用母函数法推导斐波那契数列的通项公式
生成函数推导斐波那契
生成函数推导斐波那契
斐波那契数列是指由数学家莱昂纳多·斐波那契创立的一种十分有趣的数学序列。
该序列从第三项起按以下规律产生：第三项开始，每一项都等于前两项之和。
斐波那契序列的函数推导公式为：fn=fn-1+fn-2，其中f0=0，f1=1。
一般上，函数推导是指从一定知识和方法出发，按照一定顺序推导出一个函数表达式，以用数学方法说明一个问题结果时思维和计算的过程。
斐波那契数列的函数推导则是从我们熟知的斐波那契数列的递推规律出发，根据其规律去推导出斐波那契数列的函数推导式。
推导斐波那契数列的函数推导式从第三项开始，从斐波那契数列的递推规律可以得到：f2=f1+f0，即第三项的值等于前两项的和；
接下来再将这一递推规律推广，就可以得到：f3=f2+f1，即第四项的值等于前面三项之和；
同理，如此便可以延伸出更多的递推规律，从而得出斐波那契数列的函数推导公式：fn=fn-1+fn-2，其中f0＝0，f1＝1。
斐波那契数列的函数推导公式是一个非常简单的推导式，但由此公式却可以得到十分有趣的斐波那契数列。
斐波那契数列应用非常广泛，它出现在许多不同于数学的领域，它也被用于计算机编程，以解决计算机中的各种复杂问题。
由此可见，推导斐波那契数列的函数推导式具有非常重要的意义。
用母函数法推导斐波那契数列的通项公式
李文捷：用母函数法推导斐波那契数列的通项公式用母函数法推导斐波那契数列的通项公式李文捷（安徽师范大学，安徽芜湖，241000）摘 要：递推数列的通项公式的求解近年来吸引了许多数学工作者的注意，目前已经出现了诸如数学归纳法、特征方程法、待定系数法等求解方法。
受齐次线性微分方程的母函数解法的启发，研究人员利用母函数，力图寻找出著名的斐波那契数列通项公式的一种新的求解方法.关键词：递推数列；母函数；通项公式。
中图分类号：O174； 文献标识码：A ； 文章编号：1009-1114（2012）01-0043-03Derivation of the Common Term Formula Fibonaci's Seguence by Generating FunctionLI Wen-jieAbstract: The solution of the common term formula of the recurrence sequence recently has attracted much attention from mathematics researchers, and some methods has been given successfully such as mathematical induction, speciality equation, undetermined coefficient method, and so on. Enlightened from the solution of the generating function for omogenous linear differential equations, researchers try to find a new solution for the general term formula of Fibonaci's seguence by application of the generating function., Keywords: recurrence sequence; generating function; common term formula.收稿日期：2011-12-27作者简介：李文捷，女，1979年9月出生，毕业于安徽芜湖安徽师范大学数学系。
总结：生成函数（斐波那契通项公式推导）
总结：⽣成函数（斐波那契通项公式推导）⽣成函数总结前⾔形式幂级数先讲讲什么是幂级数叭幂级数是指级数的每⼀项均为与级数项序号n相对应的以常数倍的 (x−a) 的n(n∈N) 次⽅。
⽐如A(x)=∑i≥0a i(x−x0)i它与多项式不同的⼀点在于多项式只有有限项的系数是⾮零的。
接着讲形式幂级数其意思就是：对于我们⽣成的这个多项式来说，其中的变量x只是作为⼀个符号⽽已，只是⼀个形式，它的取值并不重要，我们关⼼的只是它所携带的信息⽽已。
好惨⼀变量……就⽐如在最简单的⽣成函数⽅案统计问题中，其指数就是我们要求的⽅案，⽽其系数就是答案。
后⾯讲⽣成函数的时候会细讲。
⽣成函数⽣成函数可以分为很多种，但是⽤的最⼴泛的还是普通⽣成函数和指数⽣成函数。
普通⽣成函数Ordinary Generating Function,OGF：普通⽣成函数。
定义为形式幂级数：F(x)=∑n≥0a n x n封闭形式每次计算都要写⼀长串的多项式或者写⼀个 ∑，太⿇烦了，有没有更好的⽅法？⾃然是有的，我们发现：对于序列<1,1,1,…>的普通⽣成函数F(x)=∑n≥0x n，有F(x)⋅x+1=F(x)解得F(x)=11−x，所以我们可以⽤这个来代替原来琐碎的 ∑并简化运算。
真是天⾐⽆缝⼜⼗分扯淡这种⽅法⽤的⾮常多，尤其是在求通项公式的时候，⽐如求斐波那契和卡特兰数的通项公式时就会⽤到。
⼆项式定理但是我们将⼀个多项式变成封闭形式之后就⽆法得到第n项的系数了啊。
但是没有关系，我们可以⽤⼆项式定理将其展开。
Generalized Binomial Theorem:⼴义⼆项式定理：(x+y)α=∞∑k=0αk xα−k y k ()() Processing math: 100%其中αk为⼴义⼆项式系数（其实就是实数域下的组合数）αk=αk_k !=α(α−1)…(α−k +1)k !,α∈R,k ∈Nαk_ 表⽰ α 的 k 次下降幂，即 α(α−1)…(α−k +1)。
数列的通项公式和求和公式如何推导
数列的通项公式和求和公式如何推导一、数列的通项公式推导在数学中，数列是按照一定规律排列的一组数。
每个数列都有一个通项公式，它能够用来计算数列中第n项的数值。
下面我将详细介绍数列通项公式的推导过程。
1. 等差数列的通项公式推导：等差数列是指数列中相邻两项之间的差始终相等。
设等差数列的首项为a1，公差为d，第n项为an，则可以得到如下关系式：an = a1 + (n-1)d该关系式可以推导如下：首项a1加上项数减一n-1与公差d的乘积。
2. 等比数列的通项公式推导：等比数列是指数列中相邻两项之间的比例始终相等。
设等比数列的首项为a1，公比为r，第n项为an，则可以得到如下关系式：an = a1 * r^(n-1)该关系式可以推导如下：首项a1乘以公比r的n-1次幂。
3. 斐波那契数列的通项公式推导：斐波那契数列是指数列中每一项都等于其前两项之和的数列。
设斐波那契数列的首项为a1，第二项为a2，第n项为an，则可以得到如下关系式：an = a(n-1) + a(n-2)该关系式表示，每一项等于其前一项与前两项之和。
二、数列的求和公式推导除了通项公式，数列还有求和公式，用来计算数列中一定范围内的数值之和。
下面我将详细介绍数列求和公式的推导过程。
1. 等差数列的求和公式推导：设等差数列的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，则可以得到如下求和公式：Sn = (n/2)(a1 + an)该公式可以推导如下：首项a1与末项an的和乘以项数n再除以2。
2. 等比数列的求和公式推导：设等比数列的首项为a1，公比为r，前n项和为Sn，则可以得到如下求和公式：Sn = (a1 * (1 - r^n))/(1 - r)该公式可以推导如下：根据等比数列前n项和与首项、公比的关系推导出来。
3. 斐波那契数列的求和公式推导：由于斐波那契数列没有固定的求和公式，所以求解斐波那契数列的前n项和时通常需要运用其他方法，如递推等。
通过以上推导过程，我们可以得到数列的通项公式和求和公式。
斐波那契数列通项公式的推导
斐波那契数列通项公式的推导在数学的奇妙世界里，斐波那契数列就像一颗璀璨的明珠，吸引着无数数学家和数学爱好者的目光。
斐波那契数列指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、…… ，从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
那么，如何推导出斐波那契数列的通项公式呢？让我们一起来探索这个有趣的过程。
为了推导斐波那契数列的通项公式，我们先设斐波那契数列的第 n项为＼（F_n\），则有＼（F_0 ＝ 0\），＼（F_1 ＝ 1\），并且＼（F_n ＝ F_{n 1} ＋ F_{n 2}＼）（＼（n ＼geq 2\））。
我们可以尝试使用一些数学方法来解决这个问题。
一种常见的方法是使用特征方程。
对于斐波那契数列的递推关系＼（F_n ＝ F_{n 1} ＋ F_{n 2}＼），我们可以假设通项公式为＼（F_n ＝ r^n\）。
将其代入递推关系中，得到＼（r^n ＝ r^｛n 1} ＋ r^｛n 2}＼），两边同时除以＼（r^｛n 2}＼），得到＼（r^2 ＝ r ＋ 1\）。
这就是斐波那契数列的特征方程。
解这个方程，使用求根公式可得：＼＼begin{align}r&＝＼frac{1\pm\sqrt{5}｝｛2}＼＼＼end{align}＼我们记＼（r_1 ＝＼frac{1 ＋＼sqrt{5}｝｛2}＼），＼（r_2 ＝＼frac{1 ＼sqrt{5}｝｛2}＼）。
接下来，我们假设斐波那契数列的通项公式为＼（F_n ＝ A ＼cdot r_1^n ＋ B ＼cdot r_2^n\）。
因为＼（F_0 ＝ 0\），＼（F_1 ＝ 1\），所以我们可以得到方程组：＼＼begin{cases}A ＋B ＝ 0 ＼＼A ＼cdot r_1 ＋B ＼cdot r_2 ＝ 1＼end{cases}＼由＼（A ＋ B ＝ 0\），可得＼（A ＝ B\），将其代入＼（A ＼cdot r_1 ＋ B ＼cdot r_2 ＝ 1\）中：＼＼begin{align}A ＼cdot r_2 ＋ A ＼cdot r_1 ＆＝ 1 ＼＼A(r_1 r_2) ＆＝ 1＼end{align}＼因为＼（r_1 r_2 ＝＼sqrt{5}＼），所以＼（A ＝＼frac{1}｛＼sqrt{5}｝＼），＼（B ＝＼frac{1}｛＼sqrt{5}｝＼）。
高三数学 教案 斐波那契数列通项公式推导过程
斐波那契数列斐波那契数列，又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递推的方法定义：F(1)=1，F(2)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=3，n∈N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1963年起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果。
定义斐波那契数列指的是这样一个数列1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，10946，17711，28657，46368........自然中的斐波那契数列这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和。
斐波那契数列的定义者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契，生于公元1170年，卒于1250年，籍贯是比萨。
他被人称作“比萨的列昂纳多”。
1202年，他撰写了《算盘全书》（Liber Abacci）一书。
他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。
他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点于阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。
他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯等地研究数学。
通项公式递推公式斐波那契数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...如果设F(n）为该数列的第n项（n∈N*），那么这句话可以写成如下形式：:F(n)=F(n-1)+F(n-2)显然这是一个线性递推数列。
通项公式(如上，又称为“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。
) 注：此时通项公式推导方法一：利用特征方程（线性代数解法）线性递推数列的特征方程为：x²=x+1解得，.则∵∴解得方法二：待定系数法构造等比数列1（初等代数解法）设常数r，s .使得则r+s=1，－rs=1n≥3时，有……联立以上n-2个式子，得：∵，上式可化简得：那么……（这是一个以为首项、以为末项、为公比的等比数列的各项的和）。
Fibonacci数列通项公式推导
推导 Fibonacci 数列通项公式 的一种初等方法
Wsy,Slyz July.31,2016
推导方法的实质
根据Fibonacci数列的递推式凑成等比 数列的形式
推导过程
众所周知，Fibonacci数列的递推式为 我们强制性凑等比数列，设：
由于这个式子是由递推式变形得到的，所以： 解得
推导过程
于是我们得到
即 ，公比为 是首项(n=2)为 的等比数列
所以：
推导过程
我们再凑等比数列，这几步非常关键，把f(n) 凑成了g(n)-A· g(n-1)的形式：
推导过程
即 是首项为 公比为
的等比数列. 所以根据等比数列通公式：
推导过程
移项，得
斐波那契数列的通项公式
斐波那契数列的通项公式
斐波那契数列的通项公式是一个非常有趣且具有深刻数学内涵的概念。
在数学领域中，斐波那契数列是一个无穷序列，其前两项是0和1，之后的每一项都是前两项的和。
具体而言，斐波那契数列可以表示为
F(0) = 0, F(1) = 1, F(n) = F(n-1) + F(n-2) (n ≥ 2)。
斐波那契数列的通项公式可以用数学公式来表示，通常写作Fn = (φ^n - (1-φ)^n) / √5，其中φ是黄金分割比例（约为1.6180339887）。
斐波那契数列的通项公式的推导过程是相当复杂和有趣的。
数学家
们通过数学归纳法、矩阵运算、特征方程等方法来证明和推导这个公式。
而这个公式的出现，极大地简化了斐波那契数列的计算过程，使
得我们能够更加便捷地求解斐波那契数列中任意一项的数值。
除了通项公式之外，斐波那契数列还有许多重要的性质和应用。
例如，斐波那契数列在自然界、金融领域、计算机算法等方面都有着广
泛的应用。
斐波那契数列的规律和特点也受到许多数学爱好者和专家
的关注和研究。
总的来说，斐波那契数列的通项公式是一个非常重要且有趣的数学
概念。
它不仅具有深刻的数学内涵，还有着广泛的应用价值。
通过深
入研究和理解斐波那契数列的通项公式，我们可以更好地认识和探索
数学世界的奥秘。
斐波那契数列通项公式的推导
斐波那契数列通项公式的推导斐波那契数列，这玩意儿听起来是不是有点高大上？但其实它就在我们身边，藏在很多有趣的地方呢！咱们先来说说啥是斐波那契数列。
它是这样一组数：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34…… 从第三个数开始，每个数都是前两个数的和。
就像接力赛一样，一个接一个，永不停歇。
那为啥要研究它的通项公式呢？这就好比你知道了一个宝藏的密码，有了通项公式，就能轻松算出数列中任意一项的值，是不是很神奇？我记得有一次，我在公园里散步，看到一群小朋友在玩跳格子的游戏。
他们从一个格子跳到另一个格子，跳的步数正好就构成了斐波那契数列。
我当时就想，这小小的游戏里居然藏着这么有趣的数学规律。
接下来，咱们就开始推导这个神奇的通项公式。
咱们设斐波那契数列的第 n 项为 F(n) ，那它就满足这个递推关系式：F(n) = F(n - 1) + F(n - 2) ，并且 F(0) = 0 ，F(1) = 1 。
这看起来有点复杂，别着急，咱们一步步来。
咱们先假设斐波那契数列的通项公式是 F(n) = a^n （这里的 a 是一个待求的数）。
把它代入递推关系式里，就得到：a^n = a^(n - 1) + a^(n - 2)两边同时除以 a^(n - 2) ，就变成：a^2 = a + 1这就变成了一个一元二次方程，解这个方程，得到：a = (1 ± √5) / 2咱们把这两个解分别叫做α 和β ，也就是α = (1 + √5) / 2 ，β = (1 -√5) / 2 。
那通项公式是不是就是F(n) = C1α^n + C2β^n （这里的 C1 和 C2 是待定系数）呢？接下来，咱们就利用初始条件 F(0) = 0 和 F(1) = 1 来确定 C1 和 C2 。
把 F(0) = 0 代入，得到：C1 + C2 = 0 ，也就是 C2 = - C1再把 F(1) = 1 代入，得到：C1α + C2β = 1把 C2 = - C1 代入上式，得到：C1α - C1β = 1解这个方程，就能求出C1 = 1 / √5 ，C2 = - 1 / √5所以，斐波那契数列的通项公式就是：F(n) = [ (1 / √5) * ((1 + √5) / 2)^n - (1 / √5) * ((1 - √5) / 2)^n ]你看，经过这么一番推导，咱们就找到了斐波那契数列的通项公式！回到开头提到的小朋友跳格子的游戏，当我给他们讲了斐波那契数列的通项公式，他们那充满好奇和惊讶的眼神，让我深深感受到，数学的魅力是无穷的，哪怕是这么一个看似复杂的公式，也能在生活中找到它的影子，给我们带来惊喜。
斐波那契数列(Fibonacci sequence)及相关结论
斐波那契数列（Fibonacci sequence）及相关结论一、定义斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因意大利数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）1202年以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89……这个数列从第 3 项开始，每一项都等于前两项之和。
在数学上，斐波那契数列以如下被以递推的方法定义：二、通项公式1、递推公式：2、通项公式：证明一：（构造等比数列）设常数r和s满足：即：则r和s满足如下条件：由韦达定理知，r和s为一元二次方程的两个根，不妨令当n≥3时，有即上式共n-2个式子，累乘得由于，所以有将直到按照上述递推关系式进行展开有可见是首项为，公比为，末项为的等比数列求和，根据等比数列求和公式有将r和s代入得斐波那契数列的通项公式为即方法二：特征根法三、斐波那契数列与黄金分割斐波那契数列前一项与后一项之比的极限为黄金分割比。
证明：由于因此，斐波那契数列前一项与后一项之比为即当n→+∞时，四、几个重要的结论1、前n项和公式：证明：由于斐波那契数列的通项公式为：其显然是两个等比数列的线性组合，因此我们可以利用等比数列的求和公式来计算斐波那契数列的前n 项和。
这里我们由定义和通项公式可以直接得到如下结论：即成立。
2、奇数项求和证明：3、偶数项求和证明：移项便得到证明。
4、平方求和证明：五、一些重要恒等式注：本内容收集整理于网络，如有错误请指正。
斐波那契数列
一句话先回答问题：因为斐波那契数列在数学和生活以及自然界中都非常有用。
下面我就尽我所能，讲述一下斐波那契数列。
一、起源和定义斐波那契数列最早被提出是印度数学家Gopala，他在研究箱子包装物件长度恰好为1和2时的方法数时首先描述了这个数列。
也就是这个问题：有n个台阶，你每次只能跨一阶或两阶，上楼有几种方法？而最早研究这个数列的当然就是斐波那契（Leonardo Fibonacci）了，他当时是为了描述如下情况的兔子生长数目：•第一个月初有一对刚诞生的兔子•第二个月之后（第三个月初）它们可以生育•每月每对可生育的兔子会诞生下一对新兔子•兔子永不死去这个数列出自他赫赫有名的大作《计算之书》（没有维基词条，坑），后来就被广泛的应用于各种场合了。
这个数列是这么定义的：The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences® (OEIS®)序号为A000045 - OEIS（注意，并非满足第三条的都是斐波那契数列，卢卡斯数列（A000032 - OEIS）也满足这一特点，但初始项定义不同）二、求解方法讲完了定义，再来说一说如何求对应的项。
斐波那契数列是编程书中讲递归必提的，因为它是按照递归定义的。
所以我们就从递归开始讲起。
1.递归求解int Fib(int n){return n < 2 ? 1 : (Fib(n-1) + Fib(n-2));}这是编程最方便的解法，当然，也是效率最低的解法，原因是会出现大量的重复计算。
为了避免这种情况，可以采用递推的方式。
2.递推求解int Fib[1000];Fib[0] = 0;Fib[1] = 1;for(int i = 2;i < 1000;i++) Fib[i] = Fib[i-1] + Fib[i-2];递推的方法可以在O(n)的时间内求出Fib(n)的值。
但是这实际还是不够好，因为当n很大时这个算法还是无能为力的。
斐波那契数列通项公式证明
斐波那契数列通项公式证明斐波那契数列，这可是数学世界里一个相当有趣的家伙！咱先来说说啥是斐波那契数列。
它是这样一组数：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34…… 从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和。
那咱们就来琢磨琢磨它的通项公式是咋证明的。
要证明斐波那契数列的通项公式，咱们得先引入一些数学工具。
就好比你要去爬山，得先准备好合适的装备。
这里我们要用的就是线性代数里的特征值和特征向量的知识。
假设斐波那契数列的通项公式是 F(n) = a^n （其中 a 是一个待求的数）。
把斐波那契数列的递推关系 F(n) = F(n - 1) + F(n - 2) 代入，就得到了 a^n = a^(n - 1) + a^(n - 2) 。
两边同时除以 a^(n - 2) ，就变成了 a^2 = a + 1 。
解这个方程，就能得到两个根，咱叫它们α和β。
这两个根可神奇了，接下来的证明就得靠它们。
经过一系列复杂但有趣的推导（这中间的过程就像走迷宫，得一步步仔细琢磨），最终我们就能得出斐波那契数列的通项公式：F(n) = [ (1 + √5) / 2 ]^n - [ (1 - √5) /2 ]^n / √5 。
我记得有一次给学生们讲这个的时候，有个小家伙瞪着大眼睛问我：“老师，这玩意在生活中有啥用啊？”我笑着跟他们说：“你们想想，自然界里很多植物的花瓣数量、松果的鳞片排列，都遵循着斐波那契数列的规律呢。
还有啊，股票的走势分析，有时候也能看到斐波那契数列的影子。
” 小家伙们听得似懂非懂，但那充满好奇的眼神让我觉得特别有意思。
总之，斐波那契数列的通项公式证明虽然有点复杂，但当你真正搞懂的时候，那种成就感就像是解开了一道超级难的谜题，爽得很！希望你们也能在数学的海洋里畅游，发现更多的奇妙之处。
斐波那契数列
斐波那契数列指的是这样一个数列 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
斐波那契数列的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci），自然中的斐波那契数列生于公元1170年，卒于1240年，籍贯是比萨。
他被人称作“比萨的列昂纳多”。
1202年，他撰写了《珠算原理》（Liber Abacci）一书。
他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。
他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。
他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。
2通项公式递推公式斐波那契数列：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, (1)如果设F(n）为该数列的第n项（n∈N*），那么这句话可以写成如下形式：[1]显然这是一个线性递推数列。
[1]通项公式(如上，又称为“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。
)注：此时a1=1，a2=1，an=a(n-1)+a(n-2)（n>=3,n∈N*）通项公式的推导方法一：利用特征方程（线性代数解法）线性递推数列的特征方程为：则解得：方法二：待定系数法构造等比数列1（初等代数解法）设常数r，s。
使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。
则r+s=1， -rs=1。
n≥3时，有。
F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。
F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]。
F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]。
……F⑶-r*F⑵=s*[F⑵-r*F⑴]。
联立以上n-2个式子，得：F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F⑵-r*F⑴]。
[新版]fibonacci数列的通项公式
![[新版]fibonacci数列的通项公式](https://img.taocdn.com/s3/m/4db8983ebc64783e0912a21614791711cc797960.png)
Fibonacci数列的通项公式高中《数学》（二年级第二学期）第82页上有这样一道例题：例７如果a1 = 1, a2 = 1, 且a n+2 = a n+1 + a n(n=1,2,…)，试写出这个数列的前6项。
这个数列的前6项依次是 1,1,2,3,5,8.我们又从上海教育出版社出版的《高中数学学习导引》（二年级第二学期）第227～230页上看到，这个数列叫做 Fibonacci数列，作者提供了数列的通项公式，同时又声明：“从数列的递推公式求得数列的通项公式并非易事，”所以“对这个公式如何得来不加研究。
”老师在课堂上又提供了一点思路：实际上，我们在解一阶递推方程a n+1 = pa n + q时已学会将它改写成a n+1 + c = p（a n + c）的形式，仿照这一思路，二阶递推方程a n+2 = a n+1 + a n也可改写为a n+2 - pa n+1 = q(a n+1 - pa n)的形式，这里的p与q由“特征方程”x2 = x + 1 确定，于是解得p = (1-√5)/2 ，q = (1+√5)/2 或p = (1+√5)/2 ，q = (1-√5)/2 .5)/2老师在黑板上选了第一组p,q值，得a n+2 - (1-√5)/2 ·a n+1= (1+√5)/2·(a n+1 - (1-√5)/2·a n)很明显，a n+1 - (1-√5)/2·a n 是以a2 - (1-√5)/2·a1为首项，(1+√5)/2为公比的等比数列，于是a n+1 - (1-√5)/2·a n＝[(1+√5)/2]n①这样一来，二阶方程已经化成了一阶，限于时间，老师的说明戛然而止。
·在听课时，我在草稿纸上选了第二组p,q值，得a n+2 - (1+√5)/2 ·a n+1 = (1-√5)/2·(a n+1 - (1+√5)/2·a n)由此得到的是a n+1 - (1+√5)/2·a n＝ [(1-√5)/2]n②显然①式与②式所表达的是a n+1与a n之间的不同关系，哪个才是正确的？老师说都对。
数学趣谈——神奇的斐波那契数列
数学趣谈——神奇的斐波那契数列问题来源：1202年，意大利数学家Leonardo Fibonacci提出了这样一个问题：在最佳条件下，一年里，一对兔子能繁殖多少对兔子？这个理论实验规定，母兔总是生下成对的兔宝宝，每对由一公一母组成。
两只新生的兔子被安置在一个有围栏的院子里，然后让像正常兔子一样繁殖。
长到一个月才能开始繁殖，所以第一个月只有一对兔子。
在第二个月月底，母兔产下两只兔子。
当第三个月到来时，原来的一对兔子又产了一对新生儿，而它们早期的后代则已经成年。
此时便留下了三对兔子，其中两对将在下个月再生两对兔子。
每个月的兔子对数为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144。
这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，这个数列被命名为斐波那契数列。
通项公式：很显然，这个数列的每一项都是正整数，可是通项公式是确实用无理数表示的。
特性：斐波那契数列有很多神奇的特性，其中有不少涉及到很多复杂的数学领域，我们仅就高中生容易理解的范围简单讨论一些：平方项：从第二项开始，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1。
黄金分割：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.6180339887……集合子集：斐波那契数列的第n+2项同时也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相邻正整数的子集个数。
两倍项关系：f(2n)/f(n)=f(n-1)+f(n+1)整除性：每3个连续的数中有且只有一个被2整除，每4个连续的数中有且只有一个被3整除，每5个连续的数中有且只有一个被5整除，每6个连续的数中有且只有一个被8整除，每7个连续的数中有且只有一个被13整除，每8个连续的数中有且只有一个被21整除，每9个连续的数中有且只有一个被34整除……斐波那契螺旋线:也称“黄金螺旋”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最完美的经典黄金比例。
斐波那契数列通项公式的推导
斐波那契数列通项公式的推导斐波那契数列，这个看似简单却蕴含着无穷奥秘的数列，在数学的领域中闪耀着独特的光芒。
它以其独特的规律和性质，吸引着无数数学家和数学爱好者的探索。
那么，如何推导出斐波那契数列的通项公式呢？让我们一起踏上这个充满挑战与乐趣的数学之旅。
斐波那契数列是这样定义的：第一个数和第二个数都是 1，从第三个数开始，每个数都是前两个数之和。
用数学表达式表示就是：＄F(1)＝1$，＄F(2)＝1$，当$n\geq 3$时，＄F(n)＝F(n-1) ＋ F(n-2)＄。
为了推导通项公式，我们可以采用一些巧妙的方法。
其中一种常见的方法是利用特征方程。
假设斐波那契数列的通项公式为$F(n)＝x^n$，将其代入递推关系式$F(n)＝F(n-1) ＋ F(n-2)＄中，得到：＄x^n ＝ x^｛n-1} ＋ x^｛n-2}＄两边同时除以$x^｛n-2}＄，得到：＄x^2 ＝ x ＋ 1$这就是斐波那契数列的特征方程。
解这个二次方程：＄x^2 x 1 ＝ 0$使用求根公式：＄x ＝＼frac{1 ＼pm ＼sqrt{5}｝｛2}＄我们得到两个根，分别记为$＼alpha ＝＼frac{1 ＋＼sqrt{5}｝｛2}＄和$＼beta ＝＼frac{1 ＼sqrt{5}｝｛2}＄接下来，通项公式可以表示为$F(n)＝A\alpha^n ＋ B\beta^n$，其中$A$和$B$是待定系数。
为了确定$A$和$B$的值，我们利用斐波那契数列的初始条件$F(1)＝1$，＄F(2)＝1$。
当$n ＝ 1$时，＄F(1)＝A\alpha ＋ B\beta ＝ 1$当$n ＝ 2$时，＄F(2)＝A\alpha^2 ＋ B\beta^2 ＝ 1$将$＼alpha$和$＼beta$的值代入上面的方程组，解出$A$和$B$。
经过一番计算，最终可以得到$A ＝＼frac{1}｛＼sqrt{5}｝＄，＄B ＝＼frac{1}｛＼sqrt{5}｝＄于是，斐波那契数列的通项公式为：＄F(n) ＝＼frac{1}｛＼sqrt{5}｝＼left ＼left(＼frac{1 ＋＼sqrt{5}｝｛2} ＼right)＾n ＼left(＼frac{1 ＼sqrt{5}｝｛2} ＼right)＾n ＼right$这个通项公式看起来可能有些复杂，但它却精确地描述了斐波那契数列中每一项的数值。
斐波那契数列通项公式推导
斐波那契数列通项公式推导斐波那契数列是数学中一个非常经典的数列，它的定义是从第三项开始，每一项都是前两项的和。
也就是说，斐波那契数列可以用递推的方式来定义，第n项等于第n-1项加上第n-2项。
数列的前几项为0、1、1、2、3、5、8、13......要推导斐波那契数列的通项公式，首先需要考虑如何表示第n项。
假设第n项为F(n)，那么可以得到F(n) = F(n-1) + F(n-2)。
接下来，我们尝试寻找一个形式来表示F(n)。
假设我们猜测F(n)可以表示为a^n乘以一个常数系数，即F(n) = c * a^n。
将这个表达式代入递推公式F(n) = F(n-1) + F(n-2)，可以得到c * a^n = c * a^(n-1) + c * a^(n-2)。
将等式两边同时除以c * a^(n-2)，可以得到a^2 = a + 1。
解这个方程可以得到两个根，分别为(1+√5)/2和(1-√5)/2。
因此，斐波那契数列的通项公式可以表示为F(n) = A * ((1+√5)/2)^n + B * ((1-√5)/2)^n，其中A和B是待定系数。
接下来，我们需要确定系数A和B的值。
可以通过已知的初始条件来求解。
斐波那契数列的初始条件是F(0) = 0，F(1) = 1。
将这两个条件代入通项公式，可以得到A和B的值。
最终，我们得到了斐波那契数列的通项公式：F(n) = (1/√5) *(((1+√5)/2)^n - ((1-√5)/2)^n)。
这个公式可以用来直接计算斐波那契数列中任意一项的值，而不需要通过递推来计算。
斐波那契数列通项公式的推导过程并不复杂，但需要一定的数学知识和技巧。
通过这个公式，我们可以更加方便地计算斐波那契数列中任意项的值，也能更深入地理解斐波那契数列的性质和规律。
希望通过这篇文章的介绍，读者能对斐波那契数列有更深入的了解。
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李文捷：用母函数法推导斐波那契数列的通项公式
用母函数法推导斐波那契数列的通项公式
李文捷
（安徽师范大学，安徽芜湖，241000）
摘 要：递推数列的通项公式的求解近年来吸引了许多数学工作者的注意，目前已经出现了诸如数学归纳法、特征方程法、待定系数法等求解方法。
受齐次线性微分方程的母函数解法的启发，研究人员利用母函数，力图寻找出著名的斐波那契数列通项公式的一种新的求解方法.
关键词：递推数列；母函数；通项公式。
中图分类号：O174； 文献标识码：A ； 文章编号：1009-1114（2012）01-0043-03
Derivation of the Common Term Formula Fibonaci's Seguence by Generating Function
LI Wen-jie
Abstract: The solution of the common term formula of the recurrence sequence recently has attracted much attention from mathematics researchers, and some methods has been given successfully such as mathematical induction, speciality equation, undetermined coefficient method, and so on. Enlightened from the solution of the generating function for omogenous linear differential equations, researchers try to find a new solution for the general term formula of Fibonaci's seguence by application of the generating function., Keywords: recurrence sequence; generating function; common term formula.
收稿日期：2011-12-27
作者简介：李文捷，女，1979年9月出生，毕业于安徽芜湖安徽师范大学数学系。
递推是数学中一个非常重要的概念和方法，递推数列问题需要较高的数学能力，内在联系密切，蕴含着不少精妙的数学思想和数学方法。
新教材将数列的相关内容放在高一阶段，并明确给出“递推公式”的概念，如果已知数列的第一项（或前几项），且任一项与它的前一项 （或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式。
有通项公式的数列只是少数，研究递推数列公式给出数列的方法可使我们研究数列的范围大大扩展。
新大纲关于递推数列规定的教学目标是“了解递推公式是给出数列的一种方法,并能根据递推公式写出数列的前几项”，但从近几年来高考试题中常以递推数列或与其相关的问题作为能力型试题的现状来看，这一目标是否恰当似乎值得探讨。
我们认为“根据递推公式写出数列的前几项”无论从思想方法还是从培养能力上来看都不那么重要，重要的是学会如何去发现数列的递推关系，学会如何将递推关系转化为数列的通项公式的方法。
递推数列的通项公式的求解近年来吸引了许多数学工作者的注意，目前已经出现了诸如数学归纳法、特征方程法、待定系数法[13]-等求解方法。
我们受齐次线性微分方程的母函数解法的启发,利用母函数,力图寻找出著名的斐波那契数列通项公式的一种新的求解方法。
1. 母函数
母函数又称生成函数、发生函数，可以帮助我们解决很多问题，例如一些简单的组合数学问题。
母函数更为有用的应用在于解常系数其次线性递推公式. 定义1：利用给定数列12,,n a a a + 所构造的函数：
2012()n n F x a a x a x a x =+++++
称为序列12,,,n a a a 的母函数.
芜湖职业技术学院学报2012年第14卷第1期
注：（1）母函数是形式幂级数,不必关心其收敛性
,x
只是一个形式变量;
（2）对有限序列12,,n a a a ,也可以定义母函数（120,0,n n a a ++== ）.
定义2 称由递推关系12(,,,)n k n k n k n a f a a a ++-+-= 所确定的数列{}n a 为递推数列.
2.斐波那契数列通项公式的母函数法求解
斐波那契数列是一个古老而有趣的问题，这是意大利数学家斐波那契在1202年所写的一本数学书《珠算的书》中所提出的生兔子问题。
现实中，还有一些问题也可以转化为关于斐波那契数列的问题。
例如，一个人想登上十八阶台阶，如果规定每步只能跨上一级或两级，共有多少种不同的走法？登上一级台阶只有一种走法，登上两级台阶有两种走法，登上三级台阶则有三种走法。
设n F 表示登上n 级台阶的走法数，n=1，2，3...，由于登上第n 级台阶，最后一步可以从第1n -级台阶跨一级而达到，也可以从第n-2 级台阶跨两级而达到，所以有
⎩⎨⎧==∈≥+=--2
,1),3(2121F F N n n F F F n n n 这就是斐波那契数列的递推公式，这是一个带有初值的递推数列。
这个数列一问世就吸引了无数数学家的兴趣，值得一提的是，斐波那契数列有许多重要而有趣的应用。
例如，优选法中的分数法正是基于此数列；大自然中植物的叶序、菠萝中的鳞状花萼、蜜蜂进蜂房的方式数、艺术上的黄金分割点等都与斐波那契数列有着密切的联系。
八百多年来，斐波那契数列以其无穷的魅力和广泛的应用，吸引着无数数学家的目光和兴趣。
但是，在这个数列诞生之后的三百年的时间里，一直有一个问题困扰着数学家们，那就是关于这个数列的通项公式问题。
这一问题直到16世纪才由法国数学家比内(binet)用第二数学归纳法推出[2]:
1111()]22n n n F ++=- 这一结果揭示了一个十分有趣的事实，用“无理数”来表示“有理数列”的通项公式，而恰恰相反于用有理数的无穷级数来表示无理数，这正是这一数列的通项公式最初难以求出来的原因。
文[4]利用特征方程法给出了这个数列通项公式的一种简单
李文捷：用母函数法推导斐波那契数列的通项公式
[2] 王俊邦,罗振生. 趣味离散数学[M]. 北京: 北京大学出版社,1998.
[3] 张顺燕. 数学的源与流[M]. 北京: 高等教育出版社, 2003.
[4] 宋庭武. 用特征方程推导斐波那契数列的通项公式[J]. 安庆师范学院学报:自然科学版, 2010,29(4):91-93.。