学年第一学期重庆大学数理统计试题及参考答案
重庆大学概率论与数理统计参考试题
安徽建筑工业学院 概率论与数理统计（B 卷）考试试题 共5页第1页班级： 姓名： 学号：概率论与数理统计（B 卷） 试题2004—2005学年第 一 学期 适用年级专业:全院本科各专业一. 选 择 题（本大题共5小题，每小题4分，总计 20分 ）1、设事件A 、B 互不相容，满足 ()0.4,()0.3,P A P B == 则()P A B ⋂= ( ).( A ) 0.2( B ) 0.3 ( C ) 0.4 (D) 0.52、X Y 与相互独立时, 方差(23)D X Y -= ( ). ( A ) 2()D X +3()D Y( B ) 2()D X -3()D Y ( C ) 4()D X +9()D Y( D ) 4()D X -9()D Y3、 设 X 在 -35, 上 服 从 均 匀 分 布， 事 件B 为“ 方 程 2 10t X t -+=有 实 根”， 则()P B =( ).( A )12( B )34( C )38( D ) 14、设 随 机 变 量,X Y 独 立 同 分 布， 记 ,X Y X Y ξη=+=-， 则 随 机 变 量ξ与η 之 间 的 关 系 必 然 是 ( )。
( A ) 不 独 立( B ) 独 立( C ) 相 关 系 数 等 于 0 ( D )相 关 系 数 不 为 05、设 (12 ,,,nX X X ) 是 正 态 总 体2 ~(,)X N μσ 的 样 本， 统 计 量()(/U X μσ=- 服 从01(,)N ， 又 知206416.,n σ==， 及 样 本 均 值X ， 利 用 U 对 μ作 区 间 估 计， 若 已 指 定 置 信 度1-α, 并 查 得 U 的 临 界 值 为12196.U α-=,则 μ的 置 信 区 间 为 ( )。
( A )0396(,.)X X +( B )0196 0196(.,.)X X -+( C )0392 0392(.,.)X X -+( D )0784 0784(.,.)X X -+二. 填 空 题（本大题共 5小题，每小题4分，总计20分 ）1、某 柜 台 有 4 个 服 务 员 ， 他 们 是 否 用 台 秤 是 独 立 ， 在 1 小 时 内 每 人 需 用 台 秤 的 概 率 为 14， 则 4人 中 同 时使 用 台 秤 不 超 过 2人 的 概 率 为 ： __________________.2、设 随 机 变 量 X 的 分 布 律 为 P { X = x k } = p k ， k = 1， 2， ， ()Y g X = 且()E Y存 在 ， 则()E Y = ____________.3、( X ，Y) 的 联 合 概 率 密 度 为 0101,(,)x yx y x y ϕ+≤≤≤≤⎧=⎨⎩其它则()D X = ___________ .4、已 知 133354(),(|),(|)P A P B A P B A ===， 则()P A B = _____ . 5、设样本12,,,n X X X 来自总体()2~,XN μσ， μ已 知，要对σ2作假设检验，统计假设为2222010:,:H H σσσσ=<， 则要用检验统 量为______________ , 给定显著水平α， 则检验的拒绝 域为_________________。
重庆大学研究生数理统计习题答案
()(){}{}()22222111221121221164~,~(8),89111,01(1)11~(0,1)1.28 1.280.281(2)0.261 1.8360.2619818ni i n X N S S X S n X X X X E X X n n n n n D X X DX DX DX X X N n n n P X X P U X P X S P μχσμ=-=--=--=---⎛⎫-=+==⇒- ⎪⎝⎭->=>=⎛ -⎧⎫ <-+<=<⎨⎬ ⎩⎭⎝∑解：由题可知（，）且与相互独立（）{}22222222241164. 1.836896464 = 2.08814.688=~(9)991188= 2.08814.688=0.90.01=0.89423948i i i S X X P S S P X X χχχμ=⎧⎫⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪+<⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎩⎭⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪--⎪⎪⎪ ⎪<+<+⎨⎬ ⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭<<-⎛⎫- ⎪⎝⎭=⋅∑，其中原式（）()()()(){}24882255448822554821584~(0,1)=~4998244~(4)8944 2.132= 2.132=0.1i ii i i i i i i i i ii i N X X X t t X XP X XP t μμχμμμμμμ======⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭==--⎧⎫⎛⎫⎪⎪-≤-≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭∑∑∑∑∑∑∑∑∑（）则，()()()(){}222222222891(4)=8~1~(1,8)6498911=(1,8)58.82(8,1)10.90.158.8258.82XXX F FSSXP P F P FSμμμχμ-⎛⎫⎪--==⎧⎫-⎪⎪⎧⎫<<=<=-=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭（），则也可以用T分布与F分布的关系.0020001111()()1ln(1)11,,ˆˆˆ1ln(1),,ln(1)ln(1)2(;,...,)(;)ln (;,...,)=01ˆ=（）（）似然方程：得到参数的极大似然估计，再由i A nnx n n xn i i i n P X A F A e p p A EX DX A EX p EX X A EX p X p L x x f x e e d L x x nnx d Xλλλλλλλλλλλλλλλ---==<==-=-=-===--=∴=--=--====-∏∏ 0000010000ln(1)ˆln(1)ˆln(1)ˆ(3)=ln(1)=ln(1)==ˆln (;,...,)ln(1){[ln(1)][]}ln(1)ˆ()ln(1)ˆˆ极大似然估计的不变性，推出的极大似然估计为是的无偏估计且是的无偏估计是有效n A p A X p p EA E X p p EX A AA d L x x p n n nx X p d p n AA p AA A λλλλλλ-=-=----⎡⎤----⎣⎦∴-=-=-----=--∴ ()202ˆlim ln(1)ˆlim lim 0ˆ估计又是相合估计量n n n EA A p DA n Aλ→∞→∞→∞⎧=⎪⎨-⎪==⎩∴221212121222122222222221222121.422,2~222(1)(1)~01~(2) (1)(1)(1)(1)2=222X YX Y X YX X X X Nn mX X n S m SU N n mn S m S n S m S X X Sn mX Xtωσσμμμμμμχχσσσσ+++++-+--==++----+-+++-+-+==的无偏估计为且（，+）（，）又且与独立,记则()()()()()()()121212212121211221212122222=22=22222=12122t n mP t t n mX XP t n m t n mP X X t n m S X X t n m SX X t n m Sαααααωαμμμμαμμα-----+-⎧⎫≤+-⎨⎬⎩⎭⎧⎫⎪⎪+-+⎪⎪+-≤≤+-⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎧⎪+-+-≤+≤+++-⎨⎪⎩-+-+±+-因此构造的置信区间为{}{}121201212120121212121212.222=022,22=02=02=0=的无偏估计为，在：成立的条件下，大于某个常数应该是小概率事件，因此构造拒绝域：以下确定常数由X X H X X c K X X c cP X X c P P t t μμμμμμμμμμα+++++>+>+⎧⎫⎪⎪⎪=>+⎬⎪⎪⎭⎧⎫⎪⎪⎪⎪=>+=⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭()()122n m c t n m S ααω--+-⇒=+-拒绝域为：3133011331122333333111~(1,).~(3)220.220.230.20.20.80.20.104220.4因为所以，类错误(弃真)：为真类错误(纳伪)：为真i i i i i i i i i i i i i i X B p X B p P X H P X p P X p P X p C C P X H P X p αβ=======I ⎧⎫⎧⎫=≥=≥=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎧⎫⎧⎫===+==⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭=+=II ⎧⎫⎧=<=<=⎨⎬⎨⎩⎭⎩∑∑∑∑∑∑∑313311223333120.4120.430.410.40.60.40.648i i i i i i P X p P X p P X p C C ===⎫⎬⎭⎧⎫=-≥=⎨⎬⎩⎭⎧⎫⎧⎫=-==-==⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭=--=∑∑∑()()221221111211=200ˆnE i i i n n nEi i i i i i i i i ni ii nii S y x dS y x x y x x d x yxββββββ======-=--=⇒-==∑∑∑∑∑∑解：（）利用最小二乘估计使残差平方和最小参数的最小二乘估计量为2211222111111221111ˆ2=~(,)ˆˆˆ~(,)111ˆ===11ˆ（），由正态分布的性质推知服从正态分布ni ii i i i ni ii nnni i iiiinnni i i i i ii i i ni i nn i i i i i x YY x N x xN E D E E x Y x EY x x x x xD D x Y x x ββεβσβββββββ============+⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ == ⎪ ⎪⎝⎭⎝∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑()()()()()222211221222111112211ˆ~(,)ˆˆˆ3=ˆˆˆ2(,)ˆ(,)(,)因此，（）nii ni ii n i i nnE i iiiiii i nni i i i i ii i ni ii ii i i i nniii i xDY xN x ES E Y x D Y x E Y x D Y x DY D x Cov Y x x Yx Cov Y x Cov Y x C xxσσβββββββββ==========⎫⎪⎪=⎪ ⎪⎭⎡⎤-=-+-⎣⎦⎡⎤=-=+-⎣⎦==∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑()222221112222222222221111(,)(,)221则ni i i i i i i nni iii i nni i Enni i iii i x x ov Y x Y Cov Y Y xxx x ESn n n xxσσσσσσσσ==========+-=+-=-∑∑∑∑∑∑∑因素：车型水平：3种不同的车型A,B,C方差分析前提假设：正态性，方差齐次性，独立性对比分位数：0.95(2,9) 4.26F F >=，拒绝原假设0123:H μμμ==，认为这三种车型耗油量有显著差异。
重庆大学数理统计试题3
n Xi
i 1 m n m
（ 1 ） Y1
m
2
i m 1
X
； （ 2 ） Y2
2 i
n X i 2 m Xi
i m 1 i 1 mn 2
n n 2 i 1 2 1 e 2 ) ( 2 2 ) 2 e 2 2 n xi2
xi2
n
L( 2 , X 1 , X 2 ,
Xn) (
i 1
ln( L( 2 , X 1 , X 2 , ln( L( 2 , X 1 , X 2 , d 2
xi2 n X n )) ln( 2 ) ln 2 i 1 2 2 2 X n )) n 1 n 1 n 2 i 1 ( xi 2 ) 2 2 2 4 2 2( ) 2 n i 1
s
2
c1
1 1 2 (n 1), c2 2 (n 1) n 1 2 n 1 1 2 s2
k0 :{
2
c2或
s2
2
c1}
（2） H0 : 2 1, H1 : 2 2
2 拒绝域 k0 ： (n 1)s 2 12 (n 1);22s 2 0.95 (22) 33.92; ：
m
2 i m1
X
n X i 2 m Xi
i m 1 i 1 mn 2
Y2 ~ F (m, n)
2 i
n
Xi
(3)
i 1
m
m n
m
~ N (0,1),
重庆大学概率与数理统计课后答案第八章
习题八A 组1.假设总体X ～)1,(μN ，从中抽取容量为25的样本，对统计假设0:,0:10≠=μμH H ，拒绝域为X 0={}392.0≥x 。
（1）求假设检验推断结果犯第Ⅰ类错误的概率。
（2）若3.0:1=μH ，求假设检验推断结果犯第Ⅱ类错误的概率。
解：（1）{}{}001H H P P α==犯第I 类错误拒绝成立={}0392.0=>μX P{}{}96.10392.0>==>=n XP X P μ，所以05.01=α（2）{}{}00H H P P β==犯第II 类错误接受不成立{}3.0392.0=≤=μX P{}6769.046.0)3.0(46.3=<-<-=n X P2.已知某厂生产的电视机显像管寿命（单位：小时）服从正态分布。
过去，显像管的平均寿 命是15000小时，标准差为3600小时。
为了提高显像管寿命采用了一种新技术，现从新生 产的显像管中任意抽取36只进行测试，其平均寿命为15800=x 小时。
若用假设检验方 法推断新技术是否显著提高了显像管的寿命，试指出：（1）假设检验中的总体；（2）统计假设；（3）检验法、检验统计量、拒绝域；（4）推断结果。
解：（1）假设检验中的总体是新生产的显像管的寿命，用X 表示，由题意知：X ～),(2σμN )90000,5000(N（2）统计假设：15000:0≤μH ，15000:1>μH(3)假设σ与过去一样为3600小时，那么检验方法为U 检验法，检验统计量为：nX U σ15000-=显著水平05.0=α时的拒绝域为：X 0 ={}α->1u u ={}645.1>u（4）推断：因为U 的样本值为1.333不在X 0 内，所以接受原假设，即在显著水平05.0=α下，认为新技术没有提高显像管的寿命。
3.某计算机公司使用的现行系统，运行通每个程序的平均时间为45秒。
现在使用一个新系统运行9个程序，所需的计算时间（秒）分别是：30，37，42，35，36，40，47，48，45。
重庆大学概率与数理统计课后答案第二章
3 0.1 4 0.3 5
4 6 ； 10 10
P
2)
0.6
x3 0, 0.1, 3 x 4 F ( x) P{ X x} 0.4, 4 x 5 x5 1,
3． 设一学生用同一台机床接连独立地制造 3 个同种零件，第 i 个为不合格品的概率为
1 ，以 X 表示汽车停下时通过的交通岗个数，求 X 的分布律。 2
X 的可能取值：0，1，2，3，4 1 P( X 0) 2 1 1 P( X 1) ( ) 2 2 4 1 1 P( X 2) ( )3 2 8 1 1 P( X 3) ( ) 4 2 16 1 1 2 1 3 1 4 1 P( X 4) 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 16
1
所以 A （2）
f x dx Ae|x|dx 2 Ae x dx 2 A
0
1 ； 2 P 0 X 1 f x dx
0 1 11 1 | x| e dx e x dx 0.316 0 2 0 2 1
解：设 X 为同一时刻使用的设备数，可能取值为：0，1，2，3，4，5， 则 X ~ B(5, 0.2) ， （1） P{ X 2}
P{ X k} C
k 0 k 0
2
2
k 5
0.2 k 0.85 k 0.9421 ；
（2） P{X 2} 1 P{X 0,1} 1 0.85 5 0.2 0.84 0.2627 6．一电话总机每分钟收到呼唤次数 X 服从参数为 4 的泊松分布。求（1）某一分钟恰有 8 次 呼唤的概率； （2）某一分钟的呼唤次数大于 3 的概率。 解： （1） X ~ P(4)
最新重庆大学数理统计试题2
一、假设129,,X X X …，是来自总体2~,X N的简单随机样本，X 是样本均值，2S 是样本方差，求下列常数a 的值。
（1）0.78P Xa ；（2）922113.49()15.51ii P X X a ；（3）0.05X P aS。
解：（1）22~(,),~(0,1)xx N N Nn220.78{}xp ann即2{ 2.34},(2.34),0.99xp a a a n。
（2）222(1)~(1)n sn 992222119221221:()(1)()11{3.49()15.51}(1){3.4915.51}(15.51)(3.49)10.950.10.85ii i i ii s x x n s x x n p x x an sp aaaa（3）2222(1)~(0,1),~(1)Xn sN n n222()/~(1),(1)/(1)X n t n n sn即()~(1)3(){}0.053()1{}0.053(){}0.951.86n X t n s Xp a s Xp a s Xp a s a 二、设总体X 的密度函数2,0()00,0xxex f x x 其一个样本为12,,nX X X …，（1）求1g的最大似然估计量T ；（2）验证T是否为1g的有效估计量，若是，写出信息量I；（3）验证T 是否为1g的相合估计量。
解：（1）122111()(,)()()niii nnnx x ni i i I I i L f x x ex e1111ln ()2lnln 2ln ()01112212nniii i nii nii L n x x dn L x d x xn T X（2）由（1）121220211ln (,,,)2()21,()221111()()222nn ii xdnL X X X X n Xd TX c nE T E X EX x edxT 是1得无偏估计量因而T 是1的有偏估计量。
重庆大学2013-2014学年(上)数理统计试题及参考答案
重庆大学全日制学术型硕士研究生 《数理统计》（A ）课程试卷2013-2014学年第一学期（秋）请保留四位小数，部分下侧分位数为：0.95 1.65u =，0.99 2.33u =，20.95(1) 3.841χ=，0.95(3,6)9.78f =一、（18分）设1X ，2X ，…，64X 是来自总体N （0，2σ）的样本，X ，2S 分别是样本均值和样本方差：（1）求参数c 满足{}0.1P X S c >⋅=；（2）求概率22122234{1}X X P X X +>+；(3)求322321(2)i i i D X X X +=⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦∑。
(请写出计算过程) 解：（1）~(1)t n-{}}0.1P X S c P c ∴>⋅=>=得0.95(63)c t = 故 1.650.20638c ==（2）2~(0,)X N σ22212(/)(/)~(2)X X σσχ∴+ 同理22234(/)(/)~(2)X X σσχ+2222223412122234(/)(/)(/)(/)/~(2,2)22X X X X X X F X X σσσσ+++∴=+ 22122234{1}{(2,2)1}X X P P F X X +>=>+ 且0.50.50.51(2,2)(2,2)1(2,2)F F F =⇒= 得2222121222223434{1}1{1}0.5X X X X P P X X X X ++>=-≤=++ (3)令2~(2,2)i i n i Y X X N μσ+=+，112n i i Y Y X n ===∑ 221()(1)ni Y i T Y Y n S =∴=-=-∑3232223211(2)[()]i i i i i D X X X DT D Y Y +==⎡⎤+-==-⎢⎥⎣⎦∑∑2~(0,2(11/))i Y Y N n σ-+~(0,1)Y N=3222422421[2(11/)4(11/)((32))256(11/32)i Y D n n D σσχσ=+=+=+∑二、（26分）设1X ，2X ，…，n X 是来自总体2~(2,)(0)X N σσ>的样本，{}0.95P X A <=。
重庆大学数理统计试题答案版
涉及到的有关分位数：()()()()()()()()()()()()20.950.950.950.9750.9750.9752222220.9750.0250.0250.9750.950.97520.95 1.645,16 1.746,15 1.753,16 2.12,15 2.131,1628.851527.49,16 6.91,15 6.26,1 5.02,1 3.84,27.382 5.99u t t t t χχχχχχχχ=============一、设123,,X X X 是来自总体~(0,3)X N 的样本。
记()2332i 1111,32i i i X X S X X====-∑∑,试确定下列统计量的分布：（1）3113i i X =∑；（2）23119i i X =⎛⎫⎪⎝⎭∑；（3）()23113i i X X=-∑；（4X解：（1）由抽样分布定理，311~(0,1)3i i X X N ==∑(2)因311~(0,1)3i i X N =∑，故223321111~(1)39i i i i X X χ==⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑（3）由抽样分布定理，()()()2223321131211~(2)3323i i i i S X X X X χ==-=⋅-=-∑∑（4）因()222~(0,1),~23X N S χ，X 与2S独立，故()~2X t 。
二、在某个电视节目的收视率调查中，随机调查了1000人，有633人收看了该节目，试根据调查结果，解答下列问题：（1）用矩估计法给出该节目收视率的估计量；（2）求出该节目收视率的最大似然估计量，并求出估计值；（3）判断该节目收视率的最大似然估计是否是无偏估计；（4）判断该节目收视率的最大似然估计是否是有效估计。
解：总体X 为调查任一人时是否收看，记为~(1,)X B p ，其中p 为收视率（1）因EX p =,而^E X X =，故收视率的矩估计量为^Xp =（2）总体X 的概率分布为()1()1,0,1xxf x p p x -=-=1111()(1)(1)(1)ln ()ln (1)ln(1)ln ()(1)01nniii ii i nx n x x x n X n n Xi L p p p pp p p L p nX p n X p d L p nX n X dp p p==---=∑∑=-=-=-=+---=-=-∏解得收视率p 的最大似然估计量为^Xp =现有一参量为1000的样本121000,,X X X ……，,且10001633ii X==∑则6330.6331000X ==,故收视率的极大似然估计值为0.633.（3）因E X p =，故^X p =是无偏估计（4）因()ln ()(1)1(1)d L p nX n X nX p dp p p p p -=-=---，又E X p=故收视率的最大似然估计X 是p 的有效估计。
重庆大学概率与数理统计课后答案第八章
习题八A 组1.假设总体X ～)1,(μN ，从中抽取容量为25的样本，对统计假设0:,0:10≠=μμH H ，拒绝域为X 0={}392.0≥x 。
（1）求假设检验推断结果犯第Ⅰ类错误的概率。
（2）若3.0:1=μH ，求假设检验推断结果犯第Ⅱ类错误的概率。
解：（1）{}{}001H H P P α==犯第I 类错误拒绝成立={}0392.0=>μX P{}{}96.10392.0>==>=n X P X P μ，所以05.01=α（2）{}{}00H H P P β==犯第II 类错误接受不成立{}3.0392.0=≤=μX P {}6769.046.0)3.0(46.3=<-<-=n X P2.已知某厂生产的电视机显像管寿命（单位：小时）服从正态分布。
过去，显像管的平均寿 命是15000小时，标准差为3600小时。
为了提高显像管寿命采用了一种新技术，现从新生 产的显像管中任意抽取36只进行测试，其平均寿命为15800=x 小时。
若用假设检验方 法推断新技术是否显著提高了显像管的寿命，试指出：（1）假设检验中的总体；（2）统计假设；（3）检验法、检验统计量、拒绝域；（4）推断结果。
解：（1）假设检验中的总体是新生产的显像管的寿命，用X 表示，由题意知：X ～),(2σμN )90000,5000(N（2）统计假设：15000:0≤μH ，15000:1>μH(3)假设σ与过去一样为3600小时，那么检验方法为U 检验法，检验统计量为：nX U σ15000-=显著水平05.0=α时的拒绝域为：X 0 ={}α->1u u ={}645.1>u（4）推断：因为U 的样本值为1.333不在X 0 内，所以接受原假设，即在显著水平05.0=α下，认为新技术没有提高显像管的寿命。
3.某计算机公司使用的现行系统，运行通每个程序的平均时间为45秒。
现在使用一个新系统运行9个程序，所需的计算时间（秒）分别是：30，37，42，35，36，40，47，48，45。
重庆大学数理统计试题(四套)
X （4）分析随机变量 S
24 的分布。
2
二 （ . 20 分） 设总体分布 X 的密度函数为 f x; c x 未知，求 （1）参数 的矩估计量 ˆ1 ； 1 ˆ ； （2）参数 g 的极大似然估计 g ˆ 无偏性，有效性和相合性。 （3）试分析 g
4
四、某公司的考勤员试图证实星期一的缺勤是其他四个工作日缺勤的两倍，已有三 月的缺勤记录如下表所示： 星期 缺勤数 给定显著水平 一 二 304 176 ，请用检验证实。 三 139 四 141 五 130
五、(20 分)合成纤维抽丝工段第一导丝盘的速度 y 对丝的质量是很重要的因素。如 由生产记录得相关数据 ( xi , yi ) ，i 1,2,...,10 , 今发现它与电流的周波 x 有密切的关系， 计算得到 x 49.61 ， y 16.86 ， l xx 1.989 ， l xy 0.674 l yy 0.244 。 （1）求第一导丝盘的速度 y 与电流的周波 x 的经验回归直线方程； （2）在显著水平 0.05 下，检验 y 与 x 是否有显著的线性关系； （3）求 ，并求回归系数 1 的置信度为 95% 的置信区间。
六、设组观测数据(xi , yi )(i =1,2,…, n) 满足 yi =β0+β1(x- x ) +εi ， 1 n εi ~ N (0,σ 2) (i =1,2,…, n)（其中 x= X i ）且 ε1,ε2,…,εn 相互独立。 n 1 ˆ , ˆ； (1) 求系数 β0，β1 的最小二乘估计量
2 2 2 (1)当 n=17 时，求常数 k 使得 P( X Y 1 2 k S X SY 2S X ,Y ) 0.95
重庆大学《概率论与数理统计Ⅰ》课程试卷
重庆大学《概率论与数理统计Ⅰ》课程试卷2015—2016学年第一学期0.84130.950.9750.950.9751, 1.65, 1.96,t (4) 2.132,(4) 2.776u u u t =====一、 填空题（共42分）1.设P(A)=0.7，P(B)=0.5,P(A-B)=____________，(|)P B A =____________。
2.某学院在2014年招生的三个专业中，学生所占的比例分别为30%，45%，25%。
在2015年评选优异生的过程中，学院决定专业打通按综合成绩排序进行评选，其评选结果是三个专业占总人数的比例分别为0.04,0.045,0.031，则该学院评选的优异生的比例（概率）为：________________。
3.设连续性随机变量的分布函数为20,0(),011,1x F x Ax x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩则A=____________，X的密度函数()f x =_________________，{0.5}__________P X <=。
4.设随机变量X的密度函数2(1)8()x X f x --=，则EX =___________，随机变量Y=2X-1的密度函数()_________Y f y =。
5.设2,2,1,4,(,)0.5,EX EY DX DY X Y ρ=-====则()_________D X Y +=，根据切比雪夫不等式估计概率{6}__________P X Y +≥。
6.设X 是样本容量为15且来自总体P(3)（泊松分布）的样本均值，则2___________E X =。
7.设128,,,X X X …是来自总体N(0,4)的样本，则常数C =________，统计量~_________Y =（注：确定分布），{||P X ≤=。
二、（10分）设一枚深水炸弹击沉一艘潜艇的概率为16，击伤的概率为13，未击中的概率为12，并设击伤潜艇两次也可导致其下沉，求施放3枚深水炸弹能击沉潜艇的概率。
最新重庆大学数理统计试题2
一、假设129,,X X X …，是来自总体()2~,X N μσ的简单随机样本，X 是样本均值，2S 是样本方差，求下列常数a 的值。
（1）()0.78P X a σμ<+=；（2）922113.49()15.51i i P X X a σ=⎛⎫<-≤= ⎪⎝⎭∑；（3）0.05X P a S μ⎛⎫->= ⎪⎝⎭。
解：（1）2~(,~(0,1)x x N N N σμx p a <=即2.34},(2.34),0.99x p a a a <=Φ==。
（2）222(1)~(1)n s n χσ--992222119221221:()(1)()11{3.49()15.51}(1){3.4915.51}(15.51)(3.49)10.950.10.85i i i i ii s x x n s x x n p x x an s p aa a a σσ===-⇒-=--<-≤=-<≤=Φ-Φ+=-==∑∑∑（3222(1)~(0,1),~(1)X n s N n χσ--~(1),t n -即()~(1)3(){}0.053()1{}0.053(){}0.951.86X t n sX p a sX p a s X p a s a μμμμ--->=--≤=-≤==二、设总体X 的密度函数()2,0()00,0x xe x f x x λλλ-⎧>=>⎨≤⎩其一个样本为12,,n X X X …，（1）求()1g λλ=的最大似然估计量T ；（2）验证T 是否为()1g λλ=的有效估计量，若是，写出信息量()I λ； （3）验证T 是否为()1g λλ=的相合估计量。
解：（1）122111()(,)()()niii nnnx x nii i I I i L f x x ex eλλλλλλ=--===∑===∏∏∏1111ln ()2ln ln 2ln ()01112212n ni ii i ni i n i i L n x x d n L x d x x n T Xλλλλλλλ=====+-=-===∴=∑∑∑∑（2）由（1）121220211ln (,,,)2()21,()221111()()222n n i i x d n L X X X X n X d T X c nE T E X EX x e dx λλλλλλλλ=+∞-=-=--==-====∑⎰ T 是1λ得无偏估计量因而T 是1λ的有偏估计量。
重庆大学数理统计试题答案版
涉及到的有关分位数：()()()()()()()()()()()()20.950.950.950.9750.9750.9752222220.9750.0250.0250.9750.950.97520.95 1.645,16 1.746,15 1.753,16 2.12,15 2.131,1628.851527.49,16 6.91,15 6.26,1 5.02,1 3.84,27.382 5.99u t t t t χχχχχχχχ=============一、设123,,X X X 是来自总体~(0,3)X N 的样本。
记()2332i 1111,32i i i X X S X X====-∑∑,试确定下列统计量的分布：（1）3113i i X =∑；（2）23119i i X =⎛⎫⎪⎝⎭∑；（3）()23113i i X X=-∑；（4X解：（1）由抽样分布定理，311~(0,1)3i i X X N ==∑(2)因311~(0,1)3i i X N =∑，故223321111~(1)39i i i i X X χ==⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑（3）由抽样分布定理，()()()2223321131211~(2)3323i i i i S X X X X χ==-=⋅-=-∑∑（4）因()222~(0,1),~23X N S χ，X 与2S独立，故()~2X t 。
二、在某个电视节目的收视率调查中，随机调查了1000人，有633人收看了该节目，试根据调查结果，解答下列问题：（1）用矩估计法给出该节目收视率的估计量；（2）求出该节目收视率的最大似然估计量，并求出估计值；（3）判断该节目收视率的最大似然估计是否是无偏估计；（4）判断该节目收视率的最大似然估计是否是有效估计。
解：总体X 为调查任一人时是否收看，记为~(1,)X B p ，其中p 为收视率（1）因EX p =,而^E X X =，故收视率的矩估计量为^Xp =（2）总体X 的概率分布为()1()1,0,1xxf x p p x -=-=1111()(1)(1)(1)ln ()ln (1)ln(1)ln ()(1)01nniii ii i nx n x x x n X n n Xi L p p p pp p p L p nX p n X p d L p nX n X dp p p==---=∑∑=-=-=-=+---=-=-∏解得收视率p 的最大似然估计量为^Xp =现有一参量为1000的样本121000,,X X X ……，,且10001633ii X==∑则6330.6331000X ==,故收视率的极大似然估计值为0.633.（3）因E X p =，故^X p =是无偏估计（4）因()ln ()(1)1(1)d L p nX n X nX p dp p p p p -=-=---，又E X p=故收视率的最大似然估计X 是p 的有效估计。
（完整版）数理统计考试题及答案
（完整版）数理统计考试题及答案1、离散型随机变量X 的分布律为P （X=x i ）=p i ，i=1.2…..，则11=∑=ni ip2、设两个随机变量X ，Y 的联合分布函数F （x ，y ），边际分布Fx （x ），Fy （y ），则X 、Y 相互独⽴的条件是)()(),(y F x F y x F Y X ?=3、 X 1,X 2,….X 10是总体X~N （0，1）的样本，若2102221X X X +++=ξ,则ξ的上侧分位数025.0ξ=解：因为X~N （0，1），所以2102221X X X +++=ξ~)10(2χ，查表得025.0ξ=20.54、设X~N （0，1），若Φ（x ）=0.576，则Φ（-x ）= 解：Φ（-x ）=1-Φ（x ）=1-0.576=0.4245、设X 1,X 2,….X n 是总体),(~2σµN X 的样本，∑=-=ni iXY 122)(1µσ，则EY=n解：∑=-=ni iXY 122)(1µσ~)(2n χ，E 2χ=n ，D 2χ=2n⼆、设设X 1,X 2,….X n 是总体),(~2σµN X 的样本，∑=-=612)(51i i X X s ，试求)5665.2(22σ≤s P 。
解：因为),(~2σµN X ，所以有)5(~)(126122χσ∑=-i i X X ，则≤-= ≤-=≤=≤∑∑==8325.12)(5665.25)()5665.2()5665.2(261226122222σσσσi ii i X X P X X P s P s P 查2χ分布表得=≤)5665.2(22σs P≤-∑=8325.12)(2612σi i X X P =1-α=1-0.0248=0.9752 三．设总体X 的概率密度为f(x)= (1),(01) 0a x x α?+<，其他，其中α>0，求参数α的矩估计和极⼤似然估计量。
重庆大学2015概率统计B卷评分标准
“概率论与数理统计”课程试题B(2014-2015学年第一学期)试卷标准答案及评分标准一、填空题（每空3分，共 39分）1．设,A B 为两个随机事件，(),()()P A p P AB P A B ==, 则()P B = ，2．设两个相互独立的随机事件,A B ，它们都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等，则()P A = 。
3．一批产品共有20件，其中有5件次品，15件正品。
现依次进行不放回抽取3次，则第三次取到次品的概率 。
4. 设随机变量X 的密度函数为：⎩⎨⎧∉∈=]4,0[,0]4,0[,)(x x kx x f ，则常数k = ； X的分布函数()F x = ；（3）概率)3(<X P = 。
5．在四次独立试验中，事件A 至少出现一次的概率为0.5904，则在两次独立试验中，事件A 未出现的概率为 0.64 。
6．设随机变量,X Y 独立并且具有相同分布(1,0.4)B ，则min(,)1Z X Y =-的分布律为： {1}0.84,{0}0.16P Z P Z =-=== 。
7．设~(2,4),~(0,9),X N Y N X Y 且与相互独立，则2Z X Y =-的密度函数()Z f z 2(4)50z -- 。
8．设1234,,,X X X X 是来自正态总体2(0,)N σ的一个样本，则~Y =(2)t 。
9．设12,,,n X X X 为来自正态总体2~(,)N μσ的一个样本，2,X S 分别为样本均值和样本方差，若22X cS -是参数2μ的一个无偏估计量，则c = 1n。
10．设12,,,n X X X 为来自正态总体2~(,)N μσ的一个样本，若2σ未知，提出假设01:1,:1H H μμ=>，当给定检验水平α，则写出检验统计量 ，拒绝域为0=X 。
二、（15分）设随机变量~[0,1]X U ，记ln Y X =-求 （1）Y 的密度函数()Y f y ； （2）(21)E Y + （3）cov(,)X Y ；解：（1）1,01,0()|()'|()0,0,y y yyyY X e e y f y e f e e -----⎧⎧<<≥===⎨⎨⎩⎩其他其他； 即~(1,1)(1Y Γ参数为的指数分布） ……5分 （2） (21)213E Y EY +=+= ……5分 （3） cov(,)X Y EXY EX EY =-⋅；11122000120111(ln )ln ln 221144EXY E X X x xdx x x x dxx x ===-=-=-⎰⎰ ……3分1,12EX EY == 113cov(,)424X Y EXY EX EY -∴=-⋅=-=- ……2分三、（15分）设二维连续型随机变量(,)X Y 的密度为：(),01,||,(,)0,.A x y x y x f x y -≤≤≤⎧=⎨⎩其他求（1）常数A ； （2）边缘密度函数()X f x 和()Y f y ，X 与Y 是否相互独立； （3）{0.5}P X <。
重庆大学概率与数理统计课后答案第八章教学资料
重庆大学概率与数理统计课后答案第八章习题八A 组1.假设总体X ～)1,(μN ，从中抽取容量为25的样本，对统计假设0:,0:10≠=μμH H ，拒绝域为X 0={}392.0≥x 。
（1）求假设检验推断结果犯第Ⅰ类错误的概率。
（2）若3.0:1=μH ，求假设检验推断结果犯第Ⅱ类错误的概率。
解：（1）{}{}001H H P P α==犯第I 类错误拒绝成立={}0392.0=>μX P{}{}96.10392.0>==>=n X P X P μ，所以05.01=α（2）{}{}00H H P P β==犯第II 类错误接受不成立{}3.0392.0=≤=μX P{}6769.046.0)3.0(46.3=<-<-=n X P2.已知某厂生产的电视机显像管寿命（单位：小时）服从正态分布。
过去，显像管的平均寿命是15000小时，标准差为3600小时。
为了提高显像管寿命采用了一种新技术，现从新生产的显像管中任意抽取36只进行测试，其平均寿命为15800=x 小时。
若用假设检验方法推断新技术是否显著提高了显像管的寿命，试指出：（1）假设检验中的总体；（2）统计假设；（3）检验法、检验统计量、拒绝域；（4）推断结果。
解：（1）假设检验中的总体是新生产的显像管的寿命，用X 表示，由题意知：X ～),(2σμN )90000,5000(N （2）统计假设：15000:0≤μH ，15000:1>μH(3)假设σ与过去一样为3600小时，那么检验方法为U 检验法，检验统计量为：nX U σ15000-=显著水平05.0=α时的拒绝域为：X 0 ={}α->1u u ={}645.1>u（4）推断：因为U 的样本值为1.333不在X 0 内，所以接受原假设，即在显著水平05.0=α 下，认为新技术没有提高显像管的寿命。
3.某计算机公司使用的现行系统，运行通每个程序的平均时间为45秒。
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2
n
xi2
i 1
n
n
n
（3） ESE2 E (Yi 2 1xi )2 [D(Yi 2 ˆ1xi ) E2 (Yi 2 ˆ1xi )] [D(Yi 2 ˆ1xi )]
i1
i1
i1
n
n
[D(Yi ˆ1xi )] [DYi D(ˆ1xi ) 2 cov(Yi , ˆ1xi )]
2 1
(n
1)
2 (n 1)
2 1
(63)
2 (63)
b 的置信度是1 的置信区间为
2
2
2
2
(
u2 0.95
S
2
2
u2 0.95
2 1
(63)2
2
63
,
u2 0.95
S
2
2
u2 0.95
2
(63)
2
)
63
（4）选择检验统计量
：
(n 1)S 2 2
~
2 (n 1)
；拒绝域
Ko
{u02.952S 2
完成后的方差分析表
方差来源
DF（自由度）
因素
3
随机误差
6
总和
9
S2（平方和） 258 46 304
S 2 均方差 86 7.67
F值 11.2125
因 F=11.2125>F0.95(3,6)=9.78.所以拒绝原假设 H0 .认为包装对食品销售量影响显著。
计算因素包装各个水平下的效应值
ˆ1 y1 y 15 18 3 ˆ2 y2 y 13 18 5 ˆ3 y3 y 19 18 1
i1
i 1
n
xi2
n
n
2 2
xi2
n
2 n 2 2 2 2 (n 1) 2
i1
xi2
i1
xi2
i 1
i 1
n
(xiYi 2xi )
cov(Yi , ˆ1xi ) cov(Yi , i1 n
xi )
xi
n
cov(Yi ,
n
(xiYi 2xi ))
xi
n
n
cov(Yi , xiYi )
xi2
xi2
i 1
xi2
i 1
i 1
i 1
i 1
xi2
n
cov(Yi ,Yi )
xi2
n
2
xi2
xi2
i 1
i 1
n
则 ESE2 n 2
xi2
n
n
2 2
xi2
n
2 n 2 2 2 2 (n 1) 2
i1
xi2
i1
xi2
i 1
i 1
六、（12 分）某食品公司对一种食品设计了四种新的包装。为了考察哪种包装最受顾客欢迎， 选了 10 个地段繁华程度相似，规模相近的商店做试验，其中两种包装各指定两个商店销售， 另两种包装各指定三个商店销售。在试验期内各店货架排放的位置、空间都相同，营业员 的促销方法也基本相同，经过一段时间，记录其销售量数据（见下表）：
(X4 2
/ )2
~
F (2, 2)
P{
X12
X
2 3
X
2 2
X
2 4
1}
P{F(2, 2)
1}
且
F0.5 (2, 2)
1 F0.5 (2, 2)
F0.5 (2, 2)
1
得
P{
X12
X
2 3
X
2 2
X
2 4
1}
1
P{
X12
X
2 3
X
2 2XBiblioteka 2 41} 0.5
(3)令Yi
Xi
Xni
包装类型
销售量
1
12
18
2
14
12
13
3
19
17
21
4
24
30
若使用单因素方差分析（1）指出方差分析中的指标、因素和水平；（2）指出方差分析中假
设检验的原假设 H0 和备择假设 H1 ;（3）指出方差分析方法使用的条件，并完成下列方差
分析表，分析哪种包装方式效果好。（ 0.05）
方差来源
DF（自由度） S2（平方和）
n
解：（1）由题得： SE2 ( yi 2 1xi )2
i 1
S
2 E
1
n
2
i 1
xi (yi
2 1xi )
令 SE2
1
n
02
i 1
xi (yi 2 1xi ) 0
n
(xi yi 2xi )
得 ˆ1 i1 n
xi2
i 1
n
(xi yi 2xi )
（2） ˆ1 i1 n
i 1
n
b)
bˆ2
1 n
n i 1
( xi
2)2
u2 0.95
无偏性：E(bˆ2 )
u2 0.95 n
n
E(
i1
( xi
2)2 )
u2 0.95 n
n 2
u2 2 0.95
b
bˆ2 是参数 b
的无偏估计。
有效性：
n
d ln L(b)
db
n 2b2
(u02.95
(xi 2)2
i 1
n
且 EX 2 (EX )2 DX
2
4
1 n
n i1
X
2 i
ˆ
1 n
n i 1
X
2 i
4 bˆ1
(1 n
n i 1
X
2 i
4)u02.95
(2)
A 2 u0.95
b b u0.95
f (x)
1
( x2)2
e 2 2
2
u ( x2)2 u02.95
e 0.95
2b 建立似然
五（18 分）设样本 (xi ,Yi ) ，i 1, 2 , n 满足 Yi 2 1xi i ,i ~ N(0, 2 ) 。（1）求参数
1
的最小二乘估计量
ˆ1
；（ 2 ） 分 析
ˆ1
的 分 布 ；（ 3 ） 求
ES
2 E
，其中
n
SE2 (Yi yˆi )2, yˆi 2 ˆ1xi ,i 1, 2, , n.。 i1
b)且c(b)
n 2b2
仅是b的函数；
又
E(bˆ2 )
u2 0.95 n
E(
n i 1
( xi
2)2 )
b
bˆ2 是 b 的有效估计量。
相合性：因为 T
u2 0.95 n
E(
n i1
( xi
2)2 )
，
g' (b)
1，所以 I(b)
c(b) g ' (b) n
1 2b2
, DT
g ' (b) c(b)
Yi Y
)2 4 4 (11/ n)2 D( 2 (32)) 256 4 (11/ 32)2
i1 2 2 (11/ n)
二 、（ 26 分 ） 设 X1 ， X 2 ， … ， X n 是 来 自 总 体 X ~ N(2, 2)( 0) 的 样 本 ，
P{X A} 0.95。（1）求参数 b (A 2)2 的矩估计量 bˆ1 ；（2）求参数 b 的最大似然估计 量 bˆ2 ，并评价 bˆ2 的无偏性、有效性、相合性；（3）求参数 b 的置信度是1 的置信区间。
B 两类加强杆中抽取的样本容量相同，那么要使得 A B 的 0.90 的置信区间长度不超过
2.5kg/mm2 需要多少样本量？(2)给出统计假设 H0 : A 1.1B , A 1.1B 的检验统计量和
拒绝域。若对 A，B 两类加强杆各自独立地抽取了 7 根，测得抗拉强度的样本均值分别是 87.6 与 74.5，试对统计假设进行检验（显著性水平取 0. 1）。
~
N(2,2 2) ，Y
1 n
n
Yi
i1
2X
n
T (Yi Y )2 (n 1)SY2
i1
D
32 i 1
( X 32i
Xi
2
X
)2
DT
32
D[
i 1
(Yi
Y )2]
Yi Y ~ N(0, 2 2(11/ n))
Yi Y
~ N (0,1)
2 2 (11/ n)
32
= D[2 2 (11/ n)(
2013-2014 学年第一学期（秋） 《数理统计》（A）课程试卷
重庆大学
请保留四位小数，部分下侧分位数为：
u0.95
1.65
，
u0.99
2.33
，
2 0.95
(1)
3.841 ，
f0.95 (3, 6) 9.78
一、（18 分）设 X1 ， X 2 ，…， X 64 是来自总体 N （0， 2 ）的样本， X ， S 2 分别是样本
2
n
( xi 2)2u02.95
函数
L(b)
(2
)
n 2
u0n.95b
n 2
e
i1
2b
ln L(b)
n 2
ln(2
)
n
ln
u0.95
n
ln
b
u2 0.95
2
2b
n
( xi
i1
2)2
n
d
ln L(b) db