由于正圆锥的母线长度相等，所以展开图的扇形形状比较规则。
而斜圆锥的侧面展开图同样是扇形，但由于母线长度不相等，扇形的形状会有所扭曲，不再那么规整。
再来看它们的高。
正圆锥的高是从顶点到底面圆心的垂直距离，并且这个高是唯一确定的。
而斜圆锥的高则需要通过特定的方法来确定，通常是从顶点作底面的垂线，这条垂线的长度才是斜圆锥的高。
由于顶点位置的倾斜，斜圆锥的高不如正圆锥的高那么直观和容易确定。
体积的计算也是区分它们的一个重要方面。
对于正圆锥和斜圆锥，体积的计算公式都是 V ＝ 1/3 × S × h （其中 V 表示体积，S 表示底面积，h 表示高）。
但由于斜圆锥的高和底面位置关系相对复杂，在实际计算体积时，可能需要更多的辅助线和几何推理。
从轴截面的角度来看，正圆锥的轴截面是一个等边三角形，而斜圆锥的轴截面则是一个等腰三角形，但不是等边三角形。
在实际应用中，正圆锥和斜圆锥也有不同的用途。
简单几何图形与表面积公式
思考?
直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积 公式之间有何关系,如何转化？
c c
c0
h h
S ch 直棱柱侧
S正棱台侧 12c'ch'
S正棱锥侧
1ch' 2
四、例题讲解
例1：圆台的上、下底半径分别是10cm和
20cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180o， 那么圆台的侧面积是多少？(结果中保留π)
S表面积=S侧面积 + S底面积
3、将空间图形的问题转化为平面图形的问题， 是解立体几何问题基本、常用的方法。
4、应用本节所学公式解决具体的问题。
作业：P45页 3，4题
文档名
THE END!THANK YOU !
简单几何图形与表面积公式几何图形计算公式长方体的表面积公式圆柱体的表面积公式圆柱的表面积公式表面积公式球的表面积公式圆锥的表面积公式球体表面积公式球表面积公式正方体的表面积公式
简单几何图形与表面积公式
3. 初中已经学过正方体的表面积，正 方体的展开图的面积就是其表面积。
4. 柱、锥、台体的侧面积和表面积的 关系：S表面积=S侧面积 + S底面积
s
10 A
20
O
B
例2：一个正三棱台的上、下底面边长分
别是3cm和6cm，高是3/2cm，求三棱台的
侧面积.
A1
C1
O1 D1
B1
A
C
O E D
B
课后思考题：柱体之间、锥体之间、
台体之间的侧面积有什么联系？
小结
1、圆柱, 圆锥, 圆台，直棱柱, 正棱锥, 正 棱台的平面展开图形，侧面积公式以及公 式间的转换关系。 2、柱、锥、台的侧面积和表面积的关系：