学年第一学期重庆大学数理统计试题及参考答案

均值和样本方差：（1）求参数 c 满足 P{ X
S
c}
0.1；（2）求概率
P{
X12
X
2 3
X X
2 2 2 4
1} ；
(3)求
D
32 i 1
( X 32i
Xi
2X
)2
。(请写出计算过程)
解 ：（ 1 ）
n X ~ t(n 1) P{ X S c} P{ nX n c} 0.1 得
（4）试确定检验问题： H0 : b b0, H1 : b b0 (b0 0) 的检验统计量和拒绝域。
解： X ~ N(2, 2 ) X 2 ~ N(0,1) 0.95 P{X A} P{ X 2 A 2}
A
2
u0.95
即 A 2 u0.95
（1） b
(A 2)2
u2 2 0.95
且 EX 2 (EX )2 DX
2
4
1 n
n i1
X
2 i
ˆ
1 n
n i 1
X
2 i
4 bˆ1
(1 n
n i 1
X
2 i
4)u02.95
(2)
A 2 u0.95
b b u0.95
f (x)
1
( x2)2
e 2 2
2
u ( x2)2 u02.95
e 0.95
2b 建立似然
~
N(2,2 2) ，Y
1 n
n
Yi
i1
2X
n
T (Yi Y )2 (n 1)SY2
i1
D
32 i 1
( X 32i
Xi
2
X
)2
DT
32
D[
i 1
(Yi
Y )2]
Yi Y ~ N(0, 2 2(11/ n))
Yi Y
~ N (0,1)
2 2 (11/ n)
32
= D[2 2 (11/ n)(
包装类型
销售量
1
12
18
2
14
12
13
3
19
17
21
4
24
30
若使用单因素方差分析（1）指出方差分析中的指标、因素和水平；（2）指出方差分析中假
设检验的原假设 H0 和备择假设 H1 ;（3）指出方差分析方法使用的条件，并完成下列方差
分析表，分析哪种包装方式效果好。（ 0.05）
方差来源
DF（自由度） S2（平方和）
解：1）设 X、Y 分别表示铝制加强杆两种类型 A、B 的抗拉强度， X 、Y 为样本均值。则
X、Y 相互独立且 X
~
N
(
A
,
2 A
n
)
，
X
~
N
(
B
,
2 B
n
)
X
Y
~
N(A
B
,
2 A
2 B
)
n
P{
X
Y (A B )
(
2 A
2 A
)
/
n
u0.95} 0.90
解得样本容量 n 7 。
由题置信区间的长度 2u0.95
2 0.95
(1)
3.841}
根据原假设，不同制造方法下零件不合格品的理论频数 np 6.5 ， 2 的样本值为
2
2 i 1
(vi
npi ) npi
(10 6.5)2 6.5
(6.5 3)2 6.5
1.8846
2 0.95
(1)
3.841 落在接受域内，故
认为零件的不合格率与制造方法无关。
2
n
( xi 2)2u02.95
函数
L(b)
(2
)
n 2
u0n.95b
n 2
e
i1
2b
ln L(b)
n 2
ln(2
)
n
ln
u0.95
n
ln
b
u2 0.95
2
2b
n
( xi
i1
2)2
n
d
ln L(b) db
n 2
1 b
u2 0.95
2b2
in i 1
( xi
2)
n 2b2
(u02.95
(xi 2)2
2 1
(n
1)
2 (n 1)
2 1
(63)
2 (63)
b 的置信度是1 的置信区间为
2
2
2
2
(
u2 0.95
S
2
2
u2 0.95
2 1
(63)2
2
63
,
u2 0.95
S
2
2
u2 0.95
2
(63)
2
)
63
（4）选择检验统计量
：
(n 1)S 2 2
~
2 (n 1)
；拒绝域
Ko
{u02.952S 2
(X4 2
/ )2
~
F (2, 2)
P{
X12
X
2 3
X
2 2
X
2 4
1}
P{F(2, 2)
1}
且
F0.5 (2, 2)
1 F0.5 (2, 2)
F0.5 (2, 2)
1
得
P{
X12
X
2 3
X
2 2
X
2 4
1}
1
P{
X12
X
2 3
X
2 2
X
2 4
1} 0.5
(3)令Yi
Xi
Xni
b)且c(b)
n 2b2
仅是b的函数；
又
E(bˆ2 )
u2 0.95 n
Leabharlann Baidu
E(
n i 1
( xi
2)2 )
b
bˆ2 是 b 的有效估计量。
相合性：因为 T
u2 0.95 n
E(
n i1
( xi
2)2 )
，
g' (b)
1，所以 I(b)
c(b) g ' (b) n
1 2b2
, DT
g ' (b) c(b)
Yi Y
)2 4 4 (11/ n)2 D( 2 (32)) 256 4 (11/ 32)2
i1 2 2 (11/ n)
二 、（ 26 分 ） 设 X1 ， X 2 ， … ， X n 是 来 自 总 体 X ~ N(2, 2)( 0) 的 样 本 ，
P{X A} 0.95。（1）求参数 b (A 2)2 的矩估计量 bˆ1 ；（2）求参数 b 的最大似然估计 量 bˆ2 ，并评价 bˆ2 的无偏性、有效性、相合性；（3）求参数 b 的置信度是1 的置信区间。
完成后的方差分析表
方差来源
DF（自由度）
因素
3
随机误差
6
总和
9
S2（平方和） 258 46 304
S 2 均方差 86 7.67
F值 11.2125
因 F=11.2125>F0.95(3,6)=9.78.所以拒绝原假设 H0 .认为包装对食品销售量影响显著。
计算因素包装各个水平下的效应值
ˆ1 y1 y 15 18 3 ˆ2 y2 y 13 18 5 ˆ3 y3 y 19 18 1
2013-2014 学年第一学期（秋） 《数理统计》（A）课程试卷
重庆大学
请保留四位小数，部分下侧分位数为：
u0.95
1.65
，
u0.99
2.33
，
2 0.95
(1)
3.841 ，
f0.95 (3, 6) 9.78
一、（18 分）设 X1 ， X 2 ，…， X 64 是来自总体 N （0， 2 ）的样本， X ， S 2 分别是样本
i 1
2
n
xi2
i 1
n
n
n
（3） ESE2 E (Yi 2 1xi )2 [D(Yi 2 ˆ1xi ) E2 (Yi 2 ˆ1xi )] [D(Yi 2 ˆ1xi )]
i1
i1
i1
n
n
[D(Yi ˆ1xi )] [DYi D(ˆ1xi ) 2 cov(Yi , ˆ1xi )]
B 两类加强杆中抽取的样本容量相同，那么要使得 A B 的 0.90 的置信区间长度不超过
2.5kg/mm2 需要多少样本量？(2)给出统计假设 H0 : A 1.1B , A 1.1B 的检验统计量和
拒绝域。若对 A，B 两类加强杆各自独立地抽取了 7 根，测得抗拉强度的样本均值分别是 87.6 与 74.5，试对统计假设进行检验（显著性水平取 0. 1）。
S 2 均方差
F值
因素
258
随机误差
46
总和
304
解;(1)方差分析中的指标是该食品的销售量；因素为该食品的包装；水平为 1、2、3、4 这四
种包装。
（2）记 1 、 2 、 3 、 4 分别为四种包装下食品销售量的均值，提出如下假设：
H0 : 1 2 3 4
H1
:
、
1
、2
、3
不4 全相等
（3）方差分析表使用的条件：1）每个水平服从正态分布且相互独立，方差相同。 2）每个水平下取的样本独立同分布且有代表性。
ˆ4 y4 y 27 18 9 计算结果表明，包装 4 效果好。
五（18 分）设样本 (xi ,Yi ) ，i 1, 2 , n 满足 Yi 2 1xi i ,i ~ N(0, 2 ) 。（1）求参数
1
的最小二乘估计量
ˆ1
；（ 2 ） 分 析
ˆ1
的 分 布 ；（ 3 ） 求
ES
2 E
，其中
n
SE2 (Yi yˆi )2, yˆi 2 ˆ1xi ,i 1, 2, , n.。 i1
n
解：（1）由题得： SE2 ( yi 2 1xi )2
i 1
S
2 E
1
n
2
i 1
xi (yi
2 1xi )
令 SE2
1
n
02
i 1
xi (yi 2 1xi ) 0
n
(xi yi 2xi )
得 ˆ1 i1 n
xi2
i 1
n
(xi yi 2xi )
（2） ˆ1 i1 n
xi2
xi2
i 1
xi2
i 1
i 1
i 1
i 1
xi2
n
cov(Yi ,Yi )
xi2
n
2
xi2
xi2
i 1
i 1
n
则 ESE2 n 2
xi2
n
n
2 2
xi2
n
2 n 2 2 2 2 (n 1) 2
i1
xi2
i1
xi2
i 1
i 1
六、（12 分）某食品公司对一种食品设计了四种新的包装。为了考察哪种包装最受顾客欢迎， 选了 10 个地段繁华程度相似，规模相近的商店做试验，其中两种包装各指定两个商店销售， 另两种包装各指定三个商店销售。在试验期内各店货架排放的位置、空间都相同，营业员 的促销方法也基本相同，经过一段时间，记录其销售量数据（见下表）：
S
S
n c t0.95 (63)
故
c
1.65 8
0.2063
（2） X ~ N(0, 2 ) (X1 / )2 (X2 / )2 ~ 2 (2) 同理 (X3 / )2 ( X4 / )2 ~ 2 (2)
X12
X
2 3
X
2 2
X
2 4
(X1
/ )2
(X2 2
/ )2
/
(X3
/ )2
i1
i 1
n
xi2
n
n
2 2
xi2
n
2 n 2 2 2 2 (n 1) 2
i1
xi2
i1
xi2
i 1
i 1
n
(xiYi 2xi )
cov(Yi , ˆ1xi ) cov(Yi , i1 n
xi )
xi
n
cov(Yi ,
n
(xiYi 2xi ))
xi
n
n
cov(Yi , xiYi )
u 2 2 1 0.95 2 63
或 u02.95S 2 2
u2 2 0.95 2) 63
三、（14 分）假设飞机上用的铝制加强杆有两种类型 A 与 B，它，它们的抗拉强度（ kg / mm2 ）
分别服从
N(A,
2 A
)
与
N
(B
,
2 B
)
。由生产过程知其标准差
A
1.2
,B
1.5（1）若从
A、
(
2 A
2 B
)
/
n
2.5
2）由题意知 X 87.6 ，Y 74.5
当 H0 成立时
X
Y
~
N
(0.1B
,
(
2 A
2 B
)
/
n)
拒绝域 K0
{
X Y 0.1B )
(
2 A
2 A
)
/
n
u0.9}
四、（12 分）用铸造与锻造两种方法制造某种零件，从各自制造的零件中分别随机抽取 100
只，经检验发现铸造的有 10 个不合格品，锻造有 3 个不合格品。试问在显著水平 0.05
n
xi2
i 1
i1
i 1
n
xi2
i 1
EYi E(2 1xi i ) 2 1xi Eˆ1 1
n
( xiYi
2xi
)
Dˆ1 D i1
n
xi2
i 1
n
n
D[ xiYi 2xi ]
i 1
i 1
n
( xi2 )2
i 1
n
xi 2 DYi
i 1
n
( xi2 )2
i 1
n
b)
bˆ2
1 n
n i 1
( xi
2)2
u2 0.95
无偏性：E(bˆ2 )
u2 0.95 n
n
E(
i1
( xi
2)2 )
u2 0.95 n
n 2
u2 2 0.95
b
bˆ2 是参数 b
的无偏估计。
有效性：
n
d ln L(b)
db
n 2b2
(u02.95
(xi 2)2
i 1
n
下，能否认为零件的不合格率与制造方法有关？
解：根据题意，我们提出如下统计假设：
H0 ：零件的不合格率与制造方法无关； H1 ：零件的不合格率与制造方法有关。
知 n 200, m 2, r 0 .在显著性水平 0.05下，选择检验统计量 2 2 (vi npi ) ， i1 npi
拒绝域为：{ 2
2b2 n
DT
D(bˆ2 )
2b2 n
0(n )
故T bˆ2 是 b 的相合估计量。
（3）
b
u2 2 0.95
b
的置信度是1
的置信区间既是
2
的置信度1
的置信区间。因
均 值 已 知 设 样 本 方 差 为 S2 ， 得 2 置 信 度 为 1 的 置 信 区 间
( (n 1)S 2 , (n 1)S 2 ) ( 63S 2 , 63S 2 )
，Yi 2 1xi i ,Yi ~ N(2 1xi , 2 )
xi2
i 1
由正态分布的性质推知 ˆ1 ~ N(Eˆ1, Dˆ1) 服从正态分布。
n
( xiYi
2xi
)
n
n
E[ xiYi 2xi ]
n
n
xi EYi 2xi
Eˆ1 E i1
n
xi2
i 1
i 1
i 1