高中数学必修一用二分法求方程的近似解

| 0.625 0.6875 | 0.0625 0.1
探一探 求函数 f ( x ) x x 1 零点(精确度0.1). (精确度0.01)
3
解: f (1 ) 0 , f ( 2 ) 0
区 间 中点的值 中点函数值符号 区间长度
1.5 （1，2） 1.25 （1，1.5） （1.25，1. 5） 1.375 （1.25，1.375） 1.3125 （1.3125，1.375）
• zhǎngzhělìyòuwùzuò zhǎngzhězuò mì ngnǎizuò 长者立 幼勿坐 长者坐 命乃坐 zūnzhǎngqián shēngyàodī dībùwén quèfēiyí 尊长前 声要低 低不闻 却非宜 jì qū nbì tuì chí bì wènqǐduì shì wùyí 进必趋 退必迟 问起对 视勿移 shì zhūfù rúshì fù shì zhūxiōng rúshì xiōng 事诸父 如事父 事诸兄 如事兄 • 易解：与长辈在一起，长辈站立时，晚辈不可自行 就坐，长辈坐定以后，吩咐坐下才可以就坐。与尊 长交谈，声音要低，如果声音太低让人听不清楚， 也是不适宜的。有事要到尊长面前，应快步向前， 退回时要慢一些。当长辈问话时，要站起来回答， 眼睛不可东张西望。对待叔叔、伯伯等尊长，要如 同对待自己的父亲一般孝顺恭敬，对待同族的兄长 （堂兄姊、表兄姊），要如同对待自己的胞兄一样 友爱恭敬。
游戏规则： 给出一件商品，请你猜出 它的准确价格，我们给的提示 只有“高了”和“低了”。给出的商 品价格在0 ~ 1000之间的整数， 如果你能在规定的次数之内猜中 价格，这件商品就是你的了。
用二分法求方程的近似解
提出问题：
问题1:以下几个方程是否有实数解? 若有,你能 求出它们的解吗?
(1)
f (0.625) 0,
f (0.65625) 0, f (0.6875) 0 x 0 (0.65625, 0.6875)
精确度为0.2时,近似解是?
| 0.75 0.625 | 0.125 0.2.
x 0.75 x 0.6875
精确度为0.1时,近似解是?
x0 (c, b) );
④判断是否达到精确度 ：即若 a b ，则得到零点近似值a或b；
感悟交流

本堂课你学到了哪些知识？
给定精确度，用二分法求方程的近似解的基本步骤： 1、确定解所在的初始区间 2、不断二分解所在的区间 3、根据精确度得出近似解
实际应用
在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到 防洪指挥部的电话线路发生了故障。这是 一条10km长的线路，如果沿着线路一小段 一小段查找，困难很多。每查一个点要爬 一次电线杆子，10km长，大约有200多根电 线杆子。请你帮他设计一个维修方案迅速 查出故障所在？
y
f (0) 0, f (1) 0 x 0 (0,1)
f (0.5) 0 , f (1) 0 x 0 (0.5,1) f (0.5) 0, f (0.75) 0 x 0 (0.5, 0.75)
0
,
1
x
f (0.625) 0 , f (0.75) 0 x (0.625, 0.75) 0 f (0.6875) 0 x 0 (0.62 5, 0.6875)
(2),(4) 1、下列图象中不能用二分法求函数的零点的是
y
y
y y
O
x
0
x
x
0 (4) x
(1) (2) （3）
强化概念:
对于在区间 [ a , b ] 上连续不断且满足 ff ((a ) f(( b)) 0的函数 y f ( x ) a) f b 0 通过不断地把函数y f ( x ) 的零点所在的区间一分为二， 使区间的两个
抽丝剥茧
4. 判 断 是 否 达 到 精 度 ， 即 若 a-b , 则 得 到 零 点 近 似 值 （ 或 b） ； 否 则 重 复 2 4。 a
关于二分法求函数零点近似的步骤，应该注意以下几点：
1.第一步中，区间[a,b]长度尽量小，同时一定要使 x 0 [ a , b ] 且使f(a),f(b)易于计算。 2.第三步中，若f(x1)=0,则用二分法已经求得了要的 精确值，若f(x1) ≠0，要正确地将区间[a,b]的端点之 一换为x1，只有这样，才能保证x0仍在区间内。 3.每进行一次第二、第三步，区间长度将缩短一半， 有限步之后一定会满足︱a-b ︱< .即若起始区间长 1 度为1，使用“二分法”n次后，长度为 ＜ 的最 n 2 小自然数n. 4.满足精确度的零点的近似值不是唯一的，可以是 a,b或（a,b）内的任何值。
x 2x 1 0
2

Δ判别式法
(2) x x 1 0
3
是否有实数解?
回顾：
方程 f ( x ) 0 有实数解
函数 y f ( x ) 的图象与 x 轴有交点 函数 y f ( x ) 有零点
分 析 1： 设 f ( x) x
3
3
x 1
列表、描点 连线
3．方程x3－2x－5＝0在区间[2，3]内有实根，
取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间
[2 , 2.5] 是________． 分 析 ： 记 f ( x ) x 3 2 x 5
f (2) 8 4 5 1 0
f (2.5) 15.625 5 5 5.625 0 f (3) 27 6 5 16 0
二分法概念
f ( a (b ) 0 对于在区间 [ a , b ] 上连续不断且满足 f ( a ))ff ( b ) 0 连续不断 的函数 y f ( x ) ，通过不断地把函数 y f ( x ) 的零点所
在的区间一分为二， 使区间的两个端点逐步逼近零点 ， 一分为二
进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
实践探究
例 2、 利 用 计 算 器 ， 求 方 程 2 3 x 7 0 的 近 似 解
x
（ 精 确 度 0 .1 ）
解: 记函数 f ( x ) 2
y 7 3x
x
y
3x 7
y2
x
f (0) 0, f (2) 0 x 0 (0, 2)
f (1) 0, f (2) 0 x 0 (1, 2)
f(1.5)>0 f(1.25)<0 f(1.375)>0 f(1.3125)<0
1 0.5 0.25 0.125 0.0625
| 1 . 375 1 . 3125 | 0 . 0625 0 . 1
∴函数的零点近似值可取为1.3125.
二分法：
温馨 提示
二分法只能用来求变号零点
运用二分法应该注意以下两点： 1.二分就是平均分成两部分，通过不断 逼近的方法，找到零点附近足够小的区 间，根据所要求的精确度，用此区间的 某个数值近似地表示真正的零点。 2.只有图象在给定区间上是连续不断的， 且在区间的端点处的函数值是异号的函 数，才可以用二分法求函数零点所在区 间。
3 2
点的近似值时, 算出 f (1 .5 ) 0 .875 ,则此时可
推知零点 x 0 (1 ,1 . 5 ) .
(1 .5 , 2 )
温馨 提示
端点函数值异号的区间内有零点
牛刀小试：
二分法求方程近似解的步骤
①画图或利用函数值的正负，确定初始区间(a,b)， 验证f(a)f(b)<0，给定精确度
；
②求区间(a,b)的中点 c ( c
；
ab 2
)
③计算f(c)：若f(c)=0，则c就是函数f(x)的零点， c就是f(x)=0的根，计算终止； 若f(a) f(c) 0，则选择区间（a, c）即令b=c （此时零点 x 0 ( a , c ) ）； 若f(c) f(b)<0，则选择区间（c，b）即令a=c （此时零点 否则重复②到④
0
2
x
f (1) 0, f (1.5) 0 x 0 (1,1.5),
f (1.25) 0, f (1.5) 0 x 0 (1.25,1.5)
f (1 .3 7 5 ) 0 , f (1 .5 ) 0 x 0 (1 .3 7 5,1 .5 ), f (1 .3 7 5 ) 0 , f (1 .4 3 7 5 ) 0 x 0 (1 .3 7 5,1 .4 3 7 5 ),
y
画 f ( x ) x 3 x 1 的图象
分析2：变形为 x 1 x
y 1 x
yx
3
x 0 1
结论:方程 x 3 x 1 0 的根在区间(0,1)内.
合作探究
结论:方程 x 3 x 1 0 的根在区间(0,1)内.
问：根约是多少？ 解：记 f ( x ) x 3 x 1
端点逐步逼近零点 ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
2、 根据表格中的数据,可以断定方程
e x20
x
的一个根所在的区间( C )
x
1
0 . 37
0 1 2
B . ( 0 ,1)
1
2 . 72
2
7 . 39
3
20 . 09
e
x
x2
1
3
4Байду номын сангаас
C . (1, 2 )
5
D . ( 2 ,3 )
A. ( 1, 0 )
强化概念:
f (a ) f b 对于在区间 [ a , b ] 上连续不断且满足 f ( a ) f(( b)) 00的函数 y f ( x ) 通过不断地把函数y f ( x ) 的零点所在的区间一分为二， 使区间的两个 区间一分为二