《勾股定理与旋转》专题

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例1、如图1，P 是正三角形ABC 内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，求∠APB 的度数。

练习：设P 是等边ΔABC 内的一点，PA=3， PB=4，PC=5，则 APB 的度数是________.

例2 . 如图P 是正方形ABCD 内一点，点P 到正方形的三个顶点A 、B 、C 的距离分别为PA=1，PB=2，PC=3。求此正方形ABCD 面积。

A

P

B

C

图2

图1

B

【问题探究】

1、阅读下面材料：

小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC （其

AB=2，

小伟是这样思考的：利用变换和等边三

角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转中心将△ABP逆时针旋转60°得到△A’BC,连接A A',当点A落在C A'上时,此题可解（如图2）．

请你回答：AP的最大值是．参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：

如图3，等腰Rt△ABC．边AB=4,P为△ABC内部一点，

则AP+BP+CP

（结

果可以不化简）

2、阅读下面材料：

图3

小阳遇到这样一个问题：如图（1），O 为等

边△ABC 内部一点，且3:2:1::=OC OB OA ，求AOB ∠的度数.

小阳是这样思考的：图（1）中有一个等边三角形，若将图形中一部分绕着等边三角形的某个顶点旋转60°，会得到新的等边三角形，且能达到转移线段的目的.他的作法是：如图（2），把△CO A 绕点A 逆时针旋转60°，使点C 与点B 重合，得到△O AB '，连结O O '. 则△O AO '是等边三角形，故OA O O ='，至此，通过旋转将线段OA 、OB 、OC 转移到同一个三角形B O O '中.

（1）请你回答：︒=∠AOB .

（2）参考小阳思考问题的方法，解决下列问题：

已知：如图（3），四边形ABCD 中，AB=AD ，

D

C B

A 图⑴ 图⑵

O C B A

∠DAB=60°，∠DCB=30°，AC=5，CD=4.

求四边形ABCD的面积.

3、阅读下列材料：

问题：如图1，P为正方形ABCD内一点，

且PA∶PB∶PC=1∶2∶3，求∠APB的度数．小娜同学的想法是：不妨设PA=1，PB=2，PC=3，设法把PA、PB、PC相对集

中，于是他将△BCP绕点B顺时针旋转90°得到△BAE（如图2），然后连结PE，问题

得以解决．

请你回答：图2中∠APB的度数为．

请你参考小娜同学的思路，解决下列问题：

如图3，P是等边三角形ABC内一点，

已知∠APB=115°，∠BPC=125°．

（1）在图3中画出并指明以PA、PB、

PC的长度为三边长的一个三角形

（保留画图痕迹）；

E

D

D

P

P

P

C

C

C

B

B

B

A

A

A

（2）求出以PA 、PB 、PC 的长度为三

边

长的三角形的各内角的度数分别等于 ．

【练习巩固】

1、阅读下列材料：

问题：如图1，在正方形ABCD 内有一点P ，PA=5，PB=2，PC=1，求∠BPC 的度数． 小明同学的想法是：已知条件比较分散，可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是他将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得到了△BP′A （如图2），然后连结PP′．

请你参考小明同学的思路，解决下列问题： (1) 图2中∠BPC 的度数为 ； (2) 如图3，若在正六边形ABCDEF 内有一点P ，且PA =132，PB =4，PC =2，则∠BPC 的度数为 ，正六边形ABCDEF 的边长为 ．

图 1 图2 图3

2、在ABC

△中，AB、BC、AC三边的长分别为5、10、

13，求这个三角形的面积．

小宝同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），

再在网格中画出格点ABC

△三个顶点

△（即ABC

都在小正方形的顶点处），如图1所示．这

样不需求ABC

△的高，而借用网格就能计算出它的面积．

（1）请你将ABC

△的面积直接填写在横线上__________________；

思维拓展：

（2）我们把上述求ABC

△面积的方法叫做构图

．．

法．．若ABC

△2a、13a、17a

（0

a ），请利用图2的正方形网格（每

个小正方形的边长为a）画出相应的ABC

△，并求出它的面积填写在横线上

__________________；

探索创新：

（3）若ABC

△中有两边的长分别为2a、10a

（0

a ），且ABC

△的面积为22a，试运用构．

图法

．．在图3的正方形网格（每个小正方

形的边长为a）中画出所有符合题意的ABC

△(全等的三角形视为同一种情况)，并

求出它的第三条边长填写在横线上

__________________．

3、阅读下面材料：

问题：如图①，在△ABC中，D是BC边上的一点，若∠BAD=∠C=2∠DAC=45°，DC=2．求BD的长．

小明同学的解题思路是：利用轴对称，把△ADC进行翻折，再经过推理、计算使问题