2020年高考文科数学模拟考试题卷
2020届高考模拟数学文科试题及答案
2020届数学文科高考模拟试题1、设集合22{|40},{|log 1}M x x N x x =-≤=<，则M N ⋂=( )A. ∅B. (0,2)C. (2,2)-D. [2,2)-2、已知复数312z i=- (i 是虚数单位)，则z 的实部为( ) A. 35- B. 35 C. 15- D. 153、等比数列{}n a 中，若4568a a a ⋅⋅=，且5a 与62a 的等差中项为2，则公比q =( )A.2B.12C.2-D.12-4、在1,2,3,6这组数据中随机取出三个数，则数字2是这三个不同数字的平均数的概率是( )A.14 B. 13 C. 12 D. 345、已知α为第二象限角，且1sin cos 5αα+=，则sin2α= ( )A. 1225B. 2425C. 1225-D. 2425-6、执行如图所示程序框图，输出的S = ( )A. 25B. 9C. 17D. 207、函数2ln(1)3()x x x f x ++-=的图像大致为( ) A. B.C. D.8、若,x y 满足约束条件20030x y x y m x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则23z x y =-的最大值为9，则正实数m的值为( )A.1B.2C.4D.8 9、在△ABC 中， 3A π=，若2?a =，则△ABC 面积的最大值为( )A.2 B. 2 C. 6 D. 310、长方体1111ABCD A B C D -，11,2,3AB AD AA ===，则异面直线11A B 与1AC 所成角的余弦值为( )A. 1414B. 8314C. 1313D. 1311、双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 3的直线与双曲线的左右两支分别交于点,?P Q ，若2QP QF =，则双曲线 C 的离心率为( )A. 7B. 6C.1312D. 131212、已知奇函数() f x 的导函数为()'f x ，当0x ≠时， ()()0xf x f x +>'，若()()11,,1a f b ef e c f ee ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系正确的是( ) A. a b c << B. b c a << C. a c b << D. c a b << 二、填空题13、已知函数()2ln 24f x x x x =+-，则函数() f x 的图象在1?x =处的切线方程为__________.14、已知向量a r 与b r的夹角是3π，且1,2a b ==r r，若)b a λ+⊥r r ，则实数λ=__________.15、已知抛物线28y x =的焦点F ，过F 的直线与抛物线交于,A B 两点，则||4||FA FB +的最小值是 ．16、若对任意[1,2]t ∈，函数22()(1)f x t x t x a =-++总有零点，则实数a 的取值范围是__________． 三、解答题17、在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和(n *∈N )，且23a =，416S =. (1).求数列{}n a 的通项公式； (2).设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项为n T .18、某商场营销人员进行某商品M 市场营销调查发现，每回馈消费者一定的点数，该商品当天的销量就会发生一定的变化，经过试点统计得到以下表:（1）经分析发现，可用线性回归模型拟合当地该商品一天销量y (百件)与该天返还点数 x 之间的相关关系.请用最小二乘法求y 关于 x 的线性回归方程y bx a =+，并预测若返回6个点时该商品当天销量;（2）若节日期间营销部对商品进行新一轮调整.已知某地拟购买该商品的消费群体十分庞大，经过营销部调研机构对其中的200名消费者的返点数额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表:将对返点点数的心理预期值在[1，3)和[11，13]的消费者分别定义为“欲望紧缩型”消费者和“欲望膨胀型”消费者，现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3名进行跟踪调查，求抽出的3人中至少有1名“欲望膨胀型”消费者的概率.(参考公式及数据:①回归方程y bx a =+，其中ni ii=1n22ii=1x y -nxyb=,a=y-bx x-nx∑∑;②5i ii=1x y =18.8∑.)19、如图，在ABC △中，BC AC ⊥，,D E 分别为,AB AC 的中点，将ADE △沿DE 折起到PDE △的位置．（1）证明：BC PEC ⊥平面；（2）若7,3BP PC BC CD ===，，求四棱锥P BCED -的体积．20、在直角坐标系 xOy 中，已知椭圆E 的中心在原点，长轴长为8，椭圆在 x 轴上的两个焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形. （1）求椭圆的标准方程;（2）过椭圆内一点()1,3M 的直线与椭圆E 交于不同的,?A B 两点，交直线14y x =-于点N ，若,NA mAM NB nBM ==u u u r u u u u r u u u r u u u u r ，求证: m n +为定值，并求出此定值21、已知函数()()()e ,2ln ,R xf x xg x a x x a ==+∈．（1）求()f x 单调区间；（2）若()()f x g x ≥在[)1+∞，上恒成立，求a 的取值范围．22、在直角坐标系 xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos {2sin x y ϕϕ=+= (ϕ为参数).以原点 O 为极点， x 轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=.（1）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程;（2）已知曲线3C 的极坐标方程为(0π)θαα=<<，点A 是曲线3C 与1C 的交点，点B 是曲线3C 与2C 的交点，且,A B 均异于原点 O ，AB =α的值.23、已知函数2()23f x x a =+.(1).当0a =时，求不等式()23f x x +-≥的解集；(2).若对于任意实数x ，不等式21()2x f x a +-<恒成立，求实数a 的取值范围．答案以及解析1答案及解析：答案：B解析：24,22x x-≤∴-≤≤Q，[2,2]M∴=-，log21,02xx∴<<<∴，(0,2)N∴=，(0,2)M N∴⋂=，故选B．2答案及解析：答案：B解析：∵()()()312i336i 12i12i12i55z+===+--+，∴z的实部为35.故选B.3答案及解析：答案：B解析：根据题意，等比数列{}n a中，若4568a a a⋅⋅=，则35()8a=，解可得52a=，又由5a与62a的等差中项为2，则56()(2)4a a+=，解可得：61a=，则6512a q a ==； 故选B ．4答案及解析： 答案：A解析：在1,2,3,6这组数据中随机取出三个数，基本事件总数 ()1,2,3，()1,2,6，()1,3,6，()2,3,6共4个，则数字2是这三个不同数字的平均数所包含的基本事件只有()1,2,31个.因此，数字2是这三个不同数字的平均数的概率是14.故应选A.5答案及解析： 答案：D解析：由1sin cos 5αα+=，两边平方得:221sin cos 2sin cos 25αααα++=.242sin cos 25αα=-，即24sin 225α=-.故选D.6答案及解析： 答案：C解析：按照程序框图依次执行为1S =，0n =，0T =;9S =，2n =，044T =+=;17S =，4n =，41620T S =+=>，退出循环，输出17S =.故选C.7答案及解析： 答案：A解析：22ln(1)3ln(1)3()()0x x x x x xf x f x++-+-++-=+=，即()()f x f x-=-，故()f x为奇函数，排除C，D选项；ln(21)3(1)0f+-=<，排除B选项，故选A.8答案及解析：答案：B解析：,x y满足约束条件2030x yx y mx-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩的可行域如图，则23z x y=-的最大值为9，所以直线0x y m+-=，过直线239x y-=和直线3x=的交点(3,1)-，2m∴=，故选B．9答案及解析：答案：D解析：△ABC中，,23A aπ==，由余弦定理得，2222cos3a b c bc π=+-，即42bc bc bc ≥⋅=，∴4bc ≤，当且仅当b c =时“=”成立; ∴△ABC 面积的最大值为11sin 422S bc A =≤⨯=故选D.10答案及解析： 答案：A解析：∵1111//C D A B ，∴异面直线11A B 与1AC 所成的角即为11C D 与1AC 所成的角11AC D ∠.在11Rt AC D ∆中， 111C D =，1AD ==1AC ==，∴11111cos C D AC D AC ∠===.故选A.11答案及解析： 答案：C解析：双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为()()12,0,,0F c F c -，过点1F的直线为:)2,y x c QP QF =+=，122,4PF a PF a ==， 1212π2,3F F c PF F =∠=，可得: 222π1644222cos 3a a c a c =+-⨯⨯，解得2b a =，所以230,1e e e --=>， 可得131e +=12答案及解析： 答案：C解析：令()()g x xf x =，则()()()''0g x f x xf x =+>，所以()g x 为递增函数， 因为11e e>>，∴()()11g e g g e ⎛⎫>> ⎪⎝⎭∴()()111ef e f f e e ⎛⎫>> ⎪⎝⎭， 又() f x 为奇函数，所以()()ef e ef e --=， ∴b c a >>13答案及解析： 答案：30x y --=解析：∵()2ln 24f x x x x =+-，∴()1'44f x x x=+-，∴()'11f =，又()12f =-，∴所求切线方程为()21y x --=-，即30x y --=.14答案及解析： 答案：3-解析：∵向量a r 与b r的夹角是3π，且1,2a b ==r r ，∴11212a b ⋅=⨯⨯=r r ，∵()3a b a λ+⊥r r r ，∴则()2330a b a a a b λλ+⋅=+⋅=r r r r r r，∴30λ+=， ∴3λ=-15答案及解析： 答案：18解析：抛物线28y x =的焦点(2,0)F ，设1122(,),(,)A x y B x y ，则1212||4||24(2)410FA FB x x x x +=+++=++， 当直线AB 斜率不存在时，1||4||2421020FA FB x +=++⨯+=， 当直AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为，代入28y x =得222212(48)40,4k x k x k x x -++=∴=211144||4||41041018FA FB x x x x ∴+=++≥⨯=， 当且仅当11x =时取等号．||4||FA FB +的最小值是18．故答案为：18．16答案及解析： 答案：9(,]16-∞ 解析：∵函数22()(1)f x t x t x a =-++总有零点，22(1)40t at ∴∆=+-≥对任意[1,2]t ∈恒成立，∴22211()()222t a t t+1≤=+ 记11()22y t =+在[1,2]上单调递减， ∴211119()()2222216t +≥+=⨯ ∴916a ≤故答案为：9(,]16-∞17答案及解析：答案：(1).设等差数列{}n a 的公差是d ，由23a =，416S =，得113,4616,a d a d +=⎧⎨+=⎩解得11a =，2d =，∴21n a n =-，*N n ∈. (2).由(1).知，21n a n =-， ∴()()111111212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭， 12111111111123352121221n n T b b b n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 即21n nT n =+，n *∈N .18答案及解析： 答案：（1）易知123450.50.61 1.4 1.73, 1.0455x y ++++++++====，522222211234555i i x ==++++=∑ ， ni ii=1n222i i=1x y -nxy18.853 1.04b==0.325553x -nx-⨯⨯=-⨯∑∑， a=y-bx 1.040.3230.08=-⨯=则y 关于 x 的线性回归方程为0.320.08y x =+，当6x =时， 2.00y =，即返回6个点时该商品每天销量约为2百件. （2）设从“欲望膨胀型”消费者中抽取 x 人，从“欲望紧缩型”消费者中抽取y 人， 由分层抽样的定义可知6301020x y==，解得2,4x y ==在抽取的6人中，2名“欲望膨胀型”消费者分别记为12,A A ，4名“欲望紧缩型”消费者分别记为1234,,,B B B B ，则所有的抽样情况如下:共20种，其中至少有1名“欲望膨胀型”消费者的情况由16种记事件A 为“抽出的3人中至少有1名‘欲望膨胀型’消费者”，则16()0.820P A ==19答案及解析： 答案：（1）证明：∵,D E 分别为,AB AC 的中点 ∴//DE BC ∵BC AC ⊥∴,,DE AE DE EC ⊥⊥PE EC E =I ∴DE ⊥平面PEC∴BC ⊥平面PEC（2）在Rt BCP △中，由PC BP ==得2BC =∵12,12BC CD DE BC ====∴AE EC ==在PEC △中，PE EC PC === ∴点P 到EC 的距离为32d =∴113332P BCED BCED V S d -=⋅==20答案及解析：答案：（1）椭圆的标准方程为:2211612x y += （2）设1122001(,),(,),(,)4A x yB x y N x x -， 由,NA mAM =u u u r u u u u r 得1010111(,)(1,3)4x x y x m x y -+=--所以0011134,11m x m x x y m m -+==++，00134(,)11m x m x A m m -+∴++，因为2211612x y +=上，所以得到0220134()()1111612m x m x m m -++++=，得到220139964804m m x ++-=; 同理，由NB nBM =u u u r u u u u r 可得220139964804n n x ++-= 所以,m n 可看作是关于 x 的方程220139964804x x x ++-=的两个根，所以323m n +=-为定值答案：（1）()()e 1xf x x '=+由()0f x '>，得()1,x ∈-+∞ 由()0f x '<，得(),1x ∈-∞∴()f x 分别在区间()1,-+∞上单调递增，在区间(),1-∞上单调递减（2）令()()()()[)2ln e ,1,xh x g x f x a x x x x =-=+-∈+∞则()()()12e 21e 11xxa x h x a x x x x -⎛⎫'=+-+=+ ⎪⎝⎭由1知()e xf x x =在[)1+∞，上单调递增 ∴e e x x ≥ 当e2e,2a a ≤≤即时，2e 0x a x -≤， ∴()h x 在[)1+∞，上单调递减，()()max 12e h x h a ==- 令()max 0h x ≤，得e2a ≤ ②e 2e,2a a >>即时，存在()01,x ∈+∞，使002e 0xa x -= 当()01,x x ∈时，()0h x >；当()0,x x ∈+∞时，()0h x < ∴()h x 在()01,x x ∈上单调递增，在()0,x x ∈+∞上单调递减；()()()()000002ln e 2ln 21x man h x h x a x x x a a ==+-=- ∵e 2a >∴2ln 210a ->∴()()00man h x h x =≤不能恒成立综上：e ,2a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦答案：（1）由22cos {2sin x y ϕϕ=+=消去参数ϕ，得1C 的普通方程为22(2)4x y -+=.∵24sin 4sin ρθρρθ=⇒=，又cos {sin x y ρθρθ==，∴2C 的直角坐标方程为22(2)4x y +-=（2）由（1）知曲线1C 的普通方程为22(2)4x y -+=，∴其极坐标方程为4cos ρθ=，∴π4sin cos 4A B AB ρρααα⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝⎭∴又πππ3πsin 1ππ(Z)4424k k k ααα⎛⎫-=±⇒-=+⇒=+∈ ⎪⎝⎭， ∴0απ<<，∴34πα=.23答案及解析：答案：(1).当0a =时，()|2||2||2|3f x x x x +-=+-≥有0223x x x ≤⎧⎨--+≥⎩或02223x x x <<⎧⎨-+≥⎩或2223x x x ≥⎧⎨+-≥⎩解得13x ≤-或12x ≤<或2x ≥所以()|2|3f x x +-≥的解集为1(,][1,)3-∞-⋃+∞.(2)对于任意实数x ，不等式|21|()2x f x a +-<成立，即2|21||23|2x x a a +-+<恒成立。
2020年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷(1)(文科数学含答案详解)
2020 年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷（1）文科数学本试题卷共 6 页， 23 题（含选考题）。
全卷满分150 分。
考试用时120 分钟。
第Ⅰ 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合M x, y x y 2 ， N x, y x y2，则集合M N（）A．0,2 B ．2,0C．0, 2D．2,0【答案】 D【解析】解方程组x y2x2N2,0 ．选D．x y2，得．故 My02．设复数z12i（ i 是虚数单位），则在复平面内，复数z2对应的点的坐标为（）A． 3,4B． 5,4C．3,2D． 3,4【答案】 A【解析】 z12i z2121 44i 3 4i ，所以复数z2对应的点为3,4 ，2i故选 A．3．元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的x 0，则一开始输入的x 的值为（）371531A ．B ．C． D ．481632【答案】 C【解析】 i1，（ 1）x2x1,i2，（ 2）x22x114x3,i3，（ 3）x24x318x7,i4，（ 4）x28x7116x15,i 5 ，所以输出16x150，得 x15，故选 C．164．已知cos22cos，则 tan4（A ．4B．41C．D3【答案】 C【解析】因为 cos22cos，所以sin2co所以 tan41tan1，故选 C．1tan35．已知双曲线x2y21a0,b0的一个焦点为 F2,0a2b2则该双曲线的方程为（）A． x2y21 B ．x2y21C． y2x21D333【答案】 B【解析】令x2y20 ，解得ybx ，故双曲线的渐近线方程a2b2ab3a2a1由题意得c2，解得，∴该双曲线的方程为b23c22b2a6．某家具厂的原材料费支出x 与销售量y（单位：万元）之间有y x8?的全部数据，用最小二乘法得出与的线性回归方程为y?bxx245y253560A ．5B． 15C．12D【答案】 C【解析】由题意可得：x245685 ， y25355第1页，共6页回归方程过样本中心点，则：5285??．本题选择 C 选项．b ， b 127．已知f x2018x20172017x20162x1，下列程序框图设计的是求 f x0的值，在“ ”中应填的执行语句是（）开始输入 x0i=1,n=2018S=2018i=i+1i≤ 2017？否S=S+n是输出 SS=Sx0结束A ．n2018iB ．n2017 i C．n2018i D ．n2017i 【答案】 A【解析】不妨设x0 1 ，要计算 f12018 2017 20162 1 ，首先S201812018，下一个应该加，再接着是加，故应填n2018 i．201720168．设π2）0x，则“x”是“cosx＜ x ”的（cosx2A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】 A【解析】作图 y cos x ，y x2，y x ，x0,，2可得 cosx x2解集为m,， cosx x 解集为 n,，因为22m,n,，因此选 A ．229．如图为正方体ABCD A1B1C1 D1，动点M从 B1点出发，在正方体表面上沿逆时针方向1M11x与运动一周后，再回到 B 的运动过程中，点与平面 ADC 的距离保持不变，运动的路程l MA1MC1 MD 之间满足函数关系l f x ，则此函数图象大致是（）A．B．C．D．【答案】 C【解析】取线段B1 A 中点为N，计算得：l N NA1NC1ND623l B l A．同221AC 或CB1的中点时，计算得l N NA1 NC1 ND622 3 l B，符合C项的图象特征．故选C．2110．已知双曲线E：x2y21( a 0, b 0)的右顶点为A，右焦点为Fa2b2第二象限上的一点， B 关于坐标原点O 的对称点为 C ，直线 CA 与直线 BF 的交点BF 的中点，则双曲线的离心率为（）11C． 2 D ． 3A ．B ．25【答案】 D【解析】不妨设B c, b2，由此可得 A a,0， C c,b2， F c,0，a ab2b2于 A，C， M 三点共线，故2aaac，化简得 c3a ，故离心率 e 3 ．a11．已知点A 4,3和点B 1,2，点 O 为坐标原点，则OA tOB t R的最A．5 2 B ． 5C． 3 D ．5【答案】 D【解析】由题意可得：OA4,3， OB1,2，则：OA tOB4,3t 1,24t,32t232t25t24 t结合二次函数的性质可得，当t2时， OA tOB54202min本题选择 D 选项．第2页，共6页x2y2x2y212．已知椭圆C1 :a12b121 a1＞b1＞0与双曲线C2:a22b22 1 a2＞0,b2＞0有相同的焦点 F1, F2，若点P是 C1与 C2在第一象限内的交点，且F1F2 2 PF2，设 C1与 C2的离心率分别为 e1， e2，则 e2e1的取值范围是（）A ．1,1C．1D ．1 3B ．,,,322【答案】 D【解析】设F1F22c，令 PF1t ，由题意可得：t c2a2， t c 2a1，据此可得： a1 a2c11e2，，则： 1 ，e11e1e2e2则： e2e1e2e2e221，由 e21可得： 01e21e2 12 1 ，11e2e2e2211结合二次函数的性质可得：e20,1 ，e2则：e2e11，即 e e 的取值范围是1,．本题选择 D 选项．2212第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2020年文科数学全国卷高考模拟1【含答案】
2020年文科数学全国卷高考模拟1文科数学本试卷共23小题， 满分150分． 考试用时120分钟．参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为高． 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1． (){},|0,,A x y x y x y R =+=∈,(){},|20,,B x y x y x y R =--=∈，则集合A B I =( )A ．(1,1)-B ．{}{}11x y ==-UC ．{}1,1-D ．(){}1,1- 2.等差数列{}n a 中，若58215a a a -=+，则5a 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6 3．下列函数中，在其定义域内是减函数的是( ) A .1)(2++-=x x x f B ． xx f 1)(=C ． 13()log f x x = D . ()ln f x x =4．已知函数(1),0()(1),0x x x f x x x x +<⎧=⎨-≥⎩，则函数()f x 的零点个数为（ ）A 、1B 、2C 、3D 、45．已知0a >,4()4,f x x a x =-+则()f x 为( )A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．奇偶性与a 有关6．已知向量(12)a =r ，，(4)b x =r ，，若向量a b //v v，则x =( ) A ．2 B ． 2- C ． 8D ．8-7.设数列{}n a 是等差数列,且5,8152=-=a a ,n S 是数列{}n a 的前n 项和，则 ( ) A.109S S < B.109S S = C.1011S S < D.1011S S =8．已知直线l 、m ,平面βα、，则下列命题中：①．若βα//，α⊂l ,则β//l ②．若βα//，α⊥l ,则l β⊥10题③．若α//l ，α⊂m ,则m l // ④．若βα⊥，l =⋂βα, l m ⊥,则β⊥m . 其中，真命题有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个9．已知离心率为e 的曲线22217-=x y a ，其右焦点与抛物线216=y x 的焦点重合，则e 的值为（ ）A ．34B 423C ．43D 2310．给出计算201614121++++Λ 的值的一个 程序框图如右图，其中判断框内应填入的条件是（ ）． A ．10>i B ．10<i C ．20>i D ．20<i 11．lg ,lg ,lg x y z 成等差数列是2y xz =成立的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件12．规定记号“⊗”表示一种运算，即),(2为正实数b a b a ab b a ++=⊗，若31=⊗k ，则k =（ ）A ．2-B ．1C ．2- 或1D ．2二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。
2020届高考数学模拟考试试卷及答案(文科)(一)
2020届高考数学模拟考试试卷及答案（一）（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值为（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣22．集合A={0，1，2，3，4}，B={x|（x+2）（x﹣1）≤0}，则A∩B=（）A．{0，1，2，3，4}B．{0，1，2，3}C．{0，1，2}D．{0，1}3．已知向量=（1，2），=（﹣2，m），若∥，则|2+3|等于（）A．B．C．D．4．设a1=2，数列{1+a n}是以3为公比的等比数列，则a4=（）A．80 B．81 C．54 D．535．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是（）A．2cm2B．cm3C．3cm3D．3cm36．执行如图所示的程序框图，若输出i的值是9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数是（）A．4 B．8 C．12 D．167．已知l，m，n为三条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，则下列判断正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nC．若α∩β=l，m∥α，m∥β，则m∥lD．若α∩β=m，α∩γ=n，l⊥m，l⊥n，则l⊥α8．已知θ∈（0，），则y═的最小值为（）A．6 B．10 C．12 D．169．已知变量x，y满足，则的取值范围为（）A．[0，]B．[0，+∞）C．（﹣∞，]D．[﹣，0]10．已知直线l：y=kx与椭圆C：交于A、B两点，其中右焦点F的坐标为（c，0），且AF与BF垂直，则椭圆C的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．11．对于实数a、b，定义运算“⊗”：a⊗b=，设f（x）=（2x ﹣3）⊗（x﹣3），且关于x的方程f（x）=k（k∈R）恰有三个互不相同的实根x1、x2、x3，则x1•x2•x3取值范围为（）A．（0，3）B．（﹣1，0）C．（﹣∞，0）D．（﹣3，0）12．f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）≤f（x），对任意的正数a、b，若a＜b，则必有（）A．af（a）≤bf（b）B．af（a）≥bf（b）C．af（b）≤bf（a）D．af（b）≥bf（a）二．填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.13．圆（x+2）2+（y﹣2）2=2的圆心到直线x﹣y+3=0的距离等于．14．已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ≤）的部分图象如示，则φ的值为．15．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f （x+2），且x∈=（﹣2，0）时，f（x）=2x+，则f17．已知等差数列{a n}满足：a3=7，a5+a7=26．{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）令b n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．18．已知函数f（x）=﹣2sin2x+2sinxcosx+1（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及对称中心（Ⅱ）若x∈[﹣，]，求f（x）的最大值和最小值．19．某流感病研究中心对温差与甲型H1N1病毒感染数之间的相关关系进行研究，他们每天将实验室放入数量相同的甲型H1N1病毒和100只白鼠，然后分别记录了4月1日至4月5日每天昼夜温差与实验室里100只白鼠的感染数，得到如下资料：日期4月1日4月2日4月3日4月4日4月5日温差101311127感染数2332242917（1）求这5天的平均感染数；（2）从4月1日至4月5日中任取2天，记感染数分别为x，y用（x，y）的形式列出所有的基本事件，其中（x，y）和（y，x）视为同一事件，并求|x﹣y|≤3或|x﹣y|≥9的概率．20．如图，已知三棱锥A﹣BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．（I）求证：BC⊥平面APC；（Ⅱ）若BC=3，AB=10，求点B到平面DCM的距离．21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0），圆Q：（x﹣2）2+（y﹣）2=2的圆心Q在椭圆C上，点P（0，）到椭圆C的右焦点的距离为．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P作互相垂直的两条直线l1，l2，且l1交椭圆C于A，B两点，直线l2交圆Q于C，D两点，且M为CD的中点，求△MAB的面积的取值范围．22．已知函数f（x）=，（e=2.71828…是自然对数的底数）．（1）求f（x）的单调区间；（2）设g（x）=xf'（x），其中f'（x）为f（x）的导函数．证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值为（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣2【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得a值．【解答】解：∵=为纯虚数，∴，解得：a=1．故选：A．2．集合A={0，1，2，3，4}，B={x|（x+2）（x﹣1）≤0}，则A∩B=（）A．{0，1，2，3，4}B．{0，1，2，3}C．{0，1，2}D．{0，1}【考点】1E：交集及其运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由B中不等式解得：﹣2≤x≤1，即B=[﹣2，1]，∵A={0，1，2，3，4}，∴A∩B={0，1}，3．已知向量=（1，2），=（﹣2，m），若∥，则|2+3|等于（）A．B．C．D．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据∥，算出=（﹣2，﹣4），从而得出=（﹣4，﹣8），最后根据向量模的计算公式，可算出的值．【解答】解：∵且∥，∴1×m=2×（﹣2），可得m=﹣4由此可得，∴2+3=（﹣4，﹣8），得==4故选：B4．设a1=2，数列{1+a n}是以3为公比的等比数列，则a4=（）A．80 B．81 C．54 D．53【考点】8G：等比数列的性质；8H：数列递推式．【分析】先利用数列{1+a n}是以3为公比的等比数列以及a1=2，求出数列{1+a n}的通项，再把n=4代入即可求出结论．【解答】解：因为数列{1+a n}是以3为公比的等比数列，且a1=2所以其首项为1+a1=3．其通项为：1+a n=（1+a1）×3n﹣1=3n．当n=4时，1+a4=34=81．∴a4=80．5．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是（）A．2cm2B．cm3C．3cm3D．3cm3【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由几何体的三视图得到原几何体的底面积与高，进而得到该几何体的体积．【解答】解：由几何体的三视图可知，该几何体为底面是直角梯形，高为的四棱锥，其中直角梯形两底长分别为1和2，高是2．故这个几何体的体积是×[（1+2）×2]×=（cm3）．故选：B．6．执行如图所示的程序框图，若输出i的值是9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数是（）A．4 B．8 C．12 D．16【考点】EF：程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，i的值，当S=16，i=9时，不满足条件，退出循环，输出i的值为9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数为：16【解答】解：模拟执行程序框图，可得i=1S=0满足条件，S=1，i=3满足条件，S=4，i=5满足条件，S=9，i=7满足条件，S=16，i=9由题意，此时，不满足条件，退出循环，输出i的值为9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数为：16，故选：D．7．已知l，m，n为三条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，则下列判断正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nC．若α∩β=l，m∥α，m∥β，则m∥lD．若α∩β=m，α∩γ=n，l⊥m，l⊥n，则l⊥α【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据常见几何体模型举出反例，或者证明结论．【解答】解：（A）若m∥α，n∥α，则m与n可能平行，可能相交，也可能异面，故A错误；（B）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，设平面ABCD为平面α，平面CDD′C′为平面β，直线BB′为直线m，直线A′B为直线n，则m⊥α，n∥β，α⊥β，但直线A′B与BB′不垂直，故B错误．（C）设过m的平面γ与α交于a，过m的平面θ与β交于b，∵m∥α，m⊂γ，α∩γ=a，∴m∥a，同理可得：m∥b．∴a∥b，∵b⊂β，a⊄β，∴a∥β，∵α∩β=l，a⊂α，∴a∥l，∴l∥m．故C正确．（D）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，设平面ABCD为平面α，平面ABB′A′为平面β，平面CDD′C′为平面γ，则α∩β=AB，α∩γ=CD，BC⊥AB，BC⊥CD，但BC⊂平面ABCD，故D 错误．故选：C．8．已知θ∈（0，），则y═的最小值为（）A．6 B．10 C．12 D．16【考点】HW：三角函数的最值．【分析】y==（）（cos2θ+sin2θ），由此利用基本不等式能求出y=的最小值．【解答】解：∵θ∈（0，），∴sin2θ，cos2θ∈（0，1），∴y==（）（cos2θ+sin2θ）=1+9+≥10+2=16．当且仅当=时，取等号，∴y=的最小值为16．故选：D．9．已知变量x，y满足，则的取值范围为（）A．[0，]B．[0，+∞）C．（﹣∞，]D．[﹣，0]【考点】7C：简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用所求表达式的几何意义求解即可．【解答】解：不等式表示的平面区域为如图所示△ABC，设Q（3，0）平面区域内动点P（x，y），则=kPQ，当P为点A时斜率最大，A（0，0），C（0，2）．当P为点C时斜率最小，所以∈[﹣，0]．故选：D．10．已知直线l：y=kx与椭圆C：交于A、B两点，其中右焦点F的坐标为（c，0），且AF与BF垂直，则椭圆C的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】由AF与BF垂直，运用直角三角形斜边的中线即为斜边的一半，再由椭圆的性质可得c＞b，结合离心率公式和a，b，c的关系，即可得到所求范围．【解答】解：由AF与BF垂直，运用直角三角形斜边的中线即为斜边的一半，可得||OA|=|OF|=c，由|OA|＞b，即c＞b，可得c2＞b2=a2﹣c2，即有c2＞a2，可得＜e＜1．故选：C．11．对于实数a、b，定义运算“⊗”：a⊗b=，设f（x）=（2x ﹣3）⊗（x﹣3），且关于x的方程f（x）=k（k∈R）恰有三个互不相同的实根x1、x2、x3，则x1•x2•x3取值范围为（）A．（0，3）B．（﹣1，0）C．（﹣∞，0）D．（﹣3，0）【考点】3O：函数的图象；53：函数的零点与方程根的关系．【分析】根据定义求出f（x）解析式，画出图象，判断即可．【解答】解：∵a⊗b=，∴f（x）=（2x﹣3）⊗（x﹣3）=，其图象如下图所示：由图可得：x1=﹣k，x2•x3=k，故x1•x2•x3=﹣k2，k∈（0，3），∴x1•x2•x3∈（﹣3，0），故选：D．12．f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）≤f（x），对任意的正数a、b，若a＜b，则必有（）A．af（a）≤bf（b）B．af（a）≥bf（b）C．af（b）≤bf（a）D．af（b）≥bf（a）【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】由已知条件判断出f′（x）≤0，据导函数的符号与函数单调性的关系判断出f（x）的单调性，利用单调性判断出f（a）与f（b）的关系，利用不等式的性质得到结论．【解答】解：∵f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数且满足xf′（x）≤f（x），令F（x）=，则F′（x）=，∵xf′（x）﹣f（x）≤0∴F′（x）≤0，∴F（x）=在（0，+∞）上单调递减或常函数∵对任意的正数a、b，a＜b∴≥，∵任意的正数a、b，a＜b，∴af（b）≤bf（a）故选：C．二．填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.13．圆（x+2）2+（y﹣2）2=2的圆心到直线x﹣y+3=0的距离等于．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】求出圆的圆心坐标，利用点到直线的距离公式求解即可．【解答】解：圆（x+2）2+（y﹣2）2=2的圆心（﹣2，2），圆（x+2）2+（y﹣2）2=2的圆心到直线x﹣y+3=0的距离d==．故答案为：．14．已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ≤）的部分图象如示，则φ的值为．【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】先利用函数图象，计算函数的周期，再利用周期计算公式计算ω的值，最后将点（，0）代入，结合φ的范围，求φ值即可【解答】解：由图可知T=2（）=π，∴ω==2∴y=sin（2x+φ）代入（，0），得sin（+φ）=0∴+φ=π+2kπ，k∈Z∵0＜φ≤∴φ=故答案为15．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f（x+2），且x∈=（﹣2，0）时，f（x）=2x+，则f=f（1）=﹣f（1），代入函数的表达式求出函数值即可．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数，又∵f（x﹣2）=f（x+2），∴函数f（x）为周期为4是周期函数，∴f=f（1）=﹣f（﹣1）=﹣2﹣1﹣=﹣1，故答案为：﹣1．16．已知△ABC的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形最小值的正弦值是．【考点】8F：等差数列的性质．【分析】设三角形的三边分别为a、b、c，且a＞b＞c＞0，设公差为d=2，求出a=c+4和b=c+2，由边角关系和条件求出sinA，求出A=60°或120°，再判断A的值，利用余弦定理能求出三边长，由余弦定理和平方关系求出这个三角形最小值的正弦值．【解答】解：不妨设三角形的三边分别为a、b、c，且a＞b＞c＞0，设公差为d=2，三个角分别为、A、B、C，则a﹣b=b﹣c=2，可得b=c+2，a=c+4，∴A＞B＞C，∵最大角的正弦值为，∴sinA=，由A∈（0°，180°）得，A=60°或120°，当A=60°时，∵A＞B＞C，∴A+B+C＜180°，不成立；即A=120°，则cosA===，化简得，解得c=3，∴b=c+2=5，a=c+4=7，∴cosC===，又C∈（0°，180°），则sinC==，∴这个三角形最小值的正弦值是，故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知等差数列{a n}满足：a3=7，a5+a7=26．{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）令b n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．【考点】8E：数列的求和；84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前n项和．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，由于a3=7，a5+a7=26，可得，解得a1，d，利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．（Ⅱ）由（I）可得b n==，利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3=7，a5+a7=26，∴，解得a1=3，d=2，∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1；S n==n2+2n．（Ⅱ）===，∴T n===．18．已知函数f（x）=﹣2sin2x+2sinxcosx+1（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及对称中心（Ⅱ）若x∈[﹣，]，求f（x）的最大值和最小值．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．【分析】（1）利用二倍角以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin （ωx+φ）的形式，即可求周期和对称中心．（2）x∈[﹣，]时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的取值最大和最小值．【解答】解：（1）函数f（x）=﹣2sin2x+2sinxcosx+1，化简可得：f（x）=cos2x﹣1+sin2x+1=sin2x+cos2x=2sin（2x+）．∴f（x）的最小正周期T=，由2x+=kπ（k∈Z）可得对称中心的横坐标为x=kπ∴对称中心（kπ，0），（k∈Z）．（2）当x∈[﹣，]时，2x+∈[，]当2x+=时，函数f（x）取得最小值为．当2x+=时，函数f（x）取得最大值为2×1=2．19．某流感病研究中心对温差与甲型H1N1病毒感染数之间的相关关系进行研究，他们每天将实验室放入数量相同的甲型H1N1病毒和100只白鼠，然后分别记录了4月1日至4月5日每天昼夜温差与实验室里100只白鼠的感染数，得到如下资料：日期4月1日4月2日4月3日4月4日4月5日温差101311127感染数2332242917（1）求这5天的平均感染数；（2）从4月1日至4月5日中任取2天，记感染数分别为x，y用（x，y）的形式列出所有的基本事件，其中（x，y）和（y，x）视为同一事件，并求|x﹣y|≤3或|x﹣y|≥9的概率．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）由已知利用平均数公式能求出这5天的平均感染数．（2）利用列举法求出基本事件总数n=10，设满足|x﹣y|≥9的事件为A，设满足|x﹣y|≤3的事件为B，利用列举法能求出|x﹣y|≤3或|x﹣y|≥9的概率．【解答】解：（1）由题意这5天的平均感染数为：．（2）（x，y）的取值情况有：（23，32），（23，24），（23，29），（23，17），（32，24），（32，29），（32，17），（24，29），（24，17），（29，17），基本事件总数n=10，设满足|x﹣y|≥9的事件为A，则事件A包含的基本事件为：（23，32），（32，17），（29，17），共有m=3个，∴P（A）=，设满足|x﹣y|≤3的事件为B，由事件B包含的基本事件为（23，24），（32，29），共有m′=2个，∴P（B）=，∴|x﹣y|≤3或|x﹣y|≥9的概率P=P（A）+P（B）=．20．如图，已知三棱锥A﹣BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．（I）求证：BC⊥平面APC；（Ⅱ）若BC=3，AB=10，求点B到平面DCM的距离．【考点】LW：直线与平面垂直的判定；MK：点、线、面间的距离计算．【分析】（I）根据正三角形三线合一，可得MD⊥PB，利用三角形中位线定理及空间直线夹角的定义可得AP⊥PB，由线面垂直的判定定理可得AP⊥平面PBC，即AP⊥BC，再由AC⊥BC结合线面垂直的判定定理可得BC⊥平面APC；（Ⅱ）记点B到平面MDC的距离为h，则有V M﹣BCD=V B﹣MDC．分别求出MD长，及△BCD和△MDC面积，利用等积法可得答案．【解答】证明：（Ⅰ）如图，∵△PMB为正三角形，且D为PB的中点，∴MD⊥PB．又∵M为AB的中点，D为PB的中点，∴MD∥AP，∴AP⊥PB．又已知AP⊥PC，PB∩PC=P，PB，PC⊂平面PBC∴AP⊥平面PBC，∴AP⊥BC，又∵AC⊥BC，AC∩AP=A，∴BC⊥平面APC，…解：（Ⅱ）记点B到平面MDC的距离为h，则有V M﹣BCD=V B﹣MDC．∵AB=10，∴MB=PB=5，又BC=3，BC⊥PC，∴PC=4，∴．又，∴．在△PBC中，，又∵MD⊥DC，∴，∴∴即点B到平面DCM的距离为．…21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0），圆Q：（x﹣2）2+（y﹣）2=2的圆心Q在椭圆C上，点P（0，）到椭圆C的右焦点的距离为．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P作互相垂直的两条直线l1，l2，且l1交椭圆C于A，B两点，直线l2交圆Q于C，D两点，且M为CD的中点，求△MAB的面积的取值范围．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（1）求得圆Q的圆心，代入椭圆方程，运用两点的距离公式，解方程可得a，b的值，进而得到椭圆方程；（2）讨论两直线的斜率不存在和为0，求得三角形MAB的面积为4；设直线y=kx+，代入圆Q的方程，运用韦达定理和中点坐标公式可得M的坐标，求得MP的长，再由直线AB的方程为y=﹣x+，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，由三角形的面积公式，化简整理，由换元法，结合函数的单调性，可得面积的范围．【解答】解：（1）圆Q：（x﹣2）2+（y﹣）2=2的圆心为（2，），代入椭圆方程可得+=1，由点P（0，）到椭圆C的右焦点的距离为，即有=，解得c=2，即a2﹣b2=4，解得a=2，b=2，即有椭圆的方程为+=1；（2）当直线l2：y=，代入圆的方程可得x=2±，可得M的坐标为（2，），又|AB|=4，可得△MAB的面积为×2×4=4；设直线y=kx+，代入圆Q的方程可得，（1+k2）x2﹣4x+2=0，可得中点M（，），|MP|==，设直线AB的方程为y=﹣x+，代入椭圆方程，可得：（2+k2）x2﹣4kx﹣4k2=0，设（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=，x1x2=，则|AB|=•=•，可得△MAB的面积为S=•••=4，设t=4+k2（5＞t＞4），可得==＜=1，可得S＜4，且S＞4=综上可得，△MAB的面积的取值范围是（，4]．22．已知函数f（x）=，（e=2.71828…是自然对数的底数）．（1）求f（x）的单调区间；（2）设g（x）=xf'（x），其中f'（x）为f（x）的导函数．证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求导数，利用导数的正负，求f（x）的单调区间；（2）g（x）=（1﹣x﹣xlnx），x∈（0，+∞）．由h（x）=1﹣x﹣xlnx，确定当x∈（0，+∞）时，h（x）≤h（e﹣2）=1+e﹣2．当x∈（0，+∞）时，0＜＜1，即可证明结论．【解答】解：（1）求导数得f′（x）=（1﹣x﹣xlnx），x∈（0，+∞），令h（x）=1﹣x﹣xlnx，x∈（0，+∞），当x∈（0，1）时，h（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h（x）＜0．又e x＞0，所以x∈（0，1）时，f′（x）＞0；x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0．因此f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）．证明：（2）因为g（x）=xf′（x）．所以g（x）=（1﹣x﹣xlnx），x∈（0，+∞）．由h（x）=1﹣x﹣xlnx，求导得h′（x）=﹣lnx﹣2=﹣（lnx﹣lne﹣2），所以当x∈（0，e﹣2）时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；当x∈（e﹣2，+∞）时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减．所以当x∈（0，+∞）时，h（x）≤h（e﹣2）=1+e﹣2．又当x∈（0，+∞）时，0＜＜1，所以当x∈（0，+∞）时，h（x）＜1+e﹣2，即g（x）＜1+e﹣2．综上所述，对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2。
2020年高考文科数学模拟试卷及答案(共五套)
2020年高考文科数学模拟试卷及答案（共五套）2020年高考文科数学模拟试卷及答案（一）一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求)1、设集合{}1 2 3 4U =，，，，集合{}2540A x x x =∈-+<N ，则U C A 等于（ ）A ．{}1 2，B ．{}1 4，C ．{}2 4，D ．{}1 3 4，，2、记复数z 的共轭复数为z ，若()1i 2i z -=（i 为虚数单位），则复数z 的模z =（）A ．2B ．1C ．22D ．23、命题p:∃x ∈N,x 3<x 2;命题q:∀a ∈(0,1)∪(1,+∞),函数f(x)=log a (x-1)的图象过点(2,0),则( )A. p 假q 真B. p 真q 假C. p 假q 假D. p 真q 真4、《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现有一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织多少尺布？（）A ．18B ．20C ．21D ．255、已知 ，且，则A.B.C.D.6、已知 ， ， ，若 ，则A. B.—8 C. D. —27、执行如右图所示的程序框图，则输出 的值为A. B.C. D.8、等轴双曲线 的中心在原点，焦点在 轴上， 与抛物线 的准线交于 两点， ，则 的实轴长为 ( )A. B. C. D.9、已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ，则的外接圆面积为 A. B. 6π C. 7πD.10、一块边长为6cm 的正方形铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形（如图（3）），则该容器的体积为（ ）A ．3126cmB ．346cmC.3272cm D ．392cm11、已知，曲线 在点 ))1f(,1( 处的切线经过点，则有A. 最小值B. 最大值C. 最小值D. 最大值12、对实数 和 ，定义运算“ ”：．设函数 ，．若函数 的图象与 轴恰有两个公共点，则实数 的取值范围是 ( ) A. B. C. D.二、填空题（共4小题；共20分）13、 设变量 ， 满足约束条件则目标函数 的最大值为 ．14、已知等比数列{a n }的各项均为正数，且满足：a 1a 7=4，则数列{log 2a n }的前7项之和为15、已知圆 ，则圆 被动直线 所截得的弦长是 .16、如图，直三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB AC =，侧面11BCC B 是半球底面圆的内接正方形，则侧面11ABB A 的面积为．三、解答题：(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2020年全国统一高考文科数学模拟试卷(新课标I)含答案解析
2020年全国统一高考数学模拟试卷（文科）（新课标I）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，4}，B={1，3，5}，则下列Venn图中阴影部分表示集合{3，5}的是（）A．B．C．D．2．若数据x1，x2，x3，…，x n的平均数为=5，方差σ2=2，则数据3x1+1，3x2+1，3x3+1，…，3x n+1的平均数和方差分别为（）A．5，2 B．16，2 C．16，18 D．16，93．“m＞3”是“曲线mx2﹣（m﹣2）y2=1为双曲线”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）A．24里B．48里C．96里D．192里5．已知双曲线C的渐近线方程为3x±2y=0，且焦点在x轴上，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．6．设曲线y=sinx（a∈R）上任一点（x，y）处切线斜率为g（x），则函数y=x2g（x）的部分图象可以为（）A．B． C．D．7．执行如图的程序，若输出的值为2，则输入的值构成的集合是（）A．{2}B．{1，2，﹣1，﹣2} C．{1，﹣1} D．{2，﹣2}8．圆x2+y2﹣2x+6y+5a=0关于直线y=x+2b成轴对称图形，则a﹣b的取值范围是（）A．（﹣∞，4）B．（﹣∞，0）C．（﹣4，+∞）D．（4，+∞）9．如图，在平面四边形ABCD中，AB=1，，，∠ABC=120°，∠DAB=75°，则CD=（）A．B． C． D．10．若x，y满足，则z=y﹣2|x|的最大值为（）A．﹣8 B．﹣4 C．1 D．211．某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的外接球的体积是（）A．12πB．48πC．4πD．32π12．已知函数f（x）=|2x+1+|在[﹣，3]上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．[0，1]B．[﹣1，1] C．[﹣1，2] D．（﹣∞，2]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设（i为虚数单位），则=_______．14．已知向量，且，则=_______．15．已知抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离为5，则△PFO的面积为_______．16．函数f（x）=sin2x在[﹣π，π]内满足的n的最大值是_______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．某市根据地理位置划分成了南北两区，为调查该市的一种经济作物A（下简称A作物）的生长状况，用简单随机抽样方法从该市调查了500处A作物种植点，其生长状况如表：生长指数 2 1 0 ﹣1地域南区空气质量好45 54 26 35空气质量差7 16 12 5 北区空气质量好70 105 20 25空气质量差19 38 18 5其中生长指数的含义是：2代表“生长良好”，1代表“生长基本良好”，0代表“不良好，但仍有收成”，﹣1代表“不良好，绝收”．（Ⅰ）估计该市空气质量差的A作物种植点中，不绝收的种植点所占的比例；（Ⅱ）能否有99%的把握认为“该市A作物的种植点是否绝收与所在地域有关”？（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该市A作物的种植点中，绝收种植点的比例？并说明理由．附：P（K2≥k）0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828．18．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，且AB=1，BC=2，∠ABC=60°，E为BC的中点，AA1⊥平面ABCD．（1）证明：平面A1AE⊥平面A1DE；（2）若DE=A1E，试求异面直线AE与A1D所成角的余弦值．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=（λ+1）S n+1（n∈N*，λ≠﹣2），且3a1，4a2，a3+13成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足a n b n=log4a n+1，求数列{b n}的前n项和T n．20．已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（I）求C的方程．（Ⅱ）若直线y=k（x﹣1）与曲线C交于R，S两点，问是否在x轴上存在一点T，使得当k变动时总有∠OTS=∠OTR？若存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=（其中k∈R，e是自然对数的底数），f′（x）为f（x）导函数．（Ⅰ）若k=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f′（1）=0，试证明：对任意x＞0，f′（x）＜恒成立．选修4-1：几何证明与选讲22．如图，在⊙O中，弦AF交直径CD于点M，弦的延长线交CD的延长线于点E，M、N分别是AF、AB的中点．（Ⅰ）求证：OE•ME=NE•AE；（Ⅱ）若，求∠E的大小．选修4-4：坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系xOy中，曲线C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ=（p∈R）．（1）求曲线C的参数方程及直线l的直角坐标方程；（2）设曲线C与直线l相交于点A、B，若点P为曲线C上一动点（异于点A、B），求△PAB面积的最大值．选修4-5：不等式选讲24．已知f（x）=|x﹣3|，g（x）=|x﹣k|（其中k≥2）．（Ⅰ）若k=4，求f（x）+g（x）＜9的解集；（Ⅱ）若∀x∈[1，2]，不等式f（x）﹣g（x）≥k﹣x恒成立，求实数k的值．2020年全国统一高考数学模拟试卷（文科）（新课标I）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，4}，B={1，3，5}，则下列Venn图中阴影部分表示集合{3，5}的是（）A．B．C．D．【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】结合已知条件即可求解．观察Venn图，得出图中阴影部分表示的集合，【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，4}，∴（∁A）={3，5，6}，∵B={1，3，5}，∴B∩（∁A）={3，5}．故选：B．2．若数据x1，x2，x3，…，x n的平均数为=5，方差σ2=2，则数据3x1+1，3x2+1，3x3+1，…，3x n+1的平均数和方差分别为（）A．5，2 B．16，2 C．16，18 D．16，9【考点】极差、方差与标准差．【分析】由平均数和方差的性质得数据3x1+1，3x2+1，3x3+1，…，3x n+1的平均数为，方差为32•σ2．【解答】解：∵x1，x2，x3，…，x n的平均数为5，∴=5，∴+1=3×5+1=16，∵x1，x2，x3，…，x n的方差为2，∴3x1+1，3x2+1，3x3+1，…，3x n+1的方差是32×2=18．故选：C．3．“m＞3”是“曲线mx2﹣（m﹣2）y2=1为双曲线”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合双曲线的定义进行判断即可．【解答】解：若曲线mx2﹣（m﹣2）y2=1为双曲线，则对应的标准方程为，则＞0，即m（m﹣2）＞0，解得m＞2或m＜0，故“m＞3”是“曲线mx2﹣（m﹣2）y2=1为双曲线”的充分不必要条件，故选：A4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）A．24里B．48里C．96里D．192里【考点】等比数列的前n项和．【分析】由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列，由求和公式可得首项，可得答案．【解答】解：由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列，由题意和等比数列的求和公式可得=378，解得a1=192，∴第此人二天走192×=96步故选：C5．已知双曲线C的渐近线方程为3x±2y=0，且焦点在x轴上，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），求得渐近线方程，由题意可得=，运用点到直线的距离公式，解方程可得a=4，b=6，进而得到双曲线的方程．【解答】解：设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），可得渐近线方程为y=±x，由题意可得=，设一个焦点为（c，0），可得=6，可得c=2，即a2+b2=52，解得a=4，b=9，则双曲线的方程为﹣=1．故选：D．6．设曲线y=sinx（a∈R）上任一点（x，y）处切线斜率为g（x），则函数y=x2g（x）的部分图象可以为（）A．B． C．D．【考点】函数的图象；利用导数研究函数的单调性．【分析】求导y′=cosx，从而可得y=x2g（x）=x2cosx，从而判断．【解答】解：∵y=sinx，∴y′=cosx，由导数的几何意义知，g（x）=cosx，故y=x2g（x）=x2cosx，故函数y=x2g（x）是偶函数，故排除A，D；又∵当x=0时，y=0，故排除C，故选B．7．执行如图的程序，若输出的值为2，则输入的值构成的集合是（）A．{2}B．{1，2，﹣1，﹣2} C．{1，﹣1} D．{2，﹣2}【考点】程序框图．【分析】由框图知程序功能是计算并输出y=的值，由题意分类讨论即可得解．【解答】解：由框图知程序功能是计算并输出y=的值，当x＞0时，令x2﹣x=2，解得x=2或﹣1（舍去）；当x＜0时，令x2+x=2，解得x=﹣2或1（舍去）；故输入的值构成的集合是：{﹣2，2}．故选：D．8．圆x2+y2﹣2x+6y+5a=0关于直线y=x+2b成轴对称图形，则a﹣b的取值范围是（）A．（﹣∞，4）B．（﹣∞，0）C．（﹣4，+∞）D．（4，+∞）【考点】直线与圆相交的性质．【分析】由题意知，圆心在直线上，解出b，再利用圆的半径大于0，解出a＜2，从而利用不等式的性质求出a﹣b的取值范围．【解答】解：∵圆x2+y2﹣2x+6y+5a=0关于直线y=x+2b成轴对称图形，∴圆心（1，﹣3）在直线y=x+2b上，故﹣3=1+2b，∴b=﹣2．对于圆x2+y2﹣2x+6y+5a=0，有4+36﹣20a＞0，∴a＜2，a﹣b=a+2＜4，故选A．9．如图，在平面四边形ABCD中，AB=1，，，∠ABC=120°，∠DAB=75°，则CD=（）A．B． C． D．【考点】解三角形．【分析】分别过C，D作AB的垂线DE，CF，则通过计算可得四边形DEFC为矩形，于是CD=EF=AB﹣AE+BF．【解答】解：过D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥AB交AB延长线于F，则DE∥CF，∠CBF=60°．DE=ADsinA==，CF=BCsin∠CBF=（）×=．∴四边形DEFC是矩形．∴CD=EF=AB﹣AE+BF．∵AE=ADcosA==，BF=BCcos∠CBF=（）×=．∴CD=1﹣+=．故选：A．10．若x，y满足，则z=y﹣2|x|的最大值为（）A．﹣8 B．﹣4 C．1 D．2【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，分类化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，当x≥0时，可行域为四边形OACD及其内部区域，A点是目标函数取得最大值的点；当x≤0时，可行域为三角形OAB及其内部区域，A点是目标函数取得最大值的点．∴z=y﹣2|x|的最大值为2．故选：D．11．某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的外接球的体积是（）A．12πB．48πC．4πD．32π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体为棱锥，其中SC⊥平面ABCD，此四面体的外接球为正方体的外接球，正方体的对角线长为2，外接球的半径为，即可求出此四面体的外接球的体积．【解答】解：由三视图知该几何体为棱锥S﹣ABD，其中SC⊥平面ABCD，此四面体的外接球为正方体的外接球，正方体的对角线长为2，外接球的半径为所以四面体的外接球的体积=4．故选：C．12．已知函数f（x）=|2x+1+|在[﹣，3]上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．[0，1]B．[﹣1，1] C．[﹣1，2] D．（﹣∞，2]【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】为去绝对值号，讨论a：（1）a＜0时，根据指数函数和增函数的定义便可判断函数在[，3]上单调递增，从而需满足g（﹣）≥0，这样可得到﹣1≤a ＜0；（2）a=0时，显然满足条件；（3）a＞0时，得到f（x）=，并可判断x=时取等号，从而需满足，可解出该不等式，最后便可得出实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a＜0时，函数在上单调递增；∴；∴﹣1≤a＜0；（2）当a=0时，f（x）=2x+1在上单调递增；（3）当a＞0时，，当且仅当，即x=时等号成立；∴要使f（x）在[]上单调递增，则；即0＜a≤1；综上得，实数a的取值范围为[﹣1，1]．故选B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设（i为虚数单位），则=2﹣i．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】直接由复数求模公式化简复数z，则答案可求．【解答】解：由=，则=2﹣i．故答案为：2﹣i．14．已知向量，且，则=5．【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【分析】根据平面向量的坐标运算与数量积运算，求出x的值，再求的值．【解答】解：向量，且，∴•=x﹣2=0，解得x=2，∴﹣2=（﹣3，4）；==5．故答案为：5．15．已知抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离为5，则△PFO的面积为2．【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的定义，求出P的坐标，然后求出三角形的面积．【解答】解：由抛物线定义，|PF|=x P+1=5，所以x P=4，|y P|=4，所以，△PFO的面积S==．故答案为：2．16．函数f（x）=sin2x在[﹣π，π]内满足的n的最大值是4．【考点】正弦函数的图象．【分析】由题意可得，本题即求函数f（x）=sin2x与y=kx的图象的交点个数，但不含原点，数形结合得出结论．【解答】解：满足的x的个数n，即为函数f（x）=sin2x与y=kx的图象的交点个数，但不含原点，如图所示，存在k∈（﹣∞，0），使得n取到最大值4，故答案为：4．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．某市根据地理位置划分成了南北两区，为调查该市的一种经济作物A（下简称A作物）的生长状况，用简单随机抽样方法从该市调查了500处A作物种植点，其生长状况如表：生长指数 2 1 0 ﹣1地域南区空气质量好45 54 26 35空气质量差7 16 12 5 北区空气质量好70 105 20 25空气质量差19 38 18 5其中生长指数的含义是：2代表“生长良好”，1代表“生长基本良好”，0代表“不良好，但仍有收成”，﹣1代表“不良好，绝收”．（Ⅰ）估计该市空气质量差的A作物种植点中，不绝收的种植点所占的比例；（Ⅱ）能否有99%的把握认为“该市A作物的种植点是否绝收与所在地域有关”？（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该市A作物的种植点中，绝收种植点的比例？并说明理由．附：P（K2≥k）0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828．【考点】线性回归方程．【分析】（I）根据表格数据计算；（II）采用独立检验方法列联表计算K2，与6.635比较大小得出结论；（III）根据绝收比例可以看出采用分层抽样比较合理．【解答】解：（1）调查的500处种植点中共有120处空气质量差，其中不绝收的共有110处，∴空气质量差的A作物种植点中，不绝收的种植点所占的比例．（2）列联表如下：收绝收合计南区160 40 200北区270 30 300合计430 70 500∴K2=≈9.967．∵9.967＞6.635，∴有99%的把握认为“该市A作物的种植点是否绝收与所在地域有关“．（3）由（2）的结论可知该市A作物的种植点是否绝收与所在地域有关，因此在调查时，先确定该市南北种植比例，再把种植区分南北两层采用分层抽样比采用简单随机抽样方法好．18．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，且AB=1，BC=2，∠ABC=60°，E为BC的中点，AA1⊥平面ABCD．（1）证明：平面A1AE⊥平面A1DE；（2）若DE=A1E，试求异面直线AE与A1D所成角的余弦值．【考点】平面与平面垂直的判定；异面直线及其所成的角．【分析】（1）根据题意，得△ABE是正三角形，∠AEB=60°，等腰△CDE中∠CED==30°，所以∠AED=90°，得到DE⊥AE，结合DE⊥AA1，得DE⊥平面A1AE，从而得到平面A1AE ⊥平面平面A1DE．（2）取BB1的中点F，连接EF、AF，连接B1C．证出EF∥A1D，可得∠AEF（或其补角）是异面直线AE与A1D所成的角．利用勾股定理和三角形中位线定理，算出△AEF各边的长，再用余弦定理可算出异面直线AE与A1D所成角的余弦值．【解答】解：（1）依题意，BE=EC=BC=AB=CD…，∴△ABE是正三角形，∠AEB=60°…，又∵△CDE中，∠CED=∠CDE==30°…∴∠AED=180°﹣∠CED﹣∠AEB=90°，即DE⊥AE…，∵AA1⊥平面ABCD，DE⊆平面ABCD，∴DE⊥AA1．…，∵AA1∩AE=A，∴DE⊥平面A1AE…，∵DE⊆平面A1DE，∴平面A1AE⊥平面A1DE．…．（2）取BB1的中点F，连接EF、AF，连接B1C，…∵△BB1C中，EF是中位线，∴EF∥B1C∵A1B1∥AB∥CD，A1B1=AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，可得B1C∥A1D∴EF∥A1D…，可得∠AEF（或其补角）是异面直线AE与A1D所成的角…．∵△CDE中，DE=CD==A1E=，AE=AB=1∴A1A=，由此可得BF=，AF=EF==…，∴cos∠AEF==，即异面直线AE与A1D所成角的余弦值为…19．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=（λ+1）S n+1（n∈N*，λ≠﹣2），且3a1，4a2，a3+13成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足a n b n=log4a n+1，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）讨论可判断出数列{a n}是以1为首项，λ+2为公比的等比数列，从而结合8a2=3a1+a3+13可得λ2﹣4λ+4=0，从而解得；（Ⅱ）化简可得b n=，从而可得T n=1+++…+，T n=+++…+，利用错位相减法求其前n项和即可．【解答】解：（Ⅰ）∵a n+1=（λ+1）S n+1，+1，∴当n≥2时，a n=（λ+1）S n﹣1∴a n+1﹣a n=（λ+1）a n，即a n+1=（λ+2）a n，又∵λ≠﹣2，∴数列{a n}是以1为首项，λ+2为公比的等比数列，故a2=λ+2，a3=（λ+2）2，∵3a1，4a2，a3+13成等差数列，∴8a2=3a1+a3+13，代入化简可得，λ2﹣4λ+4=0，故λ=2，故a n=4n﹣1；（Ⅱ）∵a n b n=log4a n+1=n，∴b n=，故T n=1+++…+，T n=+++…+，故T n=1+++…+﹣=（1﹣）﹣，故T n=﹣．20．已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（I）求C的方程．（Ⅱ）若直线y=k（x﹣1）与曲线C交于R，S两点，问是否在x轴上存在一点T，使得当k变动时总有∠OTS=∠OTR？若存在，请说明理由．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）求出圆M和圆N的圆心及半径，设圆P的圆心为P（x，y），半径为R．由圆P与圆M外切并与圆N内切，得到曲线C是以M，N为左右焦点，长半轴长为2，短半轴为的椭圆（左顶点除外），由此能求出C的方程．（Ⅱ）假设存在T（t，0）满足∠OTS=∠OTR．联立得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出存在T（4，0），使得当k变化时，总有∠OTS=∠OTR．【解答】解：（Ⅰ）圆M：（x+1）2+y2=1的圆心为M（﹣1，0），半径r1=1，圆N的圆心N（1，0），半径r2=3．设圆P的圆心为P（x，y），半径为R．∵圆P与圆M外切并与圆N内切，∴|PM|+|PN|=R+r1+r2﹣R=r1+r2=4．…由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左右焦点，长半轴长为2，短半轴为的椭圆（左顶点除外），∴C的方程为．…（Ⅱ）假设存在T（t，0）满足∠OTS=∠OTR．设R（x1，y1），S（x2，y2）联立得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由韦达定理有①，其中△＞0恒成立，…由∠OTS=∠OTR（由题意TS，TR的斜率存在），故k TS+k TR=0，即②，由R，S两点在直线y=k（x﹣1）上，故y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1），代入②得，即有2x1x2﹣（t+1）（x1+x2）+2t=0③…将①代入③即有：④，要使得④与k的取值无关，当且仅当“t=4“时成立，综上所述存在T（4，0），使得当k变化时，总有∠OTS=∠OTR．…21．已知函数f（x）=（其中k∈R，e是自然对数的底数），f′（x）为f（x）导函数．（Ⅰ）若k=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f′（1）=0，试证明：对任意x＞0，f′（x）＜恒成立．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），代入切线方程即可；（Ⅱ）求出k的值，令g（x）=（x2+x）f'（x），问题等价于，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ）由得，x∈（0，+∞），所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为：，而f（1）=，故切线方程是：y﹣=﹣（x﹣1），即：x+ey﹣3=0；（Ⅱ）证明：若f′（1）=0，解得：k=1，令g（x）=（x2+x）f'（x），所以，x∈（0，+∞），因此，对任意x＞0，g（x）＜e﹣2+1，等价于，由h（x）=1﹣x﹣xlnx，x∈（0，∞），得h'（x）=﹣lnx﹣2，x∈（0，+∞），因此，当x∈（0，e﹣2）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增；x∈（e﹣2，+∞）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，所以h（x）的最大值为h（e﹣2）=e﹣2+1，故1﹣x﹣xlnx≤e﹣2+1，设φ（x）=e x﹣（x+1），∵φ'（x）=e x﹣1，所以x∈（0，+∞）时，φ'（x）＞0，φ（x）单调递增，φ（x）＞φ（0）=0，故x∈（0，+∞）时，φ（x）=e x﹣（x+1）＞0，即，所以．因此，对任意x＞0，恒成立．选修4-1：几何证明与选讲22．如图，在⊙O中，弦AF交直径CD于点M，弦的延长线交CD的延长线于点E，M、N分别是AF、AB的中点．（Ⅰ）求证：OE•ME=NE•AE；（Ⅱ）若，求∠E的大小．【考点】相似三角形的性质；与圆有关的比例线段．【分析】（1）通过证明△AME∽△ONE，即可推出结果．（2）利用（1）的结论，设OE=x，求解x，然后在直角三角形中求解即可．【解答】（1）证明：∵M、N分别是AF、AB的中点．∴∠AME=∠ONE=90°，又∵∠E=∠E，∴△AME∽△ONE，∴，∴OE•ME=NE•AE．（2）设OE=x，（x＞0），∵BE==，∴NE=2，AE=3，又∵OM=，∴x=2，即：（x﹣4）（2x+9）=0，∵x＞0，∴x=4，即OE=4，则在Rt△ONE中，cos∠E===∴∠E=30°．选修4-4：坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系xOy中，曲线C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ=（p∈R）．（1）求曲线C的参数方程及直线l的直角坐标方程；（2）设曲线C与直线l相交于点A、B，若点P为曲线C上一动点（异于点A、B），求△PAB面积的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）令x﹣2=cosα，y﹣3=sinα即可得出曲线C的参数方程，直线l过原点，且斜率为tanθ，利用点斜式方程写出直线l的方程；（2）解方程组求出A，B坐标，得到AB，则P到AB的最大距离为C到AB的距离与圆C 的半径的和．【解答】解：（1）令x﹣2=cosα，y﹣3=sinα，则x=2+cosα，y=3+sinα，∴曲线C的参数方程为（α为参数）．直线l的斜率k=tanθ=1，∴直线l的直角坐标方程为y=x．（2）解方程组得或．设A（2，2），B（3，3）．则|AB|==．∵圆C的圆心为C（2，3），半径r=1，∴C到直线AB的距离为=．∴P到直线AB 的最大距离d=+1．∴△PAB面积的最大值为=．选修4-5：不等式选讲24．已知f（x）=|x﹣3|，g（x）=|x﹣k|（其中k≥2）．（Ⅰ）若k=4，求f（x）+g（x）＜9的解集；（Ⅱ）若∀x∈[1，2]，不等式f（x）﹣g（x）≥k﹣x恒成立，求实数k的值．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）将k=4代入g（x），通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）问题等价于∀x∈[1，2]，x+3≥2k恒成立，根据x的范围求出k的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）k=4时，f（x）+g（x）＜9，即|x﹣3|+|x﹣4|＜9，即或或，解得：﹣1＜x＜3或3≤x≤4或4＜x＜8，故原不等式的解集是{x|﹣1＜x＜8}；（Ⅱ）∵k∵≥2且x∈[1，2]，∴x﹣3＜0，x﹣k＜0，∴f（x）=|x﹣3|=3﹣x，g（x）=|x﹣k|=k﹣x，则∀x∈[1，2]，不等式f（x）﹣g（x）≥k﹣x恒成立，等价于∀x∈[1，2]，x+3≥2k恒成立，∴4≥2k，即k≤2，又∵k≥2，∴k=2．2020年9月9日。
2020年普通高等学校招生全国统一模拟考试文科数学【含答案】
上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有－项
是符合题目要求的－
即
1.已 知全集 U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合 A = {2,4,6,7},B = {3,5,6,7，町， 则
ω科
榆
C CuA）门C CuB) =
A. {1,9}
B. {2,3,4,5,6,7,8}
C. {1,2,3,4,5,8,9}
D. {1,6,7,9}
树 黠
2.设 z ＝ 主 i十τI十l(i是虚数单位），则［z[ =
A. 2
B.y'3
C.,/5
3.己知等差数列（αη｝的前n项和 为乱，α3 = 7,53 = 9，则a10 =
A.25
B. 35
C. 40
4.已知函数f(x）的图象如图所示，则 f(x） 可以为
D.2y'3 D.45
丁三工 AJC工）＝」子「 B.f(x）＝
C.f(x）＝号 巳
D.f（工） =xelxl
5.某歌手大赛进行电视直播，比赛现场有6名特约嘉宾给每位参赛选手评分，场内外的
观众可以通过网络平台给每位参赛选手评分．某选手参加比赛后，现场嘉宾评分情况
2020年普通高等学校招生全国统一模拟考试
文科数学
2020.3
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
பைடு நூலகம்
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡
2020最新高考模拟数学考试(文科)含答案
65C ． -33D ． - 63，第Ⅰ卷(选择题，共 60 分)一、选择题：本大题共 l2 小题，每小题 5 分．共 60 分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1．设集合 A = {x || x - 2 |≤ 2, x ∈ R }, B = { y || y = - x 2,-1 ≤ x ≤ 2}, 则等于（）A ．RB ． {x | x ∈ R 且x ≠ 0}C ．{0}D ． ∅R（A∩B ）2 ． 已 知 cos(α - β ) =3 ,sin β = - 5 , 且α ∈ (0, π ), β ∈ (- π ,0), 则 s in α =51322（）A ． 3365B ． 63653．对于平面α 和共面的直线m ，n 下列命题中真命题是（）A ．若 m ⊥ α , m ⊥ n , 则n // αC ．若 m ⊂ α，n // α，则m // nB ．若 m // α，n // α，则m // nD ．若 m ，n 与α所成的角相等，则m // n4．数列{a }中，若 a = 1 ， a =n12n1 1 - an -1(n ≥ 2, n ∈ N ) 则 a2007的值为A -1B1 C 1D225.如果 f '(x) 是二次函数, 且 f '(x) 的图象开口向上,顶点坐标为(1,－那么曲线 y=f(x)上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是()3),A. (0, 2π 3 ]B. [0, π 2π π 2π )∪[ , π)C. [0, ]∪[ 2 3 2 3, π) D.π 2π[ , ] 2 3a 2b 2| A ．(1,2 + 3 ⎤B (1, 3 ⎤⎡2+ 3, +∞)D ⎡2 - 3,2 + 3 ⎤11．如图, 直线 MN 与双曲线 C: x 2线相交于 P 点, F 为右焦点,若|FM|=2|FN|, 又NP= λPM (λ∈R), 则6．两直线 3x ＋y －2=0 和 y ＋a=0 的夹角为()A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°7．已知函数 y = f ( x )( x ∈ R)满足f ( x + 2) = f ( x ) 且当 x ∈ [-1,1]时f ( x ) = x 2 ，则y = f ( x )与y = log x 的图像的交点个数为（）7A ．3B ．4C ．5D ．68．若关于 x 的方程 4cos x - cos 2 x + m - 3 = 0 恒有实数解，则实数 m 的取值范围是A. [ -1,+∞)B. [-1,8]C [0,8]D [0,5]9．如图，在杨辉三角中，斜线的上方从 1 开始按箭 头所示的数组成一个锯齿形数列 1，3，3，4，6，5，10，……，记此数列为{a } ，则 a 等于n21A ．55B ．65C ．78D ．6610．已知点 F 、F 为双曲线 x 2 - y 2 = 1 (a > 0, b > 0) 的左、右焦点， P 为右1 2支上一点，点 P 到右准线的距离为 d ，若 | PF | 、PF| 、d 依次成等差数列，12则此双曲线离心率的取值范围是（）⎦⎦C⎣ ⎣ ⎦a 2 － y 2b 2 = 1的左右两支分别交于 M 、N 两点, 与双曲线 C 的右准→ →实数λ的取值为 ( )11A. B.1 C.2 D.2312．△ABC的AB边在平面α内,C在平面α外,AC和BC分别与面α成30°和45°的角,且面ABC与α成60°的二面角,那么sin∠ACB的值为()1221A.1B.C.D.1或333第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．x2113．二项式(－)9展开式中的系数为________2x x14．一个五位数由数字0,1,1,2,3构成,这样的五位数的个数为_________15．过定点P(1,4)作直线交抛物线C:y=2x2于A、B两点,过A、B 分别作抛物线C的切线交于点M,则点M的轨迹方程为_________ 16．定义在R上的函数f(x)满足f(x+5)+f(x)=0,且函数f(x+5)为奇函24数，给出下列结论：①函数f(x)的最小正周期是5；②函数f(x)的2图像关于点(5,0)对称；③函数f(x)的图像关于直线x=5对称；④42函数f(x)的最大值为f(5).2其中正确结论的序号是__________(写出所有你认为正确的结论的序号)三、解答题：本大题共６小题，共74分。
2020年高考数学模拟试卷(文科)-普通用卷
2020年高考数学模拟试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合A ={x|x >1}，B ={x|x(x −2)<0}，则A ∩B 等于( )A. {x|x >2}B. {x|0<x <2}C. {x|1<x <2}D. {x|0<<1} 2. 下列说法正确的是( )A. 命题“若x 2=1，则x =1”的否命题为“若x 2=1，则x ≠1”B. 命题“∃x 0∈R ，x 02+x 0−1<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2+x −1>0” C. 命题“若x =y ，则sin x =sin y ”的逆否命题为假命题 D. 若“p 或q ”为真命题，则p ，q 中至少有一个为真命题 3. 函数f(x)=e x +3x 的零点个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 3 4. 已知a =2−13，b =log 213，，则( )A.B.C.D.5. 函数f(x)=√1−2x +1√x+3的定义域是( )A. (−3,0]B. (−3,1]C. (−∞,−3)∪(−3,0]D. (−∞,−3)∪(−3,1]6. 等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6+a 4a 7+a 3a 8=27，则log 3a 1+log 3a 2+log 3a 3+⋯+log 3a 10=( ) A. 12 B. 10 C. 8 D. 2+log 35 7. f(x)=14x 2+cosx ，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x)的图象是( )A.B.C.D.8. 为了得到函数y =sin 2x +√3sinxcosx 的图象，可以将函数y =sin2x 的图象( )A. 向左平移π6个单位长度，再向下平移12个单位长度 B. 向右平移π6个单位长度，再向上平移12个单位长度 C. 向左平移π12个单位长度，再向下平移12个单位长度 D. 向右平移π12个单位长度，再向上平移12个单位长度9. 直线y =kx +1与曲线y =x 3+ax +b 相切于点A(1,3)，则2a +b 的值等于( )A. 2B. −1C. 1D. −210. 函数y =f(x)是R 上的奇函数，满足f(3+x)=f(3−x)，当x ∈(0,3)时f(x)=2x ，则当x ∈(−6,−3)时，f(x)=( )A. 2x+6B. −2x+6C. 2x−6D. −2x−611. 已知非零向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=2|b ⃗ |，若函数f(x)=13x 3+12|a ⃗ |x 2+a ⃗ b ⃗ x +1在R 上存在极值，则a ⃗ 和b⃗ 夹角的取值范围是( )A. [0,π6)B. (π3,π]C. (π3,2π3]D. [π3,π]12. 已知定义在R 上的可导函数y =f(x)的导函数为f′(x)，满足f′(x)−f(x)>1，f(0)=2019，则不等式f(x)>2020⋅e x −1(其中e 为自然对数的底数)的解集为( )A. (−∞,0)∪(0,+∞)B. (2020,+∞)C. (0,+∞)D. (−∞,0)∪(2020,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ =(−1,2)，b ⃗ =(m,−1)，c ⃗ =(3,−2)，若(a ⃗ −b ⃗ )⊥c ⃗ ，则m 的值是______ ． 14. 设函数f(x)={21−x ,x ≤11−log 2x,x >1，则满足f(x)≤2的x 的取值范围是______．15. 设α为锐角，若cos(α+π6)=45，则sin(2α+π12)的值为______．16. 已知函数f(x)={|log 3x|,0<x ≤32−log 3x,x >3，若a ，b ，c 互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，则a +b +c 的取值范围为______(用区间表示)三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知等差数列{a n }满足：a 4=7，a 10=19，其前n 项和为S n ．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式a n 及S n ； (Ⅱ)若b n =1an a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ．18. 函数f(x)=Asin(ωx +φ)+B 的部分图象如图所示，其中A >0，ω>0，|φ|<π2．(Ⅰ)求函数y =f(x)解析式；(Ⅱ)求x ∈[0,π2]时，函数y =f(x)的值域．19.已知数列{a n}的前n项和为S n，且2S n=4a n−1．(Ⅰ)求{a n}的通项公式；(Ⅱ)设b n=a n⋅a n+1−2，求数列{b n}的前n项和T n．20.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足2ccosB=2a+b．(Ⅰ)求角C；(Ⅱ)若D为AB的中点，CD=1，a=2，求△ABC的面积．21.已知函数f(x)=x4+ax−lnx−32，其中a∈R，且曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线y=12x.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值．22.已知函数f(x)=2lnx−ax2．(Ⅰ)求f(x)的单调区间；(Ⅱ)若α，β都属于区间[1,4]，且β−α=1，f(α)=f(β)，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合B={x|x(x−2)<0}={x|0<x<2}，又A={x|x>1}，∴A∩B={x|1<x<2}，故选：C．先解一元二次不等式化简集合B，再与集合A求A∩B即可．本题考查解不等式，考查集合的运算，考查学生的计算能力，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：A.命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，因此不正确；B.命题“∃x0∈R，x 02+x0−1<0”的否定是“∀x∈R，x2+x−1≥0”，因此不正确；C.命题“若x=y，则sin x=sin y”正确，其逆否命题为真命题，因此不正确；D.命题“p或q”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题，正确．故选：D．A.原命题的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，即可判断出正误；B.原命题的否定是“∀x∈R，x2+x−1≥0”，即可判断出正误；C.由于命题“若x=y，则sin x=sin y”正确，其逆否命题与原命题为等价命题，即可判断出正误；D.利用“或”命题真假的判定方法即可得出．本题考查了命题之间的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于中档题．3.【答案】B【解析】解：∵函数f(x)=e x+3x在R上是增函数，且f(−1)=1e−1<0，f(0)=1>0，∴f(−1)f(0)<0，可得函数f(x)在(−1,0)上有唯一零点，故函数f(x)在R上有唯一零点，故选：B．函数f(x)=e x+3x在R上是增函数，根据函数零点的判定定理证得函数f(x)在(−1,0)上有唯一零点，从而得出结论．本题主要考查函数零点个数的判断以及函数零点的判定定理的应用，属于中档题．4.【答案】C【解析】【分析】本题考查指数函数和对数函数的性质，考查比较大小，属于基础题．借助指数函数和对数函数的单调性得出a,b,c与0，1这样的特殊值的大小关系，从而得出答案．【解答】解：∵0<a=2−13<20=1，，，∴c>a>b，故选C．5.【答案】A【解析】解：根据题意：{1−2x≥0x+3>0，解得：−3<x≤0∴定义域为(−3,0]故选：A．从根式函数入手，根据负数不能开偶次方根及分母不为0求解结果，然后取交集．本题主要考查函数求定义域，负数不能开偶次方根，分式函数即分母不能为零，及指数不等式的解法．6.【答案】B【解析】解：∵等比数列{a n}的各项均为正数，且a5a6+a4a7+a3a8=27，∴a5a6=a4a7=a3a8=9，∴log3a1+log3a2+log3a3+⋯+log3a10=log3(a1×a2×a3×…×a10)=log3(a5a6)5=log3310=10．故选B．由题设条件知a5a6=9，再由等比数列的性质知log3a1+log3a2+log3a3+⋯+log3a10=log3(a5a6)5，由此能求出结果．本题考查等比数列的性质及其应用，解题时要注意对数性质的灵活运用，是基础题．7.【答案】A【解析】解：f(x)=14x2+cosx，∴f′(x)=12x−sinx，f′(x)是奇函数，排除B，D，当x=π4时，f′(x)=π8−√22<0，排除C，故选：A．求出导函数，利用导函数的解析式，判利用还是的奇偶性已经特殊点断函数的图象即可．本题考查函数的图象的判断，导数的应用，考查计算能力．8.【答案】D【解析】解：y=sin2x+√3sinxcosx=12−12cos2x+√32sin2x=12+sin(2x−π6)∴需将函数y=sin2x的图象向右平移π12个单位得到y=sin(2x−π6)，再向上平移12个单位长度，得到y=sin(2x−π6)+12故选：D．先利用三角函数的倍角公式和两角和和公式对函数进行化简得y=sin(2x−π6)+12，在根据左加右减上加下减的原则对函数y=sin2x的图象进行平移，得到答案．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，属基础题．9.【答案】C【解析】解：∵解：由题意得，y′=3x2+a，∴k=3+a①∵切点为A(1,3)，∴3=k+1②3=1+a+b③由①②③解得，a=−1，b=3，∴2a+b=1，故选：C．先求出函数的导数，再由导数的几何意义、把切点坐标代入曲线和切线方程，列出方程组进行求解，即可得出结论．本题考查直线与曲线相切，考查学生的计算能力，属于基础题．10.【答案】B【解析】【分析】本题考查的知识点是函数的奇偶性的性质，属于基础题．令x取x+3得f(6+x)=f(−x)，又由函数y=f(x)是定义在R上的奇函数f(−x)=−f(x)，所以f(6+x)=−f(x)，则f(x)=−f(x+6)=−2x+6．【解答】解：∵f(3+x)=f(3−x)，令x取x+3得f(6+x)=f(−x)，又由函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，f(−x)=−f(x)，∴f(6+x)=−f(x)，设x∈(−6,−3)则x+6∈(0,3)，则f(x)=−f(x+6)=−2x+6，故选：B．11.【答案】B【解析】解：f′(x)=x2+|a⃗|x+a⃗⋅b⃗ ；∵f(x)在R上存在极值；∴f′(x)=0有两个不同实数根；∴△=|a⃗|2−4a⃗⋅b⃗ >0；即|a⃗|2−4|a⃗||b⃗ |cos<a⃗,b⃗ >>0，|a⃗|=2|b⃗ |；∴cos<a⃗,b⃗ ><|a⃗ |4|b⃗|=2|b⃗4|b⃗|=12；∴π3<<a⃗,b⃗ >≤π；∴a⃗与b⃗ 夹角的取值范围为(π3,π]．故选：B．先求导数f′(x)=x2+|a⃗|x+a⃗⋅b⃗ ，而根据f(x)在R上存在极值便有f′(x)=0有两个不同实数根，从而△=|a⃗|2−4a⃗⋅b⃗ >0，这样即可得到cos<a⃗,b⃗ ><12，这样由余弦函数的图象便可得出<a⃗,b⃗ >的范围，即得出向量a⃗,b⃗ 夹角的取值范围．考查函数极值的概念，以及在极值点两边的导数符号的关系，一元二次方程的实数根的个数和判别式△取值的关系，数量积的计算公式，并要熟悉余弦函数的图象．12.【答案】C【解析】解：令g(x)=f(x)+1e x，因为f′(x)−f(x)>1，f(0)=2019，则g′(x)=f′(x)−f(x)−1e>0，故g(x)在R上单调递增，且g(0)=2020，由f(x)+1>2020e x，可得f(x)+1e x>2020，即g(x)>g(0)，所以x>0，故选：C．结合已知可考虑构造函数g(x)=f(x)+1e x，然后结合导数可判断单调性，进而可求不等式．本题主要考查了利用导数研究函数的单调性求解不等式，解题的关键是函数的构造，属于中档试题．13.【答案】−3【解析】【分析】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量垂直，则它们的数量积等于零，属于基础题．由条件利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求得m的值．【解答】解：若(a⃗−b⃗ )⊥c⃗，则(a⃗−b⃗ )⋅c⃗=(−1−m,3)⋅(3,−2)=−3−3m−6=0，求得m=−3，故答案为：−3．14.【答案】[0,+∞)【解析】解：由分段函数可知，若x≤1，由f(x)≤2得，21−x≤2，即1−x≤1，∴x≥0，此时0≤x≤1，若x>1，由f(x)≤2得1−log2x≤2，即log2x≥−1，即x≥12，此时x>1，综上：x≥0，故答案为：[0,+∞)．根据分段函数的表达式，解不等式即可，注意要对x进行分类讨论．本题主要考查分段函数的应用，利用分段函数的表达式讨论x的取值范围，解不等式即可．15.【答案】17√250【解析】【分析】本题着重考查了两角和与差的正弦、余弦公式和二倍角的正弦、余弦等公式，考查了三角函数中的恒等变换应用，属于中档题．先设β=α+π6，根据cosβ求出sinβ，进而求出sin2β和cos2β，最后用两角和的正弦公式得到sin(2α+π12)的值．【解答】解：设β=α+π6，β∈(π6,23π)， 又因为cos(α+π6)=45，∴sinβ=35，sin2β=2sinβcosβ=2425， cos2β=2cos 2β−1=725，∴sin(2α+π12)=sin(2α+π3−π4)=sin(2β−π4) =sin2βcos π4−cos2βsin π4=17√250， 故答案为17√250．16.【答案】(193,11)【解析】解：作出函数f(x)={|log 3x|,0<x ≤32−log 3x,x >3，的图象，不妨设a <b <c ，a ∈(13,1)，b ∈(1,3)， c ∈(3,9)，由题意可知，−log 3a =log 3b =2−log 3c 故而{ab =1bc =9解得{a =1bc =9b ， ∴a +b +c =b +10b，b ∈(1,3) 令g(x)=x +10x，x ∈(1,3)，则g(x)在(1,3)递减，g(1)=11，g(3)=193， ∴g(x)∈(193,11)，∴a +b +c 的取值范围为(193,11)， 故答案为：(193,11)先画出图象，再根据条件即可求出其范围．不妨设a <b <c ，利用f(a)=f(b)=f(c)，可得，−log 3a =log 3b =2−log 3c ，再构造函数g(x)=x +10x，由此可确定a +b +c 的取值范围． 本题考查分段函数，考查绝对值函数，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则{a 1+3d =7a 1+9d =19，解得：a 1=1，d =2，∴a n =1+2(n −1)=2n −1， S n =n(1+2n−1)2=n 2．(2)b n =1an a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，∴数列{b n }的前n 项和为T n =12[(1−13)+(13−15)+⋯+(12n−1−12n+1)] =12(1−12n+1)=n2n+1．【解析】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出． (2)利用“裂项求和”方法即可得出．18.【答案】解：(Ⅰ)∵根据函数f(x)=Asin(ωx +ϕ)+B 的一部分图象，其中A >0，ω>0，|φ|<π2，可得A =4−2=2，B =2，T4=14⋅2πω=5π12−π6， ∴ω=2． 又∵2⋅π6+φ=π2， ∴φ=π6，∴f(x)=2sin(2x +π6)+2． (Ⅱ)∵x ∈[0,π2]， ∴2x +π6∈[π6,7π6]，∴sin(2x +π6)∈[−12,1]， ∴y =f(x)∈[1,4]．【解析】(Ⅰ)根据已知图象，分析出A ，B ，T ，然后求出ω的值．根据五点作图法求出φ的值．综合即可写出函数f(x)的解析式． (Ⅱ)由已知可求范围2x +π6∈[π6,7π6]，利用正弦函数的图象和性质可得sin(2x +π6)∈[−12,1]，即可求解．本题考查由y =Asin(ωx +φ)的部分图象确定其解析式，通过图象分析出y =Asin(ωx +φ)中的参数值，同时也考查了对于三角函数图象性质的运用，属于基础题． 19.【答案】解：(Ⅰ)∵2S n =4a n −1∴n =1时，2S 1=4a 1−1，即2a 1=4a 1−1，解得a 1=12；n ≥2时，2S n =4a n −1…①2S n−1=4a n−1−1…②由①−②得，所以a n =2a n−1∴数列{a n }是首项为12，公比为2的等比数列，即a n =12×2n−1=2n−2 (Ⅱ)由(Ⅰ)知b n =a n ⋅a n+1−2=22n−3−2 ∴T n =b 1+b 2+⋯+b n =2−1+21+23+⋯+22n−3−2n =2−1×(1−4n )1−4−2n =16(4n −1)−2n ，∴T n =16(4n −1)−2n ．【解析】(Ⅰ)根据公式a n ={S 1S n −S n−1n =1n ≥2，当n =1时，求数列的首项，当n ≥2时，2S n =4a n −12S n−1=4a n−1−1，两式相减得到2a n =4a n −4a n−1，求得a na n−1=2，即数列{a n }是等比数列，求通项公式； (Ⅱ)b n =22n−3−2，利用分组求和．本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和的方法，考查计算能力．20.【答案】解：(Ⅰ)由2ccosB =2a +b ，得2c ⋅a2+c 2−b 22ac =2a +b ，化简得−ab =a 2+b 2−c 2，故cosC =a 2+b 2−c 22ab=−ab 2ab=−12，又C ∈(0,π)，故C =2π3． (Ⅱ)设AD =BD =x ，则cos∠ADC =x 2+1−b 22x=−cos∠BDC =−x 2+1−42x化简得2x 2=b 2+2① 又cos∠ACB =a 2+b 2−c 22ab=4+b 2−4x 24b=−12，即b 2+2b +4=4x 2，②由①②得b 2+2b +4=2b 2+4，∴b =2．故△ABC 的面积S =12absin∠ACB =12×2×2×√32=√3．【解析】(Ⅰ)由余弦定理把cos B 化成边，再有边的关系整体代换求角C 的余弦值，进而可求角．(Ⅱ)在不同的三角形内利用余弦定理列方程求△ABC 的边b ，再求面积． 本题考查三角形的解法，主要余弦定理的应用，考查计算能力．21.【答案】解：(1)∵f(x)=x 4+a x −lnx −32，∴f ′(x)=14−a x 2−1x， ∵曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线y =12x. ∴f ′(1)=14−a −1=−2， 解得：a =54．(2)由(1)知：f(x)=x4+54x −lnx −32， f ′(x)=14−54x 2−1x=x 2−4x−54x 2(x >0)，令f ′(x)=0，解得x =5，或x =−1(舍)，∵当x ∈(0,5)时，f ′(x)<0，当x ∈(5,+∞)时，f ′(x)>0， 故函数f(x)的单调递增区间为(5,+∞)； 单调递减区间为(0,5)；当x =5时，函数取极小值−ln5．【解析】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，是导数的综合应用，难度中档．(1)由曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线y =12x 可得f ′(1)=−2，可求出a 的值；(2)根据(1)可得函数的解析式和导函数的解析式，分析导函数的符号，进而可得函数f(x)的单调区间与极值．22.【答案】解：(Ⅰ)f′(x)=2−2ax 2x(x >0)，10当a ≤0时，f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立，则f(x)在(0,+∞)上单调递增； 20当a >0时，由f′(x)>0得0<x <√a ； 由f′(x)<0得x >√a ； 则f(x)在a )上单调递增，在(a +∞)上单调递减； 综上，当a ≤0时，f(x)在(0,+∞)上单调递增；当a >0时，f(x)在√a )上单调递增，在(√a +∞)上单调递减．---(5分) (Ⅱ)由(Ⅰ)知，当a ≤0时，f(x)在[1,4]上单增，不合题意，故a >0．由f(α)=f(β)则2lnα−aα2=2lnβ−aβ2，即2lnα−2lnβ+a(α+β)=0， 即2lnα−2ln(α+1)+a(2α+1)=0，α∈[1,3](∗)， 设ℎ(x)=2lnx −2ln(x +1)+a(2x +1)，x ∈[1,3]， ℎ′(x)=2x−2x+1+2a >0在(1,3)上恒成立；所以ℎ(x)在[1,3]上递增，由(∗)式，函数ℎ(x)在[1,3]有零点，则{ℎ(1)≤0ℎ(3)≥0⇒{−2ln2+3a ≤02ln3−2ln4+7a ≥0⇒27ln 43≤a ≤23ln2 故实数a 的取值范围为[27ln 43,23ln2].------(12分)【解析】(Ⅰ)求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；(Ⅱ)问题转化为2lnα−2ln(α+1)+a(2α+1)=0，α∈[1,3](∗)，设ℎ(x)=2lnx −2ln(x +1)+a(2x +1)x ∈[1,3]，结合函数的单调性求出a 的范围即可．本题考查了函数的单调性，零点问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．。
2020年高考文科数学模拟卷(含答案)
2020年高考文科数学模拟卷（含答案）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1、已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么此圆心角所夹扇形的面积为（ ）A 、1sin 1 B 、1sin 12C 、2cos 11- D 、1tan 2、设集合M={06|2<--x x x }，N={)1(log |2-=x y x }，则M N=（ ）A 、(1，2)B 、(1-，2)C 、(1，3)D 、(1-，3)3、如图给出的是计算301614121+⋅⋅⋅+++的值是一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是（ ）A 、?15i <B 、?15i >C 、?16i <D 、?16i >4、已知圆F 的圆心为双曲线14522=-y x 的右焦点，且与该双曲线的渐近线相切，则圆F 的方程为（ ）A 、4)3(22=++y xB 、2)3(22=++y xC 、4)3-(22=+y xD 、2)3-(22=+y x5、某地2014年第二季各月平均气温)(0C x 与某户用水量y （吨）如下表，根据表中数据，用最小二乘法求得用水量y 关于月平均气温x 的线性回归方程是（ ）月份4 5 6 月平均气温20 25 30 月用水量15 20 28 A 、5.115-=∧x y B 、5.115.6-=∧x y C 、5.112.1-=∧x y D 、5.113.1-=∧x y6、在三角形ABC 中，a=2,A=030,C=045,则三角形的面积S 的值是（ ）A 、2B 、13+C 、）（1321+ D 、227、设[x]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，有（ ）A 、[-x] =-[x]B 、[x+21] =[x] C 、[2x] =2[x] D 、[x]+[x+21]=[2x] 8、已知函数,1)391ln()(2+-+=x x x f 则=+)21(lg )2(lg f fA 、1-B 、0C 、1D 、29、某旅行社租用A 、B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为A 、31200元B 、36 000元C 、36800元D 、38400元10、设)(x f 是定义在R 上的偶函数，且当0≥x 时，.)(x e x f =若对任意],1,[+∈a a x 的的最大值是恒成立，则实数不等式a x f a x f )()(2≥+A 、23-B 、32-C 、43- D 、2二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上． 11、函数)sin(ϕω+=x A y 的部分图像如图所示，其中2||,0,0A πϕω<>>，则其解析式为12、如图，已知正三角形ABC 的边长为1，点P 是AB 边上的动点， 点Q 是AC 边上的动点，且,,)1(,R AC AQ AB AP ∈-==λλλ 则CP BQ ⋅的最大值为13、过定点P （1，2）的直线在x 轴、y 轴的正半轴上的截距分别为b a ,， 则b a +的最小值是14、关于x 的方程0234=+⋅-+m m xx ）（有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为 15、设S 为实数集R 的非空子集，若对任意,,S y x ∈都有,,,S xy y x y x ∈-+则称S 为封闭集。
2020高考数学模拟试卷及答案(文科)
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i 为虚数单位，若复数i z -=11，i z +=22，则=⋅21z zA ．i -3B ．i -2C ．i -1D ．i 22+2．已知集合B A 、，{}22<≤-=x x A ，A B A =Y ，则集合B 不可能．．．为A ．∅B ．{}20≤≤x xC ．{}20<<x xD ．{}20<≤x x3．为了得到函数x y )31(3⋅=的图象，可以把函数x y )31(=的图象A ．向左平移3个单位长度B ．向右平移3个单位长度C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度4．下列函数中，周期为π，且图象关于直线3π=x 对称的函数是A ．)32sin(2)(π+=x x f B ．)32sin(2)(π+=x x fC ．)62sin(2)(π-=x x f D ．)62sin(2)(π-=x x f5．双曲线)0(13222>=-a y a x 有一个焦点与抛物线x y 82=的焦点重合，则双曲线的渐近线方程为A ．y =x 21±B ．y =x 2± C ．y =x 33±D ．y =x 3±6．执行如图所示的程序框图输出的结果是 A ．-3 B ．-2C．2D ．37．一个几何体的三视图及部分数据如图所示，侧视图为等腰三角形，俯视图为正方形，则这个几何体的体积等于A ．13B ．23C ．15D ．62第6题图第7题图8．已知等比数列{}n a 的公比0>q 且1≠q ，又06<a ，则 A ．5748a a a a +<+ B ．5748a a a a +>+C ．5748a a a a +=+D ．5748||||a a a a +>+9．下列各命题中正确的命题是① “若b a ,都是奇数，则b a +是偶数”的逆否命题是“若b a +不是偶数，则b a ,都不是奇数”；② 命题“x x R x 31,2>+∈∃”的否定是“x x R x 31,2≤+∈∀” ；③ “函数ax ax x f 22sin cos )(-=的最小正周期为π” 是“1=a ”的必要不充分条件；④“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的充分必要条件是“0<⋅b a ” ．A ．②③B ．①②③C ．①②④D ．③④10．已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤≥m y x x y y 121，若目标函数y x z -=的最小值是1-，则此目标函数的最大值为A ．1B ．2C ．3D ．511．设曲线)(*1N n x y n ∈=+在点)1,1(处的切线与x 轴的交点横坐标为n x ，则++2201212012log log x x …20112012log x +的值为A ．2011log 2012- B ．1- C ．2011log 12012+- D ．112．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －x 2)，x ∈R ，若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是A ．(－∞，－2]∪⎝⎛⎭⎪⎪⎫－1，32B ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1，－34∪⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫14，＋∞ C ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1，14∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14，＋∞ D ．(－∞，－2]∪⎝⎛⎭⎪⎪⎫－1，－34 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～24题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知向量()52,5,2,1=-=⋅=b a b a a ，b 等于 14．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若223a b bc -=，sin 23C B =，则角A=15．等差数列}{n a 中，20,873==a a ，若数列}1{1+n n a a 的前n 项和为254，则n 的值为 16．已知P 、A 、B 、C 是球O 表面上的点，PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AC =1，BC =3，PA =5，则球O 的表面积为三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知向量)cos ,(sin ),1,(x x b m a =-=，b a x f ⋅=)(且满足()12f π=．（1）求函数()y f x =的最大值及其对应的x 值； （2）若51)(=αf ，求αααtan 1sin 22sin 2--的值．18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，PA ＝AB ＝4， G 为PD的中点，E 点在AB 上，平面PEC ⊥平面PDC ． （1）求证：AG ∥平面PEC ； （2）求点G 到平面PEC 的距离．19．（本小题满分12分）某同学在生物研究性学习中，想对春季昼夜温差大小与黄豆种子发芽多少之间的关系进行研究，于是他在4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料： 日期 4月1日 4月7日 4月15日 4月21日 4月30日 温差C x ︒/101113128A DCBPEG（1）从这5天中任选2天，记发芽的种子数分别为n m ,，求事件“n m ,均不小于25”的概率．（2）从这5天中任选2天，若选取的是4月1日与4月30日的两组数据，请根据这5天中的另三天．．．的数据，求出y 关于x的线性回归方程a x b yˆˆˆ+=； （3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的；如果选取的检验数据是4月1日与4月30日的两组数据，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？（参考公式：∑∑==--=n i i ni ii xn x yx n yx b1221ˆ，x b y a ˆˆ-=）（参考数据：97731=∑=i i i y x ，434312=∑=i ix）20． (本小题满分12分) 已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，离心率为21，且过点)23,1(．（1）求椭圆C 的方程； （2） 过椭圆C 的左焦点1F 的直线l 与椭圆C 相交于B A ,两点，若AOB ∆的面积为726，求圆心在原点O 且与直线l 相切的圆的方程． 21．（本小题满分12分）已知函数1ln ()x f x x+=．（1）设a ＞0，若函数)(x f 在区间1(,)2a a +上存在极值，求实数a 的取值范围；（2）如果当x ≥1时，不等式2()1k kf x x -≥+恒成立，求实数k的取值范围．请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22. (本小题满分10分)选修4-1：几何证明与选讲如图，ABC ∆为直角三角形，ο90=∠ABC ，以AB 为直径的圆交AC 于点E ，点D 是BC 边的中点，连OD 交圆O 于点M .（1）求证：E D B O ,,,四点共圆； （2）求证：AB DM AC DM DE ⋅+⋅=22.23. (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=ty t x 541531(t 为参数）.若以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为)4sin(2πθρ+=.（1）求曲线C 的直角坐标方程； （2）求直线l 被曲线C 所截得的弦长.24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 函数|2||1|)(-+-=x x x f（1）画出函数)(x f y =的图象；（2）若不等式),,0)((||||||R b a a x f a b a b a ∈≠≥-++恒成立，求实数x的范围.数学（文）参考答案一、选择题：1．A 2．B 3．D 4．C 5．D 6．C 7．A 8．B 9．A 10．C 11．B 12．D二、填空题13．5 14．03015．16 16．9π三、解答题18．（1）证明：∵CD⊥AD，CD⊥PA ，∴CD⊥平面PAD ∴CD⊥AG，又PD⊥AG，∴AG⊥平面PCD．…………………………2分在平面PEC内，过点E作EF⊥PC于F，因面PEC⊥面PCD ，且交线为PC ， ∴EF⊥平面PCD ． …………………………4分∴EF ∥AG ，又AG ⊄面PEC ，EF ⊂面PEC ， ∴AG ∥平面PEC ． ………6分（2）由AG ∥平面PEC 知A 、G 两点到平面PEC 的距离相等由（1）知A 、E 、F 、G 四点共面，又AE ∥CD ∴ AE ∥平面PCD∴ AE ∥GF ，∴ 四边形AEFG 为平行四边形，∴ AE ＝GF ，PA ＝AB ＝4， G 为PD中点，FG 12CD ， ∴FG ＝2 ∴ AE ＝FG ＝2．……………9分 ∴ 1116(24)4323P AEC V -=⋅⋅⋅=， 又EF ⊥PC ，EF＝AG 22=∴EPC S ∆1143224622EPC S PC EF =⋅=⋅=V ． 又 P AEC A PEC V V --=，∴31631=⋅∆h S EPC ，即4616h =，∴26h =，∴ G 点到平面PEC 的距离为∥ ＝PA GDC BE FO26．………………………12分20．解： (1) 设椭圆C 的方程为)0(12222>>=+b a by a x ，由题意可得21==ac e ，又222c b a +=，所以2243a b =．……………2分又椭圆C 经过点)23,1(，所以14349122=+a a ，解得2=a ．……………4分所以1=c ，3=b ，则椭圆C的方程为13422=+y x ． (6)分解法二：设直线l 的方程为1-=ty x ．由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134122y x ty x ，消去x ，得096)34(22=--+ty y t，显然0>∆恒成立．……8分 设),(),,(2211y x B y x A ，则221221349,346t y y t t y y+-=⋅+=+．……………9分所以222122121341124)(||t t y y y y y y ++=-+=-， 所以||||21211y y O F S AOB -⋅⋅=∆726341622=++=t t ． (10)分化简，得0171824=--t t，解得1817,12221-==t t (舍去)． 又圆O 的半径22111|100|t tt r +=++⨯-=，所以22=r ． (11)分故圆O 的方程为2122=+y x ．…………………12分22． 解：（1）连接BE ，则EC BE ⊥ ----------------1分又D 是BC 的中点，所以BD DE = ----------------3分又OD OD OB OE ==,，所以ODB ODE ∆≅∆，所以ο90=∠=∠OED OBD 故BO E D ,,,四点共圆． -------------5分(2) 延长DO 交圆于点H ．+⋅=+⋅=⋅=DO DM OH DO DM DH DM DE )(2ΘOH DM ⋅ ------------8分)21()21(2AB DM AC DM DE ⋅+⋅=∴，即AB DM AC DM DE ⋅+⋅=22--------10分23． 解：(1) 由)4sin(2πθρ+=得：θθρsin cos +=两边同乘以ρ得：θρθρρsin cos 2+=-------------3分∴022=--+y x y x即21)21()21(22=-+-y x -----------5分（2）将直线参数方程代入圆C 的方程得：0202152=+-t t ------------6分4,5212121==+∴t t t t------------8分5414)(||2122121=-+=-=∴t t t t t t MN------------10分。
2020年全国统一高考数学模拟试卷(文科)(新课标Ⅱ)(解析版)【打印版】
【答案】C
【解析】
【分析】
根据原位大三和弦满足 ，原位小三和弦满足
从 开始，利用列举法即可解出．
【详解】根据题意可知，原位大三和弦满足： ．
∴ ； ； ； ； ．
原位小三和弦满足： ．
∴ ； ； ； ； ．
故个数之和为10．
故选：C．
【点睛】本题主要考查列举法的应用，以及对新定义的理解和应用，属于基础题．
12.若 ，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
将不等式变为 ，根据 的单调性知 ，以此去判断各个选项中真数与 的大小关系，进而得到结果.
【详解】由 得： ，
令 ，
为 上的增函数， 为 上的减函数， 为 上的增函数，
，
， ， ，则A正确，B错误；
与 的大小不确定，故CD无法确定.
故选：A.
A.10名B.18名C.24名D.32名
【答案】B
【解析】
【分析】
算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.
【详解】由题意，第二天新增订单数为 ，
故需要志愿者 名.
故选：B
【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.
5.已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是（）
则 垂直于平面 内所有直线，
直线 平面 ， 直线 直线 ，
命题 为真命题.
综上可知， 为真命题， 为假命题，
为真命题， 为真命题.
故答案为：①③④.
【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个
2020高考数学(文科)模拟试卷含答案
本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120第I 卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的。
1 .直线mx y 1 0的倾斜角为( C )A. 300B. 600C. 1200D. 15002、已知集合 A={2 , a —1, a 2}, B={9 , —4, 1 — a}.如果 A AB={9},则 a 的值为3 .已知奇函数f(x)的定义域为[―2, a],若£( 2)A. 3B. -3C. 1D.1331.. 一A. y log 2(x 1)(1x2) B. y log 2 --------------------- (1 x 2)x 1分钟. 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P(A B) P(A) P(B)如果事件A 、B 相互独立，那么P(A B) P(A) P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率是P,那么n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率P n C ：P k (1 P)n k球的表面积公式S 4 R 2球的体积公式4 3 V - R 33其中R 表示球的半径A.3 B. -3 C. 10 D. 一103 ,则f (a)的值为(___ 14.函数y 1 (1)x(x 0)的反函数是1. 一C. y log 2(x 1) (x 2)D. y log 2 ----------------------------------- (x 2)x 15 .已知向量 3 ( 1,2), b (2,x), c (x, 3),若 £//6,则 |C|等于(D )6 .二项式（1 x ）7的展开式中，系数最大的项是（ C ）为（A ）D(的范围为（C 1 a 1D a 1或 a 1第II 卷（非选择题共100分）、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分B. 10C. .5D. 5A.第三项B.第四项C.第五项D.第四项或第五项7.已知平面，都垂直于平面，且a,b.给出下列四个命题:①若a b,则；②若a//b,则〃；③若，则a b;④若〃，则a//b .9.已知椭圆2y b 21(a 0）与双曲线x 22/相同的焦点，则椭圆的离心率10.已知x ，x满足xx若z ax y 的最大值为3a 9,最小值为3a 3,则a其中真命题的个数为C. 2D. 1A. 4B. 3A )11.二项式(Q 2)6的展开式中常数项的值为 ________ 60X -- ,12.椭圆x 2cos的左焦点到右准线的距离为工内y sin 313.如图，线段AB在平面内，线段AC ，线段BD AB,线段DD , AB 3, AC BD 4, CD 5 贝U BD与平面所成的角的大小为30 ；14.某单位有六个科室，现从人才市场招聘来4名新毕业的大学生，现要将这四名大学生安排到其中的两个科室且每科室2名，则不同的安排方案种数为—90 (用数字作答).三、解答题：本大题共6小题，每小题14分，共84分。
2020高考文科数学模拟试卷(含两套,解析版)
模拟试卷一(满分：150分 时间：120分钟)第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合U ＝{x |4x 2－4x ＋1≥0}，B ＝{x |x －2≥0}，则∁U B ＝( ) A ．(－∞，2)B ．(－∞，2] C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 A [由4x 2－4x ＋1≥0，得x ∈R ，所以U ＝R .又B ＝{x |x －2≥0}＝{x |x ≥2}，所以∁U B ＝(－∞，2)．故选A.]2．已知复数z ＝2＋i 1＋i ，则|z |＝( )A.52B.10C.102D.5C [z ＝2＋i 1＋i ＝(2＋i )(1－i )1－i 2＝3－i 2，所以|z |＝102，故选C.] 3．已知向量a ＝(1,2－λ)，b ＝(－2,3)，a∥b ，则实数λ＝( ) A ．3 B.72 C ．4D.92B [由a∥b 得，1×3＝(2－λ)×(－2)，解得λ＝72，故选B.]4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x(x ＜e )，ln x (x ≥e )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝( ) A.1e B ．e C ．1D ．－1C [由题意可知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝f (e)＝ln e ＝1，故选C.] 5．“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一，他在《九章算术注》中提出割圆术，作为求圆周率的一种方法．刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了3 072边形，并由此而求得了圆周率为3.141 5和3.141 6这两个近似值．我国南北朝时期的数学家祖冲之继承并发展了刘徽的“割圆术”，求得π的范围为(3.141 592 6,3.141 592 7)．如果按π＝3.142计算，那么当分割到圆内接正六边形时，如图，向圆内随机投掷一点，那么落在图中阴影部分的概率为(3≈1.732，精确到小数点后两位)( )A ．0.16B ．0.17C ．0.18D ．0.19B [设圆的半径为r ，则圆的面积为πr 2，正六边形的面积为6×12×r ×32r ＝332r 2，故所求概率为1－332r 2πr 2＝1－332π≈0.17，故选B.] 6．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为( )A ．－2B ．2 C.12D ．－1D [执行程序框图，n ＝1，a ＝f (2)＝1－12＝12，n ＝2，a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－112＝－1，n ＝3，a ＝f (－1)＝1－1－1＝2，n ＝4，a ＝f (2)＝12，…，易知a 的取值以3为周期，所以当n ＝8时，a ＝－1，当n ＝9时，退出循环．输出的a ＝－1，故选D.]7．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，2x ＋y ≥0，x ＋y －1≤0，则目标函数z ＝－2x ＋y 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤15，4B ．[1,4]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤55，2 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，4D [作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，B (－1,2)，作出直线y ＝2x ，平移该直线，当直线经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12时，目标函数取得最小值，z min ＝－2×12＋12＝－12，当直线经过点B (－1,2)时，目标函数取得最大值，z max ＝－2×(－1)＋2＝4，所以目标函数的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，4，故选D.]8．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，且AB ＝BC ＝CD ，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为( )A.12 B ．－12C.32D ．－32A [如图，分别取AB ，AD ，BC ，BD 的中点E ，F ，G ，O ，连接EF ，EG ，OG ，FO ，FG ，则EF ∥BD ，EG ∥AC ，所以∠FEG 为异面直线AC 与BD所成的角．易知FO ∥AB ，因为AB ⊥平面BCD ，所以FO ⊥OG ，设AB ＝2a ，则EG ＝EF ＝2a ，FG ＝a 2＋a 2＝2a ，所以∠FEG ＝60°，所以异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为12，故选A.]9．先将函数f (x )的图象向右平移2π5个单位长度，再将所得函数图象上的所有点的横坐标缩短到原来的14，得到函数g (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，|φ|＜π2)的图象．已知函数g (x )的部分图象如图所示，则函数f (x )的图象的对称轴方程是( )A ．x ＝4k π＋2π5，k ∈ZB ．x ＝4k π＋7π10，k ∈ZC ．x ＝2k π＋2π5，k ∈ZD ．x ＝2k π＋7π5，k ∈ZD [法一：设g (x )的最小正周期为T ，由题意和题图可知A ＝2，T 4＝9π20－π5＝π4，∴T＝π，∴ω＝2，∴g (x )＝2sin(2x ＋φ)，∵g (x )的图象过点⎝⎛⎭⎪⎫9π20，2，∴9π10＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π－2π5，k ∈Z .又|φ|＜π2，∴φ＝－2π5，∴g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π5.将函数g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π5的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍，得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2π5的图象，再将y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2π5的图象向左平移2π5个单位长度，得到f (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2π5－2π5＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π5的图象．令12x －π5＝k π＋π2，k ∈Z ，则x ＝2k π＋7π5，k ∈Z .∴函数f (x )的图象的对称轴方程为x ＝2k π＋7π5，k ∈Z .故选D. 法二：由题图可知，函数g (x )的图象的对称轴方程为x ＝9π20＋k π2(k ∈Z )，将函数g (x )的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍，再向左平移2π5个单位长度后得到f (x )的图象，故f (x )的图象的对称轴方程为x ＝⎝⎛⎭⎪⎫9π20＋k π2×4－2π5＝7π5＋2k π，k ∈Z .]10．设函数f (x )＝ln x ＋1－ax x，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a ，若函数f (x )的极小值不大于a ，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12 B [易知函数f (x )的定义域为{x |x ＞0}，则1a ＞a ＞0，得0＜a ＜1.由f ′(x )＝1x －1x2＝0，得x ＝1，当x ∈(a,1)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫1，1a 时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．所以f (x )的极小值为f (1)＝1－a ，由题可知1－a ≤a ，所以a ≥12，又0＜a ＜1，所以12≤a ＜1，故选B.] 11．已知经过原点O 的直线与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于M ，N 两点(M 在第二象限)，A ，F 分别是该椭圆的右顶点和右焦点，若直线MF 平分线段AN ，且|AF |＝4，则该椭圆的方程为( )A.x 29＋y 25＝1 B.x 236＋y 24＝1C.x 236＋y 232＝1 D.x 225＋y 224＝1 C [法一：由|AF |＝4得a －c ＝4，设M (m ，n )，则N (－m ，－n )，又A (a,0)，所以线段AN 的中点为P ⎝⎛⎭⎪⎫a －m 2，－n 2，F (a －4,0)．因为点M ，F ，P 在一条直线上，所以k MF ＝k FP ，即n －0m －(a －4)＝－n2－0a －m 2－(a －4)，化简得a ＝6，所以c ＝2，b 2＝62－22＝32，故该椭圆的方程为x 236＋y 232＝1.法二：如图，取AN 的中点P ，连接MA ，OP ，因为O 是MN 的中点，P 是AN 的中点，所以OP ∥MA ，且|OP |＝12|MA |，因此△OFP ∽△AFM ，所以|OF ||AF |＝|OP ||AM |＝12，即c 4＝12，因此c ＝2，从而a ＝c ＋|AF |＝2＋4＝6，故b 2＝62－22＝32，故该椭圆的方程为x 236＋y 232＝1.]12．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，已知a 2＋b 2＝c 2＋2ac cos C ，a cos C ＋3c cos A ＝0，则角A 为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°D [由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，可得a 2＋b 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＋2ac cos C ，可得b ＝c 或cos C ＝0.易知cos C ≠0，从而B ＝C .由正弦定理得，sin A cos C ＋3sin C cos A ＝0，则sin(A ＋C )＋2sin C cos A ＝0，从而sin(π－B )＋2sin B cos A ＝0，所以cos A ＝－12，所以在△ABC 中，A ＝120°，故选D.]第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分，将答案填在横线上)13．设函数f (x )＝sin x ＋x cos xax2(a ∈R ，a ≠0)，若f (－2 018)＝2，则f (2 018)＝________. －2 [易知函数f (x )＝sin x ＋x cos x ax2的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，因为f (－x )＝sin (－x )＋(－x )cos (－x )a (－x )2＝－sin x ＋x cos xax 2＝－f (x )，所以函数f (x )是定义域上的奇函数，所以f (2 018)＝－f (－2 018)＝－2.]14．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为________．73[在正方体中作出该几何体的直观图如图所示，不妨将其记为棱台ABC A 1B 1C 1，易知AC ＝BC ＝1，A 1C 1＝B 1C 1＝CC 1＝2.因为CC 1⊥平面ABC ，CC 1⊥平面A 1B 1C 1，AC ⊥BC ，A 1C 1⊥B 1C 1，所以V 棱台ABC A 1B 1C 1＝13CC 1·(S △ABC ＋S △A 1B 1C 1＋S △ABC ·S △A 1B 1C 1)＝13×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2＋12×2＝73.] 15．桌上共有8个球，甲、乙两人轮流取球，取到最后一球者胜利．规则：第一次取球至少1个，至多不超过总数的一半，每次取球的个数不超过前面一次取球的个数，且不少于前面一次取球个数的一半．如第一次甲取3个球，接着乙取球的个数为2或3.若甲先取球，为了有必胜的把握，第一次取球的个数应为________．3 [若甲取1个球，则乙取1个球，易知最终是乙胜．若甲取2个球，则乙可取2个球，然后，甲只能取2个球或1个球，无论如何都是乙胜．若甲取3个球，则乙只能取2个球或3个球，当乙取2个球时，接下来甲取1个球，乙取1个球，甲再取1个球，甲胜；当乙取3个球时，甲取完剩下的球，甲胜．若甲取4个球，则乙可取完剩下的球，乙胜．综上可知，甲第一次取3个球时有必胜的把握．]16．已知直线l ：x ＋2y －5＝0与定点A (1,2)，动点P 到点A 距离与到直线l 的距离相等，双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点为F ，Q 是动点P 轨迹上的一点，|FQ |的最小值恰为双曲线C 的虚半轴长，则双曲线C 的离心率为________．5 [由题可知点A 在直线l 上，因而动点P 的轨迹为过点A 与直线l 垂直的直线，则点P 的轨迹方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x ，|FQ |的最小值即点F 到直线y ＝2x 的距离，由题知|FQ |的最小值恰为b ，那么直线y ＝2x 为双曲线的一条渐近线，从而ba＝2，则e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝ 5.]三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知递增数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝38，21(a 1－a 2)＋22(a 2－a 3)＋…＋2n (a n －a n ＋1)＝－a 2n ＋1，n ∈N *.(1)求a 2，并证明n ≥2时，a n ＋a n ＋1＝2n； (2)求S 2 019.[解] (1)令n ＝1，则2(a 1－a 2)＝－a 22，即a 22－2a 2＋34＝0，解得a 2＝12或a 2＝32，均符合题意．由21(a 1－a 2)＋22(a 2－a 3)＋…＋2n (a n －a n ＋1)＝－a 2n ＋1，得21(a 1－a 2)＋22(a 2－a 3)＋…＋2n －1(a n －1－a n )＝－a 2n ，n ≥2.两式相减得2n(a n －a n ＋1)＝a 2n －a 2n ＋1， ∵a n －a n ＋1≠0，∴a n ＋a n ＋1＝2n，n ≥2.(2)由(1)得S 2 019＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 2 018＋a 2 019)＝38＋22＋24＋…＋22 018＝38＋4×1－41 0091－4＝41 0103－2324.18．(本小题满分12分)2018年世界女排锦标赛于9月29日至10月20日在日本举行，为了解同学们观看现场直播的情况，对高一、高二年级各10个班级的同学进行问卷调查，各班观看人数统计结果如茎叶图所示．(1)①根据图中的数据，估计哪个年级平均观看人数较多？ ②计算高一年级观看人数的样本方差．(2)从高一年级观看人数不足20人的班级中随机抽取2个班，求这2个班分别是观看人数在10人以下与10人以上的概率．[解] (1)①设高一年级、高二年级观看人数的平均数分别为x ，y ， 那么x ＝8＋6＋12＋14＋16＋23＋25＋33＋33＋3210＝20.2，y ＝9＋11＋15＋14＋16＋22＋26＋28＋33＋3510＝20.9，所以高二年级平均观看人数较多．②由①知x ＝20.2，则高一年级观看人数的样本方差s 2＝110×[(20.2－8)2＋(20.2－6)2＋(20.2－12)2＋(20.2－14)2＋(20.2－16)2＋(20.2－23)2＋(20.2－25)2＋(20.2－33)2＋(20.2－33)2＋(20.2－32)2]＝97.16.(2)由茎叶图可知，高一年级观看人数不足20人的班级有5个，其中观看人数在10人以下的班级有2个，分别记为a ，b ，观看人数在10人以上且不足20人的班级有3个，分别记为C ，D ，E .从高一年级观看人数不足20人的班级中抽取2个班，抽取的结果有(a ，b )，(a ，C )，(a ，D )，(a ，E )，(b ，C )，(b ，D )，(b ，E )，(C ，D )，(C ，E )，(D ，E )，共10种，设所求事件为事件A ，则事件A 包含(a ，C )，(a ，D )，(a ，E )，(b ，C )，(b ，D )，(b ，E )，共6种不同的结果， 由古典概型概率计算公式得，P (A )＝610＝35.19．(本小题满分12分)如图所示的几何体B ACDE 中，△ABC 为等腰直角三角形，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，DC ⊥平面ABC ，DC ＝1，EA ⊥平面ABC ，EA ＝ 2.(1)若在EB 上存在点F ，使得BE ⊥平面AFC ，试探究点F 的位置； (2)在(1)的条件下，求三棱锥F BCD 的体积．[解] (1)由AB ⊥AC ，EA ⊥平面ABC ，得AC ⊥平面EAB ，所以AC ⊥BE ， 若BE ⊥平面AFC ，只需BE ⊥AF ， 在直角△ABE 中，EB ＝AB 2＋AE 2＝6，由射影定理AB 2＝BF ·BE ，可知BF ＝46＝263＝23BE ，所以点F 在BE 上靠近E 的三等分点处．(2)由题可知S 四边形AEDC ＝12×(1＋2)×2＝1＋2，则V B AEDC ＝13×S 四边形AEDC ×AB ＝2＋223，由(1)知，F 在BE 上靠近E 的三等分点处，因而V F AEDC ＝13V B AEDC ＝2＋229，又S △ABC ＝12×2×2＝2，所以V F ABC ＝13×S △ABC ×23EA ＝13×2×223＝429，所以V F BCD ＝V B AEDC －V F AEDC －V F ABC ＝49.20．(本小题满分12分)已知定点N (6,8)与圆O ：x 2＋y 2＝4，动点M 在圆O 上，MN 的中点为P .(1)若点P 的轨迹为圆C ，求圆C 的方程；(2)在(1)的条件下，线段OC 的垂直平分线上，是否存在点Q ，过点Q 分别作圆O 与圆C 的切线(切点分别为A ，B )，使得|QA |＝|QB |，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．[解] (1)由已知，设P (x ，y )，则M (2x －6,2y －8)，因为点M 在圆O ：x 2＋y 2＝4上， 所以(2x －6)2＋(2y －8)2＝4，从而可得圆C 的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝1. (2)假设存在，设Q (x ，y )，若|QA |＝|QB |，则QC 2－1＝QO 2－4，即QO 2－QC 2＝3， 从而x 2＋y 2－(x －3)2－(y －4)2＝3，整理得，3x ＋4y －14＝0，故点Q 在直线3x ＋4y －14＝0上，而OC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，k OC ＝43，因而OC 的垂直平分线的方程为y －2＝－34⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，整理得，6x ＋8y －25＝0，易知直线3x ＋4y －14＝0与直线6x ＋8y －25＝0平行， 因此不存在满足题意的点Q .21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x－12ax 2＋b (a ＞0)，函数f (x )的图象在x ＝0处的切线方程为y ＝x ＋1.(1)当a ＝1时，求函数f (x )在[0,2]上的最小值与最大值； (2)若函数f (x )有两个零点，求a 的值．[解] (1)由题可知f (0)＝1＋b ，f ′(x )＝e x－ax ，f ′(0)＝1，则函数f (x )的图象在x ＝0处的切线方程为y －1－b ＝x ，即y ＝x ＋1＋b ，由已知条件可得b ＝0，当a ＝1时，在[0,2]上，f ′(x )＝e x－x ＞0，函数f (x )在[0,2]上单调递增， 从而函数f (x )在[0,2]上的最小值为f (0)＝1，最大值为f (2)＝e 2－2.(2)法一：由(1)知f (x )＝e x－12ax 2，设g (x )＝f ′(x )＝e x－ax ，则g ′(x )＝e x－a ，令g ′(x )＝0，可得x ＝ln a ，当x ∈(－∞，ln a )时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减；当x ∈(ln a ，＋∞)时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增．因而g (x )的最小值为g (ln a )＝a －a ln a ，若a －a ln a ≥0，则f ′(x )≥0，f (x )单调递增，f (x )不会有两个零点，不合题意，因而a －a ln a ＜0，即a ＞e.因为g (0)＝1＞0，g (1)＝e －a ＜0，所以f ′(x )＝0在(0,1)内有解，即存在x 1∈(0,1)使f ′(x 1)＝0，同时存在x 2∈(1，＋∞)，使得f ′(x 2)＝0，即0＜x 1＜1＜x 2，e x 1＝ax 1，e x 2＝ax 2，当x ∈(－∞，x 1)时f (x )单调递增，当x ∈(x 1，x 2)时f (x )单调递减，当x ∈(x 2，＋∞)时f (x )单调递增，f (x )的大致图象如图所示．由于f (x 1)＝e x 1－12ax 21＝ax 1－12ax 21＝12ax 1(2－x 1)＞0，所以，若函数f (x )有两个零点，则函数f (x )的极小值f (x 2)＝0，f (x 2)＝e x 2－12ax 22＝ax 2－12ax 22＝12ax 2(2－x 2)＝0，得x 2＝2.由e x 2－12ax 22＝0，即e 2－12a ×22＝0，得a ＝e 22.法二：由(1)知，b ＝0，则函数f (x )＝e x－12ax 2，显然x ＝0不是零点，令f (x )＝0，分离参数，则a ＝2exx2，设h (x )＝2e x x 2(x ≠0)，则h ′(x )＝2e x(x －2)x3，令h ′(x )＝0，则x ＝2. 易知当x ∈(0,2)时h (x )单调递减，当x ∈(－∞，0)及x ∈(2，＋∞)时h (x )单调递增， 则h (x )的极小值为h (2)＝e 22，而当x ∈(－∞，0)时，h (x )＝2e xx 2＞0，数形结合可知，当a ＝e22时函数f (x )有两个零点．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α(α为参数)，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－θ＝ 3.(1)写出曲线C 的普通方程以及直线l 的直线坐标方程； (2)已知直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求△OAB 的面积． [解] (1)消去参数α，得曲线C 的普通方程为x 24＋y 23＝1，2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－θ＝3可化为3ρcos θ－ρsin θ＝3， 由极坐标与直角坐标的互化公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得，直线l 的直角坐标方程为3x －y－3＝0.(2)易知原点O 到直线l 的距离d ＝32， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －3＝0，x 24＋y 23＝1整理得，5x 2－8x ＝0，解得x ＝0或85，不妨令x 1＝0，x 2＝85，从而得A (0，－3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，335，由两点间距离公式得|AB |＝165，所以S △OAB ＝12×|AB |×d ＝12×165×32＝435.23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲] 已知函数f (x )＝|2x －1|. (1)解不等式f (x )≤|x |＋1；(2)若存在实数m ，使得f (x )－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＜m 有解，求m 的取值范围．[解] (1)由已知得，f (x )≤|x |＋1，即|2x －1|≤|x |＋1， 所以当x ＜0时，1－2x ≤－x ＋1，得x ≥0，此时无解； 当0≤x ＜12时，1－2x ≤x ＋1，得x ≥0，此时0≤x ＜12；当x ≥12时，2x －1≤x ＋1，得x ≤2，此时12≤x ≤2.从而不等式的解集为{x |0≤x ≤2}．(2)设g (x )＝f (x )－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，则g (x )＝|2x －1|－|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ≤12，3x －2，12＜x ＜1，x ，x ≥1，作出函数g (x )的大致图象(图略)，数形结合可知，g (x )的最小值为－12，从而m ＞－12.所以m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.模拟试卷二(满分：150分 时间：120分钟)第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合A ＝{x |x 3＝x }，B ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，则A ∩B ＝( ) A ．{1} B ．{0,1} C ．{－1,1} D ．{0,1，－1}A [法一：因为集合A ＝{x |x 3＝x }＝{0,1，－1}，B ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}＝{x |(x －1)(x －2)≤0}＝{x |1≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{1}，故选A.法二：当x ＝－1时，(－1)2－3×(－1)＋2＞0，不满足集合B ，排除选项C ，D ；当x ＝0时，02－3×0＋2＞0，不满足集合B ，排除选项B ，故选A.]2．已知复数z 满足(1＋2i)z ＝(1＋i)(2－i)，则z 的虚部为( ) A ．－2 B ．2 C ．－1 D ．1C [由题意得，z ＝(1＋i )(2－i )1＋2i ＝(3＋i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝1－i ，所以z 的虚部为－1，故选C.]3．已知函数f (x )＝x e x(e 为自然对数的底数)的图象的一条切线的方程为y ＝x －2a ，则实数a 的值为( )A ．0B ．－1C ．1D ．2A [由f (x )＝x e x 得，f ′(x )＝(x ＋1)e x，∵直线y ＝x －2a 为函数f (x )图象的一条切线，且f ′(0)＝1，f (0)＝0，∴2a ＝0，∴a ＝0.]4．随着生活水平的提高，进入健身房锻炼的人数日益增加，同时对健身房的服务要求也越来越高，某健身房为更具竞争力，对各项服务都进行了改善，投入经费由原来的200万元增加到400万元，已知改善前的资金投入比例为：健身设施∶健身培训∶安全保障∶其他服务＝10∶5∶3∶2.改善后的经费条形统计图如图所示．则下列结论正确的是( )A ．改善后的健身设施经费投入变少了B ．改善后健身培训的经费投入是改善前的2.8倍C ．改善后安全保障的经费投入所占比例变大了D ．改善后其他服务的经费投入所占比例变小了B [A 项，改善前健身设施的经费投入为1020×200＝100(万元)，改善后为160万元，故A项错误．B 项，改善前健身培训的经费投入为520×200＝50(万元)，140÷50＝2.8，故B 项正确．C 项，改善后安全保障的经费投入所占比例为60400＝15%，改善前所占比例为320＝15%，改善前后安全保障的经费投入所占比例一样，故C 项错误．D 项，改善后其他服务的经费投入所占比例为40400＝10%，改善前所占比例为220＝10%，改善前后其所占比例没有变化，故D 项错误．故选B.]5．已知圆C 1：x 2－8x ＋y 2＋7＝0的圆心是双曲线C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点，且双曲线C 2的渐近线与圆C 1相切，则双曲线C 2的虚轴长为( )A ．3B ．6C ．7D ．27B [因为圆C 1：x 2－8x ＋y 2＋7＝0的标准方程为(x －4)2＋y 2＝9，所以圆C 1的圆心C 1(4,0)，半径为3.因为双曲线C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝bax ，双曲线C 2的渐近线与圆C 1相切，所以|4b |a 2＋b2＝3，即7b 2＝9a 2.又c 2＝a 2＋b 2，c ＝4，所以b ＝3，所以双曲线C 2的虚轴长为2b ＝6.故选B.]6．甲、乙、丙三人中，一人是教师、一人是记者、一人是医生．已知：丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是( )A ．甲是教师，乙是医生，丙是记者B ．甲是医生，乙是记者，丙是教师C ．甲是医生，乙是教师，丙是记者D ．甲是记者，乙是医生，丙是教师C [由甲的年龄和记者不同与记者的年龄比乙小可以推得丙是记者，再由丙的年龄比医生大，可知甲是医生，故乙是教师．故选C.]7．设公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝3(a 3＋a 5)，则S 11S 7＝( ) A.117 B.227 C.337 D.667D [法一：设数列{a n }的公差为d ，d ≠0，由a 6＝3(a 3＋a 5)得，a 1＋5d ＝3(a 1＋2d ＋a 1＋4d )＝6a 1＋18d ，所以a 1＝－135d ，所以S 11S 7＝11×⎝ ⎛⎭⎪⎫－135d ＋55d7×⎝ ⎛⎭⎪⎫－135d ＋21d＝667.故选D.法二：因为a 6＝3(a 3＋a 5)＝3(a 1＋a 7)，所以S 11S 7＝11(a 1＋a 11)27(a 1＋a 7)2＝11×2a 67×a 63＝667(易知a 6≠0)，故选D.]8．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为()A ．126B ．62C ．30D ．14C [执行程序框图，S ＝0，S ＝0＋21＝2，(1－1)2＋(1－1)2＜16，n ＝1＋1＝2，x ＝1＋1＝2，y ＝1＋1＝2；S ＝2＋22＝6，(2－1)2＋(2－1)2＜16，n ＝2＋1＝3，x ＝2＋1＝3，y ＝2＋1＝3；S ＝6＋23＝14，(3－1)2＋(3－1)2＜16，n ＝3＋1＝4，x ＝3＋1＝4，y ＝3＋1＝4；S ＝14＋24＝30，(4－1)2＋(4－1)2＞16，退出循环．故输出S 的值为30.故选C.]9．将函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象先向右平移π6个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的12，得到函数g (x )的图象，则g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π3上的最小值为( )A ．0B ．－12C ．－32D ．－3D [将函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象先向右平移π6个单位长度，得y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π4＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12的图象，再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的12，得g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π12的图象．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π3时，4x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12，5π4，因此当4x －π12＝－π2，即x ＝－5π48时，g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π3上取得最小值－ 3.]10．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ≤y ＋1，x ＋1≥0，y ≤m 构成平面区域Ω，若∃(x ，y )∈Ω，3x －y ＜－5，则实数m 的值不可能为( )A. 3B. 5 C ．3 D ．23A [画出平面区域Ω如图中的阴影部分所示，因为∃(x ，y )∈Ω，3x －y ＜－5，所以应考虑目标函数z ＝3x －y ＋5的最大值，即图中交点P (－1，m )在直线3x －y ＋5＝0的上方，所以－3－m ＋5＜0，解得m ＞2.故选A.]11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝23，c ＝22，1＋tan Atan B ＝2cb，则C ＝( )A.π4 B.π3 C.π6 D.3π4A [由1＋tan A tanB ＝2c b ，得1＋sin A cos B cos A sin B ＝2sinC sin B，即cos A sin B ＋sin A cos B ＝2sin C cosA ，即sin(A ＋B )＝2sinC cos A ，又sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ≠0，所以2cos A ＝1，cos A ＝12，所以A ＝π3.因为a ＝23，c ＝22，所以a ＞c ，所以A ＞C .由正弦定理a sin A ＝csin C 得23sinπ3＝22sin C ，所以sin C ＝22.又A ＞C ，所以C ＝π4.] 12．已知抛物线C ：y 2＝8x ，F 为其焦点，其准线l 与x 轴的交点为H ，过点H 作直线m 与抛物线C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点E 到准线l 的距离为16，P 为直线m 上的动点，则点P 到点F 与点D (3,0)距离和的最小值为( )A ．3 B.14 C ．4 D.17D [由题意知，H (－2,0)，可设直线m 的方程为y ＝k (x ＋2)(k ≠0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，y 2＝8x ，消去y 得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，Δ＝(4k 2－8)2－16k 4＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4k 2－8k 2，所以x E ＝－2＋4k 2，从而－2＋4k 2＋2＝16，解得k 2＝14，满足Δ＞0.由抛物线的对称性知k 的正负不影响结果，故可取k ＝12，则直线m 的方程为y ＝12(x ＋2)．设点D (3,0)关于直线m 的对称点为D ′(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0x 0－3＝－2，y 02＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋32＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝4，则D ′(1,4)，连接FD ′，PD ′，则|PF |＋|PD |＝|PF |＋|PD ′|≥|FD ′|＝(1－2)2＋(4－0)2＝17.故选D.]第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分，将答案填在横线上) 13．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(k ，－6)，若a⊥(b －a )，则k ＝________.17 [由题意知，b －a ＝(k －1，－8)，a·(b －a )＝0，即k －1＋2×(－8)＝0，解得k ＝17.]14．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|log 2x －1|，0＜x ≤3，x ＋1，x ＞3，则使不等式f (x )＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12成立的x 的取值范围为________．⎝ ⎛⎦⎥⎤12，3 [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪log 212－1＝2，由f (x )＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12得，当0＜x ≤3时，|log 2x －1|＜2，得12＜x ≤3；当x ＞3时，x ＋1＜2，此时无解．综上所述，不等式f (x )＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤12，3.]15．设轴截面为正三角形的圆锥的体积为V 1，它的外接球的体积为V 2，则V 1V 2＝________. 932[如图，设球O 的半径为R ，则由△ABC 是正三角形可得圆锥的底面圆半径r ＝BO 1＝32R ，高h ＝AO 1＝32R ，所以V 1＝13πr 2h ＝13π×⎝ ⎛⎭⎪⎫32R 2×32R ＝38πR 3，V 2＝43πR 3，所以V 1V 2＝932.] 16．数列{a n }的前n 项和为S n ，a n ≠0，a n S n ＋1－a n ＋1S n ＝2n －1a n ＋1a n .设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2a n ＋1－a n a n ＋1的前n 项和为T n ，则2n －1T n ＋12n －1＝________. 2 [∵a n S n ＋1－a n ＋1S n ＝2n －1a n ＋1a n ，a n ≠0，∴S n ＋1a n ＋1－S n a n ＝2n －1，则S 2a 2－S 1a 1＝1，S 3a 3－S 2a 2＝2，…，S n a n －S n －1a n －1＝2n －2(n ≥2，n ∈N *)．以上各式相加，得S n a n －S 1a 1＝1＋2＋…＋2n －2.∵S 1a 1＝1，∴S n a n－1＝2n －1－1，∴S n ＝2n －1a n (n ≥2，n ∈N *)．∵n ＝1时上式也成立，∴S n ＝2n －1a n (n ∈N *)，∴S n ＋1＝2n a n＋1.两式相减，得a n ＋1＝2na n ＋1－2n －1a n ，即(2n －1)a n ＋1＝2n －1a n ，∴2a n ＋1－a n a n ＋1＝12n －1，∴T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1＝2－12n －1， ∴2n －1T n ＋12n －1＝T n ＋12n －1＝2.]三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos C ＝23.(1)若△ABC 是以角C 为顶角的等腰三角形，求sin A 的值； (2)若b cos A ＋a cos B ＝2，a ＋b ＝6，求△ABC 的面积．[解] (1)法一：因为△ABC 是以角C 为顶角的等腰三角形，所以A ＝B ， 则cos(A ＋B )＝cos 2A ＝－cos C ＝－23.又cos 2A ＝1－2sin 2A ，所以1－2sin 2A ＝－23，得sin A ＝306.法二：因为△ABC 是以角C 为顶角的等腰三角形，所以A ＝B .因为cos C ＝2cos 2C 2－1＝23，所以cos C 2＝306， 易知A ＋C 2＝90°，所以sin A ＝cos C 2＝306.(2)因为b cos A ＋a cos B ＝2，所以由余弦定理可得b ×b 2＋c 2－a 22bc ＋a ×a 2＋c 2－b 22ac ＝2，即b 2＋c 2－a 2＋a 2＋c 2－b 22c＝2，整理得c ＝2.所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－43ab ＝(a ＋b )2－103ab ＝4.又a ＋b ＝6，所以ab ＝485.因为cos C ＝23，所以sin C ＝53，所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×485×53＝855.18．(本小题满分12分)某市爱心人士举办宠物领养活动，为流浪猫、狗寻找归宿，共有560人参加了此次活动，该市宠物收留中心统计了其中70名参加活动的市民的领养意愿，得到如下的统计表．12(1)求出n 1，n 2的值，并以此样本的频率估计总体的概率，试估计此次参加活动的人中两种流浪宠物都愿意领养的人数；(2)在此次参加活动并有领养意愿的市民中，按分层抽样的方法选取6名市民，在这6名市民中随机抽取2名当场讲解宠物饲养经验，求抽取的2人恰为仅愿意领养一种流浪宠物的市民的概率．[解] (1)由题意可得，n 1＋n 2＝40，结合已知条件n 1∶n 2＝1∶3，可得n 1＝10，n 2＝30.用样本的频率估计总体的概率，可知两种流浪宠物都愿意领养的人数为3070×560＝240.(2)由(1)可知，n 1∶20∶n 2＝1∶2∶3，由分层抽样的方法可得，6名市民中仅愿意领养流浪狗的市民有6×11＋2＋3＝1(名)，仅愿意领养流浪猫的市民有6×21＋2＋3＝2(名)，两种流浪宠物都愿意领养的市民有6×31＋2＋3＝3(名)．这6名市民中，仅愿意领养流浪狗的1名市民记为A ，仅愿意领养流浪猫的2名市民分别记为B ，C ，两种流浪宠物都愿意领养的3名市民分别记为D ，E ，F .从这6名市民中随机抽取2名的结果有AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BC ，BD ，BE ，BF ，CD ，CE ，CF ，DE ，DF ，EF ，共15种，其中恰为仅愿意领养一种流浪宠物的情况有AB ，AC ，BC ，共3种， 故所求的概率为315＝15.19．(本小题满分12分)如图，四棱锥P ABCD 中，底面四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，AB ＝BC ＝2AD ＝4，△PAB 是等边三角形，且平面PAB ⊥平面ABCD ，E 是PB 的中点，点M 在棱PC 上．(1)求证：AE ⊥BM ；(2)若三棱锥C MDB 的体积为1639，且PM ＝λPC ，求实数λ的值．[解] (1)因为四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC 且AD ⊥AB ，所以BC ⊥AB . 又平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面ABCD ＝AB ，所以BC ⊥平面PAB ， 又AE ⊂平面PAB ，所以BC ⊥AE .因为△PAB 是等边三角形，E 是PB 的中点，所以AE ⊥PB . 又AE ⊥BC ，BC ∩PB ＝B ，所以AE ⊥平面PBC ， 又BM ⊂平面PBC ，所以AE ⊥BM .(2)过点P 作PF ⊥AB 于点F ，连接CF (图略)， 易知PF ⊥平面ABCD ，则PF ⊥CF .因为△PAB 是等边三角形，AB ＝4，所以PF ＝2 3. 过点M 作MN ⊥CF 于点N (图略)，易知MN ∥PF ，CM CP ＝MNPF. 因为V 三棱锥P BCD ＝13×12×4×4×23＝1633，V 三棱锥C MDB ＝1639＝V 三棱锥M BCD ，所以V 三棱锥M BCD V 三棱锥P BCD ＝16391633＝13.又V 三棱锥M BCD V 三棱锥P BCD ＝MN PF ＝13，所以CM CP ＝MN PF ＝13，PM CP ＝23，所以λ＝PM PC ＝23.20．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)过点E (2，1)，其左、右顶点分别为A ，B ，且离心率e ＝22. (1)求椭圆C 的方程；(2)设M (x 0，y 0)为椭圆C 上异于A ，B 两点的任意一点，MN ⊥AB 于点N ，直线l ：x 0x ＋2y 0y －4＝0.①证明：直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点；②设过点A 且与x 轴垂直的直线与直线l 交于点P ，证明：直线BP 经过线段MN 的中点．[解] (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧(2)2a 2＋12b 2＝1，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2，c ＝2，故椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)①由题意知y 0≠0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，x 0x ＋2y 0y －4＝0得(x 20＋2y 20)x 2－8x 0x ＋16－8y 20＝0.因为点M (x 0，y 0)在椭圆上，所以x 20＋2y 20＝4，则x 2－2x 0x ＋x 20＝0，即(x －x 0)2＝0， 得x ＝x 0，y ＝y 0.所以直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，即点M . ②由(1)知，A (－2,0)，B (2,0)，过点A 且与x 轴垂直的直线的方程为x ＝－2， 结合方程x 0x ＋2y 0y －4＝0，得点P ⎝⎛⎭⎪⎫－2，x 0＋2y 0. 直线PB 的斜率k ＝x 0＋2y 0－0－2－2＝－x 0＋24y 0， 则直线PB 的方程为y ＝－x 0＋24y 0(x －2)． 因为MN ⊥AB 于点N ，所以N (x 0,0)，线段MN 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，y 02. 令x ＝x 0，得y ＝－x 0＋24y 0(x 0－2)＝4－x 24y 0.因为x 20＋2y 20＝4，所以y ＝4－x 204y 0＝2y 204y 0＝y 02，所以直线PB 经过线段MN 的中点⎝⎛⎭⎪⎫x 0，y 02.21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a ln x －x ＋1. (1)当a ＝1时，求证：f (x )≤12x －12；(2)若不等式f (x )≤0在[1，e]上恒成立，求实数a 的取值范围．[解] (1)当a ＝1时，f (x )＝ln x －x ＋1，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． 设g (x )＝f (x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12＝ln x －x ＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12＝ln x －x －12x ＋32，则g ′(x )＝1x －12x －12＝－x ＋x －22x ＝－(x －1)(x ＋2)2x .所以g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 所以g (x )≤g (1)＝0， 所以f (x )≤12x －12.(2)因为f (x )＝a ln x －x ＋1，所以f ′(x )＝a x －12x ＝－x －2a2x.①当a ≤0时，因为x ∈[1，e]，所以f ′(x )<0， 所以f (x )在[1，e]上单调递减，所以f (x )≤f (1)＝0，所以a ≤0满足题意． ②当a ＞0时，令f ′(x )＝0，得x ＝4a 2，所以当x ∈(0,4a 2)时，f ′(x )＞0，当x ∈(4a 2，＋∞)时，f ′(x )＜0， 所以f (x )在(0,4a 2)上单调递增，在(4a 2，＋∞)上单调递减． 当4a 2≥e ，即a ≥e2时，f (x )在[1，e]上单调递增， 所以f (x )≤f (e)＝a －e ＋1≤0，所以a ≤e －1，此时无解． 当1＜4a 2＜e ，即12＜a ＜e 2时，f (x )在(1,4a 2)上单调递增，在(4a 2，e)上单调递减，所以f (x )≤f (4a 2)＝a ln 4a 2－2a ＋1＝2a ln 2a －2a ＋1≤0. 设h (x )＝2x ln 2x －2x ＋1，则h ′(x )＝2ln 2x .当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，e 2时，h ′(x )＞0，所以h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，e 2上单调递增，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，e 2时，h (x )＞h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，不满足题意．当0＜4a 2≤1，即0＜a ≤12时，f (x )在[1，e]上单调递减，所以f (x )≤f (1)＝0，所以0＜a ≤12满足题意．综上所述，实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12. 请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2.(1)设点M ，N 分别为曲线C 1与曲线C 2上的任意一点，求|MN |的最大值；(2)设直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与曲线C 1交于P ，Q 两点，且|PQ |＝1，求直线l 的普通方程．[解] (1)曲线C 1的普通方程为(x －3)2＋y 2＝4，圆心C 1(3,0)，半径r 1＝2. 曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4，圆心C 2(0,0)，半径r 2＝2， ∴|MN |max ＝|C 1C 2|＋r 1＋r 2＝3＋2＋2＝7.(2)将直线l 的参数方程代入(x －3)2＋y 2＝4中，得(t cos α－4)2＋(t sin α)2＝4，整理得t 2－8t cos α＋12＝0，Δ＞0，设P ，Q 对应的参数分别为t 1，t 2，∴t 1＋t 2＝8cos α，t 1t 2＝12，又|PQ |＝1，∴|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝(8cos α)2－4×12＝1，解得cos α＝±78，满足Δ＞0，∴直线l 的斜率为tan α＝±157， ∴直线l 的普通方程为y ＝±157(x ＋1)． 23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲] 已知函数f (x )＝|2x －5|－|x ＋1|. (1)解不等式：f (x )＜3x ；(2)当x ∈[1,2]时，f (x )≤ax 2－x ＋3恒成立，求实数a 的取值范围． [解] (1)法一：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＞52，x －6＜3x或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤52，4－3x ＜3x或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－1，6－x ＜3x ，解得x ＞23，故原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞23.法二：如图，作出函数f (x )的图象，利用f (x )的图象解不等式，由4－3x ＝3x ，解得x ＝23，由图象可得原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞23. (2)法一：当x ∈[1,2]时，f (x )＝4－3x ，则不等式f (x )≤ax 2－x ＋3可化为ax 2＋2x －1≥0，令g (x )＝ax 2＋2x －1，易知函数g (x )＝ax 2＋2x －1的图象恒过点(0，－1)，由函数g (x )＝ax 2＋2x －1的图象可知，要使x ∈[1,2]时，f (x )≤ax 2－x ＋3恒成立，需a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，g (1)≥0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，g (1)≥0，g (2)≥0，解得a ≥－34，故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－34，＋∞. 法二：当x ∈[1,2]时，f (x )＝4－3x ，则不等式f (x )≤ax 2－x ＋3可化为a ≥1x 2－2x，因为x ∈[1,2]，1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，所以1x 2－2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1≤－34，所以a ≥－34，故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－34，＋∞.。
2020高考文科数学模拟试卷含答案
2020年普通高等学校招生全国统一考试高考模拟调研卷文科数学(一)本试卷共23題,共150分，艾4页•考试皓束后，将本试卷和答题卜一并交回。
一、选择题：本大18共仁小题，每小题5分，共60分・在每小题给出的四个备选项中，只有一坝是符合U目要求的，■1. e®z=」一在复平面中所对应的点位于I-2iA.第一象限B.第二象限C.第三彖限D第四象限2. 已知函« f(x)是定义在R上的奇两数，且^3X> 0时，f(x) = \nx-x\则/(-1)=A・一1 B. 0 C. I e-13. 己知向=1-x), ^C = (x, 1),若4 B, C三点共线,则实数"A. 2B. -1C. 2 或一1D. -2或14. 已知集合A = {y\y = l-2x}t 8 = {x\x2-2x-3>0},则=A. 0B. [-1, 1)C. (1, 3]D. [-3, 1)5. 设等差数列{/}的前刀项和为S”，S5=\5f如=9,则几=A・ 60 B. 90 C. 120 D. 1506. 某孚校为了解学生的教学学习情况，从甲、乙两班各抽取广7名同学某次数学考试的成细，绘制成如图所示的茎叶图，则这两组数据不同的是ArrayA.平均数B.方差C.中位数D.极差7. 设a, b是两条不同的宜线，Q，0是两乍不同的平面，下面推理中疋确的是A. 若 a // b t aua , bu 卩、则a //B. 若a // P, aua、则a // 0C・若a〃0, a(za , hu ”、则a // bD.若a" b、a丄a, b丄0,则a卄卩8. 已知命題F;"若对任意的x>0都有2r-l>o,则则命趙p的否命题为A. 若存仕X>0使得2x-1 >a ,则a > -1B. 若存在x>0使得2x-lWa,则a>-f高考模揪*研卷文(-〉第】页共4页c - fta>I •則％ 便附2一1 *D 「八・1・X>O 伸博2J —1 .材由鼻塔"2—7 = 0卜- *卩・；|圆.J_2-“4y + 2 = 0的条切如切点为八則冲|的 为A. MA. 3㊉1二一】c.（xe （x-i ））e （x-2）= x-2己知刃曲绘冷•一与= 1（a >°，〃>0）的左、右焦点分别为F 7 ,点P 在双曲线的右支上, a b“且|P/7| = |/7/7|r 若点0是线段的中点•则"F 民的取值范圉是中，角彳、从C 肋対的边分别为2、bs c. U"in （号一〃）"&in （¥*H2・H10. J >/nC. 2丿5D. 2V7我国Jt*敕学家华罗庚先生曾说，数斌形时少豆观，形缺数时难入微.敷形结合白段好.隔裂 分家力事仏-A 数学的学习和研完中，常用踊数的图欽来研允函釵的性质，也带用函敗的解析 式来分析函数的图象的待征.如两数/（x ）=e^-2x 2-l 的图陨大效是n. 彳：一丫。
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xx 年高考文科数学模拟考试题卷第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1．已知集合P={ 0, m},Q={x│Z x x x ∈<-,0522},若P∩Q≠Φ,则m 等于（ ）A.1B.2C.1或25D. 1或2 2．将函数)32sin(3π+=x y 的图象按向量)1,6(--=πa平移后所得图象的解析式是（ ）A ．1)322sin(3-+=πx y B ．1)322sin(3++=πx y C ．12sin 3+=x y D ．1)22sin(3-+=πx y3．数列{a n }前n 项和S n = 3n – t ，则t = 1是数列{a n }为等比数列的( ) A ．充分不必要 B ．必要不充分C ．充要条件D ．既不充分又不必要4. 函数1)y x =≤-的反函数是（ ）A ．0)y x =≥B ．0)y x =≤C ．y x =≥D ．y x =≤ 5．某球与一个120°的二面角的两个面相切于A 、B ，且A 、B 间的球面距离为π，则此球体的表面积为（ ）A ．π12B ．π24C ．π36D ．π144那么分数在[100，110]中和分数不满110分的频率和累积频率分别是（ ）．A ．0.18，0.47B ．0.47，0.18C ．0.18，1D ．0.38，17．设ｆ(x)= x 2+ax+b ，且1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，则点(a ，b)在aOb 平面上的区域面积是 （ ）A ．12B ．1C ．2D ．928．已知P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点，若21PF PF ⋅=0，21tan F PF ∠=2，则椭圆的离心率为（ ）A ． 21B ． 32C ． 31D ． 359．设(43)=，a ，a 在b b 在x 轴上的投影为2，且||14≤b ，则b 为（ ） A ．(214)，B ．227⎛⎫- ⎪⎝⎭，C ．227⎛⎫- ⎪⎝⎭，D ．(28)，10. 过抛物线y 2 = 2ρx (ρ＞0 )上一定点M ( x 0,y 0 ) ( y 0≠0 )，作两条直线分别交抛物线于A( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 )，当MA 与MB 的斜率存在且倾斜角互补时，则021y y y += （ ）A ．4B ．– 4C ．2D ．–2第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置上．)11．设常数421,0⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+>x ax a 展开式中3x 的系数为,23则a = ______ 12．由直线1y x =+上的一点向圆22(3)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为______ 13．将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4个不同盒子中的3个中，使得有1个空盒且其它盒子中球的颜色齐全的不同放法共有种.（用数字作答）14．某篮球运动员在罚球线投中球的概率为32，在某次比赛中罚3球恰好命中2球的概率为__________________。
15．给出下列四个命题：①过平面外一点，作与该平面成θ角的直线一定有无穷多条；②一条直线与两个相交平面都平行，则它必与这两个平面的交线平行；③对确定的两条异面直线，过空间任意一点有且只有唯一的一个平面与这两条异面直线都平行；④对两条异面的直线，都存在无穷多个平面与这两条直线所成的角相等； 其中正确的命题序号为 （请把所有正确命题的序号都填上）．三、解答题：(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 16.(本小题满分12分)A 、B 、C 为ABC ∆的三内角，且其对边分别为a 、b 、c ，若(cos ,sin )22A Am =-u r ，(cos ,sin )22A An =r ，且12m n ⋅=u r r（1）求角A ；（2）若a =S =b c +的值．17．（本小题满分12分）已知数列 {2 n •a n } 的前 n 项和 S n = 9－6n . (I) 求数列 {a n } 的通项公式； (II) 设 b n = n ·(2－log 2| a n |3)，求数列 { 1b n } 的前 n 项和T n .18．（本小题满分12分） 已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面是直角三角形，∠C=90°，侧棱与底面所成的角为α（0°＜α＜90°），点1B 在底面上的射影D 落在BC 上．（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BB 1C 1C ；（Ⅱ）当α为何值时，AB 1⊥BC 1，且使D 恰为BC 中点？（Ⅲ）若α = arccos 13，且AC=BC=AA 1时,求二面角C 1—AB —C 的大小．19．(本小题满分12分)随着我国加入WTO ，某企业决定从甲、乙两种产品中选择一种投资生产，打入国际市场，已知投资生产这两种产品的有关数据如下表：(单位：万美元)C 1AB C DA 1B 1其中年固定成本与年生产的件数无关，a 为常数，且 3≤a ≤8.另外，年销售 x 件乙产品时需上交 0.05x 2万美元的特别关税.(I) 写出该厂分别投资生产甲、乙两产品的年利润 y 1、y 2 与生产相应产品的件数 x (x ∈N)之间的函数关系；(II) 分别求出投资生产这两种产品的最大年利润； (III) 如何决定投资可获最大年利润.20．（本小题满分13分）设32()f x ax bx cx =++，其导函数'()y f x =的图像经过点2(2,0),(,0)3-，且()f x 在2x =-时取得最小值－8（1）求()f x 的解析式；（2）若对[3,3]x ∈-都有2()14f x m m ≥-恒成立，求实数m 的取值范围．21．（本小题共14分）已知A B 、是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上两点，O 为原点，直线OA OB 、的斜率之积22OA OBb k k a⋅= （Ⅰ）设OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r，证明当A B 、运动时，点P 恒在另一双曲线上； （Ⅱ）设OQ OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r，是否存在不同时为零的实数λμ、，使得点Q 在题设双曲线的渐近线上，证明你的结论.xx 年高考文科数学模拟考试题卷参考答案一、选择题：（本大题共10个小题；每小题5分，共50分。
）二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分。
）11、21； 12、7； 13、720； 14 、94； 15、②④；三、解答题：（本大题共6小题，共75分。
） 16、（本小题满分12分）解：（1）∵(cos ,sin )22A A m =-u r ，(cos ,sin )22A An =r ，且12m n ⋅=u r r∴221cos sin 222A A -+= …………………………………………2分即1cos 2A -=又(0,)A π∈，∴23A π= ……………………………5分⑵112sin sin 223ABC S bc A bc π∆=⋅=⋅=，∴bc＝4……………………………7分由余弦定理得222o222cos120a b c bc b c bc =+-=++……………………………10分∴216()b c =+故4b c +=． ………………………………12分17、（本小题满分12分）解：(I) n = 1 时，2·a 1 = S 1 = 3,∴a 1 = 32 ; …………2分当 n ≥2 时，2 n ·a n = S n －S n －1 = －6，∴ a n =－62n . 又 32 ≠ －62 …………4分∴ 通项公式a n= ⎩⎨⎧ 32，(n = 1) －62n ，(n ≥2) …………6分(II)当 n = 1 时，b 1 = 2－log 2 12 = 3，∴ T 1 = 1b 1 = 13； …………8分n ≥2时， b n = n ·(2－log 263·2 n) = n ·(n + 1)， ∴ 1b n = 1n (n + 1) …………10分 ∴ T n =1b 1 + 1b 2 + … + 1b n = 13 + 12×3 + 13×4+ … + 1n (n + 1) = 56 －1n + 1∴ T n = 56 －1n + 1 …………12分18、（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵ B 1D ⊥平面ABC ， AC ⊂平面ABC ，∴ B 1D ⊥AC, 又AC ⊥BC, BC ∩B 1D=D ．∴ AC ⊥平面BB 1C 1C ． …………………… 3分(Ⅱ) ∵ AC ⊥平面BB 1C 1C ，要使AB 1⊥BC 1 ，由三垂线定理可知， 只须B 1C ⊥BC 1， ………………………… 5 分 ∴ 平行四边形BB 1C 1C 为菱形， 此时，BC=BB 1．又∵ B 1D ⊥BC, 要使D 为BC 中点，只须B 1C= B 1B ，即△BB 1C 为正三角形， ∴ ∠B 1BC= 60°． ………………………… 7分∵ B 1D ⊥平面ABC ，且D 落在BC 上， ∴ ∠B 1BC 即为侧棱与底面所成的角．故当α=60°时，AB 1⊥BC 1，且使D 为BC 中点…………………… 8分（Ⅲ）过C 1作C 1E ⊥BC 于E ，则C 1E ⊥平面ABC ．过E 作EF ⊥AB 于F ，C 1F ，由三垂线定理，得C 1F ⊥AB ．∴∠C 1FE 是所求二面角C 1—AB —C 的平面角．………………… 10分 设AC=BC=AA 1=a ，在Rt △CC 1E 中，由∠C 1BE=α=1arccos3，C 1E=322a ．C 1ABCDA 1B 1在Rt △BEF 中，∠EBF=45°，EF=22BE=322a ． ∴∠C 1FE=45°，故所求的二面角C 1—AB —C 为45°．………… 12分 解法二：（1）同解法一 ……………… 3分 （Ⅱ）要使AB 1⊥BC 1，D 是BC 的中点，即11BC AB ⋅=0，|BB 1→ |=|B 1C →|， ∴11()0AC CB BC +=u u u r u u u r u u u r， ||||11B BC ⋅=0，∴||||1BB =． ∴1BB BC B C ==u u u r u u u r u u u r，故△BB 1C 为正三角形，∠B 1BC=60°；∵ B 1D ⊥平面ABC ，且D 落在BC 上， …………………… 7分 ∴ ∠B 1BC 即为侧棱与底面所成的角．故当α=60°时，AB 1⊥BC 1，且D 为BC 中点． …………………8分（Ⅲ）以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，经过C 点且垂直于平面ABC 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，则A （a ，0，0），B （0，a ，0），C （0，－34a ，322a ），平面ABC 的法向量n 1=（0，0，1），设平面ABC 1的法向量n 2=（x ，y ，z ）． 由⋅n 2=0，及⋅1BC n 2=0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y=0，－43y ＋2 2 3 z=0 . ∴n 2=（22，22，1）．………………10分cos<n 1, n 2>＝112 +12 +1 = 22 ，故n 1 , n 2所成的角为45°，即所求的二面角为45°．……………………12分 19、（本小题满分12分）解：(I)由年销售量为 x 件，按利润的计算公式，有生产甲、乙两产品的年利润 y 1， y 2分别为：y 1 = 10×x －(20 + ax ) = (10－a )x －20， 0≤x ≤200且 x ∈N …………1分 y 2 = 18×x －(40 + 8x ) － 0.05x 2 = －0.05x 2 + 10x －40，…………2分 ∴ y 2 = －0.05 (x －100) 2 + 460，0≤x ≤120，x ∈N …………3分(II) ∵ 3≤a ≤8， ∴ 10－a > 0， ∴ y 1 = (10－a )x －20为增函数， 又 0≤x ≤200，x ∈N∴ x = 200时，生产甲产品的最大年利润为 (10－a )×200－20 = xx －200a (万美元)。